บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

คณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐาน 5 (ค 23101) เรอื่ ง อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว หนา้ 1

บทที่ 1
อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว

ทบทวนความรู้ก่อนเรยี น

 เคร่อื งหมายแสดงความสัมพนั ธ์ของการไม่เท่ากนั

 แสดงความสัมพันธ์ “นอ้ ยกว่า”
 แสดงความสัมพนั ธ์ “มากกว่า”
 แสดงความสมั พนั ธ์ “ไมเ่ ท่ากนั หรอื ไม่เทา่ กับ”

 สมบตั ิของการเท่ากัน

 สมบัตสิ มมาตร เมอ่ื a และ b แทนจานวนจริง
ถา้ a = b แล้ว b = a เมอ่ื a, b และ c แทนจานวนจริง
เมอ่ื a, b และ c แทนจานวนจริง
 สมบัตถิ ่ายทอด เมอ่ื a, b และ c แทนจานวนจริง
ถ้า a = b และ b = c แลว้ a = c

 สมบัตขิ องการเท่ากันเกย่ี วกบั การบวก
ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

 สมบัติของการเทา่ กันเกยี่ วกับการคูณ
ถา้ a = b แลว้ ca = cb

 เส้นจานวน

จานวนจรงิ ทุกจานวนสามารถเขียนแทนดว้ ยจดุ บนเสน้ จานวนได้ และจดุ หนงึ่ จุดบนเสน้ จานวนจะแทนจานวน

จรงิ หนง่ึ จานวน ซงึ่ อาจเป็นจานวนตรรกยะหรือจานวนอตรรกยะก็ได้
จานวนตรรกยะ คอื อัตราสว่ นของจานวนเต็มสองจานวน มกั เขียนอยูใ่ นรูปเศษสว่ น a เมอ่ื a และ b เป็น
b

จานวนเต็ม และ b ไมเ่ ทา่ กบั ศูนย์ (จานวนทีส่ ามารถเขียนให้อย่ใู นรูปเศษสว่ นของจานวนเต็มหรือทศนิยมซาได้)

จานวนอตรรกยะ คือ จานวนท่ไี มส่ ามารถเขียนให้อยูใ่ นรปู เศษสว่ นของจานวนเตม็ หรือทศนิยมซาได้
ตัวอย่างเช่น 2, 3, 5,  2,  3,  5 หรือ  ซึ่งมคี า่ 3.14159265...

-2.5

คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน 5 (ค 23101) เร่ือง อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี ว หนา้ 2

1.1 แนะนาอสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว

ในชวี ิตประจาวนั เราพบเหน็ ปา้ ยทเ่ี ก่ียวข้องกับ “การไมเ่ ท่ากัน” อยบู่ ่อย ๆ ครงั เพอ่ื การส่อื ความหมายที่
ตรงกนั หรอื อาจรวมถงึ ความปลอดภยั ในชวี ิตและทรพั ยส์ นิ เราจึงต้องเขา้ ใจสญั ลักษณ์หรือคาอธิบายบนป้ายเหล่านัน
เชน่

ป้ายจราจรจากดั ความเร็ว
กาหนดใหผ้ ูข้ บั ข่ีตอ้ งขบั รถดว้ ยอตั ราเรว็

ไม่เกิน 60 กโิ ลเมตรตอ่ ชัว่ โมง
“ไมเ่ กิน” เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์..................

ป้ายกาหนดข้อปฏบิ ตั ใิ นการใชล้ ิฟต์
ทหี่ ้ามเดก็ อายุต่ากว่า 10 ปี ใช้ลฟิ ตโ์ ดยลาพงั
“ตา่ กวา่ ” เขยี นแทนด้วยสัญลักษณ.์ .................

สัญลกั ษณท์ ่รี ะบรุ ะดับความเหมาะสมของ
รายการโทรทศั นก์ ับกลุ่มผชู้ มวา่

รายการนีเ้ หมาะกบั ผ้ชู มอายุ 18 ปีข้ึนไปหรอื อายุตั้งแต่ 18 ปีข้นึ ไป
ผู้ชมทมี่ ีอายุนอ้ ยกวา่ 18 ปี ควรไดร้ ับคาแนะนา

“ตั้งแต่...ขึ้นไป” เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์..................
“น้อยกว่า” เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์..................

คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน 5 (ค 23101) เรอ่ื ง อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว หนา้ 3

จากตัวอยา่ งข้างต้น คาวา่ “ต่ากว่า” “ไมเ่ กิน” “ขน้ึ ไป” และ “นอ้ ยกว่า” เปน็ คาทเ่ี กีย่ วข้องกบั
ความสมั พนั ธข์ องการไมเ่ ท่ากัน และใช้บ่งบอกปริมาณทังหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข เชน่

ป้ายจราจรที่จากดั ความเรว็ 60 กโิ ลเมตรตอ่ ชว่ั โมง หมายถึง ผูข้ บั ข่ีสามารถขับรถดว้ ยอัตราเร็วเท่าใดก็ได้ เชน่
20, 40, หรอื 60 กโิ ลเมตรตอ่ ชว่ั โมง แตต่ ้องไม่มากกว่า 60 กโิ ลเมตรต่อชั่วโมง เน่ืองจากผิดกฎหมายจราจร และอาจ
เกิดอุบตั ิเหตรุ า้ ยแรงจนนาไปสู่การสูญเสยี ตอ่ ชวี ิตและทรัพย์สนิ

ในทางคณติ ศาสตร์ จะใชส้ ัญลกั ษณ์แทนความสมั พันธ์ของการไม่เท่ากนั ดังนี

เครอื่ งหมาย “น้อยกวา่ ” เครือ่ งหมาย “มากกวา่ ” เครื่องหมาย “ไมเ่ ท่ากับ”
ใชส้ ัญลักษณ์ ใช้สัญลกั ษณ์ ใชส้ ญั ลักษณ์
แทนความสัมพันธ์ แทนความสัมพันธ์ แทนความสมั พนั ธ์
น้อยกวา่ มากกว่า ไมเ่ ท่ากับ

เครื่องหมาย “นอ้ ยกว่าหรือเทา่ กับ” เครือ่ งหมาย “มากกว่าหรอื เทา่ กับ”
ใชส้ ัญลกั ษณ์ ใช้สัญลกั ษณ์
แทนความสัมพันธ์ แทนความสัมพนั ธ์
น้อยกวา่ หรือเท่ากบั มากกวา่ หรือเทา่ กับ

ตอ่ ไปนีเป็นตวั อย่างของการอา่ นและความหมายของสญั ลกั ษณ์ทใ่ี ช้แสดงความสัมพนั ธ์ของจานวน

สัญลกั ษณ์ คาอา่ น ความหมาย

x2 ................................................................... ...................................................................
...................................................................

x  2 ................................................................... ...................................................................
...................................................................

x  2 ................................................................... ...................................................................

คณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน 5 (ค 23101) เร่ือง อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว หน้า 4

สญั ลักษณ์ คาอา่ น ความหมาย
x2 ................................................................... ...................................................................
x2 ...................................................................
................................................................... ...................................................................
2x4 ................................................................... ...................................................................
................................................................... ...................................................................
................................................................... ...................................................................
...................................................................
...................................................................

...................................................................

...................................................................

2x4 ................................................................... ...................................................................
................................................................... ...................................................................
................................................................... ...................................................................

คณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน 5 (ค 23101) เร่อื ง อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว หน้า 5

แบบฝกึ หดั ท่ี 1

1. จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนี แลว้ เขียนเปน็ ประโยคสัญลกั ษณ์ทางคณิตศาสตร์ (เม่ือให้ x แทนจานวนจานวนหนึ่ง)

ตวั อยา่ ง 1. ผลบวกของสามกบั แปดน้อยกว่าสิบสอง ...............................................................

2. จานวนจานวนหนึ่งมากกว่าสบิ หา้ ...............................................................

3. หา้ เท่าของจานวนจานวนหน่ึงน้อยกว่าเกา้ ...............................................................

4. ผลบวกของจานวนจานวนหนึง่ กบั สามไมน่ ้อยกวา่ สบิ ...............................................................

5. เศษส่ีส่วนห้าของผลบวกของจานวนจานวนหนงึ่ กบั แปด

ไมเ่ ทา่ กบั สอง ...............................................................

6. สองเทา่ ของผลต่างของจานวนจานวนหน่งึ กับส่ีไมเ่ กนิ หก ...............................................................

1. ผลบวกของเลขจานวนหนึง่ กบั ย่ีสิบน้อยกวา่ สบิ สาม ...............................................................
2. ผลบวกของเลขจานวนหน่งึ กับสบิ สมี่ ากกวา่ ย่ีสิบ ...............................................................
3. ผลบวกของสามเทา่ ของจานวนหนึ่งกบั เจ็ดมากกว่าสบิ ห้า ...............................................................
4. ผลต่างของเลขจานวนหนึ่งกับหกนอ้ ยกว่าแปด ...............................................................
5. สองเทา่ ของผลต่างของเลขจานวนหนึ่งกับสามนอ้ ยกวา่ สบิ ...............................................................
6. สองเทา่ ของผลบวกของเลขจานวนหนึง่ กับหา้ มากกว่าสส่ี บิ สาม ...............................................................
7. ผลต่างของสองเทา่ ของเลขจานวนหน่ึงกับแปดนอ้ ยกว่าสิบ ...............................................................
8. สามเทา่ ของผลตา่ งของเลขจานวนหน่งึ กบั สม่ี ากกว่าหรือเท่ากบั สบิ หก ...............................................................
9. สองเท่าของจานวนจานวนหนงึ่ ไมเ่ กนิ เกา้ ...............................................................
10. สามเท่าของจานวนจานวนหน่ึงนอ้ ยกวา่ หรอื เทา่ กับสิบหา้ ...............................................................
11. ผลบวกของเลขจานวนหน่งึ กบั หา้ ไมน่ ้อยกว่าเจ็ด ...............................................................
12. ผลบวกของเลขจานวนหน่งึ กับสามสิบสองไมเ่ ท่ากับสามสิบแปด ...............................................................

13. เศษสามส่วนสขี่ องผลตา่ งของเลขจานวนหนึ่งกบั สิบหา้ ไมเ่ กนิ ยี่สิบเอ็ด ...............................................................

14. เศษสองส่วนสามของผลบวกของเลขจานวนหนึง่ กบั หา้ ไม่ถึงสิบสอง ...............................................................
15. สองเท่าของผลต่างของจานวนจานวนหนงึ่ กบั สีน่ ้อยกวา่ หา้ เท่า
...............................................................
ของผลบวกของจานวนจานวนนันกบั แปด

คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน 5 (ค 23101) เร่อื ง อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว หนา้ 6

ประโยคทีใ่ ช้สัญลักษณแ์ สดงความสมั พนั ธ์ของการไม่เท่ากันขา้ งตน้ เป็นตัวอย่างของอสมการ

อสมการ (inequality) เปน็ ประโยคท่แี สดงถงึ ความสมั พันธข์ องจานวน

โดยใช้สญั ลกั ษณ์ , , ,  หรอื  แสดงความสมั พนั ธ์

ในอสมการอาจมีตวั แปรหรือไม่มีตัวแปรกไ็ ด้ ถ้าอสมการมตี ัวแปร ตัวแปรนนั จะแทนจานวน ในกรณที ีไ่ มร่ ะบุ
เงือ่ นไขของตัวแปร ใหถ้ ือวา่ ตัวแปรนนั แทนจานวนจริงใด ๆ

จากตวั อยา่ ง อสมการในขอ้ ที่ 1 ถึงขอ้ 6 ขา้ งตน้ อสมการในขอ้ ท่ี 1 เปน็ ตัวอย่างของอสมการท่ีไมม่ ตี ัวแปร
ส่วนอสมการในข้อ 2 ถงึ ขอ้ 6 เปน็ ตัวอยา่ งของอสมการทม่ี ีตัวแปรเพยี งตวั เดยี ว และตัวแปรนันมีเลขชกี้ าลงั เป็น 1
อสมการท่ีมีตวั แปรดงั กลา่ วเปน็ ตัวอย่างของ

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว (linear inequality with one variable)

ตัวอยา่ งที่ 1 2y  4  16 เปน็ อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียวหรือไม่

ตอบ 2y  4  16 เป็นอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว เนอื่ งจาก

ตัวอย่างท่ี 2 - เป็นประโยคทม่ี ีสญั ลักษณ์  แสดงความสมั พันธ์
- มีตวั แปรเพยี งตัวเดยี วคือ ตัวแปร y และเลขชกี าลังของตวั แปร y เป็น 1
2.5x  20 เปน็ อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียวหรือไม่

............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................

ตัวอย่างที่ 3 2x  5y  14 เปน็ อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี วหรอื ไม่

............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................

ตวั อยา่ งท่ี 4 3x2  48 เปน็ อสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดียวหรือไม่

............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................

คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน 5 (ค 23101) เร่ือง อสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว หนา้ 7

ตวั อยา่ งที่ 5 2(m 3)  20 เปน็ อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียวหรือไม่
............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................

ตัวอยา่ งท่ี 6 5x  3  2x  6 เปน็ อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี วหรอื ไม่
............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................................

แบบฝึกหดั ท่ี 2

1. ให้นักเรยี นพิจารณาว่าประโยคท่ใี ช้สัญลกั ษณท์ างคณิตศาสตร์ทีก่ าหนดให้เป็นอสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดียวหรอื ไม่

โดยทาเครือ่ งหมาย  ลงใน  หนา้ ข้อความ

1. 7x  4  18  เป็น  ไมเ่ ป็น

2. 6y  30 เป็น ไมเ่ ป็น

3. 3x  5y  12 เป็น ไมเ่ ปน็

4.  5m  30 เปน็ ไม่เปน็

5. 4(x  2)  12 เป็น ไมเ่ ป็น

6. 2x2  72 เป็น ไม่เปน็

7. 5  4x  17 เป็น ไม่เป็น

8. 2 x  6 เปน็ ไมเ่ ป็น
3 เป็น ไม่เป็น

9. 3y  6y  27

10.5x  3x 14 เปน็ ไมเ่ ปน็

คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน 5 (ค 23101) เร่อื ง อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี ว หนา้ 8

2. ใหน้ ักเรยี นใส่เครอ่ื งหมาย  ลงในช่องของตารางใหถ้ กู ตอ้ ง

ข้อ ประโยคสญั ลกั ษณ์ อสมการ อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว
เป็น ไม่เปน็ เปน็ ไม่เป็น
--
ตวั อยา่ ง 8x  16 -
- -
ตัวอย่าง 1 x  3  7
2

1. 2x  5  13

2. 3x  5y  10

3. 3 x  20
2

4. y  9  16

5. 2x  x  x  9
6. y2  5  0

7. 4(m 2)  5

8. 5 (x  3)  10
6

9. x  8  26

10. 3x  9  x 12

11. 3  7  15

12. 9 x  7 x  3
8 8

13. 3x  9  x 12

14. 2 x  9  20  y
5
1
15. 3y  4  2 y  6

คณิตศาสตร์พน้ื ฐาน 5 (ค 23101) เรอ่ื ง อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว หน้า 9

1.2 คาตอบของอสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

เน่อื งจากอสมการอาจมีตัวแปรหรือไม่มตี ัวแปรก็ได้ สาหรบั อสมการทีไ่ มม่ ตี วั แปร เราสามารถบอกไดว้ ่า
อสมการนันเป็นอสมการทเ่ี ปน็ จริงหรอื ไม่เปน็ จริง

เช่น 2  5 .............................................................

7 10 .............................................................

7  3  11 .............................................................

ส่วนอสมการที่มีตวั แปรนัน เรายงั ไม่สามารถบอกไดเ้ สมอไปวา่ เปน็ จรงิ หรือไมเ่ ป็นจริง เช่น อสมการ

x  2  5 เรายังบอกไม่ได้วา่ อสมการนีเปน็ อสมการท่ีเป็นจริงหรือไมเ่ ปน็ จรงิ เพราะขน้ึ อยู่กบั คา่ ของ x

 ถา้ แทน x ด้วย 5 ในอสมการ x  2  5 จะได้....................................ซงึ่ เปน็ อสมการท.่ี .........................
 ถ้าแทน x ด้วย 6 ในอสมการ x  2  5 จะได้....................................ซง่ึ เป็นอสมการท.่ี .........................
 ถ้าแทน x ด้วย 7 ในอสมการ x  2  5 จะได้....................................ซง่ึ เป็นอสมการท.่ี .........................
 ถ้าแทน x ด้วย 8 ในอสมการ x  2  5 จะได.้ ...................................ซงึ่ เปน็ อสมการท่.ี .........................
จานวนทแ่ี ทน x ในอสมการ แล้วทาให้ไดอ้ สมการท่เี ป็นจรงิ เรียกวา่ ...................................................................

คาตอบของอสมการ (solution of an inequality) คือ
จานวนท่แี ทนตัวแปรในอสมการ แลว้ ทาใหอ้ สมการที่เป็นจริง

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว อาจมีคาตอบได้หลายลกั ษณะ ดงั ตัวอยา่ งต่อไปนี

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาคาตอบของอสมการ x  3
วิธีทา เนอื่ งจาก เมือ่ แทน x ด้วยจานวนจรงิ ทกุ จานวนท่ี “มากกวา่ หรือเท่ากบั –3” ในอสมการ x  3

แลว้ จะทาใหไ้ ด้อสมการท่ีเป็นจริง
ดงั นนั คาตอบของอสมการ x  3 คือ จานวนจรงิ ทกุ จานวนที่ “มากกวา่ หรอื เทา่ กับ –3”

ตัวอยา่ งที่ 2 จงหาคาตอบของอสมการ a  25
วิธีทา เนอื่ งจาก เมือ่ แทน a ดว้ ยจานวนจริงทกุ จานวนท…ี่ ………………………………….....ในอสมการ a  25

แลว้ จะทาให้ไดอ้ สมการทเ่ี ปน็ จรงิ
ดงั นัน คาตอบของอสมการ a  25 คอื จานวนจรงิ ทกุ จานวนที่………………………………………………………

คณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน 5 (ค 23101) เรอื่ ง อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว หน้า 10

ตวั อย่างที่ 3 จงหาคาตอบของอสมการ m  1 m  2
วธิ ที า เน่ืองจาก เมื่อแทน m ด้วยจานวนจริง………………………………………ในอสมการ m  1 m  2

แลว้ จะทาให้ไดอ้ สมการท่ีเปน็ จรงิ เสมอ
ดังนนั คาตอบของอสมการ m  1 m  2 คือ………………………………………………………

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาคาตอบของอสมการ z  5  z
วิธีทา เนื่องจาก…………………………………………………………………………………ในอสมการ z  5  z

แล้วจะทาให้ได้อสมการที่เปน็ จรงิ
ดงั นนั “ไมม่ จี านวนจริงใด”เปน็ คาตอบของอสมการ z  5  z

ตวั อยา่ งข้างตันแสดงให้เห็นถงึ อสมการ 3 แบบ ตามลักษณะคาตอบดงั นี
1. อสมการทีม่ ีจานวนจริงบางจานวนเปน็ คาตอบ เช่น อสมการในตวั อย่างที่ 1 และตวั อยา่ งท่ี 2
2. อสมการทีม่ ีจานวนจริงทกุ จานวนเปน็ คาตอบ เช่น อสมการในตวั อยา่ งที่ 3
3. อสมการท่ีไม่มีจานวนจริงใดเปน็ คาตอบ เช่น อสมการในตัวอยา่ งที่ 4

แบบฝกึ หดั ที่ 3

1. ใหน้ ักเรียนหาคาตอบของอสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี วในขอ้ ต่อไปนี
1. x  10

วธิ ีทา..................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................

2. x  1
วิธีทา..................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................

3. x  7
วธิ ีทา..................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์พื้นฐาน 5 (ค 23101) เรื่อง อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว หนา้ 11

4. x  24
วธิ ที า..................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................

5. x  6  x 10
วธิ ที า..................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................

6. 2x  3  2x  8
วธิ ีทา..................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
2. ให้นักเรียนเตมิ เคร่อื งหมาย  และ  ในตารางใหส้ มบูรณ์โดยการตรวจสอบคาตอบของอสมการ

อสมการที่กาหนด จานวนทท่ี าใหอ้ สมการเปน็ จริง () หรือเป็นเท็จ ()
–10 -6 -5 -4.99 -4 2 4 4.5 6.12 9 9.001

ตวั อยา่ ง x - 5 > -10           

(1) x - 7 > -12

(2) 3x + 1  14

(3) 2x - 1  8

(4) 1 x - 1  - 7
2 2

(5) x - 4  -1

(6) x  9

(7)2x  9  2x  30

(8) x 10  x  20

(9) x  5

(10) x  3 1
2

คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน 5 (ค 23101) เรื่อง อสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี ว หนา้ 12

คาตอบทงั หมดของอสมการ อาจแสดงให้เหน็ ได้โดยใช้กราฟบนเสน้ จานวน ดังตัวอยา่ ง
1. กราฟแสดงคาตอบของอสมการ m  2

กราฟขา้ งต้นแสดงจานวนจรงิ ทกุ จานวนท่ี “มากกวา่ 2” ซงึ่ เป็นคาตอบของอสมการ m  2
เนื่องจาก 2 ไมใ่ ชค่ าตอบของอสมการ จะเขยี นวงกลมโปร่ง ( ) ลอ้ มรอบทแี่ ทน 2 ไว้
เพอ่ื แสดงวา่ กราฟไม่รวมจดุ ทแ่ี ทน 2

2. กราฟแสดงคาตอบของอสมการ x  5

กราฟข้างตน้ แสดงจานวนจรงิ ทกุ จานวนที่ “น้อยกวา่ หรอื เทา่ กบั 5” ซงึ่ เปน็ คาตอบของอสมการ x  5
เนื่องจาก 5 เป็นคาตอบของอสมการดว้ ย จะเขยี นวงกลมทึบ ( ) ทับจุดท่แี ทน 5 ไว้
เพอ่ื แสดงว่ากราฟรวมจดุ ท่ีแทน 5

3. กราฟแสดงคาตอบของอสมการ  2  x  5

กราฟขา้ งตน้ แสดงจานวนจริงทกุ จานวนที่ “มากกวา่ –2 แตน่ อ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั 5” ซง่ึ เปน็ คาตอบ
ของอสมการ x  5
เนื่องจาก –2 ไม่ใชค่ าตอบ จะเขยี นวงกลมโปร่งล้อมรอบจดุ ที่แทน –2 ไว้ เพ่ือแสดงว่ากราฟไม่รวมจุด
ท่ีแทน –2
และเน่อื งจาก 5 เป็นคาตอบดว้ ย จะเขยี นวงกลมทึบทบั จดุ ท่ีแทน 5 ไว้ เพ่ือแสดงวา่ กราฟรวมจดุ ท่ีแทน 5

4. กราฟแสดงคาตอบของอสมการ y  1

กราฟข้างตน้ แสดงจานวนจรงิ ทกุ จานวน “ยกเว้น –1” ซง่ึ เปน็ คาตอบของอสมการ y  1
เนอ่ื งจาก –1 ไมใ่ ชค่ าตอบของอสมการ จะเขยี นวงกลมโปรง่ ล้อมรอบจุดทแี่ ทน –1 ไว้
เพอ่ื แสดงว่ากราฟไม่รวมจดุ ทแ่ี ทน –1

คณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน 5 (ค 23101) เรอ่ื ง อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี ว หน้า 13

ตัวอย่างท่ี 1 จงเขียนกราฟแสดงคาตอบของอสมการตอ่ ไปนี

1) x  20

2) y  1
2

วธิ ีทา 1) คาตอบของอสมการ x  20 คือ................................................................................................................

กราฟแสดงคาตอบของอสมการ x  20 เปน็ ดังนี

2) คาตอบของอสมการ y  1 คอื ................................................................................................................
2
1
กราฟแสดงคาตอบของอสมการ y  2 เป็นดงั นี

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาวา่ กราฟแสดงคาตอบในแต่ละข้อตอ่ ไปนีแสดงจานวนใดบา้ ง
1)

ตอบ.............................................................................................................................................................................
2)

ตอบ.............................................................................................................................................................................
3)

ตอบ.............................................................................................................................................................................

คณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน 5 (ค 23101) เร่อื ง อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว หนา้ 14

แบบฝึกหัดท่ี 4

1. จงเขยี นกราฟแสดงคาตอบของอสมการในแต่ละข้อตอ่ ไปนี
1) x  18

วธิ ีทา คาตอบของอสมการ x  18 คือ................................................................................................................
กราฟแสดงคาตอบของอสมการ x  18 เป็นดังนี

2) a  3
วธิ ีทา คาตอบของอสมการ a  3 คอื ................................................................................................................

กราฟแสดงคาตอบของอสมการ a  3 เป็นดังนี

3) n  12

วิธีทา คาตอบของอสมการ n  12 คือ................................................................................................................
กราฟแสดงคาตอบของอสมการ n  12 เปน็ ดังนี

4) x  20

วิธีทา คาตอบของอสมการ x  20 คือ................................................................................................................
กราฟแสดงคาตอบของอสมการ x  20 เปน็ ดังนี

5) 18  x  24

วธิ ที า คาตอบของอสมการ 18  x  24 คอื ...............................................................................................................
กราฟแสดงคาตอบของอสมการ 18  x  24 เป็นดังนี

คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน 5 (ค 23101) เร่ือง อสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว หนา้ 15

2. จงหาว่ากราฟแสดงคาตอบในแต่ละขอ้ ต่อไปนแี สดงจานวนใดบา้ ง
1)

ตอบ............................................................................................... ..............................................................................
2)

ตอบ............................................................................................... ..............................................................................
3)

ตอบ............................................................................................... ..............................................................................
4)

ตอบ............................................................................................... ..............................................................................
5)

ตอบ............................................................................................... ..............................................................................
6)

ตอบ............................................................................................... ..............................................................................
7)

ตอบ............................................................................................... ..............................................................................

คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน 5 (ค 23101) เรื่อง อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี ว หน้า 16

3. กาหนดให้ x  20 2 จงหาค่า x ทีน่ อ้ ยทีส่ ดุ
3

1) เม่อื x เปน็ จานวนเต็ม 4) เมือ่ x เปน็ จานวนเฉพาะ
ตอบ.......................................... ตอบ..........................................

2) เมือ่ x เป็นจานวนคู่ 5) เมอ่ื x เป็นจานวนจรงิ
ตอบ.......................................... ตอบ..........................................

3) เม่อื x เปน็ จานวนเฉพาะ
ตอบ..........................................

4. กาหนดให้ 10  x 10

1) จงหาคา่ x ท่นี อ้ ยท่ีสุด เมือ่ x เป็นจานวนเตม็
ตอบ..........................................
2) จงหาคา่ x ท่มี ากท่ีสดุ เมอ่ื x เปน็ จานวนเต็ม
ตอบ..........................................
3) จงหาค่า x ทงั หมดที่สอดคลอ้ งกับอสมการทกี่ าหนดให้ เม่อื x เป็นจานวนเต็ม
ตอบ..................................................................................................

คณิตศาสตรพ์ น้ื ฐาน 5 (ค 23101) เรือ่ ง อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว หน้า 17

1.3 การแก้อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว

การแก้อสมการ คอื การหาคาตอบทังหมดของอสมการ ทผ่ี ่านมานักเรยี นอาจแกอ้ สมการโดยการลองแทน

คา่ ตวั แปรในอสมการ ในทางปฏบิ ตั ิอาจทาไมไ่ ด้หรอื ไมส่ ะดวกเมอื่ อสมการมคี วามซบั ซอ้ น เชน่ เม่อื ต้องการแกอ้ สมการ

3x  5  8 นกั เรียนจะพบว่าเปน็ การยากทจี่ ะหาคาตอบทงั หมดของอสมการนโี ดยการลองแทนคา่ ตัวแปร เพ่อื ความ
2
รวดเรว็ ในการแก้อสมการ เราจะใช้ สมบัติของการไมเ่ ทา่ กนั (properties of inequality) ในการหาคาตอบ

เช่น สมบัตกิ ารบวกของการไมเ่ ทา่ กนั และสมบัตกิ ารคูณของการไม่เทา่ กัน

กจิ กรรม : สารวจสมบตั ิการบวกของการไม่เท่ากัน
1. จากอสมการท่ีเปน็ จรงิ ท่ีกาหนดให้ในตารางนี ให้นกั เรียนเติมคาตอบลงในตารางให้ถูกต้อง

อสมการทีก่ าหนดให้ บวกท้งั สองขา้ งของอสมการ อสมการใหม่ อสมการใหม่
ดว้ ยจานวนต่อไปนี้ เป็นจริง ไมเ่ ปน็ จริง
……………….. < ………………..
2<6 4 ……………….. < ………………..
2<6 –4 ……………….. < ………………..
  2 ……………….. < ………………..
  2  ……………….. < ………………..
- ……………….. < ………………..
–1 < 4 5 ……………….. < ………………..
–1 < 4 –5 ……………….. < ………………..
–4 < –2 2.5
–4 < –2 –2.5

จากกจิ กรรม : สารวจสมบตั ิการบวกของการไม่เทา่ กนั จะเห็นว่า ถา้ นาจานวนใด ๆ มาบวกทังสองข้างของ
อสมการทเี่ ปน็ จรงิ ท่ีกาหนดให้ แล้วอสมการใหม่ที่ได้ยังเปน็ จรงิ นัน่ คอื เมื่อนาจานวนใด ๆ มาบวกท้ังสองข้างของ
อสมการ เครื่องหมายแสดงการไม่เทา่ กันในอสมการนัน้ จะยังคงเดิม ซ่งึ เป็นไปตาม สมบัติการบวกของการไมเ่ ทา่ กนั
(additive property of inequality) ดังนี

สมบัตกิ ารบวกของการไม่เท่ากัน
ให้ a, b และ c แทนจานวนจริงใด ๆ

1. ถ้า a  b แลว้ a  c  b  c

2. ถา้ a  b แล้ว a  c  b  c
3. ถ้า a  b แล้ว a  c  b  c

4. ถ้า a  b แล้ว a  c  b  c

คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน 5 (ค 23101) เรื่อง อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว หนา้ 18

จากตวั อยา่ งขา้ งต้น เราใชส้ มบัตกิ ารบวกของการไมเ่ ทา่ กนั ทาใหอ้ สมการสดุ ท้ายอยู่ในรูป
x  c, x  c, x  c หรอื x  c ซ่งึ คาตอบทุกคาตอบของอสมการสดุ ทา้ ยจะเปน็ คาตอบของอสมการแรก และ

คาตอบทุกคาตอบของอสมการแรกจะเปน็ คาตอบของอสมการสดุ ท้าย ในกรณีนีเรากลา่ วว่า อสมการแรกและอสมการ
สุดท้ายสมมลู (equivalent) กนั และเม่อื สามารถหาอสมการท่ีสมมูลกับอสมการท่ีต้องการหาคาตอบโดยมีการ
คานวณในแต่ละขนั ตอนถูกต้องแล้วกไ็ มจ่ าเป็นต้องตรวจสอบคาตอบ

จากตวั อย่างขา้ งตน้ จะได้อสมการทสี่ มมูลกันดงั นี

x  4  20 สมมลู กบั x  24 30  x 12 สมมูลกบั x  18
x  8 15 สมมูลกับ x  7 x 12  4 สมมลู กับ x  8

ตวั อยา่ งที่ 1 จงแกอ้ สมการ x 14  2 และเขยี นกราฟแสดงคาตอบ
วธิ ที า.............................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
เขียนกราฟแสดงคาตอบได้ดังน้ี

ตัวอยา่ งที่ 2 จงแก้อสมการ 7  x  20 และเขยี นกราฟแสดงคาตอบ
วธิ ีทา.............................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
เขียนกราฟแสดงคาตอบได้ดงั นี้

คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน 5 (ค 23101) เร่อื ง อสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว หน้า 19

อสมการบางอสมการไม่สามารถใช้สมบตั กิ ารบวกของการไม่เทา่ กนั เพยี งอย่างเดยี วในการหาคาตอบ เชน่
8x  10  24 ในกรณเี ชน่ นีตอ้ งใชส้ มบัตกิ ารคูณของการไมเ่ ท่ากนั ดว้ ย จึงจะสามารถหาคาตอบได้ เพ่ือใหเ้ ข้าใจ
สมบัติการคูณของการไมเ่ ทา่ กนั ใหน้ ักเรียนทากิจกรรมเก่ียวกบั สมบตั กิ ารคณู ของการไม่เทา่ กันตอ่ ไปนี

กิจกรรม : สารวจสมบัติการคูณของการไมเ่ ท่ากนั
1. จากอสมการที่เปน็ จรงิ ท่กี าหนดให้ในตารางนี ให้นักเรยี นเตมิ คาตอบลงในตารางให้ถูกต้อง

อสมการทก่ี าหนดให้ คณู ทัง้ สองข้างของอสมการ อสมการใหม่ อสมการใหม่
ด้วยจานวนตอ่ ไปน้ี เป็นจรงิ ไมเ่ ปน็ จริง
……………….. < ………………..
2<6 4 ……………….. < ………………..
2<6 –4 ……………….. < ………………..
  2 ……………….. < ………………..
  2  ……………….. < ………………..
- ……………….. < ………………..
–1 < 4 5 ……………….. < ………………..
–1 < 4 –5 ……………….. < ………………..
–4 < –2 2.5
–4 < –2 –2.5

จากกจิ กรรม : สารวจสมบัตกิ ารคูณของการไมเ่ ท่ากนั จะเหน็ ว่า ถ้านาจานวนบวกใด ๆ มาคูณทังสองขา้ งของ
อสมการท่เี ป็นจริงท่กี าหนดให้ อสมการใหม่ท่ไี ด้ยังเป็นจรงิ นนั่ คือ เมอื่ นาจานวนบวกใด ๆ มาคูณท้งั สองข้างของ
อสมการ เครื่องหมายแสดงการไมเ่ ทา่ กันในอสมการน้ันจะยงั คงเดิม แต่ถ้านาจานวนลบใด ๆ มาคณู ทง้ั สองข้างของ
อสมการที่เป็นจรงิ ทก่ี าหนดให้ อสมการใหมท่ ไ่ี ด้จะไม่เปน็ จรงิ ตอ้ งเปลยี่ นเคร่อื งหมายแสดงการไมเ่ ทา่ กันจงึ จะได้
อสมการทีเ่ ปน็ จรงิ ซึ่งเปน็ ไปตามสมบตั ิการคูณของการไมเ่ ท่ากนั (multiplicative property of inequality) ดงั นี

สมบัตกิ ารคูณของการไม่เท่ากัน สมบัติการคูณของการไม่เท่ากนั
ให้ a, b และ c แทนจานวนจริงใด ๆ ให้ a, b และ c แทนจานวนจริงใด ๆ
1. ถา้ a  b และ c เป็นจานวนจรงิ บวก แล้ว ac  bc 1. ถ้า a  b และ c เปน็ จานวนจรงิ บวก แล้ว ac  bc

2. ถา้ a  b และ c เป็นจานวนจรงิ บวก แล้ว ac  bc 2. ถ้า a  b และ c เป็นจานวนจรงิ บวก แลว้ ac  bc
3. ถา้ a  b และ c เปน็ จานวนจริงลบ แลว้ ac  bc 3. ถ้า a  b และ c เป็นจานวนจรงิ ลบ แล้ว ac  bc

4. ถา้ a  b และ c เป็นจานวนจริงลบ แล้ว ac  bc 4. ถ้า a  b และ c เปน็ จานวนจริงลบ แลว้ ac  bc

คณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน 5 (ค 23101) เร่ือง อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียว หน้า 20

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงแก้อสมการ 3x  6  18 และเขียนกราฟแสดงคาตอบ
วธิ ีทา.............................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
เขยี นกราฟแสดงคาตอบได้ดงั นี้

ตวั อย่างที่ 4 จงแกอ้ สมการ 7  3x  3x  37 และเขียนกราฟแสดงคาตอบ
วธิ ที า.............................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
เขียนกราฟแสดงคาตอบไดด้ งั น้ี

ตัวอย่างที่ 5 จงแก้อสมการ 5(x  4)  6(2x  6) และเขียนกราฟแสดงคาตอบ
วิธีทา.............................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
เขยี นกราฟแสดงคาตอบได้ดงั นี้

คณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน 5 (ค 23101) เรื่อง อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว หนา้ 21

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงแกอ้ สมการ 2x  5  3x 2 และเขยี นกราฟแสดงคาตอบ
4
วิธที า.............................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

เขียนกราฟแสดงคาตอบไดด้ ังนี้

สาหรับการแกอ้ สมการทีม่ ีเครือ่ งหมาย  เช่น x  6  28 และ 7x  4  25 เราจะไม่ใช้สมบตั กิ ารบวก
ของการไมเ่ ท่ากนั และสมบตั ิการคูณของการไม่เท่ากนั แตจ่ ะใชก้ ารแก้สมการเพือ่ หาคาตอบ ซึง่ เมอื่ ได้คาตอบของ
สมการแล้วจะทาให้ได้คาตอบของอสมการท่ีมีเคร่ืองหมาย  เป็นจานวนจริงทกุ จานวนยกเวน้ จานวนทีเ่ ป็นคาตอบ
ของสมการนัน

ตัวอยา่ งท่ี 7 จงแกอ้ สมการ x  15  36 และเขียนกราฟแสดงคาตอบ
วิธีทา.............................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
เขียนกราฟแสดงคาตอบได้ดงั นี้

คณิตศาสตรพ์ น้ื ฐาน 5 (ค 23101) เรอ่ื ง อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว หนา้ 22

ตวั อย่างท่ี 8 จงแกอ้ สมการ 4 x  20 และเขียนกราฟแสดงคาตอบ
5
วิธีทา.............................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

เขียนกราฟแสดงคาตอบไดด้ ังน้ี

ตวั อยา่ งที่ 9 จงแก้อสมการ 3x  1  7x  2 และเขียนกราฟแสดงคาตอบ
2 5

วิธีทา.............................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

เขยี นกราฟแสดงคาตอบได้ดงั น้ี

คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน 5 (ค 23101) เรอ่ื ง อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว หน้า 23

แบบฝึกหัดที่ 5

1. จงแก้อสมการตอ่ ไปนี และเขยี นกราฟแสดงคาตอบ

1) x  5 12 2) 10  a  8

………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

3) c  1  5 4)  x  2  3
2 3

………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

5) x  2  3 6) 3(m 1) 18
4
……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….
……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….
……………………………………………………………………….
……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….

คณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน 5 (ค 23101) เรื่อง อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว หนา้ 24

7) x  1  7 8) x  1  14
2 8
………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

9) b  4  2b 1 10) 0.7a  0.3a  2
………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

11) 4x  3  6x  6 12) 5n  3  1 n  2
3
……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….
……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….
……………………………………………………………………….
……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….

……………………………………………………………………….

คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน 5 (ค 23101) เรอื่ ง อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียว หน้า 25

13) 2x  7  45 14)  2x 10  5x  4
………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….
………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….

15)  2 x  x  5
3

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

16) 3 x  2  3 x  5
8 2

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 5 (ค 23101) เร่อื ง อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี ว หน้า 26

17) 24x  4.5 15(x  0.3)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

18) 2(x 15)  (3x  5)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

19) x  1  8  2x
4

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน 5 (ค 23101) เร่อื ง อสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว หนา้ 27

20) 2 (2x  1)  1 (10x  3)
3 6

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

21) 3 m  7   2 m  6 
2 3

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

22) 2x  3x  4x  5x

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

คณิตศาสตร์พื้นฐาน 5 (ค 23101) เรื่อง อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว หน้า 28

1.4 โจทยป์ ญั หาเก่ียวกบั อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว

นักเรยี นเคยแก้โจทย์ปัญหาเก่ยี วกบั สมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี วมาแล้ว ในการแกโ้ จทยป์ ญั หาเกย่ี วกบั อสมการ
เชิงเสน้ ตัวแปรเดยี วก็สามารถทาได้ในทานองเดยี วกนั โดยมขี นั ตอนดงั นี

ขั้นท่ี 1 วเิ คราะห์โจทย์เพ่ือหาวา่ โจทยก์ าหนดอะไรมา และใหห้ าอะไร
ขั้นท่ี 2 กาหนดตวั แปรแทนสิ่งทโ่ี จทย์ใหห้ า หรอื แทนส่งิ ท่ีเกย่ี วข้องกบั ส่งิ ที่โจทย์ให้มา
ขั้นท่ี 3 เขยี นอสมการตามเงอ่ื นไขในโจทย์
ข้นั ท่ี 4 แกอ้ สมการเพือ่ หาคาตอบทโ่ี จทยต์ อ้ งการ
ขัน้ ที่ 5 ตรวจสอบคาตอบที่ไดก้ ับเงือ่ นไขในโจทย์

ตัวอย่างที่ 1 พลอยสวยซือนาด่ืมขวดเลก็ และขวดกลางมาขายรวมเปน็ จานวน 200 ขวด คดิ เปน็ เงนิ 1,200 บาท
ถา้ เธอขายนาดม่ื ขวดเลก็ ราคาขวดละ 5 บาท ขายนาด่ืมขวดกลาง ราคาขวดละ 8 บาท เมือ่ ขายหมด จะไดก้ าไร
มากกวา่ 250 บาท อยากทราบวา่ พลอยสวยซอื นาดืม่ ขวดเล็กมาขายอย่างมากกขี่ วด

วธิ ที า............................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน 5 (ค 23101) เรือ่ ง อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว หนา้ 29

ตัวอย่างที่ 2 จุน่ มีเงินสะสมอยู่จานวนหนึ่ง วนั หนึง่ พอ่ ใหเ้ งินจนุ่ เป็นพิเศษ 600 บาท วันร่งุ ขนึ จุ่นได้ซอื อาหารให้
แมวและนกท่เี ลยี งไว้เป็นเงนิ 420 บาท จ่นุ รวู้ ่ายังเหลอื เงินไม่นอ้ ยกวา่ ครึ่งหนง่ึ ของเงนิ ของจนุ่ และเงนิ ทพี่ อ่ ให้รวมกนั
จงหาว่าเดิมจ่นุ มีเงนิ สะสมอยอู่ ยา่ งน้อยก่ีบาท

วิธีทา............................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................

ตวั อย่างท่ี 3 สามเท่าของจานวนเต็มบวกจานวนหนึ่งมากกวา่ 15 อยู่ไม่เกนิ 9 จานวนเตม็ บวกนนั เปน็ จานวน
ใดบ้าง

วิธที า............................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตรพ์ ้นื ฐาน 5 (ค 23101) เร่อื ง อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว หนา้ 30

ตัวอย่างท่ี 4 ในห้องเรียนหอ้ งหนงึ่ อัตราส่วนของนาหนกั รวมของนกั เรยี นชายต่อนาหนกั รวมของนกั เรยี นหญิงเปน็
3 : 4 ถ้านาหนักรวมของนักเรียนชายเป็น 787.5 กิโลกรมั และนาหนักเฉล่ียของนักเรียนหญงิ นอ้ ยกวา่ 50 กิโลกรัม
อยากทราบวา่ ในหอ้ งนีมนี ักเรียนหญงิ อยา่ งน้อยกคี่ น

วิธีทา............................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................

ตัวอยา่ งท่ี 5 ป้มุ ปุ้ยมีเหรียญบาทและเหรียญห้าบาทอยู่ในกระปกุ ออมสนิ จานวนหนงึ่ เมื่อเหรยี ญเตม็ กระปุก
เธอเทออกมานับ พบว่ามีเหรียญบาทมากกวา่ เหรียญห้าบาทอยู่ 12 เหรยี ญ และนบั เป็นเงินได้ไม่นอ้ ยกว่า 300 บาท
จงหาวา่ ปมุ้ ปุ้ยมีเหรยี ญห้าบาทอย่อู ยา่ งนอ้ ยก่เี หรยี ญ

วธิ ีทา............................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน 5 (ค 23101) เร่อื ง อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว หนา้ 31

แบบฝึกหัดท่ี 6

จงแสดงวิธที าอยา่ งละเอียด

1. มาวนิ อา่ นหนังสือเล่มหน่งึ วนั แรกอา่ นได้ 2 ของเลม่ วนั ต่อมาอ่านได้อีก 25 หน้า รวมสองวันอ่านหนงั สอื เลม่ นไี ด้
5

มากกวา่ ครง่ึ เลม่ จงหาวา่ หนงั สอื เล่มนมี จี านวนหนา้ อยา่ งมากกห่ี นา้

วธิ ที า............................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................

2. พิมพาซอื เหมาไขเ่ ปด็ 1,000 ฟอง เป็นเงิน 1,200 บาท แลว้ นาไปขายปลีก โดยขายไขเ่ ป็ดขนาดใหญ่ฟองละ 1.50
บาท และขายไขเ่ ป็ดขนาดเลก็ ฟองละ 1.25 บาท เมื่อขายหมดจะไดก้ าไรน้อยกว่า 175 บาท จงหาว่าไข่เป็ดท่ซี อื มาเป็น
ไขเ่ ปด็ ขนาดใหญ่อยา่ งมากกี่ฟอง

วธิ ที า............................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน 5 (ค 23101) เรอ่ื ง อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียว หนา้ 32

3. ถ้าสองเท่าของจานวนเตม็ บวกจานวนหนง่ึ มากกวา่ 20 อยูไ่ มถ่ ึง 6 จานวนดงั กลา่ วเปน็ จานวนใดได้บา้ ง

วิธีทา............................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................

4. รปู สี่เหลีย่ มผืนผ้ารปู หน่งึ มีอัตราส่วนของความกวา้ งต่อความยาวเป็น 3 : 5 และมคี วามยาวรอบรูปไม่นอ้ ยกว่า 48
เซนตเิ มตร รูปสีเ่ หล่ียมผนื ผ้ารปู นมี พี นื ทีอ่ ยา่ งน้อยเทา่ ไร

วิธีทา............................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................

คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน 5 (ค 23101) เรือ่ ง อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว หนา้ 33

5. จานวนจานวนหนึ่งรวมกบั 1 ของผลบวกของจานวนนนั กบั 5 แลว้ ยงั น้อยกวา่ 7 จงกาว่าจานวนดังกล่าวเป็น
3

จานวนใดได้บา้ ง ถ้า 1) จานวนนันเปน็ จานวนนับ

2) จานวนนันเป็นจานวนเต็ม

วธิ ที า............................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................

6. อาทติ ย์สอบไดค้ ะแนนวิชาวทิ ยาศาสตร์ ครังที่ 1 ครงั ที่ 2 ครังที่ 3 เปน็ 69, 75, และ 72 คะแนนตามลาดบั จาก
คะแนนเตม็ 100 คะแนน จงหาวา่ อาทิตย์จะต้องสอบได้คะแนนสอบครังท่ี 4 อยา่ งน้อยเท่าไร จากคะแนนเต็ม 100
คะแนน จึงจะทาให้คะแนนเฉล่ียของการสอบทงั 4 ครงั เปน็ 75 คะแนน ขนึ ไป

วิธที า............................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................