EKSPONENSIAL MEDIA PEMBELAJARAN MATEMATIKA SMA/MA FASE E KURIKULUM MERDEKA By : Ratna Yestina
EKSPONEN Elemen Capaian Pembelajaran Bilangan Capaian Pembelajaran Di akhirfase E, peserta didik dapat menggeneralisasi sifat-sifat bilangan berpangkat (termasuk bilangan pangkat pecahan), Mereka dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan eksponensial (berbasis sama) dan fungsi eksponensial. Tujuan Pembelajaran Menyatakan perkalian bilangan bulat berulang sebagai bilangan berpangkat Menggeneralisasi sifat-sifat operasi bilangan berpangkat (termasuk bilangan pangkat pecahan) Menerapkan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat (termasuk bilangan pangkat pecahan) untuk menyederhanakan bentuk matematis Menjelaskan persamaan eksponensial (berbasis sama) dan fungsi eksponensial Menjelaskan sifat-sifat persamaan eksponensial (berbasis sama) dan fungsi eksponensial Menggunakan sifat-sifat persamaan eksponensial (berbasis sama) dalam menyelesaikan masalah
Eksponensial Peta Konsep Eksponensial Sifat-Sifat Eksponensial Pangkat bulat positif Pangkat bulat nol Pangkat bulat negatif Pangat pecahan Sifat-sifat eksponensial Grafik Fungsi Eksponensial Bentuk umum fungsi eksponensial Grafik Fungsi Eksponensial Menggambar Grafik Fungsi Eksponensial Persamaan Eksponensial Bentuk persamaan eksponen basis sama Penyelesian persamaan eksponen basis sama Aplikasi Eksponensial dalam Kehidupan
Tahukah kamu ? Pandemi Covid-19 melanda dengan cepat di banyak negara, termasuk Indonesia. Kasus positif covid-19 terus naik hingga hari ini. Kalau kita cermati grafik tersebut, maka akan berbentuk fungsi eksponensial. https://infeksiemerging.kemkes.go.id/dashboard/covid-19
Sifat-sifat Eksponensial 01
Konsep Eksponen Perhatikan gambar dan permasalahan berikut ! Seseorang memotong kertas menjadi dua sama besar. Kemudian kedua potongan tersebut dipotong Kembali menjadi dua sama besar. Selanjutnya potongan-potongan tersebut juga dipotong sama besar. Demikian seterusnya. a. Berapa kah banyak potongan kertas setelah potongan ke-5 ? b. Bagaimana cara kalian menghitung potongan kertas setelah potongan ke-n ?
Penyelesaian : Pemotongan kertas dapat dituliskan dalam tabel berikut Potongan ke- Banyak potongan kertas Bentuk eksponen 1 = 2 = 2 2 = 2 × 2 = 4 = 22 3 = 2 × 2 × 2 = 8 = 23 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 = 24 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 = 25 a. Hasil pemotongan kertas pada potongan ke-5 dari tabel diatas diperoleh 32 buah b. Banyak potongan kertas pada pemotongan ke-n dapat dituliskan dalam 2n
Pengertian Eksponen Bentuk eksponen sering dipakai untuk mewakili bilangan yang terlalu kecil atau besar. Eksponen atau bentuk pangkat dapat didefinisikan sebagai perkalian berulang berikut. a = basis n = eksponen/pangkat
01 Pangkat bulat positif 02 Pangkat bulat nol Pangkat bulat negatif 03 Sifat-sifat Eksponen Pangkat Pecahan 04
SIFAT – SIFAT EKSPONEN 01 Pangkat bulat positif Jika a adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif, maka menyatakan hasil kali bilangan a sebanyak n faktor. Contoh : 1) 53 = 5 × 5 × 5 = 125 2) (-2)5 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = -32 3) (-3)4 = (-3) × (-3) × (-3) = -27 Manakah yang memiliki nilai yang lebih besar, 2 3 a 3 2? Jelaskan pendapatmu
SIFAT – SIFAT EKSPONEN 02 Pangkat Nol Jika a adalah bilangan real dan a ≠ 0, maka 0 = 1. Contoh : 1) 50 = 1 2) (-2) 0 = 1 3) (-3) 0 = 1 4) 1 5 0 = 1 Tahukah Kalian? Nilai 00 = …
SIFAT – SIFAT EKSPONEN 03 Pangkat Bulat Negatif Jika a adalah bilangan real , a ≠ 0 dan n bilangan bulat positif, maka − = 1 Contoh : 1) 5-1 = 1 5 1 = 1 5 2) 2-3 = 1 2 3 = 1 8 3) (3) -3 = 1 3 3 = 1 27 4) 1 5 −2 = 1 ( 1 5 ) 2 = 1 1 25 = 25 Apakah 1 5 2 bernilai sama dengan 5 −2? Jelaskan pendapatmu
SIFAT – SIFAT EKSPONEN 04 Pangkat Pecahan Untuk setiap bilangan real a berpangkat bilangan rasional , a dan n bilangan bulat dan n ≠ 0 dapat ditulis: Contoh : 1) 5 1 2 = 2 5 = 5 2) 3 2 3 = 3 3 2 = 3 9
SIFAT EKSPONEN 1. Sebarang bilangan a berpangkat 0 (nol) bernilai 1 atau a 0= 1. 2. a m × a n = a m+n , dengan a ≠ 0, m, n bilangan real. 3. a m : a n = a m−n , dengan a ≠ 0, m, n bilangan real. 4. (a m) n = a mn, dengan a ≠ 0, m, n bilangan real. 5. (ab) m = a m × b m, dengan a, b ≠ 0, dan m bilangan real. 6. a b m = am bm , dengan b ≠ 0, dan m bilangan real. 7. a −m = 1 am , dengan a ≠ 0 dan m bilangan real.
CONTOH 1 Sederhanakan bentuk eksponen berikut. Jawaban
CONTOH 2 Jawaban A. 3 B. 7 C. 19 E. 23 D. 21 SOAL SNMPTN Jika a dan b adalah bilangan bulat positif yang memenuhi ab = 220 – 219 , nilai a + b adalah ….. ab = 220 – 219 ab = 219 (21 – 1) ab = 219 . 1 ab = 219 Sehingga, a = 2 dan b = 19 Jadi, a + b = 2 + 19 = 21
CONTOH 3 Jawaban n faktor 25 ( 0,25 ) n = 125 250,25n = 125 5 ( 2 ) 0,25 n 53 = SOAL SNMPTN 250,25 × 250,25 × 250,25… × 250,25 = 125 50,5n = 53 0,5n = 3 n = 6 Jadi (n – 3) (n + 2) = (6 – 3) (6 + 2) = 3. 8 = 24 n faktor maka (n – 3) (n + 2) = ….. A. 3 B. 7 C. 19 D. 21 E. 24 250,25 × 250,25 … . × 250,25= 125
LATIHAN SOAL 1. Sederhanakan bentuk eksponen berikut. 2. Suatu hari seorang guru memberikan pertanyaan, bagaimana cara menghitung nilai dari 2 3 −3 ? Andi menghitung dengan cara , Jono menghitung dengan cara Siapakah yang memiliki jawaban yang benar? Jelaskan kenapa kamu memilih jawabannya?
SIFAT EKSPONENSIAL PANGKAT BILANGAN PECAHAN Bentuk akar dapat dituliskan sebagai berikut. Pengubahan bentuk akar + 2 sebagai berikut. 1. Penjumlahan dalam akar + + 2 × = + 2. Pengurangan dalam akar + − 2 × = − Sifat-sifat operasi bentuk akar sebagai berikut. 1. 2 = 2. × = × , ≥ 0 ≥ 0 3. = , ≥ 0 ≥ 0 4. a + c = a + c 5. a − c = a − c
CONTOH 1 Jawaban Sederhanakan bentuk eksponen berikut. 1. 50 + 32 - 3 8 - 18 2. 12 + 2 35 1. 50 + 32 - 3 8 - 18 = 2 × 25 + 2 × 16 − 3 2 × 4 − 2 × 9 = 5 2 + 4 2 − 3 × 2 2 − 3 2 = (5 + 4 − 6 − 3) 2 = 0 2. 12 + 2 35 = (5 + 7) + 2 5 × 7 = 5 + 7
Latihan Soal 1. Sederhanakan bentuk eksponen berikut. 2. Sederhanakan bentuk akar berikut.
MERASIONALKAN PECAHAN BENTUK AKAR Untuk merasionalkan pecahan bentuk akar dapat dilakukan dengan mengalikannya dengan bentuk akar sekawannya. 1. 2. 3.
CONTOH 2 Jawaban Sederhanakan bentuk eksponen berikut. 1. . 2. 1. 2. 2 3 = 2 3 × 3 3 = 2 3 3 3 2 − 5 = 3 2 − 5 × 2 − 5 2 − 5 = 3×(2− 5) 4−5 = 3×(2− 5) 1 = 3(2 − 5) 2 3 3 2 − 5
Latihan Soal Rasionalkan pecahan bentuk akar berikut.
Grafik Fungsi Eksponensial 02
Fungsi Eksponen Pengertian dan bentuk umum fungsi eksponen berikut. Fungsi eksponen adalah fungsi yang pangkatnya memuat variabel. Bentuk umum fungsi eksponensial dinyatakan dengan: f(x) = n × a bilangan pokok, a > 0, a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a > 1), n adalah bilangan real tak nol dan x adalah sebarang bilangan real. Domain fungsi eksponen D = {x|–∞ < x < ∞, x ∈ R).
Menggambar Grafik Fungsi Eksponen Langkah-langkah menggambar grafik fungsi eksponen sebagai berikut. a. Buatlah tabel titik bantu berupa nilai-nilai x dan y dengan memilih beberapa nilai x sehingga nilai y dapat ditentukan. b. Gambarlah titik-titik tersebut pada bidang koordinat. c. Hubungkan titik-titik yang dilalui dengan kurva mulus. Bagaimana langkah-langkah menggambar grafik fungsi? Ayo, simak penjelasan berikut!
CONTOH Jawaban Tabel titik bantu fungsi y = f(x) = 2 x + 1 : Gambarlah grafik fungsi f(x) = 2 x + 1. x –2 –1 0 1 2 3 y 5 4 3 2 2 3 5 9 (x, y) (–2, 5 4 ) (–1, 3 2 ) (0, 2) (1, 3) (2, 5) (3, 9) Grafik fungsi f(x) = 2 x + 1 diperoleh dengan menghubungkan titik-titik tersebut dengan kurva mulus di samping
Latihan Soal Gambarlah grafik fungsi berikut. 1. f(x) = 3 +1 2. g(x) = 1 3
Sifat Grafik Fungsi Eksponen Grafik fungsi eksponensial secara umum berikut. Dari grafik tersebut diperoleh beberapa kesimpulan berikut. a. Grafik f(x) = a x dan g(x) = 1 a x simetris terhadap sumbu Y. b. Grafik f(x) dan g(x) memotong sumbu Y di titik (0, 1). c. Sumbu X merupakan asimtot yaitu garis yang didekati grafi fungsi, tetapi tidak sampai berpotongan dengan fungsi tersebut. d. Grafik fungsi f(x) = a x merupakan fungsi monoton naik karena untuk setiap 1 < 2 maka f(1) < f(2). e. Grafik fungsi g(x) = 1 a x merupakan fungsi monoton turun karena untuk setiap 1 < 2 maka f(1) > f(2).
Contoh Soal Perhatikan grafik fungsi f(x) = 2 x + 1 berikut. Tentukan sifat-sifat grafik fungsi tersebut. Sifat-sifat grafik fungsi f(x) = 2 x + 1 berikut. a. Grafik fungsi f(x) tidak memotong sumbu X. b. Grafik f(x) memotong sumbu Y di titik (0, 2). c. Asimtot grafik fungsi adalah garis y = 1. d. Grafik fungsi f(x) monoton naik.
Latihan Soal Berdasarkan grafik fungsi = f(x) = 3 +1 dan g(x) = 1 3 dan g(x), jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. a. Apakah grafik fungsi f(x) dan g(x) memotong sumbu X? Jika ya, tentukan titik potong grafik f(x) dan g(x) terhadap sumbu X. b. Apakah grafik fungsi f(x) dan g(x) memotong sumbu Y? Jika ya, tentukan titik potong grafik f(x) dan g(x) terhadap sumbu Y. c. Apakah grafik fungsi f(x) dan g(x) memiliki asimtot? Jika ya, sebutkan asimtotnya. d. Apakah grafik fungsi f(x) dan g(x) tersebut termasuk fungsi monoton naik atau monoton turun?
Persamaan Eksponen 03
PERSAMAAN EKSPONEN
Persamaan eksponen adalah persamaan bentuk eksponen yang memuat variabel. Variabel tersebut dapat terletak pada eksponen atau bilangan pokoknya. 1. Jika a f(x) = a m , dengan a > 0 dan a ≠ 0 maka f(x) = m 2. Jika a f(x) = a g(x) , dengan a > 0 dan a ≠ 0 maka f(x) = g(x)
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut. 1. 2. 1. 2. Jawaban
Latihan Soal 1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan-persamaan berikut. 2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan-persamaan berikut.
APLIKASI EKSPONEN DALAM KEHIDUPAN 04
1. Pertumbuhan Eksponen 2. Peluruhan Eksponen
Grafik pertumbuhan eksponen seperti gambar di atas Pertumbuhan eksponen merupakan kenaikan atau pertambahan nilai suatu besaran secara eksponen dari waktu ke waktu. 1. Pertumbuhan Eksponen Pertumbuhan eksponen dinyatakan dengan rumus sebagai berikut. Keterangan: Mn = Nilai besaran setelah n waktu Mo = Nilai besaran awal a = tingkat pertumbuhan n = waktu pertumbuhan = (1 + a)
Jawaban Pada 2019, jumlah penduduk di suatu kota sebanyak 600.000 jiwa. Jika tingkat pertumbuhan mencapai 10% per tahun, berapa jumlah penduduk pada 2024? Nilai awal (Mo) = 600.000 Tingkat pertumbuhan (a) = 10% = 0,1 Dari 2019 sampai 2024 ada 5 tahun sehingga n = 5. Jumlah penduduk pada 2024: Mn = Mo (1 + a)n = 600.000 × (1 + 0,1) 5 = 600.000 × (1,1) 5 = 600.000 × 1,61051 = 966.306 Jadi, jumlah penduduk pada 2024 adalah 966.306 jiwa.
Grafik peluruhan eksponen seperti gambar di atas Peluruhan atau penyusutan eksponen merupakan penurunan atau penyusutan nilai suatu besaran secara eksponen dari waktu ke waktu. 1. Peluruhan Eksponen Peluruhan eksponen dinyatakan dengan rumus sebagai berikut. Keterangan: Mn = Nilai besaran setelah n waktu Mo = Nilai besaran awal a = tingkat pertumbuhan n = waktu pertumbuhan = (1 - a)
Jawaban Pada 2018, Sifa membeli sebuah handphone merek X seharga Rp3.000.000,00. Harga handphone mengalami penyusutan sebesar 20% tiap tahunnya. Jika pada 2022 Sifa ingin menjual handphonenya, berapa perkiraan harga handphone? Nilai awal (Mo) = 3.000.000 Tingkat penyusutan (a) = 20% = 0,2 Dari 2018 sampai 2022 ada 4 tahun sehingga n = 4. Harga jual handphone setelah 4 tahun: Mn = Mo (1 – a)n = 3.000.000 × (1 – 0,2) 4 = 3.000.000 × (0,8) 4 = 3.000.000 × 0,4096 = 1.228.800 Jadi, perkiraan harga jual handphone pada 2022 adalah Rp1.228.800,00.
Latihan Soal 1. Pak Arman menyimpan uang sebesar Rp4.000.000,00 di bank dengan suku bunga majemuk 5% per tahun. Tentukan besar uang yang diperoleh Pak Arman setelah 3 tahun. 2. Sejumlah uang ditabungkan selama 4 tahun dengan suku bunga majemuk 10% per tahun. Jika uang tersebut menjadi Rp6.588.450,00, berapa besar uang semula? 3. Bagas membeli sebuah mobil seharga Rp200.000.000,000. Jika harga mobil menyusut 10% tiap tahunnya, berapa perkiraan harga mobil setelah 5 tahun? 4. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp150.000.000,00. Tiap tahun harganya menyusut 5%. Berapa selisih antara harga pembelian dan harga jual mobil tersebut setelah 9 tahun pemakaian? 5. Ibu Ana berniat menabung pada di suatu bank yang memberikan bunga majemuk 15% setiap tahun. Pada setiap akhir tahun bunga yang diperoleh pada tahun tersebut ditambahkan dengan uang yang tersimpan sehingga jumlah seluruhnya menjadi modal awal tahun berikutnya. Apabila jumlah tabungan awal Ibu Ana pada tahun 2022 adalah Rp 10.000.000, tentukan jumlah uang yang dia terima pada akhir tahun 2024!
CREDITS: This presentation template was created by Slidesgo, including icons by Flaticon and infographics & images by Freepik THANKS!