1 MENAKLUKKAN INTREGAL DALAM MATEMATIKA DASAR July 2023 UNIVERSITAS GUNADARMA Authored by: Arvauzan Putra Kurniawan MATEMATIKA DASAR
2
3 DAFTAR ISI Daftar Isi…..........................................................................................................................3 Kata Pengantar.....................................................................................................................4 Sejarah Integral....................................................................................................................5 Konsep Dasar Integral..........................................................................................................7 Rumus-Rumus Integtral.......................................................................................................7 Integral Tentu…...................................................................................................................9 Metode Parsial...................................................................................................................11 Aplikasi Integral Tertentu..................................................................................................12 Pengaplikasian Integral......................................................................................................17 Aplikasi Integral Menghitung Benda Putar........................................................................25 Momen Inersia...................................................................................................................39 Integral Untuk Menentukan Momen Inersia.......................................................................41 Daftar Pustaka....................................................................................................................42
4 Pengantar Buku: Menaklukkan Integral dalam Matematika Selamat datang dalam perjalanan menggali keajaiban matematika yang melibatkan integral! Dalam buku ini, kita akan memperkenalkan Anda pada dunia yang menarik dan penting dari konsep integral dalam matematika. Matematika adalah bahasa universal yang melibatkan pemecahan masalah, logika, dan analisis. Dalam banyak situasi, kita sering dihadapkan pada permasalahan yang membutuhkan pengetahuan dan pemahaman tentang integral. Tak peduli apakah Anda seorang siswa, mahasiswa, atau profesional dalam bidang ilmu pengetahuan atau teknik, pemahaman tentang integral akan membantu Anda menguasai berbagai aspek matematika. Buku ini bertujuan untuk menjadi panduan yang komprehensif dan mudah diikuti bagi mereka yang ingin memahami dan menguasai integral. Kami akan memulai dengan fondasi yang kuat dalam konsep dasar integral, memperkenalkan Anda pada notasi, teorema, dan metode penting yang digunakan dalam perhitungan integral. Kami akan membahas teknik-teknik integrasi yang berbeda, termasuk penggunaan substitusi, integrasi perbagian, serta penggunaan tabel integral yang sangat berguna. Kami juga akan menjelajahi aplikasi integral dalam berbagai bidang, seperti fisika, ekonomi, statistik, dan ilmu rekayasa. Anda akan melihat bagaimana integral membantu dalam menghitung luas, volume, dan probabilitas, serta dalam memodelkan fenomena nyata dan menganalisis data. Buku ini dirancang agar mudah dipahami, dengan contoh-contoh yang jelas dan penjelasan langkah-demi-langkah yang terperinci. Selain itu, kami juga menyediakan latihan-latihan untuk menguji pemahaman Anda, sehingga Anda dapat melatih keterampilan Anda dalam menyelesaikan masalah integral. Kami berharap bahwa dengan membaca buku ini, Anda akan merasakan keajaiban matematika integral dan mengembangkan pemahaman yang mendalam tentang konsep yang menarik ini. Terlebih lagi, kami berharap buku ini akan memperkuat dasar-dasar matematika Anda dan membantu Anda menghadapi tantangan matematika dengan percaya diri. Selamat menjelajahi dunia integral dalam matematika! Semoga buku ini memberikan wawasan dan keahlian yang berharga untuk memperluas pemahaman Anda dalam bidang matematika dan mempersiapkan Anda untuk tantangan yang akan datang.
5
6 Dalam matematika, integral adalah operasi yang menghubungkan fungsi dengan konsep luas, total, atau akumulasi. Secara formal, integral dapat dianggap sebagai limit dari penjumlahan tak terhingga dari produk () dengan suatu perubahan infinitesimal saat perubahan tersebut mendekati nol. Integral memiliki dua bentuk utama: integral tak tentu dan integral tentu. Integral tak tentu, juga dikenal sebagai antiderivatif, adalah kebalikan dari operasi diferensiasi. Integral tak tentu dari fungsi () terhadap variabel dinyatakan sebagai ∫ () = () + , di mana () adalah antiderivatif dari () dan merupakan konstanta integrasi. Integral tentu adalah bentuk integral yang menghasilkan nilai numerik. Integral tentu dari fungsi () terhadap variabel dalam interval [, ] dinyatakan sebagai ∫[, ]() . Hasil integral tentu adalah bilangan riil yang mewakili total luas atau jumlah akumulasi () dalam interval [, ]. Sejarah dari integral tidak lain merupakan bagian dari sejarah kalkulus. Dan Sejarah perkembangan kalkulus bisa dilihat dari beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume dari frustrum piramid. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral. Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari Mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa. Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai contributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Dan Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali. imbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali
7 mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society. Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip Dasar kalkulus. Archimedes (287-212 SM), seorang fisikawan sekaligus matematikawan dari Syracuse, Yunani. Pada abad kedua sebelum masehi, Archimedes talah menemukan ide penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola, volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral. Dalam sejarah matematika, integral lebih dikenal sebagai anti-diferensial atau yang kita kenal juga sebagai anti-turunan. Dengan kata lain integral adalah kebalikan dari turunan. Baik integral ataupun differensial, keduanya merupakan bagian dari ilmu Kalkulus dalam Matematika. Menurut sejarah, tokoh yang mengembangkan dan memperkenalkan konsep differensial dan anti-differensial (integral) dalam ilmu matematika adalah Gottfried Wilhelm Leibniz, atau lebih dikenal dengan Leibniz saja. Lambang integral seperti cacing berdiri dahulunya dikenal dengan “Notasi Leibniz”, karena Leibnizlah yang memperkenalkan konsep integral dalam Matematika. Lambang integral seperti ini: ∫, diambil dari huruf pertama nama Leibniz, yaitu huruf “L”, namun pada zaman dahulu orang menuliskan huruf “L” dalam bentuk yang indah. Sejak ilmu matematika berkembang dari abad sebelum masehi sampai abad sesudah masehi juga sampai sekarang jaman modern. Ilmu tentang integral mengalami perkembangan yang cukup bagus. Dari integral yang dikembangkan oleh Leibnizh pada abad sesudah masehi sampai integral yang kembangkan oleh Henstock-kurzweill jaman modern sekarang ini . menurut sejarahnya, orang yang tercatat pertama kali mengemukakan ide tentang integral adalah Archimides, seorang ahli matematika bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (287 – 212 SM). Ia menggunakan ide itu untuk menghitung luas daerah lingkaran, daerah yang dibatasi parabola dan tali busur, dan sebagainya.
8 KONSEP DASAR INTEGRAL Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya yaitu diferensiasi adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Integral juga merujuk pada antiturunan, mis. sebuah fungsi F memiliki turunan yaitu fungsi f maka fungsi F adalah antiturunan dari fungsi f. Integral dilambangkan dengan ∫ dan integral terdiri dari integral tentu dan taktentu. Integral adalah bentuk operasi matematika yang menjadi kebalikan dari operasi turunan dan limit dari jumlah atau suatu luas daerah tertentu. Integral dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu integral tak tentu dan integral tentu. Integral tak tentu adalah integral yang tidak memiliki batas pengintegralan, sedangkan integral tentu adalah integral yang memiliki batas pengintegralan yang telah ditentukan Notasi integral adalah cara untuk merepresentasikan proses integrasi dalam matematika. Ini digunakan untuk menemukan area di bawah kurva, volume bentuk 3D, dan banyak hal berguna lainnya. = ∫ () ( ∫ ) = simbol integral, batas bawah variable yang diintergralkan, batas atas variabel yang diintegralkan A = nilai integral dari fungsi f(x) f(x) = fungsi yang diintegralkan dx = variable yang diintegralkan Simbol integral adalah S memanjang, yang menunjukkan gagasan penjumlahan. Tanda integral mewakili integrasi, dan simbol diferensial dx menunjukkan variabel integrasi. Ketika batas integrasi ditentukan, integral disebut integral tertentu. Batas integrasi, dan b, adalah nilai-x dan masing-masing disebut batas bawah dan atas. Rumus – Rumus Integral Integral Konstan ∫ = + Integral Fungsi pangkat ∫ = 1 + 1 +1 + Integral Eksponensial ∫ = + Integral Trigonometri ∫ sin() = − cos() + ∫ cos() = sin() +
9 Integral tak tentu (indefinite integral) adalah integral yang tidak memiliki batas-batas nilai tertentu, sehingga hanya diperoleh fungsi umumnya saja disertai suatu konstanta C. Setiap bentuk operasi matematis pasti memiliki operasi kebalikan atau invers, seperti penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, akar dan pangkat. Kebalikan itu juga berlaku pada turunan, di mana kebalikan dari turunan adalah integral. Integral tentu (definite integral) adalah integral yang memiliki batas-batas nilai tertentu, sehingga hasil akhirnya bisa ditentukan secara pasti. Batas-batas nilai itu merupakan nilai variabel dari fungsi yang telah diintegralkan. Dalam Matematika, integral tentu bisa dimanfaatkan untuk mencari luasan di bawah kurva, volume benda putar yang dibatasi oleh titik-titik tertentu, luas daerah yang dibatasi olehkurva tertentu, dan masih banyak lainnya. Adapun contoh penulisan integral tertentu adalah sebagai berikut. Integral Substitusi adalah metode penyelesaian masalah melalui integral dengan cara substitusi kepada bentuk yang lebih sederhana, bentuk sederhana yang dimaksud adalah berkaitan dengan turunan suatu variabel. Merubah dari bentuk yang belum dikenal menjadi lebih mudah dikenal atau bentuk primitifnya. Rumus umum dari integral substitusi yakni : Integral parsial adalah teknik pengintegralan dengan cara parsial. Teknik parsial adalah Teknik penyelesaian integral dengan cara pemisalan karena komponen yang diintegralkan memuat variabel yang sama namun berbeda fungsi. Biasanya, integral parsial ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang cukup komplek. Bentuk umum integral parsial adalah sebagai berikut. Metode pecahan parsial adalah pecahan yang digunakan untuk dekomposisi ekspresi rasional. Ketika ekspresi aljabar dipecah menjadi jumlah dari dua atau lebih ekspresi rasional, maka setiap bagian disebut pecahan parsial. Oleh karena itu, pada dasarnya, itu adalah kebalikan dari penambahan ekspresi rasional. Mirip dengan pecahan , pecahan parsial akan memiliki pembilang dan penyebut, di mana penyebutnya mewakili bagian yang terurai dari fungsi rasional. Metode integrasi menggunakan tabel integrasi melibatkan penggunaan tabel yang berisi rumusrumus integral yang telah dikenal dan dapat digunakan untuk menghitung nilai integral secara langsung. Dengan menggunakan tabel ini, kita dapat mencocokkan fungsi yang akan diintegralkan dengan rumus yang sesuai dan langsung mengambil nilai integralnya.
10 Integral Tentu dengan Metode Substitusi dan Parsial Integral tentu adalah integral yang sudah ditentukan nilai awal dan akhirnya, dimana terdapat rentang ab. Rentang a-b ini merupakan batas atas dan bawah. Dalam arti lain, integral tentu merupakan integral yang memiliki batas. Batas-batas yang diberikan berupa konstanta atau bahkan bisa berbentuk variabel. Integral tentu terdefinisi jika fungsi f pada selang [a,b] maka ∫ () adalah integral tentu terhadap fungsi f dari a ke b. Jika sudah diketahui bentuk integralnya, maka didapat bentuk grafik dari integral tentu, yaitu: Cara membaca integral tentu adalah integral dari f(x) terhadap dx dari a sampai b. Dalam integral tentu, dikenal beberapa sifat-sifat khusus yang merupakan kaidah berlaku dalam proses pengintegralan.
11 Metode Substitusi Metode substitusi ialah metode dengan menukar suatu suku/bagian dengan suku lain dan setelah itu dilakukan substitusi balik. Berikut beberapa metode substitusi yang dikenal: 1. Substitusi Suku yang Diintegralkan Misalkan suatu fungsi f(x) = g(h(x)), maka integral dari fungsi f(x) ∫ () = ∫ (ℎ) ℎ′() ℎ . Contohnya ∫ ( 2 + 5) 10 dapat kita substitusi nilai 2 + 5 = sehingga integral tadi menjadi berbentuk ∫ 10. Ingat = 2 + 5 sehingga = 2 atau du = 2xdx atau = 1 2 . Substitusikan nilai dx dalam integralsehingga fungsi u dapat diintegralkan. 2. Substitusi Integran Substitusi variabel pengintegrasi (integran) dapat digunakan untuk mempermudah mencari hasil integral dari suatu fungsi. Agar lebih jelas, baiknya kita memulai dengan contoh, misalnya ∫ 3 . 2. Substitusi Integran Substitusi variabel pengintegrasi (integran) dapat digunakan untuk mempermudah mencari hasil integral dari suatu fungsi. Agar lebih jelas, baiknya kita memulai dengan contoh, misalnya ∫ 3 .
12 3. Substitusi dengan Bantuan Trigonometri Fungsi yang dapat diintegralkan dengan substitusi trigonometri biasanya ialah fungsi-fungsi yang mengandung persamaan lingkaran, contohnya ∫( 2 + 2 ) − 3 2 . Pertama-tama, ingatlah relasi antara x dan y dalam dalil Pythagoras dan trigonometri yakni = tan dan = √ 2 + 2. Sekarang substitusi = tan sehingga = 2 . Metode Parsial Integral parsial sesungguhnya bukan merupakan nama dari integral itu sendiri, melainkan merupakan salah satu teknik di dalam pengintegralan. Integral parsial dapat ditengarai dengan adanya dua fungsi yang berbeda dengan operasi perkalian. 13 Operasi perkalian di dalam mengintegralkan juga dalam kasus lain bisa langsung dikalikan kemudian di integralkan. Tetapi, untuk kasus penggunaan integral parsial atau teknik parsial, biasanya salah satu dari fungsi tersebut bersifat perkalian yang independen atau tidak terpaut satu dengan yang lainnya. Hal ini dapat diidentifikasikan bahwa fungsi yang satu bukan merupakan turunan dari fungsi yang lain. Sehingga di dalam praktiknya, diperlukan permisalan dan bila terdapat kompleksitas fungsi biasanya menggunakan teknik substitusi variabel atau peubah. Secara matematis, integral dengan teknik penyelesaian parsial dapat dirumuskan sebagai berikut. Integral Tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabelnya memiliki batas-batas tertentu. Integral tertentu adalah salah satu konsep utama dalam kalkulus yang mengukur luas daerah di bawah kurva fungsi pada suatu interval tertentu. Secara intuitif, integral tertentu dapat dianggap sebagai total akumulasi atau jumlah dari nilai-nilai fungsi dalam interval tersebut. Integral tertentu direpresentasikan dengan simbol integral ∫ dan memiliki batas bawah dan batas atas yang menentukan interval integrasi. Misalnya, integral tertentu dari fungsi f(x) dari a hingga b ditulis sebagai: ∫[a, b] f(x) dx Dalam notasi ini, f(x) adalah fungsi yang diintegrasikan, a adalah batas bawah integrasi, b adalah batas atas integrasi, dan dx menunjukkan variabel dalam integrasi, dalam hal ini adalah variabel x. Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas wilayah yang terletak antara kurva y = f(x) dengan sumbu x pada rentang antara x = a dan x = b. Dapat pula untuk menentukan luas wilayah antara dua kurva f(x) dan g(x).
13 Proses penghitungan integral tertentu melibatkan membagi interval integrasi menjadi sejumlah kecil bagian yang semakin kecil dan mendekati nol. Kemudian, untuk setiap bagian kecil tersebut, nilai f(x) dikalikan dengan lebar bagian tersebut dan dijumlahkan. Batas jumlah ini, ketika lebar bagian mendekati nol, menghasilkan nilai integral tertentu. Integral tertentu memiliki berbagai aplikasi penting, termasuk menghitung luas daerah di bawah kurva fungsi, menghitung kuantitas fisik seperti perpindahan atau total perubahan, menyelesaikan persamaan diferensial, dan menganalisis fenomena yang melibatkan perubahan atau akumulasi dalam suatu proses. Dalam kalkulus, integral tertentu juga memiliki hubungan erat dengan konsep turunan melalui Teorema Dasar Kalkulus, yang menyatakan bahwa turunan dan integral adalah operasi yang saling terkait secara terbalik. Pemahaman tentang integral tertentu penting dalam berbagai bidang ilmu, termasuk matematika, fisika, ekonomi, dan ilmu komputer. Integral tertentu memungkinkan kita 7 untuk memodelkan dan menganalisis berbagai fenomena yang melibatkan akumulasi atau perubahan dalam konteks matematika dan dunia nyata. Aplikasi Integral Tertentu 1. Surplus Konsumen (Cs) Mencerminkan suatu keuntungan lebih (surplus) yang dinikmati onsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang. Jika tingkat harga pasar adalah Pe maka bagi konsumen tertentu yang sebenarnya mampu dan bersedia membayar dengan harga lebih tinggi dari Pe, hal ini merupakan keuntungan baginya,
14 sebab ia cukup membayar dengan harga Pe. Keuntungan ini yang dinamakan dengan Surplus Konsumen. Untuk fungsi permintaan berbentuk P = f(Q) maka surplus konsumen merupaakn luas daerah yang dibatasi oleh fungsi P = f(Q) dan garis horisontal Pe dengan 0 sebagai batas bawah dan Qe sebagai batas atas. 2. Surplus Produsen (Ps) Mencerminkan keuntungan lebih (surplus) yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkan. Jika tingkat harga pasar adalah Pe maka bagi produsen tertentu yang sebenarnya bersedia menjual dengan harga lebih rendah dari Pe, hal ini merupakan keuntungan baginya. Sebab ia dapat menjualnya dengan harga Pe. Keuntungan inilah yang disebut dengan surplus produsen.
15 Pengertian Fungsi Rasional Dalam matematika, fungsi rasional adalah fungsi yang dapat didefinisikan dengan fraksi rasional dalam fraksi aljabar sehingga pembilang dan penyebutnya adalah polynomial atau bisa didefinisikan juga hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom). Sebuah fungsi f(x) disebut fungsi rasional jika dan hanya jika fungsi tersebut dapat ditulis dalam bentuk seperti berikut : di mana P dan Q adalah polinomial dari x dan Q bukan fungsi nol. Domain dari adalah himpunan semua nilai untuk yang penyebutnya bukan nol. Dan asimtot merupakan suatu garis yang membuat kurva bernilai tak terhingga karena cenderung mendekati angka 0. Namun jika dan memiliki pembagi umum terbesar polinomial non-konstan lalu dan menghasilkan fungsi rasiona. Adapun fungsi rasional yang paling sederhana, yakni fungsi y=1/x dan fungsi y=1/(x)^2 Di mana keduanya mempunyai pembilang konstanta serta pemnyebut polynomial dengan satu suku. Dan kedua fungsi tersebut mempunyai domain semua bilangan real. Fungsi Rasional y = 1/x. Fungsi ini disebut juga sebagai fungsi kebalikan sebab setiap kita mengambil sembarang x (kecuali nol) maka akan menghasilkan kebalikannya sebagai nilai dari fungsi tersebut. Yang artinya x yang besar akan menghasilkan nilai fungsi yang kecil, begitu juga sebaliknya. Tabel dan grafik dari fungsi tersebut bisa dilihat pada gambar di bawah ini.
16 1. Grafik tersebut lulus pada uji garis vertical. Yang berarti setiap garis wertikal pada bidang koordinat cartesius akan memotong grafik pada maksimal satu titik. Sehingga y=1/x adalah sebuah fungsi. 2. Sebab pembagian tidak terdefinisi jadi saat pembaginya nol, maka nol tidak akan mempunyai pasangan, sehingga menghasilkan jeda pada x=0. Hal tersebut sesuai dengan domain dari fungsi tersebut, yakni seluruh anggota bilangan real kecuali 0. 3. Fungsi tersebut adalah fungsi ganjil, dengan salah atu cabangnya terletak di kuadran I sementara yang lainnya pada kuadran III. 4. Pada kuadran I, saat x menuju tak hingga, nilai y menuju dan mendekati nol. Secara simbolis bisa dituliskan sebagai x→∞, y →0. Secara grafis, kurva dari grafik fungsi tersebut akan mendekati sumbu- pada saat mendekati tak hingga. Fungsi Rasional y = 1/(x^2) Kita bisa mengetahui bahwa grafik dari fungsi ini akan mengalami jeda pada saat x = 0. Namun demikian, sebab kuadrat dari sembarang bilangan negatif merupakan bilangan positif, cabang-cabang dari grafik fungsi ini akan terletak di atas sumbu-x. Perhatikan bahwa fungsi y = 1/(x^2) adalah fungsi genap. Sama halnya dengan y=1/x, nilai x yang mendekati positif tak hingga akan menghasilkan y yang mendekati nol. Jika Ditulis simbolnya maka akan menjadi x→∞, y → 0. Hal ini adalah salah satu indikasi dari sifat asimtot dalam arah horizontal. Serta kita akan menyatakan y=0 adalah asimtot horizontal dari fungsi y=1/x dan y=1/x^2.
17 Asimstot Horizontal, Diberikan sebuah konstanta k, garis y=k adalah asimtot horizontal dari fungsi V(x) apabila x bertambah tanpa batas akan menimbulkan V(x) mendekati k : x→-∞ atau V(x) →k atau x→∞ atau V(x) →k. Pada gambar (a) di bawah ini menggambarkan garis asimtot horizontal pada y=1, yang menunjukkan grafik f(x) sebagai translasi grafik y=1/xke atas sejauh 1 satuan. Gambar (b) menggambarkan garis asimtot horizontal pada y=-2, yang menunjukan grafik g(x) sebagai pergeseran grafik y=1/x^2 ke bawah sejauh 2 satuan. Asimstot Vertikal Diberikan sebuah konstanta h , garis x=h adalah asimtot vertical untuk fungsi V apabila x mendekati h, V(x) akan bertambah atau berkurang tanpa batas: pada saat x→h – , V(x)→± ∞ atau pada saat x→ h – , V(x)→± ∞. Mengidentifikasi dari asimtot horizontal dan vertical sangatlah bermanfaat. Sebab grafik y=1/x dan y=1/x^2 bisa ditransformasi dengan menggesernya ke arah vertical maupun horizontal. Persamaan Fungsi Rasional Identifikasi fungsi yang diberikan oleh grafik pada gambar di bawah, lalu pakailah grafik tersebut untuk menuliskan persamaan fungsi tersebut. Anggap |a| = 1 Pembahasan: Dari grafik di atas dapat kita ketahui bahwasannya grafik tersebut adalah pergeseran dari fungsi y = 1/x ke kanan sejauh 2 satuan, serta bergeser ke bawah sejauh 1 satuan. Sehingga asimstot horizontal serta vertikal dari grafik di atas secara berturut-turut y = -1 dan x = 2.
18 PENGAPLIKASI INTEGRAL A. Luas Bidang Rata Beberapa kajian yang telah kita lakukan pada bab-bab sebelumnya berkaitan dengan polygon, anti turunan, jumlah Riemann yang berujung pada pendefinisan dan sifat-sifat integral tentu. Kajian-kajian itu merujuk pada penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah dibawah kurva. Kita akan lakukan kajian dari kasus yang sederhana. Daerah di atas sumbu-x. Misalkan y = f(x) adalah sebuah kurva pada daerah xy dan andaikan f kontinu dan taknegatif pada selang a x b. Andaikan R adalah daerah yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b dan y = 0. Kita katakana bahwa R adalah daerah dibawah y = f(x), x = a, x = b. Perhatikan gambar berikut; Untuk lebih memahami kita akan kaji beberapa contoh yang berkaitan dengan luas daerah dibawah kurva dan diatas sumbu-x. contoh yang diberikan dimulai dari kasus sederhana, berupa fungsi linier. Contoh 1 Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x +1, x = 0, x = 2 dan sumbu-x
19 Contoh 2 Susunlah integral untuk menyatakan luas daerah dibawah y = 1 + √x diantara x = 0 dan x = 4 Penyelesaian Daerah diantara dua kurva. Andaikan y = f(x) dan y = g(x) dimana g(x) f(x) pada ) a x b. Grafikgrafik dan interval dapat dicontohkan seperti gambar dibawah. Tentu, dengan mudah kita dapat menentukan pendekatan melalui potong, ambil luas ke-i, hitung jumlah dan limitnya serta integrasi. Hal terpentinga dalah kita mesti tepat dalam menentukan “tinggi” dari daerah yang akan kita hitung. Kita sepakat tentu, bahwa tinggi daerah akan sama dengan f(x) – g(x).
20 B. Luas Bidang Datar Persamaan Kartesius Dalam bagian ini kita akan mencari suatu rumus untuk menentukan luas bidang datar antara dua kurva Kartesius. Terdapat dua kasus yang diperhatikan seperti yang terlihat dalam Gambar 1. Kasus 1 Kita ingin menentukan luas bidang datar antara y f x x dan y g x x untuk x I a b a,b . Diasumsikan bahwa f x g x x x pada I, liat gambar 1(a). Pertama kali interval dibagi menjadi n interval bagian dengan lebar sama: Diambil suatu titik dalam setiap interval bagian, misalnya * i x dan dibentuk persegi panjang pada setiap interval bagian seperti dalam Gambar 2.
21 Contoh 1 Penyelesaian :
22 Dalam masalah ini terdapat tiga daerah dimana satu fungsi selalu menjadi fungsi atas dan fungsi lainnya selalu menjadi fungsi bawah. Jadi, yang perlu dilakukan adalah mencari luas bidang datar untuk setiap daerah tersebut dan selanjutnya dijumlahkan.
23 Rumus diatas meminta satu fungsi selalu menjadi kanan yaitu f (y) dan fungsi lainnya selalu menjadi kiri yaitu g (y) dalam satu interval integrasi. Contoh 2
24 3. Persamaan Kutub
25
26 APLIKASI INTEGRAL MENGHITUNG BENDA PUTAR METODE CAKRAM Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X Volume benda putar yang terjadi yang dibatasi oleh y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360◦ , Volumenya adalah Jika daerah yang dibatasi oleh x = f(y), sumbu Y, garis y = a, dan garis y = b diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360◦ , volume benda putarnya adalah
27 Volume Benda Putar dibatasi Dua Kurva *) Diputar terhadap sumbu x *) Diputar terhadap sumbu y
28 Contoh 1. Volume benda putar yang terbentuk dari kurva y = x dan batas 0 ≤ x ≤ 3 dan diputar terhadap sumbu x. 2. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva y = , garis y = 2 dan garis y = 5 diputar mengelilingi sumbu y.
29 METODE KULIT TABUNG
30
31 *) Mengelilingi sumbu x dan batas di sumbu x *) Mengelilingi sumbu X dan batas di sumbu y
32 Catatan: Metode kulit tabung ini kita pakai apabila kita kesulitan dalam mengubah bentuk fungsi x = f(x) menjadi x = f(y) atau sebaliknya Volume benda putar dibatasi dua kurva metode kulit tabung *)Mengelilingi sumbu Y dan batas di sumbu x Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva Contoh
33 Karena diputar mengelilingi sumbu Y, dengan metode cakram seharusnya batasnya ada pada sumbu Y dan fungsi kita ubah menjadi bentuk x = f(y). Hanya saja fungsi dari kurvanya y = - + 4x yang akan sangat sulit bagi kita untuk mengubahnya menjadi bentuk x = f(y), dalam hal ini metode cakram sulit untuk menghitung volume benda putarnya. Sehingga yang termudah kita Gunakan metode kulit tabung.
34 A. Panjang kurva Missal kurva yang panjangnya ingin dicari adalah grafik fungsi y = f(x) dari x =a sampai x= b. Untuk mendapatkan sebuah rumus integral untuk Panjang kurva, diasumsikan bahwa f memiliki turunan kontinu pada setiap titik dalam [a,b]. Fungsi seperti ini dikatakan mulus, dan grafiknya berupa kurva mulus karena tidak memiliki patahan,sudut atau puncak lancip Gambar.1 Interval [a,b] dipartisikan menjadi n subinterval dengan a = X0 < X1 < X2 < …< Xn = b Jika yk = f(XK) maka titik yang bersesuai P K ( XK , YK ) terletak pada kurva, kemudian titik titik yang berurutan P K-1 dan P K di hubungkan dengan ruas-ruas kurva garis lurus yang jika dirangkai Bersama sama membentuk sebuah lintasan ooligon yang panjangnya merupakan aporksimasi dari Panjang kurva( Gambar.1) Jika Δxk = xk – xk-1 dan Δyk = yk -Yk-1 maka representasi sebuah n garis pada lintasan poligon memiliki panjang (lihat Gambar.1)
35 sehingga panjang kurva diaproksimasikan oleh jumlah Aproksimasi ini diharapkan akan semakin tepat pada saat partisi [a, b] menjadi semakin kecil. Selanjutnya. berdasarkan Teorema Nilai Rata rata, terdapat titik Ck, dengan Xk-1 < Ck < Xk ,sedemikian sehingga
36 Gambar 2 B. Memperlakukan ketakkontian dalam dy/dx Di titik pada kurva di mana dy/dx tidak ada, dx/dy mungkin ada. Pada kasus ini, kita mungkin bisa mendapatkan panjang kurva dengan menyatakan x sebagai fungsi dari y dan menerapkan analogi Persamaan (3) berikut ini: Rumus untuk Panjang x = g(y) c <= y <= d Jika p ^ * kontinu pada [c, d] . panjang kurva x = g(y) dari A = (g(c), c) sampai B =(g(d) d) adalah C. Rumus diferensial untuk panjang kurva Jika y=f (x) dan jika f kontinu pada [a, b], maka dengan Teorema Dasar Kalkulus kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi yang baru Dari Persamaan (3) dan Gambar 1, kita lihat bahwa fungsi s(x) ini kontinu dan mengukur panjang kurva y = f(x) dari titik pangkal P0, (a, f(a)) ke titik Q(x, f(x)) untuk setiap X E [ a,b] Fungsi s disebut fungsi panjang kurva untuk y = f(x). Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus, fungsi s terdiferensiasikan pada (a, b) Dan Kemudian diferensial dari panjang kurva adalah Cara yang berguna untuk mengingat Persamaan (6) adalah dengan menuliskan
37 yang dapat diintegrasikan di antara batas-batas yang sesuai untuk menghasilkan total panjang kurva Dari sudut pandang ini, semua rumus panjang kurva hanyalah pernyataan yang berbeda untuk persamaan L. = ∫ ds. Gambar 5a memberikan interpretasi yang tepat bagi ds yang sesuai dengan Persamaan (7). Gambar 5b tidak sepenuhnya akurat, tetapi dapat dianggap sebagai aproksimasi yang disederhanakan dari Gambar 5a. Artinya, ds = Δ s. D. Menentukan Panjang busur di berbagai bidang 1. Cara Menghitung Panjang Busur Lingkaran Lingkaran merupakan salah satu jenis bangun geometri yang paling sering kita temui sehari-hari. Oleh karena itu, kita akan membahas terlebih dahulu mengenai cara menghitung panjang busur lingkaran. • Langkah 1: Tentukan Jari-Jari Lingkaran (r) Sebelum menghitung panjang busur, pastikan kamu sudah mengetahui nilai jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Jika nilai jari-jari belum diketahui, kamu bisa menggunakan rumus berikut: jari-jari (r) = diameter (d) ÷ 2 • Langkah 2: Tentukan Besarnya Sudut Lingkaran (θ) Selanjutnya, tentukan besarnya sudut lingkaran yang diinginkan. Sudut lingkaran dapat diukur menggunakan satuan derajat (°) atau radian (rad). Untuk menghitung panjang busur lingkaran, kita perlu menggunakan satuan radian.
38 θ = (π × sudut) ÷ 180° • Langkah 3: Hitung Panjang Busur Lingkaran (s) Setelah mengetahui nilai jari-jari (r) dan besarnya sudut (θ), kita bisa menghitung panjang busur lingkaran menggunakan rumus berikut: panjang busur (s) = r × θ. 2. Cara Menghitung Panjang Busur Elips Selain lingkaran, elips juga merupakan salah satu jenis bangun geometri yang sering kita temui. Namun, rumus untuk menghitung panjang busur elips agak sedikit rumit. Berikut ini adalah langkah langkah untuk menghitung panjang busur elips: • Langkah 1: Tentukan Panjang Sumbu Utama dan Sumbu Pendek (a dan b) Sebelum menghitung panjang busur, pastikan kamu sudah mengetahui panjang sumbu utama (a) dan sumbu pendek (b) pada elips. Sumbu utama merupakan jarak terpanjang pada elips, sedangkan sumbu pendek merupakan jarak terpendek. • Langkah 2: Tentukan Batas Integrasi Selanjutnya, tentukan batas integrasi yang sesuai dengan persamaan elips yang akan digunakan. Misalnya, jika persamaan elips yang digunakan adalah: (x/a)2 + (y/b)2 = 1 Maka batas integrasi yang digunakan adalah dari 0 hingga 2π. • Langkah 3: Hitung Integral Setelah mengetahui panjang sumbu utama (a), panjang sumbu pendek (b), dan batas integrasi, kita bisa menghitung panjang busur elips menggunakan rumus integral berikut: 3. Cara Menghitung Panjang Busur Parabola Parabola merupakan bangun geometri yang memiliki bentuk seperti huruf U atau telayang. Untuk menghitung panjang busur parabola, kita hanya perlu menggunakan rumus sederhana seperti berikut: • Langkah 1: Tentukan Panjang Garis Tengah (a) Pertama-tama, tentukan panjang garis tengah pada parabola yang dimaksud. Garis tengah merupakan jarak terpanjang pada parabola. • Langkah 2: Hitung Panjang Busur Parabola (s) Setelah mengetahui panjang garis tengah, kita bisa menghitung
39 panjang busur parabola menggunakan rumus berikut: panjang busur (s) = (2/3) × a E. Jenis Jenis integral 1. Integral Tak Tentu Integral tak tentu adalah suatu fungsi baru yang turunannya sama seperti fungsi aslinya. Integral tak tentu tidak memiliki batas dan tidak memiliki nilai yang jelas. Nilai tersebut dilambangkan dengan konstanta ( C ). Sedangkan, lambang integral tak tentu tidak mempunyai batas atas dan batas bawah, karena tidak terbatas. Rumusnya : 2. Integral TentuIntegral tentu adalah integral yang memiliki nilai awal dan akhir, serta batas yang jelas. Integral tentu memiliki batas atas dan batas bawah, dimana lambang integralnya adalah ab. rumus integral tentu adalah sebagai berikut: Sifat:
40 Momen Inersia Momen inersia merupakan besaran fisis yang penting untuk dipelajari sebelum masuk lebih dalam pada materi dinamika rotasi. Momen inersia merupakan besaran fisis yang penting untuk dipelajari sebelum masuk lebih dalam pada materi dinamika rotasi. Rumus momen inersia sebuah benda dapat ditentukan oleh massa benda, geometri (bentuk) benda, letak sumbu putar, serta panjang lengan momen (jarak ke sumbu putar benda). Berikut merupakan rumus momen inersia (I) benda titik: Persamaan rumus momen inersia dapat ditulis sebagai berikut: I = m R2 Penjelasan: m adalah massa partikel (kg) R merupakan jarak partikel ke sumbu putar (m). Satuan momen inersia adalah kg.m2. Pusat massa merupakan lokasi rerata dari semua massa yang berada di dalam suatu sistem. Dalam kasus benda tegar, letak pusat massa merupakan tetap dalam hubungannya dengan tubuh benda. Dalam kasus distribusi. longgar massa di dalam ruang lepas sama sekali, seperti misalnya peluru tembakan dari senapan atau planet-planet pada kelola surya, letak pusat massa merupakan titik dalam ruang di selang mereka yang mungkin tidak berkomunikasi dengan posisi massa manapun pada benda tersebut. Penggunaan pusat massa sering memungkinkan penggunaan persamaan gerak yang disederhanakan, dan ia merupakan suatu acuan yang mudah digunakan untuk banyak aturan yang lain dalam ilmu fisika, seperti momentum sudut atau momen inersia. Pada berbagai penerapan, misalnya seperti pada mekanika orbital, objek-objek bisa digantikan oleh titik-titik massa yang terletak di pusat massa mereka dengan sasaran mempermudah analisis. Istilah pusat massa sering dipersamakan dengan istilah pusat gravitasi, namun demikian mereka secara fisika merupakan konsep yang berlainan. Letak keduanya memang bertepatan dalam kasus medan gravitasi yang sama, akan tetapi ketika gravitasinya berlainan karenanya pusat gravitasi merujuk pada lokasi rerata dari gaya gravitasi yang melakukan pekerjaan pada suatu benda. Hal ini menghasilkan suatu torsi gravitasi, yang kecil tetapi bisa terukur dan mesti dianggarkan dalam pengoperasian satelitsatelit buatan. Integral Menentukan Pusat Massa Suatu Bidang Pusat massa atau titik berat adalah lokasi rerata dari semua massa yang ada di dalam suatu sistem. Dalam kasus benda tegar, letak pusat massa adalah tetap dalam hubungannya dengan tubuh benda. Dalam kasus distribusi longgar massa di dalam ruang bebas, seperti misalnya peluru tembakan dari senapan atau planet-planet pada tata surya, letak pusat massa adalah titik dalam ruang di antara mereka yang mungkin tidak berhubungan dengan posisi massa manapun pada benda tersebut. Penggunaan pusat massa sering memungkinkan penggunaan persamaan gerak yang disederhanakan, dan ia merupakan suatu acuan yang mudah digunakan untuk banyak perhitungan lainnya dalam ilmu fisika, seperti momentum sudut atau momen inersia. Pada berbagai penerapan, misalnya seperti pada mekanika orbital, objek-objek dapat digantikan oleh titiktitik massa yang terletak di pusat massa mereka dengan tujuan mempermudah analisis. Dalam mekanika, massa dipandang sebagai benda yang terpusatkan pada suatu titik yang disebut titik pusat massa (titik pusat gravitasi). Untuk benda yang homogen , titik ini berimpit dengan pusat geometriknya atau titik berat. (Frank Ayres, JR, 1985, dan K A Stroud, Erwin Sucipto, 1989) Untuk menghitung titik berat suatu bidang dengan integral, kita harus menghitung dulu luas bidang tersebut dengan integral. Perhatikan bidang yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu 6 y, garis 1, 2, 3, garis x = a dan garis x = b, seperti Gambar di bawah yang diarsir berikut:
41 Menghitung luas bidang tersebut dengan integral, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1. Mencari persamaan garis 1, 2, 3, dan 4. 2. Bidang tersebut, dibagi menjadi tiga segmen, untuk batas integral yaitu: 0 <= x <= a , a <= x <= b , b <= x <= c. 3. Selanjutnya menghitung luas bidang tersebut dengan integral. Integral Untuk Menentukan Pusat Massa Benda Putar Untuk menghitung titik berat suatu benda putar dengan integral, kita harus menghitung dulu volume benda putar tersebut dengan integral. Perhatikan bidang yang dibatasi oleh sumbu x, garis 1 dan garis x = 4 seperti Gambar di bawah sebagai berikut berikut: Jika bidang yang diarsir tersebut diputar sekeliling sumbu x , volumenya dapat dihitung dengan integral sbb: 1. Mencari persamaan garis 1 yang melalui titik (0,0) dan titik (4,2) dan hasilnya adalah: 1 = 1 / 2 x 2. Membuat pita wakil tegak lurus sumbu putar dan persegi panjang yang didekati pita itu. 3. Menghitung volume benda putar dengan rumus
42 Integral Untuk Menentukan Momen Inseria Suatu Benda Putar Momen inersia adalah ukuran kelembaman suatu benda untuk berotasi terhadap porosnya. Besaran ini adalah analog rotasi daripada massa. Momen inersia berperan dalam dinamika rotasi seperti massa dalam dinamika dasar, dan menentukan hubungan antara momentum sudut dan kecepatan sudut, momen gaya dan percepatan sudut, dan beberapa besaran lain. Momen inersia suatu benda yang terbentuk dari perputaran suatu bidang sekeliling garis L pada bidangnya didapatkan dengan cara sebagai berikut: 1. Membuat sketsa bidangnya dan pita yang sejajar garis L sebagai sumbu putar. 2. Dibentuk hasil kali volume yang terbentuk oleh perputaran pita sekeliling sumbu putar dan kuadrat jarak titik berat pita dari sumbu putar. 3. Menghitung momen inersia suatu benda putar tersebut dengan integral.
43 Daftar Pustaka Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning. Halaman 369-397. Larson, R., Edwards, B., & Hostetler, R. (2013). Calculus of a Single Variable. Cengage Learning. Halaman 520-523 Baisuni, Hasyim, 2011, Kalkulus, UI-Press: Jakarta. J, Purcell Edwin, Dale Varberg, 1987, Kalkulus dan Geometri Analitis, Erlangga: Jakarta Leithold, Louis, 1976, The Calculus With Analytic Geometry Third Editin, New York: Harper & Row University of Southern California. Mizrahi, A. And Sullivan, 1982, Calculus and Analytic Geometry, Wadsworth. R. Courant, 1950, Differential and Integral Calculus New York: Interscience Publishers, Inc. Thomas, George. B, Ross L. Finney, 1998, Calculus and Analytic Geometry 9th Edition, Massachasetts Institute of Technology: Addison-Wesley Publishing Company. Stewart J., 1999, Calculus, 4th edition, Brooks/Cole Pub. Comp. Frank Ayres. 1985. Kalkulus. Halaman 23. Jakarta: Erlangga K.S. Stroud dan Erwin Sucipto. 1989. Matematika Untuk Teknik. halaman 220). Jakarta: Erlangga. K.S. Stroud dan Erwin Sucipto. 1989 Matematika Untuk Teknik. halaman 330). Jakarta: Erlangga. Leithoid, Louis. 1988. Kalkulus Dan Ilmu Ukur Analitik. halaman 183. Jakarta: Erlangga Thomas, George B. 2017.Kalkulus Thomas Edisi Ketiga Belas Jilid I. Jakarta: Penerbit Erlangga Novanana, Sinta. 2019. Kalukulus Untuk Teknik Elektro. edisi pertama. Yogyakarta: Penerbit DEEPUBLISH Nursiyono, Joko Ade . 2014 . Kalkulus Dasar edisi pertama. Bogor: Penerbit IN MEDIA. https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/integral-tak-tentu/ https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/integraltentu/#:~:text=Integral%20tentu%20(defi nite%20integral)%20adalah,dari%20fungsi%2 0yang%20telah%20diintegralkan https://www.statmat.net/integral-substitusi/ https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/integralparsialmatematikag12/#:~:text=Integral% 20parsial%20adalah%20teknik%20pengintegralan,yang%20sa%20namun%20berbeda%20fungsi https://byjus.com/maths/partial-fractions/ https://www.konsep-matematika.com/2016/03/volume-benda-putarmenggunakan-integral.html https://jagostat.com/kalkulus1/menghitung-volume-benda-putar-denganmetode-kulit-tabung https://idschool.net/sma/rumus-volume-benda-putar/ https://learnwithalice.wordpress.com/2012/08/05/integral-iii-menghitungvolume-benda-putar/ https://yos3prens.wordpress.com/2013/08/27/aplikasi-integralmenentukan-volume-dengan-metodekulit-tabung http://lisani.staff.unja.ac.id/wpcontent/uploads/sites/155/2019/05/3.1.IntegralFungsiTrigonometri.pdf √ Fungsi Rasional: Pengertian, Rumus, Grafik, dan Contoh Soal [LENGKAP] ... (saintif.com) Fungsi rasional - Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas Fungsi Rasional |MatematikaKelasXLatiseducation https://www.academia.edu/33840408/MAKALAH_MATEMATIKA_INTEGRAL_Disusun_oleh_PO LI TEKNIK_DHARMA_PATRIA_KEBUMEN_2017 https://jagostat.com/bahas-soalmatematika/contoh-soal-dan-pembahasan-integral-fungsi- rasional