เอกสารประกอบการสอน-เรื่อง-แคลคูลัส

เอกสารประกอบการสอน รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่

เแคcรื่อง แคลคูลัสเบ้อื งตน้ ๖

นายสทิ ธิชยั ยบุ ลวฒั น์

ตำแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครูชำนาญการพเิ ศษ

โรงเรยี นอนกุ ูลนารี

อำเภอเมอื งกาฬสนิ ธุ์ จงั หวดั กาฬสนิ ธุ์
สำนักงานเขตพนื้ ทก่ี ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 24
สำนกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

หน้า | 1

คำนำ

เอกสารประกอบการสอนรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม (ค33202) ชัน้ มัธยมศึกษาปี่ 6 เรื่อง
แคลคูลัสเบือ้ งต้น กล่มุ สาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ จดั ทำขนึ้ ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาข้นั พื้นฐาน
พุทธศักราช 2551 โดยให้มคี วามเหมาะสมกบั การจัดกิจกรรมการเรียนรู้ การนำไปใชใ้ นการศกึ ษาตอ่ ใน
ระดับอดุ มศึกษา เน้นการคดิ วิเคราะห์ คดิ อย่างมีวิจารณญาณ การแกป้ ัญหา การคิดสร้างสรรค์ การใช้
เทคโนโลยี การส่อื สารการร่วมมอื รวมท้งั เชอื่ มโยงความรูส้ กู่ ารนำไปใช้ในชีวิตจริง

ผจู้ ดั ทำหวังเปน็ อยา่ งยง่ิ ว่า เอกสารประกอบการสอนรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม (ค33202)
ชน้ั มัธยมศึกษาปี่ 6 เรอื่ ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น นี้ จะเปน็ ประโยชน์ตอ่ การจัดการเรียนรู้ และเปน็ ส่วนสำคญั ใน
การพฒั นาคุณภาพผ้เู รยี นกลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ขอบคุณคณะผูบ้ รหิ าร ผเู้ ชยี่ วชาญ คณะครู
บคุ ลากรทุกทา่ นทม่ี สี ่วนเกีย่ วขอ้ งในการจัดทำไว้ ณ โอกาสนี้

สิทธชิ ัย ยบุ ลวฒั น์
ตำแหน่ง ครู วทิ ยฐานะ ครูชำนาญการพิเศษ

โรงเรยี นอนกุ ูลนารี

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สำหรบั นักเรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

หน้า | 2

คำชแ้ี จง

เอกสารประกอบการสอนรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม (ค33201) ช้ันมธั ยมศกึ ษาปี่ 6 เร่อื ง
แคลคูลสั เบ้ืองต้น กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์เล่มน้ี มเี น้ือหาสาระการเรยี นรู้ ประกอบด้วย เรอ่ื ง
ลิมติ ของฟงั ก์ชนั ความต่อเน่ืองของฟังกช์ ัน ความชันของเส้นโค้ง การหาอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ ันโดยใชน้ ิยาม
อตั ราการเปลย่ี นแปลง การหาอนพุ ันธ์โดยใช้สูตร อนุพันธ์ของฟงั ก์ชนั ประกอบ อนุพนั ธ์อนั ดับสูง และการ
ประยกุ ต์ของอนพุ นั ธ์ ซึ่งเป็นพนื้ ฐานนำไปใช้ในการศึกษาต่อในระดับอดุ มศกึ ษา เนน้ การคิดวเิ คราะห์ คิดอยา่ ง
มีวิจารณญาณ การแกป้ ัญหา การคิดสรา้ งสรรค์ การใชเ้ ทคโนโลยี การส่อสารการรว่ มมอื รวมทั้งเช่ือมโยง
ความรูส้ ู่การนำไปใช้ในชีวิตจริง ตลอดจนมกี จิ กรรมทีส่ ่งเสริมใหผ้ ูเ้ รยี นทำงานรว่ มกับผ้อู น่ื ได้อยา่ งมี
ประสทิ ธภิ าพ

การจดั ทำเอกสารประกอบการสอน รายวิชาคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ (ค33202) ช้นั มัธยมศึกษาปี่ 6
เรื่อง แคลคูลัสเบ้ืองตน้ เลม่ นี้ไดร้ ับความรว่ มมอื อยา่ งดยี ่งิ จาก คณะผบู้ รหิ าร ผเู้ ช่ียวชาญ ครูผสู้ อน จาก
โรงเรยี นอนกุ ูลนารี จึงขอขอบคณุ ทกุ ท่านไว้ ณ ทนี่ ห้ี ากมขี อ้ เสนอแนะใดทจ่ี ะทำใหเ้ อกสารประกอบการสอน
เล่มน้มี ีความสมบูรณย์ ิ่งขึ้น โปรดแจ้งผ้จู ัดทำทราบด้วย จกั ขอบพระคุณย่ิง

สทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์
ตำแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครูชำนาญการพิเศษ

โรงเรียนอนกุ ูลนารี

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบอื้ งต้น สำหรับนักเรียนช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

หน้า | 3

คำอธบิ ายรายวชิ าเพม่ิ เตมิ

คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ (ค33202) กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์
ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6 ภาคเรยี นที่ 2
เวลา 80 ชวั่ โมง 2.0 หนว่ ยกติ

คำอธบิ ายรายวชิ า
ศกึ ษาวิเคราะห์ ฝึกทกั ษะ/กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ ในการเรียนรู้ลำดับอนันต์ และอนกุ รม
อนนั ต์ ลมิ ติ ของลำดับ ผลบวกของอนุกรมอนันต์ แคลคูลัสเบ้ืองตน้ ลมิ ติ ของฟงั กช์ นั ความตอ่ เนอ่ื งของฟังกช์ นั

อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ัน การหาอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชันพชี คณิตโดยใชส้ ูตร อนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ ันคอมโพสทิ อนุพันธ์
อนั ดับสูง การประยกุ ต์ของอนุพันธ์ ปรพิ ันธจ์ ำกัดเขต พื้นทท่ี ี่ปดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โคง้ กำหนดการเชงิ เส้นในการ
แก้ปญั หา

โดยจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณใ์ นชีวิตประจำวนั ท่ใี กล้ตัวให้ผ้เู รยี นได้ศึกษาคน้ ควา้ โดยการ
ปฏิบตั ิจริง ทดลอง สรุป รายงาน เพ่อื พัฒนาทกั ษะ/กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ ซง่ึ ประกอบด้วย การ
แก้ปัญหา การให้เหตุผล การสอื่ สาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรแ์ ละการนำเสนอ มีความสามารถใน
การเช่อื มโยงความรูต้ า่ ง ๆ ทางคณติ ศาสตร์ และเช่ือมโยงคณติ ศาสตร์กับศาสตรอ์ ืน่ ๆ และมีความคดิ รเิ รมิ่
สรา้ งสรรค์

รวมทงั้ เหน็ คุณค่าและมีเจตคตทิ ่ีดตี อ่ คณติ ศาสตร์ และมคี ณุ ลกั ษณะทีพ่ งึ ประสงคใ์ นการรกั ชาติ
ศาสนา พระมหากษัตรยิ ์ ซ่อื สตั ย์สุจรติ มีวินัย ใฝ่เรยี นรู้ อยู่อย่างพอเพยี ง มงุ่ มั่นในการทำงาน รักษาความ
เปน็ ไทย มจี ิตสาธารณะ สามารถทำงานอยา่ งเปน็ ระบบระเบยี บ มคี วามรอบคอบ มีความรับผิดชอบ มี
วจิ ารณญาณ และมคี วามเชอ่ื มัน่ ในตนเอง

ผลการเรยี นรู้
1. หาลิมติ ของลำดบั อนันตโ์ ดยอาศัยทฤษฎีเกีย่ วกับลิมติ ได้
2. หาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ได้
3. นำความรู้เรอ่ื งลำดบั และอนุกรมไปใช้แก้ปัญหาได้
4. หาลิมติ ของฟงั กช์ ันของฟงั กันทกี่ ำหนดได้
5. บอกได้ว่าฟังก์ชนั ท่ีกำหนดให้เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เน่อื งหรือไม่
6. หาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชันท่กี ำหนดให้ได้
7. นำความรูเ้ รื่องอนุพันธข์ องฟงั ก์ชันไปประยกุ ต์ได้
8. หาปรพิ ันธไ์ ม่จำกัดเขตของฟังก์ชนั ที่กำหนดให้ได้
9. หาปรพิ ันธ์จำกัดเขตของฟังกช์ นั บนชว่ งทก่ี ำหนดให้ได้
10. หาพื้นท่ีท่ปี ิดลอ้ มด้วยเสน้ โคง้ บนชว่ งทก่ี ำหนดใหไ้ ด้

11. สรา้ งแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และวิธีการของกำหนดเชิงเสน้ ท่ีใช้กราฟของสมการ และอสมการท่ี
มีสองตวั แปรได้

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบือ้ งต้น สำหรับนกั เรยี นชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

หน้า | 4

รวมทง้ั หมด 11 ผลการเรยี นรู้

ผลการเรยี นรู้ เรอื่ ง แคลคูลสั เบอ้ื งตน้
1. หาลมิ ติ ของฟังก์ชันของฟงั กันทก่ี ำหนดได้
2. บอกไดว้ ่าฟงั กช์ นั ท่กี ำหนดให้เป็นฟังกช์ ันตอ่ เนอ่ื งหรอื ไม่
3. หาอนพุ ันธ์ของฟังกช์ นั ท่ีกำหนดให้ได้
4. นำความรู้เรื่องอนพุ ันธข์ องฟังกช์ ันไปประยุกตไ์ ด้

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบื้องต้น สำหรบั นักเรียนชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

หน้า | 5

สารบญั

คำนำ ...............................................................................................................................................................1
คำช้ีแจง........................................................................................................................................................... 2
คำอธิบายรายวิชาเพม่ิ เตมิ ............................................................................................................................... 3
ใบความรูท้ ี่ 1 ลมิ ติ ของฟังกช์ นั .........................................................................................................................7

แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.1 ............................................................................................................................17
แบบฝึกทกั ษะที่ 1.2............................................................................................................................18
แบบฝึกทักษะที่ 1.3 ...........................................................................................................................19
ใบความรู้ท่ี 2 ความตอ่ เนอื่ งของฟงั ก์ชัน ..................................................................................................... 20
แบบฝกึ ทักษะที่ 2.1........................................................................................................................... 25
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.2.......................................................................................................................... 26
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2.3.......................................................................................................................... 27
ใบความรูท้ ่ี 3 ความชันของเสน้ โค้ง ............................................................................................................. 29
แบบฝึกทักษะที่ 3.1 ..........................................................................................................................36
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3.2.......................................................................................................................... 37
ใบความรู้ท่ี 4 การหาอนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั โดยใช้นิยาม .................................................................................. 38
แบบฝกึ ทักษะที่ 4.1............................................................................................................................41
แบบฝึกทักษะท่ี 4.2.......................................................................................................................... 44
ใบความรู้ที่ 5 อตั ราการเปลย่ี นแปลง............................................................................................................ 46
แบบฝกึ ทักษะท่ี 5.1........................................................................................................................... 52
แบบฝึกทกั ษะที่ 5.2...........................................................................................................................55
ใบความรู้ที่ 6 การหาอนุพันธ์โดยใชส้ ูตร ................................................................................................... 56
แบบฝกึ ทักษะที่ 6.1........................................................................................................................... 67
แบบฝึกทกั ษะท่ี 6.2.......................................................................................................................... 68
แบบฝึกทกั ษะท่ี 6.3.......................................................................................................................... 69
แบบฝกึ ทักษะที่ 6.4.......................................................................................................................... 70

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบื้องต้น สำหรับนกั เรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

หน้า | 6

ใบความรู้ที่ 7 อนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั ประกอบ ..................................................................................................71
แบบฝึกทักษะท่ี 7.1........................................................................................................................... 73
แบบฝึกทกั ษะที่ 7.2.......................................................................................................................... 74
แบบฝึกทักษะที่ 7.3...........................................................................................................................77

ใบความรูท้ ่ี 8 อนุพนั ธอ์ ันดับสูง ...................................................................................................................81
แบบฝึกทักษะท่ี 8.1............................................................................................................................85
แบบฝกึ ทักษะท่ี 8.2...........................................................................................................................88

ใบความรูท้ ่ี 9 การประยกุ ตข์ องอนุพันธ์ ..................................................................................................... 90
แบบฝกึ ทกั ษะที่ 9.1........................................................................................................................... 96
แบบฝกึ ทักษะท่ี 9.2...........................................................................................................................97
แบบฝึกทกั ษะที่ 9.3...........................................................................................................................98

บรรณานกุ รม .................................................................................................................................................99

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สำหรบั นกั เรียนชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

หน้า | 7

ใบความรทู้ ี่ 1
เรอื่ ง ลมิ ติ ของฟงั กช์ นั

ลมิ ติ ของฟงั กช์ นั

ลมิ ิตของฟังกช์ ัน เปน็ การพิจารณาคา่ y หรอื f(x) ของฟงั ก์ชนั ขณะท่ี x เข้าใกล้จำนวนจริง
จำนวนใดจำนวนหนึ่ง การเขา้ ใกลจ้ ำนวนใดจำนวนหน่งึ ของคา่ x มี 2 กรณี

กรณที ี่ 1 เขา้ ใกลท้ างดา้ นซา้ ย
กรณที ี่ 2 เขา้ ใกลท้ างด้านขวา

เชน่ เม่อื x เขา้ ใกล้ 0 บนเส้นจำนวน

•••• •••••
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

การเข้าใกล้ทางดา้ นซา้ ย หมายถงึ x จะเริ่มจากค่าทีน่ อ้ ยกวา่ 0 แลว้ เพิม่ ขึน้ เรื่อย ๆ แต่ไม่ถงึ 0
การเข้าใกล้ทางด้านขวา หมายถงึ x จะเรมิ่ จากค่าท่มี ากกวา่ 0 แลว้ ลดลงเร่ือย ๆ แต่จะไมถ่ งึ 0
โดยท่วั ไปแลว้ ในการพจิ ารณาว่าเมอื่ x เขา้ ใกลจ้ ำนวนจรงิ a ใด ๆ
จะพจิ ารณาท้ังสองกรณี คือ เมื่อ

x เข้าใกล้ a ทางซ้าย [x < a] ซ่ึงเขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ x → a-
x เขา้ ใกล้ a ทางขวา [x > a] ซงึ่ เขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ x → a+

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบ้ืองต้น สำหรบั นกั เรียนชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

หน้า | 8

การหาลมิ ติ ของฟงั กช์ นั

ตวั อยา่ งที่ 1 กำหนด f(x) = x2 + 4 จงหาค่า f(x) เมอื่ x มีคา่ เขา้ ใกล้ 2
วธิ ที ำ หาค่า f(x) เม่อื การมคี า่ เข้าใกล้ 2 ทงั้ ทางซา้ ยและขวา ดงั ตารางตอ่ ไปนี้

x เขา้ ใกล้ 2 ทางซ้าย x เข้าใกล้ 2 ทางขวา
x<2 x>2

x < 2 f(x) x > 2 f(x)

1 5.0000 3 13.000
1.5 6.2500 2.5 10.2500
1.9 7.6100 2.45 10.0025
1.99 7.9601 2.20 8.8400
1.999 7.996001 2.001 8.004001

จากตารางพบวา่ ขณะท่ี x มคี า่ เขา้ ใกล้ 2 ทางซ้าย f(x) มคี า่ เขา้ ใกล้ 8

จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ x lim 2- f(x) = 8

→

ขณะที่ x มีคา่ เขา้ ใกล้ 2 ทางขวา f(x) มีค่าเขา้ ใกล้ 8

จะใชส้ ัญลกั ษณ์ x lim 2+ f(x) = 8

→

นัน่ คอื ลิมติ ของ f(x) เท่ากบั 8 เมอ่ื x มคี ่าเขา้ ใกล้ 2 ซึง่ จะแทนด้วยสัญลกั ษณ์
lim f(x) = lim x2 + 4 = 8
x→2 x→2

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบอื้ งต้น สำหรับนักเรยี นชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

หน้า | 9

ตวั อยา่ งท่ี 2 กำหนด f(x) = x2 + 1 จงหาค่า f(x) เม่อื x มคี ่าเขา้ ใกล้ 4

วธิ ที ำ หาคา่ f(x) เมื่อการมคี ่าเข้าใกล้ 4 ทงั้ ทางซ้ายและขวา ดงั ตารางต่อไปนี้
1.) x เขา้ ใกล้ 4 ทางซา้ ย x < 4

x < 4 f(x)
3 10
3.5 13.25
3.9 16.21
3.99 16.9201

จากตารางพบว่า ขณะท่ี x มคี า่ เขา้ ใกล้ 4 ทางซ้าย f(x) มคี ่าเขา้ ใกล้ 17

จะใชส้ ัญลักษณ์ x lim 4- f(x) = 17

→

ศกึ ษาเรยี นรตู้ อ่ ได้เลยครบั

2.) x เขา้ ใกล้ 4 ทางขวา x > 4

x > 4 f(x)
4.50 21.25
4.20 18.64
4.10 17.81
4.01 17.0801

จากตารางพบว่า ขณะที่ x มคี า่ เข้าใกล้ 4 ทางขวา f(x) มีคา่ เข้าใกล้ 17

จะใชส้ ัญลกั ษณ์ x lim 4+ f(x) = 17

→

นน่ั คอื ลมิ ติ ของ f(x) เทา่ กบั 8 เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ซึ่งจะแทนดว้ ยสญั ลักษณ์
lim f(x) = lim x2 + 1 = 8
x→4 x→4

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สำหรบั นกั เรียนชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 10

ตวั อยา่ งท่ี 3 กำหนด f(x) = x + 5 จงหาคา่ f(x) เมือ่ x มคี า่ เข้าใกล้ 2

วธิ ที ำ หาคา่ f(x) เมือ่ การมคี ่าเข้าใกล้ 2 ทง้ั ทางซ้ายและขวา ดงั ตารางต่อไปน้ี
1.) x เขา้ ใกล้ 2 ทางซา้ ย x < 2

x 1 1.5 1.7 1.99 1.999
f(x) 6 6.5 6.7 6.99 6.999

จากตารางพบวา่ ขณะท่ี x มคี า่ เข้าใกล้ 2 ทางซ้าย f(x) มคี า่ เข้าใกล้ 7

จะใชส้ ัญลกั ษณ์ x lim 2- f(x) = 7

→

มีสติ สมาธิ เรยี นรู้อย่าง
ตัง้ ใจนะครบั เพอื่ น ๆ

คดิ ไตรต่ รองและรอบคอบนะครบั

2.) x เขา้ ใกล้ 2 ทางขวา x > 2

x 3 2.5 2.3 2.1 2.001
f(x) 8 7.5 7.3 7.1 7.001

จากตารางพบวา่ ขณะที่ x มคี า่ เขา้ ใกล้ 2 ทางขวา f(x) มีคา่ เขา้ ใกล้ 7

จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ x lim 2+ f(x) = 7

→

นน่ั คือ ลมิ ติ ของ f(x) เท่ากับ 7 เม่ือ x มคี ่าเข้าใกล้ 2 ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์

lim f(x) = lim x + 5 = 7
x→2 x→2

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบื้องต้น สำหรบั นกั เรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 11

มาพจิ ารณากราฟกนั ^^

พจิ ารณากราฟของฟงั กช์ นั y = f(x) แสดงดงั รูป
พิจารณาดูกราฟ
ครบั เพือ่ น ๆ

x lim 1+ f(x) = x lim 1+ (-3) ………………………………………………..(1)

→ →

x lim 1- f(x) = x lim 1- (2) …………………………………………………..(2)

→ →

จะเหน็ ว่า (1) ≠ (2)

น่นั คอื x lim 1+ f(x) ≠ x lim 1- f(x)

→ →

ดงั นน้ั lim f(x) หาค่าลิมติ ไม่ได้

x→1

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบื้องต้น สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 12

พจิ ารณากราฟของฟงั ก์ชนั y = g(x) แสดงดงั รูป

ความพยายามอยทู่ ่ไี หน
ความสำเรจ็ อยู่ตรงนั้น

สู้ ๆ...

x lim 4+ g(x) = x lim 4+ (x - 6) ………………………………………………..(1)

→ →

= 4–6

= -2

x lim 4- g(x) = x lim 4- (4 - x) ………………………………………………..(2)

→ →

= 4–4

=0

จะเห็นวา่ (1) ≠ (2)

-2 ≠ 0

นนั่ คือ x lim 4+ g(x) ≠ x lim 4- g(x)

→ →

ดงั นน้ั lim g(x) หาค่าลมิ ิตไม่ได้

x→4

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สำหรบั นักเรยี นช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 13

พจิ ารณากราฟของฟงั ก์ชนั y = h(x) แสดงดงั รูป

x lim 3+ h(x) = x lim 3+ (10 - x) ………………………………………………..(1)

→ →

= 10 - 3

=7

x lim 3- h(x) = x lim 3- (2x + 1) ………………………………………………..(2)

→ →

= 2(3) + 1

= 6+1

=7

จะเห็นวา่ (1) = (2)

น่นั คือ x lim 3+ h(x) ≠ x lim 3- h(x)

→ → เพอื่ น ๆ ผอ่ นคลายสมอง
กันหนอ่ ย แลว้ ค่อยฝกึ ตอ่
ดงั นัน้ lim h(x) = 7
ครับ
x→3 สู้ ๆ...

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สำหรบั นกั เรยี นชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 14

ทฤษฎบี ทเกยี่ วกบั ลมิ ติ

ทฤษฎบี ทเกย่ี วกับลมิ ิตของฟงั ก์ชนั ต่อไปน้ีจะไม่แสดงการพิสูจนแ์ ต่จะยกตัวอย่างแสดงการนำเอาทฤษฎีบท
ไปใช้ในการหาลิมติ ของฟังกช์ นั ดงั ตอ่ ไปนี้

ทฤษฎบี ท

เมื่อ a , L และ M เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ ถา้ f และ g เป็นฟงั ก์ชนั ท่ีมโี ดเมนและเรนจ์เปน็
สับเซตของจำนวนจริง โดยท่ี lim f(x) = L และ lim f(x) = M แล้ว

x→a x→a

1. lim c = c เมอื่ c เปน็ ค่าคงตวั ใด ๆ

x→a

2. lim x = a

x→a

3. lim xn = an , n  I+

x→a

4. lim cf(x) = c lim f(x) = cL เมือ่ c เปน็ ค่าคงตวั ใด ๆ

x→a x→a

5. lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L + M

x→a x→a x→a

6. lim [f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x) = L - M

x→a x→a x→a

7. lim [f(x) ∙ g(x)] = lim f(x) ∙ lim g(x) = L ∙ M

x→a x→a x→a

8. lim [gf((xx))] = x→lima f(x) = L
x→lima g(x) M
x→a พจิ ารณาสงั เกตและจดจำไป
ใช้นะครับ
9. lim [f(x)]n = [ lim [f(x)] n = Ln , n  I+
x→a x→a
]

10. lim √n f(x) = √n xl→ima f(x) = √n L , n  I+ - {1} และ √n L  R

x→a

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สำหรับนักเรยี นช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 15

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหา lim 2x2 - 3x
x2 - 4x
x→2

วธิ ที ำ จากทฤษฎบี ทข้อ 8

จะไดว้ า่ lim 2x2 - 3x = x→lim2 2x2 - 3x
x2 - 4x x→lim2 x2 - 4x
x→2

= x2→lim2 x2 - 3x→lim2x
x→lim2 x2 - 4x→lim2x

= 2(4) - 3(2)

4 - 4(2) lim [gf((xx))] = x→lima f(x) L
x→lima g(x) =M
2 หรือ -21 x→a
-4
=

ดังนนั้ lim 2x2 - 3x = -21
x2 - 4x
x→2

ตวั อยา่ งที่ 5 จงหา lim x3 + 2x - 6

x→4

วธิ ที ำ จาก lim x3 + 2x - 6

x→4

จะได้ว่า lim x3 + 2x - 6 = lim x3 + 2 lim x - lim 6

x→4 x→4 x→4 x→4

= 43 + 2(4) - 6

= 64 + 8 - 6 ใชจ่ า้
เก่งมากๆ
= 66 ข้อนี้ใชท้ ฤษฎีบทขอ้
ดงั น้นั lim x3 + 2x - 6 = 66 5 -> 6 -> 1 ใชไ่ หมๆ

x→4

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบื้องต้น สำหรบั นักเรยี นช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหา lim (x2 + 1)2 ห น ้ า | 16
x→3
วธิ ที ำ [ lim (x2 + 1)2]2 ขอ้ นีใ้ ช้ทฤษฎีบทขอ้
lim (x2 + 1)2 = 9 -> 5 -> 1 ^^
x→3 x→3

= [ ( lim x2 + lim 1)2]2

x→3 x→3

= [ 32 + 1 ] 2

= 100
ดังน้นั lim (x2 + 1)2 = 100

x→3

ตวั อยา่ งท่ี 7 จงหา lim (x2 - x)(2x - 5)

x→-3

วธิ ที ำ lim (x2 - x)(2x - 5) = lim (x2-x) ∙ lim (2x-5)
x→-3 x→-3 x→-3

= ( lim x2 - lim x ) ∙ ( lim 2x - lim 5)
x→-3 x→-3 x→-3 x→-3

= ((-3)2-(-3))(2 lim x - 5)

x→-3

= (9 + 3)[2(-3) - 5]

= 12(-11)

= -132
ดังน้นั lim (x2 - x)(2x - 5) = -132

x→-3

ไชโย...ศึกษาจบแลว้
พกั ๆๆๆแลว้ มาลองทำแบบฝึกทกั ษะกนั

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบื้องต้น สำหรับนกั เรยี นชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 17

แบบฝึกทกั ษะท่ี 1.1

คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรยี นหาลมิ ิตของฟังกช์ ันทก่ี ำหนดใหแ้ ต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ีแล้วเตมิ คำตอบลงในช่องว่างใหถ้ กู ต้อง

x 2 2.5 2.7 2.9 2.99 2.999
f(x) = x + 2 4 4.5 4.7 4.9 4.99 4.999

x 4 3.5 3.2 3.01 3.001 3.0001
f(x) = x + 2 6 5.5 5.2 5.01 5.001 5.0001

จงหา
1.1) x→lim3- f(x)
ตอบ ...................................................................................
1.2) x→lim3+ f(x)
ตอบ ...................................................................................
1.3) lim f(x)

x→3

ตอบ ...................................................................................

x 4 4.5 4.9 4.99 4.999
f(x) = x2 + 2 18 22.25 26.01 26.901 26.9901

x 6 5.5 5.2 5.01 5.001
f(x) = x2 + 2 38 32.25 29.04 27.100 27.010

จงหา
1.1) x→lim5- f(x)
ตอบ ...................................................................................
1.2) x→lim5+ f(x)
ตอบ ...................................................................................
1.3) lim f(x)

x→5

ตอบ ...................................................................................

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สำหรบั นักเรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 18

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1.2

คำชแี้ จง ใหน้ กั เรียนหาลมิ ิตของฟังกช์ ันทก่ี ำหนดให้แต่ละข้อตอ่ ไปน้แี ล้วเติมคำตอบลงในช่องว่างใหถ้ กู ตอ้ ง

ขอ้ ที่ 1 lim 2x+4 ข้อท่ี 5 lim x2 - 4
x-2
x→3 x→2

ตอบ……………………………………… ตอบ………………………………………

ขอ้ ท่ี 2 lim 3x2-2x-10 ข้อท่ี 6 lim 3x2 - 10x + 3
x -3
x→2 x→3

ตอบ……………………………………… ตอบ………………………………………

ขอ้ ท่ี 3 lim 4x2 + 2x ขอ้ ท่ี 7 lim √25 - x2 + 4
x2 +1 x +3
x→1 x→3

ตอบ……………………………………… ตอบ………………………………………

ข้อที่ 4 lim (x2 - 3)2 คะแนน

x→3

ตอบ………………………………………

ทำได้ไหมมม ยำ้ คิด
ย้ำทำ เพ่ือความเข้าใจนะ ^^

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สำหรับนักเรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 19

แบบฝึกทกั ษะที่ 1.3

คำชแ้ี จง ให้นกั เรียนหาคา่ ลมิ ิตของฟงั กช์ ันในแต่ละขอ้ ต่อไปนแ้ี ล้วเติมคำตอบลงในชอ่ งวา่ งให้ถกู ตอ้ ง

ขอ้ ท่ี 1 ค่าของ lim x2+ 3x - 6 ขอ้ ท่ี 2 คา่ ของ lim x2 + 5x + 6
x +3
x→3 x→-3

ตอบ…………………………………………… ตอบ……………………………………………

ขอ้ ท่ี 3 ค่าของ lim 3 - √x ขอ้ ที่ 4 คา่ ของ lim 5x2 + 4x
9-x x
x→9 x→0

ตอบ…………………………………………… ตอบ……………………………………………

ข้อท่ี 5 คา่ ของ lim √x + 3 - √3 ข้อท่ี 6 คา่ ของ lim x2 - 64
x x - 8
x→0 x→8

ตอบ…………………………………………… ตอบ……………………………………………

ขอ้ ท่ี 7 คา่ ของ lim (x + 3)(x - 6) ขอ้ ที่ 8 ค่าของ lim 1 - x2
8 +x
x→4 x→2

ตอบ…………………………………………… ตอบ……………………………………………

ขอ้ ท่ี 9 คา่ ของ lim x2 + 3x + 2 ขอ้ ท่ี 10 คา่ ของ lim x -1 - 2
x2 + 4x + 3 √x2 + 3
x→-1 x→1

ตอบ…………………………………………… ตอบ……………………………………………

ย่ิงคิด ยงิ่ ฝกึ
ย่งิ มคี วามชำนาญครบั ผม

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบือ้ งต้น สำหรับนักเรยี นชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 20

ใบความรูท้ ี่ 2
เรอื่ ง ความตอ่ เนอ่ื งของฟงั กช์ นั

ความตอ่ เนอ่ื งของฟงั ก์ชันโดยท่ัวไปเราจะนยิ ามฟงั กช์ นั ตอ่ เน่ือง ดงั น้ี

บทนยิ าม

ให้ a เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ ฟงั ก์ชัน f เป็นฟงั ก์ชันต่อเนอ่ื งท่ี x = a เม่ือฟงั ก์ชัน f มสี มบัติ ดังน้ี
1. f(a) คา่ ได้
2. lim f(x) หาค่าได้

x→a

และ 3. lim f(x) = f(a)

x→a

ถ้าฟังกช์ นั f ขาดคณุ สมบัตขิ ้อใดขอ้ หนง่ึ (หรอื หลายข้อ) ในสามขอ้ ดังกล่าวแลว้ จะกล่าวได้วา่
“ f ไมม่ คี วามตอ่ เน่อื งท่ี a”

การตรวจสอบวา่ ฟงั กช์ นั f เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนอ่ื งหรอื ไมต่ ่อเนอื่ งท่ี x = a มี 3 ขนั้ ตอน ดงั นี้
ขน้ั ตอนที่ 1 ตรวจสอบ f(a)

f(a) หาคา่ ไม่ได้ สรปุ ได้เลยว่า ฟงั กช์ นั f ไมต่ ่อเนือ่ งที่ x = a
f(a) หาค่าได้ ยังสรปุ ไม่ได้ จะต้องทำขั้นตอนท่ี 2 ต่อ
ข้ันตอนท่ี 2 ตรวจสอบ lim f(x)

x→a

lim f(x) หาค่าไม่ได้ สรปุ ได้เลยวา่ ฟังก์ชัน f ไมต่ อ่ เน่ืองที่ x = a

x→a

lim f(x) หาค่าได้ ยังสรุปไมไ่ ด้ จะต้องทำขัน้ ตอนที่ 3 ตอ่

x→a

ขน้ั ตอนท่ี 3 ตรวจสอบ lim f(x) = f(a) หรอื ไม่

x→a

ถ้า lim f(x) ≠ f(a) สรปุ ได้เลยวา่ ฟังกช์ ัน f ไมต่ ่อเน่ืองท่ี x = a

x→a

ถา้ lim f(x) = f(a) สรปุ ไดเ้ ลยว่า ฟงั กช์ ัน f ตอ่ เนอ่ื งที่ x = a

x→a

ข้อสงั เกต
➢ ถ้าฟังก์ชนั f ต่อเนอ่ื งท่ี x = a แล้ว f(a) = x→lima- f(x) = x→lima+ f(x)
➢ ถา้ ฟงั กช์ ัน f ไมต่ อ่ เน่ืองท่ี x = a แล้ว f(a) ≠ x→lima- f(x) ≠ x→lima+ f(x)

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบ้ืองต้น สำหรบั นักเรียนชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 21

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงพจิ ารณาว่า f(x) = x2 + 4 เปน็ ฟงั กช์ ันต่อเนื่องท่ี x = 2 หรือไม่

วธิ ที ำ การท่ี f จะเป็นฟังกช์ ันต่อเนื่องที่ x = 2 นน้ั f จะต้องมสี มบตั ิครบ 3 ขอ้ ตามนยิ าม
จาก f(x) = x2 + 4
1. f(2) = 22 + 4 = 8

แสดงวา่ สามารถหาคา่ f(2) ได้

นนั่ คือ f(2) = 8
2. lim f(x) = lim x2 + 4

x→2 x→2

= 22 + 4
=8

แสดงวา่ lim f(x) หาคา่ ได้ ถ้ายังไม่เขา้ ใจ
ศกึ ษาอีกรอบแล้วกัน
x→2

นน่ั คอื lim f(x) = 8

x→2

3. จากขอ้ 1 และ 2 จะได้ว่า

lim f(x) = f(2)

x→2

 ที่จดุ x = 2 ฟังกช์ นั f มลี ักษณะตามสมบตั ทิ ้งั 3 ขอ้

ตอบ แสดงวา่ f เปน็ ฟังก์ชันต่อเน่ืองทจ่ี ดุ x = 2

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงพจิ ารณาวา่ f(x) = x2 - 9 เปน็ ฟังกช์ ันต่อเน่อื งที่ x = 3 หรือไม่
x-3

วธิ ที ำ การที่ f จะเปน็ ฟังก์ชันตอ่ เน่ืองที่ x = 3 นั้น f จะตอ้ งมีสมบตั คิ รบ 3 ข้อตามนิยาม
x2 - 9
จาก f(x) = x-3

1. f(3) = 32 - 9 = 0 ซงึ่ ไม่มีความหมาย
3-3 0

แสดงวา่ f(3) ไมส่ ามารถหาค่าได้

 ฟังก์ชัน f ไมม่ ลี ักษณะตามสมบตั ขิ อ้ ท่ี 1
ตอบ แสดงวา่ f ไมเ่ ปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองทีจ่ ดุ x = 3

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบื้องต้น สำหรับนกั เรยี นชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 22

x2 - 4 ,x ≠ 2 จงพจิ ารณาวา่ ฟงั ก์ชนั f เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่อง
ตวั อยา่ งท่ี 3 กำหนดให้ f(x) = {4x - 2 ,x = 2

ท่ี x = 2 หรอื ไม่

วธิ ที ำ การท่ี f จะเปน็ ฟังก์ชันตอ่ เน่ืองท่ี x = 2 นนั้ f จะตอ้ งมีสมบตั คิ รบ 3 ขอ้ ตามนิยาม
x2 - 4
จาก f(x) = {4x - 2 ,x ≠ 2
1) f(2) = 4 ,x = 2

แสดงวา่ หาคา่ f(2) ได้ และมีสมบัตติ ามขอ้ 1

น่ันคือ f(2) = 4 x2 - 4
x - 2
2) lim f(x) = lim

x→2 x→2

= lim (x + 2)(x - 2)
x-2
x→2

= lim (x + 2)

x→2

= 2+2
=4
แสดงวา่ หาค่า f(x) ได้ และมสี มบัตติ ามข้อ 2

น่ันคอื lim f(x) = 4

x→2

3. จากข้อ 1 และ 2 จะได้ว่า

lim f(x) = f(2)

x→2

 ทจี่ ดุ x = 2 ฟังกช์ นั f มีลกั ษณะตามสมบัตทิ ั้ง 3 ขอ้
ตอบ แสดงวา่ f เปน็ ฟังก์ชันตอ่ เน่ืองที่จุด x = 2

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบื้องต้น สำหรับนกั เรียนชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 23

ความตอ่ เนอื่ งของฟงั กช์ นั บนชว่ ง

โดยท่ัวไป เราจะนิยามฟงั ก์ชันตอ่ เน่ือง ดงั น้ี
บทนยิ าม

ฟงั กช์ นั f เป็นฟงั กช์ นั ต่อเน่อื งบนชว่ ง (a , b)
เม่อื ฟงั ก์ชนั f น้ันต่อเน่ืองที่ทุก ๆ จุดบนชว่ ง (a , b)

บทนยิ าม
ฟังกช์ ัน f เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเนื่องบนชว่ ง [a , b] เมือ่

1. f เปน็ ฟังกช์ ันตอ่ เน่อื งบนช่วง (a , b)
2. x→lima+ f(x) = f(a)
3. x→lima- f(x) = f(b)
ตวั อยา่ งที่ 4 จงพิจารณาความต่อเนอื่ งของฟังกช์ นั f(x) = √9 - x2
วธิ ที ำ จาก f(x) = √9 - x2
สามารถเขยี นกราฟได้ดงั นี้

จะพบวา่ 1. f เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเน่ืองทที่ ุก ๆ จุดบนช่วง (-3, 3)
2. x→lim3+ f(x) = f(-3) = 0
3. x→lim3- f(x) = f(3) = 0

จากขอ้ 1 , 2 และ 3 สรุปไดว้ ่า f เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เนอ่ื งบนชว่ ง [-3 , 3]

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบ้ืองต้น สำหรบั นกั เรียนชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 24

ตวั อยา่ งท่ี 5 ฟงั กช์ นั f(x) = √x เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเน่ืองบนช่วง (0 , ) หรือไม่

วธิ ที ำ จาก f(x) = √x อยากเก่งคณติ ศาสตร์
กต็ ้องขยนั ฝกึ ฝนนะ
ให้ a  (0, )
กันหน่อยครับ
จะไดว้ า่ f(a) = √a

lim f(x) = lim √x = √a

x→a x→a
 lim f(x) = f(a)
x→a
ดงั นัน้ ฟงั ก์ชนั f ต่อเนื่องทท่ี ุก x  (0, )

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบื้องต้น สำหรบั นกั เรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 25

แบบฝึกทกั ษะท่ี 2.1

คำชแี้ จง : ใหน้ ักเรยี นแต่ละกล่มุ พจิ ารณาฟังก์ชันในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ เป็นฟังกช์ ันต่อเน่ืองทจี่ ดุ กำหนดให้หรอื ไม่
โดยกาเครือ่ งหมาย ✓ ลงในตารางให้ถูกต้อง

ขอ้ ท่ี ฟงั กช์ นั ทก่ี ำหนดให้ จุดที่ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนอื่ ง ณ จดุ กำหนดให้
กำหนดให้ เปน็ ไมเ่ ปน็

1 f(x) = 3x - 1 x=0

2 f(x) = 3x2 + 5 x = -4

3 f(x) = x2 - 4x + 3 x=4
x-1

4 f(x) = 2x2 - 1 x=3

5 f(x) = x2 - 1 x=1
x3 - 1 x=3

6 x2 - 9 ,x ≠ 3
g(x) = {6x - 3 ,x = 3

7 f(x) = {42- x2 ,x ≠ 1 x=1
,x = 1 x=0

8 f(x) = 1
x

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สำหรบั นักเรยี นช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 26

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2.2

คำชแี้ จง : ใหน้ กั เรียนแตล่ ะกลุม่ แสดงวธิ ที ำในแต่ละข้อใหถ้ กู ต้องสมบูรณ์

1) กำหนด f(x) = √36 - x2 จงพิจารณาว่าฟงั ก์ชนั f ตอ่ เนอื่ งบนช่วง [-6 , 6] หรือไม่

วธิ ที ำ…………………………………………………………………………………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………

2) กำหนด f(x) = √49 - x2 จงพิจารณาวา่ ฟังก์ชนั f ต่อเน่ืองบนชว่ ง [-7 , 7] หรอื ไม่

วธิ ที ำ…………………………………………………………………………………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สำหรับนักเรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 27

แบบฝึกทกั ษะที่ 2.3

คำชแี้ จง : ใหน้ กั เรยี นแตล่ ะคนหาคำตอบให้ถกู ต้อง
2x2 + 5x - 3
1. จงหาคา่ ของ lim x+3

x→-3
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………

……………………………………….…………………………………………………………………….…………………

……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

………………….…………………………………………………………………….………………………………………

2. จงหาค่าของ lim x3 + 27
x + 3
x→-3

……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………

…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………

3. กำหนด f(x) = x2 - x - 6 ,x ≠ -3 ฟังก์ชัน f ตอ่ เนอ่ื งที่ x = 3 หรอื ไม่
{ -x 1- 3 ,x = -3
2x

……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบอื้ งต้น สำหรับนักเรียนชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 28

4. กำหนด f(x) = √64 - x2 ฟงั กช์ ัน f ตอ่ เนื่องบนช่วง [-8 , 8] หรอื ไม่
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………

นึก ทบทวนความรู้
คดิ อยา่ งละเอียดก่อนลงมือปฏิบัตินะ

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สำหรับนกั เรยี นชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 29

ใบความรูท้ ่ี 3
เรอ่ื ง ความชันของเสน้ โคง้

ความชนั ของเสน้ โค้งและความชนั ของเส้นสมั ผสั เส้นโค้ง

การหาความชันของเสน้ โคง้ และความชนั ของเสน้ สัมผสั เส้นโค้งสามารถหาได้จากนิยามต่อไปนี้

บทนยิ าม

ถ้า y = f(x) เปน็ สมการของเส้นโค้งแลว้
เส้นสมั ผสั เสน้ โค้งที่จดุ P(x , y) ใด ๆ จะเปน็ เส้นตรงทผ่ี า่ นจดุ P และ
f(x + h) - f(x)
มีค่าความชนั เท่ากับ lim h

h→o

บทนยิ าม
ความชันของเส้นโค้ง ณ จดุ P(x , y) ใด ๆ บนเส้นโค้ง

หมายถึง ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ณ จดุ P

แค่บทนิยามอาจจะงง ๆ
เราไปดูตวั อยา่ งประกอบกันเลย^^

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สำหรับนกั เรยี นชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 30

ตวั อยา่ งท่ี 1 ถา้ f(x) = 5x2 – 6 เป็นสมการเส้นโค้ง จงหาความชนั ของเสน้ โค้งทีจ่ ดุ (3 , 12)

วธิ ที ำ จาก f(x) = 5x2 – 6
dy
จะไดว้ ่า dx = lim f(x + h) - f(x)
h
h→o

= lim [5(x + h)2 - 6] - (5x2 - 6)
h
h→o

= lim [5(x2+ 2xh + h2) - 6] - (5x2 - 6)
h
h→o

= lim [5x2+ 10xh + 5h2 - 6] - (5x2 - 6)
h
h→o

= lim 5x2+ 10xh + 5h2 - 6 - 5x2 + 6
h
h→o

= lim 10xh + 5h2
h
h→o

= lim 10x + h

h→0

= 10x
ความชนั ของเส้นโคง้ ณ จดุ (x , y) ใด ๆ = 10x
ตอบ ความชันของเสน้ โคง้ ณ จดุ (3 , 12) = 10(3) = 30

ขยนั ใสใ่ จเรียนรูใ้ หม้ าก ๆ
นะครับ

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สำหรบั นกั เรียนชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 31

ตวั อยา่ งท่ี 2 ให้ f(x) = 3x – x2 จงหาความชนั ของเสน้ สัมผสั เสน้ โค้งทจี่ ุด (4 , 6)

วธิ ที ำ จาก f(x) = 3x – x2
dy
จะได้วา่ dx = lim f(x + h) - f(x)
h
h→o

= lim [3(x + h) - (x + h)2] - (3x - x2)
h
h→o

= lim [3x + 3h - (x2 + 2xh + h2)] - (3x - x2)
h
h→o

= lim 3x + 3h - x2 - 2xh - h2 - 3x + x2
h
h→o

= lim 3h - 2xh - h2
h
h→o

= lim 3 - 2x – h

h→0

= 3 – 2x

ความชันของเส้นสมั ผสั เส้นโคง้ ณ จดุ (x , y) ใด ๆ = 3 – 2x
ตอบ ความชันของเสน้ สัมผัสเสน้ โค้ง ณ จุด (4 , 6) = 3 – 2(4) = 3 – 8 = – 5

เปน็ อย่างไรบ้าง
เข้าใจไหมเอ่ย...

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลสั เบือ้ งต้น สำหรับนกั เรยี นชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 32

ตวั อยา่ งที่ 3 ให้ y = x3 เป็นสมการเส้นโคง้ จงหาความชนั ของเสน้ โคง้ ทจ่ี ุด (10 , 20)
วธิ ที ำ จาก y = x3
น่นั คือ f(x) = x3
dy
จะไดว้ า่ dx = lim f(x + h) - f(x)
h
h→o

= lim (x + h)3 - x3
h
h→o

= lim x3 + 3x2h + 3xh3 + h3 - x3
h
h→o

= lim 3x2h + 3xh3 + h3
h
h→o

= lim 3x2 + 3xh2 + h2

h→0

= 3x2

ความชันของเส้นสมั ผสั เส้นโค้ง ณ จุด (x , y) ใด ๆ = 3x2
ตอบ ความชันของเสน้ สมั ผสั เส้นโค้ง ณ จุด (10 , 20) = 3(10)2 = 300

การหาความชนั ของเส้นโคง้ และความชันของเส้นสัมผัสเสน้ โค้ง
f(x + h) - f(x)
หาได้จาก lim h

h→o

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สำหรบั นกั เรียนชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 33

สมการของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้
สมการของเส้นสัมผัสเส้นโคง้ ทจี่ ุด (x , y) ใด คือ y – y1 = m(x – x1)
เม่ือ m คอื ความชนั ของเส้นตรง ซง่ึ สามารถหาสมการของเส้นสัมผสั เส้นโคง้ ไดด้ ังตัวอย่างตอ่ ไปน้ี

ตวั อยา่ งท่ี 4 ถ้า y = x2 – x เปน็ สมการของเส้นโคง้ จงหาสมการของเสน้ สัมผัสเส้นโคง้ ทีจ่ ุด (2 , 2)
วธิ ที ำ จาก y = x2 – x
นั่นคอื f(x) = x2 – x
dy
จะไดว้ ่า dx = lim f(x + h) - f(x)
h
h→o

= lim [(x + h)2 - x- h] - x2 + x
h
h→o

= lim x2 + 2xh + h2 - x - h + x2 + x
h
h→o

= lim 2xh + h2 - h
h
h→o

= lim 2x + h - 1

h→0

= 2x - 1

ความชนั ของเส้นสัมผสั เส้นโคง้ ทีจ่ ดุ (2 , 2) = 2(2) – 1 = 3
สมการของเสน้ ตรงท่ีผา่ นจดุ (x1 , y1) และมีความชันเท่ากับ m คอื y – y1 = m(x – x1)
เนื่องจากเส้นสัมผสั เสน้ โค้งท่จี ุด (2 , 2) เป็นเส้นตรงที่ผา่ นจดุ (2 , 2) และมคี วามชนั เท่ากับ 3
ดังนน้ั สมการของเสน้ สมั ผสั เส้นโค้ง คอื y – 2 = 3(x – 2)

y – 2 = 3x – 6
ตอบ 3x – y – 4 = 0

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบือ้ งต้น สำหรบั นักเรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 34

ตวั อยา่ งที่ 5 ถา้ y = x – 3x2 เป็นสมการของเสน้ โคง้ จงหาสมการของเส้นสมั ผสั เส้นโค้งทจ่ี ุด (3 , -3)
วธิ ที ำ จาก y = x – 3x2
หรือ f(x) = x – 3x2
dy
จะไดว้ า่ dx = lim f(x + h) - f(x)
h
h→o

= lim [x + h - 3(x + h)2] - x + 3x2
h
h→o

= lim x + h - 3x2 - 6xh - 3h2 - x + 3x2
h
h→o

= lim h - 6xh - 3h2
h
h→o

= lim 1 - 6x - 3h

h→0

= 1 – 6x

ความชนั ของเส้นสมั ผสั เสน้ โค้งทจ่ี ุด (3 , -3) = 1 – 6(3) = -17
สมการของเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจุด (x1 , y1) และมคี วามชันเท่ากับ m คอื y – y1 = m(x – x1)
เนือ่ งจาก เส้นสัมผสั เส้นโคง้ ที่จุด (3 , -3) เปน็ เสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ (3 , -3) และมีความชัน

เท่ากบั -17
ดงั นั้น สมการของเสน้ สมั ผัสเส้นโค้ง คือ y – (-3) = -17(x – 3)

y + 3 = -17x + 51
ตอบ 17x + y – 48 = 0

ฝึกบ่อย ๆ
ใช้เยอะ ๆ จะเข้าใจมากขนึ้

^^

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบื้องต้น สำหรับนกั เรยี นช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 35

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหาสมการของเสน้ สมั ผสั เส้นโค้ง y = x3 – 2x2 + 4 ที่จุดซึ่ง x = 2
วธิ ที ำ จาก y = x3 – 2x2 + 4

หรอื f(x) = x3 – 2x2 + 4

dy = lim f(x + h) - f(x)
dx h
h→o

= lim [(x + h)3 - 2(x + h)2 + 4] - x3 + 2x2 - 4
h
h→o

= lim x3 + 3x2h + 3xh3 + h3 - 2x2 - 4xh - 2h2 + 4 - x3 + 2x2 - 4
h
h→o

= lim 3x2h + 3xh3 + h3 - 4xh - 2h2
h
h→o

= lim 3x2 + 3xh2 + h2 - 4x - 2h

h→0

= 3x2 – 4x
ความชนั ของเสน้ โค้ง ณ จดุ (x , y) ใด ๆ = 3x2 – 4x
ความชันของเสน้ สมั ผัสเสน้ โค้งทีจ่ ดุ x = 2 เท่ากบั 3(22) – 4(2) = 4 เมือ่ x = 2
จะได้ y = 23 – 2(22) + 4 = 4

 จดุ สัมผสั เส้นโค้ง คือ จดุ (2 , 4)
สมการเสน้ สมั ผัสเสน้ โคง้ คอื y – 4 = 4(x – 2)
y – 4 = 4x – 8

ตอบ 4x – y – 4 = 0

การหาสมการเส้นสัมผัสเสน้ โค้ง มีขั้นตอนดังนี้
dy
1. หา dx ซ่งึ เท่ากบั ความชนั ของเส้นโคง้

2. หาจุดสัมผสั เสน้ โคง้ คอื จดุ (x , y)

3. หาสมการของเสน้ สมั ผัสเส้นโค้งจากสูตร y – y1 = m(x – x1)

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สำหรบั นักเรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 36

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.1

คำชแ้ี จง : ใหน้ ักเรียนเตมิ คำตอบแต่ละขอ้ ลงในช่องว่างใหถ้ กู ต้องสมบูรณ์
ขอ้ 1 ให้ f(x) = x2 – 4x เป็นสมการของเส้นโค้ง จงหาความชันของเส้นโค้งทจ่ี ุด (6 , 3)

ตอบ ........................................................................................

ข้อ 2 ให้ f(x) = 3x – 2x2 เป็นสมการของเสน้ โค้ง จงหาความชนั ของเส้นโค้งที่จุด (1 , 3)
ตอบ ........................................................................................

ข้อ 3 ถ้า f(x) = 2x2 – 10 เปน็ สมการของเส้นโค้ง จงหาความชันของเส้นโคง้ ทีจ่ ุด (2 , 4)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 4 ถา้ f(x) = 6x2 – 1 เปน็ สมการของเสน้ โค้ง จงหาความชันของเสน้ สัมผสั เสน้ โคง้ ทีจ่ ุด (2 , 5)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 5 ให้ f(x) = 4x3 เป็นสมการของเส้นโคง้ จงหาความชันของเสน้ สมั ผัสเส้นโคง้ ทจี่ ุด (7 , 3)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 6 ให้ y = x2 – x + 5 เปน็ สมการของเส้นโค้ง จงหาความชนั ของเส้นโคง้ ท่จี ุด (5 , 4)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 7 ให้ f(x) = x3 + 2x เป็นสมการของเส้นโค้ง จงหาความชนั ของเส้นสัมผัสเสน้ โค้งทจ่ี ดุ (6 , -8)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 8 ให้ f(x) = x3 – x2 เป็นสมการของเสน้ โค้ง จงหาความชันของเสน้ โค้งท่ีจดุ (12 , 8)
ตอบ ........................................................................................

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สำหรับนักเรียนช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 37

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3.2

คำชแี้ จง : ใหน้ ักเรียนเติมคำตอบแต่ละข้อต่อไปน้ีลงในช่องวา่ งให้ถกู ตอ้ ง

ขอ้ 1 จงหาสมการของเส้นสัมผสั เสน้ โค้ง y = x2 – 2x ท่จี ดุ (-1 , 3)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 2 จงหาสมการของเส้นสัมผัสเสน้ โค้ง y = 4x2 + 2x - 6 ทจี่ ดุ (6 , 4)
ตอบ ........................................................................................

ข้อ 3 จงหาสมการของเสน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง y = x3 – 2x2 + 4 ท่ีจุด (2 , 4)
ตอบ ........................................................................................

ขอ้ 4 จงหาสมการของเส้นสมั ผัสเส้นโคง้ y = x2 – 2x + 1 ทจ่ี ุด (2 , 1)
ตอบ ........................................................................................

ข้อ 5 จงหาสมการของเส้นตรงทต่ี งั้ ฉากกับเสน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง y = 2x + 3√x ท่จี ุด x = 4
ตอบ ........................................................................................
พจิ ารณาให้ดีกอ่ น
ลงมอื ทำนะครับ

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สำหรับนักเรยี นช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 38

ใบความรูท้ ่ี 4
เรอื่ ง การหาอนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ นั โดยใช้นยิ าม

อนุพันธ์ของฟงั ก์ชัน
อนุพันธ์ของฟงั ก์ชัน y = f(x) ใด ๆ นยิ ามไดด้ ังนี้

บทนยิ าม

ถา้ y = f(x) เป็นฟังกช์ ันที่มโี ดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง

และ lim f(x + h) - f(x) หาคา่ ได้
h
h→o

เรียกค่า ลมิ ติ ทีไ่ ด้นี้วา่ “อนุพันธข์ องฟงั ก์ชนั f ที่ x” เขียนแทนดว้ ย f/(x)

จากบทนิยาม จะได้ f/(x) = lim f(x + h) - f(x)
h
h→o

การหา f/ เรยี กวา่ การหาอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ ัน f ถ้า lim f(x + h) - f(x) หาคา่ ไมไ่ ด้
h f ท่ี
h→o dy
dx
เราจะกลา่ วว่า ฟงั ก์ชัน f ไมม่ ีอนพุ ันธ์ท่ี x สญั ลกั ษณท์ ใี่ ช้แทนอนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชัน x เช่น

(อ่านวา่ ดีวายบายดีเอกซ)์ , y/ และ ddxf(x) เป็นต้น
dy x dy
หมายเหตุ 1. dx ≠ y เพราะ dx คอื อนพุ ันธข์ องฟังก์ชัน f ท่ี x ไมไ่ ด้ หมายถึง d คูณ y

หารด้วย d คูณ x
dy
2. dx คือ อตั ราการเปลีย่ นแปลงของ y เทียบกบั x ขณะ x มคี ่าใด ๆ

3. เม่อื S แทนระยะทางทว่ี ตั ถุเคลอื่ นที่ไดใ้ นเวลา t หรอื S = f(t) ถา้ v คือความเรว็
ขณะเวลา t ใด ๆ
= lim f(t + h) - f(t)
จะได้ v = h =v
ดังนัน้ h→o ds
dt
S/ = f/(t)

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สำหรบั นกั เรยี นช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ตวั อยา่ งที่ 1 กำหนด f(x) = 5 – 3x + x2 จงหา f/(x) ห น ้ า | 39
วธิ ที ำ จาก f(x) = 5 – 3x + x2
ตวั อย่างแรก
f(x + h) = 5 – 3(x + h) + (x + h)2 งง ๆ ไหม
= 5 – 3x + 3h + x2 + 2hx + h2
เขา้ ใจมากขึ้น
f(x + h) – f(x) = - 3h + 2hx + h2 กนั ไหมครับ
= h(h + 2x – 3)

f(x + h) - f(x) = h + 2x – 3
h

lim f(x + h) - f(x) = lim (h + 2x – 3)
h
h→o h→o

= 2x – 3
ตอบ f/(x) = 2x – 3

ตวั อยา่ งที่ 2 กำหนด f(x) = 2x2 จงหา f/(x)
f(x + h) - f(x)
วธิ ที ำ f/(x) = lim h

h→o

= lim 2(x + h)2 - 2x2
h
h→o

= lim 2(x2 + 2xh + h2) - 2x2
h
h→o

= lim 2x2 + 4xh + 2h2 - 2x2
h
h→o

= lim 4xh + 2h2
h
h→o

= lim 4x + 2h

h→o

= 4x
ตอบ f/(x) = 4x

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สำหรบั นักเรยี นชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 40

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ ัน f(x) = x3 + 2x2 ณ จดุ ที่ x = -2
วธิ ที ำ จาก f(x) = x3 + 2x2

f/(x) = lim f(x + h) - f(x)
h
h→o

= lim [(x + h)3 + 2(x + h)2] - x3 - 2x2
h
h→o

= lim x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 2x2 + 4xh + 2h2 - x3 - 2x2
h
h→o

= lim 3x2h + 3xh2 + h3 + 4xh + 2h2
h
h→o

= lim 3x2 + 3xh + h2 + 4x + 2h เข้าใจมากขน้ึ
กันไหมครบั
h→o

= 3x2 + 4x
f/(-2) = 3(-2)2 + 4(-2)

= 12 – 8
=4
ตอบ f/(-2) = 4

สรปุ ^^

การหาอนุพันธข์ องฟงั กช์ นั มขี นั้ ตอนดงั นี้

ขนั้ ท่ี 1 แทนคา่ x ด้วย x + h ใน f(x)

ขนั้ ที่ 2 หา f(x + h) – f(x)
ขนั้ ที่ 3 หาร f(x + h) – f(x) ดว้ ย h
f(x + h) - f(x)
ขน้ั ท่ี 4 หา lim h

h→o

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สำหรบั นักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 41

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 4.1

คำชแี้ จง : ให้นักเรียนแสดงวธิ ที ำหาอนุพันธข์ องฟังกช์ ันท่ีกำหนดใหต้ อ่ ไปน้ี

ข้อ 1 f(x) = 2x2 – x
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ขอ้ 2 f(x) = 3x2 – 6x + 7
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง แคลคูลสั เบอ้ื งต้น สำหรบั นักเรยี นชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 42

ข้อ 3 f(x) = 5x3 – 6x

……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ขอ้ 4 f(x) = x2 + 2x – 3

……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลัสเบือ้ งต้น สำหรบั นกั เรยี นชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 43

ขอ้ 5 f(x) = x4
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ยิง่ คดิ ยิ่งฝึก
ยิง่ เข้าใจใชไ่ หม

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบอ้ื งต้น สำหรับนกั เรยี นชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 44

แบบฝึกทกั ษะที่ 4.2

คำชแี้ จง : ใหน้ กั เรยี นแสดงวธิ ที ำหาอนุพันธ์ของฟังกช์ ันทีก่ ำหนดใหต้ อ่ ไปนี้

ข้อ 1 f(x) = x3 + x + 1 ท่ี x = 1

……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ขอ้ 2 f(x) = x2(x + 2) ที่ x = - 2

……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน เรอ่ื ง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สำหรบั นกั เรยี นช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 45

ขอ้ 3 f(x) = 2x2 – 3x + 2 ที่ x = 2
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
………………….…………………………………………………………………….………………………………………
…………………………….…………………………………………………………………….……………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………….…………………………………………………………………….…………………
……….…………………………………………………………………….…………………………………………………

ขยนั อดทน
สู้ สู้ ครับ

เอกสารประกอบการสอน เร่อื ง แคลคูลสั เบอื้ งต้น สำหรับนกั เรียนชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 46

ใบความรูท้ ่ี 5
เรอ่ื ง อตั ราการเปลยี่ นแปลง

อตั ราการเปลี่ยนแปลง
โดยทัว่ ไปอัตราการเปลีย่ นแปลงเฉลี่ยและอัตราการเปลยี่ นแปลงขณะใด ๆ ของฟงั กช์ ันนยิ ามไดด้ ังน้ี

บทนยิ าม

ถา้ y = f(x) เปน็ ฟังก์ชนั ใด ๆ เมือ่ คา่ ของ x เปลย่ี นเปน็ x + h โดยท่ี h  0
คา่ ของ y เปล่ียนจาก f(x) เปน็ f(x + h) แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทยี บกบั x

ในช่วง x ถงึ x + h คือ f(x + h) – f(x)
h

อตั ราการเปล่ยี นแปลงของ y เทยี บกับ x ขณะ x มคี า่ ใด ๆ คอื lim f(x + h) – f(x)
h
h→o

ตวั อยา่ งท่ี 1 ให้ y = x2 + 1 จงหา
1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลย่ี ของ y เม่ือเทยี บกบั x ในช่วง x = 3 ถึง x = 5
2. จงหาอัตราการเปลย่ี นแปลงของ y เทียบกบั x ขณะที่ x = 3

วธิ ที ำ 1) จาก y = f(x) = x2 + 1 และอัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี ของ y เทียบกับ x ในช่วง x
f(x + h) – f(x)
ถึง x + h คือ h

ดังน้ัน อตั ราการเปล่ยี นแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในชว่ ง x = 3 ถึง x = 5
(52 + 1) – (32 + 1)
คอื f(5) – f(3) = 2 = 26 – 10 = 8
5 – 3 2
ตอบ อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉล่ียของ y เมื่อเทยี บกับ x ในช่วง x = 3 ถึง x = 5 คอื 8

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลสั เบื้องต้น สำหรบั นักเรียนชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 47

2) อัตราการเปล่ยี นแปลงของ y เทียบกบั x ขณะ x มคี า่ ใด ๆ คอื lim f(x + h) – f(x)
h
จาก f(x) = x2 + 1 h→o

lim f(x + h) – f(x) = lim [(x + h)2 + 1] – (x2 + 1)
h h
h→o h→o

= lim x2 + 2xh + h2 + 1 – x2 – 1
h
h→o

= lim 2xh + h2
h
h→o

= lim 2x + h

h→o

= 2x
ตอบ อตั ราการเปล่ียนแปลงขณะที่ x = 3 คอื 2(3) = 6

ตวั อยา่ งท่ี 2
กำหนดสมการการเคล่ือนที่ S = 4.9t2 เมื่อ S เป็นระยะทางของการเคลื่อนทีม่ หี นว่ ย

เปน็ เมตร และเวลา t วนิ าที จงหาอัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ ของ S เทยี บกบั t
เมอ่ื t เปลยี่ นจาก 4 เปน็ 4.5

วธิ ที ำ อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของ S เทยี บกบั t = 4.9(t + h)2 – 4.9t2
= 4.9t2+9.8hth + 4.9h2 – 4.9t2
= 9.8th + 4.9h2 h

h

= 9.8t + 4.9h

เมือ่ t = 4 , h = 4.5 – 4 = 0.5

ดงั น้นั อตั ราการเปลีย่ นแปลงเฉลี่ย = 9.8(4) + 4.9(0.5) = 39.2 + 24.5 = 41.65

ตอบ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ S เทียบกบั t เมื่อ t เปลยี่ นจาก 4 เป็น 4.5
เทา่ กับ 41.65 เมตรต่อวนิ าที

เอกสารประกอบการสอน เร่ือง แคลคูลัสเบ้อื งต้น สำหรับนกั เรยี นชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 48

สรปุ ^^

การหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงของ y เทยี บกบั x ขณะ x มีคา่ ใด ๆ มีขน้ั ตอนดงั นี้

ขน้ั ที่ 1 หา f(x)

ขน้ั ท่ี 2 หา f(x + h)

ขน้ั ที่ 3 หา f(x + h) – f(x)
f(x + h) – f(x)
ขน้ั ท่ี 4 หา
ขนั้ ท่ี 5 หา lim f(xh + h) – f(x)
h
h→o

ตวั อยา่ งที่ 3
จงหาอตั ราการเปลีย่ นแปลงเฉลย่ี ของพื้นท่ีรูปสเี่ หลยี่ มจัตรุ ัส เทยี บกบั ความยาวของดา้ นเมอื่ ความยาวของด้าน

เปลี่ยนจาก 7 นิ้ว ไปเป็น 9 นิ้ว และจงหาอัตราการเปล่ียนแปลงของพ้ืนทรี่ ูปสเ่ี หลยี่ มจัตรุ ัส
เทียบกับความยาวของด้าน ขณะทดี่ า้ นมีความยาว 7 น้วิ

วธิ ที ำ ให้พื้นทีส่ ่ีเหลย่ี มจัตุรสั เท่ากบั A ตารางนว้ิ
ให้ความยาวของแต่ละดา้ นของสเี่ หลี่ยมจัตรุ สั เท่ากบั x นวิ้
เนือ่ งจากพน้ื ท่สี เี่ หลย่ี มจตั รุ ัส = ด้าน x ดา้ น = ดา้ น2
สมการความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งพนื้ ท่สี เ่ี หล่ียมจตั รุ สั กับความยาวของแตล่ ะด้าน คือ A = x2 หรอื
f(x) = x2 หรอื y = x2

จากโจทยจ์ ะไดว้ ่า x= 7
x+h = 9

h = 9–7 = 2
f(x + h) – f(x) f(9) – f(7)
h =
9 7–2 7
92 –

= 81 –2 49

=2
= 16

ดังนนั้ อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ ของพื้นท่สี เี่ หลย่ี มจัตุรัสเทียบกบั ด้านเมื่อความยาวของดา้ นเปล่ยี น

จาก 7 นิ้ว เป็น 9 นว้ิ เท่ากับ 16 ตารางนิ้ว/นิ้ว

เอกสารประกอบการสอน เรือ่ ง แคลคูลสั เบ้อื งต้น สำหรบั นักเรียนช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์

ห น ้ า | 49

(หากจะหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลยี่ จาก f(x + h) – f(x) แลว้ เปลีย่ นรูปไปถึง 2x + h
h
จงึ แทนคา่ x = 7 และ h = 2 กจ็ ะไดค้ ำตอบเป็น 16 เช่นกัน)
จาก f(x) = x2 และ f(x+h) = (x+h)2
h)2
จะได้ lim f(x + h) – f(x) = lim (x + h – x2
h
h→o h→o

= lim x2 + 2xh + h2 – x2
h
h→o

= lim 2xh + h2
h
h→o

= lim 2x + h

h→o

= 2x
เม่ือ x = 7 จะได้อตั ราการเปลย่ี นแปลงของพน้ื ท่เี ทยี บกับความยาวด้านเป็น
2(7) = 14 ตารางน้ิว/น้วิ

ดังนั้น อัตราการเปลยี่ นแปลงของพืน้ ทีร่ ูปส่เี หลี่ยมจตั ุรัสเทยี บกับความยาวของดา้ น ขณะท่ดี า้ นมี
ความยาว 7 น้วิ เทา่ กบั 14 ตารางนว้ิ /นิ้ว

... อยา่ ลืมจดบันทึกชว่ ยจำ …
เพื่อย้ำความคดิ นะครบั

เอกสารประกอบการสอน เรอื่ ง แคลคูลัสเบ้ืองต้น สำหรับนักเรียนช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 6
นายสทิ ธชิ ยั ยบุ ลวฒั น์