เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น

ห น้ า | 50

ตวั อยา่ งที่ 4
จงหาอัตราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของพน้ื ท่รี ูปส่ีเหลี่ยมจตั รุ สั เทยี บกับความยาวของดา้ น
เมอื่ ความยาวดา้ นของสเ่ี หลย่ี มจตั รุ ัสเปลี่ยนจาก x นว้ิ ไปเปน็ x + h นวิ้ และจงหาอัตราการเปลย่ี นแปลง
ของรูปพน้ื ท่ีสเี่ หลย่ี มจตั ุรสั เทยี บกับความยาวด้าน ขณะท่ีด้านยาว x นว้ิ และ 4 น้ิว

วิธที าํ อัตราการเปล่ียนแปลงเฉลยี่ = f(x + h) – f(x)
จากพ้ืนทีร่ ูปส่เี หลยี่ มจัตุรัส = (ดา้ น)2 h

ให้ x แทนความยาวด้าน
y = f(x) แทนพื้นทีส่ ่เี หลยี่ มจัตรุ สั
จะได้ f(x) = (x)2
(x + h)2 – x2
และอัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลี่ย = h

= x2 + 2xh + h2 – x2
h

= 2xh + h2
h

= 2x + h
ดงั นน้ั อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ียของพืน้ ทีส่ ี่เหล่ยี มจัตรุ สั เทยี บกบั ความยาวด้านเม่ือความยาวดา้ น
เปลีย่ นจาก x เป็น x + h คอื 2x + h ตารางน้วิ /น้ิว
f(x + h) – f(x)
จากอัตราการเปลยี่ นแปลงขณะใด ๆ = hl→imo h

= h→limo2x + h

= 2x
ดังนัน้ ขณะท่ดี า้ นยาว 4 นว้ิ จะได้อตั ราการเปลีย่ นแปลง = 2 (4) = 8 ตารางนว้ิ /น้วิ

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สําหรบั นกั เรียนช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธิชยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 51

ตัวอย่างที่ 5
จงหาอตั ราการเปลีย่ นแปลงเฉลย่ี ของปรมิ าตรทรงกลมเทียบกบั รัศมี เมอื่ รัศมี เปลย่ี นจาก r ไปเปน็ r + h

และอัตราการเปล่ียนแปลงขณะรศั มยี าว r เซนตเิ มตร

วธิ ที าํ จากสูตรปริมาตรทรงกลม = 4 πr3
3
4 πr3
จะได้ f(x) = 3

f(x) แทนปรมิ าตรทรงกลม
อhอ→lตตััimรราาoกกfาา(รรrเเปป+ลลีี่ย่ยhhนน)แแปป–ลลงงfเเฉฉฎลลี่ย่ียข==ณ======ะ4hรl→πiศัm43433444rมf2oπππππยี(4r((rrrาπ223rrวh3r++++2r+++h44hเh)3ππซ4h)43rπrนrhπ–2h2rต-hrhhิเh+fม2++34(ต++πr334ร)4hrrπ34π334hคhπrh2อืπhh2+h23h2เl→+iซhm3น34o)ตπfเิ–มh(r3ต34ร–π+2r/334hhเπ)ซrน–3ตเิ fมฎตร
ดังนัน้ อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลีย่ ขณะรัศมยี าว r เซนตเิ มตร 4πr2 ตารางเซนติเมตร/เซนตเิ มตร

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบื้องต้น สําหรบั นกั เรยี นชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสิทธิชัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 52

แบบฝึกทกั ษะท่ี 5.1

คาํ ชแี้ จง : ใหน้ กั เรยี นเตมิ คาํ ตอบแต่ละขอ้ ลงในชอ่ งว่างต่อไปนีใ้ หถ้ ูกต้อง
ขอ้ 1 ให้ f(x) = 2x2 – 2x + 7 จงหาอตั ราการเปล่ยี นแปลงเฉลี่ยของ y เทยี บกับ x

1.1 เม่ือ x เปลี่ยนจาก 3 ไปเป็น 6
1.2 เมื่อ x เปลีย่ นจาก 4 ไปเป็น 8
1.3 เมื่อ x เปลี่ยนจาก 5 ไปเปน็ 10
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สําหรับนักเรยี นชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 53

ขอ้ 2 ให้ f(x) = x3 – x2 + 1 จงหาอัตราการเปลย่ี นแปลงขณะ x = 5
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
ขอ้ 3 จงหาอัตราการเปลีย่ นแปลงโดยเฉลย่ี ของปรมิ าตรของทรงกลม เมื่อเทียบกบั รัศมตี ้ังแต่รัศมเี ทา่ กับ 2 น้ิว
ถงึ รศั มีเทา่ กบั 7 น้ิว
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………………………………………………………..………………………………………………..

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สาํ หรับนกั เรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสิทธชิ ยั ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 54

ขอ้ 4 ให้ f(x) = 3x2 – 4x จงหาอัตราการเปล่ียนแปลงขณะ x = 4
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
ขอ้ 5 ให้ f(x) = 3(x2 + 4x -1) จงหาอตั ราการเปล่ยี นแปลงขณะ x = -2
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..

เดี๋ยวคอยดูว่าเรา
จะทาํ ถูกไหม^^

เกณฑ์การใหค้ ะแนน วิธีทาํ และคําตอบถูกต้อง 2 คะแนน วิธที ําถูกตอ้ ง คาํ ตอบผิด 1 คะแนน
วิธีทาํ และคําตอบผดิ 0 คะแนน รวมคะแนนเต็ม 10 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สําหรับนกั เรยี นชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 6
นายสิทธชิ ัย ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 55

แบบฝึกทักษะท่ี 5.2

คาํ ชี้แจง : ใหน้ ักเรยี นเติมคาํ ตอบแต่ละขอ้ ใหถ้ ูกตอ้ ง
1. ให้ y = x จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทยี บกับ x เม่อื x เปลย่ี นจาก 4

ไปเป็น 9 และอตั ราการเปลีย่ นแปลงขณะ x = 4
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………
2. ถ้าความยาวของด้านของรูปสามเหล่ยี มดา้ นเทา่ รูปหนึง่ เปลี่ยนจาก 4.0 เซนตเิ มตร เปน็

5.0 เซนติเมตร จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉล่ยี ของพน้ื ที่รูปสามเหล่ียมนี้เทยี บกบั ความยาวของดา้ น
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………
3. ความยาวดา้ นของรูปสเี่ หลยี่ มจัตรุ สั รูปหนึ่งเปลี่ยนจาก 10 เซนตเิ มตร เป็น 12 เซนตเิ มตร จงหา
3.1 อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลี่ยของพืน้ ท่รี ูปสเี่ หลย่ี มจตั ุรัสเทยี บกับความยาวของดา้ น
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………
3.2 อัตราการเปลย่ี นแปลงของพื้นท่รี ูปสี่เหลีย่ มจตั ุรสั เทียบกบั ความยาวของด้านขณะท่ีดา้ นยาว

10 เซนตเิ มตร
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………
4. ให้ y = 2x2 – 3 จงหาอัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี ของ y เทียบกบั x เมื่อ x เปลย่ี นจาก
3 ไปเปน็ 5 และ อตั ราการเปล่ียนแปลงขณะ x = 3
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………
5. ให้ y = 3x2 + 5x - 2 จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x
เม่อื x เปลีย่ นจาก 1 ไปเปน็ 3 และอตั ราการเปลยี่ นแปลงขณะ x = 4
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………

เกณฑก์ ารให้คะแนน คําตอบถูกตอ้ งครบสมบูรณข์ ้อละ 2 คะแนน คําตอบถูกต้องบางส่วนข้อละ 1 คะแนน
คาํ ตอบผิด 0 คะแนน รวมคะแนนเต็ม 10 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สําหรบั นักเรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธิชัย ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 56

ใบความรู้ที่ 6
เร่อื ง การหาอนพุ นั ธโ์ ดยใชส้ ูตร

การหาอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ันโดยใชส้ ูตร
การหาอนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชนั โดยใช้สูตร ในเอกสารชดุ นี้มสี ูตร ดังน้ี

สูตรท่ี 1

ถ้า y = c เม่อื c เปน็ คา่ คงตัว แลว้ dy = 0
dx
dc
นั่นคอื dx = 0

พิสูจน์ จาก f(x) = 0
dy f(x + h) - f(x)
จะได้ dx = hl→im0 h

= hl→im0 c - c
h

dc = h0l→im00
dx =

ดังนน้ั = 0

เราไปดูตวั อย่างกันเถอะ

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สําหรับนักเรยี นช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสิทธชิ ยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 57

ตวั อยา่ งท่ี 1 กาํ หนดให้ y = -8 จงหา dy ตัวอยา่ งที่ 2 กําหนดให้ y = 81 จงหา dy
dx dx
dy d(-8) dy d(81)
วิธีทาํ dx = dx = 0 วธิ ีทํา dx = dx = 0

ดงั น้ัน d(-8) = 0 ดงั นั้น d(81) = 0
dx dx

สูตรที่ 2 dy
dx
ถา้ y = x เมื่อ c เป็นค่าคงตัว แล้ว = 1

นนั่ คือ dx = 1
dx

พิสูจน์ ให้ f(x) = x
dy f(x + h) - f(x)
จะได้ dx = hl→im0 h

= hl→im0 x + h - x
h

dx = h1l→im01
dx =

ดงั นนั้ = 1

ddxxเท=ยี บ1กบั หมxายทถ่ีงึ อนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชัน y
x ใด ๆ เท่ากับ 1

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สําหรับนกั เรียนชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธิชยั ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 58

สูตรที่ 3

ถ้า y = xn เมอื่ n เป็นจาํ นวนจรงิ แลว้ dy = nxn - 1
dx
dxn
นนั่ คอื dx = nxn - 1

ตัวอยา่ งท่ี 3 กําหนดให้ f(x) = x6 จงหาค่าของ f/(x)
dx6
วิธที ํา f/(x) = dx งา่ ย ๆ แบบนี้ ถา้ ยิ่งอ่านเยอะ ๆ

= 6x6 - 1 จะยงิ่ เขา้ ใจมากขึน้ ไปอกี

= 6x5
ตอบ f/(x) = 6x5

ตัวอยา่ งที่ 4 กําหนดให้ y = 1 จงหา dy
= x4 dx
1
วิธีทาํ จาก y = x4

จดั รูปใหม่ได้ y x-4 dx-4
dy dx
ดงั นัน้ dx =

= -4x-4 - 1

= -4x-5 ถา้ เปน็ แบบนี้
จัดรูปแล้วจะงา่ ยข้ึนนะ
= -x45

ตอบ dy = -x45
dx

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สําหรับนกั เรยี นชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 59

ตัวอยา่ งท่ี 5 กาํ หนดให้ y = 4 x จงหา dy
วธิ ที าํ จาก y= 4x = dx
1
1
x4

นนั่ คือ dy = dx4
dx dx

= 1 x41-1 n x = 1
4
xn
1 x-34 จําได้ไหมครบั
= 4

= 1
44 3
dy 1
ตอบ dx = 44 3

สูตรที่ 4

ถา้ y = f(x) + g(x) แลว้ dy = df(x) + dg(x)
dx dx dx
จากสูตรท่ี 4 จะได้วา่ อนุพนั ธข์ องผลบวกของฟังก์ชนั เทา่ กบั ผลบวกของอนพุ นั ธ์

ตัวอยา่ งที่ 6 กําหนดให้ y = x6 + 7 จงหา dy
วิธีทํา จาก y = x6 + 7 dx

จะได้ dy = dx6 + d(7)
dx dx dx
= 6x6 - 1 + 0
= 6x5
dy
ตอบ dx = 6x5

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สําหรบั นักเรยี นชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสิทธชิ ัย ยุบลวฒั น์

ตัวอยา่ งท่ี 7 กาํ หนดให้ y = x4 + x2 จงหา dy ห น้ า | 60
dx
วธิ ีทํา จาก y = x4 + x2 ต้ังใจฝึกฝน
dy dx4 dx2 จะไดเ้ กง่ ๆครับผม
จะได้ dx = dx + dx

= 4x4 - 1 + 2x2 – 1

dy = 4x3 + 2x
dx
ตอบ = 4x3 + 2x

สูตรที่ 5

ถ้า 5yจะ=ไดfว้ (า่ x)อน-ุพันgธ(ข์xอ)งผแลลล้วบขddอyxงฟ=งั กช์ dันfdเ(xทx่า)กบั-ผลdลgdบ(xขxอ)งอนพุ ันธ์
จากสูตรท่ี

ตวั อยา่ งท่ี 8 กําหนดให้ f(x) = x3 - x2 จงหา f/(x)
วิธีทํา จาก y = x3 - x2
dy dx3 dx2
ผ่านมา 5 สูตร จะได้ dx = dx - dx
แล้วนะครบั จําได้ไหมเอย่
= 3x3 - 1 - 2x2 –
1

dy = 3x2 - 2x
dx
ตอบ = 3x2 - 2x

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบื้องต้น สาํ หรบั นักเรียนชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธิชัย ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 61

ตัวอยา่ งที่ 9 กาํ หนดให้ y = x5 - x3 - x2 จงหา dy
dx
วิธที าํ จาก y = x5 - x3 - x2
dy dx5 dx3 dx2
จะได้ dx = dx - dx - dx เด็กยุคใหมต่ อ้ งเรยี นรู้
อย่างสร้างสรรค์
= 5x5 - 1 - 3x3 - 1 - 2x2 – 1

= 5x4 - 3x2 - 2x

ตอบ dy = 5x4 - 3x2 - 2x
dx
สูตรที่ 6

ถ้า y = cf(x) เม่อื c เป็นค่าคงตัว แลว้ dy = c df(x)
dx dx

ตัวอยา่ งท่ี 10 กาํ หนดให้ y = 5x2 - 3x จงหา dy และ f/(2)
dx
วิธีทาํ จาก y = 5x2 - 3x
dy d(5x2 - 3x)
จะได้ dx = dx

= 5ddxx2 – 3ddxx

= 5(2x) – 3(1) f/(2) กค็ ือ แทนค่า

dy = 10x – 3 x = 2 ใน dy
dx dx
จาก = 10x – 3

จะได้ f/(2) = 10(2) – 3
= 17
dy
ตอบ dx = 10x – 3 และ f/(2) = 17

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สําหรับนักเรียนชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสิทธิชยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 62

สูตรที่ 7

ถา้ y = f(x) ∙ g(x) แลว้ dy = f(x) dg(x) + g(x) df(x)
dx dx dx

จากสูตรที่ 7 อาจเขียนได้ว่า dy = f(x) g/(x) + g(x) f/(x)
dx

ตวั อยา่ งที่ 11 กําหนดให้ y = (x2 - 2x + 3)(2x + 5) จงหา dy
dx

วธิ ีทาํ จาก y = (x2 - 2x + 3)(2x + 5)

จะได้ dy = d [(x2 - 2x + 3)(2x + 5)]
dx dx
d (2x + 5) d (x2 - 2x + 3)
= (x2 - 2x + 3) dx + (2x + 5) dx

= (x2 - 2x + 3)(2 + 0) + (2x + 5)(2x - 2)

= (2x2 - 4x + 6) + (4x2 + 6x - 10)

= 2x2 - 4x + 6 + 4x2 + 6x – 10

dy = 6x2 + 2x - 4
dx
ตอบ = 6x2 + 2x - 4

สูตรที่ 8

ถ้า y = f(x) โดยท่ี g(x)  0 แล้ว dy = g(x) df(x) - f(x) dg(x)
g(x) dx dx dx
[g(x)]2

จากสูตรท่ี 8 คงเขยี นได้วา่ dy = g(x) f'(x) - f(x) g’(x)
dx [g(x)]2

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สาํ หรับนกั เรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 63

ตัวอยา่ งท่ี 12 กาํ หนดให้ y = 3x - 1 จงหา dy
3x + 1 dx

วิธีทาํ จาก y = 3x - 1
3x + 1

จะได้ dy = d 3x - 1
dx dx 3x + 1

(3x + 1) d (3x - 1) - (3x - 1) d (3x + 1)
dx dx
= (3x + 1)2

= (3x + 1)(3 - 0) - (3x - 1)(3 + 0)
(3x + 1)2

= 9x + 3 - 9x + 3
(3x + 1)2

= 6
(3x + 1)2

ตอบ dy = (3x 6 1)2
dx +

ถา้ เหนื่อย
กห็ ยุดพกั กอ่ นนะครับ

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สาํ หรบั นักเรยี นชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสิทธชิ ัย ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 64

ตัวอย่างที่ 13 fใ(หx้)f(=x)x2=3-x2x72x+3-x+4272x+ + 2 จงหา f/(x)
วิธที าํ จาก 4

จะได้ dy = d x2 - 7x + 2
dx dx 3x2 + 4

(3x2 + 4) d (x2 - 7x + 2) - (x2 - 7x + 2) d (3x2 + 4)
dx dx
= (3x2 + 4)2

= (3x2 + 4)(2x - 7) - (x2 - 7x + 2)(6x)
(3x2 + 4)2

= (24x3 - 21x2 + 32x - 28) - (24x3 - 42x2 + 12x)
(3x2 + 4)2

= 24x3 - 21x2 + 32x - 28 - 24x3 + 42x2 - 12x
(3x2 + 4)2

= 21x2 + 20x - 28
(3x2 + 4)2

ตอบ dy = 21x2 + 20x - 28
dx (3x2 + 4)2

พอเข้าใจกันบา้ งไหมครับ

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สาํ หรบั นกั เรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสิทธชิ ัย ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 65

โจทยป์ ัญหาเกี่ยวกับการใชส้ ูตรการหาอนุพนั ธ์

ตวั อย่างที่ 14 จงหาจดุ บนเส้นโค้ง y = x3 – 12x เมื่อเสน้ สัมผสั ท่จี ุดเหล่านน้ั ขนานกบั แกน x

วธิ ีทํา จาก y = x3 – 12x

จะได้ dy = d (x3- 12x)
dx dx

= 3x2 – 12
นน่ั คือ เส้นสัมผสั เส้นโคง้ ณ จุด (x , y) ใด ๆ จะมีความชันเท่ากับ 3x2 – 12
แต่เสน้ สัมผัสเส้นโค้งทข่ี นานกับแกน x กค็ ือเส้นตรงที่มคี วามชันเป็นศูนย์
 3x2 – 12 = 0
x2 – 4 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0
กรณที ่ี 1 x – 2 = 0 กรณที ี่ 2 x + 2 = 0
x = 2 x = -2
 จะได้ x = 2 หรอื x = - 2
เมื่อ x = 2
จะได้ y = (2)3 – 12(2)
= -16
x = -2
จะได้ y = (-2)3 – 12(-2)
= 16
ตอบ จุดบนเส้นโค้งทีเ่ ส้นสัมผสั ทจี่ ดุ น้นั ขนานกบั แกน x คอื จดุ (-2 , 16) และ (2 , -16)

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สําหรับนกั เรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสิทธชิ ัย ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 66

ตัวอย่างท่ี 15 จงหาจุดบตน้ังเฉสา้นกโคก้งับเyสน้ =ตรง32 x2 + 4x + 1 ทท่ี ําให้เสน้ สัมผสั ท่จี ดุ ดงั กลา่ ว
x – 2y + 4=0

วธิ ีทํา ให้ P(m , n) เป็นจุดท่ตี อ้ งการหา
แจจเจนาะะตไไ่ือกเ่ ดดงสจ้ว้y้นาา่ddสกxy=มัจnดุผ=32=สั Pซx332ึ่ง2ตอxmยั้ง+ฉูบ่+2า4นก+xเ4กส+บัน้4ซเmโสึ่งค1คน้้ง+ือตคyร1วงา=ม…xช32…นั–ข…xอ22…งyเ+ส…น้ +…4สx…ัม4ผ+…สั =…1ที่จ…0ดุ
 , y) ใด ๆ
(x

ซง่ึ มีความชันเท่ากบั 1
2
 เส้นสัมผสั จะมีความชันเทา่ กบั -2
 3x + 4 = -2
3x = -6
x = -2
นน่ั คือ จะได้ m = -2 นําไปแทนคา่ ใน 
3
จะได้ n = 2 (-2)2 + 4(-2) + 1

=6–8+1
= -1
ตอบ จดุ P ท่ีตอ้ งการ คือ (-2 , -1)

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบือ้ งต้น สําหรบั นักเรียนชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสิทธิชยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 67

แบบฝกึ ทักษะท่ี 6.1

คาํ ชแ้ี จง : ให้นักเรียนเตมิ คําตอบแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนีล้ งในตารางใหถ้ ูกตอ้ ง

ข้อท่ี คาํ ถาม dy คาํ ตอบ
dx
1 ถ้า y = -10 แล้ว จงหา

2 ถ้า f(x) = 20 แลว้ จงหา f/(x)

3 ถา้ f(x) = 43 แลว้ จงหา f/(x)

4 ถ้า y = 25 แล้ว dy มีคา่ เท่าใด
dx
dy
5 ถ้า y = x4 แล้ว จงหา dx

6 ถ้า y = 3 x แลว้ จงหา dy
dx

7 2

ถา้ f(x) = x3 แลว้ จงหา f/(x)

8 4

ถ้า f(x) = x3 แล้ว จงหา f/(x)

คดิ ให้ดี กอ่ นตัดสินใจตอบ
นะครบั

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คาํ ตอบถูกตอ้ ง 0.5 คะแนน คําตอบผิด 0 คะแนน
รวมคะแนนเตม็ 4 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น สําหรบั นกั เรยี นชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสิทธชิ ยั ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 68

แบบฝึกทกั ษะที่ 6.2

คาํ ชีแ้ จง : ใหน้ กั เรยี นเติมคาํ ตอบแตล่ ะข้อลงในตารางตอ่ ไปนี้ใหถ้ ูกตอ้ ง

ข้อที่ คาํ ถาม คาํ ตอบ
dy
1 ถ้า y = x3 + 25 จงหา dx

2 ถ้า y = x5 + x4 + x + 2 แล้ว จงหา dy
dx

3 ถา้ f(x) = x6 - x3 - 10 แล้ว จงหา f/(x)

4 ถา้ f(x) = x5 + x4 - x3 + 5 แล้ว จงหา f/(x)

5 ถ้า y = 3x4 แล้ว จงหา dy
dx
dy
6 ถา้ y = 6x5 + 2x + 12 แล้ว จงหา dx

7 ถ้า f(x) = 7x4 - 8x3 + 5x2 - 10x + 2 แลว้
จงหา f/(x)

8 ถา้ f(x) = 2x6 - 3x5 + 4x - 3 แล้ว จงหา
f/(x)

นกึ ไม่ออกกก็ ลบั ไปศึกษา
เอกสารประกอบการสอน

นะครับ

เกณฑก์ ารให้คะแนน คาํ ตอบถูกต้อง 0.5 คะแนน คําตอบผิด 0 คะแนน
รวมคะแนนเตม็ 4 คะแนน ได้..............คะแนน
เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สําหรับนกั เรียนชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 6
นายสิทธิชัย ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 69

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 6.3

คาํ ชี้แจง : ให้นักเรียนเตมิ คําตอบแตล่ ะขอ้ ลงในตารางต่อไปน้ีใหถ้ ูกต้อง

ข้อท่ี คาํ ถาม dy คาํ ตอบ
dx
1 กําหนดให้ y = (2x + 1)(x + 3) จงหา

2 กาํ หนดให้ y = (x2 + 2x + 3)(3x + 2) จงหา dy
dx

3 กาํ หนดให้ f(x) = (x + 2)(x + 4) จงหา f/(x)

4 กาํ หนดให้ f(x) = (3x2 + 1)(x + 2) จงหา f/(x)

5 กําหนดให้ y = x + 1 จงหา dy
x - 2 dx
1 + 4x dy
6 กาํ หนดให้ y = 1 - 4x จงหา dx

7 กําหนดให้ y = 2x2 + 3x - 1 จงหา dy
x-2 dx
2x2 + 4x - 1
8 กําหนดให้ f(x) = x+3 จงหา f/(x)

ยงิ่ ฝกึ ฝน ย่งิ มีความ
ชาํ นาญนะครับ

เกณฑก์ ารให้คะแนน คําตอบถูกต้อง 1 คะแนน คาํ ตอบผิด 0 คะแนน
รวมคะแนนเตม็ 8 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สําหรบั นกั เรยี นชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 70

แบบฝกึ ทักษะท่ี 6.4

คาํ ชแี้ จง : ให้นักเรยี นเตมิ คําตอบแตล่ ะข้อลงในตารางต่อไปนี้ใหถ้ ูกตอ้ ง

ขอ้ ที่ คําถาม คําตอบ

1 จงหาสมการของเส้นสัมผัสและเส้นตรงท่ีตัง้ ฉากกบั เสน้ สัมผสั
เสน้ โคง้ y = x2 + x – 1 ทจ่ี ดุ x = 1

2 จงหาสมการของเสน้ สัมผัสและเสน้ ตรงที่ตัง้ ฉากกับเสน้ สมั ผสั
เส้นโค้ง y = x3 – 2x2 + 3 ท่จี ดุ x = 2

3 จงหาสมการของเสน้ สัมผัสเส้นโคง้ y = x ที่จุด x = 4

4 จงหาจุดบนเส้นโค้ง y = x3 – 3x ท่ีเสน้ สัมผัสเส้นโคง้
ท่จี ดุ นั้นขนานกับแกน X

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คําตอบถูกตอ้ ง 1 คะแนน คาํ ตอบผิด 0 คะแนน
รวมคะแนนเต็ม 4 คะแนน ได้..............คะแนน
เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สําหรับนกั เรียนชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธิชัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 71

ใบความรู้ท่ี 7
เร่อื ง อนุพันธ์ของฟังก์ชนั ประกอบ

ตัวอยา่ ง 1 กาํ หนดให้ f(x) = x2 + 2x – 1 และ g(x) = x3 + 3 จงหา
1.1 (gof)(2)
1.2 (fog)(3)
1.3 (fog)(–2)

1.1 (gof)(2) 1.2 (fog)(3)
จะได้ f(2) = 22 + 2(2) – 1 จะได้ g(3) = 33 + 3

=7 = 30
g(7) = 73 + 3 f(30) = 302 + 2(30) – 1

= 346 = 959
ตอบ (gof)(2) = 346 ตอบ (fog)(3) = 959

1.3 (fog)(-2)
จะได้ g(-2) = (– 2)3 + 3

= –5
f(-5) = (–5)2 + 2(–5) – 1

= 14
ตอบ (fog)(–2) = 14

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบอื้ งต้น สาํ หรบั นักเรยี นช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธิชัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 72

ตัวอยา่ ง 2 ให้ y = (x2 + 1)5 จงหา dy
dx

วิธีทํา ให้ u = x2 + 1
นน่ั คอื y = (x2 + 1)5 = u5
ใชก้ ฎลูกโซ่
dy dy du
จะได้ dx = dduu5 ∙
du ∙ dx
= d x2 +1

= 5u4(2x) du

= 5(x2 + 1)4(2x)
= 10x(x2 + 1)4
dy
ตอบ dx = 10x(x2 + 1)4

สรุป

จากการหาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั ในตัวอย่าง สามารถหาอนพุ ันธโ์ ดยใช้สูตรดงั นี้
ให้ y = un
dy du
จะได้ว่า dx = nun – 1 dx

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สาํ หรับนกั เรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ัย ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 73

แบบฝกึ ทักษะที่ 7.1

คาํ ชีแ้ จง : ใหน้ ักเรียนเติมคําตอบลงในชอ่ งวา่ งแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนใี้ ห้ถูกต้อง

1. กาํ หนดให้ f(x) = 2x + 5 และ g(x) = 2x – 3 จงหา
1.1 (gof)(1) = ……………………………………..
1.2 (fog)(5) = …………………………………….

2. กาํ หนดให้ f(x) = 2 X และ g(x) = 3  X จงหา
2.1 (gof)(2) = ……………………………………..
2.2 (fog)(-3) = ……………………………………

คดิ ใหร้ อบคอบ
กอ่ นตอบนะคะ

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คาํ ตอบถูกต้อง 1 คะแนน คาํ ตอบผิด 0 คะแนน
รวมคะแนนเต็ม 4 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบอื้ งต้น สําหรับนกั เรียนชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธิชยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 74

แบบฝึกทักษะท่ี 7.2

คาํ ชี้แจง : ใหน้ กั เรยี นเตมิ คาํ ตอบลงในชอ่ งว่างแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ใี หถ้ ูกตอ้ งสมบูรณ์

1. ให้ y = 1 - 3x2 จงหา dy
dx

วิธีทํา ให้ u = 1 – 3x2

 y = 1 - 3x2 1

= (11 – 3x2 )2

จากกฎลูกโซ่ = u2

จะได้ dy ==……dd…uy …∙…dd…ux…………………………………………………………………..
dx

=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
ตอบ …………………………………………………………………………………..

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบือ้ งต้น สาํ หรบั นักเรียนชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสิทธิชยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 75

2. ให้ f(x) = (3x – 1)4 จงหา f/(x)

วธิ ที ํา ให้ u = …………………
 y = (3x – 1)4 = u4
จากกฎลูกโซ่
dy ==……dd…uy …∙…dd…ux…………………………………………………………………..
จะได้ dx

=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
ตอบ …………………………………………………………………………………..

3. ให้ y = 3 1 -1 จงหา dy
2x2 dx

วิธที าํ ให้ u = 2x2 – 1
 y = …………………………..
จากกฎลูกโซ่
dy ==……dd…uy …∙…dd…ux…………………………………………………………………..
จะได้ dx

=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
ตอบ …………………………………………………………………………………..

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบื้องต้น สําหรับนกั เรยี นชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ัย ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 76

4. ให้ y = (x3 + 2x2 + 1)7 จงหา dy
dx

วิธที ํา ให้ u = ……………………………………….
 y = ………………………………………..
จากกฎลูกโซ่
dy ==……dd…uy …∙…dd…ux…………………………………………………………………..
จะได้ dx

=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..
ตอบ …………………………………………………………………………………..

พยายามเข้าไว้ครบั
เดี๋ยวก็เสรจ็ แลว้
อยา่ ลมื ทอ่ งไว้
ความพยายามอยู่ทีไ่ หน
ความสําเรจ็ อยู่ที่น่ัน

เกณฑ์การใหค้ ะแนน วิธีทําและคําตอบถูกตอ้ ง 2 คะแนน วธิ ที ําถูกต้อง คําตอบผิด 1 คะแนน
วิธที าํ และคาํ ตอบผดิ 0 คะแนน รวมคะแนนเตม็ 8 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สาํ หรับนักเรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 77

แบบฝึกทกั ษะที่ 7.3

คาํ ชีแ้ จง : ให้นักเรียนหาคาํ ตอบแต่ละขอ้ ใหถ้ ูกตอ้ ง

ขอ้ 1 ให้ y = (2x + 3)5 จงหา dy
dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

ข้อ 2 ให้ y = (1 – 3x)3 จงหา dy
dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบื้องต้น สาํ หรับนกั เรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสิทธิชยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 78

ข้อ 3 ให้ y = (3 – 4x2)4 จงหา dy
dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอ้ 4 ให้ y = (2 – 3x + 4x2)3 จงหา dy
dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สําหรับนักเรยี นชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสิทธิชยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 79

ขอ้ 5 ให้ y = (x3 – 2x)4 จงหา dy
dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

ข้อ 6 ให้ y = 1 - 2x จงหา dy
dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบื้องต้น สาํ หรบั นักเรยี นช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 80

ข้อ 7 ให้ y = (1 – 5x)6 จงหา dy
dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอ้ 8 ให้ y = 2x + 1 3 จงหา dy
1 - 2x dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน วิธที าํ และคําตอบถูกตอ้ ง 1 คะแนน วิธีทาํ ถูกตอ้ ง คําตอบผดิ 0.5 คะแนน
วธิ ที าํ และคําตอบผดิ 0 คะแนน รวมคะแนนเตม็ 8 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบื้องต้น สําหรับนกั เรยี นชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสิทธิชัย ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 81

ใบความรู้ที่ 8
เร่ือง อนุพันธ์อันดบั สูง

อนุพนั ธอ์ ันดับสูง
ถา้ ให้ f(x) = x5 + 2x4 + 3x3 – 2x + 3
จะได้ f/(x) = 5x4 + 8x3 + 9x2 – 2
เราเรยี ก f/(x) วา่ อนพุ ันธอ์ นั ดับหน่ึงของ f(x)

ถ้าเรานํา f/(x) มาหาอนุพันธต์ อ่ อีกหนึ่งคร้งั
เราเรยี กอนุพันธ์ใหม่ท่ีได้วา่ เปน็ อนุพันธ์อนั ดบั สองของ f(x)

น่ันคอื f//(x) = 20x3 + 24x2 + 18x

ในทาํ นองเดียวกนั ถ้านํา f//(x) มาหาอนุพนั ธต์ อ่ ไปเร่ือย ๆ เราก็จะได้อนพุ นั ธอ์ ันดบั สาม อนั ดบั สี่
ต่อไปเร่ือย ๆ และเพ่ือสรุปเป็นหมวดหมู่ เรานิยมใชส้ ัญลักษณต์ ่อไปน้ีแทนอนพุ นั ธอ์ ันดับต่าง ๆ ดังน้ี
...ffff(///n//()(/(x(xx)x)))====yyy/y(//n=/)//==dd=yxddddx2nxydd2ynx3y3
แทน อนพุ นั ธ์อันดบั หน่ึง
แทน อนพุ ันธ์อนั ดับสอง
แทน อนพุ ันธ์อนั ดับสาม

แทน อนุพันธอ์ นั ดบั n

พอเขา้ ใจไหมครบั

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สาํ หรบั นกั เรยี นชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสิทธิชยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 82

ตวั อย่างท่ี 1 ให้ f(x) = 3x3 + 6x2 + 2x – 10 จงหา f///(x)

วธิ ีทาํ จาก f(x) = 3x3 + 6x2 + 2x – 10 ขยันอ่าน ขยันคิด
 f/(x) = 9x2 + 12x + 2 ขยนั ฝึก เดี๋ยวกเ็ กง่
f//(x) = 18x + 12 คณติ ศาสตร์ครบั

f///(x) = 18

ตอบ f///(x) = 18

ตัวอย่างที่ 2 ให้ y = 3x5 + 4x2 + 8x + 2 จงหา d4y
dx4

วิธที ํา จาก y = 3x5 + 4x2 + 8x + 2

dy = 15x4 + 8x + 8
dx 60x3 + 8
180x2
d2y = 360x
dx2 360x
มสี ติ คดิ อย่างรอบคอบ
d3y = แล้วปัญญาจะเกิด
dx3

d4y =
dx4

ตอบ d4y =
dx4

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สาํ หรับนกั เรยี นชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธิชยั ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 83

การนําอนพุ นั ธอ์ นั ดบั สูงไปใช้แกโ้ จทยป์ ัญหา

ตวั อยา่ งท่ี 3 เมอ่ื เวลา t วนิ าที วัตถุเคลอื่ นท่ไี ดร้ ะยะทาง S = 4t3 + 2t – 3 เมตร จงหา
1) ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ
2) ความเรง่ ขณะเวลา t ใด ๆ
3) ความเรง่ ขณะเวลา t = 2 วนิ าที

วธิ ที ํา 1) ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ
จาก S = 4t3 + 2t – 3
dS
จะได้ v = dt = 12t2 + 2 เมตร/วินาที

 ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ เทา่ กับ 12t2 + 2 เมตร/วินาที

2) ความเร่งขณะเวลา t ใด ๆ
จาก v = 12t2 + 2
dv
จะได้ a = dt = 24t เมตร/วินาที 2

 ความเรง่ ขณะเวลา t ใด ๆ เทา่ กับ 24t เมตร/วนิ าที 2

3) ความเร่งขณะเวลา t = 2 วินาที
จาก 2) จะได้ความเร่งขณะเวลา t = 2 วินาที เทา่ กบั 24(2) = 48 เมตร/วนิ าที 2

ตอบ ความเรว็ ขณะเวลา t ใด ๆ เท่ากบั 12t2 + 2 เมตร/วินาที
ความเร่งขณะเวลา t ใด ๆ เท่ากับ 24t เมตร/วินาที 2
ความเร่งขณะเวลา t = 2 วนิ าที เท่ากบั 24(2) = 48 เมตร/วินาที 2

ถูกทกุ ขอ้ ไหมครับ
สู้ต่อไปขอเป็นกาํ ลงั ใจให้

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบ้ืองต้น สาํ หรบั นักเรียนชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ัย ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 84

ตวั อย่างท่ี 4 กาํ หนดให้ f(x) = x3 – 2x2 + x – 5 จงหาอตั ราการเปลีย่ นแปลงของความชนั ขณะที่
x=2

วิธีทาํ จาก f(x) = x3 – 2x2 + x – 5
f/(x) = 3x2 – 4x + 1
f//(x) = 6x – 4

ให้ x = 2
จะได้ f//(2) = 6(2) – 4

=8
ตอบ อัตราการเปลย่ี นแปลงของความชันของเสน้ สมั ผัสของกราฟที่ x = 2 เทา่ กับ 8

สรปุ

ความเร่ง (a) ของวัตถขุ ณะเวลา t ใด ๆ คอื
อัตราการเปลี่ยนแปลงของความเรว็ (v) เทยี บกับเวลา t ใด ๆ
ถ้าวัตถุเคล่ือนทีต่ ามสมการเคลือ่ นทค่ี อื S = f(t)
เม่อื S คอื ระยะทางท่ีวตั ถุเคลือ่ นท่ีไดใ้ นเวลา t
dv dS
จะได้ a = dt และ v = dd2tS
= dt2
 a = d dS
dt dt
นน่ั คอื ความเร่งขณะเวลา t ใด ๆ ก็คอื อนุพันธอ์ ันดบั ที่ 2 ของ S = f(t)

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบื้องต้น สาํ หรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
นายสิทธชิ ัย ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 85

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 8.1

คาํ ช้แี จง : ใหน้ ักเรยี นแสดงวิธที าํ หาคาํ ตอบใหถ้ ูกตอ้ ง

ข้อ 1 ให้ y = 5 + 4x3 - 5x + 7 จงหา d3y
dx3
x2

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
d3y
ข้อ 2 ให้ y = 3 x - 5x6 + 8 จงหา dx3

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบื้องต้น สําหรับนกั เรยี นชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 86

ข้อ 3 ให้ f(x) = 5x4 + 2x3 – x + 2 จงหา f////(x)
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

ข้อ 4 ให้ f(x) = 2x5 – 3x4 + x – 2 จงหา f5(x)
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

ขอ้ 5 ให้ f(x) = 6 + 3x + 8x3 – 2x5 จงหา f///(x)
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบือ้ งต้น สาํ หรับนักเรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ัย ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 87

ขอ้ 6 ให้ f(x) = 4x3 – 3x2 + 7 จงหา f//(1)
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

เกณฑ์การให้คะแนน วธิ ที าํ และคําตอบถูกต้อง 2 คะแนน วธิ ที ําถูกต้อง คาํ ตอบผดิ 1 คะแนน
วิธที าํ และคําตอบผิด 0 คะแนน รวมคะแนนเต็ม 12 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบื้องต้น สาํ หรบั นักเรยี นชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสิทธิชยั ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 88

แบบฝกึ ทักษะท่ี 8.2

คําชีแ้ จง : ให้นักเรียนแสดงวิธที ําหาคําตอบแต่ละข้อต่อไปนใ้ี ห้ถูกต้อง

ข้อ 1
วตั ถุชน้ิ หน่งึ เคลื่อนท่ไี ดท้ าง S = 2t2 – 5t – 3 ในเวลา t วนิ าที

จงหาความเรว็ และความเร่งขณะ t = 4
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

ข้อ 2
โยนลูกบอลลูกหนงึ่ ขนึ้ ไปในอากาศ มสี มการของการเคล่ือนท่ี คือ S(t) = 88t – 2t2

จงหาความเรว็ ในขณะท่ลี ูกบอลถูกโยนไปได้ 10 วนิ าที
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สําหรับนักเรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสิทธชิ ัย ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 89

ขอ้ 3
ปลอ่ ยวตั ถุจากท่สี ูงลงสูพ่ ้นื ดินวตั ถเุ คลือ่ นทไ่ี ด้ระยะทาง S = 16t2 เมตร ในเวลา t วนิ าที

จงหา 3.1 ความเร็วขณะเวลา t = 2 วนิ าที
3.2 ความเร่งขณะเวลา t = 5 วนิ าที

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

ข้อ 4
โยนวัตถขุ ึน้ ไปในอากาศ วตั ถเุ คลือ่ นที่ไดร้ ะยะทาง S = 128t – 16t2 เมตร ในเวลา t วินาที

จงหาความเรง่ ของวตั ถุ ขณะเวลา t = 2 วนิ าที
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

เกณฑ์การให้คะแนน วธิ ที ําและคาํ ตอบถูกต้อง 2 คะแนน วธิ ที าํ ถูกตอ้ ง คําตอบผิด 1 คะแนน
วิธที าํ และคําตอบผิด 0 คะแนน รวมคะแนนเตม็ 8 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สาํ หรบั นกั เรยี นชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 90

ใบความรูท้ ่ี 9
เรอ่ื ง การประยกุ ตข์ องอนุพันธ์

ฟงั กช์ ันเพม่ิ และฟังกช์ ันลด
โดยทั่วไปฟงั ก์ชนั ใด ๆ จะเปน็ ฟงั ก์ชนั เพิม่ หรือฟังกช์ นั ลด จะต้องมลี ักษณะดังทฤษฎบี ทตอ่ ไปนี้

ทฤษฎบี ท
ให้ฟังกช์ นั f เป็นฟังก์ชันตอ่ เน่ืองบนช่วงปดิ [a , b] และสามารถหาอนพุ ันธข์ อง f ไดท้ ุก ๆ จดุ

ในช่วงเปดิ (a , b)
1) ถ้า f/(x) > 0 สําหรับทุก ๆ x บนช่วง (a , b) แล้ว f จะเป็นฟงั กช์ นั เพิม่ บนช่วง (a , b)
2) ถา้ f/(x) < 0 สาํ หรบั ทุก ๆ x บนชว่ ง (a , b) แล้ว f จะเปน็ ฟังก์ชันลดบนช่วง (a , b)

ตัวอยา่ งท่ี 1 ให้ f(x) =ช่วง31ทท่ีxาํ3ให-้ 1 x2 – 2x จงหา
1. f2 เปน็ ฟงั ก์ชนั ลด
2. ช่วงท่ที าํ ให้ f เปน็ ฟังกช์ นั เพม่ิ

วิธที ํา จาก f(x) เป=น็ ฟ31 ังxก3ช์ ัน-พห21นุ xา2ม – 2x
เนื่องจาก f
ดงั นนั้ f มคี วามตอ่ เน่อื งทกุ ค่าของ x ท่เี ป็นจํานวนจรงิ
จาก f(x) ทีโ่ จทย์กาํ หนด จะได้ f/(x) = x2 – x – 2
1) เนอื่ งจากค่า x ท่จี ะทําให้ f เป็นฟงั ก์ชนั ลดคอื คา่ x ที่ทาํ ให้ f/(x) เปน็ จาํ นวนลบ
น่ันคือ f/(x) < 0
x2 – x – 2 < 0
(x – 2)(x + 1) < 0

+- +

-1 2
กราฟชว่ งทท่ี ําให้ f/(x) < 0 คือ (-1 , 2)
ตอบ ช่วงท่ที าํ ให้ f เป็นฟังกช์ ันลด คือ (-1 , 2)

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สาํ หรับนกั เรยี นชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 91

2) เน่ืองจากค่า x ทีจ่ ะทําให้ f เปน็ ฟังกช์ นั เพม่ิ คอื ค่า x ท่ีทาํ ให้ f/(x) เป็นจาํ นวนบวก
น่ันคือ f/(x) > 0
x2 – x – 2 > 0
(x – 2)(x + 1) > 0

+ -+

-1 2
จากกราฟช่วงท่ที ําให้ f/(x) > 0 คอื (- , –1)  (2 , )
ตอบ ชว่ งทีท่ าํ ให้ f เป็นฟงั ก์ชนั เพ่มิ คือ (- , –1)  (2 , )

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาชว่ งท่ที ําใหฟ้ ังกช์ นั f(x) = x3 – 3x + 2 เปน็ ฟังก์ชนั ลด

วธิ ีทํา จาก f(x) = x3 – 3x + 2 คอ่ ย ๆ เรยี นรู้
 f/(x) = 3x2 – 3 เด๋ียวจะเข้าใจมากขน้ึ เอง ^^
พิจารณาค่า x ที่ทําให้ f/(x) < 0
3x2 – 3 < 0
3(x2 – 1) < 0
x2 – 1 < 0
(x + 1)(x – 1) < 0

+ -+

-1 1
จากกราฟ จะพบวา่ ชว่ งท่ีทําให้ 3x2 – 3 < 0 คอื (-1 , 1)
ตอบ ชว่ งที่ทําให้ f เปน็ ฟังก์ชนั ลด คอื (-1 , 1)

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สําหรบั นักเรียนช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 92

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาค่าสูงสุดสมั พทั ธแ์ ละค่าต่าํ สุดสมั พัทธ์ของฟงั กช์ ัน f
เมือ่ กําหนดให้ f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7

วิธีทาํ จาก f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7 เข้าใจไหมคะ??
จะได้ f/(x) = 6x2 + 6x – 12
ให้ 6x2 + 6x + 2 = 0
6(x2 + x – 2) = 0
6(x + 2)(x – 1) = 0
 x = -2 , 1
ถ้า x < -2 จะได้ f/(x) > 0
ถา้ x > -2 จะได้ f/(x) < 0
 f มคี ่าสูงสดุ สัมพทั ธ์ที่ x = -2 และมคี ่าเทา่ กบั 13
ถา้ x < 1 จะได้ f/(x) < 0
ถ้า x > 1 จะได้ f/(x) > 0
 f มีคา่ ตํา่ สดุ สมั พทั ธ์ที่ x = 1 และมีค่าเท่ากบั -14

นอกจากนเ้ี ราสามารถใชอ้ นุพันธอ์ นั ดบั ที่ 2 ชว่ ยในการหาคา่ สูงสุดสมั พัทธ์และค่าตา่ํ สดุ สมั พทั ธ์
ดังทฤษฎบี ทต่อไปน้ี

ทฤษฎีบท
กําหนดให้ f เป็นฟงั ก์ชนั ตอ่ เนอื่ งบนช่วง S ใด ๆ และ c เปน็ ค่าวิกฤตของ f ซึ่ง f/(c) = 0

1. ถา้ f//(c) > 0 แลว้ f(c) เปน็ คา่ ตาํ่ สุดสมั พทั ธ์
2. ถา้ f//(c) < 0 แล้ว f(c) เปน็ ค่าสูงสุดสมั พทั ธ์

อาจจะยัง งง ๆ
ง้นั ไปดูตวั อย่างกัน

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สาํ หรบั นกั เรียนช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสิทธชิ ัย ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 93

ตวั อย่างที่ 4 จงหาคา่ สูงสดุ สัมพัทธห์ รอื คา่ ตํา่ สุดสัมพทั ธข์ อง f(x) = x3 – 3x
วิธีทํา จาก f(x) = x3 – 3x
จะได้ f/(x) = 3x2 – 3
ให้ f/(x) = 0
 3x2 – 3 = 0
3(x2 – 1) = 0
3(x + 1)(x – 1) = 0
 x = 1 , -1
จาก f/(x) = 3x2 – 3
f//(x) = 6x เขา้ ใจแลว้ ๆคะ่ ^^

f//(1) = 6
f//(-1) = -6
 f มีคา่ สูงสุดสัมพทั ธ์ท่ี x = -1 และมคี ่าเทา่ กบั 2 และ
f มคี า่ ตํา่ สดุ สมั พัทธท์ ี่ x = 1 และมีค่าเท่ากบั -2

สรุป

วิธีการหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และคา่ ตาํ่ สุดสมั พทั ธ์ มขี ้ันตอนดงั น้ี
จากฟงั ก์ชัน y = f(x) ท่โี จทยก์ ําหนดให้

1. หา f/(x)
2. ให้ f/(x) = 0 #หาคา่ x ท่ที ําใหส้ มการนั้นเปน็ จริงซ่งึ คา่ x ท่ไี ด้เรยี กวา่ คา่ วิกฤต
3. นาํ คา่ วิกฤตไปตรวจสอบ ซ่งึ มีวธิ ตี รวจสอบ 2 วธิ ี คือ

3.1 ตรวจสอบโดยพจิ ารณาจากความชนั ของเส้นสมั ผสั
- ถ้าความชนั เปลยี่ นจากบวกไปเป็นลบ จะใหค้ า่ สูงสุดสัมพัทธ์
- ถ้าความชนั เปลีย่ นจากลบไปเป็นบวก จะให้คา่ ตา่ํ สุดสมั พทั ธ์

3.2 ตรวจสอบโดยใช้อนพุ ันธ์อนั ดับที่ 2 ดงั นี้
- ถ้า f//(x) > 0 จะใหค้ า่ ต่าํ สุดสัมพัทธ์
- ถา้ f//(x) < 0 จะให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์
- ถา้ f//(x) = 0 แสดงวา่ ตรวจสอบวิธีนีไ้ ม่ได้ ตอ้ งตรวจสอบโดยวิธีตรวจสอบ
จากความชันของเสน้ สมั ผสั

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สําหรบั นกั เรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 94

ค่าสูงสดุ สมั บูรณแ์ ละคา่ ตํา่ สดุ สัมบูรณ์
คา่ สูงสุดสมั บูรณ์และคา่ ตา่ํ สุดสัมบูรณ์ของฟังกช์ ัน นยิ ามได้ดังนี้

บทนิยาม
ฟงั กช์ ัน f มคี า่ สูงสุดสมั บูรณ์ท่ี x = c ถา้ f(c) > f(x) สาํ หรับทกุ x ในโดเมนของ f ที่ x  c
ฟงั ก์ชัน f มีคา่ ตาํ่ สุดสัมบูรณ์ที่ x = c ถ้า f(c) < f(x) สําหรบั ทกุ x ในโดเมนของ f ที่ x  c

ตวั อยา่ งท่ี 5 ให้ f(x) = x3 + x2 - 8x - 1 เปน็ ฟังก์ชันบนชว่ งปดิ [-4 , 2] จงหาคา่ สูงสุดสมั บูรณ์
และค่าตา่ํ สดุ สมั บูรณ์ของฟังก์ชนั
วิธที าํ ขน้ั ที่ 1 หาค่าวิกฤตของฟงั กช์ ัน
จาก f(x) = x3 + x2 - 8x - 1
จะได้ f/(x) = 3x2 + 2x - 8
ให้ f./(x) = 0
 3x2 + 2x – 8 =0
(3x - 4)(x + 2) = 0
4
x = 3 , -2

คา่ วกิ ฤต คอื x = 4 และ x = -2
3
4 = 43 4 2 4 3
 f 3 = (--2239279)3 + 3 - 8 3 - 1
= + (-2)2 - 1
f(-2) = 11 - 8(-2)

ขั้นที่ 2 เน่ืองจากจดุ ปลายของช่วงเปดิ [-4 , 2] คือ x = -4 และ x = 2
 f(-4) = (-4)3 + (-4)2 - 8(-4) – 1 = -17
f(2) = 23 + 22 - 8(2) – 1 = -5
4
ข้ันที่ 3 นําคา่ ของ f 3 , f(-2) , f(-4) และ f(2) มาเปรยี บเทยี บกัน

จะได้ f(-2) = 11 มีคา่ มากทสี่ ุด
และ f(-4) = -17 มีค่านอ้ ยทีส่ ดุ
ตอบ ค่าสูงสุดสมั บูรณ์ จะมคี า่ เทา่ กับ 11 และ ค่าต่าํ สดุ สัมบูรณ์ จะมคี ่าเทา่ กับ -17

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สาํ หรบั นกั เรียนช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสิทธชิ ัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 95

ตวั อย่างที่ 6 ให้ f(x) = - x2 + 4x + 5 เป็นฟังกช์ ันบนช่วง [0 , 5] จงหาคา่ สูงสุดสมั บูรณห์ รือ
คา่ ต่าํ สุดสมั บูรณ์

วธิ ที ํา จาก f(x) = - x2 + 4x + 5
จะพบว่า ฟังกช์ ัน f ตอ่ เนอ่ื งบนชว่ งปิด [0 , 5]
จะได้ f/(x) = -2x + 4
 -2x + 4 = 0
x =2
จะพบว่า x = 2 เปน็ คา่ วกิ ฤตเพยี งค่าเดยี วบนชว่ ง [0 , 5] จงึ สามารถตรวจสอบคา่ วิกฤตว่า
จะทําให้เกิดค่าสูงสุดสมั บูรณ์หรอื ค่าตํา่ สดุ สัมบูรณห์ รือไม่ โดยใชอ้ นพุ ันธ์อนั ดับสอง
f//(x) = -2
เอา x = 2 ไปแทน
จะได้ f//(2) = -2 < 0
แสดงว่า x = 2 เปน็ คา่ วิกฤตทีท่ าํ ให้เกิดค่าสูงสดุ สัมบูรณ์
 f(2) = -(2)2 + 4(2) + 5 = 9
ตอบ คา่ สูงสดุ สมั บูรณ์ เทา่ กับ 9

ข้อสังเกตุ!!!

1. ค่าสูงสดุ สัมบูรณ์ไม่จาํ เปน็ ต้องเปน็ ค่าสูงสดุ สมั พัทธ์ อาจจะเปน็ คา่ ของฟังก์ชนั ท่ีจดุ ปลายของโดเมน
ของฟังก์ชนั กไ็ ด้

2. ค่าตาํ่ สุดสัมบูรณ์ไมจ่ าํ เป็นตอ้ งเปน็ คา่ ตํา่ สุดสมั พทั ธ์ อาจจะเปน็ คา่ ของฟงั ก์ชนั ที่จุดปลายโดเมนของ
ฟังกช์ นั กไ็ ด้

สรปุ

วธิ ีการหาคา่ สูงสุดสมั บูรณแ์ ละค่าตํา่ สดุ สมั บูรณ์
กําหนดให้ y = f(x) เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนอื่ งบนชว่ ง [a , b]
1) หาค่าสูงสดุ สัมพัทธ์ ค่าต่ําสุดสมั พัทธ์
2) หาคา่ f(a) และ f(b)
3) นําค่าท่ไี ดจ้ ากขอ้ 1 และ 2 มาเปรยี บเทียบกัน คา่ มากทสี่ ดุ คอื คา่ สูงสดุ สมั บูรณ์
คา่ ทน่ี อ้ ยที่สดุ คอื ค่าตาํ่ สดุ สัมบูรณ์

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สาํ หรบั นกั เรียนชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสิทธชิ ยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 96

แบบฝึกทักษะท่ี 9.1

คาํ ชแี้ จง : จงหาช่วงทท่ี ําให้ f เปน็ ฟังกช์ นั เพม่ิ และช่วงท่ที ําให้ f เปน็ ฟังก์ชนั ลด จากฟงั กช์ ันท่กี ําหนดให้
แล้วเตมิ คาํ ตอบลงในช่องวา่ ง

ข้อ 1 f(x) = x2 – 4x + 8
ตอบ เป็นฟังก์ชันเพ่มิ ...................................................

เป็นฟังก์ชนั ลด .......................................................

ตอบ ขอ้ 2 f(x) = 31..x..3....–.....x..2....–.....3..x.....+.....3...............
เป็นฟงั กช์ ันเพ่มิ
เปน็ ฟังกช์ นั ลด .......................................................

ขอ้ 3 f(x) = 2 + 2x – x2
ตอบ เปน็ ฟังกช์ ันเพิ่ม ...................................................

เป็นฟังกช์ นั ลด .......................................................

ขอ้ 4 f(x) = 3x4 – 20x3 + 36x2
ตอบ เป็นฟังกช์ ันเพิ่ม ...................................................

เป็นฟงั กช์ นั ลด .......................................................

ขอ้ 5 f(x) = x3 + 3x – 4
ตอบ เปน็ ฟังก์ชันเพิ่ม ...................................................

เป็นฟังก์ชนั ลด .......................................................

เกณฑ์การให้คะแนน คําตอบถูกต้อง 0.5 คะแนน คาํ ตอบผิด 0 คะแนน
รวมคะแนนเตม็ 5 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สําหรบั นักเรยี นชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสิทธิชยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 97

แบบฝึกทกั ษะที่ 9.2

คําชี้แจง : จงหาคา่ สูงสดุ สมั พทั ธ์หรอื ค่าต่ําสดุ สัมพัทธ์ของฟังกช์ นั ทีก่ ําหนดใหแ้ ล้วเตมิ คาํ ตอบลงในช่องวา่ ง

ขอ้ 1 f(x) = x2 + 3

ตอบ ……………………...................................................

ขอ้ 2 f(x) = x3 + 2x2 – 5x – 3

3

ตอบ ……………………...................................................
ข้อ 3 f(x) = –3x2 – 2

ตอบ ……………………...................................................
ขอ้ 4 f(x) = 3x4 – 4x3 + 2

ตอบ ……………………...................................................

ข้อ 5 f(x) = x3 - 4 x2 + 12x

3

ตอบ ……………………...................................................

อย่าลืมตรวจสอบ
คําตอบกอ่ นสง่ นะครับ

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คําตอบถูกตอ้ งสมบูรณ์ 2 คะแนน คําตอบถูกตอ้ งบางส่วน 1 คะแนน
คาํ ตอบผิด 0 คะแนน รวมคะแนนเตม็ 10 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สําหรบั นกั เรียนชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 6
นายสิทธิชยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 98

แบบฝึกทักษะที่ 9.3

คาํ ช้แี จง : ให้นกั เรยี นหาคา่ สูงสดุ สัมบูรณแ์ ละค่าต่าํ สดุ สมั บูรณข์ องฟังกช์ ันบนชว่ งปดิ ทีก่ าํ หนดให้ในแตล่ ะขอ้
แลว้ เตมิ คําตอบลงในชอ่ งว่างใหถ้ ูกตอ้ งสมบูรณ์
ขอ้ 1 f(x) = x3 - 9x2 + 24x ; [0 , 10]
ตอบ ……………………...................................................
……………………...................................................
ขอ้ 2 f(x) = x3 - 2x2 + x – 1 ; [-3 , 3]
ตอบ ……………………...................................................
……………………...................................................
ข้อ 3 f(x) = x2 + 2x – 4 ; [-4 , 3]
ตอบ ……………………...................................................
……………………...................................................
ข้อ 4 f(x) = 2x3 - 2x2 + 2 ; [-2 , 1]
ตอบ ……………………...................................................
……………………...................................................
ขอ้ 5 f(x) = x3 + 3x2 - 9x + 4 ; [-5 , 6]
ตอบ ……………………...................................................
……………………...................................................

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คําตอบถูกตอ้ งสมบูรณ์ 1 คะแนน คําตอบถูกตอ้ งบางส่วน 0.5 คะแนน
คาํ ตอบผดิ 0 คะแนน รวมคะแนนเตม็ 5 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบื้องต้น สําหรบั นกั เรียนชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 99

บรรณานุกรม

กระทรวงศกึ ษาธิการ. (2554). คู่มือครูรายวชิ าเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 6 กลุ่มสาระการเรยี นรู้
คณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4-6. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ครุ สุ ภาลาดพรา้ ว.

_______. (2554). หนังสือเรียนรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร์ เลม่ 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์
ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4 - 6. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พค์ รุ ุสภาลาดพร้าว.

จักรินทร์ วรรณโพธ์ิกลาง. (2551). คัมภรี ์คณิตศาสตร์ ม.ปลาย. กรงุ เทพฯ : สํานกั พิมพ์ พ.ศ. พฒั นา
จํากดั .

ประวัติ เพียรเจรญิ . (2553). คณติ ม.ปลาย ทบทวนไดง้ า่ ย ๆ ใน 8 วัน. กรงุ เทพฯ : สํานักพิมพ์
ส.ส.ท..

วาสนา ทองการุณ. (2548). สาระการเรียนรู้เพิม่ เตมิ คณิตศาสตร์ ม. 4 - 6. กรงุ เทพฯ : เดอะบุคส์.
แคลคูลัสเบ้อื งตน้ (ออนไลน์) ; http://www.satrinon.ac.th/piboon/32102/t1.pdf .

เข้าถึงเมอ่ื 9 สิงหาคม 2560.
แคลคูลัส. (ออนไลน์) ; http://www.trueplookpanya.com.

เขา้ ถงึ เมื่อ 9 สงิ หาคม 2560.
อนุพนั ธ.์ (ออนไลน์) ; https :// https://th.wikipedia.org/wiki/

เข้าถึงเมื่อ 9 สงิ หาคม 2560.
อนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชัน. (ออนไลน์) ; http://courseware.npru.ac.th/admin/files/

เข้าถงึ เมอ่ื 9 สิงหาคม 2560.

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบื้องต้น สาํ หรับนักเรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์