Ebookจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน[complex number]

ระบบของเลขจำนวนนั้น ประกอบด้วยตัวเลขต่างๆหลายชนิด
แต่ละชนิดของเลขจำนวนมีลักษณะต่างกันไป สามารถแสดงได้ดังรูป

จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนจริง จำนวนจินตภาพ

ตำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ

จำนวนเศษส่วน จำนวนเต็ม

จำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มศูนย์ จำนวนเต็มลบ

จำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยจำนวนจริง และ จำนวนจินตภาพ

นิยามส่วนจินตภาพ i ว่า i = F

Z=a+bi=(a,b)
แทนz เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ
แทนa เป็นจำนวนจริง
แทนbi เป็น จำนวนจินตภาพ

a= Re(z) เป็น ส่วนจริง ของz และb =Im(z) เป็นส่วนจินตภาพของz

จินตภาพแท้ไม่มีส่วนจริงเลย เช่น z=2i จินตภาพไม่แท้ มีส่วนจริง
เช่น z=3+i Re(z)=3 Im (z)=1

ค่าของi ที่ควรรู้วน(loop)

i = Fา

ำ = เรา 1 เรา | = - า

H ราแวะ iา-
= -

-

,

iofi 4 = = การ ตร = 1

= i 4. i = 1 =i

H i 4. = 1 1- 1) = -1
=

µจน → i 1-µ

วอ าง

4 = 74-4

= 18 เศษ2

เศษ 2 = -1

ii. 74 -1

=

ุ๋ร่ยัต้ิร๋ัร

การ+-*ของจำนวนเชิงซ้อน

ZE 4 tbi $22 = C+ i

ถ้าจะหาผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนทั้งสองจะได้ว่า

f ไร2 า+22 = ( ค + C) + + i

ในทำนองเดียวกันถ้าจะหาหาค่าผลต่างของจำนวนเชิงซ้อนทั้งสอง จะได้ว่า

2 เ-22 = ( ห - C) + (b- ควร

ตัวอย่าง zุ = 2- 5 i 22=-3+4 ii

ZH 22 = (21-1-3) i + § +41 i

= - 1- i

Z -22 = (2-63)] + fs - 4) i
า
= s -9

วิ

สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน[conjugate]

การกลับเครื่องหมายส่วนจิตนภาพz=a+bi -z=a-bi

- 2 +3 i Z = 2- 3 i

- 1- 2 i Z = 1+2 i

3- Z= 3

- -2 i Z=+

:#Z [2,11
.

- Z (2การ

บ่

อินเวอร์สจำนวนเชิงซ้อน
จากZ=a+bi จะได้ว่าค่าของอินเวอร์สของz คือ

I= bi( ง - )

µ

ตัวอย่าง กำหนด z=a+bi จงหาค่า ของ Z

1 2 = 3+4 i

" นeyแ -bil

z=

ญื่a= ( 3- 4 ๗

aน= ( 3-4 ;)

[µ= (3-
_

ญ่

การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว[Polar Form]
- มองจากa+biเป็นx+yiจะได้คำตอบตามแต่ละแกนX

-เมื่อกำหนด0- เป็นมุมบวกที่เล็กที่สุดซึ่งวัดความเป็นมุมบวกที่เล็กที่สุดซึ่ง

ทวนเข็ม จากแกนX

ทางบวกไปยังเวคเตอร์Oz และ R|oz| คือระยะจากจุดกำเนิดไปยังZจะได้

ความสัมพันธ์ว่า Z=rcos0- และY=rsin0_

และทำให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนzได้ในรูปแบบใหม่เป็น

z=x+yi=r(cos0smn + isin0TL) =rcis 0
ก รซึ่งr=|z|=
ะ + และtan0- = ¥ เมื่อx=/o

×

โดยเราจะเรียกRว่าโมดูลัส[modulus]ของz และ 0_ว่า อาร์กิวเมนต์

ของz

ตัวอย่าง -

1 + ป ÷→ # = =

=1

= 1 ( Cos เ0 + isi การ

ิ

= 1 Cis 60

ุงุญูวุ้ห­า