BAHAN AJAR BARISAN DAN DERET MATEMATIKA VIII / SEMESTER I
POLA BILANGAN A. PENDAHULUAN 1. Deskripsi Tabel 1. Peta Konsep Materi Pola Bilangan Suatu pola diidentikkan dengan suatu keteraturan yang terbentuk, dari keteraturan tersebut akan membentuk suatu pola yang kelak dapat kita prediksi untuk pola selanjutnya. Contoh keteraturan dalam kehidupan sehari – hari salah satunya adalah biji bunga matahari. Biji bunga matahari yang ada di pusat bunga matahari tersusun secara rapi dan teratur karena mengikuti suatu pola atau aturan POLA BILANGAN POLA BARISAN KONFIGURASI OBJEK BARISAN BILANGAN DERET BILANGAN BARISAN BILANGAN GANJIL BARISAN BILANGAN GENAP BARISAN BILANGAN PERSEGI BARISAN BILANGAN PERSEGI PANJANG BARISAN BILANGAN SEGITIGA BARISAN ARITMETIKA BARISAN GEOMETRI DERET ARITMETIKA DERET GEOMETRI
tertentu. Selain biji bunga matahari apakah ada di benak kalian masalah yang lainnya terkait suatu keteraturan? Pernahkan kalian melihat suatu perumahan? Bagaimana penomoran di setiap rumah pada perumahan? Apakah juga membentuk suatu pola tertentu? Gambar 1. Bunga Matahari Sumber: https://www.shutterstock.com/id/search/bunga-matahari Gambar 2. Penomoran Rumah pada Perumahan Sumber: https://brainly.co.id/tugas/41937832
Tahukah kalian banyak sekali dalam kehidupan sehari-hari yang memakai konsep dari suatu pola bilangan. Pernahkan kalian melihat penataan bola billiard pertama kali, atau pernahkan kalian melihat pertunjukan dance saat cheerleaders sedang berdiri bertingkat bersusun ke atas? Menarik bukan materi Pola Bilanagan untuk dipelajari? 2. Capaian Pembelajaran KOMPETENSI DASAR KD. 3.1 Membuat generalisasi dari pola pada barisan bilangan dan barisan konfigurasi objek KD. 4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pola pada barisan bilangan dan barisan konfigurasi objek INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI (PERTEMUAN 1) 3.1.1 Menentukan pola suatu barisan aritmetika dan geometri (C3) (IPK Pendukung) 3.1.2 Menentukan rumus dan nilai suatu barisan aritmetika dan geometri(C3) (IPK Kunci) 3.1.3 Menganalisis suatu pola barisan aritmetika dan geometri dari suatu permasalahan (C4) (IPK Pengayaan) 4.1.1 Memecahkan masalah yang berhubungan dengan barisan aritmetika dan geometri (C4) (IPK Pendukung) 4.1.2 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan aritmetika dan geometri suatu permasalahan kontekstual. (C4) (IPK Kunci) 4.1.3 Menyajikan hasil suatu barisan aritmetika dan geometri dari suatu permasalahan (C5) (IPK Pengayaan)
INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI (PERTEMUAN 2) 4.1.4 Menentukan pola suatu deret aritmetika dan geometri (C3) (IPK Pendukung) 4.1.5 Menentukan deret aritmetika dan geometri (C3) (IPK Kunci) 4.1.6 Menganalisis suatu deret aritmetika dan geometri dari suatu permasalahan (C4) (IPK Pengayaan) 3.1.4 Memecahkan masalah yang berhubungan dengan deret aritmetika dan geometri (C4) (IPK Pendukung) 3.1.5 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan deret aritmetika dan geometri suatu permasalahan kontekstual. (C4) (IPK Kunci) 3.1.6 Menyajikan hasil suatu deret aritmetika dan geometri dari suatu permasalahan (C5) (IPK Pengayaan)
6 Document Name Your Company Name (C) Copyright (Print Date) All Rights Reserved B. URAIAN MATERI 1. Materi 1 Pernahkan kalian melihat penataan awal bola billiard pada permainan bola billiard? Atau pernahkan kalian memainkan permainan billiard? Gambar 3. Penataan Bola Billiard Sumber : https://www.istockphoto.com/id/vektor/susunan-bola-warna-biliar-ilustrasivektor-3d-gm1486887738-512527906 Dalam permainan billiard, permainan ini biasanya dilakukan oleh 2 – 3 pemain. Akan tetapi pada suatu perlombaan berskala nasional maupun internasional permainan billiard ini hanya dilakukan oleh 2 orang pemain saja. Pernahkah kalian mengamati penataan awal bola pada permainan atau pertandingan resmi billiard ? Tersusun rapi bukan? Pada baris 1 terdapat 1 bola, pada baris kedua terdapat 2 bola, pada baris ke 4 terdapat 4 bola. Sangat rapi, teratur, dan berpola. Apakah kalian bisa menentukan berapa bola pada baris ke 5? Selanjutnya mengenai pola barisan bilangan akan dipelajari pada sub materi berikutnya ORIENTASI MASALAH
7 Document Name Your Company Name (C) Copyright (Print Date) All Rights Reserved Alexa sangat gemar mengikuti segala kegiatan yang berhubungan dengan dance baik pada kegiatan di kampus maupun di luar kampus. Pada suatu hari dia bersama teman – temannya diundang untuk menjadi suporter tim basket kampus. Dia bersama teman – temannya sudah merancang untuk menjadi cheerleaders dalam mensupport tim basket dengan cara membuat koreo dance bertumpuk – tumpuk ke atas dengan tersusun teratur dan rapi dengan orang yang ada pada baris paling bawah adalah 10 orang. Barisan atasnya berjumlah 7 orang dan barisan atasnya lagi 4, seterusnya sesuai pola sebelumnya sampai pada puncak tersisa 1 orang saja yaitu leader. Dari masalah di atas, dapatkah kalian menentukan berapa banyak anak yang menjadi cheerleaders pada saat itu? Pada baris keberapa terdapat 1 orang saja? Salah satu keteraturan yang ada di alam semesta adalah kemunculan komet. Komet adalah suatu bintang berekor yang bergerak mengitari matahari. Kenapa berekor ini dikarenakan saat melintasi atmosfer sebagian komet terbakar dan jejak terbakarnya bagian komet tersebut menyerupai ekor. Salah satu komet yang terkenal adalah komet Halley yang muncul setiap 76 tahun sekali. Dari suatu permasalahan berikut, apabila kita dapat mengetahui kemunculan komet Halley terakhir kalinya maka kita dapat memprediksi kemunculan komet Halley selanjutnya. IDENTIFIKASI KONSEP MASALAH 1 Pada masalah cheerleader di atas, kita dapat menentukan total anak yang ikut pada kegiatan tersebut dan pada baris berapa terdapat berapa anak. Ini didasarkan pada setiap baris dengan baris selanjutnya selalu memiliki suatu keteraturan. Keteraturan yang dimaksud adalah memiliki selisih yang sama antar dua baris yang berdekatan. Selanjutnya sebelum lebih jauh, kita akan mempelajari terkait konsep dari suatu barisan. MASALAH 1 PAPARAN KONSEP MATERI MASALAH SUATU BARISAN
8 Document Name Your Company Name (C) Copyright (Print Date) All Rights Reserved Dari permasalahan komet Halley di atas, data menunjukan komet Halley terakhir muncul pada tahun 1986, dan kemunculannya diprediksi muncul setiap 76 tahun sekali. Sehingga dari permasalahan di atas dapat kita tarik kesimpulan suku awal adalah 1986 dan selisihnya adalah 76. Untuk lebih mematangkan terkait konsep suatu barisan aritmetika dan geometri, Maka selanjutnya kita akan mempelajari karakteristik suatu barisan aritmatika beserta unsur – unsurnya. 2. Materi 2 Setelah materi di atas terkait suatu permasalahan komet Halley tersebut dapatkah kalian menentukan apa syarat suatu barisan? Apa yang menjadi unsur – unsur suatu barisan? Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang selisih antara dua suku barisan yang berurutan selalu sama. Jadi dapat disimpulkan suatu barisan aritmetika selalu memiliki selisih yang sama/tetap. Contoh : 1, 5, 9, 13, 17, . . ., Data di atas adalah suatu barisan aritmetika dengan : Suku pertama (a) = 1 Beda / selisih (b) = 4 Jika di jabarkan suku ke-1 disimbolkan dengan 1 = 1, suku ke-2 yaitu 2 = 5, suku ke-3 yaitu 3 = 9, dan seterusnya hingga suku ke-n yaitu . Beda/selisih didapat dari = − −1 Rumus suku ke-n () pada barisan aritmetika adalah : = + ( − 1). Sehingga dengan menggunakan rumus suku ke-n ini kita dapat menentukan nilai suku pada suatu baris tertentu. BARISAN ARITMETIKA
9 Document Name Your Company Name (C) Copyright (Print Date) All Rights Reserved 3. Materi 3 Pernahkan kamu memperhatikan proses perkembangbiakan suatu bakteri? Bakteri berkembang biak dengan cara membelah diri yaitu pembelahan biner, dimana sel inti akan membelah menjadi dua sel anak yang identik, selanjutnya terus berulang dengan sel anak yang identik tersebut akan membelah lagi menjadi dua lagi dan berulang – ulang terus. Jika dijabarkan akan membentuk suatu barisan sebagai berikut : 1, 2, 4, 8, 16, . . . Coba kita perhatikan barisan bilangan di atas, apa memiliki selisih yang sama seperti barisan aritmetika? Ternyata tidak. Lalu apa yang menjadikan suatu barisan di atas spesial? Apa ada sifat atau ciri – ciri khususnya? Untuk lebih memperdalam materi terkait barisan bilangan di atas. Perhatikan materi berikut. Dari data barisan di atas dapat kita analisa tidak memiliki selisih yang sama, akan tetapi memiliki suatu rasio perkalian yang sama antar suku berikutnya. Jika kita perhatikan susunan barisan bilangan tersebut memiliki rasio 2. Suku ke-2 didapatkan dari hasil perkalian suku ke-1 dengan 2, suku ke-3 didapatkan dari hasil perkalian suku ke-2 dengan 2, begitu seterusnya. Barisan bilangan tersebut adalah salah satu contoh dari barisan geometri. Barisan geometri adalah barisan bilangan yang perbandingan atau rasio dua suku berurutan selalu tetap/sama. Contoh : 2, 6, 18, 54, 162, . . ., Data di atas adalah barisan geometri yang memiliki : Suku pertama (a) = 2 Rasio (r) = 3 dimana nilai r didapat dengan rumus = −1 Rumus suku ke-n () pada barisan geometri adalah : PAPARAN KONSEP MATERI BARISAN GEOMETRI
10 Document Name Your Company Name (C) Copyright (Print Date) All Rights Reserved = . −1 Sehingga sama halnya dengan barisan arimetika, dengan menggunakan rumus suku ke-n ini kita dapat menentukan nilai suku pada suatu baris tertentu pada barisan bilangan geometri. Dari permasalahan yang ada pada soal cerita di atas terkait cheerleaders, kita dapat membuat suatu rancangan konsep pengerjaannya seperti di bawah ini : Baris paling bawah, kita anggap suku pertama (1) berjumlah 10 orang, suku ke-2 (2) berjumlah 7 orang, suku ke-3 (3) berjumlah 4 orang, dan suku ke-4 (4) berjumlah 1 orang. Dari data di atas dapat kita simpulkan jumlah seluruh orang yang menjadi anggota cheerleaders tersebut adalah 22 orang didapat dari penjumlahan setiap suku barisan tersebut. Dan terdapat 1 orang saja pada barisan ke-4. Diketahui suatu bakteri mula – mula yang tercatat pada percobaan di laboratorium pada pukul 08.00 adalah 3 bakteri, setelah 15 menit kemudian bakteri tersebut berkembang biak menjadi 6 bakteri, dan saat waktu menunjukkan pukul 08.30 bakteri tersebut sudah menjadi 12 bakteri. Banyak bakteri pada pukul 10.00 yaitu ? MASALAH 2 SOLUSI MASALAH 2 SOLUSI MASALAH 1
11 Document Name Your Company Name (C) Copyright (Print Date) All Rights Reserved Dari data tersebut, apabila diuraikan akan menjadi sebagai berikut : Pada pukul 08.00 banyak bakteri adalah 3 - - - - - - - > 1 Pada pukul 08.15 banyak bakteri adalah 6 - - - - - - - > 2 Pada pukul 08.30 banyak bakteri adalah 12 - - - - - - - > 3 Pada pukul 08.45 banyak bakteri adalah 24 - - - - - - - > 4 Pada pukul 09.00 banyak bakteri adalah 48 - - - - - - - > 5 Pada pukul 09.15 banyak bakteri adalah 96 - - - - - - - > 6 Dan seterusnya Dari data tersebut di dapat nilai a = 3, dan r = 2. Sehingga kita dapat menentukan suku ke-9 yaitu pada pukul 10.00 dengan menggunakan rumus suku ke-n barisan geometri = . −1 9 = 3 . 2 9−1 9 = 3 . 2 8 9 = 768 Ridwan mempunyai beberapa buah kelereng, Ridwan berencana ingin membagikan semua kelerengnya kepada 5 adiknya sesuai barisan aritmetika. Jika adik kedua mendapatkan 8 kelereng, dan adik kelima mendapatkan 17 kelereng, Berapa kelereng yang didapatkan adik keempatnya? Ridwan akan membagikan semua kelerengnya kepada 5 adiknya menggunaakan aturan barisan aritmetika berarti ada 5 suku, yaitu 1 hingga 5. Adik pertama dianggap 1 , adik kedua dianggap 2 dan seterusnya hingga adik kelima dianggap 5. Dari permasalahan di atas didapatkan 2 = 8 dan 5 = 17. Kita jabarkan sesuai aturan rumus suku ke-n barisan aritmetika. MASALAH 3 SOLUSI MASALAH 3
12 Document Name Your Company Name (C) Copyright (Print Date) All Rights Reserved 2 = + ( − 1). = + 1 = 8 5 = + ( − 1). = + 4 = 17 Dari kedua persamaan di atas, kita eliminasi + 1 = 8 + 4 = 17 - − 3 = −9 = 3 dari nilai b = 3 kita substitusikan ke salah satu persamaan + 1 = 8 + 1(3) = 8 + 3 = 8 = 5 Sehingga untuk mencari kelereng yang didapatkan adik ke-4 (4) yaitu menggunakan rumus suku ke-n, didapatkan hasil 4 = + ( − 1). = 5 + 3(3) = 14 Jadi kelereng yang didapat adik keempat adalah sebanyak 14 kelereng. Bu Ratna membeli sebuah kabel dengan pernak pernik lampu yang cukup panjang yang nantinya akan dibagikan keenam anaknya untuk diletakkan pada kamar mereka masing – masing. Pembagian kabel tersebut dibagikan kepada enam anaknya dengan memperhatikan aturan barisan geometri sesuai umur dari anak yang termuda mendapatkan kabel terpendek dan seterusnya anak tertua mendapatkan kabel terpanjang. Jika anak pertama mendaptkan kabel sepanjang 5m, dan anak ketiga mendapatkan 40. Panjang pita yang didapatkan anak sulung adalah? MASALAH 4
13 Document Name Your Company Name (C) Copyright (Print Date) All Rights Reserved Dari permasalah diatas dapat disimpulkan seperti berikut : Anak ke 6 bungsu (termuda) = 1 = = 5 Anak ke 5 = 2 = . 1 Anak ke 4 = 3 = . 2 Anak ke 3 = 4 = . 3 = 40 Anak ke 2 = 5 = . 4 Anak ke 1 sulung (tertua) = 6 = . 5 Dari . 3 = 20 kita substitusikan nilai a = 5 kepada persamaan tersebut, sehingga : . 3 = 40 5. 3 = 40 3 = 40/5 3 = 8 = 2 Setelah mendapatkan nilai a dan r, kita substitusikan ke persamaan 6 = . 5 6 = . 5 6 = 5. 2 5 6 = 160 4. Tugas 1. Tentukan rumus suku ke – n dari barisan aritmetika berikut ini 3, 8, 13, 18, . . . 2. Tentukan rumus suku ke – n dari barisan geometri berikut ini 4, 12, 36, 108, . . . 3. Pada awal bulan Januari Adi menabung di Bank dengan uang yang ditabung sebesar Rp. 10.000.000,00. Pada bulan Februari setelah Adi mengecek saldo tabungan,uangnya menjadi Rp 10.050.000,00. Begitu juga pada bulan Maret saldo tabungannya menjadi 10.100.000,00. Berapa saldo tabungan Adi pada akhir tahun? SOLUSI MASALAH 4
14 Document Name Your Company Name (C) Copyright (Print Date) All Rights Reserved 5. Forum Diskusi Apa perbedaan barisan aritmetika dan geometri menurut kalian? Lalu apa contoh masalah nyata dalam kehidupan sehari – hari yang lain yang merupakan barisan arimetika dan geometri? (Tuliskan pendapat kalian pada Google Sites) C. PENUTUP 1. Rangkuman Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang selisih antara dua suku barisan yang berurutan selalu sama. Jadi dapat disimpulkan suatu barisan aritmetika selalu memiliki selisih yang sama/tetap. Beda/selisih didapat dari = − −1 Rumus suku ke-n () pada barisan aritmetika adalah : = + ( − 1). Barisan geometri adalah barisan bilangan yang perbandingan atau rasio dua suku berurutan selalu tetap/sama. dimana nilai r didapat dengan rumus = −1 Rumus suku ke-n () pada barisan geometri adalah : = . −1 2. Tes Formatif 1. Tentukan suku ke 10 dari data di bawah berikut ini -4, -7, -10, -13, . . . 2. Tentukan suku ke 8 dari data berikut ini 8, 4, 2, 1, . . . 3. Aldi mengambil suatu asuransi pendidikan untuk putranya. Di awal pembayaran dia memberikan saldo Awal 20.000.000,00. Pada bulan pertama. Selanjutnya dia membayar uang bulanan selanjutnya setengah dari uang yang dibayar pada bulan sebelumnya selama 6 bulan. Berapa uang yang harus dibayar Aldi pada bulan terakhir? 3. Remidial
15 Document Name Your Company Name (C) Copyright (Print Date) All Rights Reserved Pelajari materi yang belum dikuasai dan kerjakan kembali soal uji kompetensinya. 4. Pengayaan Pelajari soal yang ada pada bahan ajar lalu kerjakan soal pengayaan yang ada pada bahan ajar. SOAL PENGAYAAN Vika mempunyai uang tabungan yang akan diberikan kepada 4 adiknya. Pemberian uang yang diberikan ke adiknya menggunakan aturan barisan aritmetika, deangan adik pertama mendapatkan uang Rp 20.000, dan adik ketiga mendapatkan uang Rp 10.000,00. Berapa total uang yang dimiliki Vika? Dapatkah kamu menghitungnya langsung tanpa harus menambahkan uang yang didapatkan masing-masing adiknya?
16 Document Name Your Company Name (C) Copyright (Print Date) All Rights Reserved DAFTAR PUSTAKA Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2016. Buku Siswa Mata Pelajaran Matematika. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2016. Buku Guru Mata Pelajaran Matematika. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Miyanto, dkk. 2019. PR Matematika. Daerah Istimewa Yogyakarta : PT Intan Pariwara
17 Document Name Your Company Name (C) Copyright (Print Date) All Rights Reserved