แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์
รหัสวชิ า ค 33202 รายวชิ า คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม
กล่มุ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 6
เรื่อง แคลคูลัสเบ้ืองต้น
ชุดที่ 9 เร่ือง การประยุกต์ของอนุพนั ธ์
โดย
นายสิทธิชัย ยุบลวัฒน์
ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการพิเศษ
โรงเรียนอนุกลู นารี
อาเภอเมืองกาฬสินธ์ุ จงั หวัดกาฬสินธ์ุ
สานักงานเขตพืน้ ที่การศึกษามธั ยมศึกษา เขต 24
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน
กระทรวงศึกษาธิการ
1
สวัสดคี รับ/สวัสดคี ่ะ ก่อนศึกษาแบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์
ชุดท่ี 9 เรือ่ ง การประยุกต์ของอนพุ นั ธ์ ให้เพือ่ น ๆ
ทาแบบทดสอบก่อนเรยี นกันก่อนนะครับ/นะคะ
เพ่ือน ๆ ทาดนู ะครบั /นะคะ ไมต่ ้องกงั วลใจ
ว่าจะตอบผดิ เพราะนเ่ี ป็ นเพยี งแบบทดสอบ
เพื่อประเมนิ ว่าเพอื่ น ๆ มคี วามรู้
เรื่อง การประยุกต์ของอนุพนั ธ์ มาแล้ว
มากน้อยเพียงใด ไมม่ ผี ลต่อการตัดสิน
ผลการเรยี น
พร้อมทจี่ ะทดสอบก่อนเรยี น
หรือยัง ครบั /คะ ถ้าพร้อมแล้ว
…3 ..2 .1 เรม่ิ ได้
2
แบบทดสอบก่อนเรยี น
แบบฝึ กทักษะคณิตศาสตร์ ชุดที่ 9
เรอ่ื ง การประยกุ ต์ของอนพุ นั ธ์
คาชี้แจง
1. แบบทดสอบฉบบั น้ีมจี านวน 10 ข้อใหเ้ วลาทา 15 นาที
2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัยเลือกตอบชนิด 4 ตัวเลือก ใหน้ ักเรียนเลือกคาตอบ
ที่ถูกท่ีสุดเพียงข้อเดียวด้วยเครื่องหมาย X ในกระดาษคาตอบ
1. กาหนด f (x) x3 4x2 3x 5 ชว่ งซ่ึงทาใหฟ้ งั กช์ นั น้ีเป็นฟังกช์ นั เพิม่ ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. (,3) (1 ,) ข. (, 1) (3,)
3 3
ค. (3, 1) ง. (1 ,)
3 3
2. กาหนด f (x) x3 x2 8x 3 ชว่ งซ่ึงทาให้ฟงั กช์ นั น้ีเป็นฟังกช์ นั ลดตรงกบั ขอ้ ใด
ก. (,2) (4 ,) ข. (,2) (4 ,)
3 3
ค. (2, 4) ง. (4 ,)
3 3
3
3. กาหนด f (x) 2x3 4x2 8x 9 ขอ้ ใดกลา่ วถูกตอ้ ง
ก. ชว่ งซ่ึงทาให้ฟงั กช์ นั น้ีเป็นฟังกช์ นั ลด คือ (, 2)
3
ข. ชว่ งซ่ึงทาให้ฟงั กช์ นั น้ีเป็นฟงั กช์ นั เพ่มิ คือ (2 ,)
3
ค. ชว่ งซ่ึงทาใหฟ้ ังกช์ นั น้ีเป็นฟังกช์ นั เพ่มิ คือ(,2) (2 ,)
3
ง. ชว่ งซ่ึงทาใหฟ้ งั กช์ นั น้ีเป็นฟังกช์ นั ลด คือ(, 2) (2,)
3
4. กาหนด f (x) x3 12x 2 แลว้ f(x) มีคา่ สูงสดุ สมั พทั ธ์ที่ x มีคา่ เทา่ ใด
ก. 4 ข. 2 ค. - 4 ง. - 2
5. จากฟงั กช์ นั f (x) x3 12x 2 ในข้อ 4 ฟังกช์ นั f(x) มีคา่ สูงสดุ สมั พทั ธเ์ ทา่ ใด
ก. - 14 ข. 10 ค. 18 ง. 24
6. ข้อใดกลา่ วถูกตอ้ งเกยี่ วกบั ฟังกช์ นั f (x) x2 6x 9
ก. f(x) มคี า่ สูงสดุ สมั พทั ธท์ ่ี x = 0 มีคา่ เทา่ กบั 9
ข. f(x) มคี า่ ต่าสุดสมั พทั ธท์ ่ี x = 3 มคี า่ เทา่ กบั 0
ค. f(x) มคี า่ ต่าสดุ สมั พทั ธ์ที่ x = 3 มคี า่ เทา่ กบั - 18
ง. f(x) มีคา่ สงู สุดสมั พทั ธ์ที่ x = 3 มคี า่ เทา่ กบั 18
7. กาหนด f (x ) x 3 5x 4 คา่ ต่าสุดสมั บูรณบ์ นชว่ ง 3,1 ตรงกบั ข้อใด
ก. ท่ีจุด x = - 1 มีคา่ เทา่ กบั - 10 ข. ที่จดุ x = - 3 มีคา่ เทา่ กบั - 46
ค. ที่จดุ x = 1 มคี า่ เทา่ กบั 2 ง. ท่ีจดุ x = 3 มคี า่ เทา่ กบั 38
4
8. กาหนด f (x ) x 4 2x 3 9x 2 27 คา่ สูงสดุ สมั บูรณ์ บนชว่ ง 2,4 ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. ท่ีจดุ x = 1 มคี า่ เทา่ กบั 17 ข. ท่ีจุด x = 2 มคี า่ เทา่ กบั 9
ค. ท่ีจุด x = 3 มคี า่ เทา่ กบั - 27 ง. ท่ีจุด x = 0 มคี า่ เทา่ กบั 27
9. กาหนด f (x) x3 2x2 4x 6 คา่ สูงสดุ สมั บูรณ์ บนชว่ ง 2,3 ตรงกบั ข้อใด
ก. 39 ข. 45 ค. 52 ง. 60
10. จากฟงั กช์ นั f (x) x3 2x2 4x 6 ในขอ้ 9 คา่ ต่าสดุ สมั บูรณ์ ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 2 14 ข. 4 14 ค. 10 ง. 39
27 27
ทาแบบทดสอบกอ่ นเรียนเสรจ็ แลว้
กเ็ ร่ิมศึกษาเรียนรูไ้ ด้เลยครบั
5
เอกสารแนะแนวทาง ชุดที่ 9
เรอื่ ง การประยกุ ต์ของอนุพันธ์
ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด
โดยท่ัวไปฟังกช์ นั ใด ๆ จะเป็นฟงั กช์ นั เพมิ่ หรือฟงั กช์ นั ลด จะตอ้ งมี
ลกั ษณะดงั ทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ี
ทฤษฎบี ท ให้ฟังกช์ นั f เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เนื่องบนชว่ งปิ ด [a, b] และ
สามารถหาอนุพนั ธ์ของ f ได้ทุก ๆ จดุ ในชว่ งเปิ ด (a, b)
1) ถ้า f /(x) > 0 สาหรับทุก ๆ x บนชว่ ง (a, b) แลว้
f จะเป็นฟงั กช์ นั เพ่ิมบนชว่ ง (a, b)
2) ถา้ f /(x) < 0 สาหรบั ทุก ๆ x บนชว่ ง (a, b) แล้ว
f จะเป็นฟงั กช์ นั ลดบนชว่ ง (a, b)
6
ตวั อย่างท่ี 1 ให้ f /(x) = 1 x3 - 1 x2 - 2x จงหา
32
1. ชว่ งที่ทาให้ f เป็นฟงั กช์ นั ลด
2. ชว่ งท่ีทาให้ f เป็นฟงั กช์ นั เพม่ิ
วธิ ที า จาก f(x) = 1 x3 - 1 x2 - 2x
32
เนื่องจาก f เป็นฟงั กช์ นั พหุนาม
ดังน้นั f มคี วามตอ่ เนื่องทุกคา่ ของ x ที่เป็นจานวนจริง
จาก f(x) ท่ีโจทยก์ าหนด จะได้
f /(x) = x2 – x – 2
1) เนื่องจากคา่ x ท่ีจะทาให้ f เป็นฟังกช์ นั ลดคือคา่ x ท่ีทาให้
f /(x) เป็นจานวนลบนั่นคือ f /(x) < 0
x2 – x – 2 < 0
(x – 2)(x + 1)< 0
+– +
-1 2
จากกราฟชว่ งที่ทาให้ f /(x) < 0 คือ (-1, 2)
ตอบ ชว่ งท่ีทาให้ f เป็นฟังกช์ นั ลด คือ (-1, 2)
7
เรียนรู.้ .. กนั ตอ่ เลยครับ
2) เน่ืองจากคา่ x ที่จะทาให้ f เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ คือ คา่ x
ที่ทาให้ f /(x) เป็นจานวนบวกน่นั คือ f /(x) > 0
x2 – x – 2 > 0
(x – 2)(x + 1) > 0
+– +
-1 2
จากกราฟชว่ งที่ทาให้ f /(x) > 0 คือ (-,– 1) (2, )
ตอบ ชว่ งท่ีทาให้ f เป็นฟงั กช์ นั เพมิ่ คือ (-,– 1) (2, )
เด็กไทยยุคใหม่ ต้องเรียนรู้
อยา่ งชาญฉลาดนะครับ
8
ตวั อย่างท่ี 2 จงหาชว่ งท่ีทาใหฟ้ ังกช์ นั f(x) = x3 – 3x + 2
เป็นฟังกช์ นั ลด
วิธีทา จาก f(x) = x3 – 3x + 2
f /(x) = 3x2 – 3
พจิ ารณาคา่ x ที่ทาให้ f /(x) < 0
3x2 – 3 < 0
3(x2 – 1) < 0
x2 – 1 < 0
(x + 1)(x – 1) < 0
+– +
-1 1
จากกราฟ จะพบวา่ ชว่ งท่ีทาให้ 3x2 – 3 < 0 คือ (-1, 1)
ตอบ ชว่ งท่ีทาให้ f เป็นฟงั กช์ นั ลด คือ (-1, 1)
9
ตวั อย่างท่ี 3 จงหาคา่ สูงสดุ สมั พทั ธแ์ ละคา่ ต่าสุดสมั พทั ธข์ องฟงั กช์ นั f
เมื่อกาหนดให้ f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7
วิธีทา จาก f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7
จะได้ f /(x) = 6x2 + 6x – 12
ให้ 6x2 + 6x + 2 = 0
6(x2 + x – 2) = 0
6(x + 2)(x – 1) = 0
x = -2, 1
ถ้า x < -2 จะได้ f /(x) > 0
ถา้ x > -2 จะได้ f /(x) < 0
f มคี ่าสูงสุดสัมพทั ธ์ที่ x = -2 และมคี ่าเท่ากบั 13
ถา้ x < 1 จะได้ f /(x) < 0
ถ้า x > 1 จะได้ f /(x) > 0
f มคี ่าต่าสุดสัมพัทธ์ท่ี x = 1 และมคี ่าเท่ากับ -14
10
เด็กไทยตอ้ งกลา้ คิด
กลา้ ทา ในสง่ิ ที่ดีนะครบั
นอกจากน้ีเราสามารถใชอ้ นุพนั ธ์อนั ดบั ท่ี 2 ชว่ ยในการหาคา่
สงู สุดสมั พทั ธ์และคา่ ต่าสดุ สมั พทั ธ์ ดังทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ี
ทฤษฎบี ท กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องบนชว่ ง S ใด ๆ และ c
เป็นคา่ วิกฤตของ f ซ่ึง f /(c) = 0
1. ถา้ f //(c) > 0 แล้ว f(c) เป็นคา่ ต่าสดุ สมั พทั ธ์
2. ถา้ f //(c) < 0 แลว้ f(c) เป็นคา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์
อ๋อ... อยา่ งน้ีกเ็ ข้าใจแลว้ สิครบั
11
ตัวอย่างท่ี 4 จงหาคา่ สงู สดุ สมั พทั ธห์ รือคา่ ต่าสดุ สมั พทั ธข์ อง f(x) = x3 – 3x
วิธีทา จาก f(x) = x3 – 3x
จะได้ f /(x) = 3x2 – 3
ให้ f/(x) = 0
3x2 – 3 = 0
3(x2 – 1) = 0
3(x + 1)(x – 1) = 0
x = 1, -1
จาก f /(x) = 3x2 – 3
f / /(x) = 6x
f / /(1) = 6
f / /(-1) = -6
f มคี ่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = -1 และมคี ่าเท่ากับ 2
และ f มคี ่าต่าสุดสัมพทั ธ์ท่ี x = 1 และมคี ่าเท่ากบั -2
12
สรุป
วิธีการหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่าสุดสัมพัทธ์ มขี ้นั ตอนดงั น้ี
จากฟงั กช์ นั y = f(x) ท่ีโจทยก์ าหนดให้
1. หา f /(x)
2. ให้ f /(x) = 0
หาคา่ x ท่ีทาใหส้ มการน้นั เป็นจริง
ซ่ึงคา่ x ท่ีได้เรียกวา่ คา่ วิกฤต
3. นาคา่ วกิ ฤตไปตรวจสอบ ซ่ึงมวี ิธีตรวจสอบ 2 วธิ ี คือ
3.1 ตรวจสอบโดยพจิ ารณาจากความชนั ของเสน้ สมั ผสั
- ถ้าความชนั เปลี่ยนจากบวกไปเป็นลบ จะให้คา่ สูงสดุ สมั พทั ธ์
- ถ้าความชนั เปล่ียนจากลบไปเป็นบวก จะใหค้ า่ ตา่ สุดสมั พทั ธ์
3.2 ตรวจสอบโดยใชอ้ นุพนั ธ์อนั ดับท่ี 2 ดังน้ี
- ถ้า f //(x) > 0 จะใหค้ า่ ต่าสดุ สมั พทั ธ์
- ถา้ f //(x) < 0 จะใหค้ า่ สงู สดุ สมั พทั ธ์
- ถ้า f //(x) = 0 แสดงวา่ ตรวจสอบวธิ ีน้ีไมไ่ ด้ ต้องตรวจสอบ
โดยวิธีตรวจสอบจากความชนั ของเสน้ สมั ผสั
13
ค่าสูงสุดสัมบรู ณ์และค่าต่าสุดสัมบูรณ์
คา่ สงู สดุ สมั บูรณแ์ ละคา่ ต่าสดุ สมั บูรณข์ องฟังกช์ นั นิยามไดด้ ังน้ี
บทนิยาม ฟังกช์ นั f มีคา่ สูงสุดสมั บูรณท์ ี่ x = c ถ้า f(c) > f(x)
สาหรับทุก x ในโดเมนของ f ท่ี x c
ฟงั กช์ นั f มีคา่ ต่าสดุ สมั บูรณท์ ่ี x = c ถ้า f(c) < f(x)
สาหรับทุก x ในโดเมนของ f ท่ี x c
14
ตวั อย่างท่ี 5 ให้ f(x) = x3 + x2 - 8x - 1 เป็นฟงั กช์ นั บนชว่ งปิ ด [-4, 2]
จงหาคา่ สงู สดุ สมั บูรณ์ และคา่ ต่าสดุ สมั บูรณ์ของฟังกช์ นั
วธิ ที า
ข้ันท่ี 1 หาคา่ วิกฤตของฟังกช์ นั
จาก f(x) = x3 + x2 - 8x - 1
จะได้ f /(x) = 3x2 + 2x - 8
ให้ f ./(x) = 0
3x2 + 2x – 8 = 0
(3x - 4)(x + 2) = 0
x = 4 , -2
3
คา่ วกิ ฤต คือ x = 4 และ x = -2
3
=f 4 4 3 4 2 - 8 4 - 1
3 3 3 3
= 299
27
f(-2) = (-2)3 + (-2)2 - 8(-2) - 1
= 11
15
ข้นั ท่ี 2 เน่ืองจากจุดปลายของชว่ งเปิ ด [-4, 2] คือ x = -4 และ x = 2
f(-4) = (-4)3 + (-4)2 - 8(-4) - 1
= -17
f(2) = 23 + 22 - 8(2) - 1
= -5
ข้ันที่ 3 นาคา่ ของ ,f 4 f(-2), f(-4) และ f(2) มาเปรียบเทียบกนั
3
จะได้ f(-2) = 11 มีคา่ มากที่สดุ
และ f(-4) = -17 มคี า่ น้อยท่ีสุด
คา่ สูงสุดสมั บูรณ์ จะมคี า่ เทา่ กบั 11 ตอบ
คา่ ต่าสดุ สมั บูรณ์ จะมีคา่ เทา่ กบั -17
ศกึ ษาสงั เกต พิจารณาให้ดีนะครบั
จะไดเ้ ข้าใจไดเ้ รว็ ข้ึน
16
ตัวอย่างท่ี 6 ให้ f(x) = - x2 + 4x + 5 เป็นฟังกช์ นั บนชว่ ง [0, 5]
จงหาคา่ สูงสุดสมั บูรณห์ รือคา่ ต่าสุดสมั บูรณ์
วธิ ีทา จาก f(x) = - x2 + 4x + 5
จะพบวา่ ฟงั กช์ นั f ตอ่ เนื่องบนชว่ งปิ ด [0, 5]
จะได้ f /(x) = -2x + 4
- 2x + 4 = 0
x =2
จะพบวา่ x = 2 เป็นคา่ วกิ ฤตเพยี งคา่ เดียวบนชว่ ง [0, 5]
จึงสามารถตรวจสอบคา่ วกิ ฤตวา่ จะทาให้เกดิ คา่ สงู สดุ สมั บูรณ์หรือ
คา่ ต่าสดุ สมั บูรณ์หรือไม่ โดยใชอ้ นุพนั ธอ์ นั ดบั สอง
f / /(x) = -2
เอา x = 2 ไปแทน จะได้
f / /(2) = -2 < 0
แสดงวา่ x = 2 เป็นคา่ วิกฤตที่ทาให้เกดิ คา่ สงู สุดสมั บูรณ์
f(2) = -(2)2 + 4(2) + 5 = 9
ตอบ คา่ สงู สุดสมั บูรณ์ เทา่ กบั 9 ศกึ ษาให้ละเอียด
คิดให้รอบคอบนะครบั
17
คา่ สงู สุดสมั บูรณ์ไมจ่ าเป็นตอ้ งเป็นคา่ สงู สุดสมั พทั ธ์
ข้อสังเกต อาจจะเป็นคา่ ของฟงั กช์ นั ที่จุดปลายของโดเมนของฟงั กช์ นั กไ็ ด้
คา่ ต่าสดุ สมั บูรณไ์ มจ่ าเป็นตอ้ งเป็นคา่ ต่าสุดสมั พทั ธ์
อาจจะเป็นคา่ ของฟงั กช์ นั ที่จดุ ปลายโดเมนของฟังกช์ นั กไ็ ด้
สรุป
วธิ กี ารหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่าสุดสัมบูรณ์
กาหนดให้ y = f(x) เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เนื่องบนชว่ ง [a, b]
1) หาคา่ สงู สุดสมั พทั ธ์ คา่ ต่าสุดสมั พทั ธ์
2) หาคา่ f(a) และ f(b)
3) นาคา่ ที่ได้จากขอ้ 1 และ 2 มาเปรียบเทียบกนั คา่ มากที่สดุ คือ
คา่ สูงสดุ สมั บูรณ์ คา่ ที่นอ้ ยท่ีสดุ คือ คา่ ต่าสุดสมั บูรณ์
18
แบบฝึ กทักษะที่ 9.1
คาช้ีแจง จงหาชว่ งท่ีทาให้ f เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ และชว่ งท่ีทาให้ f เป็นฟงั กช์ นั ลด
จากฟังกช์ นั ท่ีกาหนดให้ แลว้ เติมคาตอบลงในชอ่ งวา่ ง
ข้อ 1 f(x) = x2 – 4x + 8
ตอบ เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ ...................................................
เป็นฟงั กช์ นั ลด ...................................................
ข้อ 2 f(x) = 1 x3 – x2 – 3x + 3
3
ตอบ เป็นฟงั กช์ นั เพ่มิ ...................................................
เป็นฟังกช์ นั ลด ...................................................
ข้อ 3 f(x) = 2 + 2x – x2
ตอบ เป็นฟังกช์ นั เพมิ่ ...................................................
เป็นฟงั กช์ นั ลด ...................................................
19
ข้อ 4 f(x) = 3x4 – 20x3 + 36x2
ตอบ เป็นฟงั กช์ นั เพิม่ ...................................................
เป็นฟังกช์ นั ลด ...................................................
ข้อ 5 f(x) = x3 + 3x – 4
ตอบ เป็นฟงั กช์ นั เพมิ่ ...................................................
เป็นฟังกช์ นั ลด ...................................................
คิดให้ดี
กอ่ นตอบนะครบั
20
แบบฝึ กทกั ษะท่ี 9.2
คาชี้แจง จงหาคา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์หรือคา่ ต่าสดุ สมั พทั ธข์ องฟังกช์ นั ท่ีกาหนดให้
แล้วเติมคาตอบลงในชอ่ งวา่ ง
ข้อ 1 f(x) = x2 + 3
ตอบ ……………………. ...................................................
ข้อ 2 f(x) = x3 2x 2 - 5x - 3
3
ตอบ ……………………. ...................................................
ข้อ 3 f(x) = –3x2 – 2
ตอบ ……………………. ...................................................
21
ลงมือทา หาคาตอบกนั ตอ่
ได้เลยครับ
ข้อ 4 f(x) = 3x4 – 4x3 + 2
ตอบ ……………………. ...................................................
ข้อ 5 f(x) = x3 4x2 12x
3
ตอบ ……………………. ...................................................
อยา่ ลืม
ตรวจสอบคาตอบ
กอ่ นสง่ นะครบั
22
แบบฝึ กทักษะท่ี 9.3
คาช้ีแจง ให้นกั เรียนหาคา่ สงู สุดสมั บูรณแ์ ละคา่ ต่าสดุ สมั บูรณข์ องฟังกช์ นั
บนชว่ งปิ ดท่ีกาหนดให้ในแตล่ ะขอ้ แลว้ เติมคาตอบลงในชอ่ งวา่ ง
ให้ถูกต้องสมบูรณ์
ข้อ 1 f(x) = x3 - 9x2 24x ; [0, 10]
ตอบ ……………………. ...................................................
……………………. ...................................................
ข้อ 2 f(x) = x3 - 2x 2 x - 1 ; [-3, 3]
ตอบ ……………………. ...................................................
……………………. ...................................................
ข้อ 3 f(x) = x2 2x - 4 ; [-4, 3]
ตอบ ……………………. ...................................................
……………………. ...................................................
23
ข้อ 4 f(x) = 2x 3 - x 2 2 ; [-2, 1]
ตอบ ……………………. ...................................................
……………………. ...................................................
ข้อ 5 f(x) = x 3 3x 2 - 9x 4 ; [-5, 6]
ตอบ ……………………. ...................................................
……………………. ...................................................
อยา่ ลืม
ตรวจสอบคาตอบ
กอ่ นสง่ นะครับ
24
เมอื่ ศึกษาแบบฝึ กทักษะคณติ ศาสตร์ ชุดที่ 9
เรอื่ ง การประยุกต์ของอนพุ ันธ์ จบแล้วให้เพอ่ื นๆ
ทาแบบทดสอบหลงั เรียนกนั ก่อนนะครบั /นะคะ
เพ่ือน ๆ ทาดูนะครบั /นะคะ ไมต่ ้องกังวลใจ
ว่าจะตอบผิดเพราะนเ่ี ป็ นเพียงแบบทดสอบ
เพอื่ ประเมนิ ว่าเพอื่ น ๆ มคี วามรู้
เรอื่ ง การประยกุ ต์ของอนุพนั ธ์ เพิ่มขนึ้ มากน้อย
เพียงใดหรอื แสดงถึงความก้าวหน้าทางการเรียน
ไมม่ ผี ลต่อการตัดสินผลการเรียน
พร้อมทีจ่ ะทดสอบหลังเรียน
หรือยงั ครบั /คะ ถ้าพร้อมแล้ว
…3 ..2 .1 เริ่มได้
25
แบบทดสอบหลังเรียน
แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชุดที่ 9
เรอ่ื ง การประยกุ ต์ของอนพุ นั ธ์
คาช้ีแจง
1. แบบทดสอบฉบบั น้ีมีจานวน 10 ข้อใหเ้ วลาทา 15 นาที
2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัยเลือกตอบชนิด 4 ตัวเลือก ใหน้ ักเรียนเลือกคาตอบ
ที่ถูกที่สดุ เพยี งขอ้ เดียวดว้ ยเคร่ืองหมาย X ในกระดาษคาตอบ
1. กาหนด f (x) 2x3 4x2 8x 9 ข้อใดกลา่ วถูกต้อง
ก. ชว่ งซ่ึงทาใหฟ้ ังกช์ นั น้ีเป็นฟงั กช์ นั ลด คือ (, 2)
3
ข. ชว่ งซ่ึงทาใหฟ้ งั กช์ นั น้ีเป็นฟงั กช์ นั เพิ่ม คือ (2 ,)
3
ค. ชว่ งซ่ึงทาใหฟ้ งั กช์ นั น้ีเป็นฟงั กช์ นั เพมิ่ คือ (,2) (2 ,)
3
ง. ชว่ งซ่ึงทาให้ฟังกช์ นั น้ีเป็นฟงั กช์ นั ลด คือ (, 2) (2,)
3
2. กาหนด f (x) x3 x2 8x 3 ชว่ งซ่ึงทาใหฟ้ งั กช์ นั น้ีเป็นฟังกช์ นั ลดตรงกบั ขอ้ ใด
ก. (,2) (4 ,) ข. (,2) (4 ,)
3 3
ค. (4 ,) ง. (2, 4)
3 3
26
3. กาหนด f (x) x3 4x2 3x 5 ชว่ งซ่ึงทาให้ฟังกช์ นั น้ีเป็นฟังกช์ นั เพม่ิ ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. (,3) (1 ,) ข. (, 1) (3,)
3 3
ค. (3, 1) ง. (1 ,)
3 3
4. จากฟังกช์ นั f (x) x3 12x 2 ในข้อ 4 ฟังกช์ นั f(x) มคี า่ สูงสุดสมั พทั ธ์เทา่ ใด
ก. - 14 ข. 10 ค. 18 ง. 24
5. กาหนด f (x) x3 12x 2 แลว้ f(x) มคี า่ สงู สุดสมั พทั ธ์ท่ี x มคี า่ เทา่ ใด
ก. - 4 ข. - 2 ค. 2 ง. 4
6. กาหนด f (x ) x 3 5x 4 คา่ ต่าสดุ สมั บูรณบ์ นชว่ ง 3,1 ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. ที่จดุ x = - 3 มคี า่ เทา่ กบั - 46 ข. ที่จดุ x = - 1 มีคา่ เทา่ กบั - 10
ค. ท่ีจุด x = 1 มคี า่ เทา่ กบั 2 ง. ที่จุด x = 3 มีคา่ เทา่ กบั 38
7. ขอ้ ใดกลา่ วถูกต้องเกยี่ วกบั ฟังกช์ นั f (x) x2 6x 9
ก. f(x) มคี า่ สงู สดุ สมั พทั ธท์ ี่ x = 0 มีคา่ เทา่ กบั 9
ข. f(x) มคี า่ ต่าสดุ สมั พทั ธท์ ี่ x = 3 มคี า่ เทา่ กบั 0
ค. f(x) มคี า่ ต่าสดุ สมั พทั ธ์ท่ี x = 3 มีคา่ เทา่ กบั - 18
ง. f(x) มคี า่ สงู สุดสมั พทั ธท์ ี่ x = 3 มคี า่ เทา่ กบั 18
8. กาหนด f (x) x3 2x2 4x 6 คา่ สูงสุดสมั บูรณ์ บนชว่ ง 2,3 ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 60 ข. 52 ค. 45 ง. 39
27
9. จากฟงั กช์ นั f (x) x3 2x2 4x 6 ในข้อ 8 คา่ ต่าสุดสมั บูรณ์ ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 2 14 ข. 4 14 ค. 10 ง. 39
27 27
10. กาหนด f (x ) x 4 2x 3 9x 2 27 คา่ สงู สุดสมั บูรณบ์ นชว่ ง 2,4 ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. ที่จุด x = 1 มีคา่ เทา่ กบั 17 ข. ท่ีจุด x = 2 มีคา่ เทา่ กบั 9
ค. ท่ีจดุ x = 0 มคี า่ เทา่ กบั 27 ง. ที่จุด x = 3 มคี า่ เทา่ กบั - 27
ทาแบบทดสอบกอ่ นเรียนเสร็จแล้ว
กเ็ ริ่มศกึ ษาเรียนรู้ได้เลยครับ
28
บรรณานกุ รม
กระทรวงศึกษาธิการ. หนงั สือเรียนสาระการเรียนรูเ้ พิม่ เติม กลุม่ สาระคณิตศาสตร์
ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 6. กรุงเทพฯ : สกสค. ลาดพร้าว, 2552.
. คมู่ ือการจัดการเรียนรูก้ ลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ :
องคก์ ารรับสง่ สนิ คา้ และพสั ดุภณั ฑ์, 2544.
. หนงั สือเรียนคณิตศาสตร์ ค 015 ช้นั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย.
กรุงเทพฯ : ครุ ุสภาลาดพร้าว, 2537.
. คมู่ อื ครู วชิ าคณิตศาสตร์ ค 015 ระดับมธั ยมศกึ ษาตอนปลาย. กรุงเทพฯ :
ครุ ุสภาลาดพร้าว, 2538.
จกั รินทร์ วรรณโพธ์ิกลาง. ตลุยโจทย์A-NET คณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ :
บริบัท สานกั พิมพ์ พ.ศ. พฒั นา จากดั . 2551.
ธูปทอง ปราบพล. ทฤษฎีการสรา้ งแบบฝึกการเรียนการสอน. กรุงเทพฯ : อมรินทร์
การพมิ พ,์ 2543.
ยุพิน พิพธิ กลุ และอรพรรณ ตน้ บรรจง. สือ่ การเรียนการสอนคณิตศาสตร์.
พมิ พค์ ร้ังท่ี 2. กรุงเทพฯ : จฬุ าลงกรณ์มหาวิทยาลยั , 2532.
รัชนี ศรีไพรวรรณ. หลกั การสรา้ งแบบฝึก. กรุงเทพฯ : สารเศรษฐ,์ 2543.
สมยั เหลา่ วานิชย์ และพวั พรรณ เหลา่ วานิชย.์ คณิตศาสตร์ ม.6 . กรุงเทพฯ :
ประสานมิตร การพมิ พ,์ 2538.
สริ ิพร ทิพยค์ ง. หลักสตู รและการสอนคณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : พฒั นาคณุ ภาพ
วิชาการ (พว.), 2544.
สุเทพ จันทร์สมศกั ด์ิ และสุเทพ ทองอย.ู่ คมู่ อื เตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.6 .
กรุงเทพฯ : สานักพิมพ์ ภมู บิ ัณฑิต, 2537.
http : //edltv.thai.net/index.php?mod=Courses&file=showcontent&cid=757&sid=609
http : //www.surin.sru.ac.th/index.php/teach/calculus-1/74-lession-4
http : //www.rtna.ac.th/departments/Mathematics/calculus1.html
http : //dek-d.com/board/view.php?id=1832827
29