แบบฝึกทักษะชุดที่1เนื้อหา

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์

รหัสวชิ า ค 33202 รายวชิ า คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ
กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 6

เรื่อง แคลคูลสั เบือ้ งต้น

ชุดที่ 1 เรื่อง ลมิ ติ ของฟังก์ชัน

โดย
นายสิทธิชัย ยุบลวฒั น์
ตาแหน่ง ครู วทิ ยฐานะ ครูชานาญการพเิ ศษ

โรงเรียนอนุกลู นารี
อาเภอเมืองกาฬสินธ์ุ จังหวดั กาฬสินธ์ุ
สานักงานเขตพนื้ ท่กี ารศึกษามัธยมศึกษา เขต 24
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พนื้ ฐาน

กระทรวงศึกษาธิการ

แบบฝกึ ทกั ษะชุดท่ี 1 1

เอกสารแนะแนวทาง
ชุดที่ 1 เร่ือง ลมิ ติ ของฟังก์ชัน

ลมิ ติ ของฟังก์ชัน

ลิมิตของฟังกช์ นั เป็นการพจิ ารณาค่า y หรือ f(x) ของฟังกช์ นั
ขณะท่ี x เขา้ ใกลจ้ านวนจริงจานวนใดจานวนหน่ึง การเขา้ ใกลจ้ านวนใด
จานวนหน่ึงของค่า x มี 2 กรณี

กรณีท่ี 1 เขา้ ใกลท้ างดา้ นซา้ ย
กรณีท่ี 2 เขา้ ใกลท้ างดา้ นขวา
เช่น เมื่อ x เขา้ ใกล้ 0 บนเส้นจานวน

 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

การเขา้ ใกลท้ างดา้ นซา้ ย หมายถึง x จะเริ่มจากค่าที่นอ้ ยกวา่ 0
แลว้ เพม่ิ ข้ึนเรื่อย ๆ แต่ไม่ถึง 0

การเขา้ ใกลท้ างดา้ นขวา หมายถึง x จะเริ่มจากค่าท่ีมากกวา่ 0
แลว้ ลดลงเรื่อย ๆ แต่จะไม่ถึง 0

แบบฝึกทักษะชุดท่ี 1 2

โดยทว่ั ไปแลว้ ในการพิจารณาวา่ เม่ือ x เขา้ ใกลจ้ านวนจริง a ใด ๆ
จะพจิ ารณาท้งั สองกรณี คือ เม่ือ

x เขา้ ใกล้ a ทางซา้ ย [x < a] ซ่ึงเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ x  a-
และ x เขา้ ใกล้ a ทางขวา [x > a] ซ่ึงเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ x  a+

ชอบเรียนรู้คณิตศาสตร์มาก
ครับผม

แบบฝกึ ทักษะชุดท่ี 1 3

การหาลมิ ติ ของฟังก์ชัน

ตวั อย่างท่ี 1 กาหนด f(x) = x2 + 4 จงหาค่า f(x) เมื่อ x มีค่าเขา้ ใกล้ 2

วธิ ีทา หาค่า f(x) เมื่อการมีค่าเขา้ ใกล้ 2 ท้งั ทางซา้ ยและขวา ดงั ตารางต่อไปน้ี

x เขา้ ใกล้ 2 ทางซา้ ย x เขา้ ใกล้ 2 ทางขวา
x<2 x>2

x < 2 f(x) x > 2 f(x)
1 5.0000 3 13.000
1.5 6.2500 2.5 10.2500
1.9 7.6100 2.45 10.0025
1.99 7.9601 2.20 8.8400

1.999 7.996001 2.001 8.004001

สังเกต พจิ ารณาใหด้ ีนะครับ

แบบฝกึ ทักษะชดุ ที่ 1 4

จากตารางพบวา่ ขณะท่ี x มีค่าเขา้ ใกล้ 2 ทางซา้ ย f(x) มีค่าเขา้ ใกล้ 8
จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ lim f(x)  8

x 2

ขณะที่ x มีค่าเขา้ ใกล้ 2 ทางขวา f(x) มีค่าเขา้ ใกล้ 8
จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ lim f(x)  8

x 2

นน่ั คือ ลิมิตของ f(x) เท่ากบั 8 เมื่อ x มีค่าเขา้ ใกล้ 2 ซ่ึงจะแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์

lim f(x)  lim x 2  2  8
x 2 x 2

อยากเก่งคณิตศาสตร์ ตอ้ งขยนั คิด
ขยนั ฝึก นะครับ เพื่อน ๆ

แบบฝึกทักษะชุดท่ี 1 5

ตวั อย่างท่ี 2 กาหนด f(x) = x2 + 1 จงหาค่าของ f(x) เม่ือ x มีค่าเขา้ ใกล้ 4

วธิ ีทา
x เขา้ ใกล้ 4 ทางซา้ ย x < 4

x < 4 f(x)
3 10
3.5 13.25
3.9 16.21
3.99 16.9201

จากตารางพบวา่ ขณะที่ x มีค่าเขา้ ใกล้ 4 ทางซา้ ย f(x)
มีค่าเขา้ ใกล้ 17

lim f(x)  17

x  4

แบบฝึกทกั ษะชดุ ที่ 1 6

ศึกษาเรียนรู้ต่อไดเ้ ลยครับ

x เขา้ ใกล้ 4 ทางขวา
x>4

x > 4 f(x)
4.50 21.25
4.20 18.64
4.10 17.81
4.01 17.0801

จากตารางพบวา่ ขณะท่ี x มีค่าเขา้ ใกล้ 4
f(x) มีค่าเขา้ ใกล้ 17

lim f(x)  17

x  4

จากท้งั สองกรณี สรุปไดว้ า่ ขณะที่ x มีค่าเขา้ ใกล้ 4 แลว้ f(x) จะมีค่าเขา้ ใกล้ 17

lim f(x)  lim x2 1  17
x4 x4

แบบฝึกทกั ษะชดุ ท่ี 1 7

ตัวอย่างท่ี 3 ให้ f(x) = x + 5 จงหาค่าของ f(x) เม่ือ x มีค่าเขา้ ใกล้ 2
วธิ ที า x เขา้ ใกล้ 2 ทางซา้ ย (x < 2)
x 1 1.5 1.7 1.99 1.999
f(x) 6 6.5 6.7 6.99 6.999
จะพบวา่ เม่ือ x มีค่าเขา้ ใกล้ 2 ทางซา้ ยแลว้
f(x) มีค่าเขา้ ใกล้ …………7…………….

lim f(x)  7

x 2

มีสติ สมาธิ เรียนรู้อยา่ งต้งั ใจนะครับเพือ่ น ๆ

แบบฝกึ ทักษะชดุ ที่ 1 8

คิดไตร่ตรองและรอบคอบนะครับ

x เขา้ ใกล้ 2 ทางขวา (x > 2)

x 3 2.5 2.3 2.1 2.001
f(x) 8 7.5 7.3 7.1 7.001

จากตาราง จะไดว้ า่ เม่ือ x มีค่าเขา้ ใกล้ 2 ทางขวา แลว้ f(x) มีค่าเขา้ ใกล้ …7…

lim f(x)  7

x  2

จากท้งั สองกรณี สรุปไดว้ า่

lim f(x)  lim x  5  7
x2 x2

แบบฝึกทักษะชดุ ที่ 1 9

พจิ ารณากราฟของฟังก์ชัน y = f(x) แสดงดงั รูป

พิจารณาดูกราฟ
ครับเพ่อื น ๆ

lim f(x) = lim (-3) ..........(1)
x 1 x 1

lim f(x) = lim (2) ..........(2)
x 1 x 1

(1) (2) นนั่ คือ

lim f(x) lim f(x)

x 1 x 1

ดงั น้ัน lim f(x) หาค่าลิมิตไม่ได้
x 1

แบบฝึกทักษะชดุ ที่ 1 10

พจิ ารณากราฟของฟังก์ชัน y = g(x) แสดงดงั รูป

lim g(x) = lim (x - 6) ความพยายามอยทู่ ่ีไหน
x  4 x  4 ความสาเร็จอยตู่ รงน้นั
สู้ ๆ...

= 4 - 6 = - 2 ...........(1)

lim g(x) = lim (4 - x)
x  4 x  4

= 4 - 4 = 0 .............(2)

(1) (2) นนั่ คือ

lim g(x) lim g(x)

x  4 x  4

ดงั น้นั lim g(x) หาค่าลิมิตไม่ได้
x4

แบบฝกึ ทกั ษะชดุ ท่ี 1 11

พจิ ารณากราฟของฟังก์ชัน y = h(x) แสดงดังรูป

h(x)

lim h(x) = lim (10 - x)
x  3 x  3

= 10 - 3 = 7 .....(1)

lim h(x) = lim (2x 1)
x3  x3 

= 2(3) + 1 = 7 .....(2)

(1) = (2)

นน่ั คือ lim h(x) = lim h(x)
x  3 x3 

ดงั น้นั lim h(x) = 7
x 3

เพอื่ น ๆ ผอ่ นคลายสมองกนั หน่อย
แลว้ ค่อยฝึกต่อครับ

แบบฝกึ ทักษะชุดท่ี 1 12

ทฤษฎบี ทเกย่ี วกบั ลมิ ติ

ทฤษฎีบทเก่ียวกบั ลิมิตของฟังกช์ นั ต่อไปน้ีจะไม่แสดงการพสิ ูจน์
แต่จะยกตวั อยา่ งแสดงการนาเอาทฤษฎีบทไปใชใ้ นการหาลิมิตของฟังกช์ นั
ดงั ต่อไปน้ี

ทฤษฎบี ท เมื่อ a, L และ M เป็นจานวนจริงใด ๆ ถา้ f และ g เป็นฟังกช์ นั

ท่ีมีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสับเซตของจานวนจริง

โดยท่ี lim f(x)  L และ lim g(x)  M แลว้
x a x a

1. lim c  c เม่ือ c เป็นค่าคงตวั ใด ๆ
xa

2. lim x  a
x a

3. lim x n  an , n  I+
x a

4. lim c f(x)  c lim f(x)  cL เมื่อ c เป็ นค่าคงตวั ใด ๆ
xa xa

5. lim [f(x)  g(x)]  lim f(x)  lim g(x)  L  M
x a x a x a

มีต่ออีกครับ...

แบบฝึกทักษะชดุ ท่ี 1 13

6. lim [f(x)  g(x)]  lim f(x)  lim g(x)  L  M
x a x a x a

7. lim f(x)  g(x)  lim f(x)  lim g(x)  L M
x a x a x a

8. lim  f(x)   lim f(x)  L , M 0
 g(x)  M
xa xa

lim g(x)
xa

 9. lim  f(x)  n  lim f(x) n  Ln , n  I+
xa xa

10. lim n f(x)  n lim f(x)  n L , n  I+ - {1}
xa xa

และ n L  R

พจิ ารณาสังเกตและจดจา
ไปใชน้ ะครับ

แบบฝกึ ทักษะชุดที่ 1 14

ตวั อย่างท่ี 4 จงหา lim  2x 2 - 3x 
x2 - 4x
x 2

วธิ ที า จากทฤษฎีบทขอ้ 8 จะได้

lim  2x 2 - 3x  = lim 2x 2 - 3x
x2 - 4x
x 2 x 2

lim x 2 - 4x

x 2

= 2 lim x 2 - 3 lim x
x2 x 2

lim x 2 - 4 lim x
x2 x 2

= 2(4) - 3(2)
4  4(2)

= 1
2

อ๋อ...อยา่ งน้ีน่ีเอง

แบบฝึกทักษะชุดที่ 1 15

ตวั อย่างท่ี 5 จงหา lim x 3  2x - 6
x4

วธิ ที า lim x 3  2x - 6 = lim x 3  lim 2x - lim 6
x4 x4 x4 x4

= 43 + 2 lim x - 6
x4

= 64 + 2(4) - 6

= 66

ตวั อย่างท่ี 6 จงหา lim (x 2  1) 2
x 3

วธิ ที า lim (x 2  1) 2 = xlim3 (x 2  2

x 3  1)

= xlim3 x2 1 2

=  lim
=
x 3

[ 32 + 1 ]2

100

ศกึ ษาเรียนรู้แลว้
เขา้ ใจไหมครับ

แบบฝกึ ทกั ษะชุดท่ี 1 16

ตวั อย่างที่ 7 จงหา lim (x 2  x)(2x - 5)
x  3

วธิ ที า lim (x 2  x)(2x - 5) = lim (x 2  x)  lim (2x - 5)
x  3 x  3 x  3

=  lim x 2  lim x    lim 2x  lim 5 

x  3 x  3 x  3 x  3

  = (-3)2  (- 3) 2 lim x  5
x  3

= (9 + 3)[2 (- 3) - 5]

= 12(-11)

= -132

ไชโย...ศกึ ษาจบแลว้

แบบฝกึ ทักษะชุดที่ 1 17

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 1.1

คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนหาลิมิตของฟังกช์ นั ท่ีกาหนดใหแ้ ต่ละขอ้ ต่อไปน้ี
แลว้ เติมคาตอบลงในช่องวา่ งใหถ้ ูกตอ้ ง



ข้อ 1 x 2 2.5 2.7 2.9 2.99 2.999
f(x) = x + 2 4 4.5 4.7 4.9 4.99 4.999

x 4 3.5 3.2 3.01 3.001 3.0001
f(x) = x + 2 6 5.5 5.2 5.01 5.001 5.0001

จงหา

1.1 x lim3 f(x)
ตอบ ...................................................................................

1.2 x lim3 f(x)
ตอบ ...................................................................................

1.3 lim f(x)
x 3
ตอบ ...................................................................................

คิดไตร่ตรองใหด้ ีก่อนตดั สินใจตอบนะครับ

แบบฝกึ ทกั ษะชดุ ท่ี 1 18

คิดใหด้ ีก่อนตอบนะครับ

ข้อ 2 x 4 4.5 4.9 4.99 4.999
f(x) = x2 + 2 18 22.25 26.01 26.901 26.9901

x 6 5.5 5.2 5.01 5.001
f(x) = x2 + 2 38 32.25 29.04 27.100 27.010

จงหา

2.1 lim  f(x)

x 5

ตอบ ...................................................................................

2.2 x lim5 f(x)
ตอบ ...................................................................................

2.3 lim f(x)
x 5
ตอบ ...................................................................................

หาคาตอบไดไ้ หมครับ

แบบฝกึ ทักษะชดุ ท่ี 1 19

แบบฝึ กทักษะท่ี 1.2

คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนหาลิมิตของฟังกช์ นั ท่ีกาหนดใหแ้ ต่ละขอ้ ต่อไปน้ี
แลว้ เติมคาตอบลงในช่องวา่ งใหถ้ กู ตอ้ ง



ข้อ 1 lim 2x  4
x 3
ตอบ ...................................................................................

ข้อ 2 lim 3x2 - 2x - 10
x 2
ตอบ ...................................................................................

ข้อ 3 lim 4x 2  2x
x 1 x2 1

ตอบ ...................................................................................

ข้อ 4 lim (x 2 - 3) 2
x 3
ตอบ ...................................................................................

ข้อ 5 lim x2 - 4
x2 x - 2
ตอบ ...................................................................................

แบบฝกึ ทักษะชุดที่ 1 20

ข้อ 6 lim 3x 2 - 10x  3
x 3 x-3

ตอบ ...................................................................................

ข้อ 7 lim 25 - x2  4

x3 x  3

ตอบ ...................................................................................

ทาไดไ้ หมครับ ย้าคิด
ย้าทา เพ่อื ความเขา้ ใจนะครับ

แบบฝึกทักษะชดุ ท่ี 1 21

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 1.3

คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนหาค่าลิมิตของฟังกช์ นั ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี
แลว้ เติมคาตอบลงในช่องวา่ งใหถ้ กู ตอ้ ง



ข้อ 1 ค่าของ lim x 2  3x - 6
x 3
ตอบ ...................................................................................

ข้อ 2 ค่าของ lim x2  5x  6

x  3 x  3

ตอบ ...................................................................................

ข้อ 3 ค่าของ lim 3 - x

x9 9 - x

ตอบ ...................................................................................

ข้อ 4 ค่าของ lim 5x 2  4x
x 0 x

ตอบ ...................................................................................

ข้อ 5 ค่าของ lim x  3 - 3
x 0 x

ตอบ ...................................................................................

แบบฝกึ ทกั ษะชดุ ท่ี 1 22

ข้อ 6 ค่าของ lim x2 - 64

x8 x - 8

ตอบ ...................................................................................

ข้อ 7 ค่าของ lim (x  3)(x - 6)
x4
ตอบ ...................................................................................

ข้อ 8 ค่าของ lim 1 - x 2
x2 8  x

ตอบ ...................................................................................

ข้อ 9 ค่าของ lim x 2  3x  2
x  1 x 2  4x  3

ตอบ ...................................................................................

ข้อ 10 ค่าของ lim x - 1

x 1 x2  3 - 2

ตอบ ...................................................................................

ยงิ่ คิด ยง่ิ ฝึ ก ยงิ่ มีความชานาญครับผม