ลำดับและลำดับเลขคณิต

S I T T I C HA I

S I T T I C HA I

ลาํ ดบั
ลาํ ดบั เลขคณิต

S I T T I C HA I

รูปที่
จํานวนจดุ

S I T T I C HA I

รูปที่
จํานวนจดุ
ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งลําดบั ท่ีของรูปและจํานวนจดุ ในแตล่ ะรูปเป็น ฟังก์ชัน
โดยที่

{1, 2, 3, 4, 5}
{1, 3, 6, 10, 15}

S I T T I C HA I

พิจารณา 1, 3, 5, 7, 9, ..., 2n 1

จะสามารถเขียนเป็นความสมั พนั ธ์ระหวา่ งลาํ ดบั ท่ีของแตล่ ะจํานวนกบั คา่
จํานวนนนั้ ๆ ได้ดงั นี ้

ลาํ ดบั ท่ี 1 2 3 4 5 ...

จํานวน 1 3 5 7 9 ...

{1, 2, 3, 4, 5, ...}
{1, 3, 5, 7, 9, ...}

S I T T I C HA I

กําหนดฟังก์ชนั f (x)  x 1 จงหาคา่ ของ f (x) เม่ือ x มีคา่
เป็น 1, 2, 3, 4

จาก f (x)  x 1
จะได้ f (1)  11  2

f (2)  2 1  3
f (3)  3 1  4
f (4)  4 1  5

ดังนัน้ คา่ ของ f (x) เม่ือ x มีคา่ เป็ น 1, 2, 3, 4 คือ 2, 3, 4, 5

S I T T I C HA I

ลาํ ดับ คือฟังก์ชนั ท่ีมีโดเมนเป็นจํานวนเตม็ บวก ท่ีเรียงจากน้อยไป
มาก โดยเริ่มตงั้ แต่ 1

ลําดบั ที่มีโดเมนเป็ น {1, 2, 3, ..., n}เรียกวา่ ลาํ ดับจาํ กัด
ลาํ ดบั ที่มีโดเมนเป็ น {1, 2, 3, ...} เรียกวา่ ลาํ ดับอนันต์
การเขียนลําดบั จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกนั ไป

S I T T I C HA I

ถ้า a เป็ นลําดบั จํากดั จะเขียนแทนด้วย a1, a2, a3, ..., an
ถ้า a เป็ นลําดบั อนนั ต์ จะเขียนแทนด้วย a1, a2, a3, ..., an, ...

a1 พจน์ท่ี 1 ของลาํ ดบั
a2 พจน์ท่ี 2 ของลาํ ดบั
a3 พจน์ท่ี 3 ของลําดบั



an พจน์ที่ n ของลาํ ดบั หรือพจน์ทวั่ ไป

S I T T I C HA I

จากลาํ ดบั 2, 4, 6, 8, 10 จากลําดบั 3, 4, 5, 6, 7, ...

จะได้วา่ a1  2 จะได้วา่ a1  3
a2  4 a2  4
a3  6 a3  5
a4  8 a4  6
a5  10 a5  7
an  2n an  n  2

S I T T I C HA I

การเขียนลําดบั เชน่

2, 4, 6, 8, 10 เป็ นการเขียนแบบแจงพจน์

3, 4, 5, 6, 7, ...

นอกจากจะเขียนลําดบั แบบแจงพจน์ ยงั สามารถเขียนในรูปพจน์ทว่ั ไป โดย
อาจจะระบสุ มาชิกของโดเมนคไู่ ปด้วยก็ได้ เชน่

2, 4, 6, 8, 10 2n เมื่อ n  {1, 2, 3, 4, 5}
3, 4, 5, 6, 7, ... n  2 เมื่อ n  I 

ถ้าไมร่ ะบสุ มาชิกของโดเมน ให้ถือวา่ ลําดบั นนั้ เป็นลําดบั อนนั ต์

S I T T I C HA I

การเขียนลําดบั ในรูปแบบตา่ ง ๆ

4, 8, 12, 16, 20

1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ...

an  2n 1 ; n  {1, 2, 3, 4, 5, ..., 10}

an  n(n 1)
2
an  n2  n

S I T T I C HA I

จงหาส่ีพจน์แรกของลาํ ดบั an  2n 1

จากพจน์ทว่ั ไป an  2n 1
จะได้
a1  2(1) 1  3
a2  2(2) 1  5
a3  2(3) 1  7
a4  2(4) 1  9

ดังนัน้ สพี่ จน์แรกของลาํ ดบั นีค้ ือ 3, 5, 7, 9

S I T T I C HA I

จงหาส่ีพจน์แรกของลาํ ดบั an  (1)n  2

จากพจน์ทว่ั ไป an  (1)n  2
จะได้
a1  (1)1  2  (1)  2  1

a2  (1)2  2  1 2 3

a3  (1)3  2  (1)  2  1

a4  (1)4  2  1 2 3

ดงั นัน้ สพี่ จน์แรกของลาํ ดบั นีค้ ือ 1, 3,1, 3

S I T T I C HA I

จงหาสพ่ี จน์แรกของลําดบั อนนั ต์ที่ an  2n 1 พร้อมทงั ้ เขียนลาํ ดบั
นีโ้ ดยการแจงพจน์
จากพจน์ทวั่ ไป an  2n 1
จะได้ a1  21 1  2 1  3

a2  22 1  4 1  5
a3  23 1  8 1  9
a4  24 1  16 1  17

ดงั นัน้ ลําดบั นีค้ ือ 3, 5, 9,17, ..., 2n 1, ...

S I T T I C HA I

จงหาสองพจน์ถดั ไปของลาํ ดบั 3, 7,11,15, ...

พิจารณาความสมั พนั ธ์ของลาํ ดบั

3 7 11 15 19 23

4 4 4 4 4

ดังนัน้ สองพจน์ถดั ไปของลาํ ดบั นีค้ ือ 19 และ 23

S I T T I C HA I

จงหาสองพจน์ถดั ไปของลําดบั 30, 27, 24, 20, ...

พิจารณาความสมั พนั ธ์ของลําดบั

30 27 24 20 16 12

3 3 3 3 3

ดังนัน้ สองพจน์ถดั ไปของลําดบั นีค้ ือ 16 และ 12

S I T T I C HA I

จงหาสองพจน์ถดั ไปของลาํ ดบั 4, 8,16, 32, ...

พิจารณาความสมั พนั ธ์ของลาํ ดบั

4 8 16 32 64 128

2 2 2 2 2

ดังนัน้ สองพจน์ถดั ไปของลําดบั นีค้ ือ 64 และ 128

S I T T I C HA I

จงหาสองพจน์ถดั ไปของลําดบั 243, 81, 27, 9, ...

พิจารณาความสมั พนั ธ์ของลาํ ดบั

243 81 27 9 3 1

3 3 3 3 3

ดังนัน้ สองพจน์ถดั ไปของลาํ ดบั นีค้ ือ 3 และ 1

S I T T I C HA I

จงหาสองพจน์ถดั ไปของลําดบั 2, 3, 5, 8, ...

พิจารณาความสมั พนั ธ์ของลําดบั

2 3 5 8 12 17

1 2 3 4 5

ดังนัน้ สองพจน์ถดั ไปของลาํ ดบั นีค้ ือ 12 และ 17

S I T T I C HA I

จงหาสองพจน์ถดั ไปของลําดบั 100, 98, 94, 88, ...

พิจารณาความสมั พนั ธ์ของลาํ ดบั

100 98 94 88 80 70

2 4 6 8 10

ดังนัน้ สองพจน์ถดั ไปของลาํ ดบั นีค้ ือ 80 และ 70

S I T T I C HA I

จงหาพจน์ทว่ั ไปของลําดบั จํากดั 2, 4, 6, 8,10

จากลําดบั จํากดั 2, 4, 6, 8,10 a4  8  2  4
จะได้วา่ a1  2  21 a5  10  2 5
an  2  n
a2  4  2  2
a3  6  2 3

ดังนัน้ พจน์ทว่ั ไปของลําดบั จํากดั นีค้ ือ an  2n
เม่ือ n  {1, 2, 3, 4, 5}

S I T T I C HA I

จงหาพจน์ทวั่ ไปของลําดบั จํากดั 4, 5, 6, 7, 8

จากลาํ ดบั จํากดั 4, 5, 6, 7, 8 a4  7  4  3
จะได้วา่ a1  4  1  3 a5  8  5  3
an  n  3
a2  5  2  3
a3  6  3  3

ดงั นัน้ พจน์ทวั่ ไปของลําดบั จํากดั นีค้ ือ an  n  3
เมื่อ n  {1, 2, 3, 4, 5}

S I T T I C HA I

จงหาพจน์ทว่ั ไปของลําดบั จํากดั 1, 3, 5, 7, 9

จากลาํ ดบั จํากดั 1, 3, 5, 7, 9 a4  7  4  3
จะได้วา่ a1  1  1

a2  3  2  1 a5  9  5  4

a3  5  3  2 an  n  (n 1)

 2n 1

ดังนัน้ พจน์ทวั่ ไปของลําดบั จํากดั นีค้ ือ an  2n 1
เมื่อ n  {1, 2, 3, 4, 5}

S I T T I C HA I

จงหาพจน์ทวั่ ไปของลาํ ดบั จํากดั 1, 2,  3, 4,  5

จากลําดบั จํากดั 1, 2,  3, 4,  5 a4  4  4  (1)4
จะได้วา่ a1  1  1  (1)1 a5  5  5  (1)5
an  n  (1)n
a2  2  2  (1)2
a3  3  3  (1)3  (1)n n

ดังนัน้ พจน์ทวั่ ไปของลาํ ดบั จํากดั นีค้ ือ an  (1)n n
เมื่อ n  {1, 2, 3, 4, 5}

S I T T I C HA I

จงหาพจน์ทว่ั ไปของลําดบั จํากดั 1, 2, 3, 2, 5

จากลําดบั จํากดั 1, 2, 3, 2, 5 a4  2  4
จะได้วา่ a1  1  1 a5  5  5
an  n
a2  2  2
a3  3  3

ดงั นัน้ พจน์ทว่ั ไปของลําดบั จํากดั นีค้ ือ an  n
เม่ือ n  {1, 2, 3, 4, 5}

S I T T I C HA I

จงหาพจน์ทว่ั ไปของลาํ ดบั จํากดั 3, 4, 5, 6, 7
56789

12 2 2 32 42 5 2 ... n 2

34567 n2

56789 n4

14 2 4 34 44 5 4 ... n 4

ดงั นัน้ พจน์ทว่ั ไปของลาํ ดบั จํากดั นีค้ ือ an  n  2
n  4
เมื่อ n  {1, 2, 3, 4, 5}

S I T T I C HA I

พิจารณาลาํ ดบั ตอ่ ไปนี ้

2 2 2 2

2 , 4 , 6 , 8 , 10

5 5 5 5

10 , 15 , 20 , 25 , 30

8 8 8 8

8 , 16 , 24 , 32 , 40

S I T T I C HA I

ลาํ ดับเลขคณิต คือ ลําดบั ที่มีผลตา่ งระหวา่ งพจน์หลงั ลบด้วย
พจน์หน้าท่ีอยตู่ ดิ กนั มีคา่ เทา่ กนั ตลอด

ผลตา่ งระหวา่ งพจน์ ท่ีมีคา่ เทา่ กนั ตลอด เรียกวา่ ผลต่างร่วม

3, 6, 9,12,15 เป็ นลําดบั เลขคณิต มีผลตา่ งระหวา่ งพจน์ จะได้

63  3 12  9  3 น่ันคือ ผลตา่ งร่วม เทา่ กบั 3
96  3 15 12  3

S I T T I C HA I

จงหาวา่ ลําดบั 3, 5, 7, 9,11 เป็ นลําดบั เลขคณิตหรือไม่
จากลําดบั 3, 5, 7, 9,11
ให้ d เป็ นผลตา่ งระหวา่ งพจน์หลงั และพจน์หน้าที่อยตู่ ดิ กนั
จะได้ d1  5  3  2

d2  7  5  2 เทา่ กนั หมด

d3  9  7  2
d4  11 9  2

ดังนัน้ ลาํ ดบั นีเ้ป็นลาํ ดบั เลขคณิต และมีผลตา่ งร่วมเทา่ กบั 2

S I T T I C HA I

จงหาวา่ ลําดบั 20, 17, 14, 11,  8 เป็ นลาํ ดบั เลขคณิตหรือไม่
จากลาํ ดบั 20, 17, 14, 11,  8
ให้ d เป็ นผลตา่ งระหวา่ งพจน์หลงั และพจน์หน้าท่ีอยตู่ ดิ กนั
จะได้ d1  17  (20)  3

d2  14  (17)  3 เทา่ กนั หมด

d3  11 (14)  3
d4  8  (11)  3

ดงั นัน้ ลําดบั นีเ้ป็นลาํ ดบั เลขคณิต และมีผลตา่ งร่วมเทา่ กบั 3

S I T T I C HA I

จงหาวา่ ลาํ ดบั 24, 20,16,12, 8, ... เป็ นลําดบั เลขคณิตหรือไม่
จากลําดบั 24, 20, 16, 12, 8, ...
ให้ d เป็ นผลตา่ งระหวา่ งพจน์หลงั และพจน์หน้าท่ีอยตู่ ดิ กนั
จะได้ d1  20  24  4

d2  16  20  4 เทา่ กนั หมด

d3  12 16  4
d4  8 12  4

ดังนัน้ ลําดบั นีเ้ป็นลําดบั เลขคณิต และมีผลตา่ งร่วมเทา่ กบั -4

S I T T I C HA I

จงหาวา่ ลาํ ดบั 2, 4, 8,16, 32, ... เป็ นลาํ ดบั เลขคณิตหรือไม่

จากลําดบั 2, 4, 8,16, 32, ...
ให้ d เป็ นผลตา่ งระหวา่ งพจน์หลงั และพจน์หน้าท่ีอยตู่ ดิ กนั
จะได้ d1  4  2  2

d2  8  4 4 ไมเ่ ทา่ กนั หมด
d3  16  8 8

d4  32 16  16

ดังนัน้ ลาํ ดบั นีไ้ มเ่ ป็นลาํ ดบั เลขคณิต

S I T T I C HA I

กําหนดลําดบั เลขคณิต a1, a2, a3, a4, a5, ..., an, ... มีผลตา่ งร่วมเทา่ กบั d

a1

a2  a1  d

a3  a2  d  (a1  d )  d  a1  2d

a4  a3  d  (a1  2d )  d  a1  3d

a5  a4  d  (a1  3d )  d  a1  4d



an  a1  (n 1)d

S I T T I C HA I

กําหนดลําดบั a1, a2, a3, a4, a5, ..., an, ... เป็ นลําดบั เลขคณิต
มีผลตา่ งร่วมเทา่ กบั d จะได้วา่ พจน์ท่ี n หรือพจน์ทว่ั ไป เทา่ กบั

an  a1  (n 1)d

จากพจน์ทว่ั ไปข้างต้น เราจะสามารถหาพจน์ใด ๆ ของลําดบั เลข
คณิตได้อยา่ งงา่ ย ๆ ถ้าทราบ พจน์ท่ี 1 และผลตา่ งร่วม

S I T T I C HA I

จงหาพจน์ที่ 4, 5, 6 และ 7 ของลาํ ดบั เลขคณิต ที่มีพจน์แรกเทา่ กบั 5
และผลตา่ งร่วมเทา่ กบั 3
วธิ ีท่ี ใช้สูตรan  a1  (n 1)d ทงั้ หมด
จากโจทย์จะได้ a1  5 และ d  3
และ an  a1  (n 1)d
จะได้ a4  5  (4 1)3  5  9  14

a5  5  (5 1)3  5 12  17
a6  5  (6 1)3  5 15  20
a7  5  (7 1)3  5 18  23

S I T T I C HA I

จงหาพจน์ที่ 4, 5, 6 และ 7 ของลาํ ดบั เลขคณิต ที่มีพจน์แรกเทา่ กบั 5
และผลตา่ งร่วมเทา่ กบั 3

วธิ ีท่ี ใช้สูตร  an แลaะ1  (n 1)d เพยี งพจน์เดียว
จากโจทย์จะได้ a1 5 d 3
 14
และ an  a1  (n 1)d
จะได้ a4  5  (4 1)3  5  9

a5  a4  d  14  3  17

a6  a5  d  17  3  20
a7  a6  d  20  3  23

S I T T I C HA I

จงหาสี่พจน์ถดั ไปของลาํ ดบั เลขคณิต 12,17, 22, 27, 32, ...
วธิ ีท่ี ใช้สูตร an  a1  (n 1)d ทงั้ หมด
จากโจทย์จะได้ a1  12 และ d  17 12  5
และ an  a1  (n 1)d
จะได้ a6  12  (6 1)5  12  25  37

a7  12  (7 1)5  12  30  42
a8  12  (8 1)5  12  35  47
a9  12  (9 1)5  12  40  52

S I T T I C HA I

จงหาส่พี จน์ถดั ไปของลําดบั เลขคณิต 12,17, 22, 27, 32, ...

วธิ ีท่ี ใช้สูตร an  a1  (n 1)d เพยี งพจน์เดยี ว
จากโจทย์จะได้ a1  12 และ d  17 12  5
และ an  a1  (n 1)d
จะได้ a6  12  (6 1)5  12  25  37

a7  a6  d  37  5  42

a8  a7  d  42  5  47

a9  a8  d  47  5  52

S I T T I C HA I

จงหาพจน์ท่ี 35 ของลาํ ดบั เลขคณิต 4,12, 20, 28, 36, ...
จากโจทย์จะได้ a1  4 และ d  12  4  8
และ an  a1  (n 1)d
จะได้ a35  4  (35 1)8  4  272  276
ดังนัน้ พจน์ท่ี 35 ของลาํ ดบั นีค้ ือ 276

S I T T I C HA I

จงหาพจน์ทว่ั ไปของลําดบั เลขคณิต 20,17,14,11, 8, ...

จากโจทย์จะได้ a1  20 และ d  17  20  3
และ an  a1  (n 1)d
จะได้ an  20  (n 1)(3)

 20  3n  3
 23  3n

ดงั นัน้ พจน์ทว่ั ไปของลําดบั นีค้ ือ an  23  3n

S I T T I C HA I

จงหาพจน์แรกของลาํ ดบั เลขคณิตที่มีพจน์ที่ 5 และ 8 เทา่ กบั 34
และ 52 ตามลําดบั

จากโจทย์จะได้ a5  34 และ a8  52
และ an  a1  (n 1)d
จะได้ a5  a1  4d
a1  4d  34 1
2
a8  a1  7d a1  7d  52
หาคา่ a1 โดยแทน d  6 ใน
2 1 1

3d  18 a1  4(6)  34

d 6 a1  10

S I T T I C HA I

จงหาพจน์ท่ี 15 ของลําดบั เลขคณิตที่มีพจน์ท่ี 10 เทา่ กบั 31
และ ผลตา่ งร่วมเทา่ กบั 3

จากโจทย์จะได้ a10  31 และ d  3 ต้องการหาวา่ a15  ?
จาก an  a1  (n 1)d หา a1
จะได้ a15  a1 14d จาก a10  a1  9d

 a1 14(3) 31  a1  9(3)

 a1  42  a1  27

 4  42 a1  31 27

a15  46 4

S I T T I C HA I

จงหาพจน์ท่ี 8 ของลําดบั เลขคณิตที่มีพจน์ท่ี 4 เทา่ กบั 18
และ ผลตา่ งร่วมเทา่ กบั 4

จากโจทย์จะได้ a4  18 และ d  4 ต้องการหาวา่ a8  ?
จาก an  a1  (n 1)d หา a1
จะได้ a8  a1  7d จาก a4  a1  3d

 a1  7(4) 18  a1  3(4)

 a1  28  a1 12

 6  28 a1  18 12

a8  34 6

S I T T I C HA I

จงหาพจน์ที่ 6 ของลาํ ดบั เลขคณิตท่ีมีพจน์ที่ 12 เทา่ กบั 85
และ ผลตา่ งร่วมเทา่ กบั 7

จากโจทย์จะได้ a12  85 และ d  7 ต้องการหาวา่ a6  ?
จาก an  a1  (n 1)d หา a1
จะได้ a6  a1  5d จาก a12  a1 11d

 a1  5(7) 85  a1 11(7)

 a1  35  a1  77

 8  35 a1  85  77

a6  43 8

S I T T I C HA I

การหาพจน์ท่ีใด ๆ ของลาํ ดบั เลขคณิต โดยใช้ an  a1  (n 1)d
จําเป็ นต้องทราบคา่ ท่ีเก่ียวข้องถงึ 2 คา่ คือ

พจน์ที่ 1 หรือ a1
ผลตา่ งร่วม หรือ d
ซง่ึ คอ่ นข้างจะใช้เวลาพอสมควร เพ่ือให้งา่ ยขนึ ้ ลองพิจารณาลาํ ดบั เลขคณิต
ตอ่ ไปนี ้

dddd ddddd

a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10

3d 2d d d 2d 3d 4d 5d

S I T T I C HA I

กําหนดลําดบั เลขคณิต a1, ..., ak , ..., am, ..., an, ...
มีผลตา่ งร่วมเทา่ กบั d

จะได้วา่ am  ak  (m  k)d

ถ้าทราบพจน์ใดพจน์หนง่ึ ของลําดบั และผลตา่ งร่วม จะสามารถ
หาพจน์ที่ต้องการได้เสมอ โดยไมต่ ้องหาพจน์แรก

เชน่ ถ้าทราบพจน์ท่ี 10 ต้องการหาพจน์ที่ 14 จะได้ a14  a10  (14 10)d
ถ้าทราบพจน์ท่ี 15 ต้องการหาพจน์ท่ี 8 จะได้ a8  a15  (8 15)d

S I T T I C HA I

จงหาพจน์ที่ 15 ของลาํ ดบั เลขคณิตที่มีพจน์ท่ี 10 เทา่ กบั 31
และ ผลตา่ งร่วมเทา่ กบั 3
จากโจทย์จะได้ a10  31 และ d  3 ต้องการหาวา่ a15  ?
จาก am  ak  (m  k)d
จะได้ a15  a10  (15 10)d

 31 5(3)
 3115
a15  46

S I T T I C HA I

จงหาพจน์ที่ 8 ของลําดบั เลขคณิตที่มีพจน์ที่ 4 เทา่ กบั 18
และ ผลตา่ งร่วมเทา่ กบั 4
จากโจทย์จะได้ a4  18 และ d  4 ต้องการหาวา่ a8  ?
จาก am  ak  (m  k)d
จะได้ a8  a4  (8  4)d

 18  4(4)
 18 16
a8  34

S I T T I C HA I

จงหาพจน์ท่ี 6 ของลาํ ดบั เลขคณิตที่มีพจน์ท่ี 12 เทา่ กบั 85
และ ผลตา่ งร่วมเทา่ กบั 7
จากโจทย์จะได้ a12  85 และ d  7 ต้องการหาวา่ a6  ?
จาก am  ak  (m  k )d
จะได้ a6  a12  (6 12)d

 85  (6)(7)
 85  42
a6  43

S I T T I C HA I

จงหาคา่ ของ a, b, c ในลําดบั เลขคณิต 4, a, b, c,16

จากโจทย์จะได้ a1  4 และ a5  16 ต้องหาวา่ d  ?
จาก am  ak  (m  k)d ดงั นนั ้

จะได้ a5  a1  (5 1)d a  43  7

16  4  4d b  7  3  10

12  4d c  10  3  13

d 3