32 Program linear diartikan sebagai cara untuk menyelesaikan suatu masalah (penyelesaian optimum) dengan menggunakan metode matematika yang dirumuskan dalam suatu sistem persamaan atau pertidaksamaan linear dua variabel. Untuk mendapatkan penyelesaian optimum tersebut, digunakan metode grafik dengan cara uji titik pojok (titik ekstrim) atau garis selidik pada himpunan (daerah) penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel. A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel 1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat matematika yang memuat dua variabel, misalnya x dan y, dengan pangkat tertinggi satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabei adalah sebagai berikut. dengan a, b, c ≠ 0 dan a, b, x, y R. Daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel dapat disajikan dalam bidang Cartesius. Langkah-langkah untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut. a. Misalkan diketahui pertidaksamaan ax by c b. Gambarlah garis ax by c pada bidang Cartesius dengan cara mencari titik-titik potong grafik dengan sumbu X (y = 0) dan sumbu Y (x = 0). c. Ambil sembarang titik uji, misalkan 1 1 P x , y dan subtitusikan ke pertidaksamaan ax by c . d. Jika bernilai benar, maka daerah yang memuat titik 1 1 P x , y merupakan daerah penyelesaian. Jika bernilai salah, maka daerah yang memuat titik 1 1 P x , y bukan merupakan daerah penyelesaian. e. Daerah yang merupakan penyelesaian diberi raster. f. Untuk pertidaksamaan yang memuat tanda sama dengan, penyelesaiannya digambar dengan garis penuh, sedangkan untuk pertidaksamaan yang tidak memuat tanda sama dengan, digambar dengan garis putus-putus. Contoh: Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut untuk x, y R. a. 2x y 4 b. 2x 3y 6 Penyelesaian: a. 2x y 4 Menentukan titik potog garis 2x y 4 dengan sumbu X dan sumbu Y dengan bantuan tabel berikut. X Y 0 4 2 0 Diperoleh titik potong dengan sumbu X adalah (2,0) dan titik potong dengan sumbu Y adalah (0,4). Sebagai titik uji, ambillah titik O(0,0). Dengan mensubtitusikan titik O(0,0) ke pertidaksamaan 2x y 4 diperoleh 20 0 4 0 4 (bernilai benar). Sehingga daerah yang memuat titik O(0,0) merupakan penyelesaian (daerah yang diraster). BAB 2 PROGRAM LINEAR
33 b. 2x 3y 6 Menentukan titik potog garis 2x 3y 6 dengan sumbu X dan sumbu Y dengan bantuan tabel berikut. X Y 0 3 –2 0 Diperoleh titik potong dengan sumbu X adalah (3,0) dan titik potong dengan sumbu Y adalah (0, –2). Sebagai titik uji, ambillah titik O(0,0). Dengan mensubtitusikan titik O(0,0) ke pertidaksamaan 2x 3y 6 diperoleh 2030 6 0 6 (bernilai salah). Sehingga daerah yang memuat titik O(0,0) bukan merupakan penyelesaian (daerah yang diraster). 2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel a. Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Contoh: 1) Tentukan daerah penyelesaian dari 2x y 4 ; x 0 ; dan y 0 ; untuk x, y R. Penyelesaian: Menentukan titik potong garis 2x y 4 dengan sumbu X dan sumbu Y. X Y 0 4 2 0 Diperoleh titik potong dengan sumbu X adalah (2,0) dan titik potong dengan sumbu Y adalah (0,4). Sebagai titik uji, ambillah titik O(0,0). Dengan mensubtitusikan titik O(0,0) ke pertidaksamaan 2x y 4 diperoleh 20 0 4 0 4 (bernilai benar). Sehingga daerah yang memuat titik O(0,0) merupakan penyelesaian (daerah yang diraster). Daerah penyelesaian x 0 terletak di sebelah kanan sumbu Y (daerah yang diraster di sebelah kanan sumbu Y). Daerah penyelesaian y 0 terletak di sebelah kanan sumbu X (daerah yang diraster di sebelah kanan sumbu X). Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 2x y 4 ; x 0 ; dan y 0 adalah irisan daerah penyelesaian dari masing-masing pertidaksamaan di atas; seperti tampak pada gambar di samping. 2) Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x y 3 ; 3x y 6 ; x 0 ; dan y 0 ; untuk x, y R. Penyelesaian: Menentukan titik potong garis x y 3 dengan sumbu X dan sumbu Y. X Y 0 3 3 0 Diperoleh titik potong dengan sumbu X adalah (3,0) dan titik potong dengan sumbu Y adalah (0,3). Sebagai titik uji, ambillah titik O(0,0). Dengan mensubtitusikan titik O(0,0) ke pertidaksamaan x y 3 diperoleh 0 0 3 0 3 (bernilai salah). Sehingga
34 daerah yang memuat titik O(0,0) bukan merupakan penyelesaian (daerah yang diraster). Menentukan titik potong garis 3x y 6 dengan sumbu X dan sumbu Y. X Y 0 6 2 0 Diperoleh titik potong dengan sumbu X adalah (6,0) dan titik potong dengan sumbu Y adalah (0,2). Sebagai titik uji, ambillah titik O(0,0). Dengan mensubtitusikan titik O(0,0) ke pertidaksamaan 3x y 6 diperoleh 30 0 6 0 6 (bernilai salah). Sehingga daerah yang memuat titik O(0,0) bukan merupakan penyelesaian (daerah yang diraster). Daerah penyelesaian x 0 terletak di sebelah kanan sumbu Y (daerah yang diraster di sebelah kanan sumbu Y). Daerah penyelesaian y 0 terletak di sebelah kanan sumbu X (daerah yang diraster di sebelah kanan sumbu X). Jadi, daerah yang diraster pada gambar di samping merupakan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x y 3 ; 3x y 6 ; x 0 ; dan y 0 ; untuk x, y R. b. Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel dari Daerah Penyelesaiannya Jika diketahui himpunan (daerah) penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan, Anda dapat menentukan sistem pertidaksamaan tersebut dengan langkah-langkah sebagai berikut. 1) Tentukan persamaan garis pada bidang Cartesius. Persamaan garis yang melalui (melewati) titik 1 1 x , y dan 2 2 x , y dirumuskan sebagai berikut. 2 1 1 2 1 1 x x x x y y y y Persamaan garis yang memotong sumbu X di titik (a, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, b) dirumuskan sebagai berikut. bx ay ab 2) Perhatikan garis persamaan pada diagram Cartesius. Apabila garis persamaannya merupakan sebuah garis utuh (tidak putus-putus), maka simbol pertidaksamaan yang akan digunakan adalah “≤” atau “≥”. Apabila garis persamaannya merupakan garis putus-putus (tidak utuh), maka simbol pertidaksamaan yang akan digunakan adalah “<” atau “>”. 3) Ambil sembarang titik yang terletak pada daerah penyelesaian (daerah yang diraster) sebagai titik uji. 4) Apabila daerah yang diraster berada di kanan sumbu Y, maka x ≥ 0. 5) Apabila daerah yang diraster berada di atas sumbu X, maka y ≥ 0.
35 Contoh: 1) Daerah yang diraster pada grafik di samping merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan. Tentukan sistem pertidaksamaan tersebut. Penyelesaian: Persamaan garis g1 memotong sumbu X pada titik (1,0) dan memotong sumbu Y pada titik (0,2), sehingga persamaannya adalah 2x y 1 2 2x y 2 Uji titik O(0,0) yang terletak pada daerah penyelesaian, 20 0 2 sehingga diperoleh pertidaksamaannya adalah 2x y 2 Persamaan garis g2 memotong sumbu X pada titik (2,0) dan memotong sumbu Y pada titik (0,1), sehingga persamaannya adalah x 2y 2 1 x 2y 2 Uji titik O(0,0) yang terletak pada daerah penyelesaian, 0 20 2 sehingga diperoleh pertidaksamaannya adalah x 2y 2 Daerah yang diraster terletak di sebelah kanan sumbu Y, maka x ≥ 0; dan di sebelah atas sumbu X, maka y ≥ 0. Jadi, sistem pertidaksamaan dari daerah yang diraster adalah 2x y 2 ; x 2y 2 ; x 0 ; dan y 0 ; x, y R 2) Daerah yang diraster pada grafik di samping merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan. Terntukan sistem pertidaksamaan tersebut. Penyelesaian: Persamaan garis g1 memotong sumbu X pada titik (2,0) dan memotong sumbu Y pada titik (0,5), sehingga persamaannya adalah 5x 2y 10 Uji titik (3,4) yang terletak pada daerah penyelesaian, 53 24 10 sehingga diperoleh pertidaksamaannya adalah 5x 2y 10 Persamaan garis g2 memotong sumbu X pada titik (6,0) dan memotong sumbu Y pada titik (0,3), sehingga persamaannya adalah 3x 6y 18 x 2y 6 Uji titik (3,4) yang terletak pada daerah penyelesaian, 3 24 6 sehingga diperoleh pertidaksamaannya adalah x 2y 6 Daerah yang diraster terletak di sebelah kanan sumbu Y, maka x ≥ 0; dan di sebelah atas sumbu X, maka y ≥ 0. Jadi, sistem pertidaksamaan dari daerah yang diraster adalah 5x 2y 10 ; x 2y 6 x 0 ; dan y 0 ; x, y R
36 B. Nilai Optimum Fungsi Objektif Fungsi objektif (fungsi sasaran) adalah suatu fungsi yang akan ditentukan nilai optimum (minimum atau maksimum) dari fungsi kendali (sistem pertidaksamaan linear). Ada dua cara untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif, yaitu dengan uji titik pojok (titik ekstrim) dan garis selidik. Namun pada pembahasan kali ini, kita hanya melihat pada cara uji titik pojok saja. Sedangkan cara garis selidik, dapat Anda pelajari sendiri. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif dengan Uji Titi Pojok (Titik Ekstrim) Langkah-langkah penyelesaian: Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang diketahui. Tentukan semua titik pojok pada daerah penyelesaian tersebut. Subtitusikan setiap titik pojok ke dalam fungsi objektif yang diketahui. Tetapkan nilai maksimum atau minimumnya. Contoh: 1. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif f x, y 50x 40y pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan x 2y 10 ; 3x y 15 ; x 0 ; dan y 0 ; x, y R Penyelesaian: Daerah penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut ditunjukkan pada grafik di samping. Daerah penyelesaian tersebut memiliki empat titik pojok, yaitu titik pojok O(0,0), A(0,5), B, dan C(5,0). Titik B merupakan titik potong garis x 2y 10 dan 3x y 15 , yang dapat ditentukan dengan cara eliminasi dan subtitusi pada penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel. 3 15 2 10 x y x y 1 3 3 15 3 6 30 x y x y 5y 15 y 3 x 2y 10 x 23 10 x 6 10 x 4 Koordinat titik B(4,3). Uji titik pojoknya seperti ditunjukkan pada tabel berikut. Titik 50x 40y f x, y 50x 40y O(0,0) 0 0 0 A(0,5) 0 200 200 B(4,3) 200 120 320 C(5,0) 250 0 250 Jadi, nilai maksimumnya adalah 320 untuk x = 4 dan y = 3, sedangkan nilai minimunnya adalah 0 untuk x = 0 dan y = 0. –
37 2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif f x, y 2x 3y dari daerah penyelesaian yang ditunjukkan pada gambar di samping. Penyelesaian: Pada daerah penyelesaian di samping, semua titik pojok telah diketahui. Dengan menggunakan uji titik pojok, nilai maksimum dan minimum dapat dicari dengan bantuan tabel berikut. Titik 2x 3y f x, y 2x 3y (2,0) 4 0 4 (5,0) 10 0 10 (7,3) 14 9 23 (3,5) 6 15 21 (0,3) 0 9 9 Jadi, nilai maksimumnya adalah 23 untuk x = 7 dan y = 3, sedangkan nilai minimunnya adalah 4 untuk x = 2 dan y = 0. 3. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif f x, y 100x 80y dari daerah penyelesaian yang memenuhi grafik di samping. Penyelesaian: Perhatikan grafik di samping. Daerah penyelesaian merupakan daerah terbuka ke atas. Jadi, daerah tersebut tidak memiliki nilai maksimum, yang ada hanya nilai minimum. Titik pojoknya adalah A(0,12), B, dan C(14,0). Koordinat titik B diperoleh dari titik potong dua garis, yaitu garis 12x 3y 36 4x y 12 dan 3 14 3 1 14 65 3 2 4 x y x y . Lakukan eliminasi dan subtitusi untuk memperoleh titik B. 3 14 4 12 x y x y 4 1 4 12 56 4 12 x y x y 11y 44 y 4 x 3y 14 x 34 14 x 12 14 x 2 Koordinat titik B(2,4). Uji titik pojoknya seperti ditunjukkan pada tabel berikut. Titik 100x 80y f x, y 100x 80y A(0,12) 0 960 960 B(2,4) 200 320 520 C(14,0) 1.400 0 1.400 Jadi, nilai nilai minimunnya adalah 520 untuk x = 2 dan y = 4. –
38 C. Aplikasi Program Linear 1. Mengubah Permasalahan Verbal Menjadi Model Matematika Untuk mempermudah dalam mengubah permasalahan verbal menjadi model matematika digunakan tabel sebagai berikut. Variabel Variabel I (x) Variabel II (y) Persediaan Pertidaksamaan Variabel lain 1 .... .... .... .... Variabel lain 2 .... .... .... .... Variabel lain 3 .... .... .... .... Catatan: Sistem pertidaksamaan bertanda “≤” jika persediaan dalam soal verbal tersirat kata “paling banyak” atau “hanya”; dan sistem pertidaksamaan bertanda “≥” jika persediaan dalam soal verbal tersirat kata “paling sedikit”. Contoh: a. Seorang pemborong hanya mempunya persediaan 100 kaleng cat biru dan 240 kaleng cat putih. Pemborong tersebut mendapat order untuk mengecat ruang tamu dan kamar tidur di suatu perumahan. Setelah dikalkulasi, satu ruang tamu menghabiskan 1 kaleng cat biru dan 3 kaleng cat putih, sedangkan satu kamar tidur menghabiskan 2 kaleng cat biru dan 2 kaleng cat putih. Jika biaya yang ditawarkan pada pemborong untuk mengecat setiap ruang tamu adalah Rp300.000,00 dan untuk setiap kamar tidur Rp250.000,00; buat model matematika (fungsi kendala dan fungsi objektif) dari persoalan tersebut. Penyelesaian: Misalkan x = banyak ruang tamu yang dicat dan y = banyak kamar tidur yang dicat. Variabel yang lain adalah cat biru dan cat putih. Tabel yang diperoleh sebagai berikut. Variabel Banyak Ruang Tamu (x) Banyak Kamar Tidur (y) Persediaan Pertidaksamaan Cat Biru 1 kaleng 2 kaleng 100 kaleng x 2y 100 Cat Putih 3 kaleng 2 kaleng 240 kaleng 3x 2y 240 Oleh karena banyak ruang tamu dan banyak kamar tidur selalu bernailai positif, maka x 0 dan y 0 . Biaya pengecatan setiap ruang tamu Rp300.000,00 dan biaya pengecatan setiap kamar tidur Rp250.000,00; sehingga pendapatan pemborong adalah 300.000x 250.000y Jadi, fungsi kendala dari permasalahan di atas adalah: x 2y 100 ; 3x 2y 240 ; x 0 dan y 0 ; sedangkan fungsi objektifnya adalah f (x, y) 300.000x 250.000 y b. Untuk merawat pasiennya, setiap hari suatu rumah sakit membutuhkan paling sedikit 150.000 unit kalori dan 130.000 unit protein. Setiap 1 kg daging sapi mengandung 500 unit kalori dan 200 unit protein, sedangkan setiap 1 kg ikan segar mengandung 300 unit kalori dan 400 unit protein. Harga daging sapi dan ikan segar berturut-turut adalah Rp150.000,00/kg dan Rp75.000,00/kg. Tentukan model matematika (fungsi kendala dan fungsi objektif) dari persoalan tersebut. Penyelesaian: Misalkan x = banyak konsumsi daging sapi dan y = banyak konsumsi ikan segar. Variabel yang lain adalah kalori dan protein. Variabel Banyak Konsumsi Daging Sapi (x) Banyak Konsumsi Ikan Segar (y) Persediaan Pertidaksamaan Kalori 500 unit 300 unit 150.000 unit 500x 300 y 150.000 5x 3y 1.500 Protein 200 unit 400 unit 130.000 unit 200x 400y 130.000 x 2y 650
39 Oleh karena banyak konsumsi danging sapi dan ikan segar selalu bernilai positif, maka x 0 dan y 0 . Harga daging sapi dan ikan segar berturut-turut adalah Rp150.000,00/kg dan Rp75.000,00/kg; maka biaya yang harus dikeluarkan adalah 150.000x 75.000y . Jadi, fungsi kendala dari permasalahan di atas adalah 5x 3y 1.500 ; x 2y 650 ; x 0 dan y 0 ; sedangkan fungsi objektifnya adalah f (x, y) 150.000x 75.000 y . 2. Menyelesaikan Masalah Program Linear Langkah-langkah penyelesaian: a. Ubah permasalahan verbal menjadi model matematika dalam fungsi kendala dan fungsi objektif. b. Tentukan nilai optimum dengan menggunakan uji titik pojok (titik ekstrim). Contoh: a. Suatu pesawat terbang mempunyai kapasitas tempat duduk tidak lebih dari 200 penumpang. Setiap penumpang kelas bisnis hanya boleh membawa bagasi 50 kg, sedangkan kelas ekonomi 20 kg. Pesawat tersebut hanya dapat membawa bagasi 5,5 ton. Harga tiket untuk suatu penerbangan domestik tujuan kota A dari Bandara SoekarnoHatta untuk kelas bisnis adalah Rp800.000,00/penumpang dan untuk kelas ekonomi Rp600.000,00/penumpang. Tentukan penjualan tiket untuk kelas bisnis dan kelas ekonomi agar hasil penjualan tiket maksimum Penyelesaian: Misalkan x = banyak penumpang kelas bisnis dan y = banyak penumpang kelas ekonomi. Variabel Banyak Penumpang Kelas Bisnis (x) Banyak Penumpang Kelas Ekonomi (y) Kapasitas Pertidaksamaan Daya tampung penumpang 1 1 200 orang x y 200 Daya tampung bagasi 50 kg 20 kg 5.500 kg 50x 20y 5.500 5x 2y 550 Oleh karena banyak penumpang kelas bisnis dan kelas ekonomi selalu bernilai positif, maka x 0 dan y 0 . Pendapatan penjualan tiket disajikan dalam fungsi f (x, y) 800.000x 600.000 y . Daerah penyelesaiannya tersaji pada grafik di samping. Pada daerah penyelesaian di samping, terdapat empat titik pojok, yaitu titik O(0,0), A(110,0), B, dan C(0,200) Menentukan Koodinat titik B. 5 2 550 200 x y x y 1 2 5 2 550 2 2 400 x y x y 3x 150 x 50 x y 200 50 y 200 y 150 Koordinat titik B(50,150) –
40 Uji titik pojok. Titik 800.000x 600.000y f x, y 800.000x 600.000y O(0,0) 0 0 0 A(110,0) 88.000.000 0 88.000.000 B(50,150) 40.000.000 90.000.000 130.000.000 C(0,200) 0 120.000.000 120.000.000 Nilai nilai maksimumnya adalah 130.000.000 yang dipenuhi oleh x = 50 dan y = 150. Dengan kata lain, penjualan tiket akan maksimum jika banyak penumpang kelas bisnis 50 orang dan kelas ekonomi 150 orang. b. Untuk mengangkut paling sedikit 300 ton barang ke tempat penyimpanan, seorang kepala proyek memerlukan alat pengangkut. Oleh karena itu, ia menyewa dua jenis truk. Truk jenis I berkapasitas 15 ton dan truk jenis II berkapasitas 10 ton. Biaya sewa setiap truk jenis I adalah Rp500.000,00 sekali jalan dan truk jenis II adalah Rp400.000,00 sekali jalan. Ia harus menyewa sekurang-kurangnya 24 truk. Tentukan banyak jenis truk yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan sekecil-kecilnya. Penyelesaian: Misalkan x = banyak truk jenis I dan y = banyak truk jenis II. Variabel Banyak Truk Jenis I (x) Banyak Truk Jenis II (y) Persediaan Pertidaksamaan Truk yang disewa 1 1 24 unit x y 24 Barang yang akan diangkat 15 ton 10 ton 300 ton 15x 10y 300 3x 2y 60 Oleh karena banyak truk jenis I dan jenis II selalu bernilai positif, maka x 0 dan y 0 . Biaya sewa truk disajikan dalam fungsi f (x, y) 500.000x 400.000 y . Daerah penyelesaiannya tersaji pada grafik di samping. Pada daerah penyelesaian di samping, terdapat tiga titik pojok, yaitu titik A(0,30), B, dan C(24, 0) Menentukan Koodinat titik B. 3 2 60 24 x y x y 1 2 3 2 60 2 2 48 x y x y x 12 x 12 x y 24 12 y 24 y 12 Koordinat titik B(12,12) Uji titik pojok. Titik 500.000x 400.000y f x, y 500.000x 400.000y A(0,30) 0 12.000.000 12.000.000 B(12,12) 6.000.000 4.800.000 10.800.000 C(24,0) 12.000.000 0 12.000.000 Nilai nilai minimumnya adalah 10.800.000 yang dipenuhi oleh x = 12 dan y = 12. Dengan kata lain, biaya angkut akan minimum jika banyak truk jenis I 12 unit dan banyak truk jenis II 12 unit. c. Suatu perusahaan memproduksi barang dengan tiga ukuran, yaitu ukuran besar, sedang, dan kecil. Ketiga ukuran barang tersebut dihasilkan dengan menggunakan mesin I dan mesin II. Setiap hari, mesin I menghasilkan 1 ton barang ukuran besar, 3 ton barang ukuran sedang, dan 5 ton barang ukurang kecil. Setiap hari, mesin II menghasilkan 2 ton –
41 untuk setiap ukuran barang. Perusahaan tersebut bermaksud memproduksi barang paling sedikit 80 ton ukuran besar, 160 ton ukuran sedang, dan 200 ton ukuran kecil. Biaya operasional mesin I adalah Rp1.200.000,00 per hari dan mesin II adalah Rp900.000,00 per hari. Tentukan lama (hari) kerja setiap mesin agar diperoleh biaya operasional minimum. Penyelesaian: Misalkan x = lama (hari) kerja mesin I dan y = lama (hari) kerja mesin II. Variabel Lama Kerja Mesin I (x) Lama Kerja Mesin II (y) Banyak produksi barang Pertidaksamaan Banyak produksi barang ukuran besar per hari 1 2 80 x 2y 80 Banyak produksi barang ukuran sedang per hari 3 2 160 3x 2y 160 Banyak produksi barang ukuran kecil per hari 5 2 200 5x 2y 200 Oleh karena lama (hari) kerja mesin I dan mesin II selalu bernilai positif, maka x 0 dan y 0 . Biaya operasional mesin I dan mesin II disajikan dalam fungsi f (x, y) 1.200.000x 900.000 y . Daerah penyelesaiannya tersaji pada grafik di samping. Pada daerah penyelesaian di samping, terdapat empat titik pojok, yaitu titik A(0,100), B, C, dan D(80, 0) Menentukan Koodinat titik B. 3 2 160 5 2 200 x y x y 2x 40 x 20 3x 2y 160 320 2y 160 60 2y 160 2y 100 y 50 Koordinat titik B(20,50). Menentukan Koordinat titik C. 2 80 3 2 160 x y x y 2x 80 x 40 x 2y 80 40 2y 80 2y 40 y 20 Koordinat titik C(40,20). – –
42 Uji titik pojok. Titik 1.200.000x 900.000y f x, y 1.200.000x 900.000y A(0,100) 0 90.000.000 90.000.000 B(20,50) 24.000.000 45.000.000 69.000.000 C(40,20) 48.000.000 18.000.000 66.000.000 D(80,0) 96.000.000 0 96.000.000 Nilai nilai minimumnya adalah 66.000.000 yang dipenuhi oleh x = 40 dan y = 20. Dengan kata lain, biaya operasional minimum jika lama (hari) kerja mesin I 40 hari dan lama (hari) kerja mesin II 20 hari. Latihan Soal 1. Perhatikan grafik berikut. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear x 2y 10 ; x y 7 ; x 0 ; dan y 0 ditunjukkan oleh daerah bernomor .... 2. Diketahui suatu pertidaksamaan linear 0 x 10 ; 0 y 10 ; x y 17 ; 2x y 6 ; x 2y 6 untuk x, y R . Tentukan: a. himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut, dan b. nilai maksimum dan minimum fungsi objektif f x, y 25x 30y dari daerah penyelesaiannya. 3. Nilai maksimum fungsi objektif f x, y 6x 9y yang memenuhi sistem pertidaksamaan x 2y 12 ; 4x 5y 40 ; x 0 ; dan y 0 adalah .... 4. Perhatikan grafik berikut. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari daerah penyelesaian di atas, dengan fungsi objektif f x, y 30x 45y . 5. Untuk soal-soal berikut, tentukan nilai maksimum atau minimum dari bentuk objektif yang diberikan. a. 5x 2y 30 ; x 2y 10 ; x 0 ; dan y 0 ; bentuk objektif f x, y 3x 2y . b. x y 6 ; x 3y 6 ; x 0 ; dan y 0 ; bentuk objektif f x, y 10x 30y . c. x 2y 8 ; 3x 2y 12 ; x 0 ; dan y 0 ; bentuk objektif f x, y x y . d. x 2y 8 ; 3x 2y 10 ; 0 x 2 ; dan 0 y 6 ; bentuk objektif f x, y 2x 3y . e. 5x 10y 50 ; x y 1 ; x 4 ; x 0 ; dan y 0 ; bentuk objektif f x, y 2x y .
43 6. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi objektif f x, y 3x 4y dari daerah penyelesaian berikut. a. b. c. 7. Andini ingin membuat donat dan roti untuk dijual. Sebuah donat memerlukan 60 g terigu dan 30 g mentega, sedangkan sebuah roti memerlukan 40 g terigu dan 50 g mentega. Andini hanya mempunyai persediaan 5 kg terigu dan 4 kg mentega. Jika akan dibuat sebanyak x donat dan y roti, model matematika dari persamaan tersebut adalah .... 8. Suatu perusahaan memproduksi dua jenis barang, yaitu barang A dan B. untuk membuat sebuah barang A diperlukan 6 jam kerja pada mesin I dan 4 jam kerja pada mesin II, sedangkan untuk membuat sebuah barang B diperlukan 3 jam kerja pada mesin I dan 8 jam kerja pada mesin II. Setiap hari, mesin I bekerja tidak lebih dari 15 jam dan mesin II tidak lebih dari 16 jam. Harga jual sebuah barang A dan B berturut-turut adalah Rp270.500,00 dan Rp250.000,00. Penghasilan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut setiap harinya adalah .... 9. Roti A membutuhkan 150 g tepung dan 50 g mentega, sedangkan roti B membutuhkan 75 g tepung dan 75 g mentega. Bahan yang disediakan 9 kg tepung dan 6 kg mentega. Keuntungan yang diperoleh dari hasil penjualan setiap roti A dan B berturut-turut adalah Rp400,00 dan Rp500,00. Tentukan banyak setiap jenis roti yang harus dibuat agar diperoleh hasil keuntungan yang maksimum dan tentukan besar keuntungan maksimumnya. 10. Sebuah toko sepeda menyediakan dua jenis sepeda, yaitu sepeda dengan setang dan tanpa setang yang harganya berturut-turut Rp400.000,00 dan Rp500.000,00. Kapasitas toko tersebut tidak lebih dari 50 sepeda. Keuntungan dari setiap penjualan sepeda dengan setang dan tanpa setang berturut-turut adalah Rp60.000,00 dan Rp40.000,00. Modal yang dimiliki pemilik toko sebesar Rp23.000.000,00. Tentukan: a. banyak setiap jenis sepeda yang harus disediakan agar diperoleh keuntungan maksimum; b. besar keuntungan maksimumnya. 11. Pengembang rumah sederhana menyediakan rumah tipe 21 dan tipe 36 dengan harga jual setiap unit rumah berturut-turut adalah Rp30.000.000,00 dan Rp45.000.000,00. Luas tanah yang diperlukan untuk membangun rumah tipe 21 adalah 60 m2 dan rumah tipe 36 adalah 72 m2 , sedangkan lahan yang tersedia 20.400 m2 . Biaya untuk membangun rumah-rumah tersebut berasal dari kredit bank swasta yang besarnya tidak lebih dari Rp12.000.000.000,00. Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp2.000.000,00 untuk setiap unit penjualan rumah tipe 21 dan Rp3.600.00,00 untuk rumah tipe 36, tentukan banyak setiap rumah yang harus dibangun agar diperoleh keuntungan maksumum. 12. PT Usaha Rotanindo di Cirebon memproduksi dua jenis mebel rotan, yaitu jenis kursi dan meja. Kapasitas produksi perusahaan tidak kurang dari 1.000 unit barang per bulan. Dari bagian marketing, diperoleh informasi bahwa setiap bulan terjual tidak lebih dari 600 kursi dan 700 meja. Keuntungan yang diperoleh untuk setiap unit kursi sebesar Rp50.000,00 dan meja sebesar Rp40.000,00. Tentukan banyak mebel jenis kursi dan meja yang harus diproduksi agar keuntungan yang diperoleh sebesar-besarnya. 13. Untuk merawat pasien, sebuah rumah sakit membutuhkan paling sedikit 225.000 unit kalori dan 195.000 unit protein setiap hari. Setiap 1 kg daging sapi mengandung 750 unit kalori dan 300 unit protein, sedangkan setiap 1 kg ikan segar mengandung 450 unit kalori dan 600 unit protein. Harga per kg daging sapi dan ikan segar berturut-turut Rp90.000,00 dan Rp60.000,00. Tentukan banyak daging sapi dan ikan segar (dalam kg) yang harus disediakan rumah sakit agar biaya yang dikeluarkan sekecil-kecilnya.
KOMPETENSI DASAR KOMPETENSI DASAR 3.15 Menerapkan operasi matriks dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks. 4.15 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks. A. PENGERTIAN MATRIKS 1. Definisi Matriks Matriks adalah suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam bentukbarisdan kolom (lajur) dalam bentuk persegi panjang yang di tempatkan di antara dua tanda kurung biasa ( ) atau siku [ ]. Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yangmendatar dalam matriks. Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegakdalam matriks. Suatu matriks dilambangkan dengan sebuah huruf kapital A, B, C dst. Secara umum matriks dapat ditulis sebagai berikut : Keterangan : a = Notasi matriks i j = Ordo matriks i = Banyak baris j = Banyak kolom Contoh Soal 1: − − = − 3 8 2 5 7 6 1 2 3 A3 3 2. Jenis-jenis Matriks 1. Matriks Persegi Yaitu matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.(m = n) Contoh : = 2 3 1 2 A2 2 2. Matriks Baris Yaitu matriks yang mempunyai elemen satu baris Contoh : A=1 3 5 7 3. Matriks Kolom Yaitu matriks yang mempunyai elemen satu kolom Contoh : = 5 3 1 A 4. Matriks Nol Yaitu matriks yang seluruh elemennya adalah 0 Ordo matriks adalah 3 3 1 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-1 5 adalah elemen baris ke-2 kolom ke-1 3 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-3 BAB 3 MATRIKS
Contoh : = 0 0 0 0 A B=0 5. Matriks Identitas / Satuan Yaitu matriks bujur sangkar yang elemen pada diagonal utamanya adalah 1 (satu), sedangkan elemen lainnya 0 (nol). Contoh : = 0 1 1 0 A = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 B 6. Matriks Diagonal Yaitu matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya adalah 0 (nol) Contoh : − = 0 1 2 0 A − = 0 0 3 0 2 0 1 0 0 B Matriks sama : matriks A = matriks B, maka elemen yang seletak sama. c d a b = a p b q c r d s r s p q → = = = = , , , 7. Matriks Skalar Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Contoh : = 0 4 4 0 A = 0 0 2 0 2 0 2 0 0 B 8. Matriks Segitiga Atas Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh : − 0 0 6 0 1 4 1 2 4 9. Matriks Segitiga Bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. − = − 4 5 4 2 1 0 2 0 0 D 3. Kesamaan Matriks Dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya memiliki ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) pada keduamatriks tersebut sama. Contoh Soal 1: Diketahui matriks = 3 4 1 2 A − = 3 4 1 3 B = 3 4 1 2 C
Tentukan: a. Apakah matriks A = B? b. Apakah matriks A = C? Jawab: a. Matriks A matriks Bkarena ada satu elemen matriks A dan B yang seletak tidak memiliki nilai yang sama, yaitu 2 ≠ –3. b. Matriks A = matriks B, karena anggota pada matriks A sama dan seletak dengan anggota pada matriks B Contoh Soal 2: Diketahui matriks-matriks berikut. − = − = x y A B 2 2 7 5 4 2 7 . Jika A = B, tentukan nilai x dan y. Jawab: Dengan menggunakan konsep kesamaan dua matriks maka diperoleh: x = 5dan 2y = 4 y = 2 Jadi, nilai x = 5 dan y = 2 B. OPERASI ALJABAR MATRIKS 1. Operasi Penjumlahan Operasi Penjumlahan pada matriks hanya dapat dilakukan apabila matriks – matriksnya mempunyai ordo sama. = 3 4 1 2 a a a a A = 3 4 1 2 b b b b B + + + + = + + = 3 3 4 4 1 1 2 2 3 4 1 2 3 4 1 2 a b a b a b a b b b b b a a a a A B Contoh Soal 1: Diketahui matriks A = 7 2 3 5 , matriks B = − − 7 9 11 3 . Hitung A + B! Jawab: A + B = = + − + + + − = − − + 0 11 14 2 7 ( 7) 2 9 3 11 5 ( 3) 7 9 11 3 7 2 3 5 2. Operasi Pengurangan Pengurangan dua matriks harus memiliki ordo sama = 3 4 1 2 a a a a A , = 3 4 1 2 b b b b B − − − − = − − = 3 3 4 4 1 1 2 2 3 4 1 2 3 4 1 2 a b a b a b a b b b b b a a a a A B Contoh Soal 2: Diketahui A = − 3 6 4 0 ; B = 2 4 6 4 . Hitung A – B! Jawab: A – B= − − 2 4 6 4 3 6 4 0 = − − − − − 3 2 6 4 4 6 0 4 = − − 1 2 10 4 Contoh Soal 3 :
Tentukan matriks A dari persamaan matriks berikut = − + 3 1 2 4 1 4 4 6 A Jawab: A = − − 1 4 4 6 3 1 2 4 = − − − − − 3 1 1 ( 4) 2 4 4 6 = − − 2 5 2 2 Sifat-sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Misalkan A, B, dan C matriks-matriks dengan ordo sama maka berlaku sifatsifat berikut: 1. A + B = B + A (Komutatif ) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (Asosiatif ) 3. A – B ≠ B – A (Anti Komutatif ) 3. Operasi Perkalian Bilangan Real dengan Matriks Jika A sebuah matriks dan k bilangan real maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing elemen matriks A dengan k. = 3 4 1 2 3 4 1 2 K a K a K a K a a a a a K ContohSoal : Jika diketahui K = 4 dan matriks A = −3 7 6 0 . Hitung K A ! Jawab : K A= − = − = − 12 28 24 0 4 ( 3) 4 7 4 6 4 0 3 7 6 0 4 Sifat-Sifat Perkalian Skalar Misalkan a dan b skalar, D dan H matriks sebarang dengan ordo sama, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut 1. aD + aH = a(D + H) 2. aD + bD = (a + b)D 3. a(bD) = (ab)D 4. Operasi Perkalian Matriks dengan Matriks Perkalian matriks A dan B dituliskan AB terdefinisi hanyajika banyaknya baris matriks B sama dengan banyaknya kolom matriks A. Matriks Amn Bnp = Cmp 1. Jika matriks A1 2= a1 a2 dan matriks B2 2 = 3 4 1 2 b b b b Maka A B = 3 4 1 2 1 2 b b b b a a = a1 b1 + a2 b3 a1 b2 + a2 b4 2. Jika matriks A2 2= 3 4 1 2 a a a a dan matriks B2 2 = 3 4 1 2 b b b b Ordo hasil perkalian
Maka A B = 3 4 1 2 a a a a 3 4 1 2 b b b b = + + + + 3 1 4 3 3 2 4 1 1 2 3 1 2 2 4 a b a b a b a4 b a b a b a b a b Contoh soal1: Diketahui matriks A = 2 −3, B = − 3 1 1 2 . Hitung A B ! Jawab : A B= 2 − 3 − 3 1 1 2 =2(−1)+(−3)3 22+(−3)1 =−2−9 4−3=−11 1 ContohSoal 2 : A = 3 6 2 4 , B = 3 1 6 2 , hitung A B ! Jawab: A B = 3 6 2 4 3 1 6 2 = + + + + 3 6 6 3 3 2 6 1 2 6 4 3 2 2 4 1 = + + + + 18 18 6 6 12 12 4 4 = 36 12 24 8 5. Perpangkatan Matriks Persegi Misalkan A adalah matriks persegi dengan ordo n × n maka bentuk pangkat dari matriks A didefinisikan sebagai berikut. A2 = A × A A3 = A × A × A An = A × A × A ... × A Contoh soal: JIka A = 3 6 2 4 , hitung A2 ! Jawab: A2 = 3 6 2 4 3 6 2 4 = + + + + 3.2 6.3 3.4 6.6 2.2 4.3 2.4 4.6 = + + + + 6 18 12 36 4 12 8 24 = 24 48 16 32
Jika setiap matriks berikut dapat dioperasikan di mana a adalahkonstanta, maka berlaku sifat-sifat berikut. ― P + Q = Q + P ― (P + Q) + R = P + (Q + R) ― P(Q+ R) = PQ + PR ― (P + Q)R = PR + QR ― P(Q – R) = PQ – PR ― (P – Q)R = PQ – QR ― a(P + Q) = aP + aQ ― a(P – Q) = aP – aQ ― (a + b)P = aP + bP ― (a – b)P = aP – bP ― (ab)P = a(bP) ― a(PQ) = (aP)Q = P(aQ) ― (PQ)R = P(QR) Sifat – sifat tranpose matriks Beberapa sifat matriks adalah sebagai berikut. 1. (A+B)t = At + Bt 2. (At ) t = A 3. (cA)t = cAt dengan c adalah konstanta 4. (AB)t = BtAt Contoh Soal: Jika matriks A = 4 −1 2 3 dan B = 1 3 2 5 . Tunjukkan bahwa : a. (At ) t = A b. (A + B)t c. (A B)t= Bt At Jawab: a. At= 3 −1 2 4 (At ) t = 4 −1 2 3 Jadi (At ) t = A b. A + B = + − 1 3 2 5 4 1 2 3 At + Bt = 5 3 2 1 5 3 2 1 = 5 2 4 8 = 8 2 4 5 (A + B)t = 8 2 4 5 Jadi, (A + B)t = At + Bt c. A B = 4 −1 2 3 1 3 2 5 Bt At = 5 3 2 1 3 −1 2 4 = + − + − + + 4 2 ( 1) 1 4 5 ( 1) 1 2 2 3 1 2 5 3 3 = + + − + + − 5 2 3 3 5 4 3 ( 1) 2 2 1 3 2 4 1 ( 1) = − − + + 8 1 20 3 4 3 10 9 = − − + − 10 9 20 3 4 3 8 1
= 7 17 7 19 = 19 17 7 7 (A B)t = 19 17 7 7 Jadi, (A B)t = Bt At
BAB 2 DETERMINAN, INVERS, DAN TRANSPOS KOMPETENSI DASAR KOMPETENSI DASAR 3.16 Menentukan nilai determinan, invers, dan transpos pada ordo 2 x 2 dan nilai determinan dan transpos pada ordo 3 x 3 4.16 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan deyerminan, invers, dan transpos pada ordo 2 x 2 serta nilai determinan dan transpos pada ordo 3 x 3 A. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS 1. Determinan Matriks Determinan matriks A didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemenelemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real. a. Determinan matriks berordo dua = c d a b A2 2 maka Contoh : Jika matriks A = 4 6 2 3 cari determinan matriks A ! Jawab: detA = |A|= ad−bc= 26−34= 12 – 12= 0 b. Determinan matriks berordo tiga menggunakan aturan Sarus A33 = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a det A =|A|= 31 32 21 22 11 12 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a det A=|A|= 11 12 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12 a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a Contoh Soal : Tentukan determinan matriks = 5 1 3 4 2 1 2 1 4 A . Jawab: det 5 1 4 2 2 1 5 1 3 4 2 1 2 1 4 A= det A = 223+115+441−524−112−341 = 12 + 5 + 16 – 40 – 2 – 12 = -21 det A = |A|= ad−bc + + + _ _ _ + _ Diagonal sekunder Diagonal utama
Contoh 3: Diketahui matriks A = − − a a 3 2 10 4 . Hitunglah nilai-nilai a yang memenuhi det A = 0. Jawab: det A = 0 det A = a a 3 2 10 4 − − = ((2a – 10)× a) – (–3× 4) = 2 – 10 +12 2 a a Oleh karena det A = 0 maka 2 – 10 +12 0 2 a a = – 5 + 6 0 2 a a = (a – 3)(a – 2) = 0 a – 2 = 0 atau a – 3 = 0 a = 2 a = 3 Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 2 dan 3. 2. Adjoint Matriks Adjoint disingkat Adj. Adjoint suatu matriks bujur sangkar adalah : Jika matriks A = c d a b , maka Adj A = − − c a d b ContohSoal : Tentukan matriks adjoint dari : 1. A = 1 2 4 7 , maka Adj A = − − 1 4 2 7 2. B = −2 1 10 3 , maka Adj B= − − − ( 2) 10 1 3 = − 2 10 1 3 3. C= − − 7 4 2 1 , maka AdjC = − − − − ( 7) 2 4 ( 1) = 7 2 4 1 3. Invers Matriks Jika A sebuah matriks maka invers matriks A adalah A–1 dan A A–1 = I, dimana I adalah matriks identitas. Berikut ini adalah syaratsuatu matriks A mempunyai invers. • Jika |A|= 0, maka matriks A tidak mempunyai invers.Oleh karena itu,dikatakan matriks A sebagai matriks singular. • Jika |A|≠ 0, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu,dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular. Misalkanmatriks A = c d a b invers dari A adalah A–1 , yaitu dengan det A A ≠ 0 –1 = ad −bc 1 − − c a d b
ContohSoal : Diketahui matriks A = 1 4 2 7 Maka invers matriks A A–1 = − − − c a d b ad bc 1 = − − − 1 2 4 7 2 4 7 1 1 = − − − 1 2 4 7 8 7 1 = − − 1 2 4 7 1 1 = − − 1 2 4 7 Sifat-Sifat Invers suatu Matriks Misalkan A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB dan BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan berikut. 1. (AB) –1 = B –1 · A –1 2. (BA) –1 = A –1 · B –1 Persamaan Matriks Penyelesaian persamaan matriks AX = B ditentukan oleh = −1 . Penyelesaian persamaan matriks XA=B ditentukan oleh = . −1 Contoh Soal: Jika .[ 6 7 8 9 ] = [ 2 3 4 5 ], maka P = …. Jawab: .[ 6 7 8 9 ] = [ 2 3 4 5 ] . A=B = . −1 = [ 2 3 4 5 ]. 1 6.9 − 7.8 [ 9 −7 −8 6 ] = − 1 2 [ 2 3 4 5 ][ 9 −7 −8 6 ] = − 1 2 [ −6 4 −4 2 ] = [ 3 −2 2 −1 ] B. TRANSPOSE MATRIKS Adalah matriks baru yang merupakan hasil pertukaran baris dan kolom Tranpose matriks di notasikan At (dibaca: A transpose). Sehingga tranpose matriks A adalah At Jika = 1 2 3 1 2 3 b b b a a a A ,maka = 3 3 2 2 1 1 a b a b a b A t Jika matriks A berordo m × n maka transpos A memiliki ordo n × m. Secara Umum bisa dituliskan : Amn , maka n m t A
Contoh Soal: 1. = 1 4 2 7 A2 2 maka = 7 4 2 1 2 2 t A 2. = 2 6 1 6 0 3 B2 3 maka = 3 1 0 6 6 2 3 2 t B C. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN MENGGUNAKAN MATRIKS Ada dua persamaan yaitu : ax+by = P cx+dy =Q Bila ditulis dalam bentuk matriks : c d a b y x = Q P Maka : ContohSoal : 1. Tentukan matriks koefisien dari sistem persamaan linear berikut. 2x – 3y = 4 3x – y = –1 –2x + 2y = 2 Jawab: Matriks koefisien dari sistem persamaan linear tersebut adalah − − − 2 2 3 1 2 3 . 2. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut dengan cara matriks 2x+ y = 8 5x+3y = 21 Jawab : y x 5 3 2 1 = 21 8 y x = − Q P A 1 = − − − 5 2 1 3 1 ad bc 21 8 = − − − 5 2 3 1 2 3 5 1 1 21 8 = − − 3 2 3 1 1 1 21 8 = 1 − − 3 2 3 1 21 8 = − + + − 5 8 2 21 3 8 ( 1) 21 = + − 40 42 24 21 y x = A–1 Q P
= 2 3 Jadi, x = 3 dan y = 2 3. Ibu membeli 5 kg tepung dan 3 kaleng mentega dan harus membayar Rp. 30.500,-. Kakak membeli 2 kg tepung dan 1 kaleng mentega dan ia harus membayar Rp. 7.500,- tulis pernyataan di atas dalam bentuk matriks ! Jawab : 5x+3y =30.500 2x+ y = 7.500 Dalam bentuk matriks : y x 2 1 5 3 = 7500 30500 Selain dengan cara di atas, sistem persamaan linear dapat jugadiselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer berikut. Jika AX = B maka A A x 1 1 = , A A x 2 2 = , ..., A A x j j = . Aj matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemenpada kolom-j dari matriks A dengan elemen-elemen matriks B. Contoh soal : Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan aturan Cramer! 3x - 4y = 5 5x + 6y = 1 Jawab: Terlebih dahulu, tentukan |A|, |A1|, dan |A2| 3.1 5.5 3 25 22 5 1 3 5 5.6 ( 4).1 30 4 34 1 6 5 4 3.6 ( 4).5 18 20 38 5 6 3 4 2 1 = = − = − = − = − − = + = − = = − − = + = − = A A A Jadi, 19 17 38 1 34 = = = A A x dan 19 11 38 2 22 = − − = = A A y Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah 19 17 x = dan 19 11 y = − .
PELATIHAN 1 : 1. Diberikan matriks Q = ( −2 0 2 4 −1 5 0 8 −1 6 10 9 12 5 3 7 ) . Tentukan : A. Banyak baris dan kolom B. Elemen – elemennya pada : 1) Baris ke-2 4). Kolom ke-1 2) Baris ke-3 5). Kolom ke-3 3) Baris ke-4 6). Kolom ke-4 C. Jika aij mewakili elemen – elemen yang berada di baris ke-i dan kolom ke-j sebutkan : 1). a14 2). a23 3). a43 4). a34 2. Tulislah dalam bentuk matriks koefisien variabelnya untuk setiap system persamaan berikut. A. { 2 + 3 = 5 3 − 5 = 1 C. { 2 + = −3 − 5 = −7 B. { −2 + 3 = 10 4 − 5 = −18 D. { 4 = −3 2 + = 2 3. Tentukan ordo dari matriks – matriks berikut : A. ( −2 4 7 0 12 −5 ) C. ( 0 5 −3 −2 3 5 7 0 −8 −1 1 10 ) B. ( −9 0 6 −5 4 −10 −3 11 ) D. ( −1 3 6 0 10 12 −7 0 −6 1 −1 9 5 7 −9 4 −2 15 ) 4. Sebutkan jenis dari setiap matriks berikut. A. K = (−2 6 4) C. M = ( 0 3 −2 4 4 −8 7 0 −8 2 1 0 ) B. L = ( 4 0 0 0 9 0 0 0 2 ) D. N = ( −1 0 10 4 0 0 0 0 −2 5 6 4 7 0 −2 12 ) 5. Tentukan nilai x, y, dan z dari kesamaan – kesamaan matriks berikut. A. ( 3 2 ) = ( −18 6 ) C. ( 2 + 8 3 ) = ( 2 15) B. ( 2 + 4 −6 ) = ( 6 −2 −2 ) D. ( 4 −1 −2 5 2 6 ) = ( − −1 3 + 2 5 10 2 )
PELATIHAN 2 : 1. Diketahui A = ( −2 4 −6 0 5 8 ) , B = ( 2 6 8 1 4 10) , dan C = ( 0 6 8 −4 5 −7 ) Tentukan : A. A + B C. B + C E. A – C B. A + C D. A – B F. B – C 2. Diketahui A = ( −2 3 6 5 ) , B = ( 0 9 2 5 ) , dan C = ( −1 6 4 −2 ) ( ) A. A – B – C C. (A + B) – C E. (B – C) – A B. A – (B + C) D. (A – B) + C F. A + (B – C) 3. Hitunglah ! A. ( + 3 8 − + −12 ) + ( −8 5 + 12 − 3 + 8 ) B. ( – + + 6 20 − ) – ( − + 10 − 5 − 12 14 ) 4. Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan berikut. A. (− ) + (2 −3 6) = (10 0 8) B. ( −2 5 ) + ( 0 −5 10 ) = ( 5 3 8 ) + ( 7 −9 −3 ) C. ( 3 −12 −2 ) – ( 8 −5 −9 4 ) = ( 7 −6 −3 10) D. ( 2 − 3 − 2 8 ) – ( 3 + 4 2 5 ) = ( −12 15 7 3 ) 5. Tentukan nilai a dan b dari persamaan berikut. A. ( −3 2 ) + ( − ) = ( 24 15) B. ( 2 3 + 2 ) + ( 4 + 3 −3 + 5 ) = ( −5 4 ) C. ( − 2 6 8 3 + 1 ) – ( 2 2 6 ) = ( −10 4 2 −8 ) D. ( 5 3 − 3 + 1 10 ) + ( 0 2 + 3 3 − 2 8 ) = ( 5 −2 −5 18) PELATIHAN 3 : 1. Diketahui matriks P = ( −3 8 7 0 −4 −9 −4 5 10 ) . Tentukan : A. 3P B. 1 4 P C. – 1 2 P D. – 2P 2. Diketahui A = ( −3 0 8 5 ) dan B = ( 5 −1 −4 2 ) . Tentukan : A. – 3A B. 5B C. 2A + 3B D. 3A – 5B 3. Tentukan A jika diketahui : A. 2A + ( 1 −4 4 5 ) = ( −7 10 12 6 ) B. – 3A + ( 1 −4 4 5 ) = ( −6 −10 12 −6 ) C. 1 3 A – ( −4 6 8 0 −2 12) = ( 5 0 9 3 −7 2 ) D. 1 4 A + ( −1 6 −4 3 −4 8 0 2 −55 ) = ( 2 5 10 0 −3 7 0 0 −5 ) 4. Tentukan nilai x, y, dan z jika diketahui persamaan berikut. A. ( 10 −3 4 8 2 7 ) – ( 0 3 −2 −4 4 5 ) = 1 2 ( −6 12 2 ) B. 1 2 ( −12 −8 10 −4 ) – ( 2 14 3 − ) = 2 ( 3 5 −8 9 ) 5. Jika diberikan persamaan ( −5 8 6 −2 ) + 2A = ( 7 12 0 8 ) , tentukan matriks A.
PELATIHAN 4 : 1. Hitunglah perkalian matriks di bawah ini ! A. ( 3 4 6 1 ) ( −2 4 ) C. ( 2 1 −5 8 0 3 ) ( −2 4 6 5 0 −2 −1 3 0 ) B. ( 1 −2 −3 6 ) ( 4 −3 5 1 2 −1 ) D. ( 1 −3 5 0 2 −1 6 4 −4 ) ( 0 5 4 −1 −6 8 3 1 1 3 2 −3 ) 2. Diketahui matriks A = ( 1 3 2 1 ) , B = ( −2 0 3 4 ) , dan C = ( −3 1 4 2 ) . Hitunglah : A. AB C. BC E. (AB) 2C B. AC D. A(BC) F. (AB)(AC) 3. Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persaman berikut. A. ( 1 3 ) ( −1 2 ) = ( 8 −9 ) C. ( −2 2 1 ) ( 0 1 3 ) = ( 10 −6 5 3 ) B. ( 4 −3 6 ) ( 2 ) = ( 14 −18) D. ( 1 4 ) ( 2 5 −3 6 ) = ( 16 −14 −10 29 ) 4. Diketahui matriks P = ( −2 4 1 5 ) . Tentukan hasil operasi berikut! A. 2 C. 4 E. 2 + 3 B. 3 D. 4 − 3 3 F. 2( 4 − 3 + 2 ) 5. Diketahui matriks A = dan B = . Tentukan hasil operasi berikut ! A. ( + ) 2 C. ( − ) 2 E. 2 2 – AB – 2 B. ( − ) 2 D. 2 + AB + F. 2 – 2AB + 2 PELATIHAN 5 : 1. Tentukan determinan dari matriks – matriks berikut ! a. A = ( 4 −2 2 1 ) c. C = ( − 5 4 −8 ) E. E = ( 4 3 −5 −8 ) b. B = ( −5 2 6 3 ) d. D = ( 2 −3 −4 5 ) F. F = ( −5 2 4 −3 ) 2. Tentukan nilai a pada persamaan berikut ! A. | 4 2 3 | = 0 C. | − 5 6 4 | = 18 E. | 5 | = 6 B. | 3 2 5 | = –25 D. | −3 2 6 | = 6 F. | 2 −5 2 | = 12 3. Tentukan determinan dari matriks – matriks berikut ! A. A = ( 1 2 5 4 0 1 3 4 6 ) C. C = ( 5 2 7 2 4 1 1 3 2 ) E. E = ( −1 2 5 4 −6 −1 −3 2 8 ) B. B = ( 2 3 4 1 1 5 0 6 8 ) D. D = ( −1 2 −6 5 0 4 3 −4 7 ) F. F = ( −1 −2 −3 8 5 2 6 −4 6 ) PELATIHAN 6 : 1. Diketahui matriks A = ( − 3 4 5 2 ) dan B = ( 8 3 6 −2 ). Jika det A = det B, tentukan nilai x ! 2. Diketahui matriks A = ( −4 2 3 1 ) , B = ( 6 5 5 5 ) , dan C = ( 5 4 −3 −3 ) . Hitunglah ! A. det A (det B + det C). C. (det ) 2 – 2 det B . det C B. det B (det A . det C) D. (det ) 3 + 2(det ) 2 – (det ) 2
PELATIHAN 7 : 1. Tentukan determinan dari matriks – matriks berikut ! A. A = ( 1 2 5 4 0 1 3 4 6 ) C. C = ( 5 2 7 2 4 1 1 3 2 ) E. E = ( −1 2 5 4 −6 −1 −3 2 8 ) B. B = ( 2 3 4 1 1 5 0 6 8 ) D. D = ( −1 2 −6 5 0 4 3 −4 7 ) F. F = ( −1 −2 −3 8 5 2 6 −4 6 ) PELATIHAN 8 : 1. Diketahui matriks A = ( 3 4 6 5 3 5 2 2 4 ) . Tentukan : A. det A B. −1 PELATIHAN 9 : 1. Tentukan invers matriks – matriks berikut ! A. A = ( 2 9 1 4 ) B. B = ( −3 3 −5 4 ) C. C = ( 5 9 8 12) PELATIHAN 10 : 1. Tentukan invers matriks – matriks berikut ! A. D = ( 1 −6 1 5 7 0 −3 2 2 ) B. E = ( 4 −1 3 5 0 −2 6 2 1 ) C. F = ( 2 3 4 1 −2 0 5 6 −5 ) PELATIHAN 11 : 1. Diketahui matriks A = ( 3 −4 2 6 ) dan B = ( −3 4 5 −8 ) . Tentukan : A. −1 B. −1 C. −1 −1 D. −1 −1 PELATIHAN 12 : 1. Tentukan transpose dari matriks – matriks berikut ! A. ( −4 3 5 6 ) B. ( −6 2 1 −7 ) C. ( −5 8 12 ) PELATIHAN 13 : Diketahui matriks A = ( 4 5 5 6 ) . Tentukan ( −1 ) ! PELATIHAN 14 : 1. Tentukan transpose matriks – matriks berikut ! A. ( 4 3 1 −2 5 7 ) B. ( −6 10 8 12) C. ( 2 −5 6 −1 8 4 ) E. ( 8 −5 7 12 0 −2 10 −9 −4 )
131 Bab 6 Transformasi Geometri B A B Pantograf adalah alat untuk menggambar ulang suatu gambar dengan cara membesarkan dan mengecilkan gambar tersebut. Dengan menggunakan pantograf, Miko Sagala menggambar peta Pulau Sulawesi. Gambar peta yang dibuatnya memiliki bentuk yang sama dengan peta Pulau Sulawesi sesungguhnya dengan ukuran lebih besar. Dengan menggunakan pantograf ini, Miko Sagala telah mendilatasi peta sesungguhnya. Agar kalian lebih paham tentang dilatasi, pelajarilah bab berikut. Sumber: www.geocities.com Transformasi Geometri A. Translasi B. Refleksi C. Rotasi D. Dilatasi E. Komposisi Transformasi dengan Matriks 4