เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

เรขาคณิตวิเคราะห์และ ภาคตัดกรวย Hello. My Student. นางกิ่งดาว บัวรัตนกาญจน์

01 TITLE กำหนดไฮเพอร์โบลา 16 2− 9 2 + 128 + 18 + 103 = 0 ให้ เป็นโฟกัสที่อยู่ในจตุภาคที่ 2 และให้ เป็นจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลานี้ สมการ ของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด และโฟกัสอยู่ที่จุด คือข้อใด 1. ( + 4) 2 = −12( − 1) 2. ( + 4) 2= −20( − 1) 3. (y − 1) 2= −12( + 4) 4. (y − 1) 2= −16( + 4) 5. (y − 1) 2= −20( + 4) วิชาสามัญ คณิตศาสตร์1(เม.ย. 64)

วิธีทำ 16 2− 9 2 + 128 + 18 + 103 = 0 (16 2 + 128) + (−9 2 + 18) = −103 16( 2 + 8) − 9( 2− 2) = −103 16( 2 + 8 + 16) − 9( 2− 2 + 1) = −103 + 16(16) − 9(1) 16( + 4) 2− 9( − 1) 2 = 144 (+4) 2 9 − −1 2 16 = 1 เป็นไฮเพอร์โบลาแนวนอน ที่มีจุดศูนย์กลาง (−4, 1) และระยะโฟกัส = 9 + 16= 5 ดังนั้น จุดโฟกัสคือ (−4 ± 5, 1) = (1, 1) และ (−9, 1) → โฟกัสใน 2 คือ (−9, 1)

นั่นคือโจทย์ถามพาราโบลาที่มีจุดยอด (ℎ, ) = (−4, 1) และ โฟกัส (−9, 1) จุดยอดกับโฟกัสมีพิกัด เท่ากัน และโฟกัสมีพิกัด น้อยกว่า → เป็น พาราโบลาเปิดซ้าย = −4 − (−9) = 5 แทนในรูปสมการพาราเปิดซ้าย ( − ) 2= −4( − ℎ) ( − 1) 2= −4(5)( − (−4)) ( − 1) 2= −20( + 4)

เฉลย กำหนดไฮเพอร์โบลา 16 2− 9 2 + 128 + 18 + 103 = 0 ให้ เป็นโฟกัสที่อยู่ในจตุภาคที่ 2 และให้ เป็นจุดศูนย์กลางของ ไฮเพอร์โบลานี้ สมการของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด และโฟกัสอยู่ ที่จุด คือข้อใด 1. ( + 4) 2 = −12( − 1) 2. ( + 4) 2= −20( − 1) 3. (y − 1) 2= −12( + 4) 4. (y − 1) 2= −16( + 4) 5. (y − 1) 2= −20( + 4)

02 TITLE กำหนดให้ วงรี E และไฮเพอร์โบลา H มีโฟกัสร่วมกัน คือ (0, 0) และ (6, 0) และระยะทางระหว่าง จุดตัด ใดๆ ของ E และ H กับจุดโฟกัสทั้งสอง คือ 6 หน่วย และ 2 หน่วย สมการของวงรี และสมการของ ไฮเพอร์โบลา ตามลำดับ คือข้อใดต่อไปนี้ 1. (−3) 2 16 + 2 7 = 1 และ (−3) 2 5 + 2 4 = 1 2. (−3) 2 16 + 2 7 = 1 และ (−3) 2 4 + 2 5 = 1 3. (−3) 2 7 + 2 16 = 1 และ (−3) 2 4 + 2 5 = 1 4. (−3) 2 5 + 2 4 = 1 และ (−3) 2 7 + 2 16 = 1 5. (−3) 2 4 + 2 5 = 1 และ (−3) 2 7 + 2 16 = 1 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ 1 (มี.ค. 63)

วิธีทำ จุดศูนย์กลางของทั้ง 2 กราฟ จะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัส จะได้จุดศูนย์กลาง (ℎ, ) = ( 0+6 2 ,0) = (3,0) และจะได้ระยะโฟกัสจาก (3,0) ไป (0,0) คือ = 3 - 0 = 3 โจทย์กำหนดให้ระยะทางจากจุดตัด ไปยังจุดโฟกัส 6 หน่วย และ 2 หน่วย → จากสมบัติของวงรี จะได้ความยาวแกนเอก = 6 + 2 = 8 ดังนั้น = 8 2 = 4 จะได้ = 2 − 2= 4 2 − 3 2= 7 แทนในสมการวงรีแนวนอน (−ℎ) 2 2 + (−) 2 2 = 1 จะได้สมการคือ (−3) 2 16 + 2 7 = 1

→ จากสมบัติของไฮเพอร์โบลา จะได้ความยาวแกนตามขวาง = 6 − 2 = 4 ดังนั้น = 4 2 = 2 จะได้ = 2 − 2= 3 2 − 2 2= 5 แทนในสมการไฮเพอร์โบลาแนวนอน (−ℎ) 2 2 + (−) 2 2 = 1 จะได้สมการคือ (−3) 2 4 + 2 5 = 1

” “ เฉลย กำหนดให้ วงรี E และไฮเพอร์โบลา H มีโฟกัสร่วมกัน คือ (0, 0) และ (6, 0) และระยะทาง ระหว่าง จุดตัดใดๆ ของ E และ H กับจุดโฟกัสทั้งสอง คือ 6 หน่วย และ 2 หน่วย สมการของ วงรี และสมการของไฮเพอร์โบลา ตามลำดับ คือข้อใดต่อไปนี้ 1. (−3) 2 16 + 2 7 = 1 และ (−3) 2 5 + 2 4 = 1 2. (−3) 2 16 + 2 7 = 1 และ (−3) 2 4 + 2 5 = 1 3. (−3) 2 7 + 2 16 = 1 และ (−3) 2 4 + 2 5 = 1 4. (−3) 2 5 + 2 4 = 1 และ (−3) 2 7 + 2 16 = 1 5. (−3) 2 4 + 2 5 = 1 และ (−3) 2 7 + 2 16 = 1

03 TITLE ถ้าพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของพาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (0, −9) และแกน มีค่าเท่ากับ 9 ตารางหน่วย แล้ว สมการพาราโบลาคือ ข้อใดต่อไปนี้ 1. = 2− 9 2. = 2 2− 9 3. = 4 2− 9 4. = 8 2− 9 5. = 16 2− 9 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ 1 (มี.ค. 63)

วิธีทำ พาราโบลาที่มีจุดยอด (ℎ,) = (0,-9) และสามารถปิดล้อมพื้นที่กับแกน ได้ จะเป็น พาราโบลาหงายดังรูป → แทนค่า ℎ, ในรูปสมการ = ( − ℎ) 2+ ; > 0 = ( − 0) 2+(−9) = 2 − 9 …(*) หาพื้นที่ที่ปิดล้อมกับแกน x ต้องอินทิเกรตในช่วงที่กราฟตัดแกน x หาจุดตัดแกน x โดยแทน = 0 จะได้ 0 = 2 − 9 9 = 2 ± 3 = → ต้องอินทิเกรตตั้งแต่ - 3 ถึง 3 . (0,-9) ผลลัพธ์ของการค านวณแบบอินทิเกรต (Integration) คือการค านวณ ฟังก์ชัน โดยทั่วๆไป เช่นการค านวณหาพื้นที่ใต้กราฟ หรือ หาแรงกระท าต่อวัตถุ

จะได้ − 3 3 2 − 9 = 3 3 − 9 = 3 3 3 − 9 3 3 − ( 3 − 3 3 − 9 − 3 3 ) = 9 − 27 − (− 9 + 9 ) = − 36 โจทย์ให้พื้นที่ = 9 ตารางหน่วย ดังนั้น − 36 = 9 4 = 16 = a แทนใน (∗) จะได้สมการพาราโบลาคือ = 16 2− 9 3 − 3

เฉลย ถ้าพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของพาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (0, −9) และแกน x มีค่าเท่ากับ 9 ตารางหน่วย แล้ว สมการพาราโบลาคือ ข้อใดต่อไปนี้ 1. = 2− 9 2. = 2 2− 9 3. = 4 2− 9 4. = 8 2− 9 5. = 16 2− 9

04 TITLE ให้ P เป็นจุดบนวงรี ซึ่งมีโฟกัสอยู่ที่ 1 (0, −2) และ 2 (0, 2) ถ้า P1 = 7 และ P2 = 3 แล้ว สมการวงรีคือข้อใดต่อไปนี้ 1. 2 21 + 2 25 = 1 2. 2 25 + 2 21 = 1 3. 2 13 + 2 9 = 1 4. 2 5 + 2 9 = 1 5. 2 9 + 2 5 = 1 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ 1(มี.ค. 62)

วิธีทำ จากสมบัติของวงรี ผลบวกระยะจากจุดบนวงรีไปยังโฟกัสทั้งสอง = ความยาวแกนเอก = 2a P1 + P2 = 2a 7 + 3 = 2a 5 = a จุดโฟกัส 1(0, −2) และ 2(0, 2) เรียวตัวในแนวตั้ง → เป็นวงรีแนวตั้ง จุดศูนย์กลาง จะอยู่ตรงกลางระหว่างจุดโฟกัส จะได้จุดศูนย์กลาง (h, k) คือ ( 0+0 2 , −2+2 2 )= (0, 0) ซึ่งจะวาดได้ดังรูป จะได้ระยะโฟกัส c = 2 → แทนในสูตร = 2 − 2 2 = 5 2 − 2 4 = 25 − 2 2 = 21 . . 2 5

แทนในสมการวงรีแนวตั้ง (−ℎ) 2 2 + (−) 2 2 = 1 จะได้สมการวงรีคือ (−0) 2 21 + (−0) 2 5 2 = 1 2 21 + 2 25 = 1

เฉลย ให้ P เป็นจุดบนวงรี ซึ่งมีโฟกัสอยู่ที่ 1 (0, −2) และ 2 (0, 2) ถ้า P1 = 7 และ P2 = 3 แล้ว สมการวงรีคือข้อใดต่อไปนี้ 1. 2 21 + 2 25 = 1 2. 2 25 + 2 21 = 1 3. 2 13 + 2 9 = 1 4. 2 5 + 2 9 = 1 5. 2 9 + 2 5 = 1

TITLE05 วงรีรูปหนึ่งมีโฟกัสอยู่ที่ 1 (2, 1) และ 2 (2, 9) ถ้า P เป็นจุดบนวงรีโดยที่ P1 + P2 = 10 แล้ว ความเยื้องศูนย์กลางของวงรีมีค่าเท่ากับเท่าใด วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 58)

จากสมบัติวงรี จะได้ P1 + P2 = 2a ดังนั้น 2a = 10 → a = 5 จากพิกัด 1 (2, 1) และ 2 (2, 9) จะได้ 12 = 9 – 1 = 8 จาก 12 = 2c ดังนั้น 2c = 8 → c = 4 ดังนั้น ความเยื้องศูนย์กลาง = = 4 5 = 0.8 วิธีทำ

THANK YOU