เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัส ปี2565

Stimulate / เอกสารประกอบการสอน
Search
Test /Team รายวิชาคณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ (ค33201)
/Technological เรื่อง แคลคูลสั เบื้องตน้ ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 6

Constructive
& Cooperative

learning

Head Hand
Heart & How

Assessment นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวัฒน์

ตาํ แหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครูชํานาญการพเิ ศษ

Implicating โรงเรยี นอนกุ ูลนารี

อาํ เภอเมอื งกาฬสนิ ธ์ุ จังหวดั กาฬสนิ ธุ์
สาํ นักงานเขตพ้ืนที่การศึกษามธั ยมศึกษากาฬสนิ ธุ์
สาํ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร

ห น้ า | 1

คาํ นาํ

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ (ค33201) ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
เร่ือง แคลคูลสั เบ้ืองต้น กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ จัดทําขึ้นเพื่อใชจ้ ดั กิจกรรมการเรยี นรู้
ประกอบการศึกษาการพฒั นารูปแบบการจดั การเรียนรู้แบบ STCHAI Model เพื่อพัฒนาผลสมั ฤทธ์ิ
ทางการเรียน ส่งเสริมทักษะการคดิ วเิ คราะหแ์ ละทักษะการแกป้ ญั หา เรื่อง แคลคูลสั เบอื้ งต้น ชั้นมธั ยมศึกษา
ปีท่ี 6 จดั ทาํ ข้ึนตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551 โดยให้มคี วามเหมาะสมกบั
การจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ การนาํ ไปใชใ้ นการศกึ ษาตอ่ ในระดับอุดมศกึ ษา เนน้ การคิดวิเคราะห์ คิดอย่างมี
วิจารณญาณ การแกป้ ญั หา การคดิ สร้างสรรค์ การใชเ้ ทคโนโลยี การสอื่ สาร การร่วมมอื รวมทั้งเชอ่ื มโยง
ความรู้สูก่ ารนําไปใชใ้ นชีวติ จริง

ผู้จดั ทําหวงั เปน็ อย่างย่งิ ว่า เอกสารประกอบการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม (ค33201)
ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 6 เรื่อง แคลคูลัสเบ้อื งตน้ น้ี จะเปน็ ประโยชน์ต่อการจดั การเรียนรู้ และเป็นส่วนสาํ คัญ
ในการพัฒนาคณุ ภาพผู้เรียนกลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ ขอบคณุ คณะผู้บรหิ าร ผูเ้ ชยี่ วชาญ คณะครู
บคุ ลากรทกุ ท่านทีม่ ีสว่ นเกยี่ วขอ้ งในการจัดทาํ ไว้ ณ โอกาสนี้

สิทธชิ ัย ยบุ ลวัฒน์
ตําแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครูชํานาญการพเิ ศษ

โรงเรียนอนกุ ูลนารี

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สําหรบั นกั เรียนชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสิทธิชยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 2

คําชีแ้ จง

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค33201) ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6
เรื่อง แคลคูลัสเบ้ืองต้น กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์เล่มน้ี มีเน้ือหาสาระการเรียนรู้ ประกอบด้วย
เร่ือง ลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน ความชันของเส้นโค้ง การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้นิยาม
อัตราการเปลี่ยนแปลง การหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ อนุพันธ์อันดับสูง
การประยุกต์ของอนุพันธ์ แบบทดสอบก่อนเรียนและแบบทดสอบหลังเรียนแต่ละเน้ือหาสาระการเรียนรู้
ซ่ึงเป็นพื้นฐานนําไปใช้ในการศึกษาต่อในระดับอุดมศึกษา เน้นการคิดวิเคราะห์ คิดอย่างมีวิจารณญาณ
การแก้ปัญหา การคิดสร้างสรรค์ การใช้เทคโนโลยี การส่ือสาร การร่วมมือ รวมท้ังเช่ือมโยงความรู้
สู่การนาํ ไปใชใ้ นชวี ติ จริง ตลอดจนมกี ิจกรรมท่สี ง่ เสรมิ ให้ผูเ้ รียนทาํ งานรว่ มกบั ผู้อ่ืนไดอ้ ย่างมีประสิทธภิ าพ

การจัดทําเอกสารประกอบการสอน รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค33201) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
เร่ือง แคลคูลัสเบ้ืองตน้ เล่มนี้ ไดร้ บั ความร่วมมืออย่างดียงิ่ จากคณะผูบ้ รหิ าร ผู้เชย่ี วชาญ ครูผู้สอน
จากโรงเรียนอนุกูลนารี จึงขอขอบคุณทกุ ทา่ นไว้ ณ ท่นี ี้ หากมีขอ้ เสนอแนะใดท่ีจะทําให้เอกสารประกอบการสอน
เลม่ นี้ มคี วามสมบูรณย์ ิง่ ข้นึ โปรดแจง้ ผูจ้ ดั ทําทราบดว้ ย จกั ขอบพระคณุ ย่งิ

สิทธิชยั ยบุ ลวฒั น์
ตําแหน่ง ครู วทิ ยฐานะ ครูชาํ นาญการพเิ ศษ

โรงเรียนอนุกูลนารี

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สาํ หรับนกั เรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธิชยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 3

ลําดับขนั้ ตอนการใช้เอกสารประกอบการสอน

ครูและนักเรียนเตรียม เครื่องมือ อปุ กรณ์ สื่อเทคโนโลยีเพื่อการศกึ ษาให้พร้อม

1 สแกน QR Code
หรือ Search Link
ทาํ แบบทดสอบ
กอ่ นเรยี น 2

3 ศึกษาใบความรู้
และตัวอยา่ ง
ทําแบบฝกึ ทกั ษะ
คณิตศาสตร์ 4

5 ทาํ แบบทดสอบ
หลังเรียน

ผา่ นเกณฑ์ 80% ศกึ ษาใบความรู้ 6
เรือ่ งต่อไป

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สาํ หรบั นกั เรยี นชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 4

สารบัญ

เร่อื ง หนา้

คํานํา .................................................................................................................................................................. 1
คําชีแ้ จง..............................................................................................................................................................2
คาํ อธิบายรายวชิ าเพ่มิ เตมิ ................................................................................................................................. 3
ใบความรู้ท่ี 1 ลมิ ติ ของฟังก์ชนั .......................................................................................................................... 7

แบบฝึกทักษะที่ 1.1..............................................................................................................................17
แบบฝกึ ทักษะที่ 1.2..............................................................................................................................18
แบบฝึกทกั ษะท่ี 1.3............................................................................................................................. 19
ใบความรู้ที่ 2 ความต่อเนอื่ งของฟงั กช์ นั ....................................................................................................... 20
แบบฝึกทกั ษะท่ี 2.1.............................................................................................................................25
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.2............................................................................................................................26
แบบฝกึ ทักษะท่ี 2.3............................................................................................................................27
ใบความรูท้ ี่ 3 ความชนั ของเสน้ โคง้ ...............................................................................................................29
แบบฝกึ ทักษะท่ี 3.1............................................................................................................................ 36
แบบฝึกทกั ษะท่ี 3.2............................................................................................................................37
ใบความรู้ท่ี 4 การหาอนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั โดยใชน้ ิยาม....................................................................................38
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 4.1............................................................................................................................. 41
แบบฝึกทักษะที่ 4.2............................................................................................................................44
ใบความรู้ที่ 5 อตั ราการเปลย่ี นแปลง............................................................................................................. 46
แบบฝึกทกั ษะที่ 5.1.............................................................................................................................52
แบบฝกึ ทักษะท่ี 5.2.............................................................................................................................55
ใบความรูท้ ี่ 6 การหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร ..................................................................................................... 56
แบบฝกึ ทักษะท่ี 6.1.............................................................................................................................67
แบบฝึกทักษะที่ 6.2............................................................................................................................68
แบบฝึกทักษะที่ 6.3............................................................................................................................69

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สาํ หรบั นักเรยี นชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ัย ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 5

สารบญั (ต่อ)

เรอ่ื ง หนา้

แบบฝึกทกั ษะที่ 6.4............................................................................................................................70
ใบความรู้ที่ 7 อนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ ันประกอบ ...................................................................................................71

แบบฝึกทกั ษะท่ี 7.1.............................................................................................................................73
แบบฝึกทักษะท่ี 7.2............................................................................................................................ 74
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 7.3............................................................................................................................ 77
ใบความรูท้ ี่ 8 อนพุ ันธ์อันดบั สูง .................................................................................................................... 81
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 8.1............................................................................................................................. 85
แบบฝกึ ทักษะท่ี 8.2............................................................................................................................ 88
ใบความรูท้ ี่ 9 การประยุกตข์ องอนพุ นั ธ์ ....................................................................................................... 90
แบบฝึกทักษะท่ี 9.1.............................................................................................................................96
แบบฝึกทกั ษะที่ 9.2............................................................................................................................ 97
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 9.3............................................................................................................................ 98
แบบทดสอบกอ่ นเรียน เรอ่ื ง ลมิ ิตของฟังกช์ ัน............................................................................................... 90
แบบทดสอบกอ่ นเรียน เรอ่ื ง ความตอ่ เนือ่ งของฟังก์ชนั ..............................................90
แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง ความชันของเสน้ โค้ง....................................................103
แบบทดสอบก่อนเรยี น เรอื่ ง การหาอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ นั โดยใช้นิยาม.................................. 105
แบบทดสอบกอ่ นเรียน เรอ่ื ง อัตราการเปลีย่ นแปลง..................................................107
แบบทดสอบก่อนเรยี น เรื่อง การหาอนพุ ันธโ์ ดยใช้สูตร.............................................. 109
แบบทดสอบก่อนเรยี น เรือ่ ง อนุพันธ์ของฟงั ก์ชันประกอบ............................................. 111
แบบทดสอบกอ่ นเรียน เรื่อง อนุพันธ์อันดบั สูง.......................................................113
แบบทดสอบกอ่ นเรยี น เรอ่ื ง การประยกุ ต์ของอนพุ ันธ์................................................115
แบบทดสอบหลงั เรยี น เรือ่ ง ลิมติ ของฟังกช์ ัน.........................................................117
แบบทดสอบหลงั เรยี น เรื่อง ความต่อเน่อื งของฟังก์ชัน .............................................. 90
แบบทดสอบหลังเรยี น เร่ือง ความชันของเสน้ โคง้ .....................................................121

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สาํ หรับนักเรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสิทธชิ ยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 6

สารบญั (ต่อ)

เรือ่ ง หนา้

แบบทดสอบหลังเรยี น เรอ่ื ง การหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ ันโดยใช้นิยาม...................................123
แบบทดสอบหลังเรยี น เรอ่ื ง อตั ราการเปลี่ยนแปลง.................................................. 125
แบบทดสอบหลงั เรยี น เรอ่ื ง การหาอนุพนั ธโ์ ดยใช้สูตร...............................................127
แบบทดสอบหลงั เรียน เรื่อง อนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ ันประกอบ............................................. 129
แบบทดสอบหลงั เรียน เรอ่ื ง อนุพนั ธอ์ ันดับสูง........................................................131
แบบทดสอบหลังเรียน เรอื่ ง การประยุกตข์ องอนุพันธ์................................................133
รวม Link แบบทดสอบกอ่ นเรียนและแบบทดสอบหลงั เรยี น ..........................................135
บรรณานกุ รม .................................................................................... 136

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบือ้ งต้น สําหรับนักเรียนชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสทิ ธิชยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 7

ใบความรูท้ ่ี 1
เรอ่ื ง ลมิ ิตของฟงั ก์ชนั

ลมิ ติ ของฟังก์ชนั

ลมิ ติ ของฟังกช์ ัน เปน็ การพจิ ารณาคา่ y หรอื f(x) ของฟังก์ชนั ขณะที่ x เข้าใกล้จํานวนจริง
จาํ นวนใดจาํ นวนหน่งึ การเข้าใกลจ้ ํานวนใดจาํ นวนหนึง่ ของคา่ x มี 2 กรณี

กรณที ี่ 1 เข้า ใกลท้ างดา้ นซ้าย
กรณีที่ 2 เข้าใกล้ทางด้านขวา

เช่น เมอื่ x เข้าใกล้ 0 บนเสน้ จาํ นวน

 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
การเขา้ ใกล้ทางด้านซ้าย หมายถงึ x จะเร่ิมจากคา่ ท่ีนอ้ ยกวา่ 0 แลว้ เพม่ิ ขนึ้ เรอื่ ย ๆ แต่ไม่ถงึ 0
การเขา้ ใกลท้ างด้านขวา หมายถึง x จะเร่ิมจากคา่ ทมี่ ากกว่า 0 แลว้ ลดลงเรอ่ื ย ๆ แตจ่ ะไม่ถึง 0
โดยทว่ั ไปแล้วในการพจิ ารณาว่าเม่ือ x เข้าใกลจ้ ํานวนจริง a ใด ๆ
จะพิจารณาทง้ั สองกรณี คอื เมือ่
x เขา้ ใกล้ a ทางซา้ ย [x < a] ซง่ึ เขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ x  a-
x เขา้ ใกล้ a ทางขวา [x > a] ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x  a+

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สําหรบั นักเรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 8

การหาลมิ ติ ของฟังก์ชนั

ตวั อยา่ งที่ 1 กําหนด f(x) = x2 + 4 จงหาค่า f(x) เม่อื x มคี ่าเข้าใกล้ 2
วธิ ีทํา หาคา่ f(x) เม่ือการมีคา่ เขา้ ใกล้ 2 ท้ังทางซ้ายและขวา ดงั ตารางต่อไปน้ี

x เข้าใกล้ 2 ทางซา้ ย x เขา้ ใกล้ 2 ทางขวา
x<2 x>2

x < 2 f(x) x > 2 f(x)
1 5.0000 3 13.000
1.5 6.2500 2.5 10.2500
1.9 7.6100 2.45 10.0025
1.99 7.9601 2.20 8.8400
2.001 8.004001
1.999 7.996001

จากตารางพบวา่ ขณะที่ x มคี า่ เข้าใกล้ 2 ทางซ้าย f(x) มีคา่ เข้าใกล้ 8
จะใช้สัญลกั ษณ์ lim f(x) = 8
x 2-
→

ขณะท่ี x มคี ่าเขา้ ใกล้ 2 ทางขวา f(x) มคี ่าเขา้ ใกล้ 8
จะใชส้ ัญลักษณ์ lim f(x) = 8
x 2+
→

นนั่ คอื ลิมติ ของ f(x) เท่ากับ 8 เมอ่ื x มคี ่าเขา้ ใกล้ 2 ซงึ่ จะแทนดว้ ยสัญลักษณ์
lim f(x) = lim x2 + 4 = 8
x 2 x 2
→ →

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบ้ืองต้น สําหรบั นกั เรียนชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสิทธิชัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 9

ตัวอยา่ งท่ี 2 กาํ หนด f(x) = x2 + 1 จงหาคา่ f(x) เมื่อ x มีคา่ เขา้ ใกล้ 4

วิธที ํา หาคา่ f(x) เมอื่ การมีคา่ เขา้ ใกล้ 4 ท้งั ทางซา้ ยและขวา ดังตารางตอ่ ไปน้ี
1.) x เข้าใกล้ 4 ทางซา้ ย x < 4

x < 4 f(x)
3 10
3.5 13.25
3.9 16.21
3.99 16.9201

จากตารางพบวา่ ขณะท่ี x มีคา่ เขา้ ใกล้ 4 ทางซ้าย f(x) มคี ่าเขา้ ใกล้ 17
จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ lim f(x) = 17
x 4-
→

ศึกษาเรียนรู้ตอ่ ได้เลยครบั

2.) x เข้าใกล้ 4 ทางขวา x > 4

x > 4 f(x)
4.50 21.25
4.20 18.64
4.10 17.81
4.01 17.0801

จากตารางพบว่า ขณะที่ x มีคา่ เข้าใกล้ 4 ทางขวา f(x) มคี า่ เข้าใกล้ 17
จะใช้สญั ลักษณ์ lim f(x) = 17
x 4+
→

นนั่ คือ ลิมติ ของ f(x) เท่ากับ 8 เมอ่ื x มีคา่ เข้าใกล้ 2 ซ่งึ จะแทนด้วยสญั ลกั ษณ์
lim f(x) = lim x2 + 1 = 8
x 4 x 4
→ →

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สําหรับนกั เรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ัย ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 10

ตวั อย่างท่ี 3 กาํ หนด f(x) = x + 5 จงหาค่า f(x) เมอื่ x มีค่าเข้าใกล้ 2

วิธที ํา หาค่า f(x) เม่ือการมีค่าเขา้ ใกล้ 2 ทัง้ ทางซ้ายและขวา ดังตารางตอ่ ไปนี้
1.) x เข้าใกล้ 2 ทางซา้ ย x < 2

x 1 1.5 1.7 1.99 1.999
f(x) 6 6.5 6.7 6.99 6.999

จากตารางพบว่า ขณะที่ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ทางซ้าย f(x) มีค่าเขา้ ใกล้ 7
จะใช้สัญลักษณ์ lim f(x) = 7
x 2-
→

มสี ติ สมาธิ เรียนรูอ้ ยา่ งตง้ั ใจ
นะครบั เพ่ือน ๆ

คดิ ไตร่ตรองและรอบคอบนะครบั

2.) x เขา้ ใกล้ 2 ทางขวา x > 2

x 3 2.5 2.3 2.1 2.001
f(x) 8 7.5 7.3 7.1 7.001

จากตารางพบว่า ขณะท่ี x มคี ่าเข้าใกล้ 2 ทางขวา f(x) มีคา่ เข้าใกล้ 7
จะใช้สญั ลกั ษณ์ lim f(x) = 7
x 2+
→

นั่นคอื ลมิ ิตของ f(x) เท่ากับ 7 เมือ่ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ซ่ึงจะแทนด้วยสญั ลักษณ์
lim f(x) = lim x + 5 = 7
x 2 x 2
→ →

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สาํ หรบั นกั เรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 11

มาพิจารณากราฟกัน^^

พจิ ารณากราฟของฟงั ก์ชนั y = f(x) แสดงดังรูป
พิจารณาดูกราฟ
ครับเพ่ือน ๆ

x lim 1+ f(x) = x lim 1+ (-3) ………………………………………………..(1)

→ →

x lim 1- f(x) = x lim 1- (2) …………………………………………………..(2)

→ →

จะเหน็ ว่า (1) ≠ (2)

นัน่ คอื x lim 1+ f(x) ≠ x lim 1- f(x)

→ →

ดังนนั้ x lim 1 f(x) หาค่าลิมิตไมไ่ ด้

→

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบื้องต้น สาํ หรบั นกั เรยี นชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 12

พจิ ารณากราฟของฟงั กช์ ัน y = g(x) แสดงดงั รูป

ความพยายามอยูท่ ่ไี หน
ความสําเรจ็ อยู่ตรงนั้น

สู้ ๆ...

x lim 4+ g(x) = x lim 4+ (x - 6) ………………………………………………..(1)

→ →

= 4–6

= -2

x lim 4- g(x) = x lim 4- (4 - x) ………………………………………………..(2)

→ →

= 4–4

=0

จะเห็นวา่ (1) ≠ (2)

-2 ≠ 0

นนั่ คือ x lim 4+ g(x) ≠ x lim 4- g(x)

→ →

ดงั น้นั x lim 4 g(x) หาค่าลมิ ติ ไม่ได้

→

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบือ้ งต้น สําหรบั นักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 13

พิจารณากราฟของฟังกช์ นั y = h(x) แสดงดังรูป

x lim 3+ h(x) = x lim 3+ (10 - x) ………………………………………………..(1)

→ →

= 10 - 3

=7

x lim 3- h(x) = x lim 3- (2x + 1) ………………………………………………..(2)

→ →

= 2(3) + 1

= 6+1

=7

จะเห็นว่า (1) = (2)

น่ันคอื x lim 3+ h(x) = x lim 3- h(x)

→ → เพอื่ น ๆ ผ่อนคลายสมองกนั
หนอ่ ย แลว้ คอ่ ยฝึกตอ่ ครับ
ดงั น้ัน x lim 3 h(x) = 7
สู้ ๆ...
→

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สําหรบั นกั เรยี นชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสิทธชิ ัย ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 14

ทฤษฎีบทเกย่ี วกบั ลิมิต

ทฤษฎีบทเก่ียวกับลมิ ิตของฟังกช์ ันตอ่ ไปนจ้ี ะไม่แสดงการพิสูจน์แตจ่ ะยกตวั อย่างแสดงการนาํ เอาทฤษฎบี ท
ไปใช้ในการหาลมิ ิตของฟังกช์ ัน ดงั ตอ่ ไปนี้

ทฤษฎีบท

เม่อื a , L และ M เปน็ จาํ นวนจรงิ ใด ๆ ถ้า f และ g เป็นฟังกช์ นั ทีม่ โี ดเมนและเรนจเ์ ป็น
สบั เซตของจาํ นวนจริง โดยที่ xl→ima f(x) = L และxl→ima g(x) = M แลว้

1. xl→ima c = c เม่ือ c เป็นคา่ คงตัวใด ๆ

2. xl→ima x = a

3. xl→ima xn = an , n  I+

4. xl→ima cf(x) = cxl→ima f(x) = cL เมอ่ื c เป็นค่าคงตวั ใด ๆ

5. xl→ima [f(x) + g(x)] = xl→ima f(x) + xl→ima g(x) = L + M

6. xl→ima [f(x) - g(x)] = xl→ima f(x) - xl→ima g(x) = L - M

7. xl→ima [f(x) ∙ g(x)] = xl→ima f(x) ∙ xl→ima g(x) = L ∙ M

8. xl→ima f(x) = x→lima f(x) = L
g(x) x→lima g(x) M

9. xl→ima [f(x)]n = xl→ima [f(x)] n = Ln , n  I+

10. xl→ima n f(x) = n xl→ima f(x) = n L , n  I+ - {1} และ n L  R
พจิ ารณาสงั เกตและจดจาํ ไป
ใช้นะครบั

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สําหรบั นกั เรียนชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 15

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหา xl→im2 2x2 - 3x
x2 - 4x

วธิ ที ํา จากทฤษฎีบทขอ้ 8

จะได้วา่ xl→im2 2x2 - 3x = x→lim2 2x2 - 3x
x2 - 4x x→lim2 x2 - 4x

= x2→lim2 x2 - 3x→lim2x
x→lim2 x2 - 4x→lim2x

= 2(4) - 3(2) x→lima f(x)
x→lima g(x)
4 - 4(2) xl→ima f(x) = = L
g(x) M
2 หรือ -21
= -4

ดงั นนั้ xl→im2 2x2 - 3x = -21
x2 - 4x

ตวั อย่างที่ 5 จงหา xl→im4 x3 + 2x - 6
วิธที าํ จาก xl→im4 x3 + 2x - 6

จะได้วา่ xl→im4 x3 + 2x - 6 = xl→im4 x3 + 2xl→im4x - xl→im46
= 43 + 2(4) - 6

= 64 + 8 - 6 ใชจ่ า้
เกง่ มากๆ
= 66 ข้อน้ีใชท้ ฤษฎบี ทข้อ
ดังนัน้ xl→im4 x3 + 2x - 6 = 66 5 -> 6 -> 1 ใชไ่ หมๆ

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สาํ หรบั นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 6
นายสิทธิชยั ยบุ ลวัฒน์

ตวั อยา่ งที่ 6 จงหา xl→im3 (x2 + 1)2 + 1)2 2 ห น้ า | 16
วธิ ีทํา xl→im3 (x2 + 1)2 = xl→im3 (x2
ขอ้ นี้ใชท้ ฤษฎีบทขอ้
= (xl→im3x2 + xl→im31)2 2 9 -> 5 -> 1 ^^

= [ 32 + 1 ] 2

= 100
ดงั นนั้ xl→im3 (x2 + 1)2 = 100

ตัวอย่างที่ 7 จงหา x→lim-3 (x2 - x)(2x - 5)
วธิ ีทาํ x→lim-3 (x2 - x)(2x - 5) = x→lim-3 (x2-x) ∙ x→lim-3 (2x-5)

= (x→lim-3 x2 - x→lim-3x ) ∙ (x→lim-3 2x - x→lim-35)
= ((-3)2-(-3))(2x→lim-3x - 5)
= (9 + 3)[2(-3) - 5]
= 12(-11)
= -132
ดงั น้ัน x→lim-3 (x2 - x)(2x - 5) = -132

ไชโย...ศึกษาจบแล้ว
พกั ๆๆๆแลว้ มาลองทําแบบฝึกทกั ษะกนั

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สาํ หรับนักเรยี นชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสิทธิชัย ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 17

แบบฝกึ ทักษะที่ 1.1

คําช้แี จง ให้นกั เรียนหาลิมิตของฟงั ก์ชันทกี่ าํ หนดให้แต่ละข้อตอ่ ไปนแี้ ลว้ เตมิ คําตอบลงในช่องวา่ งใหถ้ ูกตอ้ ง

x2 2.5 2.7 2.9 2.99 2.999
f(x) = x + 2 4 4.5 4.7 4.9 4.99 4.999

x 4 3.5 3.2 3.01 3.001 3.0001
f(x) = x + 2 6 5.5 5.2 5.01 5.001 5.0001

จงหา
ตอบ .....................1....1.).........x..→l.i.m..3..-...f..(..x..)................................
ตอบ .....................1...2..).........x..→.li.m...3.+...f..(..x...)...............................
ตอบ .....................1...3...)........x..→.li.m...3....f..(..x...)...............................

x 4 4.5 4.9 4.99 4.999
f(x) = x2 + 2 18 22.25 26.01 26.901 26.9901

x 6 5.5 5.2 5.01 5.001
f(x) = x2 + 2 38 32.25 29.04 27.100 27.010

จงหา
1.1) x→lim5- f(x)
ตอบ ...................................................................................
ตอบ .....................1...2..).........x..→.li.m...5.+...f..(..x...)...............................
ตอบ .....................1...3...)........x..→.li.m...5....f..(..x..)................................

เกณฑ์การให้คะแนน ตอบถูก ได้ 0.5 คะแนน ตอบผิด 0 คะแนน รวมคะแนนเตม็ 3 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สาํ หรบั นกั เรียนชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ัย ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 18

แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.2

คาํ ชแี้ จง ให้นกั เรยี นหาลิมิตของฟงั ก์ชันที่กําหนดใหแ้ ตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ีแล้วเติมคําตอบลงในชอ่ งวา่ งใหถ้ ูกตอ้ ง

ข้อท่ี 1 xl→im3 2x+4 ข้อท่ี 5 xl→im2 x2 - 4
ตอบ……………………………………… x-2

ตอบ………………………………………

ข้อที่ 2 xl→im2 3x2-2x-10 ขอ้ ที่ 6 xl→im3 3x2 - 10x + 3
ตอบ……………………………………… x -3

ตอบ………………………………………

ขอ้ ที่ 3 xl→im1 4x2 + 2x ขอ้ ที่ 7 xl→im3 25 - x2 + 4
x2 + 1 x+3

ตอบ……………………………………… ตอบ………………………………………

ขอ้ ท่ี 4 xl→im3 (x2 - 3)2
ตอบ………………………………………

ทําไดไ้ หม…. ยาํ้ คดิ
ยาํ้ ทํา เพ่ือความเข้าใจนะ ^^

เกณฑก์ ารให้คะแนน ตอบถูก ได้ 1 คะแนน ตอบผิด 0 คะแนน รวมคะแนนเต็ม 7 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สําหรับนกั เรียนช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธิชยั ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 19

แบบฝึกทักษะท่ี 1.3

คาํ ชี้แจง ให้นกั เรยี นหาคา่ ลิมิตของฟงั กช์ นั ในแตล่ ะข้อต่อไปนีแ้ ลว้ เติมคําตอบลงในช่องว่างใหถ้ ูกตอ้ ง

ข้อที่ 1 คา่ ของ xl→im3 x2+ 3x - 6 ข้อท่ี 2 คา่ ของ x→lim-3 x2 + 5x + 6
ตอบ…………………………………………… x +3

ตอบ……………………………………………

ข้อที่ 3 คา่ ของ xl→im9 3 - x ขอ้ ที่ 4 ค่าของ xl→im0 5x2 + 4x
9 - x x

ตอบ…………………………………………… ตอบ……………………………………………

ข้อที่ 5 คา่ ของ xl→im0 x+3 - 3 ข้อที่ 6 ค่าของ xl→im8 x2 - 64
x x - 8

ตอบ…………………………………………… ตอบ……………………………………………

ข้อท่ี 7 คา่ ของ xl→im4 (x + 3)(x - 6) ขอ้ ท่ี 8 คา่ ของ xl→im2 1 - x2
ตอบ…………………………………………… 8 +x

ตอบ……………………………………………

ขอ้ ที่ 9 คา่ ของ x→lim-1 x2 + 3x + 2 ข้อท่ี 10 คา่ ของ xl→im1 x -1
x2 + 4x + 3 x2 + 3 - 2

ตอบ…………………………………………… ตอบ……………………………………………

ยิง่ คดิ ยิ่งฝกึ
ยง่ิ มีความชาํ นาญครับผม

เกณฑ์การให้คะแนน ตอบถูก ได้ 1 คะแนน ตอบผิด 0 คะแนน รวมคะแนนเต็ม 10 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบื้องต้น สําหรับนกั เรยี นช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ัย ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 20

ใบความรูท้ ี่ 2
เร่อื ง ความตอ่ เน่อื งของฟงั ก์ชนั

ความต่อเน่ืองของฟงั ก์ชันโดยทัว่ ไปเราจะนิยามฟังกช์ ันตอ่ เน่อื ง ดังนี้

บทนยิ าม

ให้ a เปน็ จํานวนจรงิ ใด ๆ ฟงั ก์ชัน f เปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เนอื่ งที่ x = a เม่ือฟังก์ชนั f มีสมบัติ ดงั น้ี
1. f(a) คา่ ได้
2. xl→ima f(x) หาคา่ ได้
และ 3. xl→ifmaขาfด(คxณุ ) ส=มบfัต(ขิ aอ้ )ใดขอ้ หนง่ึ
ถ้าฟังก์ชัน (หรอื หลายขอ้ ) ในสามข้อดังกลา่ วแลว้ จะกลา่ วได้วา่
“ f ไมม่ ีความต่อเน่ืองท่ี a”
การตรวจสอบว่าฟงั ก์ชัน f เป็นฟงั ก์ชนั ตอ่ เนอื่ งหรอื ไม่ตอ่ เนอ่ื งท่ี x = a มี 3 ขน้ั ตอน ดังนี้
ขัน้ ตอนที่ 1 ตรวจสอบ f(a)
f(a) หาคา่ ไมไ่ ด้ สรุปได้เลยวา่ ฟงั ก์ชัน f ไม่ต่อเน่ืองท่ี x = a
f(a) หาค่าได้ ยังสรุปไม่ได้ จะต้องทาํ ขน้ั ตอนท่ี 2 ตอ่
ขั้นตอนท่ี 2 ตรวจสอบ xl→ima f(x)
xl→ima f(x) หาคา่ ไม่ได้ สรุปไดเ้ ลยว่า ฟังก์ชัน f ไมต่ อ่ เนอ่ื งท่ี x = a
xl→ima f(x) หาค่าได้ ยงั สรุปไมไ่ ด้ จะตอ้ งทาํ ขนั้ ตอนท่ี 3 ตอ่
ข้ันตอนท่ี 3 ตรวจสอบ xl→ima f(x) = f(a) หรอื ไม่
ถ้า xl→ima f(x) ≠ f(a) สรุปไดเ้ ลยวา่ ฟงั กช์ ัน f ไมต่ ่อเน่อื งท่ี x = a
ถ้า xl→ima f(x) = f(a) สรปุ ได้เลยวา่ ฟังก์ชัน f ต่อเนือ่ งท่ี x = a
ขอ้ สังเกต
 ถ้าฟังกช์ นั f ตอ่ เนื่องที่ x = a แล้ว f(a) = x→lima- f(x) = x→lima+ f(x)
 ถา้ ฟังก์ชนั f ไมต่ อ่ เน่ืองท่ี x = a แล้ว f(a) ≠ x→lima- f(x) ≠ x→lima+ f(x)

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สําหรบั นักเรียนชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 6
นายสิทธิชัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 21

ตวั อยา่ งที่ 1 จงพจิ ารณาว่า f(x) = x2 + 4 เปน็ ฟังกช์ ันต่อเน่ืองที่ x = 2 หรือไม่

วิธีทํา การท่ี f จะเปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เน่ืองท่ี x = 2 นน้ั f จะตอ้ งมสี มบัตคิ รบ 3 ข้อตามนิยาม
จาก f(x) = x2 + 4
1. f(2) = 22 + 4 = 8
แสดงว่า สามารถหาคา่ f(2) ได้
นน่ั คือ f(2) = 8
2. xl→im2 f(x) = 2xl→2im+2 x2 + 4
= 4
=8
แสดงวา่ xl→im2 f(x) หาค่าได้ ถ้ายังไมเ่ ข้าใจ
น่นั คอื x1l→imแ2ละf(2x)จะ=ได8ว้ ่า ศึกษาอีกรอบแลว้ กัน
จากขอ้
3.
xl→im2 f(x) = f(2)
 ทจ่ี ดุ x = 2 ฟงั กช์ นั f มีลกั ษณะตามสมบตั ทิ ั้ง 3 ขอ้
ตอบ แสดงวา่ f เปน็ ฟงั ก์ชนั ตอ่ เนื่องท่จี ดุ x = 2

ตัวอยา่ งที่ 2 จงพิจารณาวา่ f(x) = x2 - 9 เปน็ ฟงั ก์ชนั ตอ่ เนื่องท่ี x = 3 หรือไม่
x-3

วธิ ที าํ การท่ี f จะเป็นฟังกช์ ันตอ่ เนอ่ื งท่ี x = 3 นัน้ f จะตอ้ งมสี มบตั ิครบ 3 ขอ้ ตามนยิ าม
x2 - 9
จาก f(x) = x-3

1. f(3) = 32 - 9 = 0 ซึง่ ไม่มีความหมาย
3-3 0

แสดงว่า f(3) ไม่สามารถหาคา่ ได้
 ฟังกช์ ัน f ไม่มีลกั ษณะตามสมบตั ิขอ้ ที่ 1
ตอบ แสดงวา่ f ไม่เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเนอ่ื งท่จี ดุ x = 3

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบอื้ งต้น สําหรับนกั เรียนช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสิทธิชัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 22

x2 - 4 ,x ≠ 2 จงพจิ ารณาว่าฟงั ก์ชัน f เปน็ ฟงั กช์ ันต่อเนอ่ื ง
ตัวอยา่ งท่ี 3 กาํ หนดให้ f(x) = 4x - 2 ,x = 2

ที่ x = 2 หรือไม่

วิธีทํา การท่ี f จะเปน็ ฟังกช์ ันต่อเนื่องท่ี x = 2 นนั้ f จะตอ้ งมสี มบตั คิ รบ 3 ข้อตามนิยาม
x2 - 4
จาก f(x) = 4x - 2 ,x ≠ 2
1) f(2) = 4 ,x = 2

แสดงวา่ หาคา่ f(2) ได้ และมีสมบัตติ ามขอ้ 1
นัน่ คือ f(2) = 4
x2 - 4
2) xl→im2 f(x) = xl→im2 x - 2

= xl→im2 (x + 2)(x - 2)
x-2

= xl→im2(x + 2)

= 2+2
=4
แสดงว่าหาค่า f(x) ได้ และมีสมบตั ิตามขอ้ 2
นนั่ คือ xแl→iลmะ2 f(x) = 4
3. จากข้อ 1 2 จะไดว้ ่า
xl→im2 f(x) = f(2)
 ทจี่ ุด x = 2 ฟังกช์ นั f มลี ักษณะตามสมบัตทิ ง้ั 3 ข้อ
ตอบ แสดงวา่ f เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเนื่องทีจ่ ุด x = 2

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สําหรับนักเรยี นชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธิชยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 23

ความต่อเน่อื งของฟงั ก์ชนั บนชว่ ง

โดยท่วั ไป เราจะนยิ ามฟงั กช์ ันต่อเนื่อง ดงั น้ี
บทนยิ าม

ฟังก์ชัน f เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เนอ่ื งบนชว่ ง (a , b)
เม่ือฟังก์ชนั f น้นั ตอ่ เนือ่ งท่ที ุก ๆ จุดบนช่วง (a , b)

บทนยิ าม
ฟังก์ชัน f เปน็ ฟังกช์ ันต่อเนอ่ื งบนชว่ ง [a , b] เม่อื

1. f เปน็ ฟังกช์ ันตอ่ เนื่องบนชว่ ง (a , b)
2. x→lima+ f(x) = f(a)
3. x→lima- f(x) = f(b)
ตวั อยา่ งท่ี 4 จงพิจารณาความตอ่ เนื่องของฟังกช์ นั f(x) = 9 - x2
วิธที ํา จาก f(x) = 9 - x2
สามารถเขียนกราฟได้ดังน้ี

จะพบว่า 1. f เป็นฟงั กช์ ันต่อเนอ่ื งท่ที ุก ๆ จดุ บนช่วง (-3, 3)
2. x→lim3+ f(x) = f(-3) = 0
3. แลxะ→lim33- f(x) = f(3) = 0
จากข้อ 1 , 2 สรุปได้วา่ f เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเน่อื งบนช่วง [-3 , 3]

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบื้องต้น สําหรบั นกั เรียนชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 24

ตัวอยา่ งท่ี 5 ฟงั กช์ นั f(x) = x เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนอื่ งบนช่วง (0 , ) หรอื ไม่
วิธีทาํ จาก f(x) = x
ให้ a  (0, ) อยากเก่งคณิตศาสตร์
จะได้วา่ f(a) = a กต็ ้องขยนั ฝกึ ฝนนะ
xl→ima f(x) = xl→ima x = a
ดงันัน้ xl→iฟmงั aกfช์ (นั x)f=ต่อfเ(นa่อื )งที่ทุก x  (0, ) กันหนอ่ ยครับ

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สาํ หรับนักเรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธิชัย ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 25

แบบฝกึ ทักษะท่ี 2.1

คาํ ชี้แจง : ให้นกั เรียนแต่ละกล่มุ พิจารณาฟงั กช์ นั ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเนอ่ื งท่ีจุดกําหนดใหห้ รอื ไม่
โดยกาเครื่องหมาย  ลงในตารางใหถ้ ูกตอ้ ง

ข้อที่ ฟงั กช์ ันที่กาํ หนดให้ จดุ ท่ี ฟงั ก์ชันต่อเน่ือง ณ จดุ กําหนดให้
กําหนดให้ เปน็ ไมเ่ ป็น

1 f(x) = 3x - 1 x=0

2 f(x) = 3x2 + 5 x = -4

3 f(x) = x2 - 4x + 3 x=4
x-1

4 f(x) = 2x2 - 1 x=3

5 f(x) = x2 - 1 x=1
x3 - 1 x=3

6 g(x) = x2 - 9 ,x ≠ 3
6x - 3 ,x = 3

7 f(x) = 4 - x2 ,x ≠ 1 x=1
2 ,x = 1 x=0

8 f(x) = 1
x

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ตอบถูก ได้ 1 คะแนน ตอบผดิ 0 คะแนน รวมคะแนนเต็ม 8 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สําหรับนกั เรียนชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ัย ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 26

แบบฝึกทกั ษะท่ี 2.2

คําช้ีแจง : ให้นักเรียนแต่ละกล่มุ แสดงวิธที าํ ในแตล่ ะข้อให้ถูกต้องสมบูรณ์
1) กําหนด f(x) = 36 - x2 จงพจิ ารณาวา่ ฟังก์ชนั f ตอ่ เนื่องบนชว่ ง [-6 , 6] หรอื ไม่
วธิ ที าํ …………………………………………………………………………………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………

2) กําหนด f(x) = 49 - x2 จงพจิ ารณาว่าฟังก์ชนั f ต่อเน่ืองบนชว่ ง [-7 , 7] หรือไม่
วิธีทาํ …………………………………………………………………………………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน แสดงวธิ ีทําหาคาํ ตอบถูกทุกขน้ั ตอน ไดข้ ้อละ 2 คะแนน ผดิ บางขน้ั ตอนอยู่ในดุลยพินิจของครู
วธิ ที าํ และขั้นตอนผิด ได้ 0 คะแนน รวมคะแนนเตม็ 4 คะแนน ได้.........................คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สาํ หรบั นักเรียนชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสิทธิชัย ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 27

แบบฝกึ ทักษะที่ 2.3

คําชแี้ จง : ใหน้ กั เรียนแตล่ ะคนหาคําตอบใหถ้ ูกต้อง
1…. ……จง.ห…า…คา่ …ขอ…ง…x…→lim…-3…2…x2…x+…+…5x3…-…3……………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………

2. จงหาค่าของ x→lim-3 x3 + 27
x + 3

……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………

3. กําหนด f(x) = x2 - x - 6 ,x ≠ -3 ฟงั กช์ นั f ตอ่ เนือ่ งท่ี x = 3 หรือไม่
2x -x 1- 3 ,x = -3

……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบอื้ งต้น สําหรบั นกั เรยี นชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสิทธชิ ัย ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 28

4. กาํ หนด f(x) = 64 - x2 ฟังกช์ ัน f ต่อเน่อื งบนชว่ ง [-8 , 8] หรอื ไม่
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………

นึก ทบทวนความรู้
คดิ อยา่ งละเอยี ดกอ่ นลงมือปฏบิ ัตินะ

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน แสดงวธิ ีทาํ หาคําตอบถูกทุกขั้นตอน ไดข้ อ้ ละ 2 คะแนน ผดิ บางขั้นตอนอยูใ่ นดลุ ยพินจิ ของครู
วิธที ําและข้นั ตอนผดิ ได้ 0 คะแนน รวมคะแนนเต็ม 8 คะแนน ได้.........................คะแนน
เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สาํ หรบั นักเรยี นช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 29

ใบความรูท้ ่ี 3
เรือ่ ง ความชนั ของเส้นโคง้

ความชนั ของเส้นโค้งและความชันของเสน้ สัมผสั เส้นโค้ง

การหาความชันของเสน้ โคง้ และความชนั ของเส้นสัมผัสเส้นโคง้ สามารถหาได้จากนิยามตอ่ ไปน้ี

บทนยิ าม

ถา้ y = f(x) เปน็ สมการของเส้นโคง้ แลว้
เสน้ สมั ผัสเสน้ โค้งทจ่ี ุด P(x , y) ใด ๆ จะเปน็ เส้นตรงที่ผา่ นจดุ P และ
f(x + h) - f(x)
มีคา่ ความชันเท่ากบั hl→imo h

บทนิยาม
ความชนั ของเสน้ โคง้ ณ จุด P(x , y) ใด ๆ บนเส้นโค้ง

หมายถงึ ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง ณ จดุ P

แคบ่ ทนยิ ามอาจจะงง ๆ
เราไปดูตัวอยา่ งประกอบกันเลย^^

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สําหรับนกั เรยี นชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 30

ตัวอยา่ งท่ี 1 ถ้า f(x) = 5x2 – 6 เปน็ สมการเสน้ โค้ง จงหาความชันของเสน้ โค้งที่จุด (3 , 12)

วธิ ที าํ จาก f(x) = 5x2 – 6
dy f(x + h) - f(x)
จะได้ว่า dx = hl→imo h

= h→limo [5(x + h)2 - 6] - (5x2 - 6)
h

= hl→imo [5(x2+ 2xh + h2) - 6] - (5x2 - 6)
h

= hl→imo [5x2+ 10xh + 5h2 - 6] - (5x2 - 6)
h

= hl→imo 5x2+ 10xh + 5h2 - 6 - 5x2 + 6
h

= h→limo 10xh + 5h2
h

= hl→im0 10x + h

= 10x
ความชันของเส้นโคง้ ณ จดุ (x , y) ใด ๆ = 10x
ตอบ ความชันของเสน้ โค้ง ณ จดุ (3 , 12) = 10(3) = 30

ขยัน ใส่ใจเรยี นรูใ้ ห้มาก ๆ
นะครบั

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สําหรบั นกั เรียนชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธิชยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 31

ตัวอย่างท่ี 2 ให้ f(x) = 3x – x2 จงหาความชนั ของเสน้ สัมผัสเส้นโคง้ ทจ่ี ดุ (4 , 6)

วิธีทํา จาก f(x) = 3x – x2
dy f(x + h) - f(x)
จะไดว้ า่ dx = hl→imo h

= h→limo [3(x + h) - (x + h)2] - (3x - x2)
h

= hl→imo [3x + 3h - (x2 + 2xh + h2)] - (3x - x2)
h

= hl→imo 3x + 3h - x2 - 2xh - h2 - 3x + x2
h

= hl→imo 3h - 2xh - h2
h

= hl→im0 3 - 2x – h

= 3 – 2x

ความชันของเส้นสมั ผัสเส้นโค้ง ณ จุด (x , y) ใด ๆ = 3 – 2x
ตอบ ความชนั ของเส้นสมั ผัสเส้นโคง้ ณ จุด (4 , 6) = 3 – 2(4) = 3 – 8 = – 5

เปน็ อยา่ งไรบา้ ง
เขา้ ใจไหมเอ่ย...

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สาํ หรบั นกั เรียนช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 32

ตวั อยา่ งท่ี 3 ให้ y = x3 เปน็ สมการเส้นโคง้ จงหาความชันของเสน้ โคง้ ท่จี ุด (10 , 20)
วิธีทํา จาก y = x3
นนั่ คอื f(x) = x3
dy f(x + h) - f(x)
จะได้ว่า dx = hl→imo h

= h→limo (x + h)3 - x3
h

= h→limo x3 + 3x2h + 3xh3 + h3 - x3
h

= hl→imo 3x2h + 3xh3 + h3
h

= hl→im0 3x2 + 3xh2 + h2

= 3x2

ความชันของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ณ จุด (x , y) ใด ๆ = 3x2
ตอบ ความชนั ของเสน้ สัมผสั เสน้ โคง้ ณ จุด (10 , 20) = 3(10)2 = 300

การหาความชันของเส้นโค้งและความชันของเส้นสัมผสั เสน้ โคง้
f(x + h) - f(x)
หาได้จาก hl→imo h

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สาํ หรบั นักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธิชัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 33

สมการของเสน้ สมั ผัสเส้นโคง้
สมการของเส้นสมั ผสั เสน้ โคง้ ทจี่ ุด (x , y) ใด คอื y – y1 = m(x – x1)
เม่ือ m คือความชันของเสน้ ตรง ซึง่ สามารถหาสมการของเส้นสัมผสั เสน้ โคง้ ไดด้ งั ตวั อย่างต่อไปน้ี

ตัวอย่างท่ี 4 ถา้ y = x2 – x เปน็ สมการของเสน้ โคง้ จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งทจ่ี ดุ (2 , 2)
วิธีทํา จาก y = x2 – x
น่นั คือ f(x) = x2 – x
dy f(x + h) - f(x)
จะไดว้ ่า dx = hl→imo h

= h→limo [(x + h)2 - x- h] - x2 + x
h

= hl→imo x2 + 2xh + h2 - x - h - x2 + x
h

= hl→imo 2xh + h2 - h
h

= hl→im0 2x + h - 1
= 2x - 1

ความชันของเสน้ สมั ผัสเส้นโค้งทจี่ ุด (2 , 2) = 2(2) – 1 = 3
สมการของเส้นตรงทผ่ี ่านจดุ (x1 , y1) และมีความชันเท่ากับ m คอื y – y1 = m(x – x1)
เนือ่ งจากเส้นสมั ผสั เส้นโค้งท่จี ุด (2 , 2) เป็นเส้นตรงทผ่ี า่ นจุด (2 , 2) และมคี วามชนั เทา่ กับ 3
ดังนั้น สมการของเสน้ สมั ผัสเสน้ โคง้ คือ y – 2 = 3(x – 2)

y – 2 = 3x – 6
ตอบ 3x – y – 4 = 0

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบื้องต้น สําหรบั นกั เรียนช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 34

ตัวอย่างที่ 5 ถ้า y = x – 3x2 เปน็ สมการของเสน้ โค้ง จงหาสมการของเสน้ สัมผสั เส้นโค้งทจ่ี ดุ (3 , -3)
วธิ ีทํา จาก y = x – 3x2
หรอื f(x) = x – 3x2
dy f(x + h) - f(x)
จะไดว้ า่ dx = hl→imo h

= h→limo [x + h - 3(x + h)2] - x + 3x2
h

= hl→imo x + h - 3x2 - 6xh - 3h2 - x + 3x2
h

= h→limo h - 6xh - 3h2
h

= hl→im0 1 - 6x - 3h

= 1 – 6x

ความชนั ของเส้นสมั ผัสเสน้ โค้งทจี่ ุด (3 , -3) = 1 – 6(3) = -17
สมการของเสน้ ตรงทีผ่ ่านจดุ (x1 , y1) และมีความชันเทา่ กบั m คอื y – y1 = m(x – x1)
เน่ืองจาก เสน้ สัมผัสเสน้ โคง้ ท่ีจุด (3 , -3) เป็นเสน้ ตรงท่ีผา่ นจดุ (3 , -3) และมคี วามชัน

เท่ากบั -17
ดงั นัน้ สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง คือ y – (-3) = -17(x – 3)

y + 3 = -17x + 51
ตอบ 17x + y – 48 = 0

ฝกึ บ่อย ๆ
ใชเ้ ยอะ ๆ จะเข้าใจมากขึ้น ^^

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบ้ืองต้น สําหรบั นกั เรียนชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 35

ตัวอย่างท่ี 6 จงหาสมการของเส้นสัมผสั เสน้ โค้ง y = x3 – 2x2 + 4 ทจ่ี ดุ ซง่ึ x = 2
วธิ ีทํา จาก y = x3 – 2x2 + 4

หรือ f(x) = x3 – 2x2 + 4

dy = hl→imo f(x + h) - f(x)
dx h

= hl→imo [(x + h)3 - 2(x + h)2 + 4] - x3 + 2x2 - 4
h

= h→limo x3 + 3x2h + 3xh3 + h3 - 2x2 - 4xh - 2h2 + 4 - x3 + 2x2 - 4
h

= hl→imo 3x2h + 3xh3 + h3 - 4xh - 2h2
h

= hl→im0 3x2 + 3xh2 + h2 - 4x - 2h

= 3x2 – 4x
ความชันของเสน้ โคง้ ณ จดุ (x , y) ใด ๆ = 3x2 – 4x
ความชนั ของเสน้ สมั ผัสเสน้ โค้งทจี่ ุด x = 2 เทา่ กับ 3(22) – 4(2) = 4 เมอ่ื x = 2
จะได้ y = 23 – 2(22) + 4 = 4
 จุดสัมผสั เสน้ โคง้ คอื จุด (2 , 4)

สมการเส้นสมั ผสั เสน้ โคง้ คอื y – 4 = 4(x – 2)
y – 4 = 4x – 8

ตอบ 4x – y – 4 = 0

การหาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง มขี นั้ ตอนดังน้ี
หหาาจddุดyxสัมซผง่ึัสเทเส่าน้กโบั คค้งวาคมอื ชจนัดุ ขอ(งxเส,้นโyค)้ง
1.
2.
3. หาสมการของเสน้ สัมผสั เสน้ โค้งจากสูตร y – y1 = m(x – x1)

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สําหรบั นกั เรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสิทธิชยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 36

แบบฝกึ ทักษะที่ 3.1

คําชีแ้ จง : ให้นกั เรยี นเติมคาํ ตอบแตล่ ะขอ้ ลงในชอ่ งวา่ งให้ถูกต้องสมบูรณ์
ขอ้ 1 ให้ f(x) = x2 – 4x เปน็ สมการของเส้นโค้ง จงหาความชันของเส้นโคง้ ทจ่ี ดุ (6 , 3)

ตอบ ........................................................................................

ข้อ 2 ให้ f(x) = 3x – 2x2 เป็นสมการของเสน้ โคง้ จงหาความชนั ของเส้นโคง้ ที่จุด (1 , 3)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 3 ถา้ f(x) = 2x2 – 10 เปน็ สมการของเส้นโค้ง จงหาความชันของเสน้ โค้งทจ่ี ุด (2 , 4)
ตอบ ........................................................................................

ข้อ 4 ถา้ f(x) = 6x2 – 1 เปน็ สมการของเสน้ โค้ง จงหาความชันของเสน้ สัมผสั เสน้ โค้งทีจ่ ดุ (2 , 5)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 5 ให้ f(x) = 4x3 เป็นสมการของเสน้ โค้ง จงหาความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ท่ีจุด (7 , 3)
ตอบ ........................................................................................

ข้อ 6 ให้ y = x2 – x + 5 เปน็ สมการของเสน้ โค้ง จงหาความชนั ของเสน้ โค้งทจ่ี ดุ (5 , 4)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 7 ให้ f(x) = x3 + 2x เป็นสมการของเสน้ โคง้ จงหาความชันของเส้นสัมผสั เส้นโค้งที่จดุ (6 , -8)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 8 ให้ f(x) = x3 – x2 เป็นสมการของเสน้ โคง้ จงหาความชนั ของเส้นโค้งทจ่ี ุด (12 , 8)
ตอบ ........................................................................................

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ตอบถูก ได้ 1 คะแนน ตอบผดิ 0 คะแนน รวมคะแนนเต็ม 8 คะแนน ได้..............คะแนน
เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สาํ หรบั นักเรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ัย ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 37

แบบฝึกทักษะท่ี 3.2

คําชแ้ี จง : ใหน้ ักเรยี นเตมิ คาํ ตอบแต่ละข้อต่อไปน้ีลงในช่องวา่ งใหถ้ ูกตอ้ ง
ขอ้ 1 จงหาสมการของเสน้ สมั ผัสเสน้ โคง้ y = x2 – 2x ท่จี ดุ (-1 , 3)

ตอบ ........................................................................................

ข้อ 2 จงหาสมการของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ y = 4x2 + 2x - 6 ท่จี ดุ (6 , 4)
ตอบ ........................................................................................

ข้อ 3 จงหาสมการของเส้นสัมผสั เส้นโคง้ y = x3 – 2x2 + 4 ท่ีจุด (2 , 4)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 4 จงหาสมการของเสน้ สมั ผัสเส้นโคง้ y = x2 – 2x + 1 ทจี่ ดุ (2 , 1)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 5 จงหาสมการของเส้นตรงทต่ี ั้งฉากกับเส้นสมั ผสั เส้นโค้ง y = 2x + 3 x ทจ่ี ดุ x = 4
ตอบ ........................................................................................

ข้อ 6 จงหาสมการของเสน้ สัมผัสเสน้ โค้ง y = 2x2 – 3x + 1 ทจ่ี ดุ (2, -1)
ตอบ ........................................................................................
พิจารณาใหด้ ีก่อนลงมอื ทํานะ
ครับ

เกณฑ์การให้คะแนน ความชนั และสมการถูกต้อง 2 คะแนน ความชนั ถูก สมการผดิ 1 คะแนน
ความชนั และสมการผิด 0 คะแนน รวมคะแนนเตม็ 12 คะแนน ได้..............คะแนน
เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สําหรับนกั เรยี นช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 38

ใบความรูท้ ี่ 4
เร่ือง การหาอนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั โดยใช้นิยาม

อนุพันธข์ องฟังกช์ นั
อนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั y = f(x) ใด ๆ นิยามได้ดงั นี้

บทนยิ าม

ถา้ y = f(x) เปน็ ฟังก์ชนั ทม่ี โี ดเมนและเรนจ์เป็นสบั เซตของเซตของจาํ นวนจริง

และ hl→imo f(x + h) - f(x) หาคา่ ได้
h

เรยี กค่า ลิมิตทไี่ ด้น้วี ่า “อนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชนั f ท่ี x” เขยี นแทนด้วย f/(x)

จากบทนิยาม จะได้ f/(x) = hl→imo f(x + h) - f(x)
h

การหา f/ เรียกว่าการหาอนุพันธข์ องฟังก์ชนั f ถ้า h→limo f(x + h) - f(x) หาคา่ ไมไ่ ด้
h
dy
เราจะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f ไมม่ ีอนุพันธท์ ่ี x สญั ลักษณท์ ใี่ ชแ้ ทนอนพุ ันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x เช่น dx

(อ่านว่า ดวี ายบายดีเอกซ)์ , เพy/ราะแลddะyxddxคfอื (xอ)นพุ เปันน็ธตข์ อ้นงฟงั ก์ชนั

หมายเหตุ 1. dy x f ที่ x ไมไ่ ด้ หมายถงึ d คูณ y
dx ≠ y
หารดว้ ย d คูณ x
dy
2. dเมxื่อ คอื อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทยี บกบั x ขณะ x มีค่าใด ๆ v คอื ความเร็ว
3. S แทนระยะทางท่วี ตั ถเุ คลื่อนท่ีไดใ้ นเวลา t หรอื S = f(t) ถา้
ขณะเวลา t ใด ๆ
= hl→imo f(t + h) - f(t)
จะได้ v S/ = f/(t) = h =v
ดงั น้ัน ds
dt

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สําหรบั นกั เรียนชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ัย ยุบลวฒั น์

ตัวอยา่ งท่ี 1 กาํ หนด f(x) = 5 – 3x + x2 จงหา f/(x) ห น้ า | 39
วิธที าํ จาก f(x) = 5 – 3x + x2
ตวั อย่างแรก
f(x + h) = 5 – 3(x + h) + (x + h)2 งง ๆ ไหม
= 5 – 3x + 3h + x2 + 2hx + h2
เขา้ ใจมากข้นึ กนั ไหม
f(x + h) – f(x) = - 3h + 2hx + h2 ครับ
= h(h + 2x – 3)

f(x + h) - f(x) = h + 2x – 3
h

hl→imo f(x + h) - f(x) = h→limo(h + 2x – 3)
h

= 2x – 3
ตอบ f/(x) = 2x – 3

ตัวอยา่ งท่ี 2 กาํ หนด f(x) = 2x2 จงหา f/(x)
f(x + h) - f(x)
วิธีทํา f/(x) = hl→imo h

= hl→imo 2(x + h)2 - 2x2
h

= hl→imo 2(x2 + 2xh + h2) - 2x2
h

= hl→imo 2x2 + 4xh + 2h2 - 2x2
h

= hl→imo 4xh + 2h2
h

= h4l→imx o4x + 2h
=
ตอบ f/(x) = 4x

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบื้องต้น สําหรบั นกั เรียนช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสิทธิชยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 40

ตัวอย่างที่ 3 จงหาอนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั f(x) = x3 + 2x2 ณ จุดที่ x = -2
วธิ ที ํา จาก f(x) = x3 + 2x2

f/(x) = hl→imo f(x + h) - f(x)
h

= hl→imo [(x + h)3 + 2(x + h)2] - x3 - 2x2
h

= h→limo x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 2x2 + 4xh + 2h2 - x3 - 2x2
h

= hl→imo 3x2h + 3xh2 + h3 + 4xh + 2h2
h

= h→limo3x2 + 3xh + h2 + 4x + 2h เข้าใจมากข้นึ กนั ไหม
= 3x2 + 4x ครบั
f/(-2) = 3(-2)2 + 4(-2)
= 12 – 8
=4
ตอบ f/(-2) = 4

สรปุ ^^

การหาอนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั มีขน้ั ตอนดังนี้
ข้นั ท่ี 1 แทนคา่ x ด้วย x + h ใน f(x)
ขั้นที่ 2 หา f(x + h) – f(x)
ขั้นที่ 3 หาร f(x + h) – f(x) ด้วย h
f(x + h) - f(x)
ขัน้ ที่ 4 หา hl→imo h

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สาํ หรบั นักเรยี นช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสิทธชิ ยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 41

แบบฝึกทักษะที่ 4.1

คาํ ชีแ้ จง : ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาํ หาอนุพนั ธข์ องฟงั กช์ ันท่กี ําหนดให้ต่อไปนี้
ขอ้ 1 f(x) = 2x2 – x

……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ขอ้ 2 f(x) = 3x2 – 6x + 7
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบื้องต้น สาํ หรับนกั เรียนชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธิชยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 42

ข้อ 3 f(x) = 5x3 – 6x
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ข้อ 4 f(x) = x2 + 2x – 3
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สําหรับนกั เรยี นช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสทิ ธิชยั ยุบลวัฒน์

ห น้ า | 43

ขอ้ 5 f(x) = x4
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ยิง่ คดิ ยิ่งฝกึ ยิง่ เขา้ ใจ
ใชไ่ หม

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน วิธที ําและคําตอบถูกตอ้ ง 2 คะแนน วธิ ที ําถูกต้อง คําตอบผดิ 1 คะแนน
วธิ ที าํ และคําตอบผิด 0 คะแนน รวมคะแนนเต็ม 10 คะแนน ได้..............คะแนน
เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สําหรับนกั เรียนชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 44

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 4.2

คําช้แี จง : ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทําหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชันท่ีกําหนดให้ตอ่ ไปนี้
ข้อ 1 f(x) = x3 + x + 1 ที่ x = 1

……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ขอ้ 2 f(x) = x2(x + 2) ที่ x = - 2
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ข้อ 3 f(x) = 2x2 – 3x + 2 ที่ x = 2
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สําหรบั นกั เรียนชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสิทธชิ ยั ยบุ ลวัฒน์

ห น้ า | 45

ขอ้ 4 f(x) = x2(3x - 2) ท่ี x = - 1
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ข้อ 5 f(x) = 3x2 – 4x - 3 ที่ x = -2
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ขยนั อดทน สู้ สู้
ครับ

เกณฑ์การใหค้ ะแนน หาอนพุ นั ธ์และคาํ ตอบถูกต้อง 2 คะแนน หาอนุพนั ธถ์ ูกต้อง คําตอบผิด 1 คะแนน
หาอนุพนั ธ์และคาํ ตอบผดิ 0 คะแนน รวมคะแนนเตม็ 10 คะแนน ได้..............คะแนน

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สาํ หรบั นักเรยี นชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 46

ใบความรู้ที่ 5
เรื่อง อตั ราการเปล่ียนแปลง

อตั ราการเปลีย่ นแปลง
โดยทวั่ ไปอตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลยี่ และอัตราการเปลย่ี นแปลงขณะใด ๆ ของฟังก์ชนั นยิ ามได้ดังน้ี

บทนยิ าม

ถา้ y = f(x) เปน็ ฟังกช์ นั ใด ๆ เมื่อคา่ ของ x เปลยี่ นเป็น x + h โดยที่ h  0
ค่าของ y เปล่ยี นจาก f(x) เป็น f(x + h) แลว้ อัตราการเปล่ยี นแปลงของ y เทยี บกบั x

ในชว่ ง x ถึง x + h คือ f(x + h) – f(x)
h

อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกบั x ขณะ x มีคา่ ใด ๆ คือ h→limo f(x + h) – f(x)
h

ตัวอยา่ งที่ 1 ให้ y = x2 + 1 จงหา
1. อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของ y เม่ือเทยี บกับ x ในชว่ ง x = 3 ถึง x = 5
2. จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงของ y เทียบกบั x ขณะที่ x = 3

วิธที ํา 1) จาก y = f(x) = x2 + 1 และอตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลย่ี ของ y เทยี บกับ x ในช่วง x
ดถงั งึนั้นxอตั+ราhกาครเือปลf่ยี (นxแ+ปลงhเhฉ)ล–ยี่ ขอfง(xy) เทยี บกับ x ในช่วง x = 3 ถึง x = 5
ตคอือบf(อ5ตั 5)รา––กา3รfเ(ป3ล)ย่ี น=แปล(ง5เฉ2ลี่ย+ขอ1ง) – (32 + 1) 26 – 10
y2 เม่อื เทยี บกบั = ในช่ว2ง x = 8 x = 5 คอื 8
x =3 ถึง

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สาํ หรบั นักเรยี นช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสิทธชิ ัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 47

2) อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกบั x ขณะ x มีคา่ ใด ๆ คอื h→limo f(x + h) – f(x)
จาก f(x) = x2 + 1 h

hl→imo f(x + h) – f(x) = hl→imo [(x + h)2 + 1] – (x2 + 1)
h h

= h→limo x2 + 2xh + h2 + 1 – x2 – 1
h

= h→limo 2xh + h2
h

= h→limo2x + h

= 2x
ตอบ อัตราการเปลย่ี นแปลงขณะท่ี x = 3 คอื 2(3) = 6

ตวั อย่างท่ี 2
กําหนดสมการการเคล่อื นที่ S = 4.9t2 เมื่อ S เป็นระยะทางของการเคลื่อนทมี่ หี นว่ ย

เป็นเมตร และเวลา t วินาที จงหาอัตราการเปลีย่ นแปลงเฉลี่ยของ S เทยี บกับ t
เมอื่ t เปลยี่ นจาก 4 เปน็ 4.5

วธิ ที าํ อัตราการเปล่ยี นแปลงเฉลย่ี ของ S เทยี บกบั t = 4.9(t + h)2 – 4.9t2
= 4.9t2+9.8hth + 4.9h2 – 4.9t2
= 9.8th + 4.9h2 h

h

เมื่อ t = 4 , h = 4.5 – 4 = 0.5 = 9.8t + 4.9h

ดงั นั้น อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลี่ย = 9.8(4) + 4.9(0.5) = 39.2 + 24.5 = 41.65
ตอบ อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลยี่ ของ S เทยี บกับ t เมอื่ t เปลย่ี นจาก 4 เป็น 4.5
เทา่ กบั 41.65 เมตรต่อวินาที

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบอื้ งต้น สาํ หรับนกั เรยี นชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธิชัย ยบุ ลวฒั น์

ห น้ า | 48

สรุป^^

การหาอัตราการเปล่ียนแปลงของ y เทยี บกบั x ขณะ x มคี ่าใด ๆ มีข้นั ตอนดังนี้
ขั้นที่ 1 หา f(x)
ขน้ั ท่ี 2 หา f(x + h)
ขน้ั ท่ี 3 หา f(x + h) – f(x)
f(x + h) – f(x)
ขน้ั ที่ 4 หา
ขน้ั ท่ี 5 หา hl→imo f(xh + h) – f(x)
h

ตวั อย่างที่ 3
จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลย่ี ของพืน้ ที่รูปสเ่ี หล่ียมจตั ุรสั เทียบกับความยาวของดา้ นเมือ่ ความยาวของดา้ น

เปล่ยี นจาก 7 นิว้ ไปเปน็ 9 นิ้ว และจงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงของพื้นทรี่ ูปส่เี หลย่ี มจัตรุ ัส
เทยี บกบั ความยาวของดา้ น ขณะท่ีดา้ นมคี วามยาว 7 นิ้ว

วิธที ํา ให้พ้ืนที่ส่ีเหลีย่ มจัตุรัส เท่ากับ A ตารางนวิ้
ให้ความยาวของแต่ละดา้ นของสเ่ี หล่ยี มจตั รุ ัส เท่ากบั x นวิ้
เนอ่ื งจากพ้นื ท่สี ี่เหลีย่ มจัตรุ สั = ด้าน x ด้าน = ด้าน2
สมการความสมั พนั ธ์ระหว่างพน้ื ท่ีสี่เหลย่ี มจตั รุ สั กบั ความยาวของแตล่ ะดา้ น คือ A = x2 หรือ
f(x) = x2 หรือ y = x2
จากโจทย์จะได้วา่ x= 7
x+h = 9
h = 9–7 = 2
f(x + h) – f(x) f(9) – f(7)
h = 92 –9 7–2 7
81 –2 49
= 16 2
=

=

ดงั น้ัน อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ยี ของพน้ื ที่ส่ีเหลี่ยมจัตรุ ัสเทยี บกบั ดา้ นเมื่อความยาวของด้านเปล่ยี น
จาก 7 นิ้ว เป็น 9 นว้ิ เทา่ กับ 16 ตารางนิว้ /นิว้

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบื้องต้น สําหรับนกั เรียนช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสิทธชิ ยั ยุบลวฒั น์

ห น้ า | 49

จ(ึงหแาทกนจคะห่าาอxัตร=าก7ารแเปลละยี่ hนแ=ปล2งเฉกลจ็่ยี ะจไาดกค้ าํ fต(อxบเ+ปน็ hh)16–เชf่น(กxัน))แลว้ เปลีย่ นรูปไปถึง 2x + h
จาก f(x) = x2 และ f(x+h) = (x+h)2
f(x + h) – f(x) (x + h)2 – x2
จะได้ hl→imo h = hl→imo h

= h→limo x2 + 2xh + h2 – x2
h

= hl→imo 2xh + h2
h

= h2→lximo2x + h
=
เม่ือ x = 7 จะไดอ้ ัตราการเปลย่ี นแปลงของพ้ืนท่เี ทยี บกบั ความยาวด้านเป็น
2(7) = 14 ตารางนิ้ว/นว้ิ
ดงั น้นั อัตราการเปลี่ยนแปลงของพนื้ ทรี่ ูปส่เี หลย่ี มจัตรุ ัสเทียบกับความยาวของด้าน ขณะทดี่ ้านมี
ความยาว 7 นวิ้ เท่ากบั 14 ตารางนวิ้ /นิว้

... อย่าลมื จดบันทกึ ชว่ ยจํา …
เพ่ือยํ้าความคดิ นะครบั

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบือ้ งต้น สําหรับนักเรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสิทธิชัย ยบุ ลวฒั น์