Persamaan Linear Satu Variabel Konsep Persamaan Linear Satu Penyelesaian Persamaan Linear Satu Penerapan Persamaan Linear Satu Penjumlahan Pengurangan Perkalian Pembagian Persamaan Linear Satu Variabel PETA KONSEP
Ayo Menggali Informasi A. Persamaan Linier Satu Variabel (PLSV) 1. Memahami Konsep Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) Perhatikan permasalahan berikut ini! Ibu membeli buah mangga sebanyak 5 kg dan mendapat potongan harga Rp 5.000,00.Jika ibu membayar Rp 35.000,00, maka berapa harga mangga tiap kilogramnya? Untuk menjawab permasalahan di atas, kita bisa menggunakan konsep persamaan linear satu variabel.
Perhatikan kalimat-kalimat berikut! 1. Bilangan prima terkecil adalah 3. 2. Jika a adalah bilangan asli, maka 2a + 4 adalah bilangan ganjil. 3. Dua adalah bilangan ganjil Dari ketiga kalimat di atas, manakah yang bernilai benar?
Sekarang amati kalimat berikut! 1. X adalah ibukota negara Indonesia. 2. X + 6 = 10 Dapatkah kalian menentukan nilai kebenaran kalimat di atas? Kalimat – kalimat di atas tidak dapat kita tentukan nilai kebenarannya sebab ada unsur yang belum diketahui nilainya yaitu X. Kalimat-kalimat tersebut merupakan kalimat terbuka. Unsur tertentu dalam setiap kalimat terbuka disebut variabel. Kalimat (1) akan menjadi kalimat tertutup jika X diganti Jakarta dan menjadi kalimat yang bernilai benar. Namun jika X diganti selain Jakarta maka kalimat (1) bernilai salah. Sesuai dengan namanya yaitu “persamaan linear satu variabel” atau biasa disingkat menjadi PLSV, persamaan disini diidentikkan dengan tanda “=” (sama dengan) dan mengandung 1 (satu) variabel. Pada dasarnya, persamaan linear satu variabel merupakan suatu persamaan berbentuk kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda “=” (sama dengan) dan hanya mengandung atau memiliki 1 variabel. Sehingga pengertiannya bisa di uraikan sebagai berikut : Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda sama dengan. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, bernilai benar saja atau salah saja karena memiliki unsur yang belum diketahui nilainya. Variabel adalah simbol/lambang yang mewakili sebarang anggota suatu himpunan semesta. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil. Sehingga Persamaan Linier satu variabel merupakan kalimat terbuka yang memuat satu varabel dengan pangkat tertingginya satu. Suatu kalimat terbuka yang memiliki variabel harus diganti oleh satu atau lebih anggota dari himpunan semesta yang didefinisikan, sehingga kalimat terbuka yang diberikan akan menjadi benar. Pengganti variabel tersebut dinamakan selesaian. Himpunan semua selesaian dalam kalimat terbuka disebut himpunan selesaian. Kenapa dikatakan berbentuk kalimat terbuka? Karena konsep dasarnya kalimat terbuka merupakan kalimat yang belum dapat diketahui kebenarannya, bisa jadi benar, bisa jadi salah. Contohnya, x + 4= 9, jika x = 5 maka, kalimat tersebut bernilai benar, karena benar bahwa 5 + 4 = 9, tapi jika x= 1, maka kalimat tersebut bernilai salah, karena 1 + 4 = 5, bukan 9. kalo kalimat tertutup itu kebalikannya dari kalimat terbuka alias sudah diketahui kebenarannya, misalnya 2 + 2 = 4, atau 5 > 3, dan lain-lain.
Bentuk Umum Persamaan linier satu variabel: Dimana a= koefisien; b= konstanta; dan x= variabel. Untuk variabel yang digunakan tidak harus variabel x, x di persamaan tersebut hanya melambangkan atau mewakilkan variabel, contohnya 2y + 5 = 0, dimana koefisiennya adalah 2, variabelnya adalah y, dan konstantanya adalah 5. Missal 4p – 4 = 0, maka koefisiennya adalah 4, variabelnya adalah p, dan konstantanya adalah -4 Contoh : 1. x + 2 = 6, pengganti x yang benar adalah 4. Jadi, selesaiannya adalah x = 4, dan himpunan selesaiannya adalah {4}. 2. p adalah bilangan ganjil, p ∈ {1, 2, 3, …, 10}. Pengganti p supaya pernyataan bernilai benar adalah 1, 3, 5, 7, dan 9. Jadi, himpunan selesaiannya adalah {1, 3, 5, 7, 9}. 3. 5x + 2 = 6, dengan x ∈ himpunan bilangan asli.Tidak ada pengganti x yang membuat pernyataan menjadi benar. Jadi, himpunan selesaiannya adalah ∅ atau { } 2. Menyelesaikan Persamaan Menggunakan Penjumlahan atau Pengurangan Perhatikan persamaan-persamaan berikut: 1. x + 1 = 3 2. x + 2 = 4 3. 2x − 2 = 2 Bagaimanakah himpunan selesaian dari ketiga persamaan di atas? Ketiga persamaan tersebut memiliki himpunan selesaian yang sama. Persamaan-persamaan di atas disebut dengan persamaan yang kuivalen atau persamaan yang setara. Persamaan yang ekuivalen dapat dimodelkan sebagai timbangan yang seimbang kemudian kedua lengan ditambah atau dikurangi oleh beban yang sama, namun timbangan masih dalam keadaan seimbang. Contoh : 1. Tentukan himpunan selesaian dari 12 + x = 40 Penyelesaian Alternatif 12 + x = 40 • 12 – 12 + x = 40 – 12 • x = 28 Periksa • 12 + x = 40 • 12 + (28) = 40 ax + b = 0
• 40 = 40 (benar) Jadi, himpunan selesaiannya adalah {28}. 2. Tentukan selesaian dari persamaan berikut! a. x + 3 = 8 b. 8 = x – 4 Jawab: a. x + 3 = 8 x + 3 – 3 = 8 – 3 (kedua ruas dikurangi dengan 3) x = 5 b. 8 = x – 4 8 + 4 = x – 4 + 4 (kedua ruas ditambah dengan 4) 12 = x 2. Tentukan himpunan selesaian dari 12 + x = 40 Penyelesaian Alternatif 12 + x = 40 • 12 – 12 + x = 40 – 12 • x = 28 Periksa • 12 + x = 40 • 12 + (28) = 40 • 40 = 40 (benar) Jadi, himpunan selesaiannya adalah {28}. 3. Menyelesaikan Persamaan Menggunakan Perkalian atau Pembagian Pada kegiatan ini akan diperluas lagi dengan menggunakan operasi perkalian dan pembagian untuk menyelesaikan persamaan. Contoh : 1. Tentukan selesaian dari persamaan 2(x − 4) +5x = 34 Alternatif Penyelesaian : Sebelum menyelesaikannya, kita harus menyederhanakan bentuk aljabar di sisi kiri.
• 2(x − 4) +5x = 34 • 2x − 8 +5x = 34 • 7x − 8 = 34 • 7x − 8 + 8 = 34 + 8 • 7x = 42 • 7x/7 = 42/7 x = 6 Jadi, himpunan selesaian dari persamaan adalah {6}. 2. Tentukan selesaian dari persamaan berikut! a. 3x + 2 = - 7 b. 2 3 p = 6 Jawab: a. 3x + 2 = - 7 3x + 2 – 2 = - 7 - 2 (kedua ruas dikurangi dengan 2) 3x = - 9 3 − 9 = 3 3 (kedua ruas dibagi dengan 3)
x = - 3 2 b. p = 6 (kedua ruas dikali dengan 3) 3 2 x 3 p = 6 x 3 3 2p = 18 (kedua ruas dibagi dengan 3) p = 9 4. Penyelesaian masalah yang berkaitan dengan persamaan linier satu variabel Untuk dapat menyelesaikan permasalahan tersebut perlu diperhatikan langkah-langkah berikut. ▪ Pemahaman terhadap permasalahan tersebut. ▪ Menerjemahkan permasalahan tersebut dalam bentuk kalimat matematika (persamaan). ▪ Menyelesaikan persamaan tersebut. ▪ Memeriksa hasil penyelesaian dengan mengaitkannya pada permasalahan awal. Ingatlah ! No. Kalimat Penulisan 1. Jumlah a dan b a + b 2. Selisih a dan b a – b 3. Kuadrat a a2 4. Jumlah kuadrat a dan b a2 +b2 5. Selisih kuadrat a dan b a2 –b2 6. Kuadrat jumlah a dan b (a + b)2 7. Kuadrat selisih a dan b (a – b)2 Berikut adalah contoh permasalahan dan penyelesaian persamaan linier satu variabel. Contoh Soal 1 Selisih dua bilangan adalah 7 dan jumlah keduanya 31, tentukan kedua bilangan itu ! penyelesaian : misal : Bilangan I = x Bilangan II = x +7 sehingga : Bilangan I + Bilangan II = 31 ⇔ x + (x+7) = 31
⇔ 2x + 7 = 31 ⇔ 2x = 31 – 7 ⇔ x = 24 / 2 ⇔ x = 12 Jadi, bilangan pertama adalah 12 dan bilangan kedua adalah 12 + 7 = 19. Contoh 2: Suatu persegi panjang kelilingnya 80 cm. jika panjangnya (7x + 8) cm dan lebarnya (3x + 2) cm, maka luasnya adalah… Pembahasan : K = 2(p + l) 80 = 2(7x + 8 + 3x + 2) 80 = 2(10x + 10) 80 = 20x + 20 80 – 20 = 20x 60 = 20x x = 60 : 20 x = 3 jadi, p = 7x + 8 = 7.3 + 8 = 29 l = 3x + 2 = 3.3 + 2 = 11 sehingga, L = p × l = 29 × 11 = 319 cm. 1. Perhatikan contoh berikut! Hani membeli beberapa botol jus dengan harga satuan Rp 1.000,00. Hani menggunakan uang pecahan Rp 20.000,00 untuk membelinya. Hani mendapat kembalian Rp 3.000,00.
Berapa banyak botol jus yang dibeli Hani? Jawab : Misal x = banyak botol jus Maka model matematika persamaan linear satu variabelnya adalah 1.000 x + 3.000 = 20.000 Selanjutnya selesaikan model matematika tersebut 1.000 x + 3.000 = 20.000 1.000 x + 3.000 – 3.000 = 20.000 – 3.000 1.000 x = 17.000 1.000 = 1.000 x = 17 17.000 1.000
11 Jadi, banyak botol jus yang dibeli Hani adalah 17 buah DAFTAR PUSTAKA 1. Buku siswa Matematika Semester 1 Kelas VII Edisi Revisi. 2017. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan 2. Buku guru Matematika Semester 1 Kelas VII Edisi Revisi. 2017. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan 3. Matematika Untuk Sekolah Menengah Pertama. 2021. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan 4. https://www.youtube.com/watch?v=7H_EhKcK2G4 5. https://www.youtube.com/watch?v=stqhs_H-QuE&t=315s ...