10th Week - Kaidah Pencacahan

Kegiatan Belajar 1

KAIDAH PENCACAHAN

Kompetensi Inti dan Indikator:
I.3. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama,

konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi
dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan
menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
Indikator:
• Kerja sama dalam proses saat pemecahan masalah aturan

perkalian.
• Disiplin dalam mengerjakan tugas kelompok.
• Toleransi terhadap berbagai macam cara jawaban

permasalahan.
I.4. Mendeskripsikan dan menerapkan berbagai aturan pencacahan

melalui beberapa contoh nyata serta menyajikan alur
perumusan aturan pencacahan (aturan perkalian, permutasi,
dan kombinasi) melalui diagram atau cara lainnya.
Indikator:
• Menjelaskan aturan perkalian melalui beberapa contoh

nyata serta menyajikan alur perumusan aturan perkalian.
• Menerapkan aturan perkalian dalam pemecahan masalah

nyata.
Alokasi Waktu:
4 × 40 menit

Oleh:
Rizki Alfath, S.Pd.

Modul Pembelajaran Peluang 1

A Aturan Perkalian

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita mendengar kalimat “semua
kemungkinan yang terjadi dalam suatu percobaan”. Konsep berikut akan
mengantarmu ke konsep peluang yang lebih dalam yaitu kaidah pencacahan.
Diskusikan bersama temanmu mengenai Kasus 1.1 berikut dan tuliskan
caramu menemukan solusinya pada kolom yang tersedia.

KASUS 1.1 KO.3

L.2

Gambar 1.1

Rudi bermain futsal bersama teman-temannya setiap hari Minggu. Ia memiliki
2 kaos olahraga dan 3 celana olahraga seperti pada Gambar 1.1. Rudi akan
memakai sepasang kaos olahraga dan celana olahraga dengan pasangan yang
berbeda. Ia juga ingin mengetahui banyaknya pasangan kaos dan celana yang
dapat ia pakai. Dapatkah kamu membantu Rudi menyelesaikan masalahnya?

2 Kaidah Pencacahan
Jawaban: 6 pasang

 DISKUSI 1.1

1 Diagram Pohon

Kasus 1.1 dapat dinyatakan dalam gambar diagram pohon berikut.

Kaos Celana Pasangan
Olahraga Olahraga Pakaian

Putih (Biru, Putih)
Biru Hitam (Biru, Hitam)
(Biru, Hijau)
Hijau

Merah Putih (Merah, Putih)
Hitam (Merah, Hitam)
Hijau (Merah, Hijau)

Gambar 1.2

Dari diagram pohon di atas, diperoleh 6 pasangan, yaitu:

(Biru, Putih) (Biru, Hitam) (Biru, Hijau)
(Merah, Putih) (Merah, Hitam) (Merah, Hijau)

Pasangan (Biru, Putih), artinya Rudi memakai Kaos Olahraga Biru dan
Celana Olahraga Putih. Pasangan (Biru, Hitam), artinya Rudi memakai Kaos
Olahraga Biru dan Celana Olahraga Hitam, dan seterusnya.

Modul Pembelajaran Peluang 3

2 Tabel Persilangan

Kasus 1.1 dapat ditampilkan dengan membuat daftar (tabel) persilangan
sebagai berikut.

Kaos Olahraga Putih Celana Olahraga Hijau
Hitam

Biru (Biru, Putih) (Biru, Hitam) (Biru, Hijau)

Merah (Merah, Putih) (Merah, Hitam) (Merah, Hijau)

Tabel 1.1

Dari tabel tersebut, diperoleh 6 pasangan kaos olahraga dan celana

olahraga yang dapat Rudi gunakan untuk bermain futsal, yaitu:

(Biru, Putih) (Biru, Hitam) (Biru, Hijau)

(Merah, Putih) (Merah, Hitam) (Merah, Hijau)

3 Pasangan Berurutan

Misalkan A himpunan kaos olahraga Rudi dan B himpunan celana
olahraga Rudi. Pasangan berurutan A dan B dapat dinyatakan sebagai diagram
panah seperti pada Gambar 1.3.

Gambar 1.3

4 Kaidah Pencacahan

Pada diagram panah dapat disusun pasangan kaos olahraga dan celana

olahraga yang dapat Rudi gunakan untuk bermain futsal sebagai berikut.

(Biru, Putih) (Biru, Hitam) (Biru, Hijau)

(Merah, Putih) (Merah, Hitam) (Merah, Hijau)

Jadi, diperoleh 6 pasang kaos olahraga dan celana olahraga yang dapat
Rudi gunakan untuk bermain futsal.

Ketiga aturan di atas pada dasarnya adalah sebagai berikut.

 ANALISA 1.1

L.3

Jika terdapat 2 pilihan, dengan pilihan pertama ada 2 cara dan pilihan
kedua ada 3 cara maka banyak cara pemilihan yang mungkin adalah 2 × 3 cara.
Jika aturan demikian diperluas, diperoleh sebagai berikut.

Pilihan pertama yang ada dianggap sebagai suatu tempat. Misalkan
terdapat n tempat dengan ketentuan:
1) banyak cara untuk mengisi tempat pertama c1;
2) banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama

dipenuhi c2;
3) banyak cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat pertama dan

kedua dipenuhi c3;
dan seterusnya hingga banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat
pertama, kedua, ketiga, ..., ke-(n – 1) dipenuhi adalah cn.

Aturan seperti inilah yang biasa disebut sebagai aturan perkalian. Aturan
ini juga disebut sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia (filling slot).

Modul Pembelajaran Peluang 5

KESIMPULAN 1.1

L.4

Banyak cara untuk mengisi n tempat secara keseluruhan dapat
dirumuskan dengan:

c1 × c2 × c3 × ... × cn

Untuk memahami lebih lanjut, selesaikan Kasus 1.2 berikut.

KASUS 1.2 KO.2

L.2

Angly berkendara menggunakan sepeda motor dari rumahnya di daerah BSD
(Bumi Serpong Damai) untuk mengunjungi rumah Bagus di daerah Bogor.
Terdapat 4 rute berbeda yang dapat ditempuh oleh Angly, yaitu:
1) BSD – Parung – Ciseeng – Bogor.
2) BSD – Pamulang – Depok – Bogor.
3) BSD – Cisauk – Rumpin – Bogor.
4) BSD – Pasirputih – Bojonggede – Bogor
Setelah itu, Angly mengajak Bagus untuk berkunjung ke rumah Hasbi di
daerah Bekasi dengan menggunakan sepeda motor. Terdapat 2 rute berbeda
yang dapat ditempuh oleh mereka dari rumah Bagus, yaitu:
1) Bogor – Tapos – Kranggan – Bekasi.
2) Bogor – Jatirahayu – Jatibening – Bekasi.
Berapa banyak rute berbeda yang dapat ditempuh oleh Angly dari rumahnya
ke rumah Hasbi?

Jawaban: 8 rute

6 Kaidah Pencacahan

Selanjutnya, dengan menggunakan aturan perkalian, kamu juga dapat
menentukan banyak cara rute berbeda yang dapat ditempuh oleh Angly dari
BSD ke Bekasi, yaitu sebagai berikut.

Rute Pertama Rute Kedua Banyak rute berbeda yang
BSD Bogor dapat ditempuh oleh Angly dari

ke Bogor ke Bekasi BSD ke Bekasi

42 4×2=8

Rute Rute

Jadi, banyak rute berbeda yang dapat ditempuh oleh Angly dari BSD ke
Bekasi adalah 8 rute yang diperoleh dari nilai 4 × 2 = 8.

Latihan 1.1

Jawablah pertanyaan berikut dengan benar pada Lembar Kerja 1.1.
1. Bu Dita memiliki 3 baju pesta dan 4 sepatu yang serasi untuk dipakai.

Bu Dita ingin mengetahui banyak pasangan berbeda baju dan sepatu
yang dapat ia pakai. Bantulah Bu Dita untuk menyelesaikan masalahnya.
2. Disediakan angka-angka 6, 7, 8, dan 9. Berapa banyak bilangan ratusan
yang dapat dibentuk jika setiap bilangan tidak memuat angka yang sama?

Modul Pembelajaran Peluang 7

Gambar 1.4 Problem Solving

3. Dicky bermain futsal bersama teman-temannya
setiap hari Sabtu. Ia memiliki 2 kaos olahraga, 3
celana olahraga, dan 4 kaos kaki seperti ilustrasi
pada Gambar 1.4. Ia ingin mengetahui
banyaknya kaos olahraga, celana olahraga, dan
kaos kaki yang dapat ia pakai. Dapatkah kamu
membantu Dicky menyelesaikan masalahnya?

8 Kaidah Pencacahan

B Permutasi

1 Faktorial
Untuk memahami bahasan tentang faktorial, perhatikan kasus berikut.

KASUS 1.3 KO.1

L.3

Perhatikan perkalian bilangan berikut.
3! = 3 × 2 × 1
4! = 4 × 3 × 2 × 1
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
⋮⋮⋮⋮⋮
100! = 100 × 99 × 98 × ... × 3 × 2 × 1
⋮⋮⋮⋮⋮⋮
dan seterusnya.
Notasi “!” disebut faktorial.
Apabila suatu bilangan asli tertentu n akan dicari bentuk akhirnya, maka
carilah bentuk dari n!.

Faktorial dapat didefinisikan sebagai berikut.

KESIMPULAN 1.2

L.4

Jika n bilangan asli maka n faktorial (ditulis n!) didefinisikan dengan
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × (n – 3) × ... × 3 × 2 × 1

Modul Pembelajaran Peluang 9

Perhatikan Contoh 1.1 di bawah ini.

✓ CONTOH 1.1 KO.1 L.3

1. Hitunglah nilai-nilai operasi faktorial berikut.
a. 4! + 3!
b. 4! × 3!
c. 4!
3!
Jawab:
a. 4! + 3! = (4 × 3 × 2 × 1) + (3 × 2 × 1) = 24 + 6 = 30
b. 4! × 3! = (4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1) = 24 × 6 = 144
c. 4! = 4  3 2 1 = 4
3! 3 2 1

2. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam faktorial.

a. 13 × 12

b. (n – 2) (n – 1)n

Jawab:

a. 13 × 12 = 1312 1110 ... 2 1 = 13!
1110 ... 2 1 11!

b. (n – 2) (n – 1)n = n × (n – 1) × (n – 2)

n  (n −1)  (n − 2)  (n − 3) ... 21
= (n − 3) ... 2 1

n!
= (n − 3)!

10 Kaidah Pencacahan

Latihan 1.2

Jawablah pertanyaan berikut dengan benar pada Lembar Kerja 1.2.
1. Tentukan nilai dari:

a. 4! – 3!
b. 5! + 3!
c. 4! × 3! × 2!
d. 5! × 4!
e. 9!

7! 3!
f. 6! 2!

3! 4!
2. Nyatakan bentuk-bentuk perkalian dan pembagian berikut dalam notasi

faktorial.
a. 10 × 11 × 12
b. 15 14

3 21
c. 6  7  8 9 10

2 3 4

Modul Pembelajaran Peluang 11

2 Permutasi dari Unsur-unsur yang Berbeda

Diskusikan bersama temanmu mengenai Kasus 1.4 berikut dan tuliskan
caramu menemukan solusinya pada kolom yang disediakan.

KASUS 1.4 KO.3

L.2

Hadiah Kedua

Hadiah Pertama

Gambar 1.5Jawaban: 6 cara

Angly, Bagus, dan Chika terpilih secara acak dari pengunjung MBC (Mega
Bazaar Computer) di Jakarta Convention Centre untuk mengikuti kuis
berhadiah yang diadakan oleh salah satu stan. Mereka memperebutkan hadiah
pertama satu laptop 14 inch dan hadiah kedua satu tab 8 inch. Ada berapa cara
hadiah dapat diberikan jika pemenang pertama berhak atas hadiah pertama dan
pemenang kedua berhak atas hadiah kedua?

12 Kaidah Pencacahan

 DISKUSI 1.2

Objek percobaan pada Kasus 1.4 adalah 3 peserta lomba dimisalkan
himpunan M = {Angly, Bagus, Chika} dan pengundian untuk menentukan dua
pemenang disebut cara percobaan. Adapun hasil percobaan dapat digambarkan
dalam diagram pohon berikut.

Hadiah Hadiah Penerima
Pertama Kedua Hadiah

Angly Bagus (Angly, Bagus)

Chika (Angly, Chika)

Bagus Angly (Bagus, Angly)
Chika (Bagus, Chika)

Chika Angly (Chika, Angly)
Bagus (Chika, Bagus)

Gambar 1.6

Modul Pembelajaran Peluang 13

Dari diagram pohon di atas, diperoleh 12 susunan penerima hadiah yang

dapat diberikan, yaitu:

(Angly, Bagus) (Bagus, Angly) (Chika, Angly)

(Angly, Chika) (Bagus, Chika) (Chika, Bagus)

Apabila kamu perhatikan, setiap susunan penerima hadiah pertama dan
hadiah kedua berbeda. Jadi, dalam hal ini perhitungan susunan penerima
hadiah memperhatikan urutan.

 ANALISA 1.2

L.3

Selanjutnya, dengan menggunakan aturan perkalian, kamu juga dapat
menentukan banyaknya cara hadiah dapat diberikan jika pemenang pertama
berhak atas hadiah pertama dan pemenang kedua berhak atas hadiah kedua,
yaitu sebagai berikut.

Pemenang Pertama Pemenang Kedua Banyaknya cara hadiah dapat
Berhak Atas Berhak Atas diberikan
Hadiah Kedua
Hadiah Pertama

3 2 3×2=6

Orang Orang

Jadi, banyaknya cara hadiah dapat diberikan jika pemenang pertama
berhak atas hadiah pertama dan pemenang kedua berhak atas hadiah kedua
adalah 6 cara yang diperoleh dari nilai 3 × 2 = 6.

Untuk memahami lebih lanjut, selesaikan Kasus 1.5 berikut.

14 Kaidah Pencacahan

KASUS 1.5 KO.3

L.2

Wakil Ketua Sekretaris

Ketua

Gambar 1.7

Di kelas XII Jurusan Multimedia akan diadakan pemilihan pengurus kelas
yang terdiri atas ketua kelas, wakil ketua kelas, dan sekretaris. Angly, Bagus,
Chika, dan Dea merupakan kandidat kuat yang tersedia sebagai pengurus kelas.
Berapa banyak cara pemilihan yang terjadi?

Jawaban: 12 cara

 DISKUSI 1.2

Selanjutnya, dengan menggunakan aturan pengisian tempat yang
tersedia, kamu juga dapat menentukan banyak cara pemilihan yang terjadi,
yakni sebagai berikut.

Ketua Wakil Ketua Sekretaris Banyaknya Cara
Pemilihan yang Terjadi

4 3 2 4 × 3 × 2 = 24

Kandidat Kandidat Kandidat

Modul Pembelajaran Peluang 15

Banyaknya cara pemilihan yang terjadi adalah 24 cara yang diperoleh

dari nilai 4 × 3, sedangkan

4×3×2= 43 21 = 4! = 4!
1 1! (4 − 3)!

yang merupakan banyaknya permutasi 3 unsur dari 4 unsur yang berbeda.

Susunan unsur-unsur yang memerhatikan urutan seperti ini dinamakan

permutasi.

KESIMPULAN 1.3

L.4

Permutasi k unsur atau objek dari n unsur yang tersedia, dengan
memperhatikan urutan susunannya dapat ditentukan dengan rumus

P(n, k) = n!
(n − k)!

Notasi selain P(n, k) yang sering dipakai adalah nPk, nPk , atau Pkn .

Latihan 1.3

Jawablah pertanyaan berikut dengan benar pada Lembar Kerja 1.3.
1. OSIS SMK As-Saida akan mengadakan acara Pentas Seni Tingkat SMA

se-Kota Tangerang, sehingga diperlukan kepanitiaan inti yang terdiri
dari ketua panitia, wakil ketua panitia, sekretaris, dan bendahara. Fitria,
Ghina, Hasby, dan Irfan merupakan kandidat kuat yang tersedia. Berapa
banyak cara pemilihan yang terjadi?

16 Kaidah Pencacahan

Problem Solving 2. Lomba debat Bahasa Inggris diikuti oleh 5
peserta, terdiri dari 3 peserta dari kelas A dan 2
peserta dari kelas B. Ketentuannya adalah 3
peserta terbaik akan diikutkan untuk mewakili
sekolah. Tentukan banyaknya cara 3 peserta
terbaik dapat terbentuk?

Modul Pembelajaran Peluang 17

3 Permutasi dari Unsur-unsur yang Sama

Diskusikan bersama temanmu mengenai Kasus 1.6 berikut dan tuliskan
caramu menemukan solusinya pada kolom yang disediakan.

KASUS 1.6 KO.2

L.2

Tentukan banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat dari kata “BUKU”.

Jawaban: 12 susunan

 DISKUSI 1.3

Pada kata "BUKU" terdapat dua huruf yang sama, yaitu huruf U.
Susunan huruf-huruf pada kata "BUKU" yang diawali huruf B dapat
digambarkan pada diagram pohon berikut.

Gambar 2.3

Hasil dari seluruh diagram pohon diagram pohon lainnya dari kata
“BUKU” untuk huruf-huruf yang diawali U, K, dan U adalah sebagai berikut.

18 Kaidah Pencacahan

BUKU UKBU KUBU UBUK

BUUK UKUB KUUB UBKU

BKUU UUBK KBUU UUBK

BKUU UUKB KBUU UUKB

BUKU UBUK KUUB UKBU

BUUK UBKU KUBU UKUB

Amatilah 24 susunan huruf tersebut. Tampak ada beberapa susunan

huruf yang sama sehingga permutasinya menjadi:

BUKU UKBU KUBU UBUK

BUUK UKUB KUUB UBKU

BKUU UUBK KBUU UUBK

 ANALISA 1.3 K 1.2

L.3

Banyak susunan huruf pada kata “BUKU” yang terdiri dari 1 huruf B,
2 huruf U, dan 1 huruf K adalah

12 atau 12 = 4 × 3 = 4  3 2 1 = 4!
1 2 11 1! 2!1!

Untuk memahami lebih lanjut, selesaikan Kasus 1.7 berikut.

KASUS 1.7 KO.3

L.2

Diskusikan dengan temanmu untuk menentukan banyaknya susunan huruf
yang dapat dibuat dari kata “MAMA”.

Jawaban: 6 susunan

Modul Pembelajaran Peluang 19

Didapatkan 6 susunan yang berbeda, yaitu MAMA, MAAM, MMAA,
AMMA, AMAM, dan AAMM, karena kata “MAMA” mempunyai dua pasang

huruf yang sama.

Banyak permutasi untuk 4 unsur dengan dua pasang unsur sama, yaitu

M dan dua unsur lainnya, yaitu A adalah 6 susunan yang didapatkan dari

6 = 3! = 3 × 2 × 1 = 43 21 = 4  3 2 1 = 4!
4 2! 2!
(2 1)(2 1)

KESIMPULAN 1.4

L.4

Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai k1 unsur jenis pertama, k2

unsur jenis kedua, k3 unsur jenis ketiga, dan kr unsur jenis ke-r yang sama

adalah

P(n, k1 , k2, k3,..., kr ) = n!
k1!k2!k3!...,kr !

Latihan 1.4

Jawablah pertanyaan berikut dengan benar pada Lembar Kerja 1.4.
1. Berapa banyak kata dapat disusun dari kata:

a. AGUSTUS
b. GAJAH MADA
c. JAYAPURA
d. MATEMATIKA

20 Kaidah Pencacahan

2. Berapa banyak bilangan 7 angka yang dapat disusun dari angka-angka:
a. 4, 4, 4, 5, 5, 5, dan 7
b. 2, 2, 4, 4, 6, 6 dan 8

3. Pada upacara pembukaan turnamen olahraga Problem Solving
disusun beberapa bendera klub yang ikut
bertanding. Terdapat 3 bendera berwarna putih,
2 bendera berwarna biru, dan 1 bendera
berwarna merah. Tentukan banyaknya susunan
bendera yang ditampilkan pada acara upacara
pembukaan tersebut.

Modul Pembelajaran Peluang 21

4 Permutasi Siklis

Diskusikan bersama temanmu mengenai Kasus 1.8 berikut dan tuliskan
cara kamu menemukan solusinya pada kolom yang disediakan.

KASUS 1.8 KO.2

L.2

Gambar 1.5 Berapa banyaknya cara yang terjadi jika dalam suatu
acara pesta makan Angly, Bagus, dan Rudi
berkunjung ke suatu restoran:
a. duduk berjajar satu baris?
b. duduk mengelilingi meja makan bundar seperti

ilustrasi pada Gambar 1.5?

Jawaban: 2 susunan

 DISKUSI 1.3

Dalam bentuk bagan, Gambar 1.4 pada Kasus 1.8 susunan melingkar
yang mungkin dapat diilustrasikan seperti berikut.

Keterangan: A = Angly; B = Bagus; dan C = Chika
Gambar 2.5

22 Kaidah Pencacahan

 ANALISA 1.4

L.3

Perhatikan susunan melingkar pada gambar (a), (b), dan (c). Susunan itu

(sebenarnya) sama (tidak berubah). Sekarang, bandingkan dengan susunan

pada gambar (d). Jadi, banyak susunan tempat duduk dari 3 orang pada

susunan melingkar sebenarnya hanya ada 2, yaitu susunan gambar (a) dan (d).

Untuk menentukan bentuk susunan n objek yang disusun melingkar,

anggap sebuah titik sebagai titik tetap. Kemudian, sisanya dianggap sebagai
penyusunan (n – 1) unsur dari (n – 1) unsur yang berbeda.

Dengan demikian, dapat dikatakan sebagai berikut.

Jika terdapat 3 objek (unsur) disusun melingkar, banyak susunan yang

mungkin adalah

2! = (3 – 1)!.

Jika terdapat 4 unsur disusun melingkar, banyak susunan yang mungkin

adalah

3! = (4 – 1)!.

Demikian seterusnya.

Untuk memahami lebih lanjut, selesaikan Kasus 1.9 berikut.

KASUS 1.9 KO.3

L.2

Angly, Bagus, Chika, dan Dea duduk melingkar untuk mendiskusikan
persiapan Pentas Seni di sekolah. Berapakah banyak susunan posisi duduk
mereka yang mungkin?

Jawaban: 6 susunan

Modul Pembelajaran Peluang 23

Terdapat 4 unsur disusun melingkar, banyak susunan yang mungkin

adalah

3! = (4 – 1)!.

Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut.

KESIMPULAN 1.5

L.4

Misalkan terdapat n unsur yang berbeda disusun melingkar. Banyak susunan
dapat ditentukan dengan permutasi siklis dengan aturan

Psikilis = (n −1)!.

Latihan 1.5

Jawablah pertanyaan berikut dengan benar pada Lembar Kerja 1.5.
1. 5 orang direktur duduk membentuk lingkaran ketika rapat berlangsung.

Ada berapa cara untuk menyusun kursi para direktur tersebut?
2. Empat manik-manik dengan warna berbeda akan dibuat sebuah gelang.

Tentukan banyaknya cara manik-manik tersebut dapat disusun.
3. Sebuah keluarga yang terdiri dari seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang

anaknya makan bersama dan mengelilingi sebuah meja makan. Berapa
banyaknya cara yang berlainan saat mereka dapat duduk, jika:
a. mereka berpindah-pindah tempat.
b. ayah dan ibu selalu berdekatan.

24 Kaidah Pencacahan

C Kombinasi

Diskusikan bersama temanmu mengenai Kasus 1.10 berikut dan tuliskan
caramu menemukan solusinya pada kolom yang disediakan.

KASUS 1.10 KO.2

L.2

Gambar 1.4

Siswa yang naik kelas akan memasuki jurusan masing-masing dari kelas X ke
kelas XI, oleh karena itu diadakan perpisahan kelas dengan cara berjabat
tangan. Ada 3 siswa saling berjabat tangan misalkan Angly, Bagus, dan Chika.
Tentukan banyaknya cara berjabat tangan yang terjadi.

Jawaban: 6 cara

 DISKUSI 1.5

Didapatkan 6 susunan jabat tangan yang berbeda, dapat ditulis seperti
berikut.

(Angly, Bagus) (Bagus, Angly) (Chika, Angly)
(Angly, Chika) (Bagus, Chika) (Chika, Bagus)

Modul Pembelajaran Peluang 25

 ANALISA 1.5

L.3

Antara (Angly, Bagus) dan (Bagus, Angly) menyatakan kejadian yang
sama, berarti keduanya merupakan kombinasi yang sama. Di lain pihak
(Angly, Bagus) dan (Bagus, Angly) menunjukkan susunan yang berbeda yang
berarti merupakan permutasi yang berbeda.

Permutasi atau urutan jabat tangan yang terjadi ada 6 kejadian karena
urutan diperhatikan, sedangkan kombinasi yang terjadi ada 3 kejadian karena
urutan tidak diperhatikan.

Untuk memahami lebih lanjut, selesaikan Kasus 1.11 berikut.

KASUS 1.11 KO.3

L.2

Dari 5 orang yang mendaftar sebagai karyawan di suatu perusahaan asuransi,
hanya akan diterima 3 orang.
a. Tentukan banyak cara untuk memilih ketiga orang tersebut dari 5 orang

yang mendaftar.
b. Dua orang akan mengisi bagian pemasaran dari tiga orang yang diterima.

Tentukan banyak cara untuk memilih dua orang tersebut dari 3 orang
yang diterima sebagai karyawan.

Jawaban: 10 cara

Misalkan orang pertama adalah A, orang kedua adalah B, orang ketiga
adalah C, orang keempat adalah D, dan orang kelima adalah E. Permutasi atau
urutan karyawan yang diterima ada 60 cara karena urutan diperhatikan,
sedangkan kombinasi yang terjadi didapatkan 10 cara untuk memilih tiga

26 Kaidah Pencacahan

orang yang diterima dari 5 orang karena urutan tidak diperhatikan, dapat ditulis

seperti berikut.

ABC ABE ADE BCE CBE

ABD ACD BCD BDE CDE

KESIMPULAN 1.6

L.4

Karena banyak permutasi k unsur adalah k! dan kombinasi tidak
memerhatikan urutan maka permutasi dapat diartikan sebagai k! dari
kombinasi. Dengan demikian, diperoleh

P(n,k) = k!C(n,k)  C(n,k) = P(n,k) = n!
k! (n − k)!k!

Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia dirumuskan dengan

n!
C(n, k) = (n − k)!k!
Notasi kombinasi ada beberapa macam, antara lain C(n, k), Ckn , nCk, atau

nCk . Pada modul ini, ditetapkan notasi yang dipakai adalah C(n, k).

Modul Pembelajaran Peluang 27

Latihan 1.6

Jawablah pertanyaan berikut dengan benar pada Lembar Kerja 1.6.
1. Tentukan nilai kombinasi-kombinasi berikut.

a. C (6, 2)

b. C (5, 5)
2. Sebanyak 12 orang yang akan mengikuti pertemuan di sebuah hotel,

hanya 8 orang yang diperbolehkan untuk mengikuti pertemuan itu.
Berapa banyak cara memilih kedelapan orang tersebut?

3. Tersedia 10 siswa yang memenuhi syarat menjadi tim olimpiade
matematika suatu SMA. Dari sejumlah calon itu, 6 siswa pandai

komputer, dan 4 siswa pandai bahasa Inggris. Tentukan banyaknya
susunan yang mungkin dapat dibentuk.

4. Dari 10 orang akan dibagi menjadi 3 kelompok.

Berapa banyak cara untuk mengelompokkan
kalau kelompok pertama terdiri atas 4 orang,

kelompok kedua terdiri atas 3 orang, dan Problem Solving
kelompok ketiga terdiri atas 3 orang?

28 Kaidah Pencacahan