เมทริกซ์

ค 30203 2 เร่อื ง เมทรกิ ซ์

เมทริกซ์และดเี ทอร์มนิ นั ต์
(Matrix and Determinant)

ใบความรู้ที่ 1 ความหมายและสัญลกั ษณ์ของเมทริกซ์

ความหมายและสัญลกั ษณ์ของเมทริกซ์

บทนิยาม เมทริกซ์ (Martix) คือ กลุ่มของจานวนที่เรียงเป็นรูปส่ีเหลี่ยมมุมฉาก
โดยท่ีแต่ละแถวมีจานวนเทา่ ๆ กนั และอยภู่ ายในเคร่ืองหมาย [ ] หรือ ( ) กไ็ ด้

a11 a12  a1n  แถวที่ 1
A=   แถวท่ี 2
a 21 a 22  a 2n 
 แถวที่ m
   
a m1 
a n2  a mn  mn

หลกั ที่ 1 หลกั ท่ี 2 หลกั ที่ n

แต่ละจานวนในเครื่องหมาย [ ] วา่ สมาชิกของเมทริกซ์
ตวั เลขท่ีเรียงกนั ในแนวนอน เรียกวา่ แถว (Row)
ตวั เลขที่เรียงกนั ในแนวต้งั เรียกวา่ หลัก (Column)
เรียกเมทริกซ์ท่ีมี m แถว n หลกั วา่ เมทริกซ์มีมิติ m  n หรือ m  n เมทริกซ์
aij คือ สมาชิกของเมทริกซ์ A ซ่ึงอยใู่ นแถวที่ i หลกั ที่ j

ตวั อย่างที่ 1 จากเมทริกซ์ท่ีกาหนดให้ จงหา มิติของเมทริกซ์และบอกสมาชิกแตล่ ะตวั

1  3 5  2 4
2 4  6 2) B =  3 
1) A = 9 

 0  7

วธิ ีทา มิติของเมทริกซ์ A เท่ากบั 2  3 …………………………………………….
มีสมาชิก คือ a11  1 , a12   3, a13  5 , …………………………………………….
a21  2 , a22  4 , a23   6 …………………………………………….
…………………………………………….

ค 30203 3 เรื่อง เมทริกซ์

 9 , 6 C=  1 2
ตัวอย่างที่ 2 กาหนด A = 4 B = 7 และ  3 4 จงหา
5
8

1) 2a11  b11  3c22 = ……………………………………………………………….

2) a11  c11 2a13  b21 = ……………………………………………………………….

การเท่ากนั ของเมทริกซ์

บทนิยาม ถา้ A = [ aij ] mn และ B = [ bij ] mn
A = B กต็ ่อเมื่อ aij = bij หมายความวา่ A = B ก็ต่อเม่ือ A และ B มีมิติเทา่ กนั
และสมาชิกของ A และ B ในตาแหน่งเดียวกนั มีคา่ เท่ากนั

ตวั อย่างท่ี 3 จงพิจารณาวา่ เมทริกซ์ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ีเท่ากนั หรือไม่

1)  2 0 =  2 0
 1 3  1 3

2) 3 5 …..….. 1  2 5 1
4 6 3  1 2  3

3)  5 0 3 …..…. 5 0 3
 1 7 6 1 7
 6 4 2 9

 4 2 9

ตวั อย่างท่ี 4 ถา้ เมทริกซ์ท่ีกาหนดใหเ้ ป็ นเมทริกซ์ท่ีเทา่ กนั จงหาค่า x และ y

1) x 1 =  4 1
 3 0  3 y

 x = –4 , y = 0

2) x 1 3 = 6 y  2
  2 5  2 5 

…………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………….

ค 30203 4 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์

x2 1 2 1 3 2 1
  x 1 5
3)  0 1 5  = 0
6 8
2x 1 6 8  5

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

4) x3 1 4 x = 0 4 1
 0 6 5 x 1 6
 5

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

ค 30203 5 เรื่อง เมทริกซ์

ใบกจิ กรรมท่ี 1 ความหมายและสัญลกั ษณ์ของเมทริกซ์

จงตอบคาถามต่อไปนี้

1. ถา้ A = 5 4 3 0 และ B =  6 4
1 6 2 9  8
 2

 9 7

1) มิติของ A = …….……….. มิติของ B = …………………

2) จานวนสมาชิกของ A เท่ากบั ................. จานวนสมาชิกของ B เทา่ กบั .................

3) a11 = …….…. a14 = …………. a22 = ……..….. a23 = ……..…...
b21 = …….…. b22 = ……...…. b12 = ….….…. b32 = …….…..

2. จงพจิ ารณาวา่ เมทริกซ์ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ีเท่ากนั หรือไม่ เพราะเหตุใด

1) 0 0 0 0 0 ....................................................................................
0 0 ....................................................................................
กบั 0 0 0

0 0 0

2) 0 3 กบั 3
0 4 4

3. ถา้ เมทริกซ์ที่กาหนดใหเ้ ป็ นเมทริกซ์ท่ีเทา่ กนั จงหาค่า x และ y

1) y  3 1 = 9 1 ....................................................................................
x  5 6 4 6 ....................................................................................

2) x 3 = y 3 ....................................................................................
2 y  2 2 2x ....................................................................................
....................................................................................

3)  xy  = 1 ....................................................................................
y  2x 8 ....................................................................................
....................................................................................

ค 30203 6 เรื่อง เมทรกิ ซ์

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 1

3 4 1 2 1.2 จงเขียนสมาชิกในแถวที่สอง

1. ให้ A = 5 6 7 4

6 2 7 5

1.1 จงบอกมิติของเมทริกซ์ A

1.3 จงเขียนสมาชิกในหลกั ที่สาม 1.4 จงหาคา่ ของ a13 , a 23 และ a34

1 0 0 จงหาสิ่งต่างๆ ตอ่ ไปน้ีของเมทริกซ์
1 0 2.2 สมาชิกในแถวที่สอง
2. ให้ B = 0 0 1

0

2.1 มิติ

2.3 สมาชิกในหลกั ท่ีสอง 2.4 b12

2.5 สาหรับ bij  0 , i และ j มีความสัมพนั ธ์กนั อยา่ งไร

2.6 สาหรับ bij  0 , i และ j มีความสัมพนั ธ์กนั อยา่ งไร

3. จงบอกจานวนสมาชิกของเมทริกซ์ท่ีมีมิติตามท่ีกาหนดใหใ้ นแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี

3.1 2  2 เมทริกซ์ 3.2 3  5 เมทริกซ์

3.3 m  n เมทริกซ์ 3.4 n  n เมทริกซ์

4. จงหาค่าของตวั แปรที่ทาใหส้ มการเมทริกซ์ท่ีกาหนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ เป็นจริง

4.1 x  y 3 1 = 0 3 y

4.2 x 1 y2 3 = 4 3 3
 1 4 x y 4 3 

4.3  3 1 y 3 1 x 
  = 4 y 1
 x 1 0 2  0

 2x  4 1 6  4 1 

4.4  xy 3 = 2 3
2x  2y 2 1 2

5. ถา้ x2 – x + 1 = 0 แลว้ เมทริกซ์ต่อไปน้ีเทา่ กนั หรือไม่

x 2 x x2 , x 1 0
0   x 2 1
x   0

ค 30203 7 เรื่อง เมทรกิ ซ์

เมทริกซ์บางชนิดทค่ี วรรู้

1. เมทริกซ์จัตุรัส (Square matrix)

เมทริกซ์ A = [aij]mn จะเป็ นเมทริกซ์จตั ุรัส ก็ต่อเม่ือ m = n
แสดงวา่ เมทริกซ์จตั ุรัส คือ เมทริกซ์ที่มีจานวนแถวเท่ากบั จานวนหลกั

ถา้ A = [aij]mn เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัสแลว้ เส้นทแยงมุมท่ีลากจากมุมบนซา้ ยมือมายงั มุมล่าขวามือ
จะผา่ นสมาชิก a11 , a22 , a33 , … , amn เส้นทแยงมุมน้ี เรียกวา่ เส้นทแยงมุมหลกั (main diagonal)

 0 2 1 7 
 3  2
ตัวอย่าง เมทริกซ์จตั ุรัส  4 5

 3 1 5 1 
 5 2 
9 8 

เส้นทแยงมุมหลกั

2. เมทริกซ์ศูนย์ (Zero matrix)

ถา้ A = [aij] mn เราจะเรียก A วา่ เป็ นเมทริกซ์ศนู ย์ ก็ต่อเม่ือ aij = 0
เม่ือ i = 1, 2, 3, … , m และ j = 1, 2, 3, … , n
กล่าวอยา่ งง่ายๆ วา่ เมทริกซ์ศนู ยเ์ ป็นเมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตวั เท่ากบั ศูนย์

ถา้ A เป็นเมทริกซ์ศูนยท์ ี่มีมิติ mn เราจะใชส้ ญั ลกั ษณ์แทน A ดงั น้ี
A = 0mn หรือ A = 0

เมทริกซ์ศูนยท์ ี่มีมิติ คือ 0 0 , เมทริกซ์ศูนยท์ ี่มีมิติ 33 คือ 0 0 0
0 0 0 0
ตวั อย่าง 22 0 0 0
0

3. เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ (Identity matrix)

ถา้ A = [aij]mn เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัสแลว้ เราจะเรียก A วา่ เป็ น เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ มิติ nn

กต็ อ่ เม่ือ aij = 1 เมื่อ i  j
 เม่ือ i  j
0

ใชส้ ัญลกั ษณ์ In แทนเมทริกซ์เอกลกั ษณ์ที่มีมิติ nn

ตวั อย่าง I2 = 1 0 , 1 0 0
0 1
I3 = 0 1 0

0 0 1

ค 30203 8 เร่อื ง เมทริกซ์

ใบความรู้ที่ 2 การบวกและการลบเมทริกซ์

การบวกและการลบเมทริกซ์

บทนิยาม ถา้ เมทริกซ์ A = [ ]aij mn และ B = [ bij ] mn
1. A + B = [ a ij + ]bij mn
2. A – B = [ a ij – ]bij mn

ข้อสังเกต
เมทริกซ์ A และ B จะบวกและลบกนั ได้ ก็ต่อเม่ือ
1. A และ B ตอ้ งมีมิติเท่ากนั
2. ใหน้ าสมาชิกในตาแหน่งเดียวกนั มาบวกกนั
3. ผลลพั ธ์จะมีมิติเท่าเดิม
ในกรณีที่ A – A จะไดเ้ มทริกซ์ใหม่ที่มีสมาชิกทุกตวั เป็นศูนย์ และใชส้ ญั ลกั ษณ์ 0 แทน เมทริกซ์ศูนย์

สมบัติการบวกเมทริกซ์ (A + B เป็น mn เมทริกซ์)
(A + B = B + A)
ให้ A , B , C เป็น mn เมทริกซ์ ((A + B) + C = A + (B + C))
1. สมบตั ิปิ ดการบวก (A + 0 = A = 0 + A)
2. สมบตั ิการสลบั ท่ีการบวก
3. สมบตั ิการเปล่ียนกลุ่มการบวก (A + (–A) = 0 = (–A) + A)
4. สมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์การบวก
เรียก 0 วา่ เป็ น เอกลักษณ์การบวก
5. สมบตั ิการมีอินเวอร์สการบวกของ A คือ –A

ตวั อย่าง จงหาผลลพั ธ์ของเมทริกซ์ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี

1) 1 2 4 – 1 1 3 = 1  1 2 1 43  = 0 1 1
0 3  5 1 5  4 0 1  3  (5)  5  (4) 1 2 1

2) 2 5 + 3 0 = ……………………………………….……………………
0 1 5 6

ค 30203 9 เร่อื ง เมทรกิ ซ์

ใบกจิ กรรมท่ี 2 การบวกและการลบเมทริกซ์

1. กาหนด A = 2 1 , B = 4  4 และ C = 1 0 จงหาคาตอบในแตล่ ะขอ้
4  3  4 4  0 1

1) (A + B) + C = ……………………………………………………………………………….…………..….

………………………………………………………………………………….…..……….

………………………………………………………………………………….…..……….

2) A – (B – C) = ……………………………………………………………………………….…………..….

………………………………………………………………………………….…..……….

………………………………………………………………………………….…..……….

3) A – (B + C) = ……………………………………………………………………………….…………..….

………………………………………………………………………………….…..……….

………………………………………………………………………………….…..……….

4) A + (B – C) = ……………………………………………………………………………….…………..….

………………………………………………………………………………….…..……….

………………………………………………………………………………….…..……….

2. จงหาเมทริกซ์ X ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี

1) 4 3 +  2 4 + X = 1 4
8 2  1 3  2  5

…………………………………………………………………………………………….…………………….
…………………………………………………………………………………………….…………………….
…………………………………………………………………………………………….…………………….
…………………………………………………………………………………………….…………………….
…………………………………………………………………………………………….…………………….

2 1 3  2 0 3 
2) 0 2 +X =  
2  8 5 1 

1 1 0  3 1 1

…………………………………………………………………………………………….…………………….
…………………………………………………………………………………………….…………………….
…………………………………………………………………………………………….…………………….
…………………………………………………………………………………………….…………………….
…………………………………………………………………………………………….…………………….

ค 30203 10 เรอ่ื ง เมทริกซ์

3. กาหนด A = 3 5 จงหาเมทริกซ์ X ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี
4 6

1) A + X = A

…………………………………..……………………………………………………………………………….

…………………………………..……………………………………………………………………………….

…………………………………..……………………………………………………………………………….

2) A – X = A
…………………………………..……………………………………………………………………………….
…………………………………..……………………………………………………………………………….
…………………………………..……………………………………………………………………………….

3) A + X = 0
…………………………………..……………………………………………………………………………….
…………………………………..……………………………………………………………………………….
…………………………………..……………………………………………………………………………….

4) A–X= 2 4
0 5

…………………………………..……………………………………………………………………………….

…………………………………..……………………………………………………………………………….

…………………………………..……………………………………………………………………………….

5) A + X = 1 0
0 1

…………………………………..……………………………………………………………………………….

…………………………………..……………………………………………………………………………….

…………………………………..……………………………………………………………………………….

ค 30203 11 เร่ือง เมทริกซ์

แบบฝึ กทกั ษะที่ 2

1. จงพิจารณาวา่ เมทริกซ์ที่กาหนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ีบวกกนั ไดห้ รือไม่ ถา้ บวกกนั ไดจ้ งหาผลบวก

1.1 1 3 , 2 5
5 2 3 4

1.2 0 7 5 , 2 3
3 1 2 1 2

1 

1.3 6 , 2 7  8

5

1 5 3 2 6  4
 9 , 2 1 
1.4  2 7 0 

1  3 0 1 4 3

2. กาหนด A= 1 4 , B= 0 1 และ C=  2 1
3 5 3 2   5
 0

2.1 จงหา (A + B) + C

2.2 จงหา A + (B + C)

2.3 จงพิจารณาวา่ (A + B) + C และ A + (B + C) เท่ากนั หรือไม่

3. ถา้ A เป็น 34 เมทริกซ์ และ B เป็น 43 เมทริกซ์ จะหา A + B ไดห้ รือไม่

4. ถา้ A=  2 2 จงหาเมทริกซ์ที่บวกกบั A แลว้ ได้
 3 
 4

4.1 A

4.2 0

4.3 1 0
0 1

4.4  2 1
 
 1 2 

5

ค 30203 12 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์

ใบความรู้ท่ี 3 การคูณเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริง

บทนิยาม ถา้ A = [ ]aij mn และ c เป็ นจานวนจริง แลว้ cA = [ ]ca ij mn
หลกั การ เมื่อเอาจานวนจริง c คูณสมาชิกทุกตวั ผลลพั ธ์จะมีมติ ิเทา่ เดิม

สมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริง
ถา้ c , d เป็นจานวนจริงใด ๆ A และ B เป็น mn เมทริกซ์
1. (cd)A = c(dA)
2. c(A + B) = cA + cB
3. (c + d)A = cA + dA
4. (1)A = A
5. (–1)A = –A
6. 0A = 0
7. c0 = 0

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลพั ธ์ของเมทริกซ์ต่อไปน้ี

1) –4 5  2 1  3 = (4)5 (4) (2) (4)  (1) (4)  (3)
=  20 8  4 12

2) 14 6 8 = ………………………………………………………………………….…
2 10  12  4 ……………………………………………………………………………

ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ A= 3  4 , B =  5 8 จงหา
1   3
2   7

1) 2A = ………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...

2) 3A – 2B = ………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...

ค 30203 ่ 13 เร่ือง เมทรกิ ซ์

การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

บทนิยาม ถา้ A = [ aij ] mn และ B = [ bij ] np ผลคูณ AB = C โดยที่ C = [ cij ] mp

เมื่อ = + + … +cij a i1b1j a i2b2j a in bnj

หลกั การ เมทริกซ์คูณกนั ได้ เม่ือจานวนหลกั ของตวั ต้งั เท่ากบั แถวของตวั คูณ

สมบัตกิ ารคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

ถา้ A , B , C เป็น n n เมทริกซ์ c เป็นจานวนจริงใด ๆ

1. สมบตั ิการเปล่ียนกลุ่มการคูณ (AB)C = A(BC)

2. สมบตั ิการแจกแจง A(B + C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC

3. สมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์การคูณ AIn = A = InA

เรียก In ว่าเป็ นเอกลกั ษณ์การคูณ
4. c(AB) = (cA)B = A(cB)

ตวั อย่างการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

กาหนด A = a11 a12  , B = b11 b12 
a 21 a 22  b 2 1 b22 

AB = a11b11  a12b21 a11b12  a12b22 
a 21b11  a 22b21 a 21b12  a 22b 
22 

ตวั อย่างท่ี 3 กาหนดให้ A= 3  4 , B =  5 8 จงหา AB
1 2   7 3

วธิ ีทา AB =  (3 (5))  (4 7) (38)  (4 3) 
(1 (5))  (2 7) (18)  (2 3)

=  15  (28) (24)  (12)
 5 14  8  6 

=   43 12
 19  2

ค 30203 14 เรอ่ื ง เมทริกซ์

ตัวอย่างท่ี 4 กาหนดให้ A = 3 4 , B = 2 จงหา AB
1

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

 2 1 0  0 1
ตัวอย่างท่ี 5 กาหนดให้ A = 1  , B =   จงหา AB และ BA
0 1   2 2 

 3 1 5  4 1 

AB = ………………………………………………. BA = ………………………………………………
……………………………………………..… ………………………………………………
……………………………………………..… ………………………………………………
……………………………………………..… ………………………………………………
……………………………………………..… ………………………………………………

ตวั อย่างท่ี 6 จงหาจานวนจริง x ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมการในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี

2x 1 
 1 
1) 1 2 x  1  = x  4 2) 3 x 6  2x x  = 0
  
 3 
 x

วธิ ีทา 2x  2  3x = x  4 …………………………………………………….
2x + 2 + 3x = x – 4
…………………………………………………….

5x + 2 = x – 4 …………………………………………………….

4x = – 6 …………………………………………………….

x = 6 …………………………………………………….
…………………………………………………….
4 …………………………………………………….

x = 3

2

ดงั น้นั x =  3

2

ค 30203 15 เรือ่ ง เมทรกิ ซ์

ใบกจิ กรรมท่ี 3 การคูณเมทริกซ์

1. กาหนดให้ A = 2 1 , B = 0 1 และ C= 1  2 จงหา
1 2 2 0  1 2 

1) A + 2B – 3C

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

2) 2[5(A – B) + 3C]
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

3) A2
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

2. ให้ A= 2 5 1 , B = 3 2 0 และ C = 1 2 5
1 0 4 1 0 5 2 4 0

จงหาเมทริกซ์ X จากสมการ 5 X  2A  2{2X  X  3B} 4C

2

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

ค 30203 16 เร่ือง เมทริกซ์

3. จงหาผลคูณของเมทริกซ์ที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี 1

1) 2 5 1 2) 5 2 6  2
6
 4 
…………………………………………………….
……………………………………………………. ……………………………………………….……
……………………………………………………. …………………………………………………….
……………………………………………………. …………………………………………….………
…………………………………………………….

1 2 2 1 4) 2 1 0  1 1
3 4 3 2  1 0 2  
3)  2 0 

 3  2

………………………………………………….… …………………………………………….………
…………………………………………………….
………………………………………………….… …………………………………………………….
…………………………………………….………
…………………………………………….……… ……………………………………………….……

…………………………………………………….

…………………………………………………..…

4. กาหนดให้ A = 0 4 , I= 1 0 จงหา
2 3 0 1

1) AI = ……………………………………...………………………………………….…………….

……………………………………...…………………………………………………….….

2) I2 = ……………………………………...……………………………………………………….

……………………………………...……………………………………………….……….

3) IA = …………………………..……...……………………………………………………...…….

……………………………………...………………………………………………………..

5. จงหาคา่ x และ y ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี

1) 1  1  x  = 2 ………………………………………………………………………………..
1 2  y 4 ………………………………………………………………………………..

2) 1 0 x = 3 ………………………………………………………………………………..
0 1  y 12 ………………………………………………………………………………..


ค 30203 17 เรือ่ ง เมทรกิ ซ์

แบบฝึ กทกั ษะที่ 3

1. กาหนดให้ A = 5 6 , B = 1 1 และ C = 1  2 จงหา
2 2  3 0 1  3

1.1 A + 3B – 4C 1.2 - 4 [5(A – B) + 2C]

1.3 2 A + 1 (C + B)

32

2. กาหนดให้ A= 2 5 1 , B= 3 2 7 และ C = 1 3 8
0 1 4 1 0 5  2 4 0

จงหาเมทริกซ์ X จากสมการเมทริกซ์ต่อไปน้ี

2.1 1 (X + A) = 2(X + B) – 3C 2.2 2X + A = 3{X + (2X + B)} + C

2

3. จงหาผลคูณต่อไปน้ี

3.1 4 3 1  2 2

1  5 1 3 3.2 4 5 1

3.3 2 3 4 6

3 2 4 3 1   4
4 2 2
3 2  3 3.4 3 2 1  5
4 0 5 7  0 

4. กาหนดให้ A = 0 1 , B = 2 1 , I2 = 1 0 ,0 = 0 0 จงหา
3 5 0  0 1 0 0
3 

4.1 BA 4.2 AB

4.3 A2 4.4 IB

4.5 0B 4.6 I22

5. จงพิจารณาวา่ เมทริกซ์ที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ีคูณกนั ไดห้ รือไม่ ถา้ คูณไดจ้ งหาผลคูณ

1 0
4 
5.1 2 1 5 4 5.2 2 4 5 7 4 4 
1 0
3 3

4 

ค 30203 18 เร่อื ง เมทริกซ์

ใบความรู้ท่ี 4 ทรานสโพสของเมทริกซ์ (Transpose of a matrix)

ทรานสโพสของเมทริกซ์

บทนิยาม ถา้ A = [ aij ] mn แลว้ เมทริกซ์สลบั เปล่ียนของ A จะเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ At
At หมายถึง เมทริกซ์ [ ]bij nm โดยท่ี =bij a ji เมื่อ i = 1, 2, 3, …, n และ j = 1, 2, 3, …, m

สมบตั ิของทรานสโพส
1. ถา้ A เป็ นเมทริกซ์ใด ๆ แลว้ (At )t = A
2. ถา้ A เป็ นเมทริกซ์ใด ๆ แลว้ (kA)t = k At
3. ถา้ A และ B เป็ นเมทริกซ์ท่ีมีมิติ mn แลว้ (A  B) t = At  Bt
4. ถา้ A เป็ นเมทริกซ์ท่ีมีมิติ mn และ B เป็ นเมทริกซ์ท่ีมีมิติ np แลว้ (AB)t = Bt At
5. (A)t = - At
6. (An )t = ( At ) n , n  I

ตวั อย่างที่ 1 จงหาทรานสโพสของเมทริกซ์ที่กาหนดให้ต่อไปน้ี

 5 8 2) B=  2 1 5
3   4 7
1) A=  7  3

 4 0 6
จะได้ =  5 7
At  3 จะได้ Bt = ………………………………………..
 8
…………………………………………………….

…………………………………………………….

ตวั อย่างที่ 2 กาหนด A = 6 3 จงหาค่าตวั แปรในแต่ละขอ้ ที่ทาให้ A = At
x y

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

1 2 5 1 0 
กาหนด A = 2 3 9 , B= 2 1 จงหา (Bt)t + 2At
ตัวอย่างที่ 3 3
2

………………………………….…………..…………………………………………………………………….

………………………………….…………..…………………………………………………………………….

………………………………….…………..…………………………………………………………………….

………………………………….…………..…………………………………………………………………….

ค 30203 19 เร่อื ง เมทรกิ ซ์

ใบกจิ กรรมท่ี 4 ทรานสโพสของเมทริกซ์ (Transpose of a matrix)

1. จงหาทรานสโพสของเมทริกซ์ของเมทริกซ์ที่กาหนดใหแ้ ต่ละขอ้

1) A = 1 5 0 A t = ………………………………..…………………………….......…..
 6 1 , ………………………………..…………………………….......…..
 2 ………………………………..…………………………….......…..

 3 0 4  2B t = ………………………………..…………………………….......…..
………………………………..……………………………….........
2) B = 3  2 , ………………………………..……………………………….........
4 5 

2. กาหนด A= 2 1 , B = 1 0 และ C = 3 1 จงหา
4 3 5 2 2 5

1) (A + B) t

…………………………………………………………………………………….……………………………….

…………………………………………………………………………………….…………………………….…

………………………………………………………………………………….…………………………….……

……………………………………………………………………………….…………………………………….

2) A t + B t
…………………………………………………………………………………….……………………………….
…………………………………………………………………………………….…………………………….…
………………………………………………………………………………….…………………………….……
……………………………………………………………………………….…………………………………….

3) AB + 2C t
…………………………………………………………………………………….……………………………….
…………………………………………………………………………………….…………………………….…
………………………………………………………………………………….…………………………….……
……………………………………………………………………………….…………………………………….
………………………………………………………………………………….…………………………….……
……………………………………………………………………………….…………………………………….

ค 30203 20 เรอื่ ง เมทรกิ ซ์

แบบฝึ กทกั ษะที่ 4

1. กาหนดเมทริกซ์ A , B , C , D และ E ดงั น้ี

A = 1 2 0 , 1 0  3 -1 3 , 3 - 2 และ E 2 - 4 5
2 1 4 B = 2 1 , C = 4  D = 2 = 1 1 -1
1 0  0  2 2 0
3 2 2 1 
3 

จงหา

1.1 AB และ BA 1.2 AB + Dt

1.3 BA – 2C2 1.4 AtBt + 2E

1.5 BA(C + E)

2. กาหนดเมทริกซ์ A , B และ C ดงั น้ี

A = 1 3 , B = 1 3 2 และ C= 1 2
2 -1  1 3 0  
 0 1 
 3
- 2 

จงหา 2.2 AB + ACt
2.1 ABC
2.3 A2 – 2BC

3. กาหนดให้ A = 1 1 2
-1 1 
3 

จงหาเมทริกซ์ X ท่ีทาใหข้ อ้ ความต่อไปน้ีเป็นจริง

3.1 A + X = 2A – X 3.2 AAt = 2I2 + X

3.3 2AtA = X – I3

ค 30203 21 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์

ใบความรู้ที่ 5 ดีเทอร์มนิ ันต์ (Determinant)

ดีเทอร์มินันต์ (Determinant)

บทนิยาม ดีเทอร์มินนั ต์ (Determinant) คือ คา่ ตวั เลขจานวนใดจานวนหน่ึง และมีเพียงจานวนเดียวเท่าน้นั
ท่ีสอดคลอ้ งกบั เมทริกซ์จตั ุรัส

ถา้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส จะเขียนแทนดีเทอร์มนิ ันต์ของ A ด้วย det(A) หรือ A

การหาค่าดเี อร์มินันต์

1. ถา้ A = a เป็นเมทริกซ์ท่ีมีมิติ 11 แลว้ det(A) = a

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี
1) A = [5] det (A) = 5
2) B = [-10] det (B) = ……………………………………………….
3) C = [0] det (C) = ……………………………………………….
4) D = [ 3 ] det (D) = ……………………………………………….

5

2. ถา้ A = a b เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ 22 แลว้ det(A) = ad – bc
c d

ตวั อย่างที่ 2 จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ท่ีกาหนดให้ต่อไปน้ี

1) A= 2 4 det (A) = 2(5) – 3(4) = 10 – 12 = – 2
3 5 det (B) = ……………………………………………….
det (C) = ……………………………………………….
2) B= 3 6 det (D) = ……………………………………………….
- 5 - 2 det (E) = ……………………………………………….

3) C= 3 0
- 2 0

4) D= 3 0
0 - 2

5) E= 1 1
2 2

ค 30203 22 เร่อื ง เมทริกซ์

a b c
3. ถา้ A = d  เป็นเมทริกซ์ท่ีมีมิติ 33 แลว้
e f 

g h i 

a b c a b
det(A) = d 
e f  d e = (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa + idb)

g h i  g h

ตวั อย่างที่ 3 จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ท่ีกาหนดใหต้ อ่ ไปน้ี

1) A=  4 1 6 4 -1 det (A) = (– 56 + 2 + 90) – (12 + 40 + (– 21))
  2 2 3 = 36 – 31 = 5
 3 -2
det (B) =…………………………………………..……
1 5 7 -1 5 =…………………………………………..……

 1 4 7 det (C) =…………………………………………..……
2) B =  2  =…………………………………………..……
5 8 
det (D) = …………………………………………..……
 3 6  9 =…………………………………………..……

2  3  4

3) C = 1 0  2

0  5  6

1  2 3

4) D = 2 0 1

1  2 3

ตวั อย่างท่ี 4 กาหนด A = x 4 ถา้ det (A) = 0 จงหา x
4 x

…………………………………………………………………………………….…………………………….
……………………………………………………………………………………………………….………….
……………………………………………………………………………………………………….………….
……………………………………………………………………………………………………….………….

ค 30203 23 เรอื่ ง เมทริกซ์

การคานวณหาดเี ทอร์มินันต์โดยการกระจายโคแฟคเตอร์

วธิ ีน้ีใชไ้ ดส้ าหรับเมทริกซ์จตั ุรัส nn , n  2

บทนิยาม กาหนดให้ A = [ ]aij mn สัญลกั ษณ์ M (A) แทนเมทริกซ์ท่ีเกิดจากการตดั แถวที่ i หลกั ท่ี j
ij

ของ A ออกไป คา่ ดีเทอร์มินนั ตข์ อง M (A) เรียกว่า ไมเนอร์ (minor) ของ a ij
ij

กาหนด A =  4 1 0 จงหาไมเนอร์ของสมาชิกทุกตวั ในเมทริกซ์น้ี
  2 1
ตวั อย่างที่ 3  3

1 5 0

1) M (A) =  2 1 = 0 – 5 = – 5 2) M (A) = ……………………………………
12
11 5 0

3) M (A) = …………………………………… 4) M (A) = 1 0 = 0 – 0 = 0
13
21 5 0

5) M (A) = …………………………………… 6) M (A) = ……………………………………
22 23

7) M (A) = …………………………………… 8) M (A) = ……………………………………
31 32

9) M (A) = ……………………………………
33

บทนิยาม กาหนดให้ A = [ ]aij mn โคแฟกเตอร์ (cofactor) ของสมาชิก aij หรือตวั ประกอบร่วมเก่ียวของ aij
ของ A จะเขียนแทนดว้ ย C (A) หมายถึงผลคูณของ M (A) และ (-1) ij

ij ij

C (A) = (-1) ij M (A)
ij ij

 1 2  2 จงหา C12(A) , C21(A) , C23(A) , C33(A)
ตวั อย่างท่ี 4 กาหนด A = 1 1 
2 

 0 3 1 

C12(A) = (-1)1+2M12(A) = (-1) 1 2 = (-1)(-1 – 0) = (-1)(-1) = 1
0
1

C21(A) = …………………………………………………………………………………………………

C23(A) = …………………………………………………………………………………………………

C33(A) = …………………………………………………………………………………………………

ค 30203 24 เรอ่ื ง เมทริกซ์

การหาดเี ทอร์มินันต์ อาจใชแ้ ถวใดแถวหน่ึง (หลกั ใดหลกั หน่ึง) เป็นหลกั เช่น
ใช้แถวที่ 1 เป็ นหลกั จะได้
det (A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13C13 (A) + … + a1nC1n (A)
ใช้แถวท่ี 2 เป็ นหลกั จะได้
det (A) = a12C12(A) + a C22 22 (A) + a32C32(A) + … + am2Cm2 (A)

A =  4 1 0
กาหนด   2 1 จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ A (โดยการกระจายโคแฟคเตอร์)
ตัวอย่างท่ี 5  3

1 5 0

วธิ ีทา det (A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13C13 (A)

= 4(-1)1+1  2 1 + (-1)(-1)1+2 3 1 + 0
50 1 0

= 4(0 – 5) + 1(0 – (– 1))

= – 20 + 1

= – 19

 det (A) = – 19

 1 0 1 1
 0 จงหา det (A)
ตวั อย่างท่ี 6 กาหนด A=  0 2 1

 3 1 4  2
 6 5 0 1

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

ค 30203 25 เร่อื ง เมทรกิ ซ์

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 5

1. จงหาจานวนจริง x ที่สอดคลอ้ งกบั สมการต่อไปน้ี 2 x1
1.1 x 14 = 2
1.2 1 0 1 = 0
3 11
342

2. จงหาดิเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ตอ่ ไปน้ี

2 1 0

2.1 A = 4 2 1 

4 2 1 

2.2 B =  2 2 3
 
 1 1 0 

 0 1 4 

2.3 C =  2 1 4
 
 1 4  2 

 3 6  6

 3 8 3 0 
 
2.4 D =  2 3 0 0 

 4 5 3 0 
 2
 1 0 2

 1 1 2  2
 
2.5 E =  0 12 3 

1 0 1 2 
 2 1 0 
1 

ค 30203 26 เรือ่ ง เมทรกิ ซ์

ใบความรู้ท่ี 6 สมบัติของดเี ทอร์มนิ ันต์

กาหนดให้ A = [ aij ] nn และ B = [ bij ] nn โดยท่ี aij และ Rbij  และ n > 2 แล้ว

1. det(A) = det(A t )

ตวั อย่างท่ี 1 จงหา det (A) และ det (At) ของเมทริกซ์ A ต่อไปน้ี

1.1 A = 0 0 1.2 B =  3 2 1
2 3  2
 0 1

 6  4 2

วธิ ีทา det (A) = 0 – 0 = 0 ………………………………………………………
จาก det (A) = det (At)
 det (At) = 0 ………………………………………………………

………………………………………………………

………………………………………………………

2. det(AB) = det(A) det(B)

ตัวอย่างท่ี 2 กาหนดให้ A = 1 - 2 , B = 2 4 และ C = 3 4 จงหา
3 -1 1 1 1 -1

2.1 det(AB) 2.2 det(BC)

วธิ ีทา det(A) = –1 – (– 6) = 5 ………………………………………………………

det(B) = 2 – 4 = – 2 ………………………………………………………

จาก det(AB) = det(A) det(B) ………………………………………………………

 det(AB) = 5(– 2) = – 10 ………………………………………………………

3. det(A n ) = [det(A)] n

ตวั อย่างท่ี 3 กาหนดให้ A = 2 1 , B = 3  2 จงหา
 3 5 1 4 

3.1 det(A2) 3.2 det(B3)

วธิ ีทา det(A) = 10 – (– 3) = 13 ………………………………………………………

จาก det(A n ) = [det(A)] n ………………………………………………………

 det(A2) = 132 = 169 ………………………………………………………

ค 30203 27 เร่ือง เมทรกิ ซ์

4. det(A 1 ) = 1

det(A)

ตวั อย่างที่ 4 กาหนดให้ A= 1 2 , B = 2 6 จงหา
 3 4  3 
5 

4.1 det(A-1) 4.2 det(B-1)

วธิ ีทา det(A) = – 4 – (– 6) = 2 ………………………………………………………

จาก det(A-1) = 1 ………………………………………………………
………………………………………………………
det(A)

 det(A-1) = 1

2

5. เมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix) และเมทริกซ์ไมเ่ อกฐาน (non - singular matrix)
ถา้ det(A) = 0 เรียก A วา่ เมทริกซ์เอกฐาน หรือ ซิงกลู าร์เมทริกซ์
ถา้ det(A)  0 เรียก A วา่ เมทริกซ์ไม่เอกฐาน หรือ นอนซิงกลู าร์เมทริกซ์

ตัวอย่างที่ 5 จงตรวจสอบวา่ เมทริกซ์ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี เป็นเมทริกซ์เอกฐาน หรือเมทรืกซ์ไม่เอกฐาน

5.1 A = 2 6 4 0 
1 3 5.2 B =  
1 
0
 2

วธิ ีทา det(A) = 6 – 6 = 0 ………………………………………………………
 เป็นเมทริกซ์เอกฐาน
………………………………………………………

5.3 C =  2 1 1  4 0
 3  3 0
5.4 D = 2 1 0 

3 1

………………………………………………… ………………………………………………………
………………………………………………… ………………………………………………………
………………………………………………… ………………………………………………………
………………………………………………… ………………………………………………………

ค 30203 28 เรือ่ ง เมทรกิ ซ์

6. ถา้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสที่มีสมาชิกแถวใดแถวหน่ึง (หลกั ใดหลกั หน่ึง) เป็นศนู ยท์ ุกตวั แลว้
det(A) = 0

ตวั อย่างท่ี 6 จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ต่อไปน้ี

6.1 A = 0 0 1  4 0
 3 2
6.2 B = 2 1 0
วธิ ีทา เนื่องจากแถวท่ี 1 มีสมาชิกทุกตวั เทา่ กบั 0
 det(A) = 0 3 1 0

………………………………………………………

………………………………………………………

7. ถา้ A มีสมาชิกสองแถว (หรือ 2 หลกั ) ใดๆ เหมือนกนั แลว้
det(A) = 0

ตัวอย่างท่ี 7 จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ต่อไปน้ี

A = 1 1 1 1 0
7.1 2 2 7.2 B = 3 
1 4 

1 1 0

วธิ ีทา เนื่องจากหลกั ที่ 1 และหลกั ท่ี 2 ………………………………………………………

มีสมาชิกซ้ากนั ………………………………………………………
 det (A) = 0
………………………………………………………

8. ให้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส และ B เป็นเมทริกซ์ท่ีเกิดจากการสลบั แถว (หลกั ) คูใ่ ดคู่หน่ึงของ A แลว้
det (B) = – det (A)

ตัวอย่างที่ 8 จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ต่อไปน้ี

8.1 A =  1 2 1 8.2 B = 1 2 1 
   
 2 1 1   1 1 2 

1 1 0  0 1 1 

………………………………………………… ………………………………………………………

………………………………………………… ………………………………………………………

………………………………………………… ………………………………………………………

ค 30203 29 เรอื่ ง เมทรกิ ซ์

จากสมบตั ิในขอ้ ที่ 8 ระบุเพียงวา่ ใหส้ ลบั ระหวา่ งแถว หรือสลบั ระหวา่ งหลกั เพียงคู่เดียว แต่ในบางคร้ังจะ
พบวา่ B เป็นเมทริกซ์ท่ีเกิดจากเมทริกซ์ A โดยการสลบั กนั ระหวา่ งแถว หรือสลบั กนั ระหวา่ งหลกั มากกวา่ 1 คู่
เช่น

a b c d e f 
A = d  , B = g 
e f  h i 

g h i  a b c

จะพบวา่ B เกิดจากการสลบั ท่ีระหวา่ งแถวที่ 1 และแถวท่ี 3 และนาผลที่ไดม้ าสลบั กนั ระหวา่ งแถวท่ี 1

และแถวท่ี 2 อีกคร้ังหน่ึง ลกั ษณะเช่นน้ีเรากล่าววา่ B เกิดจาก A โดยการสลบั กนั ระหวา่ งแถวสองคู่ การกระทา

ดงั กล่าว ถา้ เราทราบคา่ ดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ A เราจะทราบค่าดีเทอร์มินนั ตข์ อง B ดว้ ย ดงั น้ี

a b c g h i  d e f 
A = d  C = d  B = g 
e f  e f  h i 

g h i  a b c a b c

det(A) = k det(C) = - k det(B) = - (- k) = k

ดงั น้นั เราสามารถสรุปเป็นสมบตั ิของดีเทอร์มินนั ตไ์ ดอ้ ีก 1 ประการ ดงั สมบตั ิขอ้ ที่ 9

9. ให้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส และ B เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจาก A โดยการสลบั กนั ระหวา่ งแถว หรือสลบั กนั
ระหวา่ งหลกั จานวน k คู่ แลว้ det(B) = (-1) k det(A)

a b c และ det(A) = 2 จงหาค่าดีเทอร์มินนั ทข์ องเมทริกซ์ต่อไปน้ี
ตวั อย่างที่ 9 กาหนดให้ A = d 
e f 

g h i 

c a b  e d f 
9.1 B = f 
d e  9.2 C = b a c

i g h h g i 

วธิ ีทา หลกั ที่ 1 สลบั กบั หลกั ที่ 3 ………………………………………………………
………………………………………………………
และหลกั ที่ 2 สลบั กบั หลกั ท่ี 3 ………………………………………………………
………………………………………………………
จะเห็นวา่ มีการสลบั กนั 2 คู่ ………………………………………………………
………………………………………………………
จาก det(B) = (-1) k det(A) ………………………………………………………
………………………………………………………
= (-1) 2  2

= 12

=2

 det(A) = 2

ค 30203 30 เร่อื ง เมทรกิ ซ์

10. ให้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส และ B เป็นเมทริกซ์ เกิดจากการคูณสมาชิกในแถวใดแถวหน่ึง
(หรือคูณหลกั ใดหลกั หน่ึง) ของเมทริกซ์ A ดว้ ยคา่ คงตวั k  0 แลว้ det(B) = k det(A)

ประโยชนข์ องสมบตั ิขอ้ ท่ี 10 คือ ช่วยทาใหส้ มาชิกของเมทริกซ์ท่ีตอ้ งการหาดีเทอร์มินนั ตม์ ีขนาดเล็กลง
เพื่อสะดวกในการกระจาย
ตวั อย่างท่ี 10.1 จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ตอ่ ไปน้ี

6 3 9 6 3 9 2 1 3 2 1 1

10.1.1 4  4 6 = 22 2 3 = 232 2 3 = 2332 2 1

1 1 6 1 1 6 1 1 6 1 1  2

2 1 1 2 1 = 18(5 – 0) = 90

= 18 2  2 1 2  2

1 1  2 1 1

53 1

10.1.2 10 6  2 = ……………………………………………………………………………….

5 3 3

= ……………………………………………………………………………….

5 31

10.1.3 10 6 4 = ……………………………………………………………………………….

15  3 3

= ……………………………………………………………………………….

abc

ตัวอย่างที่ 10.2 กาหนดให้ d e f = 3 จงหาคา่ ของ

ghi

2a 3b 4c

10.2.1 2d 3e 4f

2g 3h 4i

……………………………………………………………………….……………………………………
……………………………………………………………………….……………………………………
……………………………………………………………………….……………………………………

d e f

10.2.2 3a 3b 3c

ghi

……………………………………………………………………….……………………………………
……………………………………………………………………….……………………………………
……………………………………………………………………….……………………………………

ค 30203 31 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์

11. ให้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสมิติ nn และ k เป็นค่าคงตวั จะไดว้ า่ det(kA) = k n det(A)

ตวั อย่างที่ 11 กาหนดให้ A , B และ C เป็ นเมทริกซ์ที่มีมิติ 2 2 , 33 และ 4 4 ตามลาดบั
และถา้ det(A) = 10 , det(B) = - 15 และ det(C) = 8 แลว้ จงหา

11.1 det(5A)
= …………………………………………………………….…………………………………

11.2 det(- 4B)

= …………………………………………………………….…………………………………

11.3 det( 1 C )

2

= …………………………………………………………….…………………………………

ข้อสังเกต ถา้ A เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ nn จะไดว้ า่

det(-A) = det((-1)A) = (-1)ndet(A) = det(A) เม่ือ n เป็นจานวนคู่่่
 เม่ือ n เป็นจานวนค่่่ ่ี ่
- det(A)

12. ถา้ A เป็นเมทริกซ์สามเหล่ียมหรือเมทริกซ์ทแยงมุม det(A) เทา่ กบั ผลคูณของสมาชิกในแนวเส้น
ทแยงมุมหลกั หรือ det(A) = a11 a22 a33 ...ann

ตัวอย่างท่ี 12 จงหาดีเทอร์มินนั ตต์ อ่ ไปน้ี 300

3 1 0 4 12.2 0 3 0

12.1 0 2 1 1 003

0 0 2 0 ………………………………………………………
………………………………………………………
0 0 01

วธิ ีทา เนื่องจากเป็ นเมทริกซ์สามเหลี่ยมดา้ นบน
det(A) = (-3)2(-2) 1 = 12

13. det(In) = 1 14. det(0) = 0
เม่ือ In เป็นเมทริกซ์เอกลกั ษณ์
000
10 0
ตวั อย่างท่ี 14 0 0 0 = 0
ตัวอย่างท่ี 13 0 1 0 = 111
000
0 01

ค 30203 32 เรอื่ ง เมทริกซ์

ใบกจิ กรรมท่ี 6 ดเี ทอร์มินันต์ (Determinant)

1. จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี

1) A = [9] det(A) = ……………………………………………………………..……….

2) B= 3 5 det(B) = ……………………………………………………………..……….
 4  9
det(C) = ……………………………………………………………..……….
3) C = 0 1
7 8 det(D) = ……………………………………………………………..……….
……………………………………………………………..……….
4) D =  2  3  4
  det(E) = ……………………………………………………………..……….
 0 5 7  ……………………………………………………………..……….

 1 6  5

 2  5 1

5) E =  3 1 6

 4 2 3

2. กาหนด A = 1 3 , B= 3 6 จงหา
2 4 1 3

1) det(AB)

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

2) det(A t )
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

ค 30203 33 เร่ือง เมทริกซ์

3) det(B 1 )
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

4) det(A + B)
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

5) det(A 2 )
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

6) det(3B)
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

3. กาหนด A = x2 4 , B= 3  4 ถา้ det(A) = det(B) จงหา x
 1 2  1
 x

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

ค 30203 34 เร่ือง เมทรกิ ซ์

 3 1 2 0
 0  3 5
4. กาหนด A=  4 M (A) และ C (A)

 0 6 0 0 32 32

 1 3  4 2


…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

5. จงหาดีเทอร์มินนั ตข์ องเมทริกซ์ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี (โดยการกระจายโคแฟคเตอร์)

1) A= 1 0 2 
 
 5 3 4 

 2 0  6

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

2 0 1 3

2) B = 1 2 0 3

3 1 2 0
0 2 1 3

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

ค 30203 35 เร่อื ง เมทริกซ์

1 0 2 1

3) C = 2 0 1 1

1 0 1 2
2 0 1 1

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

 1 1 5 2
 
4) D =  2 0 1 2 

1  3 8 0
 2 1
 1 1

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

ค 30203 36 เร่ือง เมทริกซ์

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 6

xyz pq r

1. ถา้ p q r = -1 1.2 3s 3t 3u

stu xyz

st u

1.1 p q r

x yz

ab c

2. ให้ A = p q r และ det(A) = 3

xyz

จงหา det(3B-1) เมื่อ B =  4x 4y 4z
 2c 
 2a 2b

 p  q  r 

3. ให้ A , B และ C เป็น nn เมทริกซ์ เมื่อ n เป็นจานวนเตม็ ที่มากกวา่ 2 และ det(A) = 1 , det(B) = 2 ,

det(C) = -3 แลว้ จงหา

3.1 det(A2BC-1B-1) 3.2 det(BC-1AB-1Ct)

ค 30203 37 เร่อื ง เมทรกิ ซ์

ใบความรู้ท่ี 7 อนิ เวอร์สของการคูณเมทริกซ์

อนิ เวอร์สของการคูณเมทริกซ์

บทนิยาม ให้ A เป็น nn เมทริกซ์ อินเวอร์สของเมทริกซ์ A เขียนแทนดว้ ย A 1
มีสมบตั ิวา่ A A 1 = A 1 A = I

n

*** อินเวอร์สของการคูณเมทริกซ์ อาจเรียกว่า ตัวผกผนั การคูณของเมทริกซ์

1. อนิ เวอร์สของการคูณของ 2 2 เมทริกซ์

เมื่อ A = a b โดยท่ี ad – bc  0 (det A  0)
c d

A 1 = 1 d  b = 1 d  b
ad  bc  c  det(A)  c 
a  a 

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี

1) A= 2 5 2) B= 1 2
3 8 2 4

วธิ ีทา det(A) = 16 – 15 = 1 ……………………………………………………..

A-1 = 1 8  5 ……………………………………………………..
1  3  ……………………………………………………..
2 

= 8  5
 3 
2 

ตวั อย่างที่ 2 กาหนด A = 2 1 จงหา A 2
3 1

วธิ ีทา A-2 = (A2)-1

A2 = 2 1  2 1 = 4  3 2 1 = 7 3
3 1 3 1 6  3 3 1 9 4

det(A2) = 28 – 27 = 1

(A2)-1 = 1 4  3 = 4  3
1  9 7   9 7 

 A 2 = 4  3
 9 7 

ค 30203 38 เรื่อง เมทรกิ ซ์

2. อนิ เวอร์สการคูณของ nn เมทริกซ์ เมื่อ n > 2

บทนิยาม ให้ A = [ ]aij nn เมื่อ aij และ n เป็ นจานวนเตม็ ที่มากกวา่ 1
1. เมทริกซ์ผูกพนั (Adjoint Matrix) ของ A เขียนแทนดว้ ย adj(A) คือ ทรานโพสของ

เมทริกซ์ [C (A)]
ij nn

adj(A) = [C ij (A)] t
nn

2. A(adj A) = adj(A)A = det(A) I
n

3. ถ้า det(A)  0 แลว้ A 1 = 1 adj(A)

det(A)

สมบัติของอนิ เวอร์สการคูณของเมทริกซ์

กาหนด A , B เป็ นเมทริกซ์มิติ nn ที่สามารถหา A 1 และ B 1 ได้
1. (A 1 ) 1 = A
2. (AB) 1 = B A1 1
3. (A t ) 1 = (A 1 ) t
4. (A n ) 1 = (A 1 ) n

5. (kA) 1 = A1 1 , kR , k 0
6. det(A 1 )
k

=1

det ( A)

1 0 1

ตัวอย่างท่ี 3 กาหนด A = 3 1  2 จงหา

2 5 8 

3.1 det(A)
………………………………………………………………………………………….………………….
………………………………………………………………………………………….………………….
………………………………………………………………………………………….………………….
………………………………………………………………………………………….………………….
………………………………………………………………………………………….………………….
………………………………………………………………………………………….………………….

ค 30203 39 เร่ือง เมทรกิ ซ์

3.2 adj(A)

วธิ ีทา c11(A) c12 (A) c13(A)  t
c22 (A) c 2 3 (A)
adj(A) = c21(A) c32 (A) c 33 (A) 

c31(A)

1  2 3  2 3 1  t
  
 5 8 2 8 2 5 

=  0 1 1 1  1 0 
 
 5 8 2 8 2 5
 
 0 1 1 1 1 0 

 1  2 3 1
3 2

 2  28 17t

=  5 10  5

1 1 1 

 2  5 1

=  28 10 1

 17  5 1

3.3 A-1

………………………………………………………………………………………….………………….

………………………………………………………………………………………….………………….

………………………………………………………………………………………….………………….

………………………………………………………………………………………….………………….

………………………………………………………………………………………….………………….

………………………………………………………………………………………….………………….

ชีวิตต้องสู้ๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ

ค 30203 40 เรื่อง เมทรกิ ซ์

ใบกจิ กรรมท่ี 7 อนิ เวอร์สของการคูณเมทริกซ์

1. จงหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ตอ่ ไปน้ี (ถา้ มี)

1.1) 4 3
1 2

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

1.2) 0 1
4 3

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

1.3) 3 1
6  2

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

1.4) 2 3
1 1
 2 2 

…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………

ค 30203 41 เรื่อง เมทริกซ์

2. กาหนด A = 5 3 จงหา A 1 , A 2
3 2

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

…………………………………………………………..……………………………………………….…………

2 1 3

3. กาหนด A = 3 2 5 A มีอินเวอร์สการคูณหรือไม่ ถา้ มีจงหา A 1

1 6 8

…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………

ค 30203 42 เรอื่ ง เมทริกซ์

3 0 1

4. กาหนด A = 2 1  2 A มีอินเวอร์สการคูณหรือไม่ ถา้ มีจงหา A 1

4  3 1 

…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………

ค 30203 43 เรื่อง เมทรกิ ซ์

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 7

1. จงหาตวั ผกผนั การคูณของเมทริกซ์ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี

1.1 A =  3 4 1.2 B = 2  4
 2 3 1  2

1.3 C =  3 2 1 1.4 D=  3 4 2
 5 6  1
 4  6 3

 2  3 1  4  7  8

5 1  3
1.5 E = 1 
12 4 

1 6 3 

2. กาหนดให้

1 1 2 , 1 1 1
A = 1  B = 0  จงหา
2 1  1 2 

1 2 3 0 5  3

2.1 det(2A-1B) 2.2 det(Atadj(B))
2.3 det(BAtadj(A)) 2.4 det(2adj(A2)B)

ค 30203 44 เรื่อง เมทริกซ์

ใบความรู้ท่ี 8 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์

การแก้ระบบสมการเชิงเส้ นโดยใช้ เมทริกซ์

บทนิยาม ระบบสมการเชิงเส้น หมายถึง ชุดสมการท่ีทุกสมการเป็นสมการเชิงเส้น และจานวน
สมการในระบบเท่ากบั จานวนตวั แปร

ระบบสมการเชิงเส้น + + … +a11x1 a12x2 a1n xn = b1

+ + … +a21x1 a22x2 a2n xn = b2

 

+ + … + =an1x1 an2 x2
ann xn bn

สามารถเขียนเป็นเมทริกซ์ไดด้ งั น้ี

a11 a12  a1n   x1  b1 
=a21    b2 
a22  a2n   x 2  

    
an1    b3 
an2  ann   x n  

AX B

เรียก A วา่ เมทริกซ์สัมประสิทธ์ิ (coefficient matrix)

a11 a12 a13  b1  วา่ เมทริกซ์แต่งเติม (augmented matrix)
เรียก [A : B] = a21 
a22 a23  b2 

a31 a32 a33  b3 

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ สามารถทาได้ 3 วธิ ี คือ
1. ใชอ้ ินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์
2. ใชก้ ฎของคราเมอร์

ค 30203 45 เรื่อง เมทรกิ ซ์

1. ใช้อนิ เวอร์สการคูณของเมทริกซ์

จาก AX = B และ det(A)  0 จะได้ X = A B1

ตัวอย่างท่ี 1 จงแกร้ ะบบสมการเชิงเส้น 2x – 3y = -1 ………… (1)
-3x + 5y = 2 ………… (2)

วธิ ีทา จาก AX = B

จะได้ 2  3 x  =  1
 3 5  y  2

A 1 = 1 d  b = 1 5 3
det(A)  c a  1 3 2

จะได้ X = A B1

x = 5 3 1 =  5  6 = 1
 y 3 2  2  3  4 1

 x = 1 และ y = 1

ตวั อย่างที่ 2 จงแกร้ ะบบสมการเชิงเส้น 2x + y + 2z = 3 ………… (1)

x+y–z= 1 ………… (2)
………… (3)
2

3x + 2y – 2z = – 2

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………….

ค 30203 46 เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์

2. ใช้กฎของคราเมอร์

บทนิยาม ถา้ A เป็นเมทริกซ์ nn โดยท่ี det(A)  0 แลว้ ระบบสมการเชิงเส้นท่ีเขียนในรูป

สมการเมทริกซ์

AX = B เมื่อ x1 , x2 , ... , xn คือตวั ไมท่ ราบค่า และ b1 , b2 , ... , bn เป็ นตวั คงที่

x1  b1 
  b 
โดยท่ี X =  x 2  , B = 2 

 
   
 x n   b 3 

จะมีคาตอบคือ x1 = det (A1 ) , x2 = det(A2 ) , ... , xn = det(An )
det(A) det(A) det(A)

เมื่อ A คือเมทริกซ์ที่ไดจ้ ากการแทนหลกั ท่ี i ของ A ดว้ ยหลกั ของ B
i

ตวั อย่างท่ี 2 จงแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นที่กาหนดใหโ้ ดยใชก้ ฎของคราเมอร์
2x + y + z = 1
x – 2y – 3z = 1
3x + 2y + 4z = 5

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

ค 30203 47 เร่ือง เมทรกิ ซ์

ใบกจิ กรรมที่ 8 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์

จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนีโ้ ดยใช้เมทริกซ์
1. 2x + 2y = 7

x + 2y = 4
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

2. x + y + z = 6
x–y+z = 2
x+y–z = 0

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

ค 30203 48 เรอ่ื ง เมทริกซ์

3. x + 3y = 0
y – 5z = 3
2x + z = -1

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

4. 2x – 3y + z = 8
-x + 4y + 2z = -4
3x – y + 2z = 9

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

ค 30203 49 เร่อื ง เมทริกซ์

แบบฝึ กทกั ษะที่ 8

1. จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ีโดยใชอ้ ินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์

1.1 y – x = 4 1.2 x + 2y – z = 3

2x + 3y = 22 3x + y = 6

2x + y = 1

2. จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ีโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ 2.2 3x + 6y = 5
2.1 3x + 4y = -2 6x + 14y = 11
5x + 3y = 4
2.4 x – 2y + 3z = 9
2.3 2x + y – z = 5 - x + 3y = - 14
3x – 2y + 2z = -3
x – y – 3z = -2 2x – 5y + 5z = 17