ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน

คณิตศาสตร์ ค ร์ ณิตศาสตร์

คำ นำ E-book เล่มล่นี้เป็น ป็ ส่วส่นหนึ่งของวิชวิาคณิตศาสตร์ รหัสหัวิชวิา ค32102 ชั้นมัธมัยมศึกศึษาปีที่ปี 5ที่ /8 โดยมีจุมีด จุ ประสงค์เ ค์ พื่อพื่ศึกศึษาความรู้ที่ รู้ ไที่ด้จ ด้ ากเรื่อรื่ง ดอกเบี้ยบี้และมูล มู ค่าค่ของเงินงิ ซึ่งรายงานนี้มี เนื้อหาเกี่ยกี่วกับกัความรู้เ รู้ กี่ยกี่วกับกัดอกเบี้ยบี้และมูล มู ค่าค่ของเงินงิผู้จัผู้ดจัทำ ได้เ ด้ ลือลืกหัวหัข้อ ข้ นี้ในการทำ รายงาน เนื่องมาจากเป็น ป็ เรื่อรื่งที่น่ที่ น่าสนใจและ ต้อ ต้ งขอขอบคุณ คุ ทางคุณ คุ ครูอ รู าจารย์ผู้ ย์ ใผู้ห้ค ห้ วามรู้ และแนวทางการศึกศึษา เพื่อพื่น ๆ ทุก ทุ คนที่ใที่ห้ ความช่วยเหลือลืมาโดยตลอดผู้จัผู้ดจัทำ หวังวัว่าว่ รายงานฉบับบันี้จะให้ค ห้ วามรู้ และเป็น ป็ ประโยชน์แก่ผู้ก่อ่ผู้ าอ่นทุก ทุ ๆ ท่าท่น น.ส.พิชพิญ์ธิ ญ์ ดธิา ปานหนู น.ส.จิรจิประภา ชาบุรี บุรี น.ส.ณัฐชยา จุล จุ สำ อางค์ น.ส.พิชพิญ์ก ญ์ มล รัตรันสิริสิสัริมสัพันพัธ์ น.ส.กัณกัฐมณ เฉินพูน พู ทรัพรัย์ น.ส.ศิรศิประภา ทรงยศ คณะผู้จัผู้ดจัทำ

สารบัญ บั เรื่อ รื่ ง หน้า ดอกเบี้ย บี้ ดอกเบี้ย บี้ คงต้น ต้ ดอกเบี้ย บี้ ทบต้น ต้ มูล มู ค่าค่ของเงินงิ ค่าค่รายงวด แบบฝึก ฝึ หัดหั 1-2 2-3 3-4 5-7 8-10 10-18

ดอกเบี้ย บี้ และมูล มู ค่า ค่ ของเงิน งิ 1 ในชีวิตประจำ วันครอบครัวรันักเรียรีนอาจจะต้องซื้อสินค้าที่มีราคาสูงมาก เช่น บ้าน รถยนต์ การซื้อสินค้าที่ มีราคาสูงนั้นอาจจะไม่ใช่ชำ ระเงินทั้งหมดในคราวเดียว ต้องมีการผ่อนชำ ระเป็นงวดๆ เป็นเวลาหลายปี ทำ ให้ต้องมี การคิดดอกเบี้ยและคำ นวณค่างวดในการผ่อนชำ ระแต่ละเดือน ดังนั้น การคิดดอกเบี้ยการแบ่งชำ ระค่างวดเป็นเรื่อรื่ง ที่เข้ามาเกี่ยวข้องในชีวิตประจำ วันอยู่เสมอ ในหน่วยการเรียรีนรู้นี้รู้นี้จะเป็นการศึกษาเกี่ยวกับดอกเบี้ย เงินและมูลค่า ของเงิน และค่ารายงวด เพื่อให้นักเรียรีนนำ ความรู้ไรู้ปวางแผน วิเคราะห์และร่วร่มกันตัดสินใจทางด้านการเงินได้เกิด ประสิทธิภธิาพสูงสุด ดอกเบี้ยบี้ (Interest) ในการดำ เนินชีวิตทุกครอบครัวรัมีรายได้หรือรืภาระค่าใช้จ่ายแตกต่างกัน บางครอบครัวรัอาจประสบกับ สถานการณ์ทางการเงินหลายอย่าง เช่น มีเงินออมเก็บไว้โดยไม่ได้ใช้ให้เกิดประโยชน์เพิ่มเติม หรือรือาจขาดแคลนเงิน ที่จำ เป็นต้องใช้จ่าย หรือรืต้องการเงินทุนเพื่อนำ มาลงทุนทางธุรธุกิจเพื่อก่อให้เกิดรายได้ที่เพิ่มขึ้นกับครอบครัวรัหรือรื ต้องการเงินเพื่อซื้อรถ ซื้อบ้านหรือรืสิ่งอำ นวยความสะดวกต่างๆ ซึ่งสถานการณ์เหล่านี้ก่อให้เกิดการให้ยืมเงินแก่ผู้ จำ เป็นต้องใช้เงิน และการขอยืมเงินจากผู้มีเงินออม โดยทั่วๆ ไปแล้วในการให้ยืมเงินนั้นผู้ให้ยืมจะได้รับรัผลประโยชน์ ตอบแทนจากเงินที่ให้ยืมไป ซึ่งผลประโยชน์ดังกล่าวนี้เราเรียรีกว่า ดอกเบี้ย ดังนั้นความรู้เรู้กี่ยวกับดอกเบี้ยจึงเป็น สิ่งจำ เป็นสำ หรับรันักเรียรีนในการวางแผนการใช้จ่ายในอนาคต ความหมาย ราชบัณฑิตยสภา ได้ให้ความหมายของ ดอกเบี้ย ไว้ว่า ดอกเบี้ย คือ ผลประโยชน์ที่บุคคลหนึ่งต้องใช้ให้แก่บุคคลอีกอีคนหนึ่ง เพื่อการที่ได้ใช้เงินของบุคคลนั้นหรือรืเพื่อการ ไม่ชำ ระหนี้หรือรืชำ ระหนี้ไม่ถูกต้อง หรือรืชำ ระหนี้ล่าช้า ทั้งนี้ โดยคำ นวณเป็นรายวัน รายเดือนหรือรืรายปี จากยอดเงิน ต้นหรือรืยอดเงินที่ต้องชำ ระ เพื่อให้เข้าใจได้ชัดเจนขึ้นและสามารถคำ นวณได้ง่ายขึ้น จึงให้คำ จำ กัดความของดอกเบี้ย ไว้ดังนี้ ดอกเบี้ย(interest) คือ ผลประโยชน์หรือรืค่าตอบแทนที่ผู้กู้จะต้องจ่ายให้แก่ผู้ให้กู้ยืมในช่วงระยะเวลาใด เวลาหนึ่งตามที่ผู้กู้และให้กู้ยืมได้ตกลงกันไว้ โดยที่จำ นวนเงินที่ให้กู้ยืมเรียรีกว่า เงินต้น (principal) และค่าตอบแทน จะคิดเป็นอัตอัราร้อร้ยละต่อหน่วยเวลาเรียรีกว่า อัตอัราดอกเบี้ย (interest rate) อัตอัราดอกเบี้ย (interest rate) ในการคำ นวณหาอัตอัราดอกเบี้ยเงินกู้มักอยู่ในลักษณะร้อร้ยละต่อปี ซึ่งผู้ให้กู้ เช่น ธนาคาร หรือรืบริษัริ ษัทเรียรีกเก็บจากผู้กู้เพื่อเป็นผลตอบแทนจากการให้กู้ อัตอัราดอกเบี้ยเงินกู้มีหลายประเภท หลาย อัตอัรา โดยทั่วไปขึ้นอยู่กับประเภทของเงินกู้หรือรืสินเชื่อ ซึ่งในที่นี้ผู้ให้กู้หมายถึง สถาบันการเงิน และผู้ประกอบธุรธุกิจ การเงินที่ไม่ใช่สถาบันการเงินหรือรืnon-bank อัตอัราดอกเบี้ยอ้าอ้งอิงอิของแต่ละธนาคารอาจไม่เท่ากัน เนื่องจากต้นทุนของธนาคารแต่ละแห่งไม่เท่ากันซึ่ง อัตอัรา ดอกเบี้ยอ้าอ้งอิงอิจะมีการเปลี่ยนแปลงขึ้นลงในแต่ละช่วงเวลา นอกจากนี้ในทางปฏิบัติธนาคารมักจะใช้ MLR ทั้ง ลูกค้ารายใหญ่และรายย่อย โดยนักเรียรีนสามารถหา ข้อมูลอัตอัราดอกเบี้ยดังกล่าวที่ธนาคารพาณิชย์ใช้อยู่ได้จาก เว็บไซต์ของธนาคารแต่ละแห่งและเว็บไซต์ของธนาคาร แห่งประเทศไทย

การคำ นวณดอกเบี้ยสิ่งที่นักเรียรีนต้องรู้แรู้ละเข้าใจ ดังนี้ เงินต้น คือ จำ นวนเงินลงทุนหรือรืจำ นวนเงินที่ให้กู้ ดอกเบี้ย คือ ค่าตอบแทนที่บุคคลหนึ่งต้องใช้ให้แก่บุคคลอีกอีคนหนึ่งเพื่อทดแทนการยืมเมื่อครบ กำ หนดเวลาเงินรวม คือ จำ นวนเงินต้นรวมกับดอกเบี้ย การคำ นวณดอกเบี้ยสามารถคำ นวณได้ ดังนี้ จากดอกเบี้ย (interest) = เงินต้น อัตอัราดอกเบี้ย ระยะเวลาในการกู้เงิน จะได้ว่า โดยที่ P คือ เงินต้นหรือรืมูลค่าปัจจุบัน S คือ เงินรวมหรือรืมูลค่าอนาคต t คือ เวลาในการกู้ยืม (หน่วยเป็นปี) r คือ อัตอัราดอกเบี้ยต่อปี I คือ ดอกเบี้ยคงต้น(เชิงเดียว) จะได้ว่า เงินรวม = เงินต้น + ดอกเบี้ย นั่นคือ จากสมการ หมายเหตุ: ในหน่วยกำ รเรียรีนรู้นี้รู้นี้การฝากเงินกับธนาคารให้ถือว่าฝากเงินจนครบกำ หนด เวลา โดยไม่มีการถอนเงินออกมาก่อน 2 การคิดอัตอัราดอกเบี้ยของธนาคารพาณิชย์ มีวิธีกธีารคิดต่างๆ เช่น 1. MLR (minimum loan rate) หมายถึง อัตอัราดอกเบี้ยที่ธนาคารพาณิชย์เรียรีกเก็บจากลูกค้ารายใหญ่ชั้นดี โดยส่วนใหญ่ใช้กับเงินกู้ระยะยาวที่มีกำ หนดระยะเวลาที่แน่นอน 2. MOR (minimum overdraft rate) หมายถึง อัตอัราดอกเบี้ยที่ธนาคารพาณิชย์เรียรีกเก็บจากลูกค้าราย ใหญ่ชั้นดี ประเภทวงเงินเบิกเกินบัญชี 3. MRR (minimum retail rate) หมายถึง อัตอัราดอกเบี้ยที่ธนาคารพาณิชย์เรียรีกเก็บจากลูกค้ารายย่อยชั้น ดี เช่น สินเชื่อส่วนบุคคล สินเชื่อที่อยู่อำ ศัย ในหัวข้อนี้จะศึกษาวิธีกธีารคิดดอกเบี้ย 2 ประเภท คือ 1. ดอกเบี้ยคงต้น(เชิงเดียว) (simple interest) 2. ดอกเบี้ยทบต้น (compound interest) ในการกู้ยื กู้มเงินงิจากธนาคาร ธนาคารกำ หนดให้ชำห้ ชำระดอกเบี้ยบี้ร้อร้ยละ 7 ต่อต่ ปีเปีป็นป็เวลา 10 ปี ในการฝากเงินงิ ในบัญบั ชีประเภทออมทรัพรัย์ ธนาคารคิดคิอัตอัราดอกเบี้ยบี้ ให้ลูห้กลูค้าค้ร้อร้ยละ 0.5 ต่อต่ ปี การฝากเงินงิ ในบัญบั ชีประเภทฝากประจำ 24 เดือดืน อำ จคิดคิอัตอัราดอกเบี้ยบี้ร้อร้ยละ 1.75 ต่อต่ ปี 1. ดอกเบี้ยบี้คงต้น ต้ (เชิงเดียดีว) (Simple Interest) ดอกเบี้ยบี้คงต้นต้ (เชิงเดียดีว) คือคืดอกเบี้ยบี้ที่กำที่กำหนดให้เห้งินงิต้นต้มีค่มีาค่คงที่ตที่ลอดระยะเวลาของการฝากเงินงิหรือรืการกู้ยื กู้มเงินงิ ซึ่งดอกเบี้ยบี้ดังดักล่าล่วจะมีค่มีาค่เท่าท่กันกัทุกทุปี ตัวตัอย่าย่งอัตอัราดอกเบี้ยบี้คงต้นต้เช่น

3 หมายเหตุ 2. ดอกเบี้ยบี้ทบต้น ต้ (Compound Interest) หลังลัจากที่ศึที่กษาการคิดคิดอกเบี้ยบี้แบบคงต้นต้ ไปแล้วล้ต่อต่ ไปเราจะศึกศึษาการคิดคิดอกเบี้ยบี้ที่ เรียรีกว่า ดอกเบี้ยบี้ทบต้นต้ ซึ่งการคิดคิดอกเบี้ยบี้แบบนี้ระยะเวลาจะถูกถูแบ่งบ่เป็น ป็ งวดๆ และเมื่อมื่ถึงถึกำ หนดการคิดดอกเบี้ยบี้ก็จ ก็ ะมีกมีารคิดคิดอกเบี้ยบี้ของงวดนั้น และนำ ดอกเบี้ยบี้ที่ไที่ด้มด้ารวมเป็น ป็ เงินงิต้นต้ของงวดถัดไป กรณีนี้ทำ ให้เห้งินงิต้นต้มีจำมีจำนวนมากขึ้นขึ้เรื่อรื่ยๆ ซึ่งการคิดคิดอกเบี้ยบี้ทบต้นต้จะ กำ หนดเป็น ป็ ปีลปีะครั้งรั้หรือรืตามระยะเวลาที่ทำที่ทำสัญสัญาไว้ ดอกเบี้ยบี้ทบต้นต้ (Compoundinterest) หมายถึงถึดอกเบี้ยบี้ที่กํที่ากํหนดให้มีกมีารนําเอา ดอกเบี้ยบี้ที่เที่กิดกิขึ้นขึ้ในแต่ลต่ะครั้งรั้ที่มีที่กมีารคิดคิดอกเบี้ยบี้ ไปรวมกับกัเงินงิต้นต้เพื่อพื่นํามาเป็น ป็ เงินงิต้นต้ของงวด ถัดถั ไป กล่าล่วคือคืถ้าถ้มีกมีารคิดคิดอกเบี้ยบี้ทบต้นต้ ไปเรื่อรื่ยๆ จะทําทํ ให้เงินงิต้นต้ของงวดต่อต่ ไปมีจํมีาจํนวนมาก ขึ้นขึ้ คาบเวลาหรือรืงวด หมายถึงถึระยะเวลาของการคิดคิดอกเบี้ยบี้ซึ่งในวงการธุรธุกิจกิประเภท ต่าต่งๆ นิยมคิดคิดอกเบี้ยบี้ทบต้นต้ต่อต่ ช่วงเวลาที่แที่ตกต่าต่งกันกัเช่น อาจจะคิดคิดอกเบี้ยบี้ทบต้นต้เป็น ป็ ปี หรือรืต่อต่ครึ่งรึ่ปีหปีรือรืต่อต่เดือดืนจนไปถึงถึต่อต่ วันก็ไก็ ด้ ดังดันั้น อัตอัราดอกเบี้ยบี้ที่ใที่ช้คิดคิดอกเบี้ยบี้ทบต้นต้จะเป็น ป็ อัตอัราดอกเบี้ยบี้ต่อต่งวด

4 เมื่อมื่ S แทน จําจํนวนเงินงิรวมทั้งทั้หมดเมื่อมื่สิ้นสิ้งวดที่ n (total amount) P แทน จำ นวนเงินงิต้นต้ (prin ciple) r แทน อัตอัราดอกเบี้ยบี้ต่อต่งวด (periodic interest rate) n แทน จําจํนวนงวด (number of periods) n แทน จําจํนวนงวด (number of periods) สูตสูรในการคําคํนวณเงินงิรวมเมื่อมื่คิดคิดอกเบี้ยบี้แบบทบต้นต้ สามารถหาได้ ดังดันี้ ดังดันั้น ได้สูด้ตสูรการหาเงินงิรวมเมื่อมื่คิดคิดอกเบี้ยบี้ทบต้นต้ทุกทุปี ( ปีลปีะครั้งรั้) เมื่อมื่สิ้นสิ้งวดที่ n คือคื และ ได้สูด้ตสูรการหาเงินงิรวมเมื่อมื่คิดคิดอกเบี้ยบี้ทบต้นต้ ปีลปีะ k ครั้งรั้เมื่อมื่สิ้นสิ้งวดที่ n คือคื

5 มูล มู ค่าค่ของเงินงิ (Value of Money) เมื่อเวลาเปลี่ยนค่าของเงินก็เปลี่ยนไปตามปัจจัยที่มากระทบ อัตอัราเงินเฟ้อเป็นปัจจัยพื้นฐานที่ หลีกเลี่ยงไม่ได้ ซึ่งมูลค่าของเงินจะลดลงตามอัตอัราเงินเฟ้อ จะเห็นว่าการอุปอุโภคบริโริภค บางสินค้าแม้ ไม่ได้รับรัการปรับรั ปรุงรุสินค้าผลิตภัณฑ์ใดๆ แต่มีราคาขายแพงขึ้น เพราะปัจจัยไม่ได้ขึ้นกับผลิตภัณฑ์ เพียงอย่างเดียวเท่านั้น แต่เป็นเพราะมูลค่ำ ของเงินที่ลดลงไปเรื่อรื่ยตามกาลเวลา และสิ่งที่ช่วยอธิบธิาย คำ ตอบได้ดีที่สุดนั้น คือ มูลค่าเงินตามเวลา มูลค่าเงินตามเวลา ( time value of money) คือ สิ่งสำ คัญที่เตือนว่า เงินสดที่เราถืออยู่วันนี้จะ ด้อยค่าลงตามกาลเวลา หากเราไม่ทำ อะไรเลย หรือรืเก็บไว้เฉยๆ ในขณะเดียวกันเมื่อมีการบริหริารเงิน หรือรืทาการลงทุนจะมีผลตอบแทนในรูปรูแบบต่างๆ มาเกี่ยวข้อง เช่น อัตอัราดอกเบี้ย อัตอัรากำ ไรเฉลี่ย อัตอัราเงินปันผล ฯลฯ ทำ ให้มูลค่าของเงินเปลี่ยนไป 1. เส้นส้เวลา (Time Line) ในการศึกษาเรื่อรื่งมูลค่าของเงินตามเวลาจะให้เส้นเวลาเป็นเครื่อรื่งมือเพื่อแสดงให้เห็นว่ามูลค่าของ เงินใน อนาคตจะเกิดขึ้นเมื่อใด และจำ นวนเท่าใด ซึ่งเส้นเวลาจะมีตัวเลขกำ กับอยู่ด้านบนและด้านล่าง ดังรูปรู จากรูปรูตัวเลขด้านบนของเส้นเวลาแสดงถึงจุดสิ้นสุดเมื่อเวลาที่เกี่ยวข้อง เช่น เวลา 0 หมายถึง ปัจจุบัน เวลา1 หมายถึง เวลา 1 งวดจากปัจจุบัน และเวลา 2 หมายถึง เวลา 2 งวดจากปัจจุบัน โดย ทั่วไป งวดเวลาจะเป็น ปี หรือรืเดือน หรือรืวัน เช่น ถ้างวดเวลาเป็นปีจะได้ว่า เวลา 1 หมายถึง สิ้นปีที่ 1 นับจากปัจจุบัน หรือรืต้นปีที่ 2 และ ตัวเลขด้านล่างของเส้นเวลาแสดงถึงมูลค่าของเงินที่เกิดขึ้น ณ เวลาต่างๆ

6 2. มูลมูค่าค่ของเงินงิ (Value of Money) มูลค่าของเงินจะมีการเปลี่ยนแปลงไปตามระยะเวลา ดังนั้น การเปรียรีบเทียบค่าเงิน ณ เวลาที่ต่างกัน สามารถทำ ได้โดยการแปลงจำ นวนเงินนั้นๆ ให้กลับมาเป็นค่าปัจจุบัน แล้วจึงทำ การเปรียรีบเทียบค่าเงิน ณ ปัจจุบัน มูลค่าของเงินตามเวลา (time value of money) จึงเป็นปัจจัยหนึ่งของการตัดสินใจในการลงทุน โดยมูลค่าของเงินนั้นจะขึ้นอยู่กับปัจจัย 2 ประการ ได้แก่ ระยะเวลาและอัตอัราดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน ตามกาลเวลา เกี่ยวข้องกับแนวคิดพื้นฐานสองกลุ่ม ได้แก่ มูลค่าปัจจุบัน และมูลค่าอนาคต มูลค่าปัจจุบัน (Present Value) คือ มูลค่ำ ของเงิน ณ ปัจจุบัน ที่เกิดขึ้นในอนาคต และมีค่าเท่ากับ จำ นวนเงินจำ นวนหนึ่ง ณ ปัจจุบัน ซึ่งการหาค่าเงินปัจจุบันมีกระบวนการคิดตรงกันข้ามกับการคิด ทบต้น ซึ่งจะเป็นการคำ นวณเอาดอกเบี้ยออกไปเพื่อให้เหลือเงินเริ่มริ่ต้น จะเรียรีกว่ำ การคิดลดค่าเงิน (discounting) เช่น การเปรียรีบเทียบว่าเงิน 1,000 บาท ณ สิ้นปีที่ 3 กับเงิน 1,200 บาท ณ สิ้นปีที่ 5 เงินจำ นวนใดมีค่ามากกว่ากัน ซึ่งสามารถคำ นวณได้จากการคิดลดค่ำ เงินเพื่อหามูลค่าปัจจุบันของ เงินทั้งสองจำ นวน แล้วจึงนำ มาเปรียรีบเทียบกัน มูลค่าอนาคต (Future Value) คือ มูลค่าของเงินในอนาคตภายใต้ช่วงเวลา หรือรือัตอัราผลตอบแทนที่ ได้กำ หนดไว้ โดยมีกระบวนการเริ่มริ่จากเงินจำ นวนหนึ่ง ณ ปัจจุบัน มีค่าเพิ่มมากขึ้นในอนาคตจะ เรียรีก ว่า การทบต้นของค่าเงินด้วยดอกเบี้ยที่ได้รับรั (compounding) ซึ่งมูลค่าของเงินในอนาคตจะมี ค่า มากหรือรืน้อยขึ้นอยู่กับตัวแปรสองตัว คือ อัตอัราผลตอบแทน และระยะเวลา 1. 2. 2) มูลมูค่าค่อนาคต(FutureValue) มูลค่าของเงินในอนาคตภายใต้ช่วงเวลาหรือรือัตอัราผลตอบแทนที่ ได้กําหนดไว้ โดยมีกระบวนการ เริ่มริ่จากเงินจํานวนหนึ่ง ณ ปัจจุบัน มีค่าเพิ่มมากขึ้นในอนาคตจะ เรียรีกว่า การทบต้นของค่าเงินด้วย ดอกเบี้ยที่ได้รับรั (compounding) ซึ่งมูลค่าของเงินในอนาคตจะมี ค่ามากหรือรืน้อยขึ้นอยู่กับตัวแปรสอง ตัว คือ อัตอัราผลตอบแทนและระยะเวลา ความสัมพันธ์รธ์ะหว่างมูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต

7 สมมุติว่าฝากเงินด้วยเงินต้น 1,000 บาท อัตอัราดอกเบี้ย 5% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นปีละครั้งรั้ เมื่อฝากครบ 2 ปี จะได้เงินรวม 1,000 (1 + 0.05) 2 หรือรื 1,102.5 บาท ซึ่งอาจกล่าวได้ว่า เงิน 1,102.5 บาท เป็นมูลค่าอนาคต ส่วนเงิน 1,000 บาทเป็นมูลค่าปัจจุบัน สูตรการคํานวณมูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต ดังนี้ เมื่อ S แทน มูลค่าอนาคตของเงินต้น P P แทน มูลค่าปัจจุบันของเงินรวม S r แทน อัตอัราดอกเบี้ยต่องวด (periodic interest rate) n แทน จํานวนงวด (number of periods) และได้สูตรการหาเงินรวมเมื่อคิดดอกเบี้ยทบต้นปีละ k ครั้งรั้เมื่อสิ้นงวดที่ n คือ

8 ค่ารายงวด หมายถึง การจ่ายเงินหรือรืฝากเงินเป็นงวดๆ ติดต่อกันหลายงวด โดยการจ่ายเงินแต่ละ งวดมี ระยะเวลาห่างเท่า ๆ กัน เช่น การซื้อสินค้าเงินผ่อน การออมเงินแบบฝากประจํากับธนาคาร รับรัหรือรืจ่ายเท่ากันทุกงวด รับรัหรือรืจ่ายติดต่อกันทุกงวด รับรัหรือรืจ่ายตอนต้นงวดหรือรืสิ้นงวด การรับรัหรือรืจ่ายค่างวด มีลักษณะ 3 ประการ ดังนี้ 1. 2. 3. ค่าค่รายงวด (Annuity) ตัวอย่าง การรับรัหรือรืจ่ายค่างวด เช่น การนาเงินไปฝากธนาคารทุกต้นปี ปีละ 20,000 บาท เป็นเวลา 6 ปีหรือรืการซื้อรถยนต์แบบผ่อนส่ง โดยทําสัญญากับผู้จําหน่ายรถยนต์ว่าจะผ่อนชําระทุกสิ้นเดือน เดือนละ 9,000 บาท เป็นเวลํา 4 ปี เป็นต้น ค่ารายงวดที่รับรัหรือรืจ่ายตอนต้นงวด (annuities due) หมายถึง มูลค่ารวมในอนาคตที่เกิดขึ้น ณ วัน ต้นงวด โดยแต่ละงวดจะเกิดขึ้นเร็วร็กว่ากรณีที่เกิด ณ วันปลายงวด ซึ่งมีผลทําให้เงินงวดแต่ละงวด มี การทบต้นดอกเบี้ยเพิ่มขึ้นอีกอี 1 งวด ทําให้มูลค่ารวมมีค่ามากกว่ากรณีสิ้นงวด ค่ารายงวดที่รับรัหรือรืจ่ายตอนสิ้นงวด (ordinary annuities) หมายถึง มูลค่ารวมในอนาคตของเงิน งวด ซึ่งเท่ากับผลรวมของเงินงวดแต่ละงวดทบต้นด้วยดอกเบี้ยตามระยะเวลา การคํานวณหาเงินรวมของค่ารายงวดทั้งหมด แบ่งได้ 2 กรณี ดังนี้ 1. 2. 1) ค่าค่งวดที่รัที่บรัหรือรืจ่าจ่ยตอนต้น ต้ งวด (annuities due) พิจารณาการรับรัหรือรืจ่ํายเงินแต่ละงวด โดยที่แต่ละงวดเป็นเงิน R บาท ซึ่งเริ่มริ่รับรัหรือรืจ่ายเงินตอนต้นงวด จะได้ แผนภาพแสดงค่างวดแต่ละงวด ดังนี้

9 2 ค่าค่งวดที่รัที่บรัหรือรืจ่าจ่ยตอนสิ้นสิ้งวด (ordinary annuities) พิจารณาการรับรัหรือรืจ่ายเงินแต่ละงวด โดยที่แต่ละงวดเป็นเงิน R บาท ซึ่งเริ่มริ่รับรัหรือรืจ่ายเงินตอนสิ้นงวด

10 3. ค่าค่งวดในการซื้อสินสิค้า ค้ แบบผ่อผ่นชำ ระ อีกอีตัวอย่างหนึ่งของค่างวดที่พบเห็นได้ทั่วไป คือ ในการซื้อสินค้าแบบผ่อนส่ง โดยจะประกอบด้วย สองส่วน คือ เงินดาวน์ ซึ่งจ่ายทันทีเมื่อ มีการตกลงซื้อขายกัน และเงินผ่อน ซึ่งจ่ายเป็นรายงวดโดยจ่าย เท่ากันทุกงวดติดต่อกันจนครบกําหนด ซึ่งเมื่อนำ เงินดาวน์บวกกับผลรวมของมูลค่าปัจจุบันของเงินผ่อน แต่ละงวดจะต้องเท่ากับราคาสินค้า เมื่อซื้อด้วยเงินสด สําหรับรัค่ารายงวดในการซื้อสินค้ําแบบผ่อนชําระหาได้จากสูตร ต่อไปนี้

11

12

13

14

15

16

17

18

BYE!