INVERS MATRIKS ORDO 2X2

Dewi Fitriyaningsih, S.Pd.

A. PENDAHULUAN
1. Kompetensi Dasar
2. Indikator Pencapaian Kompetensi
3. Deskripsi
4. Petunjuk Penggunaan Modul

B. PEMBELAJARAN
1. Tujuan Materi
2. Uraian Materi

C. DAFTAR PUSTAKA
D. PENUTUP

Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang menuntut penyelesaiannya terkait dengan konsep
dan aturan-aturan dalam matematika. Secara khusus banyak keterkaitan konsep dan prinsip-prinsip matriks
dengan permasalahan masalah nyata yang menyatu/bersumber dari fakta dan lingkungan budaya kita.
Konsep matriks dapatdibangun/ditemukan di dalam penyelesaian nya permasalahan yang kita hadapi. Untuk
itu siswa diharapkan mampu menyelesaiakan permasalahan-permasalahan yang dihadapi dalam kehidupan
sehari-hari yang diberikan.Permasalahan-permasalahan tersebut dibuat dalam bentuk matriks untuk dicari
penyelesaiannya dengan menggunakan invers matriks.

Kompetensi Dasar

3.4 Menganalisis invers matriks berordo 2×2 dan 3×3.

4.4. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan invers matriks berordo 2×2dan 3×3.

Indikator Pencapaian
Kompetensi

3.4.1. Menelaah sifat-sifat invers matriks berordo 2×2.
4.4.1. Menentukan solusi dari masalah yang berkaitan dengan invers matriks berordo 2×2.

Deskripsi

Modul ini merupakan modul pembelajaran mata pelajaran matematika untuk SMA kelas XI
semester 3. Modul pembelajaran ini dapat mempermudah dalam proses pembelajaran. Modul
ini berisi materi pembelajaran yaitu invers matriks 2x2

Petunjuk Penggunaan Modul

Sebelum Pembelajaran
1. Sebelum masuk pada materi, disajikan pendahuluan sebagai pengantar menuju

materi utama.
2. Disajikan kompetensi dasar dan alokasi waktu sebagai pedoman bagi pengguna

modul untuk mencapai tujuan pembelajaran.

Selama Pembelajaran
1. Mempelajari dan memahami materi pada modul.
2. Mempelajari dan mencatat.

Pertemuan 2:
Setelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan siswa dapat menentukan invers matriks ordo 2x2, dan
membuat kesimpulan mengenai cara menyelesaikan operasi matriks dengan menggunakan sifat-sifatnya, serta
pemanfaatan nilai invers matriks dalam pemecahan masalah nyata

INVERS MATRIKS ORDO 2x2

Invers Matriks

Perhatikan masalah bentuk matriks berordo 2x2 di atas. Selain dengan menggunakan metode determinan,
kita bisa menentukan nilai x dan y permasalahan di atas dengan metode Invers Matriks.Apakah Invers
Matriks itu? Invers matriks A adalah sebuah matriks baru yang merupakan kebalikan dari matriks A dan
apabila dikalikan antara matriks A dengan kebalikannya akan menghasilkan matriks Identitas. Invers
matriks A dinotasikan dengan −

MATRIKS

D. Invers Perkalian Matriks ordo (2 x 2)

Matriks identitas perkalian (dilambangkan dengan I) adalah sebuah matriks persegi
yang memenuhi sifat: Jika A adalah matriks persegi yang berordo sama dengan I,
maka berlaku

AxI=IxA=A

Untuk matriks identitas ordo (2 x 2) dapat dinyatakan sebagai I= 1 0
0 1

Bukti :

Misalkan A= a b maka A x I = a b x 1 0 = a  0 0  b = a b = A
c d c d 0 1 c  0 0  d c d

Jika A sebuah matriks persegi maka terdapat invers perkalian dari matriks A yang
dilambangkan dengan A 1 dan memenuhi sifat:

A x A1 = A1 x A = I

Untuk matriks ordo (2 x 2), invers dari matriks A = a b dapat ditentukan sebagai
c d

berikut :

Misalkan A1 = p q maka A x A1 = I
 r s 

a b x p q = 1 0
c d   0 1
 r s 

ap  br aq  bs = 1 0
cp  dr cq  ds 0 1

Sehingga : ap + br = 1 ........................................................................................... (1)

cp + dr = 0 ........................................................................................... (2)

aq + bs = 0 ............................................................................................ (3)

cq + ds = 1 ............................................................................................ (4)

Dari (1)(2) ap + br = 1 (d) adp + bdr = d

cp + dr = 0 (b) bcp + bdr = 0

adp – bcp = d

(ad – bc) p = d jadi p = d
ad  bc

Matriks 1

Dari (1)(2) ap + br = 1 (c) acp + bcr = c

cp + dr = 0 (a) acp + adr = 0

bcr – adr = c
adr – bcr = –c

(ad – bc) r = –c jadi r =  c
adq + bds = 0 ad  bc

Dari (3)(4) aq + bs = 0 (d)

cq + ds = 1 (b) bcq + bds = b

adq – bcq = –b

(ad – bc) q = –b jadi q =  b
ad  bc
acq + bcs = 0
Dari (3)(4) aq + bs = 0 (c) acq + ads = a
cq + ds = 1 (a)

bcs – ads = –a

ads – bcs = a

(ad – bc) s = a jadi s = a
ad  bc

d b   b
  a 
Jadi : A1 p q =  ad  bc ad  bc  = 1 d
= r s   c a  ad  bc  c

ad  bc ad  bc 

maka invers dari A dirumuskan A1 = 1 d  b
ad  bc  c a 

dimana ad – bc dinamakan determinan.

Jika matriks A mempunyai determinan 0 maka A dikatakan matriks singular, yaitu

matriks yang tidak mempunyai invers.

Terdapat beberapa sifat yang berkenaan dengan invers matriks, yaitu :

Sifat 1
Jika A adalah matriks berordo (2 x 2) dan k adalah bilangan real, maka

(k.A) 1  1 A 1
k

Bukti

Misalkan A = a b , maka k.A = k a b ka kb
c d c d = kc kd

Sehingga (k.A) 1 = 1  kd  kb
(ka)(kd)  (kb)(kc)  kc 
ka 

= k d  b
k 2 (ad  bc)  c 
a 

= 1. 1 d  b
k (ad  bc)  c a 

= 1 A1

k

Matriks 2

Sifat 2

Jika A adalah transpose matriks A maka berlaku (At ) 1  (A 1)t

Bukti

Jika A= a b , maka At a c sehingga (At ) 1 = 1 d  c
c d = b d ad  bc  b a  ….....(1)

A1 = 1 d  b sehingga (A 1)t = 1 d  c .......................(2)
ad  bc  c a  ad  bc  b a 

Dari (1) dan (2) terbukti bahwa (At ) 1  (A 1)t

Sifat 3

Jika A adalah matriks berordo (2 x 2) maka berlaku (A 1 ) 1 = A
Bukti

Misalkan : (A 1 ) 1 = B .......................................................................................... (1)

Maka A  1 (A  1 )  1 = A  1 . B (kedua ruas dikalikan dengan A  1 dari kiri)

I = A1. B

A x I = A x A1. B (Kedua ruas dikalikan dengan A)

A=IxB

A = B .......................................................................................... (2)

Dari (1) dan (2) terbukti bahwa (A 1 ) 1 = A

Sifat 4

Jika A dan B adalah matriks berordo (2 x 2) maka berlaku : (A x B) 1  B 1 x A 1

Bukti

Misalkan (A x B) 1 = C ………………………………………………………………(1)

maka

((A x B)1) 1 = C 1 (kedua ruas di inverskan)

A x B = C1

A  1 x A x B = A  1 x C 1 (Kedua ruas dikalikan dengan A  1 dari kiri)

I x B = A1 x C1

B = A1 x C1

B x C = A 1 x C 1 x C (Kedua ruas dikalikan dengan C dari kanan)

B x C = A1 x I

B x C = A1

B1 x B x C = B1 x A1 (Kedua ruas dikalikan dengan B 1 dari kiri)

I x C = B1 x A1
C = B 1 x A 1 ……………………………………………..………….. (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh : (A x B) 1  B 1 x A 1

Matriks 3

Sifat 5
Jika A, B dan C adalah matriks-matriks berordo (2 x 2) maka :
(1) Tidak berlaku sifat komutatif perkalian, sehingga A x B ≠ B x A
(2) Berlaku sifat asosiatif perkalian, sehingga : (A x B) x C = A x (B x C)
(3) Berlaku sifat distributif, sehingga A(B + C) = AB + AC

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini

01. Tentukanlah invers setiap matriks berikut ini :

2 5 (b) B= 2 4
(a) A = 1 3 3 5

Jawab

2 5 maka A1 = 1 3  5
(a) A = 1 3 (2)(3)  (5)(1) 1 
2 

A1 = 1 5  4
6 1  3 2 

A1 = 5  4
 3 
2 

Untuk membuktikannya harus ditunjukkan bahwa A x B = I

Tinjau : A x B = 2 5 x 3 - 5
1 3 - 1 2 

= 6  5 10  10
3  3 
56 

= 1 0
0 1

= I Jadi terbukti bahwa A dan B saling invers

(b) A= 2 4 maka A1 = 1 5  4
3 5 (2)(5)  (4)(3)  3 
2 

A1 = 1 5  4
 2  3 2 

A1 =  5/ 2 2
  1
 3/ 2

Matriks 4

02. Tentukan invers setiap matriks berikut ini :

(a) A= 1 3/ 2 (b) B= 32  64
3/ 4 5/ 4 16  48

Jawab

(a) A = 1 3/2 = 4/4 6/4 = 1 4 6
3/4 5/4 3/4 5/4 4 3 5

maka A1 = 4. 1 5  6
(4)(5)  (6)(3)  3 4 

A1 = 4 5  6
20 18  3 
4 

A1 = 2. 5  6 =  10  12
 3   6 
4  8 

(b) B = 32 - 64 = 2  4
16 - 48 16.1  3

maka B 1 = 1 . 1  3 4
16 (2)(3)  (4)(1)   1 2

B 1 = 1 . 1  3 4
16 64  2
  1

B 1 = 1 . 1  3 4
16 2   1 2

B 1 =  1 .  3 4
32  1 2
 

B 1 3 / 32 1/8 
= 1/ 32  1/16

03. Jika A= 5  3 dan B= 3 2 , maka tentukanalah matriks hasil dari
6  4 4 3

(A x B) 1 x A

Jawab

(A x B) 1 x A = B 1 x A  1 x A

= B1 x I

= B1

= 1 3  2
(3)(3)  (2)(4)  4 3 

Matriks 5

= 1 3  2
98  4 3 

 3  2
=  4 
3 

04. x  4 6  x
Jika matriks A =  x  2 merupakan matriks singular maka tentukanlah
 3

nilai x

Jawab

Jika A matriks singular maka det (A) = 0
Sehingga : det(A) = (x – 4)(x – 2) – (6 – x)3 = 0

x2 – 2x – 4x + 8 – 18 + 3x = 0
x2 – 3x – 10 = 0
(x – 5)(x + 2) = 0
Jadi x = –2 dan x = 5

5  2  1 x  y
05. Jika matriks A = 6  2 adalah invers dari matriks B = 2x  1  maka
5/2 

tentukanlah nilai x dan y

Jawab

A1 = B

1  2 2 =  1 x  y
(5)(2)  (2)(6)  6 5 2x  1 
5 / 2 

1  2 2 =  1 x  y
10  12  6 5 2x  1 5 / 2 

1  2 2 =  1 x  y
2  6 5 2x  1 
5 / 2 

1 1   1 x  y
 3 5 / 2 = 2x  1 5 / 2 

Maka : 2x + 1 = –3 x+y=1

2x = –4 –2 + y = 1

x = –2 y=3

Matriks 6

SOAL LATIHAN 04

D. Invers Perkalian Matriks ordo (2 x 2)

01. Diketahui matriks A = 4 2 , maka A-1 = …
3 2

A. 2 - 1 B. 1 - 1 C.  -1 -1
- 3/2 1  - 3/2 2  - 3/2 - 2

D.  -2 -1 E.  -1 1
- 3/2 - 2 3/2 - 2

02. Diketahui matriks A = 1 - 3/4 , maka matriks A-1 = …
3/4 - 1/2

A. 4 - 8 B. 8 - 16 C. - 4 6
- 3/2 6  - 3 12  - 6 8

D. -8 12 E. -16 24
- 12 16 - 24 32

03. Diketahui A= - 4 - 9 maka matriks hasil dari ( 1 A)-1 + 2 A-1 = ….
 2 3 
4

A. 5 - 4 B. 6 -9 C. 3 9
12 3  9 - 15 - 2 - 4

D. 5 - 4 E. - 3 9
8 2  - 6 15

04. Diketahui P = 1 2 dan Q = 2 1 , maka hasil dari (P. Q)-1 = …
2 3 1 1

A. - 5 3 B. 6 2 C. 4 - 3
 7 - 4 - 3 2 1 5 

D. 2 2 E. 3 2
- 4 5 - 1 4

05. Diketahui A= 5 2 dan B= 2 5 . Matriks hasil dari (A x B)-1 x A = ….
6 4 1 2

A. 10 - 3 B. 18 16 C. - 2 5
 5 6   3 4   1 - 2

D. 5 6 E. - 10 8
8 - 4  6 - 5

Matriks 7

06. Diketahui matriks A = x 1 x- 1 . Jika berlaku det (A) = 4x – 30 maka nilai x = …
 2x x 

A. 3 dan 5 B. –3 dan 5 C. 5 dan –6

D. 5 dan 6 E. 4 dan 6

07. Jika matriks A = x  2 x -1 merupakan matriks singular maka nilai x = …
 8 x 

A. 6 dan 2 B. –6 dan 2 C. 4 dan 3
D. –4 dan 3
E. 4 dan 2

08. Jika A = x 5 dan B = 2 3x - 2 . serta det(A) = det (B) maka nilai x = ….
1 x - 2 x 5 

A. –3/2 dan 1/2 B. 1/2 dan 5/2 C. –3/2 dan 5/2

D. 2 dan 5/2 E. 3 dan 1/2

09. Jika P = 2 -1  dan P-1 = 5 - 2 maka nilai y = …
x x  y 9 - 4

A. –7 B. –4 C. 2

D. 6 E. 8

10. Manakah dari pernyataan berikut bernilai salah B. (At)-1 = (A-1)t
A. (2A)-1 + (3A)-1 ≠ (5A)-1 D. (A x B)-1 = B-1 x A-1
C. (A2)-1 = (A-1)2
E. (A + B)-1 = B-1 + A-1

11. Manakah dari pernyataan berikut bernilai benar B. det (2A) = 2.det (A)
A. det (A-1) = det (A) D. det (A2 ) = 2.det (A)
C. det (At ) = det (A)
E. det (A-1) = det (At )

12. Diketahui matriks A= 2 - 1 . Jika k  R dan k.det (A ) = det (2A). Maka k = …
3 1 

A. 2 B. 3 C. 4

D. 5 E. 8

13. Diketahui At = 1 2 dan B= 2 1 maka hasil dari B-1 x (A-1 x B)-1 x A-1 adalah
2 3 1 1

A. 3 - 2 B. 2 - 3 C. 2 - 1
2 1  - 3 5  1 2 

D. 2 1 E. 2 0
3 - 2 3 - 1

Matriks 8

14. Diketahui A = 1 2 dan B = 3 1 maka matriks hasil dari (A x B)-1 x B-1 adalah…
2 3 1 0

A. - 2 5 B. - 1 - 1 C. 1 - 1
 8 - 2  5 9  4 3 

D. 1 - 3 E. - 1 5
2 1   5 - 24

15. Jika matriks A = 3 / 2  1/ 2 adalah invers dari matriks B = 2 y x  2 maka nilai
 2 1  x  - 3 

dari x – y =

A. –12 B. –10 C. 5
E. 15
D. 8

16. Jika determinan matriks 2x 5 sama dengan determinan transpose matriks
 9 x  3

5 13 maka nilai x = ….
4 3x

A. –7/2 B. –1 C. 1
E. 3/2
D. 3

17. Jika matriks A dan B saling invers dan I adalah matriks identitas perkalian maka

bentuk sederhana dari ( I + B) (I – A) (B – A) adalah

A. B2 – A2 B. (B – A)2 C. A2 + B2

D. (A + B)2 E. A + B

18. Invers dari matriks A = 24 24 adalah …
48 36

A. - 1/8 1/12  B. 1/6 - 1/8 C.  1/6 1/12
 1/6 - 1/12  2 1/6  - 1/12 1/8 

D. - 1/8 1/6 E. - 1/8 1/6 
1/12 1/8  1/6 - 1/12

3 k  5 3m 1n  dan A = B, maka 2.det(A) = ….
19. Jika A = t  3 t  2 dan B = 5m 3n  2

A. 28 B. 34 C. 14
D. 12
E. 10

Matriks 9

20. Diketahui matriks A= 3 / 2  1/ 2 dan matriks B = 2 x  2 . Jika A = B–1, maka
 2  1  x  y  3 

nilai x – y = ...

A. -12 B. -10 C. 5

D. 8 E. 15

2  1 , Q = x  y 2 dan R = 7 2 . Jika Q – P = RT
21. Diketahui matriks P = 1  3 y 3 1
4 


dimana RT adalah transpose matriks R, dan (Q  P)1 adalah invers dari (Q – P),

maka determinan (Q  P)1 =

A. –13 B. –1 C. 1

D. 13 E. 42

Matriks 10

MATRIKS

G. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dengan Matriks

(1) Sistem Persamaan Linier dua Variabel
Salah satu diantara penggunaan invers matriks adalah untuk menyelesaikan
sistim persamaan linier. Tentu saja teknik penyelesaiannya dengan aturan
persamaan matriks, yaitu :

Jika a1x + b1y = c1 maka aa12 b1  x = cc12 
a2x + b2y = c2 b2   y 
  

x = ad 1 bc ba22  b1  cc12 
y  a1  
 

Selain dengan persamaan matriks, teknik menyelesaikan sistem persamaan linier
juga dapat dilakukan dengan determinan matriks. Aturan dengan cara ini adalah :

Jika matriks A = a b maka det(A) = a b = ad – bc. sehingga
c d c d

Jika a1x + b1y = c1 maka D = a1 b1 = a1b2  b1a 2
a2x + b2y = c2 a2 b2

cb
Dx = 1 1 = c1b2  b1c2

c b
22

ac
Dy = 1 1 = a1c2  c1a 2

a c
22

Maka x = Dx dan y = D y
D D

Untuk lebih jelanya, ikutolah contoh soal berikut ini:

01. Tentukan penyelesaian sistem persamaan 2x – 3y = 8 dan x + 2y = –3

dengan metoda:

(a) Invers matriks (b) Determinan

Jawab  3  x 8
2   y  3
2x – 3y = 8 maka 2 
x + 2y = –3 1

Matriks 1

(a) Dengan metoda invers matriks diperoleh

2  3  x = 8
1 2   y  3

x = 1 2 3  8 
 y 4  (3)  1 2  3

x = 12 3  8 
 y 7  1 2  3

x = 1 16  9 
 y 7  8  6

x = 1 7 
 y 7  14

x  1 
 y =  2


Jadi x = 1 dan y = –2

(b) Dengan metoda determinan matriks diperoleh

2  3 = (2)(2) – (–3)(1) = 4 + 3 = 7
D=
12

Dx 8  3 = (8)(2) – (–3)( –3) = 16 – 9 = 7
=
2
3

2 8 = (2)( –3) – (8)(1) = –6 – 8 = –14
Dy =
1 3

Maka x = Dx = 7 = 1
D7

y = D y =  14 = 2
D7

02. Tentukan penyelesaian sistem persamaan y = 1 x + 5 dan x + 6 = 2 y
23

dengan metoda:

(a) Invers matriks (b) Determinan

Jawab

y = 1 x + 5 (2) 2y = x + 10 –x + 2y = 10
2

x + 6 = 2 y (3) 3x + 18 = 2y 3x – 2y = –18
3

–x + 2y = 10
3x – 2y = –18

Matriks 2

Maka

1 2 = (–1)(–2) – (2)(3) = 2 – 6 = –4
D=
3 2

Dx 10 2 = (10)(–2) – (2)( –18) = –20 – (–36) = 16
=
2
18

Dy 1 10 = (–1)(–18) – (10)(3) = 18 – 30 = –12
=
18
3

Maka x = Dx = 16 = –4
D 4

y = Dy = 12 = 3
D 4

03. Tentukan penyelesaian sistem persamaan 2y – 3x = –4 dan 2x + y = 5
dengan metoda:
(a) Invers matriks
(b) Determinan

Jawab 3x – 2y = 4maka 3  2 x  4
2y – 3x = –4 2x + y = 5 2 1   y 5
x + 2y = –3

(a) Dengan metoda invers matriks diperoleh

3  2 x = 4
2 1   y 5

x = 1 1 2 4
 y 3  (4)  2 3 5

x = 1 1 2 4
 y 7  2 3 5

x = 1  4  10 
 y 7  8  15

x = 1 14
 y 7  7 

x = 2
 y 1

Jadi x = 2 dan y = 1

Matriks 3

CONTOH SOAL

Harga 3 baju dan 2 kaos adalah Rp280.000,00. Sedangkan harga 1 baju dan 3 kaos yang sama adalah

Rp210.000,00. Tentukan harga 6 baju dan 5 kaos.

Jawab :

Persoalan di atas diterjemahkan dalam bentuk model matematika dengan memisalkan harga tiap baju x dan

harga tiap kaos y, sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.

3x + 2y = 280.000

x + 3y = 210.000

sistem persamaan tersebut jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi perkalian matriks tersebut

berbentuk A-X=C dengan

3 2 = 280.000
1 3 210.000

A= 3 2 , X = dan C = 280.000
1 3 210.000

A-1 = 1 AdjoinA

= 9 1 3 −2
−2 −1 3

= 1 3 −2
7 −1 3

= 1 3 −2 280.000
7 −1 3 210.000

= 1 420.000
7 350.000

= 60.000
50.000

Jadi harga 6 baju dan 5 kaos adalah 6x + 5 y = 6 (60.000) + 5 (50.000) = 360.000 + 250.000 = 610.000

LATIHAN SOAL

Selesaikan dengan menggunakan metode invers matriks

1. Nuha membeli 5 buku tulis dan 3 bolpoin di toko Murah dengan membayar Rp27.500,00. Anin
membeli 4 buku tulis dan 2 bolpoin yang sama di toko Murah dengan membayar Rp21.000,00. Jika
harga sebuah buku tulis x rupiah dan harga sebatang bolpoin y rupiah. Tentukan harga masing-masing
buku tulis dan bolpoin tersebut

2. Asep membeli 2kg mangga dan 1kg apel dan ia harus membayar Rp15.000,00 , sedangkan Intan
membeli 1kg mangga dan 2kg apel dengan harga Rp18.000,00. Berapakah harga 1kg mangga dan 1kg
apel?

3. Ibu membeli tiga ember dan dua panci dengan harga Rp 45.000,-. Di toko yang sama Ani membeli satu
ember dan dua panci dengan harga Rp 31.000,-. Berapa harga satu ember dan satu panci?

DAFTAR PUSTAKA

IrfanYusdi. 2020. Modul Pembelajaran SMA Matematika umum kelas XI. Jakarta: Kementrian Pendidikan
dan Kebudayaan.
https://sinaum4th.blogspot.com/p/modul.html

http://mafia.mafiaol.com/2014/04/penerapan-sistem-persamaan-linier-dalam-soal-cerita.html

PENUTUP

Melalui pembelajaran berbasis modul, diharapkan peserta didik dapat belajar secara mandiri,
mengukur kemampuan diri sendiri, dan menilai dirinya sendiri. Terutama dalam memahami
invers matriks berordo 2x2 . Semoga modul ini dapat digunakan sebagai referensidalam proses
pembelajaran dan memberi manfaat bagi peserta didik.