เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น

Stimulate / เอกสารประกอบการสอน
Search
Test /Team รายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม เรอ่ื ง แคลคูลัสเบอื้ งต้น
/Technological ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 6

Constructive นายสทิ ธชิ ัย ยุบลวฒั น์
& Cooperative
ตําแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครูชํานาญการพเิ ศษ
learning
Head Hand
Heart & How

Assessment

Implicating โรงเรียนอนุกูลนารี

อาํ เภอเมืองกาฬสนิ ธุ์ จงั หวดั กาฬสินธ์ุ
สาํ นกั งานเขตพื้นทก่ี ารศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 24
สาํ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

ห น้ า | 1

คาํ นํา

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค33202) ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 6
เร่ือง แคลคูลัสเบื้องต้น กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ จัดทําข้ึนเพื่อใช้จัดกิจกรรมการเรียนรู้ประกอบ
การศึกษาการพัฒนารูปแบบการจัดการเรียนรู้แบบ STCHAI Model เพ่ือพัฒนาผลสัมฤทธ์ิทางการเรียน
ส่งเสริมทักษะการคิดวิเคราะห์และทักษะการแก้ปัญหา เรื่อง แคลคูลัสเบ้ืองต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
จัดทําขึ้นตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 โดยให้มีความเหมาะสมกับการ
จัดกิจกรรมการเรียนรู้ การนําไปใช้ในการศึกษาต่อในระดับอุดมศึกษา เน้นการคิดวิเคราะห์ คิดอย่างมี
วิจารณญาณ การแก้ปัญหา การคิดสร้างสรรค์ การใช้เทคโนโลยี การสื่อสาร การร่วมมือ รวมทั้งเช่ือมโยง
ความรูส้ ูก่ ารนาํ ไปใช้ในชวี ติ จริง

ผู้จัดทําหวังเป็นอย่างย่ิงว่า เอกสารประกอบการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม (ค33202)
ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 เรื่อง แคลคูลัสเบ้ืองต้น นี้ จะเป็นประโยชน์ต่อการจัดการเรียนรู้ และเป็นส่วนสําคัญ
ในการพัฒนาคุณภาพผู้เรียนกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ขอบคุณคณะผู้บริหาร ผู้เช่ียวชาญ คณะครู
บคุ ลากรทุกทา่ นที่มีส่วนเกีย่ วขอ้ งในการจัดทาํ ไว้ ณ โอกาสน้ี

สทิ ธชิ ยั ยุบลวัฒน์
ตาํ แหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครูชาํ นาญการพเิ ศษ

โรงเรยี นอนกุ ูลนารี

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบือ้ งต้น สําหรบั นักเรียนชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสิทธชิ ัย ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 2

คําชแ้ี จง

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค33202) ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6
เรื่อง แคลคูลัสเบ้ืองต้น กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์เล่มนี้ มีเน้ือหาสาระการเรียนรู้ ประกอบด้วย
เรื่อง ลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน ความชันของเส้นโค้ง การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้นิยาม
อัตราการเปล่ียนแปลง การหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ อนุพันธ์อันดับสูง
การประยุกต์ของอนุพันธ์ แบบทดสอบก่อนเรียนและแบบทดสอบหลังเรียนแต่ละเนื้อหาสาระการเรียนรู้
ซ่ึงเป็นพื้นฐานนําไปใช้ในการศึกษาต่อในระดับอุดมศึกษา เน้นการคิดวิเคราะห์ คิดอย่างมีวิจารณญาณ
การแก้ปัญหา การคิดสร้างสรรค์ การใช้เทคโนโลยี การสื่อสาร การร่วมมือ รวมทั้งเชื่อมโยงความรู้
สู่การนาํ ไปใชใ้ นชวี ติ จรงิ ตลอดจนมีกจิ กรรมท่สี ง่ เสรมิ ใหผ้ ูเ้ รียนทํางานร่วมกบั ผู้อน่ื ได้อยา่ งมีประสิทธิภาพ

การจัดทําเอกสารประกอบการสอน รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค33202) ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6
เร่ือง แคลคูลัสเบ้ืองต้น เล่มนี้ ได้รับความร่วมมืออย่างดียิ่ง จากคณะผู้บริหาร ผู้เชี่ยวชาญ ครูผู้สอน
จากโรงเรียนอนกุ ูลนารี จึงขอขอบคุณทกุ ทา่ นไว้ ณ ที่น้ี หากมีข้อเสนอแนะใดที่จะทาํ ให้เอกสารประกอบการสอน
เลม่ นี้ มีความสมบูรณย์ ่งิ ขึ้น โปรดแจ้งผู้จดั ทาํ ทราบด้วย จกั ขอบพระคณุ ยิง่

สิทธชิ ัย ยุบลวัฒน์
ตําแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครูชํานาญการพเิ ศษ

โรงเรยี นอนกุ ูลนารี

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบื้องต้น สําหรบั นกั เรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสิทธชิ ัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 3

ลําดับขนั้ ตอนการใช้เอกสารประกอบการสอน

ครูและนักเรียนเตรียม เครื่องมือ อปุ กรณ์ สื่อเทคโนโลยีเพื่อการศกึ ษาให้พร้อม

1 สแกน QR Code
หรือ Search Link
ทาํ แบบทดสอบ
กอ่ นเรยี น 2

3 ศึกษาใบความรู้
และตัวอยา่ ง
ทําแบบฝกึ ทกั ษะ
คณิตศาสตร์ 4

5 ทาํ แบบทดสอบ
หลังเรียน

ผา่ นเกณฑ์ 80% ศกึ ษาใบความรู้ 6
เรือ่ งต่อไป

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สาํ หรบั นกั เรยี นชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 4

สารบัญ

เรื่อง หนา้

คาํ นํา..................................................................................................................................................................1
คาํ ชแ้ี จง..............................................................................................................................................................2
ลาํ ดับข้ันตอนการใช้เอกสารประกอบการสอน ..................................................................................................3
สารบญั ............................................................................................................................................................4
ใบความรู้ที่ 1 ลิมติ ของฟังกช์ ัน.......................................................................................................................... 7

แบบฝึกทักษะที่ 1.1..............................................................................................................................17
แบบฝกึ ทักษะที่ 1.2..............................................................................................................................18
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1.3............................................................................................................................. 19
ใบความรูท้ ี่ 2 ความต่อเนอื่ งของฟงั ก์ชัน ....................................................................................................... 20
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.1.............................................................................................................................25
แบบฝึกทกั ษะที่ 2.2............................................................................................................................26
แบบฝกึ ทักษะที่ 2.3............................................................................................................................27
ใบความรูท้ ่ี 3 ความชนั ของเสน้ โค้ง ...............................................................................................................29
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.1............................................................................................................................ 36
แบบฝึกทักษะที่ 3.2............................................................................................................................37
ใบความรูท้ ี่ 4 การหาอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ นั โดยใช้นยิ าม....................................................................................38
แบบฝกึ ทักษะที่ 4.1............................................................................................................................. 41
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 4.2............................................................................................................................44
ใบความรู้ท่ี 5 อตั ราการเปลย่ี นแปลง............................................................................................................. 46
แบบฝึกทักษะท่ี 5.1.............................................................................................................................52
แบบฝึกทักษะท่ี 5.2.............................................................................................................................55
ใบความรูท้ ี่ 6 การหาอนพุ นั ธ์โดยใชส้ ูตร ..................................................................................................... 56
แบบฝึกทักษะท่ี 6.1.............................................................................................................................67
แบบฝกึ ทักษะที่ 6.2............................................................................................................................68

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบอื้ งต้น สําหรบั นักเรยี นชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
นายสิทธิชัย ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 5

สารบญั (ต่อ)

เรือ่ ง หนา้

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 6.3............................................................................................................................69
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 6.4............................................................................................................................70
ใบความรู้ท่ี 7 อนพุ นั ธข์ องฟังก์ชันประกอบ ...................................................................................................71
แบบฝึกทกั ษะที่ 7.1.............................................................................................................................73
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 7.2............................................................................................................................ 74
แบบฝกึ ทักษะที่ 7.3............................................................................................................................ 77
ใบความรูท้ ่ี 8 อนพุ นั ธ์อันดับสูง .................................................................................................................... 81
แบบฝึกทกั ษะที่ 8.1............................................................................................................................. 85
แบบฝึกทกั ษะท่ี 8.2............................................................................................................................ 88
ใบความรู้ท่ี 9 การประยกุ ตข์ องอนพุ นั ธ์ ....................................................................................................... 90
แบบฝึกทักษะท่ี 9.1.............................................................................................................................96
แบบฝึกทกั ษะท่ี 9.2............................................................................................................................ 97
แบบฝกึ ทักษะที่ 9.3............................................................................................................................ 98
แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง ลิมิตของฟังกช์ ัน..............................................................................................100
แบบทดสอบก่อนเรยี น เรื่อง ความต่อเนอ่ื งของฟงั ก์ชัน .............................................102
แบบทดสอบกอ่ นเรียน เรอ่ื ง ความชนั ของเส้นโค้ง....................................................106
แบบทดสอบก่อนเรยี น เรอื่ ง การหาอนุพันธข์ องฟังกช์ ันโดยใชน้ ยิ าม.................................. 109
แบบทดสอบก่อนเรียน เรือ่ ง อตั ราการเปลี่ยนแปลง..................................................112
แบบทดสอบกอ่ นเรียน เรอ่ื ง การหาอนพุ นั ธโ์ ดยใชส้ ูตร...............................................115
แบบทดสอบก่อนเรยี น เรอ่ื ง อนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ นั ประกอบ.............................................118
แบบทดสอบกอ่ นเรียน เรือ่ ง อนุพนั ธอ์ ันดบั สูง.......................................................120
แบบทดสอบก่อนเรยี น เรื่อง การประยกุ ต์ของอนพุ นั ธ์............................................... 123
แบบทดสอบหลงั เรยี น เร่อื ง ลิมิตของฟงั กช์ ัน........................................................ 126
แบบทดสอบหลงั เรยี น เรอ่ื ง ความต่อเนอื่ งของฟงั ก์ชัน ............................................. 129

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สําหรบั นักเรียนชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธิชัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 6

สารบญั (ต่อ)

เรอ่ื ง หน้า

แบบทดสอบหลงั เรียน เรอื่ ง ความชนั ของเส้นโค้ง.....................................................131
แบบทดสอบหลังเรยี น เรอ่ื ง การหาอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ ันโดยใชน้ ยิ าม...................................134
แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง อตั ราการเปล่ียนแปลง.................................................. 137
แบบทดสอบหลงั เรียน เรอ่ื ง การหาอนุพันธโ์ ดยใชส้ ูตร...............................................140
แบบทดสอบหลังเรยี น เรื่อง อนุพันธข์ องฟังกช์ นั ประกอบ.............................................143
แบบทดสอบหลงั เรียน เรอื่ ง อนพุ ันธ์อนั ดับสูง....................................................... 145
แบบทดสอบหลังเรียน เร่อื ง การประยุกตข์ องอนุพนั ธ์................................................148
รวม Link แบบทดสอบกอ่ นเรียนและแบบทดสอบหลังเรียน .......................................... 151
บรรณานกุ รม .....................................................................................152

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สาํ หรับนกั เรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ัย ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 7

ใบความรูท้ ่ี 1
เรอ่ื ง ลมิ ิตของฟงั ก์ชนั

ลมิ ติ ของฟังก์ชนั

ลมิ ติ ของฟังกช์ ัน เปน็ การพจิ ารณาคา่ y หรอื f(x) ของฟังก์ชนั ขณะที่ x เข้าใกล้จํานวนจริง
จาํ นวนใดจาํ นวนหน่งึ การเข้าใกลจ้ ํานวนใดจาํ นวนหนึง่ ของคา่ x มี 2 กรณี

กรณที ี่ 1 เข้า ใกลท้ างดา้ นซ้าย
กรณีที่ 2 เข้าใกล้ทางด้านขวา

เช่น เมอื่ x เข้าใกล้ 0 บนเสน้ จาํ นวน

 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
การเขา้ ใกล้ทางด้านซ้าย หมายถงึ x จะเร่ิมจากคา่ ท่ีนอ้ ยกวา่ 0 แลว้ เพม่ิ ขนึ้ เรอื่ ย ๆ แต่ไม่ถงึ 0
การเขา้ ใกลท้ างด้านขวา หมายถึง x จะเร่ิมจากคา่ ทมี่ ากกว่า 0 แลว้ ลดลงเรอ่ื ย ๆ แตจ่ ะไม่ถึง 0
โดยทว่ั ไปแล้วในการพจิ ารณาว่าเม่ือ x เข้าใกลจ้ ํานวนจริง a ใด ๆ
จะพิจารณาทง้ั สองกรณี คอื เมือ่
x เขา้ ใกล้ a ทางซา้ ย [x < a] ซง่ึ เขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ x  a-
x เขา้ ใกล้ a ทางขวา [x > a] ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x  a+

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สําหรบั นักเรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 8

การหาลมิ ติ ของฟังก์ชนั

ตวั อยา่ งที่ 1 กําหนด f(x) = x2 + 4 จงหาค่า f(x) เม่อื x มคี ่าเข้าใกล้ 2
วธิ ีทํา หาคา่ f(x) เม่ือการมีคา่ เขา้ ใกล้ 2 ท้ังทางซ้ายและขวา ดงั ตารางต่อไปน้ี

x เข้าใกล้ 2 ทางซา้ ย x เขา้ ใกล้ 2 ทางขวา
x<2 x>2

x < 2 f(x) x > 2 f(x)
1 5.0000 3 13.000
1.5 6.2500 2.5 10.2500
1.9 7.6100 2.45 10.0025
1.99 7.9601 2.20 8.8400
2.001 8.004001
1.999 7.996001

จากตารางพบวา่ ขณะที่ x มคี า่ เข้าใกล้ 2 ทางซ้าย f(x) มีคา่ เข้าใกล้ 8
จะใช้สัญลกั ษณ์ lim f(x) = 8
x 2-
→

ขณะท่ี x มคี ่าเขา้ ใกล้ 2 ทางขวา f(x) มคี ่าเขา้ ใกล้ 8
จะใชส้ ัญลักษณ์ lim f(x) = 8
x 2+
→

นนั่ คอื ลิมติ ของ f(x) เท่ากับ 8 เมอ่ื x มคี ่าเขา้ ใกล้ 2 ซงึ่ จะแทนดว้ ยสัญลักษณ์
lim f(x) = lim x2 + 4 = 8
x 2 x 2
→ →

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบ้ืองต้น สําหรบั นกั เรียนชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสิทธิชัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 9

ตัวอยา่ งท่ี 2 กาํ หนด f(x) = x2 + 1 จงหาคา่ f(x) เมื่อ x มีคา่ เขา้ ใกล้ 4

วิธที ํา หาคา่ f(x) เมอื่ การมีคา่ เขา้ ใกล้ 4 ท้งั ทางซา้ ยและขวา ดังตารางตอ่ ไปน้ี
1.) x เข้าใกล้ 4 ทางซา้ ย x < 4

x < 4 f(x)
3 10
3.5 13.25
3.9 16.21
3.99 16.9201

จากตารางพบวา่ ขณะท่ี x มีคา่ เขา้ ใกล้ 4 ทางซ้าย f(x) มคี ่าเขา้ ใกล้ 17
จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ lim f(x) = 17
x 4-
→

ศึกษาเรียนรู้ตอ่ ได้เลยครบั

2.) x เข้าใกล้ 4 ทางขวา x > 4

x > 4 f(x)
4.50 21.25
4.20 18.64
4.10 17.81
4.01 17.0801

จากตารางพบว่า ขณะที่ x มีคา่ เข้าใกล้ 4 ทางขวา f(x) มคี า่ เข้าใกล้ 17
จะใช้สญั ลักษณ์ lim f(x) = 17
x 4+
→

นนั่ คือ ลิมติ ของ f(x) เท่ากับ 8 เมอ่ื x มีคา่ เข้าใกล้ 2 ซ่งึ จะแทนด้วยสญั ลกั ษณ์
lim f(x) = lim x2 + 1 = 8
x 4 x 4
→ →

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สําหรับนกั เรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ัย ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 10

ตวั อย่างท่ี 3 กาํ หนด f(x) = x + 5 จงหาค่า f(x) เมอื่ x มีค่าเข้าใกล้ 2

วิธที ํา หาค่า f(x) เม่ือการมีค่าเขา้ ใกล้ 2 ทัง้ ทางซ้ายและขวา ดังตารางตอ่ ไปนี้
1.) x เข้าใกล้ 2 ทางซา้ ย x < 2

x 1 1.5 1.7 1.99 1.999
f(x) 6 6.5 6.7 6.99 6.999

จากตารางพบว่า ขณะที่ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ทางซ้าย f(x) มีค่าเขา้ ใกล้ 7
จะใช้สัญลักษณ์ lim f(x) = 7
x 2-
→

มสี ติ สมาธิ เรียนรูอ้ ยา่ งตง้ั ใจ
นะครบั เพ่ือน ๆ

คดิ ไตร่ตรองและรอบคอบนะครบั

2.) x เขา้ ใกล้ 2 ทางขวา x > 2

x 3 2.5 2.3 2.1 2.001
f(x) 8 7.5 7.3 7.1 7.001

จากตารางพบว่า ขณะท่ี x มคี ่าเข้าใกล้ 2 ทางขวา f(x) มีคา่ เข้าใกล้ 7
จะใช้สญั ลกั ษณ์ lim f(x) = 7
x 2+
→

นั่นคอื ลมิ ิตของ f(x) เท่ากับ 7 เมือ่ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ซ่ึงจะแทนด้วยสญั ลักษณ์
lim f(x) = lim x + 5 = 7
x 2 x 2
→ →

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สาํ หรบั นกั เรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 11

มาพิจารณากราฟกัน^^

พจิ ารณากราฟของฟงั ก์ชนั y = f(x) แสดงดังรูป
พิจารณาดูกราฟ
ครับเพ่ือน ๆ

x lim 1+ f(x) = x lim 1+ (-3) ………………………………………………..(1)

→ →

x lim 1- f(x) = x lim 1- (2) …………………………………………………..(2)

→ →

จะเหน็ ว่า (1) ≠ (2)

นัน่ คอื x lim 1+ f(x) ≠ x lim 1- f(x)

→ →

ดังนนั้ x lim 1 f(x) หาค่าลิมิตไมไ่ ด้

→

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบื้องต้น สาํ หรบั นกั เรยี นชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 12

พจิ ารณากราฟของฟงั กช์ ัน y = g(x) แสดงดงั รูป

ความพยายามอยูท่ ่ไี หน
ความสําเรจ็ อยู่ตรงนั้น

สู้ ๆ...

x lim 4+ g(x) = x lim 4+ (x - 6) ………………………………………………..(1)

→ →

= 4–6

= -2

x lim 4- g(x) = x lim 4- (4 - x) ………………………………………………..(2)

→ →

= 4–4

=0

จะเห็นวา่ (1) ≠ (2)

-2 ≠ 0

นนั่ คือ x lim 4+ g(x) ≠ x lim 4- g(x)

→ →

ดงั น้นั x lim 4 g(x) หาค่าลมิ ติ ไม่ได้

→

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบือ้ งต้น สําหรบั นักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 13

พิจารณากราฟของฟังกช์ นั y = h(x) แสดงดังรูป

x lim 3+ h(x) = x lim 3+ (10 - x) ………………………………………………..(1)

→ →

= 10 - 3

=7

x lim 3- h(x) = x lim 3- (2x + 1) ………………………………………………..(2)

→ →

= 2(3) + 1

= 6+1

=7

จะเห็นว่า (1) = (2)

น่ันคอื x lim 3+ h(x) = x lim 3- h(x)

→ → เพอื่ น ๆ ผ่อนคลายสมองกนั
หนอ่ ย แลว้ คอ่ ยฝึกตอ่ ครับ
ดงั น้ัน x lim 3 h(x) = 7
สู้ ๆ...
→

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สําหรบั นกั เรยี นชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสิทธชิ ัย ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 14

ทฤษฎีบทเกย่ี วกบั ลิมิต

ทฤษฎีบทเก่ียวกับลมิ ิตของฟังกช์ ันตอ่ ไปนจ้ี ะไม่แสดงการพิสูจน์แตจ่ ะยกตวั อย่างแสดงการนาํ เอาทฤษฎบี ท
ไปใช้ในการหาลมิ ิตของฟังกช์ ัน ดงั ตอ่ ไปนี้

ทฤษฎีบท

เม่อื a , L และ M เปน็ จาํ นวนจรงิ ใด ๆ ถ้า f และ g เป็นฟังกช์ นั ทีม่ โี ดเมนและเรนจเ์ ป็น
สบั เซตของจาํ นวนจริง โดยที่ xl→ima f(x) = L และxl→ima g(x) = M แลว้

1. xl→ima c = c เม่ือ c เป็นคา่ คงตัวใด ๆ

2. xl→ima x = a

3. xl→ima xn = an , n  I+

4. xl→ima cf(x) = cxl→ima f(x) = cL เมอ่ื c เป็นค่าคงตวั ใด ๆ

5. xl→ima [f(x) + g(x)] = xl→ima f(x) + xl→ima g(x) = L + M

6. xl→ima [f(x) - g(x)] = xl→ima f(x) - xl→ima g(x) = L - M

7. xl→ima [f(x) ∙ g(x)] = xl→ima f(x) ∙ xl→ima g(x) = L ∙ M

8. xl→ima f(x) = x→lima f(x) = L
g(x) x→lima g(x) M

9. xl→ima [f(x)]n = xl→ima [f(x)] n = Ln , n  I+

10. xl→ima n f(x) = n xl→ima f(x) = n L , n  I+ - {1} และ n L  R
พจิ ารณาสงั เกตและจดจาํ ไป
ใช้นะครบั

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สําหรบั นกั เรียนชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 15

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหา xl→im2 2x2 - 3x
x2 - 4x

วธิ ที าํ จากทฤษฎบี ทขอ้ 8

จะได้วา่ xl→im2 2x2 - 3x = x→lim2 2x2 - 3x
x2 - 4x x→lim2 x2 - 4x

= x2→lim2 x2 - 3x→lim2x
x→lim2 x2 - 4x→lim2x

= 2(4) - 3(2) xl→ima f(x) = x→lima f(x) = L
g(x) x→lima g(x) M
4 - 4(2)

= 2 หรอื -21
-4

ดังนน้ั xl→im2 2x2 - 3x = -21
x2 - 4x

ตวั อยา่ งที่ 5 จงหา xl→im4 x3 + 2x - 6 ใช่จา้
วิธีทํา จาก xl→im4 x3 + 2x - 6 เกง่ มากๆ

จะไดว้ า่ xl→im4 x3 + 2x - 6 = xl→im4 x3 + 2xl→im4x - xl→im46
= 43 + 2(4) - 6

= 64 + 8 - 6

= 66 ขอ้ นี้ใช้ทฤษฎบี ทขอ้
ดังน้นั xl→im4 x3 + 2x - 6 = 66 5 -> 6 -> 1 ใช่ไหมๆ

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สาํ หรับนักเรียนชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวฒั น์

ตวั อยา่ งที่ 6 จงหา xl→im3 (x2 + 1)2 + 1)2 2 ห น้ า | 16
วธิ ีทํา xl→im3 (x2 + 1)2 = xl→im3 (x2
ขอ้ นี้ใชท้ ฤษฎีบทขอ้
= (xl→im3x2 + xl→im31)2 2 9 -> 5 -> 1 ^^

= [ 32 + 1 ] 2

= 100
ดงั นนั้ xl→im3 (x2 + 1)2 = 100

ตัวอย่างที่ 7 จงหา x→lim-3 (x2 - x)(2x - 5)
วธิ ีทาํ x→lim-3 (x2 - x)(2x - 5) = x→lim-3 (x2-x) ∙ x→lim-3 (2x-5)

= (x→lim-3 x2 - x→lim-3x ) ∙ (x→lim-3 2x - x→lim-35)
= ((-3)2-(-3))(2x→lim-3x - 5)
= (9 + 3)[2(-3) - 5]
= 12(-11)
= -132
ดงั น้ัน x→lim-3 (x2 - x)(2x - 5) = -132

ไชโย...ศึกษาจบแล้ว
พกั ๆๆๆแลว้ มาลองทําแบบฝึกทกั ษะกนั

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สาํ หรับนักเรยี นชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสิทธิชัย ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 17

แบบฝกึ ทักษะที่ 1.1

คําช้แี จง ให้นกั เรียนหาลิมิตของฟงั ก์ชันทกี่ าํ หนดให้แต่ละข้อตอ่ ไปนแี้ ลว้ เตมิ คําตอบลงในช่องวา่ งใหถ้ ูกตอ้ ง

x2 2.5 2.7 2.9 2.99 2.999
f(x) = x + 2 4 4.5 4.7 4.9 4.99 4.999

x 4 3.5 3.2 3.01 3.001 3.0001
f(x) = x + 2 6 5.5 5.2 5.01 5.001 5.0001

จงหา
ตอบ .....................1....1.).........x..→l.i.m..3..-...f..(..x..)................................
ตอบ .....................1...2..).........x..→.li.m...3.+...f..(..x...)...............................
ตอบ .....................1...3...)........x..→.li.m...3....f..(..x...)...............................

x 4 4.5 4.9 4.99 4.999
f(x) = x2 + 2 18 22.25 26.01 26.901 26.9901

x 6 5.5 5.2 5.01 5.001
f(x) = x2 + 2 38 32.25 29.04 27.100 27.010

จงหา
1.1) x→lim5- f(x)
ตอบ ...................................................................................
ตอบ .....................1...2..).........x..→.li.m...5.+...f..(..x...)...............................
ตอบ .....................1...3...)........x..→.li.m...5....f..(..x..)................................

เกณฑ์การให้คะแนน ตอบถูก ได้ 0.5 คะแนน ตอบผิด 0 คะแนน รวมคะแนนเตม็ 3 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สาํ หรบั นกั เรียนชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ัย ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 18

แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.2

คาํ ชแี้ จง ให้นกั เรยี นหาลิมิตของฟงั ก์ชันที่กําหนดใหแ้ ตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ีแล้วเติมคําตอบลงในชอ่ งวา่ งใหถ้ ูกตอ้ ง

ข้อท่ี 1 xl→im3 2x+4 ข้อท่ี 5 xl→im2 x2 - 4
ตอบ……………………………………… x-2

ตอบ………………………………………

ข้อที่ 2 xl→im2 3x2-2x-10 ขอ้ ที่ 6 xl→im3 3x2 - 10x + 3
ตอบ……………………………………… x -3

ตอบ………………………………………

ขอ้ ที่ 3 xl→im1 4x2 + 2x ขอ้ ที่ 7 xl→im3 25 - x2 + 4
x2 + 1 x+3

ตอบ……………………………………… ตอบ………………………………………

ขอ้ ท่ี 4 xl→im3 (x2 - 3)2
ตอบ………………………………………

ทําไดไ้ หม…. ยาํ้ คดิ
ยาํ้ ทํา เพ่ือความเข้าใจนะ ^^

เกณฑก์ ารให้คะแนน ตอบถูก ได้ 1 คะแนน ตอบผิด 0 คะแนน รวมคะแนนเต็ม 7 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สําหรับนกั เรียนช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธิชยั ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 19

แบบฝึกทักษะท่ี 1.3

คาํ ชี้แจง ให้นกั เรยี นหาคา่ ลิมิตของฟงั กช์ นั ในแตล่ ะข้อต่อไปนีแ้ ลว้ เติมคําตอบลงในช่องว่างใหถ้ ูกตอ้ ง

ข้อที่ 1 คา่ ของ xl→im3 x2+ 3x - 6 ข้อท่ี 2 คา่ ของ x→lim-3 x2 + 5x + 6
ตอบ…………………………………………… x +3

ตอบ……………………………………………

ข้อที่ 3 คา่ ของ xl→im9 3 - x ขอ้ ที่ 4 ค่าของ xl→im0 5x2 + 4x
9 - x x

ตอบ…………………………………………… ตอบ……………………………………………

ข้อที่ 5 คา่ ของ xl→im0 x+3 - 3 ข้อที่ 6 ค่าของ xl→im8 x2 - 64
x x - 8

ตอบ…………………………………………… ตอบ……………………………………………

ข้อท่ี 7 คา่ ของ xl→im4 (x + 3)(x - 6) ขอ้ ท่ี 8 คา่ ของ xl→im2 1 - x2
ตอบ…………………………………………… 8 +x

ตอบ……………………………………………

ขอ้ ที่ 9 คา่ ของ x→lim-1 x2 + 3x + 2 ข้อท่ี 10 คา่ ของ xl→im1 x -1
x2 + 4x + 3 x2 + 3 - 2

ตอบ…………………………………………… ตอบ……………………………………………

ยิง่ คดิ ยิ่งฝกึ
ยง่ิ มีความชาํ นาญครับผม

เกณฑ์การให้คะแนน ตอบถูก ได้ 1 คะแนน ตอบผิด 0 คะแนน รวมคะแนนเต็ม 10 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบื้องต้น สําหรับนกั เรยี นช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ัย ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 20

ใบความรูท้ ี่ 2
เร่อื ง ความตอ่ เน่อื งของฟงั ก์ชนั

ความต่อเน่ืองของฟงั ก์ชันโดยทัว่ ไปเราจะนิยามฟังกช์ ันตอ่ เน่อื ง ดังนี้

บทนยิ าม

ให้ a เปน็ จํานวนจรงิ ใด ๆ ฟงั ก์ชัน f เปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เนอื่ งที่ x = a เม่ือฟังก์ชนั f มีสมบัติ ดงั น้ี
1. f(a) คา่ ได้
2. xl→ima f(x) หาคา่ ได้
และ 3. xl→ifmaขาfด(คxณุ ) ส=มบfัต(ขิ aอ้ )ใดขอ้ หนง่ึ
ถ้าฟังก์ชัน (หรอื หลายขอ้ ) ในสามข้อดังกลา่ วแลว้ จะกลา่ วได้วา่
“ f ไมม่ ีความต่อเน่ืองท่ี a”
การตรวจสอบว่าฟงั ก์ชัน f เป็นฟงั ก์ชนั ตอ่ เนอื่ งหรอื ไม่ตอ่ เนอ่ื งท่ี x = a มี 3 ขน้ั ตอน ดังนี้
ขัน้ ตอนที่ 1 ตรวจสอบ f(a)
f(a) หาคา่ ไมไ่ ด้ สรุปได้เลยวา่ ฟงั ก์ชัน f ไม่ต่อเน่ืองท่ี x = a
f(a) หาค่าได้ ยังสรุปไม่ได้ จะต้องทาํ ขน้ั ตอนท่ี 2 ตอ่
ขั้นตอนท่ี 2 ตรวจสอบ xl→ima f(x)
xl→ima f(x) หาคา่ ไม่ได้ สรุปไดเ้ ลยว่า ฟังก์ชัน f ไมต่ อ่ เนอ่ื งท่ี x = a
xl→ima f(x) หาค่าได้ ยงั สรุปไมไ่ ด้ จะตอ้ งทาํ ขนั้ ตอนท่ี 3 ตอ่
ข้ันตอนท่ี 3 ตรวจสอบ xl→ima f(x) = f(a) หรอื ไม่
ถ้า xl→ima f(x) ≠ f(a) สรุปไดเ้ ลยวา่ ฟงั กช์ ัน f ไมต่ ่อเน่อื งท่ี x = a
ถ้า xl→ima f(x) = f(a) สรปุ ได้เลยวา่ ฟังก์ชัน f ต่อเนือ่ งท่ี x = a
ขอ้ สังเกต
 ถ้าฟังกช์ นั f ตอ่ เนื่องที่ x = a แล้ว f(a) = x→lima- f(x) = x→lima+ f(x)
 ถา้ ฟังก์ชนั f ไมต่ อ่ เน่ืองท่ี x = a แล้ว f(a) ≠ x→lima- f(x) ≠ x→lima+ f(x)

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สําหรบั นักเรียนชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 6
นายสิทธิชัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 21

ตวั อยา่ งที่ 1 จงพจิ ารณาว่า f(x) = x2 + 4 เปน็ ฟังกช์ ันต่อเน่ืองที่ x = 2 หรือไม่

วิธีทํา การท่ี f จะเปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เน่ืองท่ี x = 2 นน้ั f จะตอ้ งมสี มบัตคิ รบ 3 ข้อตามนิยาม
จาก f(x) = x2 + 4
1. f(2) = 22 + 4 = 8
แสดงว่า สามารถหาคา่ f(2) ได้
นน่ั คือ f(2) = 8
2. xl→im2 f(x) = 2xl→2im+2 x2 + 4
= 4
=8
แสดงวา่ xl→im2 f(x) หาค่าได้ ถ้ายังไมเ่ ข้าใจ
น่นั คอื x1l→imแ2ละf(2x)จะ=ได8ว้ ่า ศึกษาอีกรอบแลว้ กัน
จากขอ้
3.
xl→im2 f(x) = f(2)
 ทจ่ี ดุ x = 2 ฟงั กช์ นั f มีลกั ษณะตามสมบตั ทิ ั้ง 3 ขอ้
ตอบ แสดงวา่ f เปน็ ฟงั ก์ชนั ตอ่ เนื่องท่จี ดุ x = 2

ตัวอยา่ งที่ 2 จงพิจารณาวา่ f(x) = x2 - 9 เปน็ ฟงั ก์ชนั ตอ่ เนื่องท่ี x = 3 หรือไม่
x-3

วธิ ที าํ การท่ี f จะเป็นฟังกช์ ันตอ่ เนอ่ื งท่ี x = 3 นัน้ f จะตอ้ งมสี มบตั ิครบ 3 ขอ้ ตามนยิ าม
x2 - 9
จาก f(x) = x-3

1. f(3) = 32 - 9 = 0 ซึง่ ไม่มีความหมาย
3-3 0

แสดงว่า f(3) ไม่สามารถหาคา่ ได้
 ฟังกช์ ัน f ไม่มีลกั ษณะตามสมบตั ิขอ้ ที่ 1
ตอบ แสดงวา่ f ไม่เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเนอ่ื งท่จี ดุ x = 3

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบอื้ งต้น สําหรับนกั เรียนช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสิทธิชัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 22

x2 - 4 ,x ≠ 2 จงพจิ ารณาว่าฟงั ก์ชัน f เปน็ ฟงั กช์ ันต่อเนอ่ื ง
ตัวอยา่ งท่ี 3 กาํ หนดให้ f(x) = 4x - 2 ,x = 2

ที่ x = 2 หรือไม่

วิธีทํา การท่ี f จะเปน็ ฟังกช์ ันต่อเนื่องท่ี x = 2 นนั้ f จะตอ้ งมสี มบตั คิ รบ 3 ข้อตามนิยาม
x2 - 4
จาก f(x) = 4x - 2 ,x ≠ 2
1) f(2) = 4 ,x = 2

แสดงวา่ หาคา่ f(2) ได้ และมีสมบัตติ ามขอ้ 1
นัน่ คือ f(2) = 4
x2 - 4
2) xl→im2 f(x) = xl→im2 x - 2

= xl→im2 (x + 2)(x - 2)
x-2

= xl→im2(x + 2)

= 2+2
=4
แสดงว่าหาค่า f(x) ได้ และมีสมบตั ิตามขอ้ 2
นนั่ คือ xแl→iลmะ2 f(x) = 4
3. จากข้อ 1 2 จะไดว้ ่า
xl→im2 f(x) = f(2)
 ทจี่ ุด x = 2 ฟังกช์ นั f มลี ักษณะตามสมบัตทิ ง้ั 3 ข้อ
ตอบ แสดงวา่ f เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเนื่องทีจ่ ุด x = 2

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สําหรับนักเรยี นชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธิชยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 23

ความต่อเน่อื งของฟงั ก์ชนั บนชว่ ง

โดยท่วั ไป เราจะนยิ ามฟงั กช์ ันต่อเนื่อง ดงั น้ี
บทนยิ าม

ฟังก์ชัน f เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เนอ่ื งบนชว่ ง (a , b)
เม่ือฟังก์ชนั f น้นั ตอ่ เนือ่ งท่ที ุก ๆ จุดบนช่วง (a , b)

บทนยิ าม
ฟังก์ชัน f เปน็ ฟังกช์ ันต่อเนอ่ื งบนชว่ ง [a , b] เม่อื

1. f เปน็ ฟังกช์ ันตอ่ เนื่องบนชว่ ง (a , b)
2. x→lima+ f(x) = f(a)
3. x→lima- f(x) = f(b)
ตวั อยา่ งท่ี 4 จงพิจารณาความตอ่ เนื่องของฟังกช์ นั f(x) = 9 - x2
วิธที ํา จาก f(x) = 9 - x2
สามารถเขียนกราฟได้ดังน้ี

จะพบว่า 1. f เป็นฟงั กช์ ันต่อเนอ่ื งท่ที ุก ๆ จดุ บนช่วง (-3, 3)
2. x→lim3+ f(x) = f(-3) = 0
3. แลxะ→lim33- f(x) = f(3) = 0
จากข้อ 1 , 2 สรุปได้วา่ f เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเน่อื งบนช่วง [-3 , 3]

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบื้องต้น สําหรบั นกั เรียนชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 24

ตัวอยา่ งท่ี 5 ฟงั กช์ นั f(x) = x เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนอื่ งบนช่วง (0 , ) หรอื ไม่
วิธีทาํ จาก f(x) = x
ให้ a  (0, ) อยากเก่งคณิตศาสตร์
จะได้วา่ f(a) = a กต็ ้องขยนั ฝกึ ฝนนะ
xl→ima f(x) = xl→ima x = a
ดงันัน้ xl→iฟmงั aกfช์ (นั x)f=ต่อfเ(นa่อื )งที่ทุก x  (0, ) กันหนอ่ ยครับ

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สาํ หรับนักเรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธิชัย ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 25

แบบฝกึ ทักษะท่ี 2.1

คาํ ชี้แจง : ให้นกั เรียนแต่ละกล่มุ พิจารณาฟงั กช์ นั ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเนอ่ื งท่ีจุดกําหนดใหห้ รอื ไม่
โดยกาเครื่องหมาย  ลงในตารางใหถ้ ูกตอ้ ง

ข้อที่ ฟงั กช์ ันที่กาํ หนดให้ จดุ ท่ี ฟงั ก์ชันต่อเน่ือง ณ จดุ กําหนดให้
กําหนดให้ เปน็ ไมเ่ ป็น

1 f(x) = 3x - 1 x=0

2 f(x) = 3x2 + 5 x = -4

3 f(x) = x2 - 4x + 3 x=4
x-1

4 f(x) = 2x2 - 1 x=3

5 f(x) = x2 - 1 x=1
x3 - 1 x=3

6 g(x) = x2 - 9 ,x ≠ 3
6x - 3 ,x = 3

7 f(x) = 4 - x2 ,x ≠ 1 x=1
2 ,x = 1 x=0

8 f(x) = 1
x

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ตอบถูก ได้ 1 คะแนน ตอบผดิ 0 คะแนน รวมคะแนนเต็ม 8 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สําหรับนกั เรียนชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ัย ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 26

แบบฝึกทกั ษะท่ี 2.2

คําช้ีแจง : ให้นักเรียนแต่ละกล่มุ แสดงวิธที าํ ในแตล่ ะข้อให้ถูกต้องสมบูรณ์
1) กําหนด f(x) = 36 - x2 จงพจิ ารณาวา่ ฟังก์ชนั f ตอ่ เนื่องบนชว่ ง [-6 , 6] หรอื ไม่
วธิ ที าํ …………………………………………………………………………………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………

2) กําหนด f(x) = 49 - x2 จงพจิ ารณาว่าฟังก์ชนั f ต่อเน่ืองบนชว่ ง [-7 , 7] หรือไม่
วิธีทาํ …………………………………………………………………………………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน แสดงวธิ ีทําหาคาํ ตอบถูกทุกขน้ั ตอน ไดข้ ้อละ 2 คะแนน ผดิ บางขน้ั ตอนอยู่ในดุลยพินิจของครู
วธิ ที าํ และขั้นตอนผิด ได้ 0 คะแนน รวมคะแนนเตม็ 4 คะแนน ได้.........................คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สาํ หรบั นักเรียนชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสิทธิชัย ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 27

แบบฝึกทกั ษะที่ 2.3

คําชี้แจง : ให้นกั เรยี นแต่ละคนหาคําตอบใหถ้ ูกตอ้ ง
1…. ……จง.ห…า…คา่ …ขอ…ง…x…→lim…-3…2…x2…x+…+…5x3…-…3……………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………

2. จงหาค่าของ x→lim-3 x3 + 27
x + 3

……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………

3. กาํ หนด f(x) = x2 - x - 6 ,x ≠ 3 ฟงั กช์ ัน f ตอ่ เนือ่ งท่ี x = 3 หรอื ไม่
2x x- -1 3 ,x = 3

……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สาํ หรับนักเรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 28

4. กาํ หนด f(x) = 64 - x2 ฟังกช์ ัน f ต่อเน่อื งบนชว่ ง [-8 , 8] หรอื ไม่
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………

นึก ทบทวนความรู้
คดิ อยา่ งละเอยี ดกอ่ นลงมือปฏบิ ัตินะ

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน แสดงวธิ ีทาํ หาคําตอบถูกทุกขั้นตอน ไดข้ อ้ ละ 2 คะแนน ผดิ บางขั้นตอนอยูใ่ นดลุ ยพินจิ ของครู
วิธที ําและข้นั ตอนผดิ ได้ 0 คะแนน รวมคะแนนเต็ม 8 คะแนน ได้.........................คะแนน
เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สาํ หรบั นักเรยี นช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 29

ใบความรูท้ ่ี 3
เรือ่ ง ความชนั ของเส้นโคง้

ความชนั ของเส้นโค้งและความชันของเสน้ สัมผสั เส้นโค้ง

การหาความชันของเสน้ โคง้ และความชนั ของเส้นสัมผัสเส้นโคง้ สามารถหาได้จากนิยามตอ่ ไปน้ี

บทนยิ าม

ถา้ y = f(x) เปน็ สมการของเส้นโคง้ แลว้
เสน้ สมั ผัสเสน้ โค้งทจ่ี ุด P(x , y) ใด ๆ จะเปน็ เส้นตรงที่ผา่ นจดุ P และ
f(x + h) - f(x)
มีคา่ ความชันเท่ากบั hl→imo h

บทนิยาม
ความชนั ของเสน้ โคง้ ณ จุด P(x , y) ใด ๆ บนเส้นโค้ง

หมายถงึ ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง ณ จดุ P

แคบ่ ทนยิ ามอาจจะงง ๆ
เราไปดูตัวอยา่ งประกอบกันเลย^^

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สําหรับนกั เรยี นชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 30

ตัวอยา่ งท่ี 1 ถ้า f(x) = 5x2 – 6 เปน็ สมการเสน้ โค้ง จงหาความชันของเสน้ โค้งที่จุด (3 , 12)

วธิ ที าํ จาก f(x) = 5x2 – 6
dy f(x + h) - f(x)
จะได้ว่า dx = hl→imo h

= h→limo [5(x + h)2 - 6] - (5x2 - 6)
h

= hl→imo [5(x2+ 2xh + h2) - 6] - (5x2 - 6)
h

= hl→imo [5x2+ 10xh + 5h2 - 6] - (5x2 - 6)
h

= hl→imo 5x2+ 10xh + 5h2 - 6 - 5x2 + 6
h

= h→limo 10xh + 5h2
h

= hl→im0 10x + h

= 10x
ความชันของเส้นโคง้ ณ จดุ (x , y) ใด ๆ = 10x
ตอบ ความชันของเสน้ โค้ง ณ จดุ (3 , 12) = 10(3) = 30

ขยัน ใส่ใจเรยี นรูใ้ ห้มาก ๆ
นะครบั

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สําหรบั นกั เรียนชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธิชยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 31

ตัวอย่างท่ี 2 ให้ f(x) = 3x – x2 จงหาความชนั ของเสน้ สัมผัสเส้นโคง้ ทจ่ี ดุ (4 , 6)

วิธีทํา จาก f(x) = 3x – x2
dy f(x + h) - f(x)
จะไดว้ า่ dx = hl→imo h

= h→limo [3(x + h) - (x + h)2] - (3x - x2)
h

= hl→imo [3x + 3h - (x2 + 2xh + h2)] - (3x - x2)
h

= hl→imo 3x + 3h - x2 - 2xh - h2 - 3x + x2
h

= hl→imo 3h - 2xh - h2
h

= hl→im0 3 - 2x – h

= 3 – 2x

ความชันของเส้นสมั ผัสเส้นโค้ง ณ จุด (x , y) ใด ๆ = 3 – 2x
ตอบ ความชนั ของเส้นสมั ผัสเส้นโคง้ ณ จุด (4 , 6) = 3 – 2(4) = 3 – 8 = – 5

เปน็ อยา่ งไรบา้ ง
เขา้ ใจไหมเอ่ย...

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สาํ หรบั นกั เรียนช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 32

ตวั อยา่ งท่ี 3 ให้ y = x3 เปน็ สมการเส้นโคง้ จงหาความชันของเสน้ โคง้ ท่จี ุด (10 , 20)
วิธีทํา จาก y = x3
นนั่ คอื f(x) = x3
dy f(x + h) - f(x)
จะได้ว่า dx = hl→imo h

= h→limo (x + h)3 - x3
h

= h→limo x3 + 3x2h + 3xh3 + h3 - x3
h

= hl→imo 3x2h + 3xh3 + h3
h

= hl→im0 3x2 + 3xh2 + h2

= 3x2

ความชันของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ณ จุด (x , y) ใด ๆ = 3x2
ตอบ ความชนั ของเสน้ สัมผสั เสน้ โคง้ ณ จุด (10 , 20) = 3(10)2 = 300

การหาความชันของเส้นโค้งและความชันของเส้นสัมผสั เสน้ โคง้
f(x + h) - f(x)
หาได้จาก hl→imo h

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สาํ หรบั นักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธิชัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 33

สมการของเสน้ สมั ผัสเส้นโคง้
สมการของเส้นสมั ผสั เสน้ โคง้ ทจี่ ุด (x , y) ใด คอื y – y1 = m(x – x1)
เม่ือ m คือความชันของเสน้ ตรง ซึง่ สามารถหาสมการของเส้นสัมผสั เสน้ โคง้ ไดด้ งั ตวั อย่างต่อไปน้ี

ตัวอย่างท่ี 4 ถา้ y = x2 – x เปน็ สมการของเสน้ โคง้ จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งทจ่ี ดุ (2 , 2)
วิธีทํา จาก y = x2 – x
น่นั คือ f(x) = x2 – x
dy f(x + h) - f(x)
จะไดว้ ่า dx = hl→imo h

= h→limo [(x + h)2 - x- h] - x2 + x
h

= hl→imo x2 + 2xh + h2 - x - h - x2 + x
h

= hl→imo 2xh + h2 - h
h

= hl→im0 2x + h - 1
= 2x - 1

ความชันของเสน้ สมั ผัสเส้นโค้งทจี่ ุด (2 , 2) = 2(2) – 1 = 3
สมการของเส้นตรงทผ่ี ่านจดุ (x1 , y1) และมีความชันเท่ากับ m คอื y – y1 = m(x – x1)
เนือ่ งจากเส้นสมั ผสั เส้นโค้งท่จี ุด (2 , 2) เป็นเส้นตรงทผ่ี า่ นจุด (2 , 2) และมคี วามชนั เทา่ กับ 3
ดังนั้น สมการของเสน้ สมั ผัสเสน้ โคง้ คือ y – 2 = 3(x – 2)

y – 2 = 3x – 6
ตอบ 3x – y – 4 = 0

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบื้องต้น สําหรบั นกั เรียนช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 34

ตัวอย่างที่ 5 ถ้า y = x – 3x2 เปน็ สมการของเสน้ โค้ง จงหาสมการของเสน้ สัมผสั เส้นโค้งทจ่ี ดุ (3 , -3)
วธิ ีทํา จาก y = x – 3x2
หรอื f(x) = x – 3x2
dy f(x + h) - f(x)
จะไดว้ า่ dx = hl→imo h

= h→limo [x + h - 3(x + h)2] - x + 3x2
h

= hl→imo x + h - 3x2 - 6xh - 3h2 - x + 3x2
h

= h→limo h - 6xh - 3h2
h

= hl→im0 1 - 6x - 3h

= 1 – 6x

ความชนั ของเส้นสมั ผัสเสน้ โค้งทจี่ ุด (3 , -3) = 1 – 6(3) = -17
สมการของเสน้ ตรงทีผ่ ่านจดุ (x1 , y1) และมีความชันเทา่ กบั m คอื y – y1 = m(x – x1)
เน่ืองจาก เสน้ สัมผัสเสน้ โคง้ ท่ีจุด (3 , -3) เป็นเสน้ ตรงท่ีผา่ นจดุ (3 , -3) และมคี วามชัน

เท่ากบั -17
ดงั นัน้ สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง คือ y – (-3) = -17(x – 3)

y + 3 = -17x + 51
ตอบ 17x + y – 48 = 0

ฝกึ บ่อย ๆ
ใชเ้ ยอะ ๆ จะเข้าใจมากขึ้น ^^

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบ้ืองต้น สําหรบั นกั เรียนชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 35

ตัวอย่างท่ี 6 จงหาสมการของเส้นสัมผสั เสน้ โค้ง y = x3 – 2x2 + 4 ทจ่ี ดุ ซง่ึ x = 2
วธิ ีทํา จาก y = x3 – 2x2 + 4

หรือ f(x) = x3 – 2x2 + 4

dy = hl→imo f(x + h) - f(x)
dx h

= hl→imo [(x + h)3 - 2(x + h)2 + 4] - x3 + 2x2 - 4
h

= h→limo x3 + 3x2h + 3xh3 + h3 - 2x2 - 4xh - 2h2 + 4 - x3 + 2x2 - 4
h

= hl→imo 3x2h + 3xh3 + h3 - 4xh - 2h2
h

= hl→im0 3x2 + 3xh2 + h2 - 4x - 2h

= 3x2 – 4x
ความชันของเสน้ โคง้ ณ จดุ (x , y) ใด ๆ = 3x2 – 4x
ความชนั ของเสน้ สมั ผัสเสน้ โค้งทจี่ ุด x = 2 เทา่ กับ 3(22) – 4(2) = 4 เมอ่ื x = 2
จะได้ y = 23 – 2(22) + 4 = 4
 จุดสัมผสั เสน้ โคง้ คอื จุด (2 , 4)

สมการเส้นสมั ผสั เสน้ โคง้ คอื y – 4 = 4(x – 2)
y – 4 = 4x – 8

ตอบ 4x – y – 4 = 0

การหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง มขี นั้ ตอนดังน้ี
หหาาจddุดyxสัมซผง่ึัสเทเส่าน้กโบั คค้งวาคมอื ชจนัดุ ขอ(งxเส,้นโyค)้ง
1.
2.
3. หาสมการของเสน้ สัมผสั เสน้ โค้งจากสูตร y – y1 = m(x – x1)

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สําหรบั นกั เรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสิทธิชยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 36

แบบฝกึ ทักษะที่ 3.1

คําชีแ้ จง : ให้นกั เรยี นเติมคาํ ตอบแตล่ ะขอ้ ลงในชอ่ งวา่ งให้ถูกต้องสมบูรณ์
ขอ้ 1 ให้ f(x) = x2 – 4x เปน็ สมการของเส้นโค้ง จงหาความชันของเส้นโคง้ ทจ่ี ดุ (6 , 3)

ตอบ ........................................................................................

ข้อ 2 ให้ f(x) = 3x – 2x2 เป็นสมการของเสน้ โคง้ จงหาความชนั ของเส้นโคง้ ที่จุด (1 , 3)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 3 ถา้ f(x) = 2x2 – 10 เปน็ สมการของเส้นโค้ง จงหาความชันของเสน้ โค้งทจ่ี ุด (2 , 4)
ตอบ ........................................................................................

ข้อ 4 ถา้ f(x) = 6x2 – 1 เปน็ สมการของเสน้ โค้ง จงหาความชันของเสน้ สัมผสั เสน้ โค้งทีจ่ ดุ (2 , 5)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 5 ให้ f(x) = 4x3 เป็นสมการของเสน้ โค้ง จงหาความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ท่ีจุด (7 , 3)
ตอบ ........................................................................................

ข้อ 6 ให้ y = x2 – x + 5 เปน็ สมการของเสน้ โค้ง จงหาความชนั ของเสน้ โค้งทจ่ี ดุ (5 , 4)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 7 ให้ f(x) = x3 + 2x เป็นสมการของเสน้ โคง้ จงหาความชันของเส้นสัมผสั เส้นโค้งที่จดุ (6 , -8)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 8 ให้ f(x) = x3 – x2 เป็นสมการของเสน้ โคง้ จงหาความชนั ของเส้นโค้งทจ่ี ุด (12 , 8)
ตอบ ........................................................................................

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ตอบถูก ได้ 1 คะแนน ตอบผดิ 0 คะแนน รวมคะแนนเต็ม 8 คะแนน ได้..............คะแนน
เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สาํ หรบั นักเรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ัย ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 37

แบบฝึกทักษะท่ี 3.2

คําชแ้ี จง : ใหน้ ักเรยี นเตมิ คาํ ตอบแต่ละข้อต่อไปน้ีลงในช่องวา่ งใหถ้ ูกตอ้ ง
ขอ้ 1 จงหาสมการของเสน้ สมั ผัสเสน้ โคง้ y = x2 – 2x ท่จี ดุ (-1 , 3)

ตอบ ........................................................................................

ข้อ 2 จงหาสมการของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ y = 4x2 + 2x - 6 ท่จี ดุ (6 , 4)
ตอบ ........................................................................................

ข้อ 3 จงหาสมการของเส้นสัมผสั เส้นโคง้ y = x3 – 2x2 + 4 ท่ีจุด (2 , 4)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 4 จงหาสมการของเสน้ สมั ผัสเส้นโคง้ y = x2 – 2x + 1 ทจี่ ดุ (2 , 1)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 5 จงหาสมการของเส้นตรงทต่ี ั้งฉากกับเส้นสมั ผสั เส้นโค้ง y = 2x + 3 x ทจ่ี ดุ x = 4
ตอบ ........................................................................................

ข้อ 6 จงหาสมการของเสน้ สัมผัสเสน้ โค้ง y = 2x2 – 3x + 1 ทจ่ี ดุ (2, -1)
ตอบ ........................................................................................
พิจารณาใหด้ ีก่อนลงมอื ทํานะ
ครับ

เกณฑ์การให้คะแนน ความชนั และสมการถูกต้อง 2 คะแนน ความชนั ถูก สมการผดิ 1 คะแนน
ความชนั และสมการผิด 0 คะแนน รวมคะแนนเตม็ 12 คะแนน ได้..............คะแนน
เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สําหรับนกั เรยี นช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 38

ใบความรูท้ ี่ 4
เร่ือง การหาอนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั โดยใช้นิยาม

อนุพันธข์ องฟังกช์ นั
อนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั y = f(x) ใด ๆ นิยามได้ดงั นี้

บทนยิ าม

ถา้ y = f(x) เปน็ ฟังก์ชนั ทม่ี โี ดเมนและเรนจ์เป็นสบั เซตของเซตของจาํ นวนจริง

และ hl→imo f(x + h) - f(x) หาคา่ ได้
h

เรยี กค่า ลิมิตทไี่ ด้น้วี ่า “อนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชนั f ท่ี x” เขยี นแทนด้วย f/(x)

จากบทนิยาม จะได้ f/(x) = hl→imo f(x + h) - f(x)
h

การหา f/ เรียกว่าการหาอนุพันธข์ องฟังก์ชนั f ถ้า h→limo f(x + h) - f(x) หาคา่ ไมไ่ ด้
h
dy
เราจะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f ไมม่ ีอนุพันธท์ ่ี x สญั ลักษณท์ ใี่ ชแ้ ทนอนพุ ันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x เช่น dx

(อ่านว่า ดวี ายบายดีเอกซ)์ , เพy/ราะแลddะyxddxคfอื (xอ)นพุ เปันน็ธตข์ อ้นงฟงั ก์ชนั

หมายเหตุ 1. dy x f ที่ x ไมไ่ ด้ หมายถงึ d คูณ y
dx ≠ y
หารดว้ ย d คูณ x
dy
2. dเมxื่อ คอื อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทยี บกบั x ขณะ x มีค่าใด ๆ v คอื ความเร็ว
3. S แทนระยะทางท่วี ตั ถเุ คลื่อนท่ีไดใ้ นเวลา t หรอื S = f(t) ถา้
ขณะเวลา t ใด ๆ
= hl→imo f(t + h) - f(t)
จะได้ v S/ = f/(t) = h =v
ดงั น้ัน ds
dt

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สําหรบั นกั เรียนชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ัย ยุบลวฒั น์

ตัวอยา่ งท่ี 1 กาํ หนด f(x) = 5 – 3x + x2 จงหา f/(x) ห น้ า | 39
วิธที าํ จาก f(x) = 5 – 3x + x2
ตวั อย่างแรก
f(x + h) = 5 – 3(x + h) + (x + h)2 งง ๆ ไหม
= 5 – 3x + 3h + x2 + 2hx + h2
เขา้ ใจมากข้นึ กนั ไหม
f(x + h) – f(x) = - 3h + 2hx + h2 ครับ
= h(h + 2x – 3)

f(x + h) - f(x) = h + 2x – 3
h

hl→imo f(x + h) - f(x) = h→limo(h + 2x – 3)
h

= 2x – 3
ตอบ f/(x) = 2x – 3

ตัวอยา่ งท่ี 2 กาํ หนด f(x) = 2x2 จงหา f/(x)
f(x + h) - f(x)
วิธีทํา f/(x) = hl→imo h

= hl→imo 2(x + h)2 - 2x2
h

= hl→imo 2(x2 + 2xh + h2) - 2x2
h

= hl→imo 2x2 + 4xh + 2h2 - 2x2
h

= hl→imo 4xh + 2h2
h

= h4l→imx o4x + 2h
=
ตอบ f/(x) = 4x

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบื้องต้น สําหรบั นกั เรียนช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสิทธิชยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 40

ตัวอย่างที่ 3 จงหาอนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั f(x) = x3 + 2x2 ณ จุดที่ x = -2
วธิ ที ํา จาก f(x) = x3 + 2x2

f/(x) = hl→imo f(x + h) - f(x)
h

= hl→imo [(x + h)3 + 2(x + h)2] - x3 - 2x2
h

= h→limo x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 2x2 + 4xh + 2h2 - x3 - 2x2
h

= hl→imo 3x2h + 3xh2 + h3 + 4xh + 2h2
h

= h→limo3x2 + 3xh + h2 + 4x + 2h เข้าใจมากข้นึ กนั ไหม
= 3x2 + 4x ครบั
f/(-2) = 3(-2)2 + 4(-2)
= 12 – 8
=4
ตอบ f/(-2) = 4

สรปุ ^^

การหาอนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั มีขน้ั ตอนดังนี้
ข้นั ท่ี 1 แทนคา่ x ด้วย x + h ใน f(x)
ขั้นที่ 2 หา f(x + h) – f(x)
ขั้นที่ 3 หาร f(x + h) – f(x) ด้วย h
f(x + h) - f(x)
ขัน้ ที่ 4 หา hl→imo h

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สาํ หรบั นักเรยี นช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสิทธชิ ยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 41

แบบฝึกทักษะที่ 4.1

คาํ ชีแ้ จง : ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาํ หาอนุพนั ธข์ องฟงั กช์ ันท่กี ําหนดให้ต่อไปนี้
ขอ้ 1 f(x) = 2x2 – x

……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ขอ้ 2 f(x) = 3x2 – 6x + 7
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบื้องต้น สาํ หรับนกั เรียนชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธิชยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 42

ข้อ 3 f(x) = 5x3 – 6x
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ข้อ 4 f(x) = x2 + 2x – 3
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สําหรับนกั เรยี นช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสทิ ธิชยั ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 43

ขอ้ 5 f(x) = x4
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ยิง่ คดิ ยิ่งฝกึ ยิง่ เขา้ ใจ
ใชไ่ หม

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน วิธที ําและคําตอบถูกตอ้ ง 2 คะแนน วธิ ที ําถูกต้อง คําตอบผดิ 1 คะแนน
วธิ ที าํ และคําตอบผิด 0 คะแนน รวมคะแนนเต็ม 10 คะแนน ได้..............คะแนน
เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สําหรับนกั เรียนชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 44

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 4.2

คําช้แี จง : ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทําหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชันท่ีกําหนดให้ตอ่ ไปนี้
ข้อ 1 f(x) = x3 + x + 1 ที่ x = 1

……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ขอ้ 2 f(x) = x2(x + 2) ที่ x = - 2
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ข้อ 3 f(x) = 2x2 – 3x + 2 ที่ x = 2
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สําหรบั นกั เรียนชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 45

ขอ้ 4 f(x) = x2(3x - 2) ท่ี x = - 1
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ข้อ 5 f(x) = 3x2 – 4x - 3 ที่ x = -2
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ขยนั อดทน สู้ สู้
ครับ

เกณฑ์การใหค้ ะแนน หาอนพุ นั ธ์และคาํ ตอบถูกต้อง 2 คะแนน หาอนุพนั ธถ์ ูกต้อง คําตอบผิด 1 คะแนน
หาอนุพนั ธ์และคาํ ตอบผดิ 0 คะแนน รวมคะแนนเตม็ 10 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สาํ หรบั นักเรยี นชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 46

ใบความรู้ที่ 5
เรื่อง อตั ราการเปล่ียนแปลง

อตั ราการเปลีย่ นแปลง
โดยทวั่ ไปอตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลยี่ และอัตราการเปลย่ี นแปลงขณะใด ๆ ของฟังก์ชนั นยิ ามได้ดังน้ี

บทนยิ าม

ถา้ y = f(x) เปน็ ฟังกช์ นั ใด ๆ เมื่อคา่ ของ x เปลยี่ นเป็น x + h โดยที่ h  0
ค่าของ y เปล่ยี นจาก f(x) เป็น f(x + h) แลว้ อัตราการเปล่ยี นแปลงของ y เทยี บกบั x

ในชว่ ง x ถึง x + h คือ f(x + h) – f(x)
h

อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกบั x ขณะ x มีคา่ ใด ๆ คือ h→limo f(x + h) – f(x)
h

ตัวอยา่ งที่ 1 ให้ y = x2 + 1 จงหา
1. อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของ y เม่ือเทยี บกับ x ในชว่ ง x = 3 ถึง x = 5
2. จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงของ y เทียบกบั x ขณะที่ x = 3

วิธที ํา 1) จาก y = f(x) = x2 + 1 และอตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลย่ี ของ y เทยี บกับ x ในช่วง x
ดถงั งึนั้นxอตั+ราhกาครเือปลf่ยี (นxแ+ปลงhเhฉ)ล–ยี่ ขอfง(xy) เทยี บกับ x ในช่วง x = 3 ถึง x = 5
ตคอือบf(อ5ตั 5)รา––กา3รfเ(ป3ล)ย่ี น=แปล(ง5เฉ2ลี่ย+ขอ1ง) – (32 + 1) 26 – 10
y2 เม่อื เทยี บกบั = ในช่ว2ง x = 8 x = 5 คอื 8
x =3 ถึง

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สาํ หรบั นักเรยี นช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสิทธชิ ัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 47

2) อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกบั x ขณะ x มีคา่ ใด ๆ คอื h→limo f(x + h) – f(x)
จาก f(x) = x2 + 1 h

hl→imo f(x + h) – f(x) = hl→imo [(x + h)2 + 1] – (x2 + 1)
h h

= h→limo x2 + 2xh + h2 + 1 – x2 – 1
h

= h→limo 2xh + h2
h

= h→limo2x + h

= 2x
ตอบ อัตราการเปลย่ี นแปลงขณะท่ี x = 3 คอื 2(3) = 6

ตวั อย่างท่ี 2
กําหนดสมการการเคล่อื นที่ S = 4.9t2 เมื่อ S เป็นระยะทางของการเคลื่อนทมี่ หี นว่ ย

เป็นเมตร และเวลา t วินาที จงหาอัตราการเปลีย่ นแปลงเฉลี่ยของ S เทยี บกับ t
เมอื่ t เปลยี่ นจาก 4 เปน็ 4.5

วธิ ที าํ อัตราการเปล่ยี นแปลงเฉลย่ี ของ S เทยี บกบั t = 4.9(t + h)2 – 4.9t2
= 4.9t2+9.8hth + 4.9h2 – 4.9t2
= 9.8th + 4.9h2 h

h

เมื่อ t = 4 , h = 4.5 – 4 = 0.5 = 9.8t + 4.9h

ดงั นั้น อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลี่ย = 9.8(4) + 4.9(0.5) = 39.2 + 24.5 = 41.65
ตอบ อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลยี่ ของ S เทยี บกับ t เมอื่ t เปลย่ี นจาก 4 เป็น 4.5
เทา่ กบั 41.65 เมตรต่อวินาที

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบอื้ งต้น สาํ หรับนกั เรยี นชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธิชัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 48

สรุป^^

การหาอัตราการเปล่ียนแปลงของ y เทยี บกบั x ขณะ x มคี ่าใด ๆ มีข้นั ตอนดังนี้
ขั้นที่ 1 หา f(x)
ขน้ั ท่ี 2 หา f(x + h)
ขน้ั ท่ี 3 หา f(x + h) – f(x)
f(x + h) – f(x)
ขน้ั ที่ 4 หา
ขน้ั ท่ี 5 หา hl→imo f(xh + h) – f(x)
h

ตวั อย่างที่ 3
จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลย่ี ของพืน้ ที่รูปสเ่ี หล่ียมจตั ุรสั เทียบกับความยาวของดา้ นเมือ่ ความยาวของดา้ น

เปล่ยี นจาก 7 นิว้ ไปเปน็ 9 นิ้ว และจงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงของพื้นทรี่ ูปส่เี หลย่ี มจัตรุ ัส
เทยี บกบั ความยาวของดา้ น ขณะท่ีดา้ นมคี วามยาว 7 นิ้ว

วิธที ํา ให้พ้ืนที่ส่ีเหลีย่ มจัตุรัส เท่ากับ A ตารางนวิ้
ให้ความยาวของแต่ละดา้ นของสเ่ี หล่ยี มจตั รุ ัส เท่ากบั x นวิ้
เนอ่ื งจากพ้นื ท่สี ี่เหลีย่ มจัตรุ สั = ด้าน x ด้าน = ด้าน2
สมการความสมั พนั ธ์ระหว่างพน้ื ท่ีสี่เหลย่ี มจตั รุ สั กบั ความยาวของแตล่ ะดา้ น คือ A = x2 หรือ
f(x) = x2 หรือ y = x2
จากโจทย์จะได้วา่ x= 7
x+h = 9
h = 9–7 = 2
f(x + h) – f(x) f(9) – f(7)
h = 92 –9 7–2 7
81 –2 49
= 16 2
=

=

ดงั น้ัน อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ยี ของพน้ื ที่ส่ีเหลี่ยมจัตรุ ัสเทยี บกบั ดา้ นเมื่อความยาวของด้านเปล่ยี น
จาก 7 นิ้ว เป็น 9 นว้ิ เทา่ กับ 16 ตารางนิว้ /นิว้

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบื้องต้น สําหรับนกั เรียนช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสิทธชิ ยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 49

จ(ึงหแาทกนจคะห่าาอxัตร=าก7ารแเปลละยี่ hนแ=ปล2งเฉกลจ็่ยี ะจไาดกค้ าํ fต(อxบเ+ปน็ hh)16–เชf่น(กxัน))แลว้ เปลีย่ นรูปไปถึง 2x + h
จาก f(x) = x2 และ f(x+h) = (x+h)2
f(x + h) – f(x) (x + h)2 – x2
จะได้ hl→imo h = hl→imo h

= h→limo x2 + 2xh + h2 – x2
h

= hl→imo 2xh + h2
h

= h2→lximo2x + h
=
เม่ือ x = 7 จะไดอ้ ัตราการเปลย่ี นแปลงของพ้ืนท่เี ทยี บกบั ความยาวด้านเป็น
2(7) = 14 ตารางนิ้ว/นว้ิ
ดงั น้นั อัตราการเปลี่ยนแปลงของพนื้ ทรี่ ูปส่เี หลย่ี มจัตรุ ัสเทียบกับความยาวของด้าน ขณะทดี่ ้านมี
ความยาว 7 นวิ้ เท่ากบั 14 ตารางนวิ้ /นิว้

... อย่าลมื จดบันทกึ ชว่ ยจํา …
เพ่ือยํ้าความคดิ นะครบั

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบือ้ งต้น สําหรับนักเรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสิทธิชัย ยบุ ลวฒั น์