อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต

S T. C H A I

อนุกรม
อนุกรมเลขคณิต
อนุกรมเรขาคณิต

S T. C H A I

อนุกรม

อนกุ รม คือ ผลบวกของพจนท์ กุ พจนใ์ นลาดบั

กาหนดให้ a1, a2, a3, a4, a5, ..., an เป็นลาดบั จากดั
จะไดว้ า่ a1  a2  a3  a4  a5 ... an เป็นอนุกรมจากดั

a1 พจนท์ ี่ 1 ของอนุกรม
a2 พจนท์ ่ี 2 ของอนกุ รม
a3 พจนท์ ่ี 3 ของอนกุ รม

an พจนท์ ่ี n ของอนุกรม

S T. C H A I

อนุกรมเลขคณติ

อนุกรมเลขคณิต คอื อนุกรมท่ไี ดจ้ ากลาดบั เลขคณิต

กาหนดให้ a1, a2, a3, a4, a5, ..., an เป็นลาดบั เลขคณิต
ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต เขียนแทนดว้ ย Sn
โดยท่ี S1  a1

S2  a1  a2
S3  a1  a2  a3

Sn  a1  a2  a3 ... an

S T. C H A I

การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ

พจิ ารณาการหาผลบวกตอ่ ไปน้ี

1 2  3 4  5  15

1 2  3  4  5  6  7  8  9 10  x 1
10  9  8  7  6  5  4  3  2 1  x


2

11111111111111111111  2x

1011  2x

1011  x  55
2

1 2  3  4  5  6  7  8  9 10  55

S T. C H A I

การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต

พิจารณาการหาผลบวกต่อไปน้ี

1 2  3 ... n ?
x
1  2  3  ...  (n  2)  (n 1)  n

n  (n 1)  (n  2)  ...  3  2  1
x

(n 1)  (n 1)  (n 1)  ...  (n 1)  (n 1)  (n 1)  2x

n ตวั n  (n 1)  2x

1 2  3 ... n  n(n 1) n(n 1)  x
2 2

S T. C H A I

การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ

กาหนดให้ a1, a2, a3, ..., an เป็นลาดบั เลขคณิต และมผี ลตา่ งร่วมเท่ากบั d
จะได้ a1  a2  a3 ... an เป็นอนุกรมเลขคณิต

Sn  a1  a2  a3  a4 ... an
 a1  [a1  d]  [a1  2d]  [a1  3d]  ...  [a1  (n 1)d]

 a1  a1  d  a1  2d  a1  3d ... a1  (n 1)d

 [a1  a1  a1  a1 ... a1]  [d  2d  3d  ...  (n 1)d]

n ตวั

 na1  [1 2  3  ...  (n 1)]d

S T. C H A I

การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต

Sn  na1  [1 2  3  ...  (n 1)]d

na1  (n 1)n  d 1 2  3  ...  n  n(n 1)
  2  2

 2na1   (n 1)n  d
2  2 

2na1  (n 1)nd

2

n[2a1  (n 1)d ]  n [2a1  (n 1)d ]
2 2

S T. C H A I

การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ

Sn  n [2a1  (n  1)d ]
 2

n [a1  a1  (n  1)d ]
2

n [a1  an ]
2

ถา้ a1  a2  a3 ... an เป็นอนกุ รมเลขคณิต
ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมหาไดจ้ ากสูตร

Sn  n [2a1  (n 1)d ] หรือ Sn  n [a1  an ]
2 2

S T. C H A I

การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ

จงหาผลบวก 20 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต 4 + 6 + 8 + 10 + …

จากสูตร Sn  n [2a1  (n  1)d ]
2

Sn  n [a1  an ]
2

จากโจทย์ a1  4 และ d  6  4  2

จะได้ S20  20 [2(4)  (20 1)(2)]
2

 10[8  38]  460

S T. C H A I

การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต

จงหาผลบวกของอนกุ รมเลขคณิต 5 + 10 + 15 + 20 + … + 150

จากสูตร Sn  n [2a1  (n  1)d ]
2

Sn  n [a1  an ]
2

จากโจทย์ a1  4 an  150 และ d  10  5  5

จาก an  a1  (n 1)d 150  5n

150  5  (n 1)(5) 30  n

 5  5n  5

S T. C H A I

การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ

จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 5 + 10 + 15 + 20 + … + 150

จากสูตร Sn  n [2a1  (n  1)d ]
2

Sn  n [a1  an ]
2

จากโจทย์ a1  5 an  150 และ d  10  5  5

จาก Sn  n [a1  an ] Sn  (15)(155)
2
 2,325
 30 [5 150]
2

S T. C H A I

การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต

จงหาผลบวกของจานวนคตู่ ้งั แต่ 10 ถงึ 200

จากโจทย์ Sn  10 12 14 ...  200
a1  10 , an  200

d  12 10  2

ใชส้ ูตร Sn  n [a1  an ] หา n กอ่ น
จากสูตร 2

an  a1  (n 1)d 200  8  2n

200  10  (n 1)(2) 192  2n

 10  2n  2 96  n

S T. C H A I

การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต

จงหาผลบวกของจานวนคูต่ ้งั แต่ 10 ถึง 200

จากโจทย์ Sn  10 12 14 ...  200
ใชส้ ูตร a1
d  10 , an  200

Sn  12 10  2

 n [a1  an ] หา n กอ่ น
2

S200  96 [10  200]
2

 48(210)  10, 080

S T. C H A I

การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต

ตอ้ งการจดั เกา้ อ้ีในห้องท้งั หมดให้ได้ 20 แถว โดยแถวท่ี 1 มี 4 ตวั
แถวที่ 2 มี 6 ตวั แถวที่ 3 มี 8 ตวั ไปเร่ือย ๆ จงหาวา่ จะตอ้ งใชเ้ กา้ อ้ี
ท้งั หมดกต่ี วั

d

a1

S T. C H A I

การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ

ตอ้ งการจดั เกา้ อ้ใี นห้องท้งั หมดให้ได้ 20 แถว โดยแถวที่ 1 มี 4 ตวั
แถวที่ 2 มี 6 ตวั แถวที่ 3 มี 8 ตวั ไปเร่ือย ๆ จงหาวา่ จะตอ้ งใชเ้ กา้ อ้ี
ท้งั หมดกตี่ วั

จากสูตร Sn  n [2a1  (n  1)d ]
2

 20 [2(4)  (20 1)(2)]
2

 10(8  38)  460

ดงั น้นั จะตอ้ งใชเ้ กา้ อ้ี 460 ตวั

S T. C H A I

อนุกรมเรขาคณติ

อนุกรมเรขาคณติ คอื อนกุ รมที่ไดจ้ ากลาดบั เรขาคณิต

กาหนดให้ a1, a2, a3, a4, a5, ..., an เป็นลาดบั เรขาคณิต
ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต เขยี นแทนดว้ ย Sn
โดยท่ี S1  a1

S2  a1  a2
S3  a1  a2  a3

Sn  a1  a2  a3 ... an

S T. C H A I

การหาผลรวม n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ

พจิ ารณาการหาผลบวกตอ่ ไปน้ี

1 2  4  8 16  31

1 2  4  8 16  32  64 128  256  512  x ; r2

2  4  8 16  32  64 128  256  512 1024  2x

1024 1  x

1023  x

1 2  4  8 16  32  64 128  256  512  1023

S T. C H A I

การหาผลรวม n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ 1
2
กาหนดให้ a1, a2, a3, ..., an เป็นลาดบั เรขาคณิต
และมอี ตั ราส่วนร่วมเท่ากบั r

จะได้ a1  a2  a3  a4 ... an เป็นอนุกรมเรขาคณิต

Sn  a1  a2  a3  a4 ... an
Sn  a1  a1r  a1r2  a1r3  ...  a1rn1
rSn  a1r  a1r2  a1r3  ...  a1rn1  a1rn

2 1

rSn  Sn  a1rn  a1

S T. C H A I

การหาผลรวม n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ

rSn  Sn  a1rn  a1 เมอ่ื r 1
(r 1)Sn 
a1(rn 1) เมอื่ r 1
Sn 
Sn  a1(rn 1)  a1  a1rn1r
r 1 1 r

a1(1 rn ) เมอ่ื r 1
Sn  1 r

a1  a1rn
1 r

a1  anr
1 r

S T. C H A I

การหาผลรวม n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต

ถา้ a1  a2  a3 ... an เป็นอนุกรมเรขาคณิต
และมอี ตั ราส่วนร่วมเท่ากบั r
ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมหาไดจ้ ากสูตร

Sn  a1(1 rn ) เมื่อ r 1
1 r
หรือ
a1  anr
Sn  1 r เมอ่ื r 1

S T. C H A I

การหาผลรวม n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ

จงหาผลบวกของอนกุ รมเรขาคณิต 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … + 2048

จากโจทย์ a1 1 an  2048 และ r  2  2
1
a1(1 rn )
จากสูตร Sn  1 r

Sn  a1  anr
1 r

จะได้ S20  1 2048(2)  1 4096  4095
1 2 1 2 1

 4095

S T. C H A I

การหาผลรวม n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ

จงหาผลบวก 4 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต เมอ่ื a1  3, r  2

จากโจทย์ a1  3 r  2 และ n  4

จากสูตร Sn  a1(1 rn )
1 r

Sn  a1  anr
1 r

จะได้ S4  3(1 24)  3(116)  45
1 2 1 2 1

 45

S T. C H A I