ผลคูณเชิงสเกลาร์.

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์

เรอ่ื ง ผลคณู เชิงสเกลารข์ องเวกเตอร์

จดั ทาโดย

นางสาวกมลวรรณ เพง็ สงั ข์ เลขท่ี 18
นางสาวเจรญิ ตา หาญปาน เลขท่2ี 1
นางสาวธิดารตั น์ ปกจา้ ย เลขท่2ี 5

นกั เรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5/3

โรงเรยี นปากพนงั
สานกั งานเขตพืน้ ท่กี ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษาเขต 12
สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาพืน้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ

คานา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตรเ์ ร่อื ง ผลคณู เชิงสเกลารข์ องเวกเตอร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 ใช้
ประกอบการเรยี นการสอนในรายวชิ าเพ่ิมเตมิ 3 รหสั วิชา ค32201 เพ่ือใหผ้ เู้ รยี นเกิดการ เรยี นรู้ เขา้ ใจ
บทเรยี นไดด้ ยี ่ิงขนึ้ สามารจดจาเนือ้ หาในบทเรยี นตา่ งๆไดค้ งทน ทราบความกา้ วหนา้ ของตนเอง สามา
ถรนาแบบฝึก มาทบทวนเนือ้ หาเดิมดว้ ยตนเองได้ นอกจากนีย้ งั เป็นเคร่อื งบง่ ชใี้ หค้ รูมองเหน็ จดุ เดน่ หรอื
จดุ บกพรอ่ งของนกั เรยี นไดอ้ ยา่ ง ชดั เจน ช่วยในการฝึกทกั ษะแกป้ ัญหาการเรยี นรูข้ องผเู้ รยี นเป็น
รายบคุ คลและเป็นกลมุ่ ได้ รวมทงั้ ใชป้ ระเมินผลความกา้ วหนา้ ทางการเรยี นรูแ้ ละพฒั นาทกั ษะผเู้ รยี น

ผจู้ ดั ทา
นางสาวกมลวรรณ เพ็งสงั ข์
นางสาวเจรญิ ตา หาญปาน
นางสาวธิดารตั น์ ปกจา้ ย

สารบญั

เรอ่ื ง หนา้
แบบทดสอบก่อนเรยี นเรอ่ื งผลคณู เชิงสเกลาร์ …………………………..…..1
ใบความรู้ เรอ่ื งผลคณู เชิงสเกลาร…์ …………………………………………5
แบบฝึกทกั ษะเร่อื งผลคณู เชิงสเกลาร…์ ……………………………………..17
แบบทดสอบหลงั เรยี นเร่อื งผลคณู เชิงสเกลาร…์ ……………………………..20
เฉลยแบบฝึกทกั ษะเรอ่ื งผลคณู เชิงสเกลาร…์ ………………………………..23
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี นและหลงั เรยี นเร่อื งผลคณู เชิงสเกลาร์ …………....27

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

1) สามารถหาผลคณู เชิงเวกเตอรไ์ ด้
2) สามารถนาสมบตั ิของผลคณู เชิงสเกลารไ์ ปใชไ้ ด้
3) สามารถหามมุ ระหวา่ งเวกเตอรใ์ นระบบพิกดั ฉากได้
4) สามารถวาดรูปเวกเตอรใ์ นสามมิตไิ ดไ้ ด้
5) รบั ผิดชอบตอ่ หนา้ ท่ที ่ไี ดร้ บั มอบหมาย
6) อธิบายความหมายของปรมิ าณสเกลารไ์ ด้
7) ยกตวั อยา่ งปรมิ าณทบ่ี ง่ ว่าเป็นปรมิ าณสเกลารไ์ ด้

แบบทดสอบกอ่ นเรยี นเรอ่ื งผลคณู เชิงสเกลาร์

1. u ∙ v u = 3i + 4j v = 2i + 5j
. u ∙ v = 26 .u∙v = 6
.u∙v = 8 . u ∙ v = 24

2. u ∙ v u = 5i + 3j v = 3i − 5j
.u∙v = 8 .u∙v = 0
. u ∙ v = −0 .u∙v = 6

3.

1. 3i + 4j 8i − 6j 2. i − 3j + 3k − 2i − 2j-k

3.6i + 8j 4i − 2j 4. 4i − 3j 3i − 4k

. 1 .2

.3 .4

4. ai + 5j 10i + 6j a Tiger Elephant
Chicken
. 3 .-3

.2 .6

Pig

6. u = 4 , v = 3 u v u+v
.5 .4
.3 .2

7. u = 4i − 3j v = 8i + 6j u−v

. 97 .5

. 3 . 10

8. u = 8 , v = 5 u + v = 7 u∙v
. u − v = 20 . u − v = 10
. u − v = −10 . u − v = −20

9. u = 2i + 5j v = i + 5 uv

2

. 0° . 90°
. 60° . 30°

4 1 ∙
10. = 1 = −2

−2 −3

.8 . 16

. 10 . 12

ใบความรูเ้ รอ่ื งผลคณู เชงิ สเกลาร์

(Scalar Product or Product )

1 , 2 , 3 , 1, 2 3

(Scalar Product ) ∙

1. = 1 + 2 = 1 + 2

∙ = 1 1 + 2 2

2. = 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 3

∙ = 1 1 + 2 2 + 3 3

dot product

, , a

1
1). 3 + 4 8 − 6

0

7

0

2). − − + −

0 10 + 6 a
2 a + 5

0

3 = 6 + 8 = + 5


= + b

∙ = 0

1 + 5 = 0 1

= 6 + 8
= 62 + 82 = 100 = 10

10
= 2 + 2 = 10

2 + 2 = 10

2 + 2 = 100 2

12

1 1 + 5 = 0

= −5 2
− 5 2




4 = 4 , = 3 −
5 = 4 − 3 = 8 + 6 −



6 1200
−

1

= 1 = 1

dot

7 = 2 + 5 = + 5

2

8 = 6 = 3 −
∙ = 0

1. ∙ แบบฝึกทกั ษะเร่อื งผลคณู สเชิงเกลาร์



1.1 = 2 + 3 = −3 + 4

∴ ∙ =………………………………………………………………………………………………………...
1.2 = 4 − 3 = 2 + 4

∴ ∙ =………………………………………………………………………………………………………...
1.3 = 6 − 4 = 2 + 3

∴ ∙ =………………………………………………………………………………………………………...

1.4 = 5 + 3 = 3 − 5
∴ ∙ =………………………………………………………………………………………………………...

1.5 = 4 − 3 − = −2 − 2 −
∴ ∙ =………………………………………………………………………………………………………...

4 1 ∙
2. = 1 = −2

−2 −3

……………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………..

3. = 15, = 8 +

……………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………..

4.

4.1 + 2 + − 2 = 2 2 + 2 2

……………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………..

4.2 + 2 − − 2 = 4 ∙
……………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………..

5. = 4 − 3 = 8 + 6 −
……………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………..

1. u ∙ v แบบทดสอบหลงั เรยี นเร่อื งผลคณู เชิงสเกลาร์
. u ∙ v = 26
.u∙v = 8 u = 3i + 4j v = 2i + 5j
2. u ∙ v .u∙v = 6
.u∙v = 8 . u ∙ v = 24
. u ∙ v = −0 u = 5i + 3j v = 3i − 5j
3. .u∙v = 0
.u∙v = 6

1. 3i + 4j 8i − 6j 2. i − 3j + 3k − 2i − 2j-k

3.6i + 8j 4i − 2j 4. 4i − 3j 3i − 4k
. 1 .2
.3 .4

4. ai + 5j 10i + 6j a
.3 .-3

.2 .6

5. 6i + xj + 3k 10i − 12j − 4k x
. 1 .-4

.0 .4 v u+v
6. u = 4 , v = 3 u

.5 .4

.3 .2

7. u = 4i − 3j v = 8i + 6j u − v

. 97 .5

. 3 . 10

8. u = 8 , v = 5 u + v = 7 u ∙ v

. u − v = 20 . u − v = 10

. u − v = −10 . u − v = −20

9. u = 2i + 5j v = i + 5 uv

2

. 0° . 90°

. 60° . 30°

4 1 ∙
10. = 1 = −2

−2 −3

.8 . 16

. 10 . 12

เฉลยแบบฝึกทกั ษะเร่อื งผลคณู เชิงสเกลาร์

1. ∙

1.1 = 2 + 3 = −3 + 4

∴ ∙ = 2 −3 + 3 4 = 6
1.2 = 4 − 3 = 2 + 4

∴ ∙ = 4 2 + −3 4 = −4
1.3 = 6 − 4 = 2 + 3

∴ ∙ = 6 2 + −4 3 = 0
1.4 = 5 + 3 = 3 − 5

∴ ∙ = 5 3 + 3 −5 = 0

1.5 = 4 − 3 − = −2 − 2 −

∴ ∙ = 4 −2 + −3 −2 + −1 −1 = −1

4 1 ∙
2. = 1 = −2

−2 −3

41
∙ = 1 ∙ −2

−2 −3

= 4 1 + 1 −2 + −2 −3

=4−2+6

=8 +
∴ ∙ = 8
3. = 15, = 8

+ 2 = 2 + 2 + 2 ∙

= 152 + 82 + 2 0

= 289

∴ + = 17

4.

4.1 + 2 + − 2 = 2 2 + 2 2

+ 2 = 2 + 2 + 2 ∙ → 1

− 2 = 2 + 2 − 2 ∙ → 2
1+2

+ 2 + − 2 = 2 + 2 + 2 ∙ + 2 + 2 − 2 ∙
= 2 2 + 2 2

4.2 + 2 − − 2 = 4 ∙

+ 2 = 2 + 2 + 2 ∙ → 1

− 2 = 2 + 2 − 2 ∙ → 2
1-2

+ 2 − − 2 = 2 + 2 + 2 ∙ − 2 + 2 − 2 ∙

= 4 ∙

5. = 4 − 3 = 8 + 6 −
− 2 = 2 + 2 − 2 ∙

2

= 42 + −3 2 + 82 + 2 − 2 4 8 + −3 6
= 25 + 100 − 2 14
= 97
∴ − = 97

1. u ∙ v เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี นและหลงั เรยี นเร่อื งผลคณู เชิงสเกลาร์

u = 3i + 4j v = 2i + 5j

. u ∙ v = 26 .u∙v = 6

.u∙v = 8 . u ∙ v = 24 ( . u ∙ v = 26 )

∴ u ∙ v = 3 2 + 4 5 = 26

2. u ∙ v u = 5i + 3j v = 3i − 5j

.u∙v = 8 .u∙v = 0

. u ∙ v = −0 . u ∙ v = 6 ( .u∙v = 0 )

∴ u ∙ v = 5 3 + 3 −5 = 0

3.

1. 3i + 4j 8i − 6j 2. i − 3j + 3k − 2i − 2j-k

3.6i + 8j 4i − 2j 4. 4i − 3j 3i − 4k

. 1 .2

.3 .4 ( . 1)

3i + 4j ∙ 8i − 6j = 3 8 + 4 −6

=0

∴ 3 + 4 8 − 6

4. ai + 5j 10i + 6j a

. 3 .-3

.2 .6 ( .-3 )

(ai + 5j) ∙ 10 i + 6j = 0

10 + 5 6 = 0

= −3

5. 6i + xj + 3k 10i − 12j − 4k x
. 1 .-4
.0 .4 ( .4)

6i + xj + 3k ∙ 10 − 12 − 4 = 0

6 10 + −12 3 −4 = 0

60 − 12 − 12 = 0

= 4
6. u = 4 , v = 3 u
v u+v

.5 .4

.3 .2 ( . 5)

u + v 2 = 2 + 2 + 2u ∙ v

u v ∴ ∙ = 0
u + v 2 = 42 + 32 + 2 0

= 16 + 9 + 0 = 25
∴ + = 5

7. u = 4i − 3j v = 8i + 6j u − v

. 97 .5

. 3 . 10 ( . 97 )

u − v 2 = 2 + 2 − 2 ∙

= 2 82 + 2 − 2 4 8 + −3 6

42 + −3 2 +

= 25 + 100 − 2 14
= 97

∴ − = 97 u+v =7 u∙v
8. u = 8 , v = 5

. u − v = 20 . u − v = 10

. u − v = −10 . u − v = −20 ( . u − v = −20)

+ 2 = 2 + 2 + 2 ∙

72 = 82 + 52 + 2 ∙
49 = 64 + 25 + 2 ∙
2 ∙ = −4 ∴ ∙ = −20

9. u = 2i + 5j v = i + 5 uv
( . 0° )
2

. 0° . 90°
. 60° . 30°

cos = ∙ 2×1 + 5 × 5
2
∙
25
= 4

4 + 25 1 +

=1

θ = 0°

4 1 ∙
10. = 1 = −2

−2 −3

.8 .16

.10 .12

41
∙ = 1 ∙ −2

−2 −3

= 4 1 + 1 −2 + −2 −3

=4−2+6

=8

∴ ∙ = 8

อา้ งอิง

 Youtube
 https://krubenchaporn.files.wordpress.com/2010/09/e0b980e0b889e0b8a5e0b8a2e0b981e0b89ae

0b89ae0b89de0b8b6e0b881e0b8abe0b8b1e0b894-
e0b89ce0b8a5e0b884e0b8b9e0b893e0b980e0b88ae0b8b4e0b887.pdf
 https://www.mathpaper.net/index.php/en/

นางสาวกมลวรรณ เพง็ สงั ข์ เลขท่ี 18
นางสาวเจรญิ ตา หาญปาน เลขท่ี 21
นางสาวธิดารตั น์ ปกจา้ ย เลขท่ี 25

นกั เรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5/3
โรงเรยี นปากพนงั

สานกั งานเขตพืน้ ท่กี ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษาเขต 12
สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พืน้ ฐาน

กระทรวงศกึ ษาธิการ