barisan dan deret

Leonardo da Pisa (1175-1250)

Leonardo da Pisa dikenal juga
dengan Fibonacci adalah seorang
matematikawan Italia yang dikenal sebagai
penemu bilangan Fibonacci. Barisan
bilangan Fibonacco yang pertama adalah 1,
2, 3, 5, 8,13, 34, 55, 89, 144, 233, 377,610,
987, 1.597, 2.584, 4.181, 6.765, 10.964,….

Barisan yang didapat dengan
menambah dua bilangan berurutan
sebelumnya.

Selain menemukan barisan Fibonacci,
Fibonacci juga mempunyai peran yang
sangat penting dalam memperkenalkan
sistem penulisan dan perhitungan bilangan
Arab ke Eropa.

Barisan dan Deret Aritmatika

1. Barisan Aritmatika

Suatu barisan dengan beda atau selisih antara dua
suku berurutan selalu tetap atau konstan disebut barisan
aritmatika.
 Beda

Perhatikan barisan di bawah ini!
4,6,8,10,…

1 = 4, 2 = 8, … ..
2 − 1 = 6 − 4 = 2
3 − 2 = 8 − 6 = 2 dan seterusnya.
Maka, cara mengurangkan dua buah suku yang

berurutan sehingga dapat bedanya adalah:

= 2 − 1
= 3 − 2 , = 4 − 3 dan seterusnya.
Jadi,beda pada barisan aritmatika dapat dinyatakan

sebagai = − −1
 Suku ke-n

Baris ke-1 = 20
Baris ke-2 = 24
Baris ke-3 = 28
Baris ke-4 = 32
Baris ke-5 = 36

Berapakah jumlah kursi pada bariske-15?
Untuk menentukan banyak kursi pada baris ke-15, sebelumnya kalian
amati
terlebih dahulu banyak kursi di tiap baris.
• Berapa beda atau selisih banyak kursi pada tiap baris?
• Baris ke-1 = 20
• Baris ke-2 = 24 = 20+ ... (20 ditambah ... sebanyak ... kali)
= 20 + (… × …)
• Baris ke-3 = 28 = 20 + ... + ... (20 ditambah ... sebanyak ... kali)

• Baris ke-4 = 32 = 20 + ... +... +... (20 ditambah ... sebanyak ... kali)
= 20 + (… × …)
• Baris ke-5 = 36 = 20 + ... + ... + ... +... (20 ditambah ... sebanyak ...
kali)
= 20 + (… × …)
• Jadi, pada baris ke-15 = 20 ditambah … sebanyak …. kali
= 20 + (… × …) = ...
Baris ke-15 = 20 + (… × …) = ...
Jadi, rumus umum menentukan suku ke-n pada barisan aritmetika
adalah:

Un = a + (n - 1) b

Keterangan:
Un = suku ke-n a = suku pertama n = nomor suku b = beda

Contoh soal:

Rudi menabung di bank dengan selisih kenaikan nominal uang yang
ditabung antarbulan tetap. Jika pada bulan ke-5, nominal uang yang
ditabung Rp70.000,00 dan pada bulan ke-9 Rudi menabung sebesar
Rp90.000,00.
a. Berapa rupiah selisih nominal uang yang ditabung antarbulan?
b. Tentukan berapa rupiah uang yang ditabung Rudi untuk pertama
kalinya?
Penyelesaian:
U5 = 70.000
a + (5 – 1)b = 70.000
a + 4b = 70.000 ... (persamaan 1)
U9 = 90.000

a + (9 –1)b = 90.000
a + 8b = 90.000 ... (persamaan 2)
Eliminasi Persamaan 1 dan 2
a + 8b = 90.000
a + 4b = 70.000 –
4b = 20.000
b = 5.000
b adalah beda atau selisih.
Jadi, selisih nominal uang yang ditabung Rudi antarbulan adalah
Rp5.000,00.
Selanjutnya, menentukan uang yang ditabung Rudi pertama kali, yaitu
menentukan suku pertama yang dilambangkan dengan a dengan
bantuan nilai b
(beda) yang telah diketahui.
Gunakan persamaan 1, lalu substitusi nilai b (beda) yang telah
diperoleh.

a + 4b = 70.000
a + 4(5.000) = 70.000
a + 20.000 = 70.000
a = 70.000 – 20.000
a = 50.000
a adalah suku pertama.
Jadi, uang yang ditabung Rudi untuk pertama kalinya adalah sebesar
Rp50.000,00.

2. Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan dari suku-suku pada
suatu barisan aritmatika.

- Dari barisan aritmatika; 1, 2, 3, 4, … … … …
- Dapat dibentuk menjadi deret arimatika: 1 + 2 + 3 +

4, … … . +
1 =

2 = +

3 = + 2

….

10 = + 9

= + ( − 1)

- Jumlah 4 suku pertama deret aritmatika di atas:
4 = 1 + 2 + 3 + 4
= + ( + ) + ( + 2 ) + ( + 3 )

= 4 + 6

=2(2 + 3 )

4= 4 (2 + (4 − 1) )
2

Jadi rumus umumya:


= [ + ( − ) ]

Diketahui deret aritmatika 2, 4, 6,…

a. Tentukan rumus jumlah n suku pertama!

b. Tentukan jumlah 20 suku pertama!

Penyelesaian:
a. Dari deret aritmatika 2, 4, 6,… diperolah suku pertma

a = 2 dan b = 2 sehingga jumlah suku pertama adalah


= [ + ( − ) ]


= [ . + ( − ) ]


= [ + − ]


= [ + ]
= ( + )
= +
b. S20 = +

= 400 + 20

= 420

Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 420.

Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri
Suatu barisan dengan beda perbandingan antara

dua suku berurutan selalu tetap atau konstan disebut
barisan geometri.

rumus umum barisan geometri:

= . −

Dengan rasio

=

−

Contoh soal:

Suku pertama dari suatu barisan geometri adalah 4 dan
suku ke-4 adalah 108.Tentukan rasio dari barisan
tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui: a atau U1 = 4
U4 = 108
Deitanya: r?
U4 = a. 4−1

108 = 4. 3

108 = 3
4

27 = 3

= 3√27

= 3

Jasi, rasionya dalah 3.

2. Deret Geometri

Deret Geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan
geometri.Deret geomteri merupakan suatu deret bilangan yang
memiliki rasio atau perbandingan yang tetap.

Rumus umum deret geometri:

= ( −1) untuk r ≠1 dan r >1.
−1

= (1− ) untuk r ≠1 dan r <1.
1−

Keterangan: Sn = jumlah deret sebanyak n suku
pertama

a = suku pertama

r = rasio

n = banyaknya suku

contoh soal:

Sebuah bola jatuh dari ketinggian 8m dan memantul
kembali dengan ketinggian 3/5kali tinggi sebelumnya.
Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola
berhenti. Berapakah jarak lintasan seluruhnya?

Penyelesaian:

a = 8, r = 3/5

U2 = a.r = 8(3/5) = 4,8

U3 = a. 2=8.(32) = 2,88

5

karena naik dan turun

Panjang Lintasan
= a + (2U2/(1 – r))
= 8 + (2(24/5)/(1 – 3/5))

= 8 + (48/5)/(2/5)

= 8 + 24

= 32 m

3. Deret Geometri Tak Hingga

Contoh soal:
Tentukan jumlah deret tak hingga dari 81 + 27 + 9 + 3 +
…..

Penyelesaian:
Diketahui deret: 81+27+9+3+…..
Ditanya: ∞ ?

-1 < r < 1, maka jumlah deret tak hingga adalah:

∞ =
1−

= 81

1− 1
3

81
=2

3

3
= 81. 2

243
=2

= 121,5