zonadaeletrica.com.br - Física-1-Mecânica-Halliday-10ª-Edição - zonadaeletrica.com.br

··23 Se é somado a = 3,0 + 4,0 , o resultado é um vetor com a orientação do semieixo y positivo e
um módulo igual ao de . Qual é o módulo de ?
··24 O vetor , paralelo ao eixo x, deve ser somado ao vetor , que tem um módulo de 7,0 m. A soma é
um vetor paralelo ao eixo y, com um módulo 3 vezes maior que o de . Qual é o módulo de ?
··25 O oásis B está 25 km a leste do oásis A. Partindo do oásis A, um camelo percorre 24 km em uma
direção 15° ao sul do leste e 8,0 km para o norte. A que distância o camelo está do oásis B?
··26 Determine a soma dos quatro vetores a seguir (a) na notação dos vetores unitários e em termos (b)
do módulo e (c) do ângulo.

··27 Se 1 + 2 = 5 3, 1 – 2 = 3 3 e 3 = 2 + 4 , determine, na notação dos vetores unitários, (a) 1
(b) 2.
··28 Dois besouros correm em um deserto plano, partindo do mesmo ponto. O besouro 1 corre 0,50 m
para leste e 0,80 m em uma direção 30° ao norte do leste. O besouro 2 corre 1,6 m em uma direção 40°
ao leste do norte e depois corre em outra direção. Quais devem ser (a) o módulo e (b) o sentido da
segunda corrida do segundo besouro para que ele termine na mesma posição que o primeiro besouro?
··29 Para se orientarem, as formigas de jardim costumam criar uma rede de trilhas marcadas por
feromônios. Partindo do formigueiro, cada uma dessas trilhas se bifurca repetidamente em duas trilhas
que formam entre si um ângulo de 60o. Quando uma formiga perdida encontra uma trilha, ela pode saber
em que direção fica o formigueiro ao chegar ao primeiro ponto de bifurcação. Se estiver se afastando do
formigueiro, encontrará duas trilhas que formam ângulos pequenos com a direção em que estava se
movendo, 30o para a esquerda e 30o para a direita. Se estiver se aproximando do formigueiro, encontrará
apenas uma trilha com essa característica, 30o para a esquerda ou 30o para a direita. A Fig. 3-29 mostra
uma rede de trilhas típica, com segmentos de reta de 2,0 cm de comprimento e bifurcações simétricas de
60o. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) do deslocamento, até o
formigueiro (encontre-o na figura), de uma formiga que entra na rede de trilhas no ponto A. Determine (c)
o módulo e (d) o ângulo de uma formiga que entra na rede de trilhas no ponto B.
··30 São dados dois vetores:

= (4,0 m) – (3,0 m) e = (6,0 m) + (8,0 m) .

Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação a ) de . Determine (c) o módulo e (d) o ângulo de
. Determine (e) o módulo e (f) o ângulo de + ; (g) o módulo e (h) o ângulo de – ; (i) o módulo e (j)

o ângulo de – . (k) Determine o ângulo entre as direções de – e – .

Figura 3-29 Problema 29.
··31 Na Fig. 3-30, um vetor com um módulo de 17,0 m faz um ângulo θ = 56,0° no sentido anti-horário
com o semieixo x positivo. Quais são as componentes (a) ax e (b) ay do vetor? Um segundo sistema de
coordenadas está inclinado de um ângulo θʹ = 18° em relação ao primeiro. Quais são as componentes (c)

e (d) neste novo sistema de coordenadas?

Figura 3-30 Problema 31.
···32 Na Fig. 3-31, um cubo, de aresta a, tem um dos vértices posicionado na origem de um sistema de
coordenadas xyz. A diagonal do cubo é uma reta que vai de um vértice a outro do cubo, passando pelo
centro. Na notação dos vetores unitários, qual é a diagonal do cubo que passa pelo vértice cujas
coordenadas são (a) (0, 0, 0), (b) (a, 0, 0) (c) (0, a, 0) e (d) (a, a, 0)? (e) Determine os ângulos que as
diagonais do cubo fazem com as arestas vizinhas. (f) Determine o comprimento das diagonais do cubo em
termos de a.

Figura 3-31 Problema 32.

Módulo 3-3 Multiplicação de Vetores

·33 Para os vetores da Fig. 3-32, com a = 4, b = 3 e c = 5, determine (a) o módulo e (b) a orientação de
× , (c) o módulo e (d) a orientação de × e (e) o módulo e (f) orientação de × . (Embora exista,

o eixo z não é mostrado na figura.)
·34 Dois vetores são dados por = 3,0 + 5,0 e = 2,0 + 4,0 . Determine (a) × , (b) · , (c) ( +

) · e (d) a componente de em relação a . [Sugestão: Para resolver o item (d), considere a Eq. 3-20
e a Fig. 3-18.]

Figura 3-32 Problemas 33 e 54.
·35 Dois vetores, e , estão no plano xy. Os módulos dos vetores são 4,50 unidades e 7,30 unidades,
respectivamente, e eles estão orientados a 320° e 85,0°, respectivamente, no sentido anti-horário em
relação ao semieixo x positivo. Quais são os valores de (a) · e (b) × ?
·36 Se 1 = 3 – 2 + 4 e 2 = –5 + 2 – , determine ( 1 + 2) · ( 1 × 4 2).
·37 Três vetores são dados por = 3,0 + 3,0 – 2,0 , = –1,0 – 4,0 + 2,0 e = 2,0 + 2,0 + 1,0 .
Determine (a) · ( × ), (b) · ( + ) e (c) × ( + ).
··38 Determine para os três vetores a seguir.

··39 O módulo do vetor é 6,00 unidades, o módulo do vetor é 7,00 unidades e · = 14,0. Qual é o
ângulo entre e ?
··40 O deslocamento 1 está no plano yz, faz um ângulo de 63,0o com o semieixo y positivo, tem uma
componente z positiva e tem um módulo de 4,50 m. O deslocamento 2 está no plano xz, faz um ângulo de

30,0o com o semieixo x positivo, tem uma componente z positiva e tem um módulo de 1,40 m. Determine
(a) 1 · 2; (b) 1 × 2 e (c) o ângulo entre 1 e 2.
··41 Use a definição de produto escalar, – = ab cos θ e o fato de que · = axbx + ayby + azbz para
calcular o ângulo entre os vetores = 3,0 + 3,0 + 3,0 e = 2,0 + 1,0 + 3,0 .
··42 Em um encontro de mímicos, o mímico 1 se desloca de 1 = (4,0 m) + (5,0 m) e o mímico 2 se
desloca de 2 = (–3,0 m) + (4,0 m) . Determine (a) 1 × 2, (b) 1 · 2, (c) ( 1 + 2) · 2 e (d) a
componente de 1 em relação a 2. [Sugestão: Para resolver o item (d), veja a Eq. 3-20 e a Fig. 3-18].
··43 Os três vetores na Fig. 3-33 têm módulos a = 3,00 m, b = 4,00 m e c = 10,0 m; θ = 30,0°. Determine
(a) a componente x e (b) a componente y de ; (c) a componente x e (d) a componente y de ; (e) a
componente x e (f) a componente y de . Se = p + q , quais são os valores de (g) p e (h) q?

Figura 3-33 Problema 43.
··44 No produto = qv × , faça q = 2,

Determine , na notação dos vetores unitários, para Bx = By.

Problemas Adicionais

45 Os vetores e estão no plano xy. tem módulo 8,00 e ângulo 130o; tem componentes Bx = –7,72 e
By = –9,20. (a) Determine 5 · . Determine 4 × 3 (b) na notação dos vetores unitários e (c) na
notação módulo-ângulo em coordenadas esféricas (veja a Fig. 3-34). (d) Determine o ângulo entre os
vetores e 4 × 3 (Sugestão: Pense um pouco antes de iniciar os cálculos.) Determine + 3,0 (e) na
notação dos vetores unitários e (f) na notação módulo-ângulo em coordenadas esféricas.

Figura 3-34 Problema 45.

46 O vetor tem módulo 5,0 m e aponta para leste. O vetor tem módulo 4,0 m e aponta na direção 35o
a oeste do norte. Determine (a) o módulo e (b) a orientação do vetor + . Determine (c) o módulo e (d)
a orientação do vetor – . (e) Desenhe os diagramas vetoriais correspondentes às duas combinações de
vetores.

47 Os vetores e estão no plano xy. tem módulo 8,00 e ângulo 130o; tem componentes Bx = -7,72 e
By = -9,20. Determine o ângulo entre o semieixo y negativo e (a) o vetor , (b) o vetor × e (c) o vetor

× ( + 3,00 ).

48 Dois vetores e têm componentes, em metros, ax = 3,2, ay = 1,6, bx = 0,50 e by = 4,5. (a) Determine
o ângulo entre e . Existem dois vetores no plano xy que são perpendiculares a e têm um módulo de
5,0 m. Um, o vetor , tem uma componente x positiva; o outro, o vetor , tem uma componente x negativa.
Determine (b) a componente x e (c) a componente y de ; (d) a componente x e (e) a componente y de .

49 Um barco a vela parte do lado norte-americano do lago Erie para um ponto no lado canadense, 90,0
km ao norte. O navegante, contudo, termina 50,0 km a leste do ponto de partida. (a) Que distância e (b)
em que direção deve navegar para chegar ao ponto desejado?

50 O vetor 1 é paralelo ao semieixo y negativo 2 e o vetor é paralelo ao semieixo x positivo.
Determine a orientação (a) de 2/4 e (b) de – 1/4. Determine o módulo (c) de 1 · 2 e (d) de 1 · (
2/4). Determine a orientação (e) do vetor 1 × 2 e (f) do vetor 2 × 1. Determine o módulo (g) de 1 ×

2 e (h) de 2 × 1. Determine (i) o módulo e (j) a orientação de 1 × ( 2/4).

51 Uma falha geológica é uma ruptura ao longo da qual faces opostas de uma rocha deslizaram uma em
relação à outra. Na Fig. 3-35, os pontos A e B coincidiam antes de a rocha em primeiro plano deslizar
para a direita. O deslocamento total está no plano da falha. A componente horizontal de é o rejeito
horizontal AC. A componente de dirigida para baixo no plano da falha é o rejeito de mergulho AD.
(a) Qual é o módulo do deslocamento total se o rejeito horizontal é 22,0 m e o rejeito de mergulho é
17,0 m? (b) Se o plano da falha faz um ângulo ϕ = 52,0° com a horizontal, qual é a componente vertical
de ?

Figura 3-35 Problema 51.

52 São dados três deslocamentos em metros: 1 = 4,0 + 5,0 – 6,0 , 2 = –1,0 + 2,0 + 3,0 e 3 = 4,0
+ 3,0 + 2,0 . (a) Determine = 1 – 2 + 3. (b) Determine o ângulo entre e o semieixo z positivo. (c)
Determine a componente de 1 em relação a 2. (d) Qual é a componente de 1 que é perpendicular a 2
e está no plano de 1 e 2? [Sugestão: Para resolver o item (c), considere a Eq. 3-20 e a Fig. 3-18; para
resolver o item (d), considere a Eq. 3-27.]

53 Um vetor 1 de módulo 10 unidades e um vetor de módulo 6,0 unidades fazem um ângulo de 60o.
Determine (a) o produto escalar dos dois vetores e (b) o módulo do produto vetorial × .

54 Para os vetores da Fig. 3-32, com a = 4, b = 3 e c = 5, calcule (a) · , (b) · e (c) · .

55 Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos em um plano: 1, 4,00 m para sudoeste, 2, 5,00
para leste, e 3, 6,00 em uma direção 60,0o ao norte do leste. Use um sistema de coordenadas com o eixo
y apontando para o norte e o eixo x apontando para leste. Determine (a) a componente x e (b) a
componente y de 1. Determine (c) a componente x e (d) a componente y de 2. Determine (e) a
componente x e (f) a componente y de 3. Considere o deslocamento total da partícula após os três
deslocamentos. Determine (g) a componente x, (h) a componente y, (i) o módulo e (j) a orientação do
deslocamento total. Para que a partícula volte ao ponto de partida (k) que distância deve percorrer e (l)
em que direção deve se deslocar?

56 Determine a soma dos quatro vetores a seguir (a) em termos dos vetores unitários e em termos (b) do
módulo e (c) do ângulo em relação ao semieixo x positivo.

: 10,0 m, 25,0o no sentido anti-horário em relação a +x
> : 12,0 m, 10,0o no sentido anti-horário em relação a +y
> : 8,00 m, 20,0o no sentido horário em relação a –y
> : 9,00 m, 40,0o no sentido anti-horário em relação a –y

57 Se é somado a , o resultado é 6,0 + 1,0 . Se é subtraído de , o resultado é –4,0 + 7,0 . Qual é
o módulo de ?

58 Um vetor tem módulo 2,5 m e aponta para o norte. Determine (a) o módulo e (b) a orientação de 4,0
. Determine (c) o módulo e (d) a orientação de –3,0 .

59 O vetor tem um módulo de 12,0 m e faz um ângulo de 60,0o no sentido anti-horário com o semieixo x
positivo de um sistema de coordenadas xy. O vetor é dado por (12,0 m) + (8,00 m) no mesmo sistema
de coordenadas. O sistema de coordenadas sofre uma rotação de 20,0o no sentido anti-horário em torno
da origem para formar um sistema x'y'. Determine os vetores (a) e (b) na notação dos vetores
unitários do novo sistema.

60 Se – = 2 , + = 4 e = 3 + 4 , determine (a) e (b) .

61 (a) Determine, na notação dos vetores unitários, = – + para = 5,0 + 4,0 – 6,0 , = –2,0 +
2,0 + 3,0 e = 4,0 + 3,0 + 2,0 . (b) Calcule o ângulo entre e o semieixo z positivo. (c) Determine a
componente de em relação a . (d) Determine a componente de em uma direção perpendicular a ,
no plano definido por e . [Sugestão: Para resolver o item (c), veja a Eq. 3-20 e a Fig. 3-18; para
resolver o item (d), veja a Eq. 3-27.]

62 Um jogador de golfe precisa de três tacadas para colocar a bola no buraco. A primeira tacada lança a
bola 3,66 m para o norte, a segunda 1,83 m para sudeste e a terceira 0,91 m para sudoeste. Determine (a)
o módulo e (b) a direção do deslocamento necessário para colocar a bola no buraco na primeira tacada.

63 São dados três vetores em metros:

Determine (a) 1 · ( 2 + 3), (b) 1 · ( 2 × 3) e (c) 1 × ( 2 + 3).
64 As dimensões de uma sala são 3,00 m (altura) × 3,70 m × 4,30 m. Uma mosca parte de um canto da
sala e pousa em um canto diagonalmente oposto. (a) Qual é o módulo do deslocamento da mosca? (b) A
distância percorrida pode ser menor que este valor? (c) Pode ser maior? (d) Pode ser igual? (e) Escolha
um sistema de coordenadas apropriado e expresse as componentes do vetor deslocamento na notação dos
vetores unitários. (f) Se a mosca caminhar, em vez de voar, qual é o comprimento do caminho mais curto
para o outro canto? (Sugestão: O problema pode ser resolvido sem fazer cálculos complicados. A sala é
como uma caixa; desdobre as paredes para representá-las em um mesmo plano antes de procurar uma
solução.)

65 Um manifestante com placa de protesto parte da origem de um sistema de coordenadas xyz, com o
plano xy na horizontal. Ele se desloca 40 m no sentido negativo do eixo x, faz uma curva de noventa graus
à esquerda, caminha mais 20 m e sobe até o alto de uma torre com 25 m de altura. (a) Na notação dos
vetores unitários, qual é o deslocamento da placa do início ao fim? (b) O manifestante deixa cair a placa,
que vai parar na base da torre. Qual é o módulo do deslocamento total, do início até esse novo fim?

66 Considere um vetor no sentido positivo do eixo x, um vetor no sentido positivo do eixo y, e um
escalar d. Qual é a orientação do vetor / (a) se d for positivo e (b) se d for negativo? (c) Qual é o
valor absoluto de · ? (d) Qual é o valor absoluto de · / ? (e) Qual é a orientação do vetor × ?
(f) Qual é a orientação do vetor × ? (g) Qual é o módulo do vetor × ? (h) Qual é o módulo do
vetor × ? Supondo que d seja positivo, (i) qual é o módulo do vetor × /d? (j) Qual é a orientação
do vetor × /d?
67 Suponha que o vetor unitário aponta para leste, o vetor unitário aponta para o norte e o vetor
unitário aponta para cima. Quanto valem os produtos (a) · , (b) (– ) · (– ) e (c) · (– )? Quais são
as orientações (como, por exemplo, para leste ou para baixo) dos produtos (d) × , (e) (– ) × (– ) e (f)
(– ) × (– )?
68 Um banco no centro de Boston é assaltado (veja o mapa da Fig. 3-36). Os bandidos fogem de
helicóptero e, tentando despistar a polícia, fazem três voos em sequência, descritos pelos seguintes
deslocamentos: 32 km, 45o ao sul do leste; 53 km, 26o ao norte do oeste; 26 km, 18o a leste do sul. No
final do terceiro voo, são capturados. Em que cidade os bandidos foram presos?

Figura 3-36 Problema 68.
69 Uma roda com um raio de 45,0 cm rola, sem escorregar, em um piso horizontal (Fig. 3-37). No
instante t1, o ponto P pintado na borda da roda está no ponto de contato entre a roda e o piso. Em um
instante posterior t2, a roda descreveu meia revolução. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (em
relação ao piso) do deslocamento do ponto P.

Figura 3-37 Problema 69.

70 Uma mulher caminha 250 m na direção 30o a leste do norte e, em seguida, caminha 175 m na direção
leste. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo do deslocamento total da mulher em relação ao ponto de
partida. (c) Determine a distância total percorrida. (d) Qual é maior, a distância percorrida ou o módulo
do deslocamento?

71 Um vetor tem um módulo de 3,0 m e aponta para o sul. Determine (a) o módulo e (b) a orientação
do vetor 5,0 . Determine (c) o módulo e (d) a orientação do vetor −2,0 .

72 Uma formiga-de-fogo, em busca de molho picante em uma área de piquenique, executa três
deslocamentos sucessivos no nível do solo: 1, de 0,40 m para sudoeste (ou seja, 45° entre sul e oeste),

2, de 0,50 m para leste, e 3, de 0,60 m em uma direção 60° ao norte do leste. Suponha que o sentido
positivo do eixo x aponte para leste e o sentido positivo do eixo y aponte para o norte. Quais são (a) a
componente x e (b) a componente y de 1? Quais são (c) a componente x e (d) a componente y de 2?
Quais são (e) a componente x e (f) a componente y de 3?

Quais são (g) a componente x e (h) a componente y, (i) o módulo e (j) o sentido do deslocamento total
da formiga? Para a formiga voltar diretamente ao ponto de partida, (k) que distância ela deve percorrer e
(l) em que direção deve se mover?

73 Dois vetores são dados por = 3,0 + 5,0 e = 2,0 + 4,0 . Determine (a) × , (b) · , (c) ( +
) · e (d) a componente de em relação a .

74 O vetor está no plano yz, faz um ângulo de 63,0o com o semieixo y positivo, tem uma componente z
positiva e tem um módulo de 3,20 unidades. O vetor está no plano xz, faz um ângulo de 48,0o com o
semieixo x positivo, tem uma componente z positiva e tem um módulo de 1,40 unidade. Determine (a) ·

, (b) × e (c) o ângulo entre e

75 Determine (a) o produto vetorial de “norte” e “oeste”, (b) o produto escalar de “para baixo” e “sul”,
(c) o produto vetorial de “leste” e “para cima”, (d) o produto escalar de “oeste” e “oeste” e (e) o produto
vetorial de “sul” e “sul”. Suponha que todos os vetores têm módulo unitário.

76 Um vetor , cujo módulo é 8,0 m, é somado a um vetor , que coincide com o eixo x. A soma dos dois
vetores é um vetor que coincide com o eixo y e cujo módulo é duas vezes maior que o módulo de . Qual
é o módulo de ?

77 Um homem sai para passear, partindo da origem de um sistema de coordenadas xyz, com o plano xy
horizontal e o eixo x apontando para leste. Carregando uma moeda falsa no bolso, ele caminha 1300 m
para leste, caminha mais 2200 m para o norte e deixa cair a moeda do alto de um penhasco com 410 m de
altura. (a) Qual é o deslocamento da moeda, na notação dos vetores unitários, do ponto de partida até o
ponto em que ela chega ao solo? (b) Qual é o módulo do deslocamento do homem no percurso de volta ao
ponto de partida?
78 Qual é o módulo de × ( × ) se a = 3,90, b = 2,70 e o ângulo entre os dois vetores é 63,0o?
79 Na Fig. 3-38, o módulo de é 4,3, o módulo de é 5,4 e ϕ = 46o. Calcule a área do triângulo formado
pelos vetores e a diagonal do paralelogramo.

Figura 3-38 Problema 79.

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1O outro tipo possível de sistema, raramente usado na prática, é chamado de sistema de coordenadas levogiro. O que distingue os dois tipos
de sistemas é a posição relativa dos eixos x, y e z. Em um sistema levogiro, o eixo y estaria na posição ocupada pelo eixo z na Fig. 3.13, e
vice-versa. (N.T.)
*Como os conceitos abordados neste tópico só serão usados mais adiante (no Capítulo 7, para o produto escalar, e no Capítulo 11, para o
produto vetorial), talvez o professor do curso ache conveniente omiti-lo no momento.

CAPÍTULO 4

Movimento em Duas e Três Dimensões

4-1 POSIÇÃ E DESLOCAMENTO

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...
4.01 Desenhar vetores posição bidimensionais e tridimensionais de uma partícula, indicando as componentes em relação aos

eixos de um sistema de coordenadas.
4.02 Para um dado sistema de coordenadas, determinar a orientação e o módulo do vetor posição de uma partícula a partir das

componentes, e vice-versa.
4.03 Usar a relação entre o vetor deslocamento de uma partícula e os vetores da posição inicial e da posição final.

Ideias-Chave

• A localização de uma partícula em relação à origem de um sistema de coordenadas é dada por um vetor posição que, na
notação dos vetores unitários, pode ser expresso na forma

= x + y + z .

em que x , y e z são as componentes vetoriais do vetor posição e x, y e z são as componentes escalares (e, também, as
coordenadas da partícula).
• O vetor posição pode ser representado por um módulo e um ou dois ângulos, ou por suas componentes vetoriais ou escalares.
• Se uma partícula se move de tal forma que seu vetor posição muda de 1 para 2, o deslocamento ∆ da partícula é dado por

∆ = 2 − 1.
O deslocamento também pode ser expresso na forma

∆ = (x2 − x1) + (y2 − y1) + (z2 − z1)

= ∆x + ∆y + ∆z .

O que É Física?

Neste capítulo, continuamos a estudar a parte da física que analisa o movimento, mas agora os
movimentos podem ser em duas ou três dimensões. Médicos e engenheiros aeronáuticos, por exemplo,
precisam conhecer a física das curvas realizadas por pilotos de caça durante os combates aéreos, já que
os jatos modernos fazem curvas tão rápidas que o piloto pode perder momentaneamente a consciência.
Um engenheiro esportivo talvez esteja interessado na física do basquetebol. Quando um jogador vai

cobrar um lance livre (em que o jogador lança a bola em direção à cesta, sem marcação, de uma
distância de 4,3 m), pode arremessar a bola da altura dos ombros ou da altura da cintura. A primeira
técnica é usada pela maioria esmagadora dos jogadores profissionais, mas o legendário Rick Barry
estabeleceu o recorde de aproveitamento de lances livres usando a segunda.

Não é fácil compreender os movimentos em três dimensões. Por exemplo: o leitor provavelmente é
capaz de dirigir um carro em uma rodovia (movimento em uma dimensão), mas teria muita dificuldade
para pousar um avião (movimento em três dimensões) sem um treinamento adequado.

Iniciaremos nosso estudo do movimento em duas e três dimensões com as definições de posição e
deslocamento.

Posição e Deslocamento

A localização de uma partícula (ou de um objeto que se comporte como uma partícula) pode ser
especificada, de forma geral, por meio do vetor posição , um vetor que liga um ponto de referência (a
origem de um sistema de coordenadas, na maioria dos casos) à partícula. Na notação dos vetores
unitários do Módulo 3-2, pode ser escrito na forma

em que x , y e z são as componentes vetoriais de e x, y e z são as componentes escalares.

Figura 4-1 O vetor posição de uma partícula é a soma vetorial das componentes vetoriais.

Os coeficientes x, y e z fornecem a localização da partícula em relação à origem ao longo dos eixos de
coordenadas; em outras palavras, (x, y, z) são as coordenadas retangulares da partícula. A Fig. 4-1, por
exemplo, mostra uma partícula cujo vetor posição é

= (−3 m) + (2 m) + (5 m)

e cujas coordenadas retangulares são (–3 m, 2 m, 5 m). Ao longo do eixo x, a partícula está a 3 m de
distância da origem, no sentido oposto ao do vetor unitário . Ao longo do eixo y, está a 2 m de distância
da origem, no sentido do vetor unitário . Ao longo do eixo z, está a 5 m de distância da origem, no
sentido do vetor unitário .

Quando uma partícula se move, o vetor posição varia de tal forma que sempre liga o ponto de
referência (origem) à partícula. Se o vetor posição varia de 1 para 2, digamos, durante um intervalo de
tempo ∆t, o deslocamento da partícula, ∆ durante o intervalo de tempo ∆t é dado por

Usando a notação dos vetores unitários da Eq. 4-1, podemos escrever esse deslocamento como

∆ = (x2 + y2 + z2 ) − (x1 + y1 + z1 )

em que as coordenadas (x1, y1, z1) correspondem ao vetor posição 1, e as coordenadas (x2, y2, z2)
correspondem ao vetor posição 2. Podemos também escrever o vetor deslocamento substituindo (x2 − x1)
por Δx, (y2 − y1) por Δy e (z2 − z1) por Δz:

Exemplo 4.01 Vetor posição bidimensional: movimento de um coelho

Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenados foi desenhado. As
coordenadas da posição do coelho, em metros, em função do tempo t, em segundos, são dadas por

(a) No instante t = 15 s, qual é o vetor posição do coelho na notação dos vetores unitários e na notação módulo-ângulo?

IDEIA-CHAVE
As coordenadas x e y da posição do coelho, dadas pelas Eqs. 4-5 e 4-6, são as componentes escalares do vetor posição do
coelho. Vamos calcular o valor dessas coordenadas no instante dado e usar a Eq. 3-6 para determinar o módulo e a orientação do
vetor posição.
Cálculos: Podemos escrever

Figura 4-2 (a) O vetor posição de um coelho, , no instante t = 15 s. As componentes escalares de são mostradas ao longo dos
eixos. (b) A trajetória do coelho e a posição do animal para seis valores de t.
[Escrevemos (t) em vez de porque as componentes são funções de t e, portanto, também é função de t.]

Em t = 15 s, as componentes escalares são

cujo desenho pode ser visto na Fig. 4-2a. Para obter o módulo e o ângulo de usamos a Eq. 3-6:

Verificação: Embora θ = 139° possua a mesma tangente que –41°, os sinais das componentes de indicam que o ângulo
desejado é 139° – 180° = –41°.
(b) Desenhe o gráfico da trajetória do coelho, de t = 0 a t = 25 s.

Plotagem: Podemos repetir a parte (a) para vários valores de t e plotar os resultados. A Fig. 4-2b mostra os pontos do gráfico
para seis valores de t e a curva que liga esses pontos.

4-2 VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...
4.04 Saber que a velocidade é uma grandeza vetorial e, portanto, possui um módulo e uma orientação, e pode ser representada

por componentes.
4.05 Desenhar vetores velocidade bidimensionais e tridimensionais para uma partícula, indicando as componentes em relação a

um sistema de coordenadas.
4.06 Relacionar os vetores posição inicial e final, o intervalo de tempo entre as duas posições e o vetor velocidade média de uma

partícula, utilizando a notação módulo-ângulo e a notação dos vetores unitários.
4.07 Dado o vetor posição de uma partícula em função do tempo, determinar o vetor velocidade instantânea.

Ideias-Chave

• Se uma partícula sofre um deslocamento ∆ em um intervalo de tempo Δt, a velocidade média méd da partícula nesse
intervalo de tempo é dada por

• O limite de méd quando Δt tende a zero é a velocidade instantânea (ou, simplesmente, velocidade) :

que, na notação dos vetores unitários, assume a forma

= x + y + z ,

em que νx = dx/dt, νy = dy/dt e νz = dz/dt.
• A orientação da velocidade instantânea de uma partícula é sempre a mesma da tangente à trajetória na posição em que a
partícula se encontra no momento.

Velocidade Média e Velocidade Instantânea

Se uma partícula se move de um ponto para outro, podemos estar interessados em saber com que rapidez
a partícula está se movendo. Como no Capítulo 2, podemos definir duas grandezas que expressam a
“rapidez” de um movimento: velocidade média e velocidade instantânea. No caso de um movimento
bidimensional ou tridimensional, porém, devemos considerar essas grandezas como vetores e usar a
notação vetorial.

Se uma partícula sofre um deslocamento ∆ em um intervalo de tempo Δt, a velocidade média méd é
dada por

Essa equação nos diz que a orientação de méd (o vetor do lado esquerdo da Eq. 4-8) é igual à do
deslocamento ∆ (o vetor do lado direito). Usando a Eq. 4-4, podemos escrever a Eq. 4-8 em termos das
componentes vetoriais:

Assim, por exemplo, se uma partícula sofre um deslocamento de (12 m) + (3,0 m) em 2,0 s, a
velocidade média durante o movimento é

Nesse caso, portanto, a velocidade média (uma grandeza vetorial) tem uma componente de 6,0 m/s em
relação ao eixo x e uma componente de 1,5 m/s em relação ao eixo z.

Quando falamos da velocidade de uma partícula, em geral estamos nos referindo à velocidade
instantânea em um dado instante. Essa velocidade é o valor para o qual tende a velocidade méd
quando o intervalo de tempo Δt tende a zero. Usando a linguagem do cálculo, podemos escrever como
a derivada

A Fig. 4-3 mostra a trajetória de uma partícula que se move no plano xy. Quando a partícula se desloca
para a direita ao longo da curva, o vetor posição gira para a direita. Durante o intervalo de tempo Δt, o
vetor posição muda de 1 para 2 e o deslocamento da partícula é ∆ .

Para determinar a velocidade instantânea da partícula no instante t1 (instante em que a partícula está na
posição 1), reduzimos o intervalo de tempo Δt nas vizinhanças de t1, fazendo-o tender a zero. Com isso,
três coisas acontecem: (1) O vetor posição 2 da Fig. 4-3 se aproxima de 1, fazendo ∆ tender a zero.
(2) A direção de ∆ /∆ (e, portanto, de méd) se aproxima da direção da reta tangente à trajetória da
partícula na posição 1. (3) A velocidade média méd se aproxima da velocidade instantânea no instante
t1.

Figura 4-3 O deslocamento Δ de uma partícula durante um intervalo de tempo Δt, da posição 1, com vetor posição 1 no instante t1, até a
posição 2, com vetor posição 2 no instante t2. A figura mostra também a tangente à trajetória da partícula na posição 1.

No limite Δt → 0, temos méd → e, o que é mais importante neste contexto , assume a direção da
reta tangente. Assim, também assume essa direção:

A direção da velocidade instantânea de uma partícula é sempre tangente à trajetória da partícula na posição da partícula.

O resultado é o mesmo em três dimensões: é sempre tangente à trajetória da partícula.
Para escrever a Eq. 4-10 na forma de vetores unitários, usamos a expressão para dada pela Eq. 4-1:

Essa equação pode ser simplificada se a escrevermos como

em que as componentes escalares de são

Assim, por exemplo, dx/dt é a componente escalar de em relação ao eixo x. Isso significa que
podemos encontrar as componentes escalares de derivando as componentes de .

A Fig. 4-4 mostra o vetor velocidade e as componentes escalares x e y. Note que é tangente à
trajetória da partícula na posição da partícula. Atenção: Um vetor posição, como os que aparecem nas
Figs. 4-1 a 4-3, é uma seta que se estende de um ponto (“aqui”) a outro (“lá”). Entretanto, um vetor

velocidade, como o da Fig. 4-4, não se estende de um ponto a outro. No caso do vetor velocidade, a
orientação do vetor mostra a direção instantânea do movimento de uma partícula localizada na origem do
vetor, e o comprimento, que representa o módulo da velocidade, pode ser desenhado em qualquer escala.

Figura 4-4 A velocidade de uma partícula e as componentes escalares de .

Teste 1

A figura mostra uma trajetória circular descrita por uma partícula. Se a velocidade da partícula em um dado instante é = (2 m/s)
− (2 m/s) , em qual dos quadrantes a partícula está se movendo nesse instante se o movimento é (a) no sentido horário e (b)
no sentido anti-horário? Desenhe na figura para os dois casos.

Exemplo 4.02 Velocidade bidimensional: um coelho correndo

Determine a velocidade no instante t = 15 s do coelho do exemplo anterior.
IDEIA-CHAVE
Podemos determinar calculando as derivadas das componentes do vetor posição do coelho.

Cálculos: Aplicando à Eq. 4-5 a parte da Eq. 4-12 correspondente a vx, descobrimos que a componente x de é

Em t = 15 s, isso nos dá vx = –2,1 m/s. Da mesma forma, aplicando à Eq. 4-6 a parte da Eq. 4-12 correspondente a vy,
descobrimos que a componente y é

Em t = 15 s, isso nos dá vy = –2,5 m/s. Assim, de acordo com a Eq. 4-11,
que está desenhada na Fig. 4-5, tangente à trajetória do coelho e na direção em que o animal está se movendo em t = 15 s.

Para obter o módulo e o ângulo de , podemos usar uma calculadora ou escrever, de acordo com a Eq. 3-6,

Verificação: O ângulo é –130° ou –130° + 180° = 50°?

Figura 4-5 A velocidade do coelho em t = 15 s.

4-3 ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...
4.08 Saber que a aceleração é uma grandeza vetorial e que, portanto, possui um módulo e uma orientação e pode ser

representada por componentes.
4.09 Desenhar vetores aceleração bidimensionais e tridimensionais para uma partícula, indicando as componentes em relação a

um sistema de coordenadas.
4.10 Relacionar os vetores velocidade inicial e final, o intervalo de tempo entre as duas posições e o vetor aceleração média de

uma partícula, utilizando a notação módulo-ângulo e a notação dos vetores unitários.
4.11 Dado o vetor velocidade de uma partícula em função do tempo, determinar o vetor aceleração instantânea.
4.12 Para cada dimensão do movimento, obter relações entre a aceleração, a velocidade, a posição e o tempo usando as

equações de aceleração constante do Capítulo 2.

Ideias-Chave

• Se a velocidade de uma partícula varia de 1 para 2 em um intervalo de tempo Δt, a aceleração média da partícula nesse
intervalo de tempo é

• O limite de méd quando Δt tende a zero é a aceleração instantânea (ou simplesmente, aceleração) :

que, na notação dos vetores unitários, assume a forma

= ax + ay + az ,

em que ax = dvx/dt, ay = dvy/dt e az = dvz/dt.

Aceleração Média e Aceleração Instantânea

Se a velocidade de uma partícula varia de 1 para 2 em um intervalo de tempo Δt, a aceleração média
méd durante o intervalo Δt é

Quando fazemos Δt tender a zero no entorno de um dado instante, méd tende para a aceleração
instantânea (ou, simplesmente, aceleração) nesse instante, ou seja,

Se o módulo ou a orientação da velocidade varia (ou se ambos variam), a partícula possui uma
aceleração.

Podemos escrever a Eq. 4-16 na notação dos vetores unitários substituindo pelo seu valor, dado pela
Eq. 4-11, para obter

Podemos escrever essa equação na forma

em que as componentes escalares de são

Assim, podemos obter as componentes escalares de derivando as componentes escalares de em
relação ao tempo.

A Fig. 4-6 mostra o vetor aceleração e suas componentes escalares para uma partícula que se move
em duas dimensões. Atenção: Um vetor aceleração, como o da Fig. 4-6, não se estende de um ponto a
outro. No caso do vetor aceleração, a orientação do vetor é usada para mostrar a direção instantânea da
aceleração de uma partícula localizada na origem do vetor, e o comprimento, que representa o módulo da
aceleração, pode ser desenhado em qualquer escala.

Figura 4-6 A aceleração de uma partícula e as O componentes de .

Teste 2

Considere as seguintes descrições da posição (em metros) de uma partícula que se move no plano xy:
(1) x = −3t2 + 4t − 2 e y = 6t2 − 4t
(2) x = −3t3 + 4t e y = 5t2 − 6t
(3) = 2t2 − (4t + = 3)
(4) = 4t3 − 2t) + 3

As componentes x e y da aceleração são constantes em todas essas situações? A aceleração é constante?

Exemplo 4.03 Aceleração bidimensional: um coelho correndo

Determine a aceleração no instante t = 15 s do coelho dos exemplos anteriores.
IDEIA-CHAVE
Podemos determinar a aceleração calculando as derivadas das componentes da velocidade do coelho.
Cálculos: Aplicando à Eq. 4-13 a parte da Eq. 4-18 correspondente a ax, descobrimos que a componente x de é

Analogamente, aplicando à Eq. 4-14 a parte da Eq. 4-18 correspondente a ay, descobrimos que a componente y é

Vemos que a aceleração não varia com o tempo (é uma constante), pois a variável tempo, t, não aparece na expressão das
componentes da aceleração. De acordo com a Eq. 4-17,

que é mostrada superposta à trajetória do coelho na Fig. 4-7.
Para obter o módulo e o ângulo de , podemos usar uma calculadora ou a Eq. 3-6. No caso do módulo, temos:

No caso do ângulo, temos:

Acontece que esse ângulo, que é o resultado fornecido pelas calculadoras, indica que a orientação de é para a direita e para
baixo na Fig. 4-7. Entretanto, sabemos, pelas componentes x e y, que a orientação de é para a esquerda e para cima. Para
determinar o outro ângulo que possui a mesma tangente que –35°, mas não é mostrado pelas calculadoras, somamos 180°:

O novo resultado é compatível com as componentes de . Observe que, como a aceleração do coelho é constante, o módulo e a
orientação de são os mesmos em todos os pontos da trajetória.

Este é o segundo exemplo no qual precisamos calcular a derivada de um vetor que está expresso na notação dos vetores
unitários. Um erro comum dos estudantes é esquecer os vetores unitários e somar diretamente as componentes (ax e ay, no caso),
como se estivessem trabalhando com uma soma de escalares. Não se esqueça de que a derivada de um vetor é sempre um vetor.

Figura 4-7 A aceleração do coelho em t = 15 s. O coelho possui a mesma aceleração em todos os pontos da trajetória.

4-4 MOVIMENTO BALÍSTICO

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...
4.13 Explicar, em um gráfico da trajetória de um projétil, a variação do módulo e da orientação da velocidade e da aceleração ao

longo do percurso.
4.14 A partir da velocidade de lançamento, na notação módulo-ângulo ou na notação dos vetores unitários, calcular a posição, o

deslocamento e a velocidade do projétil em um dado instante de tempo.
4.15 A partir da posição, deslocamento e velocidade em um dado instante de tempo, calcular a velocidade de lançamento do

projétil.

Ideias-Chave

• No movimento balístico, uma partícula é lançada, com velocidade escalar v0, em uma direção que faz um ângulo θ0 com a
horizontal (eixo x). Em todo o percurso, a aceleração horizontal é zero, e a aceleração vertical é –g (no sentido negativo do eixo

y).
• As equações de movimento da partícula são as seguintes:

• A trajetória da partícula tem a forma de uma parábola e é dada por

para x0 = y0 = 0.
• O alcance horizontal R, que é a distância horizontal percorrida pela partícula entre o ponto de lançamento e o ponto em que
volta à altura do lançamento, é dado por

Movimento Balístico

Consideraremos, a seguir, um caso especial de movimento bidimensional: uma partícula que se move em
um plano vertical com velocidade inicial 0 e com uma aceleração constante, igual à aceleração de queda
livre , dirigida para baixo. Uma partícula que se move dessa forma é chamada de projétil (o que
significa que é projetada ou lançada), e o movimento é chamado de movimento balístico. O projétil pode
ser uma bola de tênis (Fig. 4-8) ou de golfe, mas não um avião ou um pato. Muitos esportes envolvem o
movimento balístico de uma bola; jogadores e técnicos estão sempre procurando controlar esse
movimento para obter o máximo de vantagem. O jogador que descobriu a rebatida em Z no raquetebol na
década de 1970, por exemplo, vencia os jogos com facilidade porque a trajetória peculiar da bola no
fundo da quadra surpreendia os adversários.

Vamos agora analisar o movimento balístico usando as ferramentas descritas nos Módulos 4-1 a 4-3
para o movimento bidimensional, sem levar em conta a influência do ar. A Fig. 4-9, que será discutida em
breve, mostra a trajetória de um projétil quando o efeito do ar pode ser ignorado. O projétil é lançado
com uma velocidade inicial 0 que pode ser escrita na forma

As componentes v0x e v0y podem ser calculadas se conhecermos o ângulo θ0 entre 0 e o semieixo x
positivo:

Durante o movimento bidimensional, o vetor posição e a velocidade do projétil mudam
continuamente, mas o vetor aceleração é constante e está sempre dirigido verticalmente para baixo. O
projétil não possui aceleração horizontal.

O movimento balístico, como o das Figs. 4-8 e 4-9, parece complicado, mas apresenta a seguinte
propriedade simplificadora (que pode ser demonstrada experimentalmente):

No movimento balístico, o movimento horizontal e o movimento vertical são independentes, ou seja, um não afeta o outro.

Richard Megna/Fundamental Photographs
Figura 4-8 Fotografia estroboscópica de uma bola de tênis amarela quicando em uma superfície dura. Entre os impactos, a trajetória da
bola é balística.



Figura 4-9 O movimento balístico de um projétil lançado da origem de um sistema de coordenadas com velocidade inicial 0 e ângulo θ0.
Como mostram as componentes da velocidade, o movimento é uma combinação de movimento vertical (com aceleração constante) e
movimento horizontal (com velocidade constante).

Essa propriedade permite decompor um problema que envolve um movimento bidimensional em dois
problemas unidimensionais independentes e mais fáceis de serem resolvidos, um para o movimento
horizontal (com aceleração nula) e outro para o movimento vertical (com aceleração constante para
baixo). Apresentamos a seguir dois experimentos que mostram que o movimento horizontal e o
movimento vertical são realmente independentes.

Duas Bolas de Golfe

A Fig. 4-10 é uma fotografia estroboscópica de duas bolas de golfe, uma que simplesmente foi deixada
cair e outra que foi lançada horizontalmente por uma mola. As bolas de golfe têm o mesmo movimento
vertical; ambas percorrem a mesma distância vertical no mesmo intervalo de tempo. O fato de uma bola
estar se movendo horizontalmente enquanto está caindo não afeta o movimento vertical; ou seja, os
movimentos horizontal e vertical são independentes.

Richard Megna/Fundamental Photographs
Figura 4-10 Uma bola é deixada cair a partir do repouso no mesmo instante em que outra bola é lançada horizontalmente para a direita. Os
movimentos verticais das duas bolas são iguais.

Uma Demonstração Interessante

A Fig. 4-11 apresenta uma demonstração que tem animado muitas aulas de física. Um canudo C é usado
para soprar pequenas bolas em direção a uma lata suspensa por um eletroímã E. O experimento é
arranjado de tal forma que o canudo está apontado para a lata e o ímã solta a lata no mesmo instante em
que a bola deixa o tubo.

Se g (o módulo da aceleração de queda livre) fosse zero, a bola seguiria a trajetória em linha reta
mostrada na Fig. 4-11 e a lata continuaria no mesmo lugar após ter sido liberada pelo eletroímã. Assim, a
bola certamente atingiria a lata, independentemente da força do sopro. Na verdade, g não é zero, mas,
mesmo assim, a bola sempre atinge a lata! Como mostra a Fig. 4-11, a aceleração da gravidade faz com
que a bola e a lata sofram o mesmo deslocamento para baixo, h, em relação à posição que teriam, a cada
instante, se a gravidade fosse nula. Quanto maior a força do sopro, maior a velocidade inicial da bola,
menor o tempo que a bola leva para se chocar com a lata e menor o valor de h.

Teste 3

Em um dado instante, uma bola que descreve um movimento balístico tem uma velocidade = 25 – 4,9 (o eixo x é horizontal,
o eixo y é vertical e aponta para cima e está em metros por segundo). A bola já passou pelo ponto mais alto da trajetória?

Figura 4-11 A bola sempre acerta na lata que está caindo, já que as duas percorrem a mesma distância h em queda livre.

Movimento Horizontal

Agora estamos preparados para analisar o movimento horizontal e vertical de um projétil. Como não
existe aceleração na direção horizontal, a componente horizontal vx da velocidade do projétil permanece
inalterada e igual ao valor inicial v0x durante toda a trajetória, como mostra a Fig. 4-12. Em qualquer
instante t, o deslocamento horizontal do projétil em relação à posição inicial, x – x0, é fornecido pela Eq.
2-15 com a = 0, que podemos escrever na forma

x − x0 = v0xt.

Como v0x = v0 cos θ0, temos:

Movimento Vertical

O movimento vertical é o movimento que discutimos no Módulo 2-5 para uma partícula em queda livre.
O mais importante é que a aceleração é constante. Assim, as equações da Tabela 2-1 podem ser usadas,
desde que a seja substituído por −g e o eixo x seja substituído pelo eixo y. A Eq. 2-15, por exemplo, se
torna

em que a componente vertical da velocidade inicial, v0y, foi substituída pela expressão equivalente v0 sen
θ0. Da mesma forma, as Eqs. 2-11 e 2-16 se tornam

Como mostram a Fig. 4-9 e a Eq. 4-23, a componente vertical da velocidade se comporta exatamente
como a de uma bola lançada verticalmente para cima. Está dirigida inicialmente para cima e o módulo
diminui progressivamente até se anular no ponto mais alto da trajetória. Em seguida, a componente
vertical da velocidade muda de sentido e o módulo passa a aumentar com o tempo.

Jamie Budge
Figura 4-12 A componente vertical da velocidade do skatista está variando, mas não a componente horizontal, que é igual à velocidade do
skate. Em consequência, o skate permanece abaixo do atleta, permitindo que ele pouse no skate após o salto.

Equação da Trajetória

Podemos obter a equação do caminho percorrido pelo projétil (ou seja, da trajetória) eliminando o
tempo t nas Eqs. 4-21 e 4-22. Explicitando t na Eq. 4-21 e substituindo o resultado na Eq. 4-22, obtemos,
após algumas manipulações algébricas,

Essa é a equação da trajetória mostrada na Fig. 4-9. Ao deduzi-la, para simplificar, fizemos x0 = 0 e y0 =
0 nas Eqs. 4-21 e 4-22, respectivamente. Como g, θ0 e v0 são constantes, a Eq. 4-25 é da forma y = ax +
bx2, em que a e b são constantes. Como se trata da equação de uma parábola, dizemos que a trajetória é
parabólica.

Alcance Horizontal

O alcance horizontal R de um projétil é a distância horizontal percorrida pelo projétil até voltar à altura
inicial (altura de lançamento). Para determinar o alcance R, fazemos x – x0 = R na Eq. 4-21 e y – y0 = 0 na
Eq. 4-22, o que nos dá

Eliminando t nas duas equações, obtemos

Usando a identidade sen 2θ0 = 2 sen θ0 cos θ0 (veja o Apêndice E), obtemos

Essa equação não fornece a distância horizontal percorrida pelo projétil quando a altura final é diferente
da altura de lançamento. Observe na Eq. 4-26 que R é máximo para sen 2θ0 = 1, o que corresponde a 2θ0
= 90° ou θ0 = 45°.

O alcance horizontal R é máximo para um ângulo de lançamento de 45°.

Quando a altura final é diferente da altura de lançamento, como acontece no arremesso de peso, no
lançamento de disco e no basquetebol, a distância horizontal máxima não é atingida para um ângulo de
lançamento de 45°.

Efeitos do Ar

Até agora, supusemos que o ar não exerce efeito algum sobre o movimento de um projétil. Em muitas
situações, porém, a diferença entre a trajetória calculada dessa forma e a trajetória real do projétil pode
ser considerável, já que o ar resiste (se opõe) ao movimento. A Fig. 4-13, por exemplo, mostra as
trajetórias de duas bolas de beisebol que deixam o bastão fazendo um ângulo de 60° com a horizontal,
com uma velocidade inicial de 44,7 m/s. A trajetória I (de uma bola de verdade) foi calculada para as
condições normais de jogo, levando em conta a resistência do ar. A trajetória II (de uma bola em
condições ideais) é a trajetória que a bola seguiria no vácuo.

Figura 4-13 (I) Trajetória de uma bola, levando em conta a resistência do ar. (II) Trajetória que a bola seguiria no vácuo, calculada usando

as equações deste capítulo. Os dados correspondentes estão na Tabela 4-1. (Adaptado de “The Trajectory of a Fly Ball”, Peter J. Brancazio,
The Physics Teacher, January 1985.)

Teste 4

Uma bola de beisebol é rebatida na direção do campo de jogo. Durante o percurso (ignorando o efeito do ar), o que acontece com
as componentes (a) horizontal e (b) vertical da velocidade? Qual é a componente (c) horizontal e (d) vertical da aceleração durante
a subida, durante a descida e no ponto mais alto da trajetória?

Tabela 4-1 Trajetórias de Duas Bolas de Beisebola Trajetória I (Ar) Trajetória I (Vácuo)
177 m
76,8 m
7,9 s
Alcance 98,5 m

Altura máxima 53,0 m

Tempo de percurso 6,6 s

aVeja a Fig. 4.13. O ângulo de lançamento é 60º e a velocidade de lançamento é 44,7 m/s.

Exemplo 4.04 Projétil lançado de um avião

Na Fig. 4-14, um avião de salvamento voa a 198 km/h (= 55,0 m/s), a uma altura constante de 500 m, rumo a um ponto
diretamente acima da vítima de um naufrágio, para deixar cair uma balsa.
(a) Qual deve ser o ângulo ϕ da linha de visada do piloto para a vítima no instante em que o piloto deixa cair a balsa?

IDEIAS-CHAVE
Como, depois de liberada, a balsa é um projétil, os movimentos horizontal e vertical podem ser examinados separadamente (não é
preciso levar em conta a curvatura da trajetória).

Cálculos: Na Fig. 4-14, vemos que ϕ é dado por

em que x é a coordenada horizontal da vítima (e da balsa ao chegar à água) e h = 500 m. Podemos calcular x com o auxílio da Eq.
4-21:

Sabemos que x0 = 0 porque a origem foi colocada no ponto de lançamento. Como a balsa é deixada cair e não arremessada do
avião, a velocidade inicial 0 é igual à velocidade do avião. Assim, sabemos também que a velocidade inicial tem módulo v0 =
55,0 m/s e ângulo θ0 = 0° (medido em relação ao semieixo x positivo). Entretanto, não conhecemos o tempo t que a balsa leva
para percorrer a distância do avião até a vítima.

Figura 4-14 Um avião lança uma balsa enquanto se desloca com velocidade constante em um voo horizontal. Durante a queda, a
velocidade horizontal da balsa permanece igual à velocidade do avião.

Para determinar o valor de t, temos que considerar o movimento vertical e, mais especificamente, a Eq. 4-22:

Aqui, o deslocamento vertical y - y0 da balsa é -500 m (o valor negativo indica que a balsa se move para baixo). Assim,
Resolvendo essa equação, obtemos t = 10,1 s. Substituindo na Eq. 4-28, obtemos:
ou x = 555,5 m.
Nesse caso, a Eq. 4-27 nos dá

(b) No momento em que a balsa atinge a água, qual é a sua velocidade na notação dos vetores unitários e na notação módulo-
ângulo?

IDEIAS-CHAVE
(1) As componentes horizontal e vertical da velocidade da balsa são independentes. (2) A componente vx não muda em relação ao
valor inicial v0x = v0 cos θ0 porque não existe uma aceleração horizontal. (3) A componente vy muda em relação ao valor inicial v0y
= v0 sen θ0 porque existe uma aceleração vertical.
Cálculos: Quando a balsa atinge a água,

vx = v0 cos θ0 = (55,0 m/s)(cos 0°) = 55,0 m/s.
Usando a Eq. 4-23 e o tempo de queda da balsa t = 10,1 s, descobrimos que, quando a balsa atinge a água,

vy = v0 sen θ0 − gt
= (55,0 m/s)(sen 0°) = (9,8 m/s2)(10,1 s).

= −99,0 m/s.
Assim, no momento em que a balsa atinge a água,

De acordo com a Eq. 3-6, o módulo e o ângulo de são

Exemplo 4.05 Lançamento a partir de um escorrega aquático

Um dos vídeos mais impressionantes da internet (na verdade, totalmente falso) mostra um homem descendo um grande
escorrega aquático, sendo lançado no ar e mergulhando em uma piscina. Vamos usar dados realistas para calcular com que
velocidade o homem chegaria à piscina. A Fig. 4-15a mostra os pontos inicial e final da trajetória balística e um sistema de
coordenadas com a origem no ponto de lançamento. Com base no que mostra o vídeo, usamos uma distância horizontal entre os
pontos inicial e final D = 20,0 m, um tempo de percurso t = 2,50 s e um ângulo de lançamento θ0 = 40,0°. Nosso objetivo é
calcular o módulo da velocidade no instante em que o homem deixa o escorrega e no instante em que ele mergulha na piscina.

Figura 4-15 (a) Um homem é lançado de um escorrega aquático e vai cair em uma piscina. Velocidade do homem (b) ao ser
lançado do escorrega e (c) ao mergulhar na piscina.

IDEIAS-CHAVE
(1) Como se trata de um movimento balístico, podemos aplicar separadamente as equações de aceleração constante às
componentes horizontal e vertical do movimento. (2) Em toda a trajetória, a aceleração vertical é ay = −g = −9,8 m/s e a
aceleração horizontal é ax = 0.

Cálculos: Na maioria dos problemas de balística, o primeiro desafio consiste em escolher as equações mais adequadas. Não há
nada de errado em experimentar várias equações para ver se alguma delas permite calcular as velocidades que buscamos. Aqui
vai, porém, uma sugestão: Como pretendemos aplicar separadamente as equações de aceleração constante aos movimentos ao
longo dos eixos x e y, é mais razoável calcular as componentes horizontal e vertical da velocidade nos pontos inicial e final e usar
esses resultados para calcular a velocidade total nos dois pontos.

Vamos começar pelo movimento horizontal. Como ax = 0, sabemos que a componente horizontal vx da velocidade é constante
ao longo de todo o percurso e, portanto, é igual à componente horizontal v0x no ponto de lançamento. Podemos relacionar essa
componente ao deslocamento x − x0 e ao tempo de percurso usando a Eq. 2-15:

Fazendo x − x0 = D = 20 m, ax = 0 e t = 2,50 s, temos:

Como mostra a Fig. 4-15b, as componentes x e y da velocidade são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o
módulo da velocidade total. Assim, podemos aplicar a relação trigonométrica

que nos dá

Vamos agora calcular o módulo v da velocidade no ponto final do percurso. Já sabemos que a componente horizontal vx, que
não varia com o tempo, é 8,00 m/s. Para determinar a componente vertical vy, escrevemos a Eq. 2-11 na forma

vy = v0y + ayt
o que nos dá, usando uma relação trigonométrica (veja a Fig. 4-15b),

Fazendo v0 = 10,44 m/s, ay = −g = −9,8 m/s2 e t = 2,50 s, obtemos
vy = (10,44 m/s) sen (40,0°) − (9,8 m/s2)(2,50 s)
= −17,78 m/s.

Agora que conhecemos as duas componentes da velocidade final, podemos usar a Eq. 3-6 para calcular o módulo da
velocidade:

4-5 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME

Objetivos do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...
4.16 Desenhar a trajetória de uma partícula que descreve um movimento circular uniforme e explicar o comportamento dos

vetores velocidade e aceleração (módulo e orientação) durante o movimento.
4.17 Aplicar as relações entre o raio da trajetória circular e o período, a velocidade escalar e a aceleração escalar da partícula.

Ideias-Chave

• Se uma partícula se move ao longo de uma circunferência de raio r com velocidade escalar constante v, dizemos que ela está
descrevendo um movimento circular uniforme; nesse caso, o módulo da aceleração tem um valor constante, dado por

A aceleração , que é chamada de aceleração centrípeta, aponta para o centro da circunferência ou arco de circunferência. O tempo T
necessário para a partícula descrever uma circunferência completa, conhecido como período de revolução ou simplesmente período, é
dado por

Movimento Circular Uniforme

Uma partícula em movimento circular uniforme descreve uma circunferência ou um arco de
circunferência com velocidade escalar constante (uniforme). Embora a velocidade escalar não varie
nesse tipo de movimento, a partícula está acelerada porque a direção da velocidade está mudando.

A Fig. 4-16 mostra a relação entre os vetores velocidade e aceleração em várias posições durante o
movimento circular uniforme. O módulo dos dois vetores permanece constante durante o movimento, mas
a orientação varia continuamente. A velocidade está sempre na direção tangente à circunferência e tem o
mesmo sentido que o movimento. A aceleração está sempre na direção radial e aponta para o centro da
circunferência. Por essa razão, a aceleração associada ao movimento circular uniforme é chamada de
aceleração centrípeta (“que busca o centro”). Como será demonstrado a seguir, o módulo dessa
aceleração é

em que r é o raio da circunferência e v é a velocidade da partícula.

Figura 4-16 Os vetores velocidade e aceleração de uma partícula em movimento circular uniforme.

Durante esta aceleração com velocidade escalar constante, a partícula percorre a circunferência
completa (uma distância igual a 2πr) em um intervalo de tempo dado por

O parâmetro T é chamado de período de revolução ou, simplesmente, período. No caso mais geral,
período é o tempo que uma partícula leva para completar uma volta em uma trajetória fechada.

Demonstração da Eq. 4-34

Para determinar o módulo e a orientação da aceleração no caso do movimento circular uniforme,
considere a Fig. 4-17. Na Fig. 4-17a, a partícula p se move com velocidade escalar constante v enquanto
percorre uma circunferência de raio r. No instante mostrado, as coordenadas de p são xp e yp.

Como vimos no Módulo 4-2, a velocidade de uma partícula em movimento é sempre tangente à
trajetória da partícula na posição considerada. Na Fig. 4-17a, isso significa que é perpendicular a uma
reta r que liga o centro da circunferência à posição da partícula. Nesse caso, o ângulo θ que faz com
uma reta paralela ao eixo y passando pelo ponto p é igual ao ângulo θ que o raio r faz com o eixo x.

As componentes escalares de são mostradas na Fig. 4-17b. Em termos dessas componentes, a
velocidade pode ser escrita na forma

Usando o triângulo retângulo da Fig. 4-17a, podemos substituir sen θ por yp/r e cos θ por xp/r e escrever

Para determinar a aceleração da partícula p, devemos calcular a derivada da Eq. 4-37 em relação ao
tempo. Observando que a velocidade escalar v e o raio r não variam com o tempo, obtemos

Note que a taxa de variação com o tempo de yp, dyp/dt, é igual à componente y da velocidade, vy.
Analogamente, dxp/dt = vx, e, novamente de acordo com a Fig. 4-17b, vx = –v sen θ e vy = v cos θ.
Fazendo essas substituições na Eq. 4-38, obtemos

Esse vetor e suas componentes aparecem na Fig. 4-17c. De acordo com a Eq. 3-6, temos:

como queríamos demonstrar. Para determinar a orientação de , calculamos o ângulo ϕ da Fig. 4-17c:

Assim, ϕ = θ, o que significa que aponta na direção do raio r da Fig. 4-17a, no sentido do centro da
circunferência, como queríamos demonstrar.

Figura 4-17 Uma partícula p em movimento circular uniforme no sentido anti-horário. (a) Posição e velocidade da partícula em um dado
instante de tempo. (b) Velocidade . (c) Aceleração .

Teste 5

Um objeto se move com velocidade escalar constante, ao longo de uma trajetória circular, em um plano xy horizontal com o centro
na origem. Quando o objeto está em x = –2 m, a velocidade é –(4 m/s) . Determine (a) a velocidade e (b) a aceleração do objeto
em y = 2 m.

Exemplo 4.06 Pilotos de caça fazendo curvas

Os pilotos de caça se preocupam quando têm que fazer curvas muito fechadas. Como o corpo do piloto fica submetido à
aceleração centrípeta, com a cabeça mais próxima do centro de curvatura, a pressão sanguínea no cérebro diminui, o que pode
levar à perda das funções cerebrais.

Os sinais de perigo são vários. Quando a aceleração centrípeta é 2g ou 3g, o piloto se sente pesado. Por volta de 4g, a visão do
piloto passa para preto e branco e se reduz à “visão de túnel”. Se a aceleração é mantida ou aumentada, o piloto deixa de enxergar
e, logo depois, ele perde a consciência, uma situação conhecida como g-LOC, da expressão em inglês “g-induced loss of
consciousness”, ou seja, “perda de consciência induzida por g”.

Qual é o módulo da aceleração, em unidades de g, para um piloto cuja aeronave inicia uma curva horizontal com uma
velocidade i = (400 + 500 ) m/s e, 24,0 s mais tarde, termina a curva com uma velocidade f = (–400 – 500 ) m/s?

IDEIAS-CHAVE
Supomos que o avião executa a curva com um movimento circular uniforme. Nesse caso, o módulo da aceleração centrípeta é
dado pela Eq. 4-34 (a = v2/R), em que R é o raio da curva. O tempo necessário para descrever uma circunferência completa é o
período dado pela Eq. 4-35 (T = 2πR/v).

Cálculos: Como não conhecemos o raio R, vamos explicitar R na Eq. 4-35 e substituí-lo pelo seu valor na Eq. 4-34. O resultado é o
seguinte:

Para obter a velocidade escalar constante v, substituímos as componentes da velocidade inicial na Eq. 3-6:

Para determinar o período T do movimento, observamos que a velocidade final é igual ao negativo da velocidade inicial. Isso
significa que a aeronave terminou a curva no lado oposto da circunferência e completou metade de uma circunferência em 24,0 s.
Assim, levaria T = 48,0 s para descrever uma circunferência completa. Substituindo esses valores na equação de a, obtemos

4-6 MOVIMENTO RELATIVO EM UMA DIMENSÃO

Objetivo do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...
4.18 Aplicar a relação entre as medidas de posição, velocidade e aceleração de uma partícula em dois referenciais que se

movem na mesma direção e com velocidade constante.

Ideias-Chave

• Se dois referenciais A e B estão se movendo um em relação ao outro na mesma direção e com velocidade constante, a
velocidade de uma partícula P medida por um observador do referencial A é, em geral, diferente da velocidade medida por um
observador do referencial B. A relação entre as duas velocidades é dada por

vPA = vPB + vBA,
em que vBA é a velocidade escalar do referencial B em relação ao referencial A. A aceleração da partícula é a mesma para os
dois observadores:

aPA = aPB.

Movimento Relativo em Uma Dimensão

Suponha que você veja um pato voando para o norte a 30 km/h. Para outro pato que esteja voando ao lado
do primeiro, o primeiro parece estar parado. Em outras palavras, a velocidade de uma partícula depende
do referencial de quem está observando ou medindo a velocidade. Para nossos propósitos, um
referencial é um objeto no qual fixamos um sistema de coordenadas. No dia a dia, esse objeto é
frequentemente o solo. Assim, por exemplo, a velocidade que aparece em uma multa de trânsito é a
velocidade do carro em relação ao solo. A velocidade em relação ao guarda de trânsito será diferente se
o guarda estiver se movendo enquanto mede a velocidade.

Suponha que Alexandre (situado na origem do referencial A da Fig. 4-18) esteja parado no
acostamento de uma rodovia, observando o carro P (a “partícula”) passar. Bárbara (situada na origem do
referencial B) está dirigindo um carro na rodovia com velocidade constante e também observa o carro P.
Suponha que os dois meçam a posição do carro em um dado momento. De acordo com a Fig. 4-18, temos:

Essa equação significa o seguinte: “A coordenada xPA de P medida por A é igual à coordenada xPB de P
medida por B mais a coordenada xBA de B medida por A.” Observe que essa leitura está de acordo com a
ordem em que os índices foram usados.

Derivando a Eq. 4-40 em relação ao tempo, obtemos

Assim, as componentes da velocidade estão relacionadas pela equação

Figura 4-18 Alexandre (referencial A) e Bárbara (referencial B) observam o carro P enquanto B e P se movem com velocidades
diferentes ao longo do eixo x comum aos dois referenciais. No instante mostrado, xBA é a coordenada de B no referencial A. A coordenada de
P é xPB no referencial B, e xPA = xPB + xBA no referencial A.

Essa equação significa o seguinte: “A velocidade vPA de P medida por A é igual à velocidade vPB de P
medida por B mais a velocidade vBA de B medida por A.” O termo vBA é a velocidade do referencial B em
relação ao referencial A.

Neste capítulo, estamos considerando apenas referenciais que se movem com velocidade constante um
em relação ao outro. Em nosso exemplo, isso significa que Bárbara (referencial B) dirige com
velocidade constante vBA em relação a Alexandre (referencial A). Essa restrição não vale para o carro P
(a partícula em movimento), cuja velocidade pode mudar de módulo e direção (ou seja, a partícula pode
sofrer aceleração).

Para relacionar as acelerações de P medidas por Bárbara e por Alexandre em um mesmo instante,
calculamos a derivada da Eq. 4-41 em relação ao tempo:

Como vBA é constante, o último termo é zero e temos

Em outras palavras,

A aceleração de uma partícula é a mesma para observadores em referenciais que se movem com velocidade constante um em
relação ao outro.

Exemplo 4.07 Movimento relativo unidimensional: Alexandre e Bárbara

Na Fig. 4-18, suponha que a velocidade de Bárbara em relação a Alexandre seja vBA = 52 km/h (constante) e que o carro P está se
movendo no sentido negativo do eixo x. (a) Se Alexandre mede uma velocidade constante vPA = –78 km/h para o carro P, qual é a
velocidade vPB medida por Bárbara?

IDEIAS-CHAVE
Podemos associar um referencial A a Alexandre e um referencial B a Bárbara. Como os dois referenciais se movem com velocidade
constante um em relação ao outro ao longo do eixo x, podemos usar a Eq. 4-41 (vPA = vPB + vBA) para relacionar vPB a vPA e vBA.
Cálculos: Temos

Comentário: Se o carro P estivesse ligado ao carro de Bárbara por um fio flexível enrolado em uma bobina, o fio se desenrolaria a
uma velocidade de 130 km/h enquanto os dois carros estivessem se separando.
(b) Se o carro P freia com aceleração constante até parar em relação a Alexandre (e, portanto, em relação ao solo) no instante t =
10 s, qual é a aceleração aPA em relação a Alexandre?

IDEIAS-CHAVE
Para calcular a aceleração do carro P em relação a Alexandre, devemos usar a velocidade do carro em relação a Alexandre. Como a
aceleração é constante, podemos usar a Eq. 2-11 (v = v0 + at) para relacionar a aceleração às velocidades inicial e final de P.
Cálculo: A velocidade inicial de P em relação a Alexandre é vPA = –78 km/h, enquanto a velocidade final é 0. Assim, a aceleração
em relação a Alexandre é

(c) Qual é a aceleração aPB do carro P em relação a Bárbara durante a frenagem?

IDEIA-CHAVE
Para calcular a aceleração do carro P em relação a Bárbara, devemos usar a velocidade do carro em relação a Bárbara.

Cálculo: A velocidade inicial de P em relação a Bárbara foi determinada no item (a) (vPB = –130 km/h). A velocidade final de P em
relação a Bárbara é –52 km/h (a velocidade do carro parado em relação à velocidade do carro de Bárbara). Assim,

Comentário: Este resultado é previsível. Como Alexandre e Bárbara estão se movendo com velocidade constante um em relação
ao outro, a aceleração do carro P medida pelos dois deve ser a mesma.

4-7 MOVIMENTO RELATIVO EM DUAS DIMENSÕES

Objetivo do Aprendizado

Depois de ler este módulo, você será capaz de ...
4.19 Aplicar a relação entre as posições, as velocidades e as acelerações de uma partícula medidas em dois referenciais que

se movem um em relação ao outro em duas dimensões com velocidade constante.

Ideia-Chave

• Quando dois referenciais A e B estão se movendo um em relação ao outro com velocidade constante, a velocidade de uma
partícula P medida por um observador no referencial A é, em geral, diferente da velocidade medida no referencial B. A relação
entre as duas velocidades é dada por

PA = PB + BA,

em que BA é a velocidade do referencial B em relação ao referencial A. A aceleração medida pelos dois observadores é a
mesma:

PA = PB.

Movimento Relativo em Duas Dimensões

Nossos dois amigos estão novamente observando o movimento de uma partícula P a partir das origens
dos referenciais A e B, enquanto B se move com velocidade constante BA em relação a A. (Os eixos
correspondentes aos dois sistemas de coordenadas permanecem paralelos.) A Fig. 4-19 mostra um
instante específico, no qual o vetor posição da origem de B em relação à origem de A é BA. Os vetores
posição da partícula P são PA em relação à origem de A e em relação à origem de B. As posições das

origens e extremidades desses três vetores mostram os vetores relacionados pela equação

Derivando a Eq. 4-43 em relação ao tempo, obtemos uma equação que envolve as velocidades PA e PB
da partícula P em relação aos dois observadores:

Derivando a Eq. 4-44 em relação ao tempo, obtemos uma equação que envolve as acelerações PA e PB
da partícula P em relação aos nossos observadores. Note, porém, que, como BA é constante, a derivada
de BA em relação ao tempo é nula, o que nos dá

Assim, da mesma forma que no movimento unidimensional, temos a seguinte regra: A aceleração de uma
partícula medida por observadores em referenciais que se movem com velocidade constante um em
relação ao outro é a mesma.

Figura 4-19 O referencial B possui uma velocidade bidimensional constante BA em relação ao referencial A. O vetor posição de B em
relação a A é BA. Os vetores posição da partícula P são PA em relação a A e PB em relação a B.

Exemplo 4.08 Movimento relativo bidimensional de dois aviões

Na Fig. 4-20a, um avião se move para leste enquanto o piloto direciona o avião ligeiramente para o sul do leste, de modo a
compensar um vento constante que sopra para nordeste. O avião tem uma velocidade AV em relação ao vento, com uma
velocidade do ar (velocidade escalar em relação ao vento) de 215 km/h e uma orientação que faz um ângulo θ ao sul do leste. O
vento tem uma velocidade VS em relação ao solo, com uma velocidade escalar de 65,0 km/h e uma orientação que faz um ângulo
de 20° a leste do norte. Qual é o módulo da velocidade AS do avião em relação ao solo e qual é o valor de θ?

IDEIAS-CHAVE
A situação é semelhante à da Fig. 4-19. Neste caso, a partícula P é o avião, o referencial A está associado ao solo (que chamaremos
de S) e o referencial B está associado ao vento (que chamaremos de V). Precisamos construir um diagrama vetorial semelhante ao
da Fig. 4-19, mas, desta vez, usando três vetores velocidade.
Cálculos: Primeiro, escrevemos uma frase que expressa uma relação entre os três vetores da Fig. 4-20b:

Em notação vetorial, essa relação se torna

Podemos determinar as componentes dos vetores no sistema de coordenadas da Fig. 4-20b e resolver a Eq. 4-46 eixo por eixo. No
caso das componentes y, temos:

AS,y = AV,y + VS,y
ou 0 = –(215 km/h) sen θ + (65,0 km/h)(cos 20,0º).
Explicitando θ, obtemos