เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัส

ห น ้ า | 50

ตวั อยา่ งที่ 4
จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปส่เี หล่ียมจตั รุ ัสเทยี บกับความยาวของดา้ น
เมอ่ื ความยาวด้านของสเ่ี หลยี่ มจัตรุ สั เปลี่ยนจาก x นิว้ ไปเป็น x + h นว้ิ และจงหาอตั ราการเปล่ียนแปลง
ของรูปพนื้ ท่ีส่เี หล่ียมจตั ุรสั เทียบกบั ความยาวดา้ น ขณะท่ดี า้ นยาว x น้วิ และ 4 นวิ้

วธิ ที ำ อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลี่ย = f(x + h) – f(x)
จากพืน้ ทีร่ ูปสเี่ หลยี่ มจตั ุรัส = (ด้าน)2 h

ให้ x แทนความยาวด้าน
y = f(x) แทนพน้ื ทีส่ ี่เหล่ียมจตั ุรัส
จะได้ f(x) = (x)2
(x + h)2 – x2
และอัตราการเปล่ียนแปลงเฉล่ยี = h

= x2 + 2xh + h2 – x2
h

= 2xh + h2
h

= 2x + h

ดังน้นั อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นท่สี เี่ หล่ียมจัตุรัสเทยี บกับความยาวด้านเมื่อความยาวด้าน

เปลีย่ นจาก x เป็น x + h คอื 2x + h ตารางน้ิว/น้วิ
f(x + h) – f(x)
จากอัตราการเปล่ยี นแปลงขณะใด ๆ = lim h

h→o

= lim 2x + h

h→o

= 2x
ดงั นน้ั ขณะทดี่ า้ นยาว 4 นว้ิ จะได้อัตราการเปลีย่ นแปลง = 2 (4) = 8 ตารางนิว้ /นว้ิ

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สำหรบั นกั เรียนชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 51

ตวั อยา่ งที่ 5
จงหาอตั ราการเปล่ยี นแปลงเฉล่ียของปริมาตรทรงกลมเทยี บกับรศั มี เมื่อรศั มี เปลี่ยนจาก r ไปเป็น r + h

และอตั ราการเปลีย่ นแปลงขณะรศั มียาว r เซนติเมตร

วธิ ที ำ จากสูตรพืน้ ทที่ รงกลม = 4 r2 และ จากสูตรปรมิ าตรทรงกลม = 4 πr3
3 3
4
จะได้ f® = 3 πr3

f® แทนปริมาตรทรงกลม f(r + h) – f®

อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลี่ย = 34π(r + hh)3 - 34πr3

= 34π(r3 + h + 3rh2 + h3) – 34πr3
= 3r2h
=
= 34πr3 + 4πr2h + h + 34πh3 – 34πr3
= 4πrh2

4πr2h + 4πrh2 + 34hπh3

4πr2 h + 4 πh2 เซนตเิ มตร 2 /เซนติเมตร
+ 4πrh 3

อตั ราการเปลีย่ นแปลงเฉล่ียขณะรัศมียาว r เซนตเิ มตร คอื lim f(r + h) – f®
h
f(r + h) – f® 4 h→o
h 3
lim = lim 4πr2 + 4πrh + πh2

h→o h→o
= 4πr2
ดังนน้ั อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉล่ียขณะรัศมยี าว r เซนติเมตร 4πr2 ตารางเซนตเิ มตร/เซนติเมตร

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบื้องต้น สำหรับนักเรียนชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 52

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 5.1

คำชแ้ี จง : ใหน้ ักเรียนเติมคำตอบแตล่ ะขอ้ ลงในชอ่ งว่างตอ่ ไปน้ใี ห้ถกู ต้อง

ขอ้ 1 ให้ f(x) = 2x2 – 2x + 7 จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกบั x
1.1 เมื่อ x เปลยี่ นจาก 3 ไปเป็น 6
1.2 เมอ่ื x เปลี่ยนจาก 4 ไปเปน็ 8
1.3 เมื่อ x เปลีย่ นจาก 5 ไปเปน็ 10

………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบอื้ งต้น สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 53

ขอ้ 2 ให้ f(x) = x3 – x2 + 1 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะ x = 5
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..

ขอ้ 3 จงหาอัตราการเปล่ยี นแปลงโดยเฉลี่ยของปรมิ าตรของทรงกลม เมือ่ เทียบกบั รัศมตี ้ังแต่รัศมีเทา่ กบั 2 นวิ้
ถงึ รศั มเี ท่ากบั 7 น้วิ

………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………………………………………………………..………………………………………………..

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สำหรับนักเรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 54

ข้อ 4 ให้ f(x) = 3x2 – 4x จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะ x = 4
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………………………………………………………..………………………………………………..
………………………………..………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………………..………………………………
………………………………………………………………………………..………………………………………………..

เดี๋ยวคอยดูว่าเรา
จะทำถกู ไหม^^

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สำหรบั นกั เรียนช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 55

แบบฝึกทกั ษะท่ี 5.2

คำชแี้ จง : ให้นักเรยี นเติมคำตอบแตล่ ะข้อให้ถกู ตอ้ ง

1. ให้ y = √x จงหาอัตราการเปลีย่ นแปลงเฉลีย่ ของ y เทยี บกับ x เม่อื x เปล่ียนจาก 4
ไปเป็น 9 และอตั ราการเปลีย่ นแปลงขณะ x = 4
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

2. ถ้าความยาวของด้านของรูปสามเหลีย่ มดา้ นเทา่ รูปหนึ่งเปล่ยี นจาก 4.0 เซนตเิ มตร เป็น
5.0 เซนตเิ มตร จงหาอตั ราการเปลีย่ นแปลงเฉลีย่ ของพนื้ ท่ีรูปสามเหล่ยี มน้ีเทยี บกับความยาวของด้าน
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………

3. ความยาวด้านของรูปส่เี หล่ียมจัตุรสั รูปหนึง่ เปล่ียนจาก 10 เซนตเิ มตร เป็น 12 เซนตเิ มตร จงหา
3.1 อตั ราการเปล่ยี นแปลงเฉล่ียของพื้นท่ีรูปส่เี หลย่ี มจัตรุ ัสเทยี บกบั ความยาวของด้าน
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………
3.2 อัตราการเปลี่ยนแปลงของพ้ืนที่รูปสเี่ หลย่ี มจัตรุ ัสเทยี บกับความยาวของดา้ นขณะทีด่ ้านยาว
10 เซนติเมตร
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………

4. ให้ y = 2x2 – 3 จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉล่ยี ของ y เทียบกบั x
4.1 เม่อื x เปลย่ี นจาก 3 ไปเปน็ 5
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………
4.2 เมื่อ x เปล่ยี นจาก 3 ไปเปน็ 8
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………
4.3 อัตราการเปลยี่ นแปลงขณะ x = 3
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………

คิดไตร่ตรองใหด้ ี ก่อนลงมือ
ทำและตัดสินใจตอบนะครบั

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบอื้ งต้น สำหรับนกั เรยี นชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 56

ใบความรทู้ ี่ 6
เรอ่ื ง การหาอนพุ นั ธโ์ ดยใช้สูตร

การหาอนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ นั โดยใชส้ ูตร
การหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันโดยใชส้ ูตร ในเอกสารชุดนีม้ สี ูตร ดงั นี้

สูตรท่ี 1

ถา้ y = c เมอื่ c เป็นคา่ คงตัว แลว้ dy = 0
dx
dc
นน่ั คอื dx = 0

พสิ ูจน์ จาก f(x) = 0
dy
จะได้ dx = lim f(x + h) - f(x)
h
h→0

= lim c - c
h
h→0

dc = lim 0
dx
h→0

=0

ดังนนั้ = 0

เราไปดูตัวอยา่ งกนั เถอะ

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 57

ตวั อยา่ งท่ี 1 กำหนดให้ y = -8 จงหา dy ตวั อยา่ งท่ี 2 กำหนดให้ y = 81 จงหา dy
0 dx dx
dy d(-8) dy d(81)
วธิ ที ำ dx = dx = วธิ ที ำ dx = dx = 0

ดังน้ัน d(-8) = 0 ดงั นน้ั d(81) = 0
dx dx

สูตรท่ี 2 dy
dx
ถา้ y = x เมื่อ c เป็นคา่ คงตวั แลว้ = 1

นั่นคือ dx = 1
dx

พสิ ูจน์ ให้ f(x) = x
dy
จะได้ dx = lim f(x + h) - f(x)
h
h→0

= lim x + h - x
h
h→0

dx = lim 1
dx
h→0

=1

ดงั น้นั = 1

dx = 1 หมายถึง อนุพนั ธ์ของฟังกช์ ัน y
dx
เทียบกบั x ท่ี x ใด ๆ เทา่ กบั 1

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สำหรับนักเรยี นชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 58

สูตรที่ 3

ถา้ y = xn เมือ่ n เปน็ จำนวนจรงิ แลว้ dy = nxn - 1
dx
dxn
นั่นคือ dx = nxn - 1

ตวั อยา่ งท่ี 3 กำหนดให้ f(x) = x6 จงหาคา่ ของ f/(x)
dx6
วธิ ที ำ f/(x) = dx งา่ ย ๆ แบบนี้ ถ้าย่งิ อา่ นเยอะ ๆ

= 6x6 - 1 จะยงิ่ เขา้ ใจมากขึน้ ไปอกี

= 6x5
ตอบ f/(x) = 6x5

ตวั อยา่ งที่ 4 กำหนดให้ y = 1 จงหา dy
= x4 dx
1
วธิ ที ำ จาก y = x4

จดั รูปใหม่ได้ y x-4 dx-4
dx
ดังนน้ั dy =
dx

= -4x-4 - 1

= -4x-5

= -x45 ถ้าเป็นแบบน้ี
จดั รูปแลว้ จะงา่ ยขนึ้ นะ

ตอบ dy = -x45
dx

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สำหรับนักเรียนชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 59

ตวั อยา่ งที่ 5 กำหนดให้ y = √4 x จงหา dy
วธิ ที ำ จาก y = √4 x = dx
1
1
x4

น่นั คอื dy = dx4
dx dx

= 1 x41-1 1
4
√n x = xn
1 x-34
= 4 จำได้ไหมครับ

= 1
4√4 3
dy 1
ตอบ dx = 4√4 3

สูตรท่ี 4

ถ้า y = f(x) + g(x) แล้ว dy = df(x) + dg(x)
dx dx dx
จากสูตรที่ 4 จะได้ว่า อนพุ ันธ์ของผลบวกของฟังก์ชนั เทา่ กบั ผลบวกของอนุพันธ์

ตวั อยา่ งท่ี 6 กำหนดให้ y = x6 + 7 จงหา dy
dx
วธิ ที ำ จาก y = x6 + 7
dx6
จะได้ dy = dx + d(7)
dx dx
= 6x6 - 1 + 0
= 6x5
dy
ตอบ dx = 6x5

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สำหรับนกั เรียนชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ตวั อยา่ งที่ 7 กำหนดให้ y = x4 + x2 จงหา dy ห น ้ า | 60
dx
วธิ ที ำ จาก y = x4 + x2 ตงั้ ใจฝกึ ฝน
dx4 dx2 จะไดเ้ ก่งๆครับผม
จะได้ dy = dx + dx
dx

= 4x4 - 1 + 2x2 – 1

dy = 4x3 + 2x
dx
ตอบ = 4x3 + 2x

สูตรที่ 5

ถ้า y = f(x) - g(x) แลว้ dy = df(x) - dg(x)
dx dx dx
จากสูตรที่ 5 จะไดว้ ่า อนุพันธ์ของผลลบของฟังกช์ ันเทา่ กับผลลบของอนุพันธ์

ตวั อยา่ งท่ี 8 กำหนดให้ f(x) = x3 - x2 จงหา f/(x)
วธิ ที ำ จาก y = x3 - x2
dx3 dx2
ผ่านมา 5 สูตร จะได้ dy = dx - dx
แล้วนะครบั จำไดไ้ หมเอ่ย dx

= 3x3 - 1 - 2x2 – 1

dy = 3x2 - 2x
dx
ตอบ = 3x2 - 2x

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบอื้ งต้น สำหรบั นกั เรียนชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 61

ตวั อยา่ งที่ 9 กำหนดให้ y = x5 - x3 - x2 จงหา dy
dx
วธิ ที ำ จาก y = x5 - x3 - x2
dx5 dx3 dx2
จะได้ dy = dx - dx - dx เดก็ ยคุ ใหมต่ อ้ งเรียนรู้
dx อย่างสร้างสรรค์

= 5x5 - 1 - 3x3 - 1 - 2x2 – 1

= 5x4 - 3x2 - 2x

ตอบ dy = 5x4 - 3x2 - 2x
dx

สูตรท่ี 6

ถ้า y = cf(x) เมอื่ c เปน็ คา่ คงตวั แลว้ dy = c df(x)
dx dx

ตวั อยา่ งท่ี 10 กำหนดให้ y = 5x2 - 3x จงหา dy และ f/(2)
dx
วธิ ที ำ จาก y = 5x2 - 3x
dy d(5x2 - 3x)
จะได้ dx = dx

= 5ddxx2 – 3ddxx

= 5(2x) – 3(1) f/(2) กค็ ือ แทนค่า

dy = 10x – 3 x = 2 ใน dy
dx dx
จาก = 10x – 3

จะได้ f/(2) = 10(2) – 3

dy = 17
dx
ตอบ = 10x – 3 และ f/(2) = 17

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สำหรับนักเรียนชัน้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 62

สูตรท่ี 7

ถา้ y = f(x) ∙ g(x) แลว้ dy = f(x) dg(x) + g(x) df(x)
dx dx dx

จากสูตรท่ี 7 อาจเขยี นได้วา่ dy = f(x) g/(x) + g(x) f/(x)
dx

ตวั อยา่ งที่ 11 กำหนดให้ y = (x2 - 2x + 3)(2x + 5) จงหา dy
dx

วธิ ที ำ จาก y = (x2 - 2x + 3)(2x + 5)

จะได้ dy = d [(x2 - 2x + 3)(2x + 5)]
dx dx
d (2x + 5) d (x2 - 2x + 3)
= (x2 - 2x + 3) dx + (2x + 5) dx

= (x2 - 2x + 3)(2 + 0) + (2x + 5)(2x - 2)

= (2x2 - 4x + 6) + (4x2 + 6x - 10)

= 2x2 - 4x + 6 + 4x2 + 6x – 10

dy = 6x2 + 2x - 4
dx
ตอบ = 6x2 + 2x - 4

สูตรท่ี 8

ถ้า y = f(x) โดยที่ g(x) 0 แล้ว dy = g(x) df(x) - f(x) dg(x)
g(x) dx dx dx
 [g(x)]2

จากสูตรที่ 8 คงเขียนไดว้ า่ dy = g(x) f'(x) - f(x) g’(x)
dx [g(x)]2

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลสั เบื้องต้น สำหรับนักเรยี นช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 63

ตวั อยา่ งท่ี 12 กำหนดให้ y = 3x - 1 จงหา dy
3x + 1 dx

วธิ ที ำ จาก y = 3x - 1
3x + 1

จะได้ dy = d [33xx - 11]
dx dx +

(3x + 1) d (3x - 1) - (3x - 1) d (3x + 1)
dx dx
= (3x + 1)2

= (3x + 1)(3 - 0) - (3x - 1)(3 + 0)
(3x + 1)2

= 9x + 3 - 9x + 3
(3x + 1)2

= 6
(3x + 1)2

ตอบ dy = (3x 6 1)2
dx +

ถา้ เหนอื่ ย
กห็ ยดุ พกั ก่อนนะครบั

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สำหรบั นกั เรยี นชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 64

ตวั อยา่ งท่ี 13 fใ(หx้)f(=x)x2=3-x2x72x+3-x+4272x+ + 2 จงหา f/(x)
วธิ ที ำ จาก 4

จะได้ dy = d [x23-x27x+ + 2]
dx dx 4

= (3x2 + 4) d (x2 - 7x + 2) - (x2 - 7x + 2) d (3x2 + 4)
dx dx
(3x2 + 4)2

= (3x2 + 4)(2x - 7) - (x2 - 7x + 2)(6x)
(3x2 + 4)2

= (24x3 - 21x2 + 32x - 28) - (24x3 - 42x2 + 12x)
(3x2 + 4)2

= 24x3 - 21x2 + 32x - 28 - 24x3 + 42x2 - 12x
(3x2 + 4)2

= 21x2 + 20x - 28
(3x2 + 4)2

ตอบ dy = 21x2 + 20x - 28
dx (3x2 + 4)2

พอเขา้ ใจกนั บา้ งไหมครับ

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สำหรบั นกั เรียนช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 65

โจทยป์ ญั หาเกยี่ วกบั การใชส้ ูตรการหาอนพุ นั ธ์

ตวั อยา่ งที่ 14 จงหาจดุ บนเส้นโค้ง y = x3 – 12x เมือ่ เสน้ สมั ผัสทจี่ ดุ เหล่าน้ันขนานกับแกน x

วธิ ที ำ จาก y = x3 – 12x

จะได้ dy = d (x3- 12x)
dx dx

= 3x2 – 12
นัน่ คอื เสน้ สัมผัสเส้นโคง้ ณ จดุ (x , y) ใด ๆ จะมคี วามชนั เท่ากับ 3x2 – 12

แต่เสน้ สัมผัสเสน้ โคง้ ทีข่ นานกับแกน x ก็คือเสน้ ตรงท่มี คี วามชันเป็นศูนย์

 3x2 – 12 = 0
x2 – 4 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0

กรณที ่ี 1 x – 2 = 0 กรณที ่ี 2 x + 2 = 0

x = 2 x = -2

 จะได้ x = 2 หรือ x = - 2
เมอ่ื x = 2
จะได้ y = (2)3 – 12(2)

= -16

x = -2
จะได้ y = (-2)3 – 12(-2)
= 16

ตอบ จุดบนเส้นโคง้ ทเ่ี ส้นสมั ผสั ที่จุดน้ันขนานกับแกน x คอื จุด (-2 , 16) และ (2 , -16)

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบ้ืองต้น สำหรบั นักเรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 66

ตวั อยา่ งท่ี 15 จงหาจุดบนเสน้ โค้ง y = 3 x2 + 4x + 1 ทท่ี ำให้เส้นสมั ผสั ทจ่ี ดุ ดังกล่าว
2
ต้ังฉากกบั เส้นตรง x – 2y + 4 = 0

วธิ ที ำ ให้ P(m , n) เป็นจุดทต่ี ้องการหา
เจจจนะาะไไ่อืกดดงจว้้yา่าddกxy=จnดุ =32=Px3322อxmย+ู่บ+24น+xเ4ส+น้4ซmโค่งึ1ค้ง+ือคy1วา=ม…ช32…นั ข…xอ2…งเ+ส…น้ …4สx…ัมผ+…สั …1ท่จี…ดุ
 y) ใด ๆ
(x ,

แต่เสน้ สัมผสั ซ่ึงตัง้ ฉากกับเสน้ ตรง x – 2y + 4 = 0
1
ซ่ึงมีความชันเทา่ กับ 2

 เส้นสัมผัสจะมีความชนั เทา่ กับ -2

 3x + 4 = -2

3x = -6

x = -2

นัน่ คอื จะได้ m = -2 นำไปแทนคา่ ใน 
3
จะได้ n = 2 (-2)2 + 4(-2) + 1

=6–8+1

= -1

ตอบ จุด P ที่ตอ้ งการ คอื (-2 , -1)

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สำหรับนกั เรียนชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 67

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 6.1

คำชแี้ จง : ใหน้ ักเรยี นเติมคำตอบแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ีลงในตารางใหถ้ กู ต้อง

ขอ้ ที่ คำถาม คำตอบ

1 ถา้ y = -10 แล้ว จงหา dy
dx

2 ถ้า f(x) = 20 แล้ว จงหา f/(x)

3 ถ้า f(x) = 43 แล้ว จงหา f/(x)

4 ถา้ y = 25 แลว้ dy มคี า่ เทา่ ใด
dx
dy
5 ถ้า y = x4 แล้ว จงหา dx

6 ถ้า y = √3 x แล้ว จงหา dy
dx

7 2

ถ้า f(x) = x3 แลว้ จงหา f/(x)

8 4

ถ้า f(x) = x3 แลว้ จงหา f/(x)

9 ถ้า y = 5 แล้ว จงหา dy
dx
x4

10 ถ้า f(x) = x8 แล้ว จงหา f/(x)

คิดให้ดี กอ่ นตัดสินใจ
ตอบนะครับ

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สำหรับนักเรยี นช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 68

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 6.2

คำชแี้ จง : ให้นกั เรียนเตมิ คำตอบแต่ละขอ้ ลงในตารางต่อไปน้ใี ห้ถูกต้อง

ขอ้ ที่ คำถาม คำตอบ

1 ถ้า y = x3 + 25 จงหา dy
dx
dy
2 ถา้ y = x5 + x4 + x + 2 แลว้ จงหา dx

3 ถา้ f(x) = x6 - x3 - 10 แล้ว จงหา f/(x)

4 ถา้ f(x) = x5 + x4 - x3 + 5 แล้ว จงหา f/(x)

5 ถ้า y = 3x4 แล้ว จงหา dy
dx
dy
6 ถา้ y = 6x5 + 2x + 12 แล้ว จงหา dx

7 ถา้ f(x) = 7x4 - 8x3 + 5x2 - 10x + 2 แล้ว
จงหา f/(x)

8 ถา้ f(x) = 2x6 - 3x5 + 4x - 3 แลว้ จงหา
f/(x)

นึกไมอ่ อกก็กลบั ไป
ศึกษาเอกสาร

ประกอบการสอนนะครับ

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สำหรบั นักเรยี นชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 69

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 6.3

คำชแ้ี จง : ให้นักเรยี นเตมิ คำตอบแต่ละข้อลงในตารางต่อไปนใ้ี ห้ถูกต้อง

ข้อท่ี คำถาม คำตอบ

1 กำหนดให้ y = (2x + 1)(x + 3) จงหา dy
dx
dy
2 กำหนดให้ y = (x2 + 2x + 3)(3x + 2) จงหา dx

3 กำหนดให้ f(x) = (x + 2)(x + 4) จงหา f/(x)

4 กำหนดให้ f(x) = (3x2 + 1)(x + 2) จงหา f/(x)

5 กำหนดให้ y = x + 1 จงหา dy
x - 2 dx
1 + 4x dy
6 กำหนดให้ y = 1 - 4x จงหา dx

7 กำหนดให้ y = 2x2 + 3x - 1 จงหา dy
x-2 dx
2x2 + 4x - 1
8 กำหนดให้ f(x) = x+3 จงหา f/(x)

ยงิ่ ฝกึ ฝน ย่ิงมคี วาม
ชำนาญนะครบั

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สำหรับนักเรยี นชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 70

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 6.4

คำชแี้ จง : ใหน้ กั เรยี นเติมคำตอบแตล่ ะข้อลงในตารางตอ่ ไปน้ใี ห้ถูกตอ้ ง

ข้อที่ คำถาม คำตอบ

1 จงหาสมการของเสน้ สมั ผัสและเสน้ ตรงทต่ี ัง้ ฉากกับเสน้ สมั ผัส
เส้นโคง้ y = x2 + x – 1 ท่จี ุด x = 1

2 จงหาสมการของเสน้ สัมผัสและเส้นตรงทีต่ ้ังฉากกบั เส้นสมั ผสั
เสน้ โคง้ y = x3 – 2x2 + 3 ทจี่ ุด x = 2

3 จงหาสมการของเส้นสมั ผัสเส้นโคง้ y = √x ทีจ่ ดุ x = 4

4 จงหาจุดบนเสน้ โค้ง y = x3 – 3x ท่เี สน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง
ทจี่ ุดน้ันขนานกบั แกน X

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สำหรบั นกั เรยี นชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 71

ใบความรทู้ ี่ 7
เรอื่ ง อนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ นั ประกอบ

ตวั อยา่ ง 1 กำหนดให้ f(x) = x2 + 2x – 1 และ g(x) = x3 + 3 จงหา
1.1 (gof)(2)
1.2 (fog)(3)

1.3 (fog)(–2)

1.1 (gof)(2) 1.2 (fog)(3)
จะได้ f(2) = 22 + 2(2) – 1 จะได้ g(3) = 33 + 3

=7 = 30
g(7) = 73 + 3 f(30) = 302 + 2(30) – 1

= 346 = 959
ตอบ (gof)(2) = 346 ตอบ (fog)(3) = 959

1.3 (fog)(-2)
จะได้ g(-2) = (– 2)3 + 3

= –5
f(-5) = (–5)2 + 2(–5) – 1

= 14
ตอบ (fog)(–2) = 14

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สำหรบั นกั เรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 72

ตวั อยา่ ง 2 ให้ y = (x2 + 1)5 จงหา dy
dx

วธิ ที ำ ให้ u = x2 + 1
นนั่ คือ y = (x2 + 1)5 = u5

ใชก้ ฎลูกโซ่ du
dy dy dx
จะได้ dx = du ∙ d
du5 ∙ du
= du x2 +1

= 5u4(2x)
= 5(x2 + 1)4(2x)
= 10x(x2 + 1)4
dy
ตอบ dx = 10x(x2 + 1)4

สรปุ

จากการหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั ในตวั อยา่ ง สามารถหาอนพุ ันธโ์ ดยใชส้ ูตรดังนี้
ให้ y = un
dy du
จะได้ว่า dx = nun – 1 dx

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลสั เบือ้ งต้น สำหรบั นักเรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 73

แบบฝึกทกั ษะที่ 7.1

คำชแี้ จง : ใหน้ ักเรียนเตมิ คำตอบลงในช่องวา่ งแต่ละข้อตอ่ ไปน้ใี ห้ถกู ต้อง

1. กำหนดให้ f(x) = 2x + 5 และ g(x) = 2x – 3 จงหา
1.1 (gof)(1) = ……………………………………..
1.2 (fog)(5) = …………………………………….

2. กำหนดให้ f(x) = 2 X และ g(x) = 3 − X จงหา
2.1 (gof)(2) = ……………………………………..
2.2 (fog)(-3) = ……………………………………

คดิ ใหร้ อบคอบ
ก่อนตอบนะคะ

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบื้องต้น สำหรบั นกั เรียนชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 74

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 7.2

คำชแี้ จง : ใหน้ กั เรียนเตมิ คำตอบลงในชอ่ งวา่ งแตล่ ะข้อต่อไปนใี้ ห้ถกู ตอ้ งสมบูรณ์

1. ให้ y = √1 - 3x2 จงหา dy
dx

วธิ ที ำ ให้ u = 1 – 3x2

 y = √1 - 3x2
= (1 – 3x2)21

1

= u2

จากกฎลกู โซ่
dy dy du
จะได้ dx = du ∙ dx

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

ตอบ …………………………………………………………………………………..

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบ้ืองต้น สำหรบั นักเรียนช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 75

2. ให้ f(x) = (3x – 1)4 จงหา f/(x)

วธิ ที ำ ให้ u = …………………

 y = (3x – 1)4 = u4

จากกฎลกู โซ่
dy dy du
จะได้ dx = du ∙ dx

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..
ตอบ …………………………………………………………………………………..

3. ให้ y = 1 - 1 จงหา dy
√3 2x2 dx

วธิ ที ำ ให้ u = 2x2 – 1

 y = …………………………..

จากกฎลกู โซ่
dy dy du
จะได้ dx = du ∙ dx

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

ตอบ …………………………………………………………………………………..

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบื้องต้น สำหรับนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 76

4. ให้ y = (x3 + 2x2 + 1)7 จงหา dy
dx

วธิ ที ำ ให้ u = ……………………………………….

 y = ………………………………………..

จากกฎลกู โซ่ du
dy dy dx
จะได้ dx = du ∙

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..
=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..

=…………………………………………………………………………………..
ตอบ …………………………………………………………………………………..

พยายามเข้าไวค้ รบั
เด๋ียวกเ็ สรจ็ แลว้
อยา่ ลืม ท่องไว้
ความพยายามอย่ทู ไ่ี หน
ความสำเรจ็ อยู่ท่ีน่ัน

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สำหรับนกั เรยี นช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 77

แบบฝึกทกั ษะท่ี 7.3

คำชแี้ จง : ให้นกั เรยี นหาคำตอบแต่ละข้อใหถ้ กู ตอ้ ง

ข้อ 1 ให้ y = (2x + 3)5 จงหา dy
dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

ข้อ 2 ให้ y = (1 – 3x)3 จงหา dy
dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สำหรบั นกั เรยี นช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 78

ข้อ 3 ให้ y = (3 – 4x2)4 จงหา dy
dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

ข้อ 4 ให้ y = (2 – 3x + 4x2)3 จงหา dy
dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบอื้ งต้น สำหรับนกั เรยี นช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 79

ข้อ 5 ให้ y = (x3 – 2x)4 จงหา dy
dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอ้ 6 ให้ y = √1 - 2x จงหา dy
dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบือ้ งต้น สำหรบั นักเรยี นช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 80

ขอ้ 7 ให้ y = (1 – 5x)6 จงหา dy
dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

ข้อ 8 ให้ y = (21x-+2x1)3 จงหา dy
dx

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สำหรบั นักเรียนชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 81

ใบความรทู้ ี่ 8
เรอื่ ง อนพุ นั ธอ์ ันดบั สูง

อนพุ นั ธอ์ นั ดบั สงู
ถา้ ให้ f(x) = x5 + 2x4 + 3x3 – 2x + 3
จะได้ f/(x) = 5x4 + 8x3 + 9x2 – 2
เราเรยี ก f/(x) วา่ อนพุ นั ธอ์ นั ดับหนงึ่ ของ f(x)

ถ้าเรานำ f/(x) มาหาอนุพันธ์ตอ่ อกี หนึ่งครง้ั
เราเรียกอนุพนั ธ์ใหมท่ ีไ่ ด้วา่ เป็น อนุพันธอ์ ันดับสองของ f(x)

นนั่ คือ f//(x) = 20x3 + 24x2 + 18x

ในทำนองเดียวกัน ถา้ นำ f//(x) มาหาอนพุ นั ธ์ตอ่ ไปเรื่อย ๆ เราก็จะไดอ้ นุพันธ์อันดับสาม อนั ดับส่ี

ต่อไปเรือ่ ย ๆ และเพ่อื สรปุ เปน็ หมวดหมู่ เรานิยมใชส้ ญั ลกั ษณ์ต่อไปนี้แทนอนุพันธ์อันดับตา่ ง ๆ ดงั น้ี
ff...ff//(/n//()(/(x(xx)x)))====yyy/y(//n=/)//==dd=yxdddd2xxnddy2yn3xy3
แทน อนุพันธ์อันดบั หนง่ึ
แทน อนุพนั ธ์อันดับสอง
แทน อนพุ นั ธอ์ ันดับสาม

แทน อนุพนั ธ์อันดับ n

พอเขา้ ใจไหมครับ

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สำหรับนักเรียนช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 82

ตวั อยา่ งท่ี 1 ให้ f(x) = 3x3 + 6x2 + 2x – 10 จงหา f///(x)

วธิ ที ำ จาก f(x) = 3x3 + 6x2 + 2x – 10 ขยนั อา่ น ขยนั คิด
 f/(x) = 9x2 + 12x + 2 ขยันฝึก เดี๋ยวก็เก่ง
f//(x) = 18x + 12 คณติ ศาสตรค์ รับ

f///(x) = 18

ตอบ f///(x) = 18

ตวั อยา่ งที่ 2 ให้ y = 3x5 + 4x2 + 8x + 2 จงหา d4y
dx4

วธิ ที ำ จาก y = 3x5 + 4x2 + 8x + 2

dy = 15x4 + 8x + 8
dx 60x3 + 8
180x2
d2y = 360x
dx2 360x
มีสติ คดิ อยา่ งรอบคอบ
d3y = แล้วปญั ญาจะเกิด
dx3

d4y =
dx4

ตอบ d4y =
dx4

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สำหรับนกั เรยี นชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 83

การนำอนพุ นั ธอ์ นั ดบั สูงไปใชแ้ กโ้ จทยป์ ญั หา

ตวั อยา่ งท่ี 3 เม่อื เวลา t วินาที วัตถุเคล่อื นท่ีได้ระยะทาง S = 4t3 + 2t – 3 เมตร จงหา
1) ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ

2) ความเร่งขณะเวลา t ใด ๆ
3) ความเรง่ ขณะเวลา t = 2 วนิ าที

วธิ ที ำ 1) ความเรว็ ขณะเวลา t ใด ๆ
จาก S = 4t3 + 2t – 3
dS
จะได้ v = dt = 12t2 + 2 เมตร/วนิ าที

 ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ เทา่ กับ 12t2 + 2 เมตร/วินาที

2) ความเรง่ ขณะเวลา t ใด ๆ
จาก v = 12t2 + 2
dv
จะได้ a = dt = 24t เมตร/วินาที 2

 ความเร่งขณะเวลา t ใด ๆ เท่ากบั 24t เมตร/วนิ าที 2

3) ความเรง่ ขณะเวลา t = 2 วนิ าที
จาก 2) จะไดค้ วามเรง่ ขณะเวลา t = 2 วนิ าที เท่ากบั 24(2) = 48 เมตร/วินาที 2

ตอบ ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ เท่ากับ 12t2 + 2 เมตร/วินาที
ความเรง่ ขณะเวลา t ใด ๆ เท่ากบั 24t เมตร/วนิ าที 2
ความเร่งขณะเวลา t = 2 วนิ าที เท่ากับ 24(2) = 48 เมตร/วินาที 2

ถกู ทุกขอ้ ไหมครับ
สู้ต่อไปขอเปน็ กำลงั ใจให้

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สำหรบั นักเรียนชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 84

ตวั อยา่ งที่ 4 กำหนดให้ f(x) = x3 – 2x2 + x – 5 จงหาอตั ราการเปลีย่ นแปลงของความชันขณะที่
x=2

วธิ ที ำ จาก f(x) = x3 – 2x2 + x – 5
f/(x) = 3x2 – 4x + 1
f//(x) = 6x – 4

ให้ x = 2
จะได้ f//(2) = 6(2) – 4

=8
ตอบ อตั ราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเส้นสมั ผัสของกราฟที่ x = 2 เทา่ กบั 8

สรปุ

ความเร่ง (a) ของวตั ถุขณะเวลา t ใด ๆ คือ

อัตราการเปลยี่ นแปลงของความเร็ว (v) เทยี บกบั เวลา t ใด ๆ

ถ้าวัตถเุ คลือ่ นท่ตี ามสมการเคลื่อนทคี่ ือ S = f(t)

เมือ่ S คือ ระยะทางที่วตั ถุเคล่ือนทไ่ี ด้ในเวลา t
dv dS
จะได้ a = dt และ v =
= dd2tS
 a = d (ddSt ) dt2
dt
นน่ั คอื ความเร่งขณะเวลา t ใด ๆ กค็ ือ อนุพันธอ์ ันดบั ท่ี 2 ของ S = f(t)

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สำหรบั นักเรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 85

แบบฝึกทกั ษะที่ 8.1

คำชแ้ี จง : ใหน้ ักเรยี นแสดงวธิ ที ำหาคำตอบให้ถกู ต้อง

ขอ้ 1 ให้ y = 5 + 4x3 - 5x + 7 จงหา d3y
dx3
x2

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................
d3y
ข้อ 2 ให้ y = √3 x - 5x6 + 8 จงหา dx3

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบื้องต้น สำหรบั นกั เรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 86

ข้อ 3 ให้ f(x) = 5x4 + 2x3 – x + 2 จงหา f////(x)
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

ข้อ 4 ให้ f(x) = 2x5 – 3x4 + x – 2 จงหา f5(x)
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

ข้อ 5 ให้ f(x) = 6 + 3x + 8x3 – 2x5 จงหา f///(x)
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สำหรับนกั เรยี นชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 87

ข้อ 6 ให้ f(x) = 4x3 – 3x2 + 7 จงหา f//(1)
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

ข้อ 7 ให้ f(x) = 5x5 – 6x3 + 13 จงหา f///(2)
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

ข้อ 8 ให้ f(x) = 4x4 + 3x3 – 6x2 – 10 จงหา f///(3)
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สำหรบั นกั เรยี นชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 88

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 8.2

คำชแี้ จง : ให้นักเรยี นแสดงวธิ ที ำหาคำตอบแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ีใหถ้ กู ต้อง

ขอ้ 1
วัตถชุ ิ้นหน่ึงเคล่อื นท่ไี ด้ทาง S = 2t2 – 5t – 3 ในเวลา t วนิ าที

จงหาความเรว็ และความเร่งขณะ t = 4

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

ข้อ 2
โยนลูกบอลลูกหน่ึงข้ึนไปในอากาศ มีสมการของการเคล่ือนที่ คือ S(t) = 88t – 2t2

จงหาความเรว็ ในขณะท่ีลกู บอลถกู โยนไปได้ 10 วนิ าที

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบือ้ งต้น สำหรบั นักเรยี นชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 89

ขอ้ 3
ปลอ่ ยวตั ถจุ ากทส่ี ูงลงสู่พนื้ ดินวตั ถเุ คล่อื นท่ีได้ระยะทาง S = 16t2 เมตร ในเวลา t วินาที

จงหา 3.1 ความเรว็ ขณะเวลา t = 2 วนิ าที
3.2 ความเรง่ ขณะเวลา t = 5 วินาที

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

ข้อ 4
โยนวตั ถุขน้ึ ไปในอากาศ วตั ถเุ คลือ่ นที่ได้ระยะทาง S = 128t – 16t2 เมตร ในเวลา t วินาที

จงหาความเรง่ ของวัตถุ ขณะเวลา t = 2 วินาที

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สำหรบั นกั เรยี นช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 90

ใบความรทู้ ่ี 9
เรอ่ื ง การประยุกตข์ องอนพุ นั ธ์

ฟงั กช์ นั เพม่ิ และฟงั กช์ นั ลด
โดยทั่วไปฟงั กช์ ันใด ๆ จะเปน็ ฟงั กช์ ันเพิ่มหรอื ฟงั ก์ชันลด จะตอ้ งมลี กั ษณะดังทฤษฎบี ทตอ่ ไปนี้

ทฤษฎบี ท

ใหฟ้ ังกช์ นั f เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเน่อื งบนช่วงปดิ [a , b] และสามารถหาอนุพนั ธข์ อง f ได้ทุก ๆ จดุ
ในช่วงเปิด (a , b)

1) ถา้ f/(x) > 0 สำหรบั ทกุ ๆ x บนช่วง (a , b) แลว้ f จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบนชว่ ง (a , b)
2) ถ้า f/(x) < 0 สำหรับทกุ ๆ x บนช่วง (a , b) แล้ว f จะเป็นฟังกช์ นั ลดบนช่วง (a , b)

ตวั อยา่ งที่ 1 ให้ f(x) = 1 x3 - 1 x2 – 2x จงหา
3 2
1. ช่วงท่ีทำให้ f เปน็ ฟงั กช์ นั ลด

2. ช่วงทท่ี ำให้ f เป็นฟังก์ชนั เพ่มิ

วธิ ที ำ จาก f(x) = 1 x3 - 1 x2 – 2x
3 2
เน่ืองจาก f เปน็ ฟังก์ชนั พหุนาม

ดงั นัน้ f มคี วามตอ่ เนอื่ งทุกค่าของ x ทเ่ี ป็นจำนวนจริง
จาก f(x) ทีโ่ จทย์กำหนด จะได้ f/(x) = x2 – x – 2
1) เนื่องจากค่า x ทจ่ี ะทำให้ f เปน็ ฟงั ก์ชันลดคือค่า x ทที่ ำให้ f/(x) เป็นจำนวนลบ
น่นั คอื f/(x) < 0
x2 – x – 2 < 0

(x – 2)(x + 1) < 0

+- +

-1 2
กราฟช่วงทท่ี ำให้ f/(x) < 0 คอื (-1 , 2)
ตอบ ช่วงท่ที ำให้ f เป็นฟังกช์ ันลด คอื (-1 , 2)

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สำหรบั นกั เรียนช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 91

2) เน่อื งจากค่า x ท่จี ะทำให้ f เปน็ ฟังก์ชนั เพ่มิ คือ ค่า x ท่ีทำให้ f/(x) เป็นจำนวนบวก
นัน่ คือ f/(x) > 0
x2 – x – 2 > 0
(x – 2)(x + 1) > 0

+ -+

-1 2
จากกราฟชว่ งทีท่ ำให้ f/(x) > 0 คอื (- , –1)  (2 , )
ตอบ ชว่ งทีท่ ำให้ f เป็นฟังก์ชนั เพิม่ คอื (- , –1)  (2 , )

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาชว่ งท่ีทำใหฟ้ ังกช์ นั f(x) = x3 – 3x + 2 เป็นฟังก์ชนั ลด

วธิ ที ำ จาก f(x) = x3 – 3x + 2 คอ่ ย ๆ เรยี นรู้
 f/(x) = 3x2 – 3 เดย๋ี วจะเขา้ ใจมากข้ึนเอง ^^
พจิ ารณาค่า x ทที่ ำให้ f/(x) < 0
3x2 – 3 < 0
3(x2 – 1) < 0
x2 – 1 < 0
(x + 1)(x – 1) < 0

+ -+

-1 1
จากกราฟ จะพบวา่ ชว่ งทที่ ำให้ 3x2 – 3 < 0 คอื (-1 , 1)
ตอบ ช่วงท่ีทำให้ f เป็นฟังกช์ นั ลด คือ (-1 , 1)

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สำหรับนกั เรยี นช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 92

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหาค่าสูงสุดสมั พัทธแ์ ละคา่ ต่ำสดุ สัมพทั ธข์ องฟงั กช์ นั f
เม่อื กำหนดให้ f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7

วธิ ที ำ จาก f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7 เข้าใจไหมคะ??
จะได้ f/(x) = 6x2 + 6x – 12
ให้ 6x2 + 6x + 2 = 0
6(x2 + x – 2) = 0
6(x + 2)(x – 1) = 0

 x = -2 , 1
ถา้ x < -2 จะได้ f/(x) > 0
ถ้า x > -2 จะได้ f/(x) < 0

 f มคี า่ สูงสดุ สมั พทั ธท์ ี่ x = -2 และมคี า่ เทา่ กบั 13
ถา้ x < 1 จะได้ f/(x) < 0
ถ้า x > 1 จะได้ f/(x) > 0

 f มคี า่ ตำ่ สดุ สมั พทั ธท์ ี่ x = 1 และมคี า่ เทา่ กบั -14

นอกจากน้เี ราสามารถใช้อนุพันธอ์ ันดบั ท่ี 2 ช่วยในการหาค่าสูงสุดสมั พัทธแ์ ละค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
ดงั ทฤษฎีบทต่อไปน้ี

ทฤษฎบี ท
กำหนดให้ f เป็นฟงั ก์ชันต่อเน่อื งบนช่วง S ใด ๆ และ c เป็นค่าวิกฤตของ f ซงึ่ f/(c) = 0

1. ถา้ f//(c) > 0 แลว้ f(c) เป็นคา่ ต่ำสุดสมั พัทธ์
2. ถ้า f//(c) < 0 แลว้ f(c) เปน็ คา่ สูงสดุ สมั พทั ธ์

อาจจะยัง งง ๆ
ง้ันไปดตู ัวอย่างกนั

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบื้องต้น สำหรบั นกั เรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 93

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาคา่ สูงสดุ สัมพัทธ์หรือค่าตำ่ สุดสัมพทั ธข์ อง f(x) = x3 – 3x
วธิ ที ำ จาก f(x) = x3 – 3x
จะได้ f/(x) = 3x2 – 3
ให้ f/(x) = 0

 3x2 – 3 = 0
3(x2 – 1) = 0
3(x + 1)(x – 1) = 0

 x = 1 , -1
จาก f/(x) = 3x2 – 3
f//(x) = 6x เขา้ ใจแล้วๆคะ่ ^^

f//(1) = 6
f//(-1) = -6

 f มคี า่ สูงสดุ สมั พทั ธท์ ี่ x = -1 และมคี า่ เทา่ กบั 2 และ

f มคี า่ ตำ่ สดุ สมั พทั ธท์ ี่ x = 1 และมคี า่ เทา่ กบั -2

สรปุ

วธิ กี ารหาคา่ สูงสดุ สมั พทั ธแ์ ละคา่ ตำ่ สดุ สมั พทั ธ์ มขี นั้ ตอนดงั นี้
จากฟังกช์ นั y = f(x) ท่ีโจทย์กำหนดให้

1. หา f/(x)
2. ให้ f/(x) = 0 #หาคา่ x ที่ทำใหส้ มการนน้ั เป็นจรงิ ซึง่ ค่า x ที่ได้เรยี กวา่ คา่ วิกฤต
3. นำคา่ วิกฤตไปตรวจสอบ ซ่งึ มีวธิ ีตรวจสอบ 2 วธิ ี คอื

3.1 ตรวจสอบโดยพิจารณาจากความชนั ของเสน้ สมั ผสั
- ถ้าความชนั เปลีย่ นจากบวกไปเป็นลบ จะให้ค่าสูงสดุ สัมพทั ธ์
- ถา้ ความชนั เปลย่ี นจากลบไปเป็นบวก จะใหค้ ่าต่ำสุดสัมพทั ธ์

3.2 ตรวจสอบโดยใชอ้ นุพนั ธ์อนั ดับที่ 2 ดังนี้
- ถา้ f//(x) > 0 จะใหค้ ่าตำ่ สดุ สมั พัทธ์
- ถ้า f//(x) < 0 จะใหค้ า่ สูงสุดสัมพทั ธ์
- ถ้า f//(x) = 0 แสดงว่าตรวจสอบวิธีน้ไี ม่ได้ ต้องตรวจสอบโดยวิธตี รวจสอบ
จากความชนั ของเส้นสมั ผัส

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สำหรับนกั เรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 94

คา่ สูงสดุ สมั บูรณแ์ ละคา่ ตำ่ สดุ สมั บูรณ์
ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และคา่ ตำ่ สดุ สัมบูรณ์ของฟงั กช์ ัน นิยามไดด้ ังน้ี

บทนยิ าม

ฟังกช์ ัน f มคี า่ สูงสุดสมั บรู ณ์ที่ x = c ถ้า f(c) > f(x) สำหรบั ทุก x ในโดเมนของ f ที่ x  c
ฟงั กช์ ัน f มคี ่าต่ำสุดสมั บรู ณ์ที่ x = c ถา้ f(c) < f(x) สำหรับทกุ x ในโดเมนของ f ท่ี x  c

ตวั อยา่ งที่ 5 ให้ f(x) = x3 + x2 - 8x - 1 เป็นฟงั กช์ นั บนช่วงปดิ [-4 , 2] จงหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์

และค่าต่ำสุดสมั บูรณข์ องฟังกช์ ัน

วธิ ที ำ ขนั้ ที่ 1 หาค่าวิกฤตของฟงั กช์ นั
จาก f(x) = x3 + x2 - 8x - 1
จะได้ f/(x) = 3x2 + 2x - 8
ให้ f./(x) = 0

 3x2 + 2x – 8 =0

(3x - 4)(x + 2) = 0
4
x = 3 , -2

คา่ วิกฤต คือ x = 4 และ x = -2
 f(34) = 3 (-223497)9 3 + (34)2
= - 8(34)3
- 1

f(-2) = (-2)3 + (-2)2 - 8(-2) - 1

= 11
ขน้ั ท่ี 2 เนอื่ งจากจุดปลายของช่วงเปดิ [-4 , 2] คือ x = -4 และ x = 2

 f(-4) = (-4)3 + (-4)2 - 8(-4) – 1 = -17
f(2) = 23 + 22 - 8(2) – 1 = -5
ขน้ั ท่ี 3 นำคา่ ของ f(34) , f(-2) , f(-4) และ f(2) มาเปรยี บเทียบกัน

จะได้ f(-2) = 11 มคี า่ มากที่สุด

และ f(-4) = -17 มีคา่ นอ้ ยท่สี ุด

ตอบ ค่าสูงสุดสัมบรู ณ์ จะมคี ่าเทา่ กับ 11 และ คา่ ตำ่ สดุ สมั บูรณ์ จะมคี า่ เท่ากับ -17

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สำหรบั นักเรียนชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 95

ตวั อยา่ งที่ 6 ให้ f(x) = - x2 + 4x + 5 เป็นฟังก์ชนั บนช่วง [0 , 5] จงหาค่าสูงสดุ สัมบรู ณห์ รอื
ค่าต่ำสดุ สมั บูรณ์

วธิ ที ำ จาก f(x) = - x2 + 4x + 5
จะพบวา่ ฟงั กช์ ัน f ตอ่ เนอ่ื งบนชว่ งปดิ [0 , 5]
จะได้ f/(x) = -2x + 4
 -2x + 4 = 0
x =2
จะพบว่า x = 2 เปน็ ค่าวิกฤตเพียงค่าเดียวบนชว่ ง [0 , 5] จงึ สามารถตรวจสอบคา่ วกิ ฤตวา่
จะทำใหเ้ กดิ คา่ สูงสุดสมั บูรณ์หรือค่าตำ่ สุดสมั บรู ณ์หรอื ไม่ โดยใช้อนุพันธ์อนั ดับสอง
f//(x) = -2
เอา x = 2 ไปแทน
จะได้ f//(2) = -2 < 0
แสดงว่า x = 2 เปน็ คา่ วกิ ฤตทที่ ำให้เกดิ ค่าสูงสดุ สมั บรู ณ์
 f(2) = -(2)2 + 4(2) + 5 = 9
ตอบ ค่าสูงสุดสมั บูรณ์ เทา่ กับ 9

ข้อสงั เกตุ!!!

1. คา่ สูงสุดสมั บูรณไ์ ม่จำเปน็ ต้องเป็นคา่ สูงสุดสัมพัทธ์ อาจจะเปน็ คา่ ของฟงั กช์ ันที่จดุ ปลายของโดเมน
ของฟงั ก์ชันกไ็ ด้

2. คา่ ตำ่ สุดสมั บรู ณ์ไม่จำเป็นต้องเป็นคา่ ตำ่ สุดสัมพัทธ์ อาจจะเปน็ ค่าของฟงั กช์ ันทจ่ี ุดปลายโดเมนของ
ฟงั กช์ นั กไ็ ด้

สรปุ

วธิ กี ารหาคา่ สูงสดุ สมั บูรณแ์ ละคา่ ตำ่ สดุ สมั บูรณ์
กำหนดให้ y = f(x) เป็นฟังกช์ ันต่อเนือ่ งบนชว่ ง [a , b]
1) หาคา่ สูงสุดสมั พทั ธ์ ค่าตำ่ สดุ สมั พทั ธ์
2) หาคา่ f(a) และ f(b)
3) นำคา่ ท่ีได้จากข้อ 1 และ 2 มาเปรยี บเทยี บกัน คา่ มากท่ีสุดคือค่าสูงสุดสมั บูรณ์
ค่าที่นอ้ ยทส่ี ุด คือ คา่ ตำ่ สดุ สมั บูรณ์

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สำหรบั นักเรียนชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 96

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 9.1

คำชแ้ี จง : จงหาช่วงทท่ี ำให้ f เป็นฟงั กช์ นั เพ่มิ และชว่ งท่ที ำให้ f เป็นฟังกช์ นั ลด จากฟังกช์ ันทกี่ ำหนดให้
แล้วเตมิ คำตอบลงในชอ่ งวา่ ง
ขอ้ 1 f(x) = x2 – 4x + 8
ตอบ เป็นฟงั ก์ชันเพ่ิม ...................................................
เปน็ ฟังก์ชันลด .......................................................

ข้อ 2 f(x) = 31x3 – x2 – 3x + 3
ตอบ เป็นฟังกช์ นั เพ่ิม ...................................................

เป็นฟังก์ชันลด .......................................................

ขอ้ 3 f(x) = 2 + 2x – x2
ตอบ เป็นฟงั กช์ นั เพ่ิม ...................................................

เป็นฟงั กช์ ันลด .......................................................

ข้อ 4 f(x) = 3x4 – 20x3 + 36x2
ตอบ เป็นฟังก์ชนั เพ่มิ ...................................................

เป็นฟงั กช์ นั ลด .......................................................

ข้อ 5 f(x) = x3 + 3x – 4
ตอบ เป็นฟังกช์ นั เพิม่ ...................................................

เป็นฟังก์ชันลด .......................................................

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สำหรบั นักเรยี นช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 97

แบบฝึกทกั ษะที่ 9.2

คำชแี้ จง : จงหาคา่ สูงสุดสัมพทั ธห์ รอื คา่ ต่ำสุดสมั พทั ธ์ของฟังก์ชนั ท่ีกำหนดใหแ้ ลว้ เตมิ คำตอบลงในชอ่ งวา่ ง

ขอ้ 1 f(x) = x2 + 3

ตอบ ……………………...................................................

ข้อ 2 f(x) = x3 + 2x2 – 5x – 3

3

ตอบ ……………………...................................................
ข้อ 3 f(x) = –3x2 – 2

ตอบ ……………………...................................................
ขอ้ 4 f(x) = 3x4 – 4x3 + 2

ตอบ ……………………...................................................

ข้อ 5 f(x) = x3 - 4 x2 + 12x

3

ตอบ ……………………...................................................

อย่าลืมตรวจสอบ
คำตอบกอ่ นส่งนะ

ครบั

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบื้องต้น สำหรับนกั เรียนช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 98

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 9.3

คำชแี้ จง : ให้นกั เรยี นหาค่าสูงสุดสมั บูรณ์และค่าต่ำสดุ สัมบูรณข์ องฟังก์ชนั บนช่วงปิดท่ีกำหนดให้ในแต่ละข้อ
แลว้ เตมิ คำตอบลงในช่องว่างใหถ้ กู ตอ้ งสมบูรณ์
ขอ้ 1 f(x) = x3 - 9x2 + 24x ; [0 , 10]
ตอบ ……………………...................................................
……………………...................................................

ข้อ 2 f(x) = x3 - 2x2 + x – 1 ; [-3 , 3]
ตอบ ……………………...................................................
……………………...................................................

ขอ้ 3 f(x) = x2 + 2x – 4 ; [-4 , 3]
ตอบ ……………………...................................................
……………………...................................................

ขอ้ 4 f(x) = 2x3 - 2x2 + 2 ; [-2 , 1]
ตอบ ……………………...................................................
……………………...................................................

ข้อ 5 f(x) = x3 + 3x2 - 9x + 4 ; [-5 , 6]
ตอบ ……………………...................................................
……………………...................................................

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบ้ืองต้น สำหรบั นกั เรียนชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 99

บรรณานกุ รม

กระทรวงศกึ ษาธกิ าร. (2554). คู่มอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ เล่ม 6 กล่มุ สาระการเรยี นรู้
คณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4-6. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ครุ ุสภาลาดพร้าว.

_______. (2554). หนังสอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ เลม่ 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 4 - 6. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์คุรุสภาลาดพรา้ ว.

จกั รินทร์ วรรณโพธิก์ ลาง. (2551). คัมภีรค์ ณิตศาสตร์ ม.ปลาย. กรุงเทพฯ : สำนกั พิมพ์ พ.ศ. พฒั นา

จำกัด.
ประวตั ิ เพียรเจริญ. (2553). คณิต ม.ปลาย ทบทวนได้งา่ ย ๆ ใน 8 วัน. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์

ส.ส.ท..
วาสนา ทองการุณ. (2548). สาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ ม. 4 - 6. กรุงเทพฯ : เดอะบุคส.์
แคลคูลัสเบอื้ งต้น (ออนไลน์) ; http://www.satrinon.ac.th/piboon/32102/t1.pdf .

เข้าถงึ เมอ่ื 9 สงิ หาคม 2560.
แคลคูลัส. (ออนไลน)์ ; http://www.trueplookpanya.com.

เขา้ ถงึ เมื่อ 9 สงิ หาคม 2560.
อนุพันธ.์ (ออนไลน)์ ; https :// https://th.wikipedia.org/wiki/

เข้าถึงเมอื่ 9 สงิ หาคม 2560.
อนุพันธ์ของฟังกช์ ัน. (ออนไลน์) ; http://courseware.npru.ac.th/admin/files/

เข้าถงึ เมอ่ื 9 สงิ หาคม 2560.

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สำหรบั นักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์