Системы нелинейных уравнений

Сборник разноуровневых
упражнения на тему

«Системы нелинейных уравнений»

Содержание
Базовый уровень сложности .................................................................................. 3

Повышенный уровень сложности ......................................................................... 8

Высокий уровень сложности ............................................................................... 14

Ответы к заданиям для самостоятельного решения.......................................... 24

Базовый уровень сложности
Примеры решения систем нелинейных уравнений.
Пример 1.

{

Решение:
Решим данную систему методом подстановки.
Выразим из второго уравнения системы переменную :

{{

Подставим в первое уравнение системы и перейдѐм к уравнению с
одной переменной. Решим получившееся уравнение:

()

Вернѐмся к замене и найдѐм значения переменной :

Ответ: ( ) ( )
Пример 2.

{

Решение:
Решим данную систему уравнений графическим методом.
Для этого в одной системе координат построим графики функций
уравнений, входящих в систему (рис. 1). Графиком первого уравнения
системы является окружность с центром в начале координат и радиусом 4.
График второго уравнения – парабола, ветви направлены вверх с вершиной в
точке ( ):

Рисунок 1
Графики пересекаются в точке ( ), следовательно, координаты
данной точки являются решением системы.
Ответ: ( ).
Пример 3.

{

Решение:
Решим систему уравнений методом подстановки.
Из второго уравнения системы выразим переменную :

{{

Подставим значение переменной в первое уравнение системы.
Получим уравнение с одной переменной и решим его:

()

()
√

Вернѐмся к замене √

и найдѐм значение переменной :
()

Ответ: ( )( )
Пример 4.

{

Решение:
Решим данную систему методом подстановки.
Для этого выразим из первого уравнения значение переменной :

{{

Подставим значение переменной в первое уравнение системы.
Получим уравнение с одной переменной и решим его:

()

Вернѐмся к замене и найдѐм значение переменной :

Ответ: ( )
Пример 5.

{

Решение:
Решим данную систему методом алгебраического сложения.
Сложим два уравнения системы, перейдѐм к уравнению с одной
переменной и решим его:

Нашли значения переменной , можем найти значения переменных .
Для этого вернѐмся ко второму уравнению исходной системы, подставим
найденные значения переменной :

()

()

Ответ: ( )( )( )( )
Пример 6.

{

Решение:
Решим данную систему методом подстановки.
Выразим из первого уравнения системы значение переменной :

{{

Подставим во второе уравнение системы:
( )( )

Вернѐмся к замене:

Ответ: ( ) ( )

Задания для самостоятельного решения:

1. {

2. {

3. {

4. {
5. {
6. {
7. {
8. {
9. {
10.{
11.{
12.{
13.{
14.{
15.{
16.{
17.{
18.{
19.{
20.{

Повышенный уровень сложности
Примеры решения систем нелинейных уравнений.

Пример 1.

{ ()
()

Решение:

Вводим вместо исходных переменных и новые переменные

, получаем более простую систему уравнений:

{ () {
()

Решаем полученную систему уравнений удобным методом:

{ |( ) {

Вернѐмся к замене и найдѐм значения исходных переменных:
{{
()

Ответ: ( ()
Пример 2. )( )

( )( )
{

Решение:
Решим данную систему методом сведения к совокупности систем.
Получим:

( )( ) {( )
{ [{ ( )

{

[{( ) ( )
Из первой системы совокупности найдѐм значения переменной :

Из второй системы совокупности найдѐм значения переменной :

Таким образом, решением данной системы являются три пары чисел

( )( )( ) [12].

Ответ: (1; -2),(1;1),(3,5; -4).

Пример 3(задание ОГЭ).

{

Решение:
Решим данную систему методом подстановки.
Выразим из первого уравнения системы переменную :

{{

Подставим во второе уравнение системы, получим уравнение с одной
переменной и решим его:

( )( )

Вернѐмся к замене и найдѐм значения переменной :

Ответ: ( )( )

Пример 4 (задание ОГЭ).

{(( )
)

Решение:

Решим данную систему уравнений методом алгебраического сложения.

Для этого рационально умножить второе уравнение системы на ( )

{(( ) { ( )
) ( )

Сложим два уравнения системы, перейдѐм к уравнению с одной

переменной и решим его:

( )( )

Найдѐм значения переменной :

() (() )
()
( )
Ответ: ( )( )
Пример 5.

{( )( )

Решение:
Решим данную систему с помощью метода сведения к совокупности.
Разложим на множители первое уравнение системы и сведѐм исходную
систему уравнений к совокупности систем:

{( )( ) {( )( ) ( )( )

{( )( ) {( )( )

{

[{
Решаем системы уравнений входящие в совокупность:

{ { {√

{ {( )

{

{[
{

Таким образом, решением исходной системы уравнений являются

четыре пары чисел ( √ ), ( √ ), ( ), ( ), они удовлетворяют
решению исходной системе.

Ответ: ( √ ), ( √ ), ( ), ( )
Пример 6.

{

Решение:

Решим данную систему уравнений методом замены.

Для начала преобразуем данную систему, для того чтобы легко ввести

замену переменных:

{ {( ) )
(

{( ) )
(

Система подготовлена для замены переменных. Пусть ( )

. Выполним замену переменных и перейдѐм к следующей системе:

{
Решим данную систему:

{ {
Вернѐмся к замене переменных:

{ {( )
Решим второе уравнение системы:

()

По теореме Виета .

Найдѐм значения переменной :

Ответ: ( )( )

Задания для самостоятельного решения:

1. {

2. {

3. {

4. { )
5. {(( )
6. {

7. {

8. {

9. {

10.{

11.{

12.{

13.{

14.{

15.{

16.{

17.{

18.{ ( )
19.{

20.{

Высокий уровень сложности
Примеры решения систем нелинейных уравнений.

Пример 1.

{ ( )( )
Решение:

Для решения данной системы необходимо применить несколько
методов решения.

Для начала преобразуем данную систему:

{ ( )( ) {

{

Первое уравнение системы умножим на ( ) и сложим уравнения
системы:

{{

Из первого уравнения системы выразим переменную , подставим во
второе уравнение системы:

{

() ()

() ()

Вернѐмся к замене:

Ответ: ( )( ).
Пример 2.

{

Решение:
Для решения данной системы необходимо применить несколько
методов решения.
Выразим из первого уравнения системы переменную :

{{
Подставим во второе и третье уравнения системы:

{ ()
(
)( )

Рассмотрим систему, состоящую из двух уравнений системы (второго и

третьего):

{( () )
)(

Сложим уравнения, входящие в систему:

()

Подставим значение в уравнение ()

перейдѐм к системы следующего вида:

()

{
Решим первое уравнение получившейся системы:

()

() и найдѐм значения
Подставим найденные значения переменной
переменной :

Осталось найти значения переменной . Для этого подставим

найденные значения и в :

Ответ: ( )( )
Пример 3.

{

Решение:

Данная система уравнений является симметрической. Подготовим

систему для замены переменных:

{ {( )( )
( )

{( )(( ) )
()

Введѐм замену: .

{( ) {

Подставим в первое уравнение системы . Перейдѐм к

уравнению с одной переменной и решим его:

() ()

Вернѐмся к замене и найдѐм значение переменной :

Вернѐмся к замене переменных:

{
[
{

Решим первую систему совокупности:

{{

()

() ()

√

√

√ √
√
√
Решим вторую систему совокупности:

{{

()

Следовательно, не имеет решений на области действительных чисел.

Ответ: ( √ √ )( √ √ ) [23].

Пример 4.

{( ) ( )
Решение:

Решим данную систему уравнений методом сведения к совокупности
более простых систем уравнений.

Для этого разложим на множители второе уравнение системы:

{( ) ( ) {( ) ( )

{( )( )
Таким образом, можем преобразовать данную систему уравнений к
совокупности более простых систем:

{( )

[{ ( )
Решим первую систему совокупности:

{{ {
Решим вторую систему совокупности:

{{{

Ответ: ( ) ( ), (0; 5).

Пример 5.

Найдите все значения параметра , при которых система уравнений

имеет ровно четыре решения: {| | | |

Решение:
Решим данную систему уравнений с помощью графического метода.
В одной системе координат построим графики функций уравнений,
входящих в данную систему. График второго уравнения – квадрат с
вершинами: (2; 0), (–2; 0), (0; 2), (0; –2). График первого уравнения –
окружность с центром в начале координат и радиусом |а|.
Система имеет ровно 4 решения, если окружность вписана в квадрат,

или когда окружность описана вокруг квадрата. В первом случае | | √

√ , во втором случае | | √ (рис. 2).

√

Рисунок 2

Ответ: √√

Пример 6.

Найдите все положительные значения параметра , при каждом из

которых система

{(| | )( )
( )

имеет единственное решение.

Решение:

1. Анализ первого уравнения системы:

если , то уравнение задаѐт окружность с центром в точке ( )и
радиусом 3; с центром в точке ( )и
если то уравнение задаѐт окружность
радиусом 3 (рис. 3).

Рисунок 3

2) Рассмотрим второе уравнение системы ( ) уравнение
задаѐт окружность с центром точке ( ) и радиусом .
3) Из точки проведѐм луч (рис. 4).

√( ) √ √и √
Получаем:
при ;
при
при - окружности касаются.

4) Из точки проведѐм луч Рисунок 4
(рис. 5).

√( ) и .
Получаем:
при ;
при
при - окружности касаются.

Рисунок 5

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда,

когда окружность имеет одну общую точку касания с окружностью или

с окружностью (рис. 6).
Так как
, то условию задачи удовлетворяют

только числа √ [7].

Рисунок 6

Ответ: ( √ ).

Задания для самостоятельного решения:

1. { () )
)(
2. {
(

3. {

4. {
5. {
6. {
7. {
8. {
9. {
10.{
11.{
12.{
13.{ ( )( )
14.{
15.{
16.{

17.{ ()
()

18.Найти все значения параметра , при каждом из которых система имеет

единственное решение: {( || || )
)( ) (

19.Найдите все положительные значения a, при каждом из которых

система имеет единственное решение: {

20.Найдите все положительные значения параметра , при каждом из

которых система имеет единственное решение:

{(| | )( )
( )

Ответы к заданиям для самостоятельного решения
Базовый уровень Повышенный уровень Высокий уровень

1. ( )( ) ( )( ) ( )( )

2. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

3. ( ) ( ) ( )( ) ()
( )( )

( )( )

4. ( )( ) ( )( ) ( )( )
5. ( )( ) ()
( )( )

(√ √)

( )( √ √
)

6. ( ) ( ) ( )( ) () )
7. Нет решений ( )( ) ( )(

8. Нет решений ( )( ) (√)

(√)

9. ( )( ) ( )( ) (√ √)
( )( )
(√ √)
10. ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )

11. ( )( ) ( )( )
( )( )
)( ) ( )( ) ( )( )
12. (
()

() ( )( )
()
13. ( ) ( ) ()

()

14. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
15. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
16. ( )( ) ( )( )
17. ( )( )
( )( ) (√ √ ) (√ √ )
(√ √ )( )

( )( )( )

18. ( ) ( )( ) √
19. ( )( )
20. ( ( )( )( ) √
)( )
( )( ) √√