Tujuan Pembelajaran
Dengan kegiatan diskusi melalui pembelajaran berdasarkan
masalah siswa dapat:
1. Menemukan konsep Sistem Persamaan linier tiga variable
2. Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variable dari
permasalahan kontekstual dengan metode eliminasi,
substritusi atau campuran.
Materi Pendahuluan
Saat membahas persamaan linear, kamu akan bertemu dengan
istilah variabel. Istilah ini tentu sudah kamu kenal sejak SMP,
kan? Umumnya, variabel dinyatakan dengan x. Lantas,
bagaimana dengan tiga variabel? Untuk tiga variabel, biasanya
dinyatakan sebagai x, y, dan z. Sistem persamaan linear tiga
variabel (SPLTV) adalah sistem persamaan yang memuat tiga
variabel, yaitu x, y, dan z
Materi Pendahuluan
Contoh sistem persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut.
Ciri utama suatu persamaan adalah adanya tanda hubung “=”. Dengan
adanya tanda itu, nilai bilangan ruas kiri harus sama dengan ruas kanan.
Itulah mengapa, kamu harus mencari nilai setiap variabelnya terlebih
dahulu. Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Dengan ketentuan, a, b, c ≠ 0.
Dari ketiga bentuk umum SPLTV tersebut, kamu hanya akan mendapatkan
satu solusi/ penyelesaian untuk setiap variabelnya, yaitu (x, y, z).
Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
1. Metode substitusi
Langkah penyelesaian dengan metode substitusi adalah sebagai berikut.
Memilih persamaan yang paling sederhana untuk menyatakan salah
satu variabel ke dalam bentuk fungsi variabel lainnya, misal
variabel x ke dalam fungsi y dan z, atau variabel y ke dalam
fungsi x dan z, atau variabel z ke dalam fungsi x dan y.
Bentuk fungsi yang diperoleh pada poin (a) disubstitusikan ke dua
persamaan lainnya, sehingga berubah menjadi sistem persamaan
linear dua variabel.
Lakukan langkah penyelesaian yang sama setelah terbentuk sistem
persamaan linear dua variabel.
Jika sudah mendapatkan dua nilai variabel, substitusikan keduanya di
salah satu persamaan sehingga diperoleh semua penyelesaian
variabelnya
Materi Pendahuluan
2. Metode eliminasi
Langkah penyelesaian metode eliminasi adalah sebagai berikut.
Menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dengan
menyamakan konstanta variabel yang ingin dieliminasi.
Setelah terbentuk SPLDV, lakukan langkah eliminasi yang sama
dengan poin (a) sampai diperoleh nilai salah satu variabel.
Lakukan langkah yang sama sampai semua variabel diketahui.
3. Metode gabungan
Metode ini merupakan gabungan antara metode substitusi dan eliminasi.
Langkah penyelesaian dengan metode gabungan adalah sebagai berikut.
Melakukan eliminasi atau menghilangkan salah satu variabel dengan
menyamakan konstanta variabel yang akan dieliminasi.
Setelah terbentuk sistem persamaan linear dua variabel, lakukan
eliminasi seperti langkah (a) hingga diperoleh nilai salah satu
variabel.
Substitusikan nilai variabel yang diketahui pada salah satu persamaan
linear dua variabelnya hingga diperoleh nilai variabel yang lain.
Lakukan langkah yang sama hingga semua variabel diketahui
nilainya.
Pertanyaan Essensial
Bagaimana cara menentukan beberapa harga tunggal dari barang belanjaan
yang telah dibeli dengan menggunakan persamaan linear tiga variable?
A. Angota Kelompok
Silahkan isi nama anggota kelompok anda!
Nama Tugas
B. Rencana Project
a. Lakukan brainstorming, pikirkan ide-ide karya
/proyek untuk menjawab essential question
C. Rencana Project
b. Tentukan proyek yang akan dilaksanakan
1) Judul Proyek :
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
2) Alasan pemilihan proyek :
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
B. Alat dan Bahan
Tentukan alat dan bahan yang akan diperlukan dalam pembuatan
proyek
Alat dan Bahan Fungsi
D. Prosedur
1. Tahapan pembuatan project
Silahka anda tuliskan apa saja tahapan-tahapan dari pembuatan
projectnya tersebut
2. Gambar Desain Project
Menyusun Jadwal
1. Alokasi waktu Perkiraan lama waktu yang diperlukan
No Tahapan (dalam satuan hari/jam/menit)
2. Presentasikan perencanaan proyek yang akan dibuat dan catatlah setiap saran dan
kritik dari teman-teman dan atau guru
No Kritik Saran
No Feedback Guru Hasil Monitoring
Keterangan
Hasil Monitoring
A. Menguji hasil (diisi oleh peserta didik)
PROSES PEMBUATAN PROYEK
1. Dokumentasi kegiatan
Foto Deskripsi Kegiatan
2. Uji Coba Hasil Produk
a. Apakah karya yang dibuat mampu menyelesaikan permasalahan dalan focus
question?
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
b. Jelaskan hambatan yang ditemuka selama proses pembuatan proyek
………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
Evaluasi Pengalaman
2. Jelaskan secara lengkap apa kelebihan dan kelemahan dari
produk yang telah dibuat.
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
1. Buatlah laporan tertulis untuk keseluruhan proses dari mulai
perencanaan sampai evaluasi hasil.
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
Latihan Soal
Soal
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan
linear tiga variabel berikut.
2 + 5 – 3 = 3
6 + 8 − 5 = 7
−3 + 3 + 4 = 15
Jawaban
2 + 5 – 3 = 3 … (1)
6 + 8 − 5 = 7 … (2)
−3 + 3 + 4 = 15 … (3)
Eliminasikan variabel z menggunakan (1) dan (2):
2 + 5 – 3 = 3 |× 5| ⇔ 10 + 25 – 15 = 15
6 + 8 − 5 = 7 | × 3| ⇔ 18 + 24 − 15 = 21 –
−8 + = −6 … (4)
Eliminasikan variabel z menggunakan (1) dan (3):
2 + 5 – 3 = 3 |× 4| ⇔ 8 + 20 – 12 = 12
−3 + 3 + 4 = 15 |× 3| ⇔ −9 + 9 + 12 = 45 +
− + 29 = 57 … (5)
Eliminasikan variabel y
menggunakan (4) dan (5):
−8 + = −6 | × 29| ⇔ −232 + 29 = −174
− + 29 = 57 |× 1| ⇔ − + 29 = 57 –
−231 = −231
= 1
Substitusikan x ke (4): Kemudian, substitusikan x dan y ke (1)
−8 + = −6 2 + 5 – 3 = 3
−8(1) + = −6 2(1) + 5(2) – 3 = 3
−8 + = −6 2 + 10 – 3 = 3
= 8 – 6 12 – 3 = 3
= 2 – 3 = 3 − 12 = −9
= 3
Jadi, Himpunan penyelesaiannya yaitu {(1,2,3)}
Latihan Soal
Soal
Ibu Yanti membeli 5 kg telur, 2 kg daging, dan 1 kg udang dengan harga Rp
305.000,00. Ibu Eka membeli 3 kg telur dan 1 kg daging dengan harga Rp
131.000,00. Ibu Putu membeli 3 kg daging dan 2 kg udang dengan harga Rp
360.000,00. Jika Ibu Aniza membeli 3 kg telur, 1 kg daging, dan 2 kg udang,
berapah harga yang harus ia bayar?
Misal x = harga telur, y = harga daging, Jawaban
dan z = harga udang. Langkah IV
Substitusi persamaan 4 ke persamaan 6, maka:
Diperoleh SPLTV yakni: 2 + 3 = 274000
5 + 2 + = 305000 . . . . (1) 2 + 3(131000 – 3 ) = 274000
3 + = 131000 . . . . (2) 2 + 393000 – 9 = 274000
3 + 2 = 360000 . . . . (3) – 7 = – 119000
= – 119000/– 7
Langkah I = 17000
Ubah persamaan 2 yakni:
3 + = 131000 Langkah V
= 131000 – 3 . . . . (4) Substitusi nilai x ke per 4 dan ke pers 5, maka:
= 131000 – 3
Langkah II = 131000 – 3(17000)
Substitusi persamaan 4 ke persamaan 1, maka: = 80000
5 + 2 + = 305000
5 + 2(131000 – 3 ) + = 305000 = 43000 +
5 + 262000 – 6 + = 305000 = 43000 + 17000
– + = 43000 = 60000
= 43000 + . . . . 5
Langkah VI
Langkah III Jumlah harga yang harus dibayar ibu Aniza yakni:
Substitusi persamaan 5 ke persamaan 3, maka: = 3 + + 2
3 + 2 = 360000 = 3(17000) + 80000 + 2(60000)
3 + 2(43000 + ) = 360000 = 51000 + 80000 + 120000
3 + 86000 + 2 = 360000 = 251000
2 + 3 = 274000 . . . . (6)
Latihan Soal
Soal
Pada hari Minggu Wayan, Candra, Agus dan Akbar membeli perlengkapan sekolah
di toko buku “Subur”. Wayan membeli 4 buku, 2 bolpoin, dan 3 pensil dengan
harga Rp26.000,00. Candra membeli 3 buku, 3 bolpoin, dan 1 pensil dengan harga
Rp21.500,00. Agus membeli 3 buku, dan 1 pensil dengan harga Rp12.500,00. Jika
Akbar membeli 1 buku, 2 bolpoin dan 2 pensil, berapakah harga yang harus ia
bayar?
Jawaban
Misalkan a = buku, b = bolpoin, Langkah III
dan c = pensil
Substitusi nilai a ke persamaan 4, maka:
Persamaan matematis untuk: 6 + 7 = 35000
=> 4 + 2 + 3 = 26000
=> 3 + 3 + = 21500 6(3500) + 7 = 35000
=> 3 + = 12500 21000 + 7 = 35000
=> + 2 + 2 = ? 7 = 14000
= 2000
Diperoleh SPLTV yakni:
4 + 2 + 3 = 26000 . . . . (1) Langkah IV
3 + 3 + = 21500 . . . . (2)
3 + = 12500 . . . . (3) Substitusi nilai a dan c ke persamaan 2, maka:
Langkah I Eliminasi b pada pers 1 dan 2 yakni: 3 + 3 + = 21500
4 + 2 + 3 = 26000 × 3
3 + 3 + = 21500 × 2 3(3500) + 3 + 2000 = 21500
12 + 6 + 9 = 78000 10500 + 3 + 2000 = 21500
6 + 6 + 2 = 43000 −
6 + 0 + 7 = 35000……….pers 4 12500 + 3 = 21500
3 = 9000
Langkah II Eliminiasi c pada pers 3 dan 4, yakni:
3 + = 12500 7 = 3000
6 + 7 = 35000 1
Langkah V
Untuk menentukan harga yang harus Akbar bayar dapat
dilakukan dengan memasukan nilai a, b dan c, yakni:
= + 2 + 2
= 3500 + 2(3000) + 2(2000)
= 3500 + 6000 + 4000
= 13500
21 + 7 = 87500 Jadi harga yang harus Akbar bayar adalah sebesar
Rp 13.500,00
6 + 7 = 35000 −
15 = 52500
= 3500