PELATIHAN OLIMPIADE MATEMATIKA SMA (M.IDRIS) (1)

Pelatihan danBPideamnbginMSaaaMtnemOAlaiNtmikpa1iaSdMeAS/aMinAs
LUBUKPAKAM

PELATIHAN DAN PEMBINAAN
OLIMPIADE SAINS

BIDANG MATEMATIKA SMA/MA

1 MUHAMMAD IDRIS

[email protected]

Pelatihan dan Pembinaan Olimpiade Sains
Bidang Matematika SMA/MA

PRE-TEST

Waktu: 45 menit.
1. Bilangan real x dan y memenuhi persamaan; 2x – 2y = 1 dan 4x – 4y = 5 . Tentukan hasil

3
dari x – y.
2. Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi f (xy)  f (x) , untuk semua x > 0 dan y > 0.

y
Jika f(2021) = 3, maka tentukan nilai f(47).
3. Diberikan barisan geometri a1, a2, …, an. Jika a1 + a4 = 20 maka tentukan nilai minimal
dari a1 + a2 + … + a6.
4. Tentukan semua bilangan bulat positif n, sehingga 2n  25 juga merupakan bilangan

n5
bulat positif.
5. Tentukan banyaknya faktor (pembagi positif) dari bilangan N  204  213  432  47
yang merupakan kelipatan 2021.
6. Jika m dan n adalah bilangan-bilangan asli sehingga: 3m2n2 + m2 – 30n2 = 517, maka
tentukan hasil dari m + n.
7. Keliling suatu segitiga siku-siku adalah 12 + 8 3 dengan jumlah kuadrat seluruh sisi-
sisinya 294. Tentukan kuadrat dari luas segitiga tersebut.
8. Panjang sisi-sisi suatu segitiga ABC adalah BC = a, AC = b, dan AB = c. Jika

1  1  3 maka tentukan besar  ABC.
ab bc abc
9. Dua dadu mata enam yang sisi-sisinya dicat merah atau biru. Dadu pertama terdiri dari

5 sisi merah dan 1 sisi biru. Ketika kedua dadu tersebut dilempar bersamaan maka
peluang munculnya sisi dadu berwarna sama adalah 7 . Tentukan banyaknya sisi

18
dadu kedua yang berwarna merah.
10. Suatu permainan menggunakan seperangkat n buah kartu berbeda, dengan n  6.
Dari seperangkat n kartu tersebut, banyaknya himpunan yang terbentuk dari 6 buah
kartu, sama dengan enam kali banyaknya himpunan yang terbentuk dari 3 buah
kartu. Tentukan nilai n.

2 MUHAMMAD IDRIS

[email protected]

Pelatihan dan Pembinaan Olimpiade Sains
Bidang Matematika SMA/MA

Topik: ALJABAR

1. Misalkan;

f(n) = 4n  4n2  1 .

2n  1  2n  1

Tentukan hasil dari f(1) + f(2) + ... + f(40).
2. Bilangan bulat p dan q memenuhi persamaan;

49 1  p  q 2 .

n1 n  n2  1

Tentukan hasil dari p + q.

1  1  1  2 1  1  1  2
n n
3. Diberikan an   , n  1. Tentukan hasil dari;

1  1  1 .
a1 a2 a20

4. Diberikan an  2  n2  1 , n  1. Tentukan hasil; a1  a2    a119 .
n4 1
 4

5. Tentukan hasil dari; 1  1  1  1  1  1  1 1  1 .
12 22 22 32 20212 20222

6. Bilangan real positif x, y, dan z memenuhi persamaan;

2 xlog(2y) = 2 2xlog(4z) = 2x4 log(8 yz)  0 .

Nilai dari xy5z dapat dinyatakan sebagai 1 , dengan p dan q bilangan asli
p
2q

saling relatif prima. Tentukan hasil dari p + q.
7. Diberikan A = 6log 16 dan B = 12log 27. Tentukan bilangan asli a, b, dan c

sehingga (A + a)(B + b) = c.
8. Diberikan bilangan bulat positif x, y dan bilangan-bilangan bulat A, B, C, dan

D yang memenuhi; A  log x B  log y C  log x , dan A  log y .
Jika A + B + C + D = 24 dan xy = 10n maka nilai tentukan nilai n.

9.

3 MUHAMMAD IDRIS

[email protected]

Pelatihan dan Pembinaan Olimpiade Sains
Bidang Matematika SMA/MA

10.

11.

12. Cari semua tripel bilangan real (x, y, z) yang memenuhi;

x  1 y z2

y  1 z  x2

z  1 x  y2 .

13. Tentukan semua (x, y, z), dengan x, y, dan z bilangan-bilangan real, yang
memenuhi sekaligus ketiga persamaan berikut:
x2 + 4 = y3 + 4x – z3
y2 + 4 = z3 + 4y – x3
z2 + 4 = x3 + 4z – y3.

14. Tentukan semua tripel bilangan real (x, y, z) yang memenuhi;
x3 + 3x2 + 2x – 5 = y
y3 + 3y2 + 2y – 5 = z
z3 + 3z2 + 2z – 5 = x

15. Carilah semua bilangan real (x, y, z) yang memenuhi;

x + y = 4z  1 ,
x + z = 4y  1 ,

y + z = 4x  1 .

16. Tentukan tripel bilangan real (x, y, z) yang memenuhi ketiga persamaan

berikut sekaligus;

x = y3 + y – 8,

y = z3 + z – 8,

z = x3 + x – 8.

17. Carilah semua solusi real (x, y, z) dari sistem persamaan;

4x2  y, 4y2 1  z , dan 4z 2 1  x .
4x2  1 4y2  4z2 

4 MUHAMMAD IDRIS

[email protected]

Pelatihan dan Pembinaan Olimpiade Sains
Bidang Matematika SMA/MA

18. Tentukan semua bilangan real x, y, dan z sehingga memenuhi sistem
persamaan;

x3  9(y2  3y  3)  0

 y 3  9(z2  3z  3)  0

z3  9(x2  3x  3)  0.

19. Tentukan semua bilangan real (a, b, c, d) yang memenuhi sistem persamaan

(b + c + d)2022 = 3a

(a + c + d)2022 = 3b

(a + b + d)2022 = 3c

(a + b + c)2022 = 3d

20. Bilangan-bilangan real a, b, dan c merupakan solusi dari sistem persamaan

x3 – xyz = 2, y3 – xyz = 6, dan z3 – xyz = 20.

Tentukan semua nilai yang mungkin untuk a3 + b3 + c3.

21. Tentukan semua tripel bilangan real (x, y, z) yang memenuhi sistem persamaan

x + y + z = 4, x2 + y2 + z2 = 14, x3 + y3 + z3 = 34.

22. Bilangan real x, y, dan z memenuhi sistem persamaan

x + y + z = 0, x3 + y3 + z3 = –18, dan x4 + y4 + z4 = 98.

Tentukan semua tripel (x, y, z).

23. Bilangan real positif x, y, dan z memenuhi sistem persamaan;

 x2  y2  9
y 2  z 2  2 yz  16.

 z 2  x2  2 zx  25

Tentukan hasil dari; 2 xy  xz  yz.

24. Diberikan bilangan x, y, dan z yang memenuhi sistem persamaan

x y2  1  z2  1
16 16

y z2  1  x2  1
25 25

z x2  1  y2  1
36 36

Tentukan hasil dari x + y + z.

 ax  by  3
 ax2  by2  7
25. Diberikan sistem persamaan;  . Tentukan hasil dari; ax5  by5 .
 ax 3  by3  16

ax4  by4  42.

5 MUHAMMAD IDRIS

[email protected]

Pelatihan dan Pembinaan Olimpiade Sains
Bidang Matematika SMA/MA

26. Misalkan a adalah bilangan real sehingga polinomial p(x) = x4 – 108x + a habis
dibagi oleh (x – c)2. Tentukan nilai a.

27. Diberikan bilangan bulat a dan b. Jika x2  x 1  0 merupakan faktor dari

polinom ax5  bx4 1 maka tentukan nilai a dan b.
28. Tentukan pasangan bilangan bulat (a, b) sehingga polinomial;

ax17 + bx16 + 1
terbagi oleh x2 – x – 1.
29. Misalkan A merupakan jumlah nilai mutlak semua nilai x dari persamaan;

x 19  91 .
91
19 
91
19 
91
19 
91
19  x

Tentukan hasil dari A2.

30. Diberikan barisan A = (a1 , a2 , a3 , ) dan A  (a2  a1 , a3  a2 , a4  a3 , ). Jika
semua suku dari barisan (A) bernilai 1, dan a19  a92  0 tentukan nilai a1 .

31. Barisan bilangan a0, a1, a2, , am memenuhi ak 1  ak 1  3 , k = 1, 2, ..., m – 1.
ak

Jika a0  37 , a1  72 , dan am  0 maka tentukan nilai m.

32. Fungsi kuadrat P(x) memenuhi; x2 – 2x + 2  P(x)  2x2 – 4x + 3, untuk setiap
bilangan real x. Jika P(11) = 181 maka tentukan nilai P(16).

33. Grafik y = 3(x – h)2 + j dan y = 2(x – h)2 + k, masing-masing memotong sumbu Y
di titik (0, 2013) dan (0, 2014). Jika kedua grafik tersebut memotong sumbu X
dengan koordinat bilangan asli maka tentukan nilai h.

34. Parabola dengan puncak  1 ,  9  , memiliki persamaan y = ax2 + bx + c,
 4 8 

dengan a > 0 dan a + b + c merupakan bilangan bulat. Nilai minimum a dapat

dituliskan sebagai p , untuk suatu bilangan asli p dan q yang saling relatif
q

prima. Tentukan hasil dari p + q.

35. Akar real terbesar dari persamaan; 3  5  17  19  x 2  11x  4,
   17  19
x 3 x 5 x x

adalah m  a  b  c , dengan a, b, dan c merupakan bilangan-bilangan asli.

Tentukan hasil dari a + b + c.

6 MUHAMMAD IDRIS

[email protected]

Pelatihan dan Pembinaan Olimpiade Sains
Bidang Matematika SMA/MA

Topik: TEORI BILANGAN

1. Tentukan himpunan semua bilangan asli n sehingga 6n + 30 adalah kelipatan
2n + 1.

2. Berapa banyak bilangan bulat n, sehingga 3n  25 juga bilangan bulat?
2n  5

3. Dilambangkan Z sebagai himpunan semua bilangan bulat. Banyaknya anggota

dari himpunan S dengan; S  a  Z a3  2a  1  Z adalah ....
 2a  1 

4. Ada bilangan bulat n yang mengakibatkan; n3  3n2  4 juga merupakan
2n  1
bilangan bulat. Tentukan banyaknya nilai n.

5. Tentukan semua bilangan bulat positif n sehingga hasil dari; n2 – 19n + 99

merupakan bilangan kuadrat.

6. Tentukan bilangan prima p, agar akar-akar dari persamaan kuadrat;
x2  px  444 p  0 merupakan bilangan bulat.

7. Jika p adalah bilangan prima, dan kedua akar dari persamaan;

x2 + px – 580p = 0

adalah bilangan bulat, maka tentukan banyaknya bilangan prima p.

8. Diketahui p dan q merupakan bilangan prima. Jika persamaan x2022 – px2021 + q
= 0 memiliki akar-akar bilangan bulat maka tentukan hasil dari p + q.

9. Jika m dan n adalah bilangan-bilangan asli sehingga: 3m2n2 + m2 – 30n2 = 517,
maka tentukan hasil dari m + n.

10. Pasangan bilangan bulat positif (n, k) memenuhi persamaan; k2  n2  3n  15 .
Tentukan jumlah semua nilai n.

11. Tentukan sisa pembagian bilangan 683 + 883 dibagi 49.
12. Tentukan sisa pembagian bila 9  99 999 999 dibagi oleh 1000.

999 buah

13. Tentukan semua bilangan real x dari persamaan; 4x2  40x  51  0.

14. Nilai n terbesar sehingga (n + 10) membagi (n3 + 100) adalah
15. Bilangan asli a, b, c, dan d memenuhi a3 = b2, c3 = d2 dan c – a = 25. Tentukan

c + a.
16. Bilangan prima x, y, dan z memenuhi persamaan; 34x – 51y = 2012z. Tentukan

x + y + z.

7 MUHAMMAD IDRIS

[email protected]

Pelatihan dan Pembinaan Olimpiade Sains
Bidang Matematika SMA/MA

17. Tentukan semua bilangan asli n agar n4 – 360n2 + 400 merupakan bilangan
prima.

18. Tentukan semua bilangan bulat n sehingga n4 – 51n2 + 225 merupakan bilangan
prima.

19. Banyaknya bilangan real a, agar persamaan kuadrat; x2 + ax + 6a = 0 hanya
memiliki akar-akar bilangan bulat adalah ....

20. Ada berapa faktor dari 27 35 53 72 yang merupakan kelipatan 10 ?
21. Jika n adalah bilangan asli terkecil yang merupakan kelipatan 75 dan memiliki

tepat 75 faktor, maka n =
75

22. Jika n = 231 319, maka tentukan banyaknya faktor dari n2 yang kurang dari n
tetapi tidak membagi n.

23. Misalkan n bilangan asli. Jika 2n mempunyai 28 faktor dan 3n mempunyai 30
faktor, maka banyaknya faktor yang dimiliki 6n adalah

24. Tentukan banyaknya bilangan bulat positif k yang memenuhi: KPK(66, 88, k) =
1212.

25. Bilangan enam angka a1989b habis dibagi oleh 72. Tentukan nilai a dan b.
26. Bilangan enam angka m9543n habis dibagi oleh 88. Tentukan nilai m dan n.
27. Pasangan digit (x, y) agar bilangan tujuh digit 30x0y03 habis dibagi oleh 13

adalah
28. Jika dihitung maka didapat 17! = 3a56874280b6000. Tentukan digit a dan b

tanpa menggunakan kalkulator.
29. Diketahui; 20! + 14! = 243290a0953b4931200. Tentukan nilai a dan b.
30. Tentukan bilangan asli terkecil n sehingga angka-angka dari 15n hanya terdiri

dari 0 dan 8.

8 MUHAMMAD IDRIS

[email protected]

Pelatihan dan Pembinaan Olimpiade Sains
Bidang Matematika SMA/MA

Topik: GEOMETRI

1. Pada persegipanjang ABCD, AB = 4030 dan BC = 2015. Titik M dipilih pada sisi
AB sedemikian sehingga AMD  CMD. Tentukan AMD.

2. Keliling suatu segitiga siku-siku adalah 12 + 8 3 dengan jumlah kuadrat
seluruh sisi-sisinya 294. Tentukan kuadrat dari luas segitiga tersebut.

3. Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi 2 satuan. Titik E dan F berturut-
turut berada pada sisi BC dan CD sehingga AEF sama sisi. Dibuat pula persegi
yang melewati B yang sisi-sisinya sejajar dengan ABCD dengan salah satu titik
sudutnya berada pada ruas garis AE, namun bukan A dan bukan E. Tentukan
panjang sisi dari persegi kecil yang terbentuk.

4. Suatu garis vertikal membagi segitiga ABC dengan titik sudut A(0, 0), B(1, 1),
dan C(9, 1) menjadi dua daerah dengan luas yang sama. Tentukan persamaan
garis tersebut.

5. Pada trapesium ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan dititik P. Luas
segitiga APB dan CPD masing-masing 576 dan 961. Tentukan luas trapesium
ABCD tersebut.

6. Sebuah trapesium DEFG dengan sebuah lingkaran dalam menyinggung
keempat sisinya dan berjari-jari 2 cm serta berpusat di C. Sisi DE dan GF adalah
sisi yang sejajar, dengan DE < GF dan DE = 3 cm. Jika besar  DEF =  EFG =
90o, maka tentukan luas trapesium tersebut.

7. Panjang sisi-sisi suatu segitiga ABC adalah BC = a, AC = b, dan AB = c. Jika

1  1  3 maka tentukan besar  ABC.
ab bc abc
8. Dua tali busur sejajar A dan B dari sebuah lingkaran masing-masing dengan
panjang 10 dan 14. Sebuah tali busur dengan panjang n sejajar dan terletak di
tengah-tengah dua tali busur A dan B. Jika tali busur A dan B berjarak 6, maka
tentukan nilai n.
9. Titik P berada di luar segitiga ABC. Jarak titik P terhadap titik A sama dengan
jarak titik P terhadap titik B. Garis BP memotong AC di titik D sehingga
PD = 20 dan BD = 14. Jika sudut APB sama dengan dua kali besar sudut ACB
maka tentukan hasil dari perkalian AD dan CD.
10. Diberikan segitiga ABC dengan AB = AC. Titik D dan E masing-masing adalah
tititk pada sisi AB dan AC secara berurutan sedemikian sehingga AB = 4DB dan
AC = 4AE. Jika luas segiempat BCED adalah 52 cm2 dan luas segitiga ADE
adalah x cm2, maka nilai x adalah ....

9 MUHAMMAD IDRIS

[email protected]

Pelatihan dan Pembinaan Olimpiade Sains
Bidang Matematika SMA/MA

11. Sisi-sisi sebuah segitiga merupakan bilangan bulat, dengan panjang sisinya 11,
15, dan k. Banyaknya nilai k agar segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul
adalah ....

12. Dalam segitiga ABC, titik P berada di dalam segitiga sehingga garis-garis yang
melalui titik P sejajar terhadap masing-masing sisi segitiga. Jika daerah yang
terbentuk terdapat 3 buah segitiga dengan luas 4, 9, dan 49, maka luas segitiga
ABC adalah ....

13. Diketahui segitiga ABC siku-siku di C dengan panjang sisi - sisinya merupakan
bilangan bulat. Tentukan panjang sisi-sisi segitiga tersebut jika hasil kali dari
dua sisi yang bukan sisi miring sama dengan dua kali keliling segitiga.

14. Pada segitiga ABC, titik D pada AC dan titik E pada BC. Garis BD dan AE
berpotongan di titik F. Jika [ADF] = 4 cm2, [ABF] = 8 cm2 dan [BEF] = 7 cm2,
maka [CDEF] = ....

15. Segitiga ABC siku-siku di B. Titik M di dalam segitiga sedemikian sehingga
MA = 10, MB = 6. Jika  AMB =  BMC =  AMC maka panjang CM adalah ....

16. Pada segitiga ABC, diketahui  A = 60 dan  B = 45 . Garisbagi dari A
memotong BC di T, dengan AT = 24. Luas segitiga ABC dapat dinyatakan

sebagai a  b c , dimana a, b, c merupakan bilangan bulat positif, dan c tidak
terbagi oleh kuadrat dari sembarang bilangan prima. Tentukan a + b + c.

17. Dalam segitiga ABC, AB = 13, BC = 15, dan CA = 17. Titik D pada AB, E pada

BC, dan F pada CA. Diberikan AD = p.AB, BE = q.BC, dan CF = r.CA, dimana p,

q, r merupakan bilangan positif, dan memenuhi sistem persamaan p + q + r =

2/3 dan p2 + q2 + r2 = 2/5. Rasio dari luas segitiga DEF dan luas segitiga ABC

dapat dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b bilangan bulat positif saling

relatif prima. Tentukan a + b.

       18.
Diberikan x  sin 4   cos4   sin 4 7  cos4 7 . Tentukan nilai 36x.
8 8 8 8

19. Bilangan real x dan y memenuhi persamaan;

sin x  3 , cos x  1 , dan sin 2x  cos 2x  m ,
sin y cos y 2 sin 2y cos 2y n

dengan m dan n merupakan bilangan bulat positif saling relatif prima.

Tentukan m + n.

20. Misalkan a, b, dan c merupakan tiga sisi dari suatu segitiga, dan misalkan pula
,  dan  sudut yang bersesuaian dengan sisi tersebut. Jika a2 + b2 = 2015c2,

maka tentukan hasil dari ; cot cot   .
 cot

10 MUHAMMAD IDRIS

[email protected]

Pelatihan dan Pembinaan Olimpiade Sains
Bidang Matematika SMA/MA

21. Pada segitiga ABC sama kaki, AB = AC dan garis tinggi AM = 11. Titik D pada
AM sehingga AD = 10 dan besar sudut BDC adalah tiga kali besar sudut BAC.

Jika keliling segitiga ABC dapat dituliskan sebagai a  b , untuk suatu
bilangan bulat a dan b > 0 maka tentukan hasil dari a + b.

22. Tentukan semua nilai x dengan 0 x  sehingga 3 1  3 1  4 2.
2 sin x cos x

23. Pada segitiga ABC dengan siku-siku di C, garis tinggi dari C memotong AB di

D. Panjang sisi-sisi segitiga merupakan bilangan asli dengan BD = 293. Jika nilai
m
cos B = n , dengan m dan n bilangan asli saling relatif prima maka tentukan

hasil dari m + n.

24. Diberikan (1 + sin t)(1 + cos t) = 5 dan (1 – sin t)(1 – cos t) = m  k , untuk
4 n
suatu bilangan asli k, m dan n, dengan m dan n saling relatif prima. Tentukan

hasil dari k + m + n.

25. Tentukan nilai maksimum dari f (x)  3sin x     5sin x  4  , untuk sebarang
 9  9

bilangan real x.

26. Sebuah kertas berbentuk segitiga sama sisi ABC memiliki panjang sisi 15.
Kertas dilipat sehingga titik A menyentuh titik di sisi BC yang jaraknya 9 dari

titik B. Panjang segmen garis hasil lipatan segitiga tersebut ditulis sebagai pr ,
q

dengan p, q, dan r bilangan asli, p dan q saling relatif prima, dan r tidak habis
dibagi kuadrat dari sembarang bilangan prima. Tentukan hasil dari p + q + r.

27. Pada suatu segitiga ABC dengan panjang sisi a, b, dan c berlaku hubungan;

2a2 + 4b2 + c2 = 4ab + 2ac. Tentukan nilai cos B.

28. Diberikan segitiga ABC dengan AB = 5, BC = 13, dan AC = 10. Titik P dan Q masing-

masing terletak pada sisi AB dan AC sedemikian sehingga [APQ]  1 . Jika panjang
[ABC] 4

PQ = k, maka tentukan nilai terkecil k.
29. Pada segitiga ABC, titik K, L, dan M masing-masing terletak pada AB, BC, dan

CA. Garis AL, BM, dan CK berpotongan di titik P ( P di dalam segitiga ABC).
Diberikan PK = PL = PM = 3 dan AP + BP + CP = 43. Tentukan hasilkali AP, BP,
dan CP.

30. Sudut-sudut suatu segitiga adalah A, B, dan C. Jika R dan r masing-masing jari-

jari lingkaran luar dan lingkaran dalamnya, maka buktikan bahwa;

   Rcot1A  cot 1 B .
2 2
r
2 sin C

11 MUHAMMAD IDRIS

[email protected]

Pelatihan dan Pembinaan Olimpiade Sains
Bidang Matematika SMA/MA

Topik: KOMBINATORIKA

2022

1. Hasil dari k  k!  …
k1

2016

2. Tentukan hasil dari k!(k 2  k  1) .
k1

1 2014 n
2015! 
3. n1 (n
Hasil dari  1)! …

4. Tentukan banyaknya bilangan kubik (pangkat 3) yang dapat membagi

bilangan 1! . 2! . 3! …10!.

5. Diberikan ((3!)!)! = k  n!, dengan k dan n merupakan bilangan-bilangan asli.
3!

Tentukan hasil k + n untuk n terbesar.

6. Huruf-huruf O, S, N, M, A, T disusun secara alfabet. Kata “OSNMAT” terletak
pada urutan ke-p. Nilai p = …

7. Jika 1  1  9 , maka nilai k adalah B
C 7 C 8 5 C 9
k k k

8. Perhatikan gambar.

Jika seseorang akan berjalan dari titik A ke titik

B melalui titik koordinat yang ada, maka A

banyaknya cara jalan terpendek yang dapat dipilihnya adalah

9. Duabelas titik terletak pada keliling suatu setengah lingkaran,
dengan 5 diantaranya terletak pada diameter. Dari duabelas
titik tersebut dibentuk garis-garis yang melalui sepasang titik,
dengan tidak ada tiga garis yang berpotongan pada satu titik.
Tentukan banyaknya titik potong yang dapat diperoleh dari
perpotongan dua garis.

10. Tentukan nilai dari  20015  1  20115  1  20215  1  22001155.
2 3 2016

11. Tentukan banyaknya quadratupel x1, x2 , x3 , x4  dari bilangan bulat positif

ganjil yang memenuhi persamaan x1  x2  x3  x4  98.

12. Dilambangkan Ckn sebagai kombinasi pemilihan k objek dari n objek.

Nilai r yang memenuhi persamaan; 11. C 28 = 225.C 24 adalah ....
2r 2r 4

12 MUHAMMAD IDRIS

[email protected]

Pelatihan dan Pembinaan Olimpiade Sains
Bidang Matematika SMA/MA

13. Suatu permainan menggunakan seperangkat n buah kartu berbeda, dengan
n  6. Dari seperangkat n kartu tersebut, banyaknya himpunan yang terbentuk
dari 6 buah kartu, sama dengan enam kali banyaknya himpunan yang
terbentuk dari 3 buah kartu. Tentukan nilai n.

14. Berapa banyak cara menyusun kata MATHEMATICS
dimulai dari atas ke bawah jika huruf-huruf yang diambil
harus berdekatan?

15. Diberikan 2! 1  3! 1    9! 1  1! F . Nilai F
 17!  16!  10!  18!

dapat dinyatakan sebagai pn  q , dengan n, p, q, dan r
r
merupakan bilanga bulat positif, serta p dan q saling relatif

prima dengan r. Tentukan hasil dari p + q + r + n.

16. Suatu perusahaan permen memproduksi empat macam rasa permen. Permen

dijual dalam bungkus. Setiap bungkus berisi 8 permen dengan setiap rasa

permen ada dalam bungkus. Tentukan banyaknya macam variasi isi

bungkusan permen tersebut.

17. Tentukan koefisien dari x29 pada ekspansi (1  x5  x7  x9)16 .

18. Banyaknya bilangan 7-angka yang dapat dibentuk dengan cara mengubah
susunan angka dari 2504224 adalah

19. Suatu sekolah membentuk team delegasi yang terdiri dari 4 anak kelas I, 5
anak kelas II dan 6 anak kelas III. Kemudian akan ditentukan pimpinan yang
terdiri dari ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Jika kelas asal ketua harus lebih
tinggi dari kelas asal wakil ketua dan sekretaris maka banyaknya
kemungkinan susunan pimpinan adalah

20. Tiga pria dan tiga wanita duduk melingkar mengelilingi meja bundar. Banyak
cara mereka duduk jika harus duduk berselang-seling adalah

21. Banyaknya barisan bilangan bulat tak negatif (p, q, r) yang memenuhi
persamaan p + q + r = 99, adalah

22. Find the number of quadruples (a,b,c,d) of non-negative integers which satisfy
the inequality: a + b + c + d ≤ 2013.

23. Suku konstan dari  x5  2 8 adalah
 x3 

24. Given that the constant term in the binomial expansion of  x  k 8 is 7. Find
 x3 

the value of positive constant k.

25. Tentukan jumlah koefisien dari penjabaran; (2x – y)2014 + (3x – 4y)2014.

26. Bila (x + 1)n dijabarkan (pangkat x semakin menurun) dengan n bilangan bulat

positif, maka diperoleh ada tiga suku berurutan yang memiliki perbandingan

koefisien; 2 : 15 : 70. Tentukan nilai n.

13 MUHAMMAD IDRIS

[email protected]

Pelatihan dan Pembinaan Olimpiade Sains
Bidang Matematika SMA/MA

27. Tentukan banyaknya quadratupel x1, x2 , x3 , x4  dari bilangan bulat positif

ganjil yang memenuhi persamaan x1  x2  x3  x4  98.

28. Bilangan asli a dan b memenuhi persamaan: 1  1  1  1  1 =
1!.9! 3!.7! 5!.5! 7!.3! 9!.1!

2a . Tentukan pasangan yang mungkin untuk (a, b).
b!

Nilai 2013   2013  j  j   =
j0 j i0 i
 29. 7 i

30. Dua buah dadu dilempar secara bersamaan, sisi dadu pertama diberi angka 1,
2, 2, 3, 3, dan 4. Sisi dadu kedua diberi angka 1, 3, 4, 5, 6, dan 8. Peluang agar
jumlah kedua sisi sama dengan 5, 7, atau 9 adalah

31. Peluang mendapatkan satu kali jumlah 7 dalam tiga kali pelemparan dua
dadu adalah

32. Usman akan melakukan tendangan penalti ke gawang yang dijaga Asmun.

Peluangnya membuat gol dalam sekali tendangan adalah 3 . Jika Usman

5

melakukan 7 kali tendangan maka peluang untuk membuat 2 gol adalah

33. Misalkan S menyatakan himpunan semua faktor positif dari 20102. Sebuah

bilangan diambil secara acak dari S. Peluang bilangan yang terambil habis

dibagi 2010 adalah

34. Perhatikan gambar.
Jika panjang ruas garis AB adalah 12, maka peluang bahwa A B

sebuah anak panah akan mengenai titik sasaran berjari-jari r = 2 Rr

di tengah-tengah suatu papan sasaran berjari-jari R adalah

35. Sebuah titik (x, y) diambil secara acak dari dalam persegi panjang dengan titik
sudut (0, 0), (4, 0), (4, 1), dan (0, 1). Tentukan peluang bahwa x < y.

36. Bilangan real a dan b dipilih secara acak dari interval (0, 1). Peluang akar-akar

dari persamaan x2  ax  b  0 merupakan bilangan real adalah
37. Diberikan segitiga ABC dengan siku-siku di C. Diketahui pula besar sudut

ABC adalah 60o dan AB = 10. Titik P dipilih secara acak di dalam segitiga ABC,
dan garis BP diperpanjang sehingga memotong AC di D. Tentukan peluang

bahwa BD > 5 2 .
38. Sebuah titik P dipilih secara acak dari bagian dalam sebuah segilima dengan

titik sudut A(0, 2), B(4, 0), C (2  1, 0) , dan D (2 1, 4) , dan E(0, 4). Tentukan

peluang bahwa besar sudut APB merupakan sudut tumpul.

14 MUHAMMAD IDRIS

[email protected]

Pelatihan dan Pembinaan Olimpiade Sains
Bidang Matematika SMA/MA

39. Misalkan kita mengambil kartu secara berurutan tanpa dikembalikan dari 52
kartu (1 set kartu bridge). Berapa minimal banyak kartu yang harus kita ambil
agar dapat dipastikan ada dua kartu yang angka/gambarnya sama?

40. Banyaknya minimal surat yang dimasukkan ke dalam 75 kotak pos, agar
terjamin ada sedikitnya satu kotak pos berisi sekurang-kurangnya 3 surat
adalah

41. Sebuah laci di dalam kamar yang gelap berisi 100 kaus kaki merah, 80 kaus
kaki hijau, 60 kaus kaki biru, dan 40 kaus kaki hitam. Setiap kali diambil secara
acak satu kaus kaki dari laci, dan tidak dikembalikan. Berapa minimal banyak
kaus kaki yang harus diambil untuk memastikan bahwa dari pengambilan
tersebut setidaknya telah ada 10 pasang?

42. Banyaknya minimal titik yang harus diambil di dalam atau pada segitiga sama
sisi dengan panjang sisi 6, agar terjamin ada dua titik yang berjarak tidak lebih
dari 3 adalah

43. Tentukanlah banyaknya minimal titik yang harus diambil didalam atau pada
sebuah persegi panjang berukuran 6 x 16, agar ada dua titik yang jaraknya

kurang dari 2 2 .

44. Berapakah banyaknya minimal titik yang harus diambil dari sebuah persegi

dengan panjang sisi 2, agar dapat dijamin senantiasa terambil dua titik yang
1
jarak antara keduanya tidak lebih dari 2 2?

45. Pada suatu bidang terdapat n titik yang berkoordinat pasangan bilangan bulat.

Nilai n terkecil agar terdapat dua titik yang titik tengahnya juga berkoordinat

pasangan bilangan bulat adalah

46. Diberikan 5 titik pada segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1. Buktikan

bahwa ada 2 titik yang jaraknya tidak lebih dari ½.

47. Tiga buah titik terletak pada daerah yang dibatasi oleh sumbu Y dan grafik

persamaan 7x – 3y2 + 21 = 0. Buktikan bahwa sedikitnya dua di antara ketiga

titik tersebut mempunyai jarak tidak lebih dari 4 satuan.

48. Diberikan sebarang 33 bilangan bulat positif, dengan masing - masing faktor

primanya hanya boleh diambil dari himpunan {3, 5, 7, 11, 13}. Tunjukkan

bahwa ada dua dari bilangan bulat positif tersebut yang hasil kalinya berupa

bilangan kuadrat sempurna.

49. Diberikan 6 titik yang terdapat pada persegi panjang berukuran 3 x 4.

Buktikan bahwa ada 2 titik yang jaraknya tidak lebih dari 5.

50. Diberikan sembilan titik yang terletak pada persegi dengan panjang sisi satu
satuan. Buktikan bahwa ada tiga titik dari sembilan titik tersebut merupakan

titik sudut suatu segitiga yang luasnya tidak lebih dari 1 .
8

51. Diberikan 7 bilangan real. Buktikan bahwa ada dua dari bilangan tersebut

katakan a dan b sehingga memenuhi; 0  b  a  1 3 .
1 ab 3

15 MUHAMMAD IDRIS

[email protected]

Pelatihan dan Pembinaan Olimpiade Sains
Bidang Matematika SMA/MA

52. Diberikan 13 bilangan real. Buktikan bahwa ada dua dari bilangan tersebut

 katakan x dan y sehingga memenuhi; x  y  2  3 1 xy .

53. Buktikan bahwa dari 52 bilangan bulat positif kita dapat memilih 2 bilangan
sehingga selisih atau jumlahnya habis dibagi 100.

54. Titik letis pada bidang adalah titik yang mempunyai koordinat berupa
pasangan bilangan bulat. Misalkan P1, P2, P3, P4, dan P5 adalah lima titik letis
berbeda pada bidang. Buktikan bahwa terdapat sepasang titik (Pi, Pj) dengan i 
j, sedemikian sehingga ruas garis PiPj memuat sebuah titik letis selain Pi dan Pj.

55. Tentukan bentuk umum dari barisan {an} dengan an  an1  4n  1 dan a0 = 1.

56. Tentukan bentuk umum dari barisan {an} dengan an  3an1  2  2n2 dan a0 = 3.

57. Tentukan bentuk umum dari barisan {an} dengan an  3an1  3 2n  4n dan a1
= 2.

58. Tentukan bentuk umum dari barisan {an} dengan an  3an1  4n2  2n  2n dan
a0 = 1.

59. Diberikan barisan a0, a1, … dengan a0 = 2, a1 = 8/3 dan aman  amn  amn untuk
setiap bilangan asli m, n, dengan m  n . Tentukan banyaknya bilangan asli n

yang memenuhi an  3n  1 .
2015

60. Diberikan barisan bilangan bulat {an} dengan a1 = 2, a2 = 8 dan

an2  3an1  an  5(1) n . Tentukan bentuk umum an.

16 MUHAMMAD IDRIS

[email protected]

Triangles

Right Triangles

Pythagorean Theorem: a2 + b2 = c2

Geometric relationships:
h2 = de
a2 = dc

Median to hypotenuse:
m= c
2

General Triangles

Law of Sines: sin A = sin B = sin C
abc

Law of Cosines: c2 = a2 + b2 − 2ab cosC

In the following formulas, the semiperimeter is s = a + b + c , K is the area of the triangle,
2

r is the radius of the inscribed circle, and R is the radius of the circumscribed circle.

Area: K = 1 ab sin C = 1
2 2 hcc

Heron’s Formula: K = s(s − a)(s − b)(s − c)

Inscribed radius: r = K
s

Circumscribed radius: R = abc , R = c
4K 2 sin C

Cevians

A cevian is any segment drawn from the vertex of a triangle to the opposite side.
Cevians with special properties include altitudes, angle bisectors, and medians. Let hc, tc,
and mc represent the altitude, angle bisector, and median to side c, respectively.

Altitudes:

The altitudes of a triangle
intersect at the orthocenter.

hc = a sin B hc = 2K
c

Angle Bisectors:

The angle bisectors of a triangle
intersect at the incenter, the center
of the triangle’s inscribed circle.

Angle Bisector Theorem: a = b
mn

HFG IKJLength of an Angle Bisector: tc =
ab 1− c2
a2 + b2

Medians:

The medians of a triangle intersect at the centroid.
Along the median, the distance from a vertex
to the centroid is twice the distance from the
centroid to the opposite side.

Length of a Median: mc = a2 + b2 − c2
224

Stewart’s Theorem

If a cevian of length d is drawn and divides
side c into segments m and n, then

a2n + b2m = c(d 2 + mn)

Ceva’s Theorem

A necessary and sufficient condition
for AD, BE, CF, where D, E, and F
are points on the respective side lines
BC, CA, AB of a triangle ABC, to
be concurrent is that

BD ⋅CE ⋅AF = + DC ⋅EA⋅FB
where all segments in the formula
are directed segments.

Ex. Suppose AB, AC, and BC have lengths 13, 14, and 15. If AF:FB = 2:5 and
CE:EA = 5:8. If BD = x and DC = y, then 10x = 40y, and x + y = 15. Solving,
we have x = 12 and y = 3.

Menelaus’Theorem

A necessary and sufficient condition
for points D, E, F on the respective side
lines BC, CA, AB of a triangle ABC
to be collinear is that

BD ⋅CE ⋅AF = − DC ⋅EA ⋅FB
where all segments in the formula
are directed segments.

Circles

Two intersecting chords: ab = cd

Angle measurements: Two secants: x = a − b
Intersecting chords: x = a + b 2
2

Inscribed angles: x= a
2

Secants and Tangents: Secant and tangent: t 2 = b(a + b)
Two secants: b(a + b) = c(c + d)

Cyclic Quadrilaterals

A quadrilateral is cyclic if the quadrilateral
can be inscribed in a circle.

A + C = B + D = 180°

If the quadrilateral has sides a, b, c, d, the semiperimeter s = a + b + c + d . Let R be the
2

radius of the circumscribed circle and let the diagonals be p and q.

Brahmagupta’s formula: K = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d )
Radius of circumscribed circle: R = (ac + bd )(ad + bc)(ab + cd )

4K
Ptolemy’s Theorem: A convex quadrilateral with consecutive sides a, b, c, d and
diagonals p, q is cyclic if and only if

ac + bd = pq.

Regular Polygons

For the following formulas, n is the number of sides in the polygon and s is the length of
each side. θ is the measure of one of the interior angles. The radius of the inscribed
circle is r, and the radius of the circumscribed radius is R.

Sum of interior angles: 180(n-2)°
Interior angle measure: θ = 180(n − 2)

n
Area: K = rns

2

Polygon n K r R

Triangle 3 s2 3 s3 s3
Square 4 4 3
Hexagon 6 6 s2
s2 s
2
3s2 3 2
2 s
s3
2s2 (1+ 2) s 3− 2 2
Octagon 8 s 2HFG1+ 2 JKI 2
2

Solid Geometry

Spheres
Surface area: 4πr 2

Volume: 4 πr 3
3

Cylinders

Lateral area: 2πRh

Total surface area: 2πR(R + h)

Volume: πr 2h

Right Circular Cone

Slant height: s = R2 + h2
Lateral Area: πRs
Volume: πR2h

3

Frustrums

For a frustrum with height h and base areas B1 and B2 ,

d iVolume: V
= 1h B1 + B2 + B1B2
3

Regular Polyhedra

Let v = number of vertices, e = number of edges, f = number of faces, a = length of each
edge, A = area of each face, r and R the radii of the inscribed and circumscribed spheres,
respectively, and V = volume.

Name vef Ar RV
Tetrahedron
Hexahedron 464 a2 3 a 6 a 6 a3 2
Octahedron 4 12 4 12

8 12 6 a2 a a 3 a3
22

6 12 8 a2 3 a 6 a 2 a3 2

46 2 3

Name vef A r
Dodecahedron 20 30 12 1 a2 25 + 10 5 1 a 250 + 110 5
4 20
R
V
e j1 a 15+ 3
d i1 a3 15+ 7 5
4
4

Name vef A 1 r
Icosahedron a2 3 a 42 + 18 5
12 30 20
4 12
R V
1 a 10 + 2 5 5i
4 d5 a3 3 +

12

For any convex polyhedron:

Euler’s Formula: v –e + f = 2

Analytic Geometry

Points and Lines:

For any points P1 (x1, y1) and P2 (x2, y2) in a rectangular coordinate plane,

b g b gDistance between P1 and P2 : x2 − x1 2 + y2 − y1 2

Slope m of P1 and P2 : m = y2 − y1 = tanα
x2 − x1

Angle θ between two lines of slopes m1 and m2 : tanθ = m2 − m1
1+ m1m2

Distance from Ax + By + C = 0 to P1 : Ax1 + Bx2 + C
A2 + B2

Triangles:
For a triangle with vertices P1 (x1, y1) , P2 (x2, y2) and P3 (x3, y3),

1 x1 y1 1
Area: 2 x2 y2 1

x3 y3 1

GF JICoordinates of Centroid: x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3
H K3 3

Polygons:

Area of Polygon P1 P2 … Pn :
b g1

2
x1 y2 + x2 y3+ L xn− 1 yn + xn y1 − y1x2 − y2 x3 − K− yn− 1xn − yn x1

This is the sums of the products of the coordinates on lines slanting downward
minus the products of the coordinates on lines slanting upwards (like a 3 by 3
determinant).

Pick’s Theorem:

For any polygon whose vertices are lattice points, the area is given by
K = 1 B + I − 1, where B is the number of lattice points on the boundary of the

2
polygon and I is the number of lattice points in the interior.

Polynomials

For all polynomials of the form P( x) = an xn + an− 1xn− 1+ L a1x + a0 , where ai ∈ R :

Fundamental Theorem of Algebra: P(x) has n roots

Sum of roots: − an− 1
an

Product of roots: a0 (− 1)n
an

For any ak, ak (− 1)n+ k represents the sum of the product of the roots, taken (n − k ) at a
an

time.

Ex. when n=3, a1 (− 1)3+ 1 is the sum of product of the roots, taken 3-1 or 2 at a
a3

time. a1 = (r1r2 + r2r3 + r3r1) , where r1, r2, and r3 are the roots of the polynomial.
a3

Remainder Theorem:

The remainder when P(x) is divided by (x –w) is P(w).

Descartes’Rule of Signs:

The number of positive real roots of P(x) is z decreased by some multiple of two, (z,
z-2, z-4, etc… ). z is the number of sign changes in the coefficients of P(x), counting
from an to a0 . The number of negative real roots is found similarly by finding z for
P(-x).

Ex. For the polynomial x5 − 4x4 + 3x2 − 6x + 1 , there are possibly 4, 2, or 0
positive roots and 1 negative root.

Rational Root Theorem:

If all ai are integers, then the only possible rational roots of P(x) are of the form ±k ,
an

where k is a factor of a0 .

Factors and Expansions

(a ±b)2 = a2 ±2ab + b2
(a ±b)3 = a3 ±3a2b + 3ab2 ±b3
(a ±b)4 = a4 ±4a3b + 6a2b2 ±4ab3 + b4

a2 − b2 = (a − b)(a + b)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
a4 + b4 = (a2 + ab 2 + b2 )(a2 − ab 2 + b2 )
an − bn = (a − b)(an− 1 + an− 2b+ K+ bn− 1)
an − bn = (a + b)(an− 1 − an− 2b+ K− bn− 1) for even values of n
an + bn = (a + b)(an− 1 − an− 2b+ K+ bn− 1) for odd values of n

a4 + a2b2 + b4 = (a2 + ab + b2 )(a2 − ab + b2 )
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2 (b + c) + 3b2 (a + c) + 3c2 (a + b) + 6abc

a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 − 3(a + b)(b + c)(a + c)

Discrete Mathematics

Combinatorics

Counting principle: If a choice consists of k steps, of which the first can be made in
n1 ways, the second in n2 ways, … , and the kth in nk ways, then the whole choice can
be made in n1 n2… nk ways.

Factorials: n! = 1⋅2 ⋅3L (n − 1) ⋅n

Permutations: A permutation is an arrangement of objects where order matters.
(123 and 213 are considered different permutations of the digits 1, 2, and 3).

nPr is the number of permutations of r objects chosen from n objects.

n Pr = n!
(n − r)!

Special cases: there are n! ways of arranging all n objects.

Repeated objects: In an arrangement of n objects, if there are r1 objects of type 1,

r2 objects of type 2, … rk objects of type k, where objects of the same type are

indistinguishable, then there are n! ways to arrange the n objects.

r1!r2 !L rk !

Circular Permutations: If n objects are arranged in a circle, there are (n-1)!
possible arrangements.

“Key-ring” permutations: If n objects are arranged on a key ring, there are
(n − 1)! possible arrangements.

2

Combinations: In a combination, the order of objects does not matter (123 is the
same as 213).

nCr is the number of combinations of r objects chosen from n objects.

HFG IKJnCr = n = n!
r r!(n − r)!

Sets:

For sets A and B,

Union: AU B is the set that contains the elements in either A, B, or both.

Intersection: AI B is the set that contains only elements that are in

both A and B.

Complement: A' is the set of all elements not in A.

Inclusion-Exclusion principle: If n(S) is the number of elements in set S, then
n( AU B) = n( A) + n(B) − n( AI B) .

This can be extended for more than two sets. (ex. For sets A, B, and C,
n( AU B U C) = n( A) + n(B) + n(C) − n( AI B) − n(B I C) − n( AI C) + n( AI B I C) .

Probability:

If an experiment can occur in exactly n ways, and if m of these correspond to an event
E, then the probability of E is given by

P(E) = m
n

P(A and B) = P( A ∩ B) = P( A) P(B) if A and B are independent events.
P(A or B) = P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( A ∩ B)

Conditional Probability: the conditional probability of an event E, given an event F, is
denoted by P(E/F) and is defined as P( E / F) = P(E ∩ F) .

P(F)

Pigeonhole principle: If there are more than k times as many pigeons as pigeonholes, then
some pigeonhole must contain at least k+1 pigeons. Or, if there are m pigeons and n

MNM QPPpigeonholes, then at least one pigeonhole contains at least m − 1 + 1 pigeons.
n

Ex. Consider any five points P1, P2, P3, P4, and P5 in the interior of a square S
with side length 1. Denote by dij the distance between points PI and Pj. Prove
that at least one of the distances between these points is less than 2 .

2

Solution: Divide S into four congruent squares. By the pigeonhole principle, two
points belong to one of these squares (a point on the boundary can be claimed by
both squares). The distance between these points is less than 2 . (Problem and

2
solution from Larson, number 2.6.2).

Number Theory

Figurate Numbers:
Triangular: 1, 3, 6, 10, … 1 n(n + 1)
2
Square: 1, 4, 9, 16, … n2
Pentagonal: 1, 5, 12, 22, 35, … 1 (3n2 − n)
2
K-gonal: 1, k … 1 k (n2 − n) − n2 + 2n
2

Pythagorean triples: These take the form of M2 - N2, 2MN, and M2 + N2. The product of
the sides is always divisible by 60.

Primes:
Mersenne: primes of the form 2 p − 1, where p is a known prime. Not all
numbers of this form are prime.

Fermat: primes of the form 22n + 1. The only primes of this form found so far are
for n = 0 through 4.

Gauss: A regular polygon can only be constructed if the number of vertices is a
Fermat prime or the product of distinct Fermat primes.
(Ex. n = 3, 5, or 15 = 3*5). Note: once any n-gon has been constructed,
one can easily construct the 2n-gon.

Neighbors of Six: All primes must be in the form 6n+1 or 6n-1 (after
2 and 3)

Composite Numbers:

Fundamental Theorem of Arithmetic: every integer greater than 1 has a unique
factorization into prime factors.

For an integer n greater than 1, let the prime factorization be n = p e1 p2 e2 L p ek
1 k

Number of divisors: d (n) = (e1 + 1)(e2 + 1)L (ek + 1)
FG IJFG IJ GF JISum of divisors: σ(n) =
p e1 + 1 − 1 p e2 + 1 − 1 p en + 1 − 1
1 2 n
H KH K H Kp1 − 1 L
p2 − 1 pn − 1

Any number n such that d(n) is odd is a perfect square.

If σ(n)=2n, then n is a perfect number.
If 2 p − 1 is a prime (Mersenne), then 2 p− 1(2 p − 1) is a perfect number.

Congruences:

For any integers a, b, and positive integer m, a is congruent to b modulo m if a – b is
divisible by m. This is represented by

a ≡ b ( mod m )

This is equivalent to saying a – b = mk for some integer k.

For any integers a, b, c, and positive integers m,
Reflexive property: a ≡ a ( mod m )
Symmetric property: If a ≡ b ( mod m ), then b ≡ a ( mod m ).
Transitive property: If a ≡ b ( mod m ) and b ≡ c ( mod m ), then
a ≡ c ( mod m )

For any integers a, b, c, d, k, and m, with m > 0, if a ≡ b ( mod m ) and c ≡ d ( mod m ):
(i) a ±k ≡ b ±k ( mod m )
(ii) ak ≡ bk ( mod m )
(iii) a ±c ≡ b ±d ( mod m )
(iv) ac ≡ bd ( mod m )
(v) ak ≡ bk ( mod m )

If ac ≡ bc ( mod m ), then a ≡ b ( mod m ) only if m and c are relatively prime.

Fermat’s Little Theorem: For any integer a and prime p, where a and p are relatively
prime, a p− 1 ≡ 1(mod p) .

Wilson’s Theorem: An integer p is prime if and only if ( p − 1)! ≡ − 1(mod p) .

Linear Diophantine Equations: The equation ax + by = c has infinitely many solutions
for integral x and y if the greatest common divisor of a and b divides c. If this condition
is not satisfied there are no possible solutions.

Divisibility Rules

Let n be represented by the digits dndn− 1L d2d1 . a | b means that a divides into b, or
that a is a factor of b.

n

∑3: A number is divisible by 3 if the sum of its digits is divisible by 3. 3 | n if 3 | dk .
k =1

4: A number is divisible by 4 if the number represented by the last two digits is divisible
by 4. 4 | n if 4 | 10d2 + d1 . This can be reduced to 4 | n if 4 | 2d2 + d1 .

6: check for divisibility by both 2 and 3.

8: A number is divisible by 8 if the number represented by the last three digits is divisible
by 8. 8 | n if 8 | 100d3 + 10d2 + d1 . More specifically, 8 | n if 8 | 4d3 + 2d2 + d1 .

n

∑9: A number is divisble by 9 if the sum of its digits is divisible by 9. 9 | n if 9 | dk .
k =1

2k: A number is divisible by 2k if the number represented by the last k digits is divisible
by 2k.

7:

Rule 1: Partition n into 3 digit numbers starting from the right

( d3d2d1 , d6d5d4 , d9d8d7 , etc… ) If the alternating sum ( d3d2d1 - d6d5d4 + d9d8d7 - … )
is divisible by 7, then n is divisible by 7.

Rule 2: Truncate the last digit of n, and subtract twice that digit from the remaining
number. If the result is divisible by 7, then n was divisible by 7. This process can be
repeated for large numbers.

Ex. n = 228865 → 22886 – 2(5) = 22876 → 2287 – 2(6) = 2275
7 | 217, so 7 | 228865 (228865 = 7*32695)
→ 227 – 2(5) = 217 →

Rule 3: Partition the number into groups of 6 digits, d1 through d6, d7 through d12, etc.
For a 6 digit number n, n is divisible by 7 if (d1 + 3d2 + 2d2 –d4 –3d5 –2d6) is
divisible by 7. For larger numbers, just add the similar sum from the next cycle. The
coefficients counting from d1 are (1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1, -3, -2, … )

11: A number n is divisible by 11 if the alternating sum of the digits is divisible by 11
11 | n if 11 | (d1 –d2 + d3 –d4 + d5 - … –dn (-1)n).

13:

Rule 1: See rule 1 for divisibility by 7, n is divisible by 13 if the same specified sum
is divisible by 13.

Rule 2: Same process as in rule 3 for 7, the cycle of the coefficients is (1, -3, -4, -1, 3,
4, … )

Trigonometric Identities

sin2 x + cos2 x = 1
1+ tan2 x = sec2 x
1+ cot2 x = csc2 x
sin x = cos(90 − x) = sin(180 − x)
cos x = sin(90 − x) = − cos(180 − x)
tan x = cot(90 − x) = − tan(180 − x)

Angle-sum and angle-difference formulas
sin(a ±b) = sin a cosb ±cosa sinb

cos(a ±b) = cosa cosb m sin a sinb

tan(a ±b) = tan a ±tan b
1m tan a tan b

cot(a ±b) = cot a cot b m 1
cot b ±cot a

sin(a + b) sin(a − b) = sin2 a − sin2 b = cos2 b − cos2 a

cos(a + b) cos(a − b) = cos2 a − sin2 b = cos2 b − sin2 a

Double-angle relations

sin 2a = 2 sin a cos a = 2 tan a
1+ tan2 a

cos2a = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1= 1− 2 sin2 a = 1− tan2 a
1+ tan2 a

tan 2a = 2 tan a cot 2a = cot2 a − 1
1− tan2 a 2 cot a

Multiple-angle relations

sin 3a = 3sin a − 4 sin3 a

cos3a = 4 cos3 a − 3cosa tan 3a = 3 tan a − tan3 a
1− 3tan2 a

sin 4a = 4 sin a cosa − 8sin3 a cosa

cos4a = 8cos4 a − 8cos2 a + 1 tan 4a = 4 tan a − 4 tan3 a
1− 6 tan2 a + tan4 a

sin 5a = 5sin a − 20sin3 a + 16sin5 a

cos5a = 16cos5 a − 20cos3 a + 5cosa

sin 6a = 32 cos5 a sin a − 32 cos3 sin a + 6cosa sin a

cos6a = 32 cos6 a − 48cos4 a + 18cos2 a − 1

sin na = 2 sin(n − 1)a cosa − sin(n − 2)a tan na = tan(n − 1)a + tan a
cosna = 2 cos(n − 1) cosa − cos(n − 2)a 1− tan(n − 1)a tan a

Function-product relations

b gsin a sin b = 1 cos(a − b) − cos(a + b)
2

b gcosa cosb = 1 cos(a − b) + cos(a + b)
2

b gsin a cosb = 1 sin(a + b) + sin(a − b)
2

b gcosa sinb = 1 sin(a + b) − sin(a − b)
2

Function-sum and function-difference relations

FG JI FG JIsin a + sinb = 2sin a + b cos a − b
H K H K2 2

GF IJ GF JIsin a − sinb = 2cos a + b sin a − b
H K H K2 2

FG IJ GF JIcosa + cosb = 2cos a + b cos a − b
H K H K2 2

GF JI FG IJcosa − cosb = − 2 sin a + b sin a − b
H K H K2 2

tan a + tanb = sin(a + b)
cosa cosb

tan a − tan b = sin(a − b)
cosa cosb

Half-angle relations

sin a = ± 1− cosa cos a = ± 1+ cosa
22 22

tan a = ± 1− cosa = 1− cosa = sin a
2 1+ cosa sin a 1+ cosa

cot a = ± 1+ cosa = 1+ cosa = sin a
2 1− cosa sin a 1− cosa

Trig functions of special angles

Angle sin cos tan
0 0 1 0
15
d i2 3 − 1 d i2 3 + 1 2− 3
18
4 4 d i2 5 − 1
30
5− 1 5+ 5 2 5+ 5 5
36 4 22 3
45 3
1 3
54 2 2 d i5 − 1 5−

60 5− 5 5+ 1 22
22 4
72 2 2 1
75 2 2
90 d i5 + 1 2
5+ 1 5− 5
4 22 2 5− 5

3 1 3
2 2
d i5 + 1 5− 5
5+ 5 5− 1
22 4 22

d i2 3 + 1 d i2 3 − 1 2+ 3
…
4 4
1 0

Problems

Solutions are left as an exercise for the reader. All answers must be simplified and exact
answers unless otherwise specified (irrational decimal answers require infinitely many
decimal places.)

1. What is the ratio of the side of a regular octahedron with equal volume and surface
area to the side of a tetrahedron with equal volume and surface area?

2. What is the sum of the product and the sum of the roots of the equation x2 + 7x − 1?
What about x3 − 3x2 + 7x − 25?

3. The medians of a triangle with sides
13, 14, and 15 intersect as shown below.
What is the area of the shaded region?

4. What is the ratio of the area of
∆ADC to the area of ∆ADB ?

5. What is the length of the median
to side AB ?

6. AB and CD are intersecting chords in the
circle. The radius of the circle is 10, and the

distance from the center to AB is 6. What
are the lengths of the segments AE and BE ?

7. AB ≅CD . What is the area of ABCD? 8. What is x?

9. x 34y73 is a 6 digit number that is divisible by 7. What is y –x?
10. Find an even number that has 7 factors. Is this the only such number?

FGH HGF JIKJI11. Compute sin 3cos− 1 3 .
K5

12. A regular polygon has an exterior angle whose measure is equal to 1 of its interior
8

angle. How many sides does the polygon have?
13. What is the sum of the factors of 1572?
14. There are 4 different types of monitors, 5 different CPU’s, and 3 different types of

printers that can be purchased. Two of the CPU’s are not compatible with one of the
monitors. How many different systems can be purchased?
15. A committee of 3 people must be chosen from a group of 10 individuals. One must
be appointed the leader and another the secretary. How many different ways can a
committee be chosen?
16. How many 5 digit numbers exist whose digits are all in descending order?
17. Out of a group of 100 people, 70 people are taking math, 60 are taking science, and
50 are taking history. 40 are taking both math and science, 25 are taking both math
and history, and 35 are taking both science and history. How many are taking all
three subjects?
18. What is the probability that if an integer between 1 and 1000 is chosen, that it is
divisible by either 2 or 5?

19. What is the area of ABCD? What are
the lengths of the diagonals?

20. What is the area of the shaded region?

21. If r, s, and t are the roots of the equation x3 − 3x2 + 8x − 5, what is the value of
r3 + s3 + t3?

22. What is the radius of the circumscribed circle of the triangle?

23. How many negative roots does x11 − 5x6 + 4x3 + 2x2 − x + 1 = 0 have?
24. If θ is the angle the line 3x + 5y = 10 makes with the x-axis, then what is cos θ ?
25. What is the distance from the point (7, 12) to the line x = -y ?

26. A triangle has vertices at (2, 5), (0, 8), and (4, 12). What is its area?
L O5 − 2
M P27. What is the inverse of the matrix ?
N Q− 7 1
28. What is the remainder when 138 is divided by 7?

29. What is the lateral area of a cone with radius 4 and height 3?

30. Find all solutions to the equation 8x + 28y = 34, where x and y are integers.

31. What is the sum of the first n triangular numbers?

32. 34a 743164 is divisible by 11. What is the value of a?

33. A biased coin is flipped 10 times. If the probability of getting heads is 2 , then what
3

is the probability of getting exactly 6 tails?
34. The 2nd term of an arithmetic sequence is 2, and the 10th term is 26. What is the sum

of the first 15 terms of the sequence?

35. What is sin (22.5°) ?

36. A sphere is inscribed inside a regular tetrahedron with side length 6. What is its

surface area?

37. In the expansion of (3a − b + c + d − 2e)10 , what is the coefficient of the a2b3cd 3e

term?

38. cos2x + cos4x is equivalent to 2 cosax cosbx . What is a + b?
39. What is cos2 18° ?
40. n is the sum of the first 25 digits in the decimal approximation of eπ . It is also a

factor of 703987968917520. A sphere is inscribed inside a regular icosahedron with side

length 108. Its radius has a length of z a + b c , where z, a, b, and c are all integers,

and the expression is simplified as much as possible. Let q equal the sum of the first 5
decimal digits in π . The 6th triangular number is equal to k + 1. If
n = z + a + b + c + q + k , what is the value of n?

Strategies

1. Search for a pattern:
Ex. Compute (31)(30)(29)(28) + 1 (no calculators) (1989 AIME, #1)

Starting at 1 instead of 28, we see that
(3)(2)(1)(0) + 1 = 1 = 1 = 12 + 0
(4)(3)(2)(1) + 1 = 25 = 5 = 22 + 1
(5)(4)(3)(2) + 1 = 121 = 11 = 32 + 2
(6)(5)(4)(3) + 1 = 361 = 19 = 42 + 3

Then it appears (n + 3)(n + 2)(n + 1)n + 1 = (n + 1)2 + n , so the solution to our
problem would be 292 + 28 = 869. Multiplying out the polynomials will show that
the formula is accurate.

2. Draw a Figure:
Ex. Mr. and Mrs. Adams recently attended a party at which there were three other
couples. Various handshakes took place. No one shook hands with his/her own
spouse, no one shook hands with the same person twice, and no one shook his/her
own hand. After all the handshaking was finished, Mr. Adams asked each person,
including his wife, how many hands he or she had shaken. To his surprise, each gave
a different answer. How many hands did Mrs. Adams shake? (Larson 1.2.4)

A diagram with dots representing people is helpful.
The numbers that Mr. Adams received must have
been 0, 1, 2, 3, 4, 5, and 6. Suppose A shook hands
with 6 other people (B through G, for example).
This is represented by the diagram to the right.
H must be the person who shook 0 hands, and A and H
must be a couple since A shook hands with everyone
else. Now suppose B shook 5 hands (A, C, D, E, and F,
for example). This diagram is shown below.

G must be the person who shook 1 hand, and B and G must
be spouses. If C is the person who shook 4 hands, we find
similarly that F shook 2 hands. Completing the diagram,
we see that D and E both shook 3 hands. They must be Mr.
and Mrs. Adams.

3. Formulate an Equivalent Problem:
Sometimes when the problem or the calculations are complicated, the problem can
often be rewritten or manipulated into a different form that is easier to solve. Ways to
do this include algebraic or trig manipulation or substitution, use of a one-to-one
correspondence, or reinterpreting the problem into a different subject.

Ex. On a circle n points are selected and the chords joining them in pairs are drawn.
Assuming that no three of these chords are concurrent, (except at the endpoints), how
many points of intersection are there? (Larson 1.3.5)

When four points are selected, connecting all the points together produces a
quadrilateral with two intersecting diagonals. Therefore with any selection of 4
points, there is exactly one point of intersection. The problem is equivalent to the

F In
G Jnumber of ways to chose 4 points from n points, which is just .

H K4

4. Modify the Problem:
This method is closely related to number 3. It is very general, and many types of
problems could potentially fall under this category.

5. Choose Effective Notation:
Problems can often be simpler depending on the notation used.
Ex. The sum of 5 consecutive terms is 195. Of these terms, what is the largest one
given a common difference of 13.

If a = 13, one might call the largest term x and the other terms x –a, x- 2a, x-3a, and x
– 4a. However, letting x be the middle term produces the other terms x – 2a, x – a, x
+ a, and x + 2a. The a’s cancel out nicely when added together, so 5x = 195, or x is
39. Then the largest term is 39 + 26 or 65.

6. Exploit Symmetry:
Using symmetry in certain problems often reduces the amount of work that must be
done. For example, when multiplying out a polynomial such as
(a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc) , all the variables can be interchanged, so if
there is an a3 term, there must be a b3 and a c3 term with the same coefficient. The
terms a2b,a2c,ab2 ,b2c,ac2 ,bc2 will all have the same coefficients as well. Also, in
another example, when graphing a function like x + y = 4 , there is symmetry across
both axes, so only one quadrant must be plotted before reflecting across the axes.

7. Divide into Cases:
Some problems can be divided into smaller sub-problems that can be solved
individually.
Ex. When finding the probability of getting at least 7 heads if a coin is flipped 10
times, the problem is usually split into finding the probability of exactly 7, 8, 9 and
exactly 10 heads.

8. Work Backwards
Many proofs and some problems are easiest if worked backwards and then reversing
the steps to obtain the desired result.
Ex. Prove that the arithmetic mean of a number is always greater than or equal to the
geometric mean.
Suppose that this is true. Then x + y ≥ xy . Squaring, we have x2 + 2xy + y2 ≥ 4xy
2
This simplifies to (x − y)2 ≥ 0 , which is obviously always true. We can reverse our
steps so the proof is valid.

9. Argue by Contradiction:
Some proofs are done by assuming the opposite of what you want is true, and then
working until a contradiction is reached.
Ex. Prove the harmonic series 1+ 1 + 1 + L 1 diverges. (Larson 1.9)
23 n
Suppose the series converges, and the sum is r. Then
r =1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1L + 1 + 1
2 3 4 5 6 7 8 n− 1 n
r> 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+L 1+ 1
22446688 nn
r > 1+ 1 + 1 + 1 + L
2 34
But this implies that r > r, which is a contradiction. Therefore the series must
diverge.

10. Pursue Parity
Whether a number is even or odd can help solve problems that otherwise seem
unrelated.
Ex. Place a knight on each square of a 7-by-7 chess board. Is it possible for each
knight to simultaneously make a legal move? (Larson 1.10.2)

Assume a chessboard is colored in the usual checkered pattern. The board has 49
squares; suppose 24 of them are white and 25 are black. Consider 25 knights which
rest on the black squares. If they were to make a legal move, they must move onto 25
white squares. But this is impossible, since there are only 24 white squares.

11. Consider Extreme Cases:
Often if a problem says that something works for all cases, it must work in
specialized cases. For example, a theorem that works for all triangles must work for
equilateral or right triangles. Testing extreme cases can either provide
counterexamples or help to determine a pattern for general cases.

12. Generalize:
Sometimes a more general case is easier to solve than a specific case. Replacing a
specific number with a variable may make a solution more visible.

Sources

Beyer, William H. CRC Standard Mathematical Tables. Florida: CRC Press, 1981.

Larson, Loren C. Problem-Solving Through Problems. New York: Springer-Verlag,
1983.

Many useful formulas were compiled in the CRC book. The list of problem-solving
strategies and many of the examples in that section came from this second source. A few
problems were taken from past AIME exams.