E-Modul Barisan dan Deret Aritmatika

MATEMATIKA
WAJIB SMA

KELAS XI

BARISAN

DAN DERET

ARITMATIKA

DISUSUN OLEH :

ARDHIA SIVA WARDHANI

NPM. 1910306008




S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS TIDAR

2022

E- MODUL

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan rahmat-
Nya sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul barisan dan deret aritmatika
matematika wajib kelas XI. Modul ini memuat materi yaitu barisan dan deret
aritmetika. Modul ini diperuntukkan bagi siswa kelas XI baik program MIPA maupun
IPS dan guru pengampu mata pelajaran matematika wajib kelas XI semester 1. Modul
digunakan sebagai sumber belajar dalam pembelajaran daring.

Terimakasih kami sampaikan kepada Bapak Muhammad Ikhsan Sahal Guntur, M.Pd.
selaku dosen pembimbing dalam penyusunan modul ini dan seluruh pihak yang telah
mendukung dalam penyusunan modul ini. Penyusun berharap modul ini dapat
bermanfaat dalam pembelajaran baik untuk siswa maupun guru.

Jakarta, Mei 2022
Penyusun









Ardhia Siva Wardhani

ii

DAFTAR ISI

Cover ............................................................................................................................................................................ i
Kata Pengantar ..................................................................................................................................................... ii
Daftar Isi .................................................................................................................................................................. iii
KD dan IPK ............................................................................................................................................................. iv
Tujuan ........................................................................................................................................................................ v
Peta Konsep ........................................................................................................................................................... vi
Pendahuluan ......................................................................................................................................................... 1

A. Deskripsi Singkat Materi ............................................................................................................. 1
B. Petunjuk Penggunaan Modul .................................................................................................... 1
Materi Barisan dan Deret Aritmatika ......................................................................................................... 2
A. Barisan Aritmatika .......................................................................................................................... 2
B. Rumus Barisan Aritmatika .......................................................................................................... 3

1. Bentuk Barisan Aritmatika ..................................................................................................... 4
2. Suku ke - n Barisan Aritmatika ........................................................................................... 5
3. Suku Tengah Barisan Aritmatika ....................................................................................... 6
4. Sisipan Barisan Aritmatika .................................................................................................... 7
C. Deret Aritmatika ............................................................................................................................. 8
Rangkuman ........................................................................................................................................................... 9
Latihan Soal ......................................................................................................................................................... 10

iii

KOMPETENSI DASAR
DAN

INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI

A. Kompetensi Dasar
3.5 Menganalisas konsep barisan dan deret aritmatika.
4.5 Menyelesaikan masalah kontekstual berkaitan dengan barisan dan deret
aritmatika.

B. Indikator Pencapaian Kompetensi 4.5.1 Menyelesaikan dan menyajikan

3.5.1 Mengidentifikasi barisan, pola,
masalah yang berkaitan dengan

dan deret bilangan. barisan dan deret aritmatika.

3.5.2 Menemukan konsep barisan

aritmetika dan menentukan suku ke -

n barisan aritmatika.

3.5.3 Menemukan konsep deret

aritmatika dan menentukan suku ke-n

suku pertama deret aritmatika.

iv

TUJUAN

1. Siswa dapat memahami pengertian baris dan deret aritmatika.
2. Siswa dapat mengetahui cara menentukan suku ke - n pada
barisan aritmatika.
3. Siswa dapat mengetahui cara menentukan jumlah suku ke - n
pada deret aritmatika.
4. Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
barisan deret aritmatika.

v

PETA KONSEP

Pengertian Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika

Pengertian Deret Aritmatika
Deret Aritmatika

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan

barisan dan deret aritmatika.

vi

PENDAHULUAN

A. Deskripsi Singkat Materi
Modul ini akan memberikan tentang :
1. Menganalisis konsep barisan dan deret aritmatika.
2. Menyelesaikan masalah kontekstual berkaitan dengan barisan dan deret
aritmatika.

B. Petunjuk Penggunaan Modul
Kegiatan pembelajaran dalam modul ini berisi uraian materi dan latihan soal.
Uraian materi adalah pembahasan materi yang berkaitan dengan barisan dan
deret aritmetika serta sesuai dengan Kompetensi Dasar dan Indeks Pencapaian
Kompentesi.
Latihan soal akan diberikan untuk menilai sejauh mana pemahaman siswa dan
berisikan untuk menilai konsep dari materi terkait.

1

BARISAN ARITMATIKA

Barisan dan deret sangat bermanfaat dalam kehidupan. Sebagai contoh di

dunia usaha, kita dapat memprediksi skala keuntungan maupun kerugian apabila

perkembangan usaha konstan dari waktu ke waktu. Contoh lain adalah menghitung

jumlah simpanan di bank dengan bunga tertentu. Dengan mengetahui manfaat

materi barisan dan deret diharapkan kalian termotivasi untuk mempelajarinya.

Barisan dari aritmatika dapat diartikan dengan susunan bilangan yang real

yang membentuk pola tertentu. Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan

beda atau selisih antara dua suku berurutan selalu tetap atau konstan.

Ayo kita mengingat kembali tentang barisan!

Susunan ke - 1:

Susunan ke - 2:

Susunan ke - 3:

Susunan ke - 4:

Dari susunan pertama terdiri dari 3 stik ice cream, susunan kedua 5 stik ice cream, susunan

ketiga 7 stik ice cream, susunan keempat 9 stik ice cream. Susunan tersebut membentuk

barisan bilangan 3,5,7,9. Barisan tersebut membentuk pola tertentu. Bagaimana polanya ? Ya

dari susunan stik ice cream adalah ditambah 2 dari susunan sebelumnya. Itulah yang

disebut sebagai barisan yaitu bilangan yang tersusun dengan pola tertentu.

2

RUMUS BARISAN ARITMATIKA

Bentuk barisan aritmatika

Langkah awal dalam menyelesaikan permasalahan barisan aritmatika adalah
menentukan suku pertama dan beda pada barisan. Berikut ini adalah rumus nya :

Keterangan :
Un + 1 = suku ke -(n +1)
Un = suku ke - n dan
b = beda atau selisih
Akibat dari rumus suku ke -n tersebut, dapat diperoleh :
U1, U2, U3, ...., Un-2, Un-1, Un
a, a+b, a+2b, ..., a+n-3b, a+n-2b, a+n-1b
Jika banyak suku(n) ganjil, suku tengah (Ut) barisan aritmatika dapat dirumuskan,
sebagai berikut.

Jika diantara dua buah suku U1, U2, U3, ...., Un disisipkan K buah bilangan sehingga
terbentuk barisan aritmatika baru, beda dan banyak suku dari barisan tersebut akan
berubah sesuai rumusan berikut.

3

Keterangan :
b' = beda barisan aritmatika baru
b = beda barisan aritmatika lama
k = banyak bilangan yang disisipkan
n' = banyak suku barisan aritmatika baru
n = banyak suku barisan aritmatika lama

Perlu diingat bahwa suku pertama barisan baru sama dengan suku pertama barisan
lama dan selisih antara dua suku berurutan pada barisan aritmatika disebut beda
yang dilambangkan dengan b.

Contoh Soal !

Tentukan suku pertama dan beda dari tiap barisan

aritmatika berikut ini!

a) 3, 8, 13, 18, ........
Penyelesaian :
Suku pertama : a = 3 dan beda : b = 8 - 3 = 5

b) 9, 6, 3, 0, ........
Penyelesaian :
Suku pertama : a = 9 dan beda : b = 6 - 9 = -3

4

Suku ke - n barisan Aritmatika

Saat kita diminta untuk mencari suku ke - n barisan aritmatika, cara
termudahnya adalah dengan menelusuri satu per satu sampai mencapai
suku ke - n. Namun cara ini tergolong tidak praktis dan membutuhkan
waktu yang banyak. Jika yang diminta suku ke - 10 mungkin masih bisa.
Bagaimana jika yang diminta suku ke - 1000? betapa rumitnya bukan?
Untuk itu, kita bisa mengggunakan rumus dari barisan aritmatika.

Jika U1, U2, U3, U4, ...Un merupakan suku-suku barisan aritmatika, rumus
suku ke - n barisan aritmatika tersebut dinyataakan sebagai berikut :

Un = a + (n - 1) b

Keterangan

a = U1 adalah suku pertama barisan aritmatika
b = beda barisan aritmatika
n = jumlah suku
Un = jumlah suku ke - n

Contoh Soal !

Tentukan suku ke - 20 dari barisan 2, 6, 10, 14, ..., ...,!
Pembahasan :
Diketahui : a = 2
b=6-2=4
Ditanya : U20 = ?

U20 = a + (n - 1) b
U20 = 2 + (20-1) 4
u20 = 2 + (19)(4)

u20 = 2 + 76
u20 = 78

5

Suku tengah barisan aritmatika

Jika kita menemukan barisan aritmatika yang banyak suku ganjil, pasti barisan
aritmatika tersebut memiliki suku tengah (Ut). Secara matematis, Ut dirumuskan
sebagai berikut.

Ut = a + Un / 2
t=n+1/2

Contoh Soal !

Suku tengah barisan aritmatika adalah 15. Jika banyaknya suku barisan tersebut 11 dan
suku ke - 4 bernilai -3, tentukan suku terakhir nya!

Pembahasan :
Diketahui :
U1 = 15
n = 11
Ditanya : Un = ...?
Pembahasan :
Pertama, kita harus mencari nilai t.

t=n+1/2
t = 11 + 1 / 2

t = 12 / 2
t=6

Suku tengah adalah suku ke - 6, artinya U6 = 15.
U6 = a + 5b = 15...(1)
U4 = a + 3b = 15...(2)

Untuk mencari nilai a dan b, gunakan metode eliminasi,
a + 5b = 15
a + 3b = -3

kita kurangkan dengan eliminasi menjadi :
2b = 18
b=9

Substitusikan nilai b ke persamaan (1)
a + 5b = 15
a + 5(9) = 15
a = -30

6

Selanjutnya , tentukan suku terakhir barisan tersebut.
U11 = a + 10b

U11 = -30 + 10(9)
U11 = 60

Jadi, untuk suku terakhirnya adalah 60.
Sisipan bilangan pada barisan aritmatika

Misalkan kita menjumpai barisan aritmatika dengan

beda b. Lalu, barisan aritmatika tersebut disisipkan k
bilangan disetiap 2 bilangan yang berdekatan. Setelah

disisipkan k bilangan, terbentuk barisan aritmatika

baru yang bedanya b'. Pertanyaanya adalah berapakah

beda bialngan aritmatika yang baru? Daripada pusing-


pusing, gunakan persamaan berikut.



b' = b / k + 1

Ketentuan. Suku pertama barisan yang baru sama dengan suku pertama barisan
sebelumnnya karena bilangan yang disisipkan tidak berada di awal baris.

7

DERET ARITMATIKA

Deret aritmatika berkaitan dengan barisan aritmatika. Deret aritmatika yang
disimbolkan dengan Sn merupakan jumlah n suku pertama barisan aritmatika.
Dengan kata lain, penjumlahan dari suku-suku barisan aritmatika disebut dengan
deret aritmatika.

Disini kita hanya menjumlahkan barisan aritmatika saja sampai pada suku yang
diperhatikan. Misalnya, kamu diperintahkan atau diberikan soal untuk mencari deret
aritmatika jumlah 5 suku pertama dari barisan yang tadi kita bahas. Jadi seperti ini
penjelasannya.

Contoh Soal !

Berapakah jumlah biangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100?

Pembahasan :
Jumlah bilangan kelipatan 3 antara 3 sampai 100 adalah sebagai berikut.



Sn = 12 + 15 + 18 + 21 + ... + 99

Keterangan :
a = 12
banyaknya suku = 30



Sn = n/2 (a + Un)
Sn = 30/2 (12 + 99)

Sn = 15 (111)
Sn = 1.665

Jadi, jumlah bilangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100 adalah 1.665.

8

Rangkuman

Jika terdapat suatu pola/aturan antara suku-suku pada barisan yaitu selisih antara
dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan), maka barisan bilangan tersebut
disebut barisan aritmatika.
Rumus umum menentukan suku ke - n barisan aritmatika adalah

Un = a + (n - 1) b
Keterangan :
a = U1 adalah suku pertama barisan aritmatika
b adalah beda barisan aritmatika
n adalah jumlah suku
Un adalah jumlah suku ke - n

Penjumlahan dari suku - suku barisan aritmatika disebut dengan deret aritmatika
Rumus umum untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret aritmatika
adalah

Sn = n/2 ( 2a + ( n - 1 ) b )b

Silakan scan code QR disamping untuk menonton

video penjelasan lebih lengkap terkait materi Barisan


dan Deret Aritmatika.

9

Latihan Soal

1.Tentukan nilai suku ke - 45 dari barisan deret aritmatika : 5, 10, 15, ...?
a. 54
b. 45
c. 93
d. 74

2.Diketahui dalam suatu deret aritmatika : 2, 4, 6, 8, ..., hitunglah beda suku ke - 5 deret
aritmatika diatas ...
a. Beda 2, U5 = 10
b. Beda 5, U5 = 32
c. Beda 6, U5 = 45
d. Beda 4, U5 = 72

3.Misalkan diketahui nilai suku ke - 9 adalah 40 dengan beda 2, maka berapa U1 nya?
a. 6
b. 7
c. 10
d. 24

4. Hitunglah jumlah suku nilai suku ke - 4 (S4) deret aritmatika apabila terdapat angka
: 4, 8, 16, ...?
a. 32
b. 40
c. 87
d. 98

5.Hitunglah suku ke - 11 (S11) dalam deret aritmatika ini : 3, 9, 15, ...?
a. 32
b. 363
c. 187
d. 98

10

6.Misalkan telah diketahui nilai suku ke - 16 = 35 dengan beda = 2, maka U1 adalah?
a. 6
b. 7
c. 10
d. 5

7.Nilai suku ke - 36 dalam barisan deret aritmatika adalah : 4, 6, 8, 10, ...?
a. 74
b. 90
c. 60
d. 34

8.Diketahui U1 = 10 dan U9 = 40. Suku ke - 20 pada barisan ini adalah ...
a. 81, 20
b. 81, 25
c. 81, 30
d. 81, 35

9.Hitunglah 4 suku selanjutnya 10, 14, 18, 24, ...
a. 25, 43, 34, dan 51
b. 25, 78, 62, dan 41
c. 29, 26, 99, dan 41
d. 16, 30, 46, dan 52

10.Suku ke - 40 dari barisan 7, 5, 3, 1 ... adalah
a. -71
b. -66
c. -81
d. -67

Latihan soal bisa langsung dikerjakan
menggunakan Kahoot.com dengan menscan

code QR disamping.

11

12