ภาคตัดกรวย

4 21

(Conic Section)

(Circle) h,k7

r

(h , k) r

ii.r P(x,y) (x h)2 (y k)2 r2
(h•, k)
มาตรฐาน
ำ.......i จ.ศ.ก. hikl
ส างสมการ
มส r
วงกลม
Chik
On วไปn
x2 y2 ร_บ A,B,C
Ax By
C0

( A , B ) = 1 A2 B2 4C A2 B2 4c
2 2 2

mymnm

ดลบ เ น 0 นาไ เ นวงกลม

(×x _+ 1) 2 +l(yy k2)i2 == 1 4. 5(x + 1) 2 + 5(y 3) 2 = 2
มาตรฐาน
§× 1 Cy 32=
เ นสมการ วงกลม
FFอ.ล.ก. Chik = เ
บ โา = 1 ม r=

2. x 2 + (y 2) 2 5 =0 5. x 2 + y 2 + 8x + 6y + 25 = 0 ป ไป

×2Cy 2 =5 A=8 B=6 d=25
r_tz 4 c
×อา g2 2=5 เร= แกน41

¢ ¢g §= =เ เออ

hikl = 2 =±
ไ ไเน
เรน r =A

3. 4x 2 + 4y 2 64 = 0 6. x 2 + y 2 4x + 3 = 0

4×24 =64 A= 4 B=Fd 3

×2 cy2=16 f Fmpzacrn = AER = โ4= =

i. h=o k=o r=Ro=y อ.ม. ก. ศ|

_ lyk = 0 ¥, = ย4าย = 2,อ

µµ

4 22

7. 2 x 2 y 2 = 0 ไร11. x 2 y 2 = 4 นเพอ ละ

×2=2×y22y=2②กดมาตรอฐานIa Ciงอะเ นอง ส.ย.ส. เาน

อ.ศ. ก. Chikl= 0,0 × บ องออก น

ไศ r= R g
⑤⑦8. 3x 2 + 3y 2 4x 2y 6 = 0 12. 3(x + 1) 2 + 3y 2 + 4 = 0
ญื๋ฐํ๋

×2 × §}ๆd=2=20 น3แ××¥ะ6ะ×× 3แ33ๆ 4==0.|4,k
3 6× เ = อ
A_ § B=
×2y2 2× 1g=o
r ะ 8= ะ ÷
= r=tzFctonci = F
1}9แ. k2xเ2ะ + 2y 2 3y = 5 = 13. x 2 + y 2 x + y = 0 = โ=3

2× 2 3y 5=0 A _ 1 B=1 C=0

× ye_zy¥=o k= ftin= ระ =

A=0 B= c _ E Chik = Ei = E

อาr ±โอ อ = F= ชน

Chik = ยา = } 14. 2x 2 2y 2 + 8 = 0
10. 3x 2 + 2y 2 = 4
<f⑤2×2242=8
uch ×2 บ y านไ เ า น × =¢

G. ไ เ นสมการวงกลม r= โ 4=2
มประสา ส.ปส.
µ<| = 0,0

2. (0 , 0)

hk r
จาก × h 2 Cy k 2=r2

× o 2 4 02=52
×4× Cy_ =
=25 มาตรฐาน

× × 3เๆ c_o×2y2 25=0 ว

4 23

(2 , 5)

× 2 2 Cy hk r
= ง2

××22ๆy42×t44×4×เอเyอๆI4oy2205254==904=90
0(3 , 2) 8

hk
×_3 2 y 2 = 42มาตรฐาน

× เ× 9 yt44 4=16
|นรอบวง =217r
817=มา r
r
yt 3=¥r= 4
เ× Yy 9 แ =อ
Xty2 เ× yy วไป

(2 , 2) y

|_← h,Kl 2r ะ๐ × Cy =

< ะ × 21k1 ะ IEE มาตรฐาน
×24× 4 yt4y =4
ละสองญส
¥ × Yxiey 4 =o ไป

E Q}
6. x y

Q2 ^ rQา IK =C 5

<5 า> r=5

C Cญื ๋ ._r Q4 × 512 y 5 ¥ 52

Q3 ข x (0 , 0) × 512 fy 5 2= 2T

9 อ

2 ำ5 > y ก2=25

• เอ 5 × อา y 52=52
ู ×2 ๆ 5 2=25

ด งกลางระห าง 2 ด ระยะ างระห าง 4 24

มแ. ญื t.ua(2,6) ( 4,2)
Chikl= 2¥4,6¥ = 1,4
Hi =

× 1 Cy 4 = 3 2

× แ2×Cy 4 =13
( 4 , 4)
(2 , 4)

c 4in อ 4i=Fm =FoE=c

4x I2E2Il4lCoCyyiaCEiXoo ห า 259
( 1 , 6) x+y=3
⑧ กะ ①
kkfi,6
r.fr r= 1 ¥=
_ =C 6
× y } ะ0

× แำ ly 6 2=
(Parabola) × Cy 6 2=2

④ ④ Fmโฟ mส lhi
ม52< V- F-
i D เ นได เรา ก
cc
สนาม LR

Di -

(Latus Rectum) - 4c

(x h)2 4c(y k) £- กTด fhk คะ nanv
- กลาย1ขวา
¥?×ะ น(y k)2 4c(x h) นะ

m 4 25

ฐํ๋

(x 2)2 20(y 1)

Chikka,แ

C= 5
y2 8x

y =4.2.×

cn,แ= แ

mntv.i .fi:นา
^

ญื๋.=..8..

×=2 v _|4C

x2 24y ii.(y 3)23 (x 2) ×ะ
4

Chlkl= 0,0 .. หาkl= 2, 3

V 0เอา V CC24,,33
F6 F
LR=14C6 | D Xะ0
D y=6
mm,
y2 3 x y2 3x 9
2
y2=3× 9
เ ด าย ดลบ ^
Chikl= 0,0
|> |y2=41} × 3 ข นวาง
ะ×
h,k =C3,0
V
V 3,01 m
mi ญื๊F 343,0 = §,อ =3

3x2 5y 0 x2 7y 14 ×=

µ,µ<3×E5y ××22==→→ๆy14ะ

×E §y ×E4 G yt2

Chik = 0 พารา ค า

c= ¥ a.

V0 V 0, 2 §
F C0, E
L.R.ะ | §|=§ F อ 2§1=
D Y=5 D y= 2 = L.12=7

ห า 289 ขอ ① 1,3,ก ง 4 26

x2 6x 4y 1 0 โค าย2y2 2y 6x 6 0
พารา

×ะเ× = 4y เ 32 2yเ=y= เ× เ V
งง =
× 2.× 3 32= 4g 1 ไง 5 เ× เ

4 เ9 _, 5= Eเ it
3c×2 = µ ะ y.±
3 = Y4Ycm8
<<×
= 42 2 = 6× เ
เ× i.6× D ×=
2=4 2y =
ๆ×
พาราโยส 2 y µ2 =
v 3,2 6× E =
h,Kc1==43,2
D y=2 1=3 2 y E 2= 4 f × Yz
แ ะาะ a ะแ×÷า
=4

(0 , 0 (4 , 0) 3. y = 2 (6,6)

ดCกยษอรณดะยะกVะราาCงฟจาhก×ik2VคไปหFงาย✓ไปD ญื่
y2เ ด ายขวา
kmi
°=4

เ ดขวา 4. ×××_แ_6แ222===(4-428,C32C)Cyy k ะ

< y2=4C× 4 (-2, 5)
4
2. (0 , 0 y2y=E41(0,6432×)×
\ 3
<
ญื๋< >พารโาบมาหงาย
T,=<า
พาราโบลาด า ำ v

¥E × h 2=4CCY k
× 2 2= 2 CY 3

× 2 2= 8 Cy 3

แบบ กรด ห า 289 อ 2 ให

(Ellipse) (a 0) 4 27

2a 2b2
a
VF b
FV

ca

(Latus Rectum) - c a2 b2 c2 a
F a
V
c
a,b a
2a
c
2b

(x h)2 ( y k)2 1 x
a2 b2 y

(x h)2 (y k)2 1
b2 a2

x2 y2 1 x2 y2 1
16 9 36 49

100x2 4y2 400 0 4 28

9x2 4y2 36x 24y 36 0

(x 1)2 (y 2)2 1 0
36 16

4x2 y2 8x 4y 8 0

9x2 16y2 72x 0 9x2 y2 10y 16 0

4 29

x2 16(1 y2 )

9x2 4y2 36 0

(-4 , 0) (4 , 0)

(0 , 5) (0 , -5) (0 , -3)

4 2 10

3. (3 , 4) (3 , 2) 8

(3 , 3) y (-6 , 3)

5. (-3 , 2) (-3 , 10)

(Hyperbola) (a 0)
2a

FV bV F
a c

F (Latus Rectum) - c2 a2 b2 2b2
V c a
a
2a c
a,b c
2b

(x h)2 (y k)2 1 4 2 11
a2 b2 x
y
(y k)2 (x h)2 1
a2 b2 4x2 y2 8x 4y 8 0

x2 y2 1
16 9

4x2 y2 4 9x2 4y2 54x 40y 19 0

4 2 12
2. (0 , 13) (0 , -13)

3 (4 , 0) (-4 , 0) (5 , 0)

4. (8 , 0) (0 , 6) (0 , -6)

5 (4 , -2) (4 , -5) 4

6. 4 2 13
1. {(x , y) R R y2 40x } {(x , y) R R x2 2xy y2 0 }

2. {(x , y) R R 2x2 2y2 9 } {(x , y) R R 2x2 y2 8x 4y 6 0 }

3. {(x , y) R R 2x2 3y2 7 } {(x , y) R R 2y2 x2 20 0 }

4. {(x , y) R R x2 4x y2 12 } {(x , y) R R xy = 10 }

5. {(x , y) R R 3x2 5y 8 } 10. {(x , y) R R y2 x2 16 }