เอกสารการเรียน expo + log

เอกสารการเรยี น
expo + log

วิชาคณิตศาสตรเ พ่ิมเติม

นางสาวนภสร ใจเออ้ื ม.5/3 เลขท่ี 29

เอกสารประกอบการเรยี นออนไลน์ เรอ่ื ง การหารากทส่ี องในรูป a 2 b หรอื x 2 y

พจิ ารณาการกระจาย 5 3 2 (น + = +2 นล +

l 5 t 3) 2 = โ โ f52 + 2 5. 2

3+

= 5 t 2 5.3 + 3

= (5 + 3) + 2 53

\T

= 8 t 2 53

นะ
8 t 2 15

ตัวอย่างท่ี 1 จงหารากทส่ี องของ 7 2 10 (คาตอบจะมสี องคา่ ) a± 2โ
^✗
5+2 5 xty xxy

โ5 + CF ± f) 2

± 5+ 2 เ นราก บวก

เ น2)(5= - ลบ
+ ราก

ตวั อย่างท่ี 2 จงหารากที่สองของ 10 2 21 (คาตอบจะมสี องคา่ )

LX

7 t3 7 ✗3

โ โ= 7 + เ นราก บวก = f- 0

3

เ นร F)(= ลบ
-
7+ ราก

± ( ร7- F) } อมาก ห า

มาก - อย ⑦= อห ง อย
น ร7- ร๐
,

้น้นู่ยัล้นู่ย็ป่ีท็ป่ีท็ป่ีท็ป่ีท้ล้นำล

ตวั อย่างที่ 3 จงหาคา่ ของ 10 84 (คาตอบจะมีคา่ เดยี ว)

โนa ± 2 → T 4×21

= 2^

2×2

10 โFF = 10 4×21

โ=

10-221

/\ /\

7t3 7×3

7 3=
-

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาคา่ ของ 5 21 (คาตอบจะมคี ่าเดยี ว)

2• 5 t 21

=

5 t 21 2

=

10 t 2 21

2
= 7t 3

ตัวอยา่ งที่ 5 จงหาค่าของ 17 6 8 (คาตอบจะมคี า่ เดียว)
/\
2 ×3

= 17-6 8 = 17 2- × 3 8

= 17 2- 22

^ ^

9t8 9✗ 8

q 8=
-

แบบฝกึ หัด เรือ่ ง การหารากท่ีสองของจานวนทอ่ี ยใู่ นรปู x 2 y

1. จงหาค่าของ 17 2 72 = 9 8 29 8
2. จงหาคา่ ของ 4 2 3
=98

= 3 22

= 3 t 1- 2 3- 1

= C3- 1) 2

= ± (3 - 1)

3. จงหาค่าของ 12 6 3 = 12 t 2 33.3
= 9 t 3+2 9.3
= 9+3
= 3t 3

4. จงหารากทีส่ อง 11 2 24
เน่อื งจาก 11 2 24 = 8 3 2 8 3
= ( 8 3)2
= (2 2 3)2
รากท่ีสองของ 11 2 24 คือ (2 2 3)

5. จงหาค่าของ 4 15

22- (4 + 15) 2
2
= 8t2 5
2

= 5 t 3 t 2 53
= 3t 5

✗

2

= 10 + 6

2

6. จงหารากที่สองของ 4 5 17 4 15 ± ( 3 + 1)

4t 5 + 17 2- 15.2.2

= 4t 5t 12 t 5- 2 1 25

= 4t 5 t 12 - 5

③= 4 + 2

¥

หาราก 2 ของ 4 +2J

3 + 1 + 2 3.1 = 4 +2 3
4t 2 3
( 3t 2

1) =

ราก 2 ± ( 3 t 1)

7. จงหาค่าของ 3 3 8 7 4 3

- 3 t 3 t 8 7+2 12

=

i 3 + 3 t 8 ( 4 tr 3)

= 3- t 3 +16 t 8.3

ฺ

= t 19 t 2 48

3-
.

= - 3 + . 16 t 3

4 3= t t
3-
.

=4

=2

ท่ีท่ี

รทู ไมร่ ูจ้ บ เราสามารถใชห้ ลกั การของสมการ เพ่อื หาค่าของจานวนตดิ รทู ไม่รจู้ บได้

เชน่ 2 2 2 2... หรือ 1 1 1 1 ...

ตัวอยา่ ง จงหาคา่ ของ 3 3 3 3...

22

( 3 ✗ ) ✗_

2

3✗ = ✗

2 0=

× ✗3-

✗ ( X - 3) 0=

✗=

ตัวอยา่ ง จงหาค่าของ 6 6 6 6 ...

2 =✗

( 6 tx )

6 t✗ 2

=✗

× 2.x -6 0=

( X - 3) ( Xt 2) 0=
✗
า'

=-

,

Tltlggyตัวอย่าง จงหาค่าของ 11 6 X=
6

1 ...

f1 + =X

1t 6 ✗ =0
✗
_

2 =0

Xt 6- X

✗ -0

2 =0

✗ t 6- ✗

× 2- ✗ -6 0=

( Xt 2) ( /\ - 3) 0=

E า✗ = ,

ย้ง้งุ๋

กแบบ ด

1. 2 yt 2 t y3- 2 = 4 yt 5

g)3-2 22
y(ร 2 +2 + y= ( 4 + 5)

CA + 2 = + 2A Bt 132

B)

2 +2 12 + 2) • ( 3- 2 ) T 3- 2
Yt y y y y= 2
= 4 +5

y= 5 t 2 64-4 + 6- 4 y= 4 +5

y y 16= 5 + 2 2 -4 y= 4 +5

2

ง yyยก 2 = 2 -4 +6 = 4

ใ -2 หา ร y2 -8 +6 = 0
=
" 0

y y4 - -3

y lyC 4 + 3) - 1) = 0

y = -34,1

้ชุ้หุ้ทัลำกุ้ห้กัหึฝ

แบบฝึกหดั การแก้สมการทอ่ี ย่ใู นรปู กรณฑ์

M1. ( 2y 2 3 2y 4y 5 ) 2
น.
ยกกาลงั สองท้งั สองข้าง
/2y /2 /3 2/y 2 2y 2 3 2y 4y /5

2 2y 2 3 2y 4y

lnery2y 2 3 2yM2y i

(2y 2)(3 2y) 4y2
6y 4y2 6 4y 4y2

8y2 2y 6 0

4 y2 y 3 0 12 หาร ตลอด 1
(4y 3)(y 1) 0

✓✗

y 1, 3

ตรวจคาตอบ แล้ว เซตคาตอบคอื 1

2. x2 6x 1 6 x2 6x 5

=x2 6x 1 6 x2 6x 1 6

ให้ x2 6x 1 y จะได้
- y 6i

1My 6

ry 36 12 y 6 /y 6

12 y 6 30 ฐร 4

(2 y 2 C5 ) 2 6) = 25

6)

4y 24 25

y 49
4

มุ

แทนคา่ y หาคา่ x x2 6x 1 49
4

4x2 24x 4 49

4x2 24x 45 0
÷(2x 3)(2x 15)
0

x 3 , 15
2 2

ตรวจคาตอบ แลว้ เซตคาตอบคอื {23 , 215}

3. จงหาเซตคาตอบของสมการ 3x 2 2 3x 1 3x 10 6 3x 1 14

ใ / 3×+1 = a
.

2 2

8 3 ✗ + 1) = a

ดป 3 Xt 1 = -1
3✗ = -1 แ 0+64 = 14

-1+2+2 at

+2 at 1 + +6 at 9 = 14

(6 + 1) 2 t ( G + 3) 2 = 14

Gt 1 + 0+-3 = 14

2a + 4 = 14
= 10
2a =5

a

ตรวจ ตอบ

✗ =8j 3 (8) t 2+2 3 (8) t 1 t 3 (8) +10+6 3 (8) t 1

26 t 2 25 t 34 +6 25 = 1 4

26 * 10 t 34 t 30 = 14
+8 = 14
6

14 = 14 /

• ตอบ ของสมการ { 8}

เซต
..

ำคำค้ย้ผ้ผ้ผูรัจ้ห้ผ้ห

fcx ) = y

= ①②

= อF

ง นเ ม o <a < 1 a >1

(G) ×

-

ง นลด

0

_

* ฟงั กช์ นั เอกซโ์ พเนนเชยี ลเปน็ ฟังก์ชนั 1-1 จาก ไปท่ัวถงึ + โดยสมบตั ิของฟังกช์ นั 1-1 จะ
ไดว้ า่ = กต็ ่อเมือ่ =

ซึง่ เราจะนาสมบตั นิ ไ้ี ปชว่ ยในการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชยี ลต่อไป

ัช์กัฟ่ิพัช์กัฟ

แบบฝกึ หัด

✗ × × ✓
✗
= ✓
✓ ( ;)ำ= 13
✓
✗ y #= = "
✓
✓ =✗
✓
✓ (= |× × ×
= (3) ✗
✗ 4=
✓ = a #1
✓
= F.) × ✗
✓
= 1÷:) ✗ X
✓
× ✓

µ= jxy = "

" =3

=5

ว๋ํ

a >1 ง นลด 0 < a 11

✓ ✗ ×

✓ ✓ =2
✗
✓ (E)(E) ✗ × ✗-
✗ ✗
== ำ= ( 2
✗ ✓
( :) ×
X ✗
=
f ลด
fเ ม

b < a < dcc b< a d <o

ตอบ

_

4. ถ้า ( ) = 2− และ ( ) = 3 แลว้ จงหาค่า

1. (2) = [2 1 2. (3) = 33 = 27
=
_

4

3. (0) + (0) = 1 + 1 = 2

4. (4) − (4) = #81 - 1 2 96 -1 = 1 2 95

=

1 6 16

±5. (1) ∙ (1) = §✗ 3 =

6. (3) = น÷ 9 = ¥=
(2)
×

fcg7. ( ๐ )(1) = (1) ) = fc า =3

่วุ่ภู่ร่ิพัช์กัฟ

8. ( ๐ )(1) = gcfc 1)) = 9 (E)

=3 ± =3

5. จงหาเซตคาตอบของสมการหรืออสมการต่อไปนี้ 2. 3 = 1 {-3 } *
1. 10 = 100 { 2 } * 27

3. 16 = 4 { า} 4. (12) = 16 { -4 }*

*

5. 4− = 1 { 3} * 6. (21)2 = 64 { -3 } *
64

7. (23) = 81 8. 5 ≤ 125
64

✗ 34 × 3

(G) = 26 5 <5

= " X G3

2 { 3}

3- 4

× % เซต ตอบ อ

=

{ -4 }

9. (41)2 < 64 f ลด 10. 27 < (53) ≤ 1 fเม
125
4-2✗ < 43 °
3 G) ×
< (g)
( ;) <

- 2× >3 P(- < (5-3)* < °

x< (g)

C- อา E) 3- < XG 0

C-3,0 ]

%-

ู๊ญุง่ิพืคำค

สมการและอสมการเอกซโ์ พเนนเชียล
1. สมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล

ำ2 2) 23

2=

2✗ t 4 = 3 ✗ -6

✗ = 10

ตวั อยา่ ง จงแก้สมการ

¥ 5- t 2 X X= I

2 =4 7

¥ 2

2 = (2)

X = -10 t 4\/

z

X = -20 + 8 ✗

7✗ = 20

ตวั อยา่ ง จงแก้สมการ 22x 1 17(2x) 8 0

22 ำ✗ ำ =0
= 2• - 17 ( 2 +8 ✗ "

±2 = =2

ำ= 2 . ( 2 2- × +8 =0

1 7 12 )

ใะ × X = -1

2 =a

2A 2- 17Gt 8 =0 23✗

2
= 8=

( za - 1) ( a- 8) = 0

ฐa = 8 X =3

,

ศ้ห๊ิญ์ิ

แบบฝึ กหดั

1. ถา้ 4 − = 128 และ 32 + = 81 แลว้ คา่ ของ เทา่ กบั เทา่ ใด

ำจาก c 2 Y× - ะ

2=

Y2 ✗ 2- =7 ①

32× + Y = 34

Y2 ✗ t =4

②① - i y y2 ✗ 2- =3
2 ✗- -

y3- =3
y
= -1

2. ให้ a และ b เป็นจานวนจรงิ โดยท่ี a › 0 และob › 1 ถา้ ab ba และ b ab3a
- -

แลว้ 20a + 14b เทา่ กบั เทา่ ใด b 2- 4 b 0=

ab = b " bcb - 4) = 0

ba = " b= I

b bb-a ; " "

าแทน - . b20A°

••t 14

b b' "" ( % µ× t 14 (4)
=

4 G- 1 = 1 = 10 t 56
=แ
4A =2

{a =

แทน a {=

ab b bจาก
b2 =

==

T

b =2 b

b b2 4
=

๋ว่คุ๋ย⃝?

3. จงแกส้ มการ 2 +2 = 5 − 1

(22)

× E 1 =๐ ( I )× "

4. 2 - 5 (2) t 2

=

ใ =a × 2- 4

2 =

ฤ[ 2 2 x = -4
2
=a × 12 °
✗ 21= =
2 2
2
a=

=

4 -5Gt 1 =0 ✗ =0
( 4a- 1) [ G- 1) 0=

a = 14,1

4. จงแกส้ มการ 5 −3 + 52− = 6
5

✗ • -3 2 " _ 6 =0
g =0
5 5t 5+ 5 6

X5j × 5-2 + 53 + 5-×
-
5•

ำ× 5 2× =0

;× 25 C 5 ำ t 125 - 6.5

25

( 5 ำ 2- 150 ะ 5×+3125 = 0

× - 150Gt 3 1 25 0=

a= 5 ;

( G- 2 5) ( G- 12 5) = 0

G = 25,125

× × 125

5 = 25 5=
X =2
✗ =3

้ห้ห๋ัห้ห

5. จงแกส้ มการ 23 +1 − 17(22 ) + 2 +3 = 0

ำ2. 12 3 2 × =0

- 17C 2 t 8. 2

× (2)ำ2 C 2
2- 17 • +8 = 0
2 ÷ ตลอด ;

ใ✗ =0
ะ =a

2A 2- 17 a + 8

( 2 G- 1) ( G- 8) =0

a = 1,8

✗" 23✗

2
±2 = =2 = 8=

✗ = -1 X =3

6.

0

2. a-" × =๐ ×

3. 3 + a - 244 }q = =

× 81 - 244 =0
q×
3. 9 t 32 ✗ j1
oi = a =
ใ

3Gt 81 - 244 = 0 × = -1
a
× G ตลอด ; 3 z
- 244 + s , = ๐
92×

9 = 81 =

( 3 a- 1) ( a- 8 1) = 0 x =2

G= , 81

๔| | || d
24
1- 1

_ _

2

ู้ร้ผ้ห๋ํง้หุว

2. อสมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล เค องหมายเป ยน
1

1. ( 2 1)x (3 2 2)x 2 f ลด

(เ 2 ✗ × t2

- 1) < C 2 + 1 - 2 ✓ 2)

8× [< c ]2 × +2

2 - 1) _ 1)

✗ 7 2 \/ t 4

×- 24

X f -4 ร 8- อ g- 4)

9x 8 " -4

2. 22 x 1 81 f เ ม 1 ÷1 ( =3 )

32✗ > 8 2✗ -4

22 × > 81 ✗ -2
2•
24 ตอบ C- 2 , ☒ )
"
_ มา
(3)
น _ 34

"4

( I ) > (E)

่ิพ่ีล่ืร

3. ×- -5

f ,
ลด

5 X 2- 23 ✗ t 3 X- -5

5 ✗ 2- 22 ✗ + 8 0
0
(5 × -2) ( X - 4)

๔เ | เ2
2
1 4
5
4 •
•

3 35ำ ✗
3.
p

4.

-

0

32C Xt 5) × +5
-
4 (3) (3) t 27 \0

[ 3×+5 ] 2 × +5 E0
-
12 (3) + 27 I0

✗ +5

a= 3

- 12A + 27 t t-

( a- 3) ( a- 9) g | ร

G0 4- 3-

G = 3,9 3×+5 = 32 ••

3×+5 = 3 [ ]4 -3
,

✗ = -4 × = -3

ผ้

y= ✗ ✗
y=
a y=a

" "

a } =a

3=a "

5=

5 =a

ง✗ ×

ะ y =3 y 5. =

..

•

y= y= 3

= 8=

(E)2 = -3 a- 3

I =a (E) =
✗
i. y = (E) ± =a

y (1). ×

.. =

้หัผ้ห๋ผ้ผ๋ย

× (ก) น 5×+3

5 ×"

gx -3 45 _

② ④

• ⑤

• C 0,1 )

①

③



ฟงั กช์ นั ลอการทิ ึม (Logarithmic function)

ฟงั กช์ นั ลอการทิ ึมจะเปน็ ผกผนั (inverse) ของฟงั กช์ ันเอกซ์โพเนนเชียล จากนิยามของฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียล
คอื

{( , ) ∈ × +| = , > 0, ≠ 1} → txpo

เนอื่ งจากฟังกช์ นั ลอการิทึมเป็นผกผนั ของฟงั ก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จึงได้นิยามของฟงั ก์ชันลอการทิ ึมคือ

{( , ) ∈ + × | = , > 0, ≠ 1} → Iog

แตเ่ นือ่ งจากการเขยี นเงื่อนไข = ไม่นยิ มเขียนจึงมีข้อตกลงกนั ว่า กาหนดให้
= ≡ = log (อ่านว่า วายเท่ากับล็อกเอ็กซฐ์ านเอ)

ดังนั้นเราจึงได้ นิยามของฟังก์ชันลอการิทมึ คือ
{( , ) ∈ + × | = log , > 0, ≠ 1}

กราฟของฟังกช์ ันลอการิทึม = log จะผา่ นจดุ (1,0) เสมอ ดงั รปู

/ """ yyheae แ
Log
µµ

เม

log

ข้อสังเกต จากกราฟ

1. กราฟของฟงั กช์ นั = log , > 0 และ ≠ 1 จะผา่ นจุด (1,0) เสมอเพราะวา่
log 1 = 0
2. ถ้า > 1 แลว้ = log เป็นฟงั ก์ชนั เพ่มิ

ถ้า 0 < < 1 แลว้ = log เป็นฟงั ก์ชนั ลด

พ่ิ

3. ฟงั กช์ ันลอการทิ มึ เป็นฟงั ก์ชัน 1-1 จาก + ไปถึง
4. โดยอาศัยสมบตั ขิ องฟังกช์ ัน 1-1 จะไดว้ ่า

log = log ก็ตอ่ เม่อื =
5. เน่ืองจาก = log กต็ อ่ เมือ่ =

เมื่อเราแทน ด้วย log ในสมการหลังจะได้ = log
เมื่อเราแทน ด้วย ในสมการแรกจะได้ y = log
เราจงึ มีสมบัติของลอการิทึมเพื่อใช้งานคือ

log =
log =

เป ยนฐาน log

ล่ี

logaY ✗

✗=a y→ - แบบฝึกหดั
_

|" =2

094

10 91 µ " = -2

/ 0g 48 =1

เ 2

µ น 1000 -2
=

hre 3'

)( I64 =

3327 =

"

4 = (E)

°

1 ะ 10

3 . จงหาคา่ ของลอการิทึมโดยใช้สมบตั ิ

1 / 09,3 ง }=

1=

=

0=

= logg ± {=

8

=✗

225= | 0g 5=

33 ำ= /Ogjz 35 = ] | 0g
-

=

= / 0g 72 1=
ๆ
= / 09,1/09,2 ำ = / 09,3

= / Ogi / 0g , ( / 09,2 ำ )

09,9= /0g / 22= /0g 1=

2

4.

= 109,3 ำ log

5.

10g= ( / 09,2 3) C / 0g 33 4) + /400 4- og 256

f ฐ:)| 0g= (3)(4) + 4

เออ เออ เออ เออ
/400 / /× 400 ✗ 400 ✗4/00

/ % 108= 12 t 0 = 12 + g = 20 //4 ✗ /4 × 4×4/

6.

09,62| [ |% %× 18 /
= / 0%36
=

=2

7.

0g [ || เ 28 [ 28 × |= เออ
✗ เ 325

๚

| 0g "

=1

แ

8.

09,322( | 0g 22 4) C | 0g 5 ำ - 32
g
( log 3 )( / 09,2 " ( 1 0933 3) +/

3

(G) 1g }= (4)C- 2) -
1- 3) t t
_

( 8)=- t 2 t1 =5

9. # /09 16 102 '% แ
. เอ
%เอ
=๐ แ

100 × 4 = 400 = 20

22/10. น og "

า=-

|0g 24 = | 0g =2

1

93 5log35 / 0g ba = 1

11. จงหาค่าของ logab

จารณา 1 = / 09g 3

/ 09,5

/ 09g" 3 3=

.. g

ทิพ้ึย๋ึ

12.

=/ ogz 30 + 109. ( =ำ ) - 109,1 }:P + | 09 ( ก

×1 | | |, 2 2
|± / 092 I [ }30 × × *3 ° × *× ✗ 5 # × 3/2 ✗ 32

×

วะ ÷ ÷× × / ✗16 × 6 ✗ แ #→

= / 0g 28 =3

13.

Ifo=1094 { 210g [ 109,22 = 2
, logz1 +- 4

= / 094 { 2109,3 }

42= | 0g = / 09,22 =

14.

¥ ¥ ##|= 09J 2 . เอง ะ
# i.
. .. =

10g แ

109 #/ 09 "
422 =

==
แ2

15.

1 = | 0g ba / ogab = ±

logab =2 | 0g abd = logab + /0g ad

/ Ogba i.= 3

1

109 ab =±

2

16. | 0g | 0g ± | 09,15 ± ) " ""
2 2
= ( 2ำ / Ogg 256 10g 232 / ogq 32

# =4 109g 256 |= 0g q / 09g 32
109,5109 5 2 56
= / 0924 2 25
| 0g 2 ญื2 56 | 0g 22 " = 4
= | 09 22 = 2 = | 0g มา =5
2
#2

. 2 + 4 5- = 1

..

ุ่วุ่ญุงุ่วูง

17.

/ ogdabc = / Ogaa + 109db + 109 / 0g dabc = 1g

น = # + # + 109 =2

1 50

= 1 # logcd
75

logdc = # - #-

น= 310 _5-_
๐

18.

เป ยน ฐาน

35✗ 32×2 33 Y= | 0g 3 = | 093 ✗ | 0g 4
. =
/ 092 10g 2 1093
ำ2 × 5 ✗ -3 ะ 0 1093

/ 094

( 2 ✗ - 1) CX t 3) = 0

-3 Y = / 093 1094 / 095 10g 10g|. 6. 0g 7. s

g✗ = , .• 10 95 / 0% 1097

/ 09 2 10 9 3 109 4

i. x {= 28T= / 09s = | 0g 23

1092

"3
µ tgi. ✗ =
#=

19.

0

" ร y = / ogax y2 ✗ "

=X = a r =

Y2 ✗ = r / ogyaร = 2✗ 092|2✗ =L "
r
29 = b b)

ร y = logzb X = tclogz b) "

่ีล่ัมัภัภ

20.

0

/" Ogzb/= 2 -4

Ogzb2. 2 2-

" - logzb = / ogzb -2
zb|= 2 0g
2

2 t2

ogzbำ /3. = 2%9 zb +4 /ogzb
"

+ 2.

" zb |= 4 /0g
= 2 ( 2 0g z b)
3. 2
= 2 (29+2)
a

3. 2

""

3. 2 -2.2 = 4

° =4

2

a =2

210g zbแทน า
a=2 4+2 =
,

3 = 10g zb

b238 = =

b 822

a+
2 28 +

=

= 68 #

ค่

แบบฝึ กทกั ษะ เรื่องสมบตั ขิ องลอการิทมึ

คำสงั่ จงแสดงวิธีทำ

1. จงหาค่าสาเรจ็ ของ log6 3 8 7 2 58 log6 3 8 7 2 58
log2 (log 3125) log2 (log 5)

/ 0g 3 1092 l ]| 0g 31 25

= C 8 โ7- 2 โ5 8) 18 โ7 + 2 ง =

เ Iogs
55ใน
63= / 0g = / Ogz ( / Ogg
312 5)
448 - 232

ogp/= 216 = 63 = / ogzllogg 5 ำ

0%6/= = / 09,5

=1

1 = / 09g 2

logzg

2. จงหาค่าสาเรจ็ ของ log 7 3 7 3 4 log 5 2 3 3 77 5400
4
23
ดป F- ร3 F + โ3
ปด (77+55400) = 50+27+22%7
4 ×
= ( Fo + ระ7) 2
Ft + ร3

7 3= - " +3 ร2) 2

= ( F + B) (=
5

4 (กก

| 0gF- + ร3 " 5 F- 3 โ3 × 5 โ2 t 3 โ3 50 - 27
5 ร2 t 3 โ3
i. C โ7 t F) 23 =

2 31 5 โ2 +3J

= -1 "

= ( 5T t 3 G)

: 4/09,5 ก+ 3 า- l 5 โ2 t 2

• 3 F)

= -8

C- 8)1) ( q•

••
+- = _

ูรัจูรัจํณ

729 log 138 จงหาค่า log3 A
ใน3.
จงหาค่าสาเรจ็ ของ A= 1 -log 0.0529 1
2 3
2 %gwc log 216

|= 0g 100 + | 0g 0.0529 A= 729 / 09 1 38
/ 09 1 38
/ 09= (100 × 0.23 × 6)
= | 0g 138 / 09,1729)

36

p
| §0g=
7 29 = =2

3

i1 09 ab = / ogga
log3 12 log3 972
4. จงหาค่าสาเรจ็ ของ log324 3 log4 3

/= 09 3 12 • / 09,324 - | 0g 9 72 • | 09,4
3

ง /= ( | 0g
+ |/ 0g 4) ( 09 32 4) - C / 09,3 t / 09 3 324) ( 093 4)
3 3

093321/-1/0934093/4= / 0g 324 + / 09,4 • /
3
- | 09,4 - /

[= | 0g , 334] = / 09,81 = | 0g 4=

วุหู่ว๋

10 /% 3 2
(5. จงหาค่าสาเรจ็ ของ
18

p

log16 216 log36108 log81 324

2 log2 9 2 log6 3 1 log3 6

= =

3- 16 _24 / og 318 = { { | 0g เ 108
09 2 109 3 18
4
2
/ 09,36 → 6
10g 62 + / 0g เ 3
,

¥10#

#•• 3g210 12 12 3+4 + 4 = ¥=
• ++

8

2 5 x3y2 logxy y
6. ถา้ logxy x 3 จงหาคา่ [ ๆogxylogxy 4 ylog xy 3 x

/ ogxxy = 9{ { × ÷

/ y

±±
×y

10g ✗ t logxy = Iogxyy ¥- IogxyYtf # logxyx
×
£= -1 ✗=
°

109 Y
×

±= ÷= 1- 1÷ ) (

/ 09 y X = 2 = - = 21 - 112

/ ogyxy = / ogyx + / ogyy 1 80

=3 yy•:/ 09 = jt
×

๊ืหู๋ฐ๋ัฐ๋ัวูวุว๋ํก

7. จงหาค่าสาเรจ็ ของ 128log3 2 7 25 12 3
4 log5 8 4 log7 8

17/09 7 25 → 23 412 | 09g 5 23 3/09 87 23
3 44/0925
2y 4 บน
28/09 25 8
/ 09 25 = 253 =g 4/09 27
2
39 0,625 =
15,625
= 22/09,7

2

=7

= 49

• 15,625 + 390,625 - 49

••

= 406,201 x3y2
z4
8. กาหนดให้ logxyz x 2 , logxyz xy 3 log xyz
3 4 จงหาค่า

10g/ 09 xyz × + Y =3 / Ogxyz ×9 = /09 xyzx + / 09 ×yzY + 109 xyi

xyz ¥

}- t | 09 xyz Y 2= / 091 = - +1 + ะ

4 } ฑํ๋_ xyz

1 09 xyz Y § }= 1 :/ 09 2 = 1 12+8 - 17
12
= • ×yz -
+ 2g £1 + = =1
4

2/091 09• Y - 4 109 xyz 2

•• xyz
3 × t

× yz

2) (E)( ) (}3ะ - 4
t2
-

= -2 t 17 1-

6

= -12 + 17 6-
6

}= -

วุทฺง๋

9. จงหาค่าสาเรจ็ ของ log 1 3 4096 log3{1621 log100 (1 log2 512)}
64

1 09 µ C 1 t / 0g 2512) 3 4096 × 4

{1 09 l 1 t a) = | 0g #
เออ
}
109,1 ¥ + 1)
/ 094-3 (4096 × 4)

| 0g 381 ะ 4 247- | 0g =

10. กาหนดให้ loga x 3 , log b x 3 , logc x 3 , logd x 3
2 4 5 8

จงหาค่า logx abcd logabc x

/ ogxa }= log b = logxc - g. logxd =
-
,×
,

logxabcd = Iogxa + logxb + logxc + /09 × d

§ i. § § £= +
1

+=

/ 09 abcx = 1 1

=

logxabc logxa + logxb + / ogxc

1

=

=

} }+ ±
3
+
-

§ # 209 t 9 218
: += =

• 3 3 33

้ักุ้งุ๋วุ๋สุ่ข

641 log4 5 81 log2 5
11. จงหาค่าสาเรจ็ ของ 271 log3 5 216 log6 5
81 " | 0g 35 " - / 0g 5
" ° 925 เ
27 • 27
/ 0945 8o = 21 6
"
= 64.64 " -3/09,5
3/09,5
3/09 45 " g • 23/09 25 =6
27 • g
ะ 64 o 4 = g-3
3
5-8 • 3 5-27 •

ง

6 4. 5

¥= 5-3 1 64 t 8) = 72 =

5%27 t 1) 28

2

12. จงหาค่าสาเรจ็ ของ 41 log16 25 81log2 27

271 log3 2 1 / 0932
4 " 2/09272
41 / 09 แ 25 27 ° 27
±3
4± • p 25 3/09 32
3/09 8
{ / °9 25 2 27 ° 3
± 27
4
4 4= .
28
ง / 09 3 27 × 8
=
3

= 4 e (5) ง

ำ(= 2 216

= 20

= 43 4 6.35

• 20 t 6.35 = 0.1 2

••

2 16

ลีปึ

ลอการิทึมสามญั (Common Logarithm)

og:/ " n
เอ =
.

/ 0g N → "

No × เอ

0 ☐

O

O

°

☐

ตัวอยา่ ง 1 จงหาค่าลอการิทมึ ตอ่ ไปนี้

1. log 5760 = | 0g (5.76 × 103) 2. log 0.00648 = 0g| c 6.48 ำ× 10

= / og 5.76 + 103 = / 0g 6.48 t 1

= 0.7604 + 3 0.8116 3-

1 09 5 7 60 = -
-

3. 76 04 | 0g 0.00648 = - 2. 1 8 84

ตวั อย่าง 2 กาหนดให้ log N = 3.7566 จงหาค่า N
µ"
| 0g N = 3. 75 66 10g/ 0g N = 5 7 10

= 0.7566 t 3 N = 5 710

= / 0g 5.71 t | 0g 103

= / 0g (5.71 × 103)

ตัวอย่าง 3 กาหนดให้ log N = -0.5918 จงหาค่า N

/ og N = -0.5918

= 0.4082 t (7)

= / 0g 2.56 + / 0g 1

อ๋อึ

/ 0g 36.2 | ำ0g= C 3.62 × 10

N = | 0g 3.62 + 1091

N ltyee = 0.5587 t 1

N = 1.5587

log N = 0.7566

ะ× = -15T Cnnhs 5710 0.75 แ = 571 อ

สาน anti /og

.. antilog เ ?=

จงหาค่าของ logx =2
=2
1= = 10 logi

±
iooofn= 1 ใ= 10
= 10 =

มอง X 102""3 × µ / ogfee 3

nne = 10 °9 ¥

=

= 100 × 3 = 300

log 3 tlog 5

= 10

= 10 log 3 × log 5

แ

3= ×5 = 15

A×

5) -

| 09 442 = 2. 6 4 54

/ 0g (44.2 × 101) ะ 2. 6 4 54

| 0g 44.2 + Iog 1 = 2. 6 4 54|

/ 0g 44.2 = 2.6454 1- = 1. 6 4 54

่ย่ัญ้ห๋ํอ้อ่อ๋อ่อ

6) รอนอน
?} ~ 27
ป logา log- 27 = ( 3 3/)

ด log 25
Iog 5 - log 4- logq

nnน|0g 15 0g|= C 45)
4

antilogc / 0g § ) 45.

..
4=

_

4

7) จงหาแอนตลิ อการิทมึ ของจานวนจริงในขอ้ ตอ่ ไปนี้

1. log 8 + log 2 – log 4

2. 2log x + log y – 3log z

วิธีทำ

ป1. จด / 0g 8 + / ogz - /g ¢ โ โ/2. 2 + logy -31
109 (84×2) = 1094
logx"+ logy - logi
: antilogclog 4) ะ 4 1091 ).

•

i. antilogclogfx! ) = "

✗y

3

z

ุ๋ฑูร๋ืหู๋ส๋ํหูรัจ

ลอกำรทิ มึ ธรรมชำติ (Natural Logarithm) log ฐาน e

นอกจากลอการทิ ึมสามัญทเ่ี ปน็ ทร่ี ูจ้ ักแล้ว ยังมีลอการทิ มึ อกี ฐานหนง่ึ ทีม่ ที ี่ใชแ้ ละมีประโยชน์

มากตอ่ การศกึ ษาในระดบั สงู โดยเฉพาะดา้ นสาขาวทิ ยาศาสตร์ คอื ลอการทิ มึ ทม่ี ฐี านเทา่ กบั
e (จานวนตรรกยะมีคา่ ประมาณ 2.71828) lnx = Ioge ×

เรยี กลอการิทมึ ฐาน e นว้ี ่า ลอการทิ มึ ธรรมชาติ หรือลอการิทึมแบบเนเปียร์(Napierian

logarithm) ในการเขยี นลอการทิ มึ ฐาน e นยิ มเขยี น ln x แทน logex
Ine = า
ตวั อยำ่ ง (1) ln e = /Ogee = 1

(2) ln 1 = lne /" = -1
e = -1 ne

(3) ln e2 = 2

(4) ln e = Ine ± = }

การหาคา่ ln x เมื่อ x เป็นจานวนจรงิ บวก หาได้โดยอาศยั ลอการทิ มึ สามัญ ดังน้ี

ln x = logex /
loge = 0.4343
log x

log oe
I= เป ยนฐาน 10

= log x | 0g 2.71 |= 0.4330
log 2.718 10g 2.718
= 0.4343

log x / 9°' ×
0.4343
pry_cot.IE= } 0g/ = 0.4346

2.72

= 2.3026 log x

ดงั น้ัน ln x = log x = 2.3026 log x

0.4343

ตวั อยำ่ ง จงหาค่าของ ln 728 ตวั อย่ำง จงหาค่าของ loge 0.163
วธิ ีทำ ln 728 = / Oge 728 วธิ ที ำ loge 0.163 = /0g e 0.163

= | 0g 728 10g= 0.163
Ioge
loge
10g }17.28 × 10
ำ0g/=
= ( 1.63 X 10

Ioge loge
= | 097.28 + | 0g 102
= / og 1.63 + / og 1
Ioge
Ioge
= 0.8621 t 2
= 0.2122 t c- 1)
0.4343
0.4343
= 6.59
-% ฏํ๋ -1.81=78

.mn =

ล๋ํฎ๋อ่ี

logax า; × > 0 เสมอ

Onno ยาม log

4 0" 2. o o
_
1. Lz 2

_

10 93 ( 0g/+ 8) = 6× ④310T92T[ ำ 1092C 2× )
,

✗ 2+8 = 6 × Iogz โน = / ogzc 2N

✗ 2- 6 ✗ +8 = 0 ( FI ) 2

l ✗ - 4) CX - 2) = 0 ( )2

✗= ์์ = 2×

2,4 3- ✗ = 4×2

ตรวจ ตอบ " }= 0 ✗=
=0
แทน เอา 4 × + ✗ -3 ,

(4×-3) cx + 1)

เลข ง

" 4. 0cg

3. 00 0

1093 1094 ° / ogzx | 0g 1✗ =. [ = 1)
( × + 1) = 2 = 1 2
( / ogzx ) 2=1
1094 CX t 1) = =3

Xt 1 = 43

Xt 1 = 64 :| 0g ✗ = ± 1
✗ = 63 2

1092 / 0% / ogy 64 / 092 × = 1 | / 0g , × 1= -

✗ = 2 =2 ✗ "

=2

±ะ

/ 09 ( §
,

่ง้หัลำก้ีชำคำค์ุภ์ุยึท้ขิน่ค

5. 6.
01093" ำ เ
ง✗ t1 = 10g logittC- 3 × ) = 10 )"

logg +

z

# ฐat= | 092 XD/C- 3✗) = 0g ( 2C 1-
,

3 ณตลอด ; 3 +3 = 10 a ✗2 2= 2

3 - 10Gt 3 = 0 - 3✗ -

( 3 a- 1) ( a- 3) = 0 2 /\ 2- 3 ✗ -2 = 0

6= 3 ( 2 ✗ + 1) ( ✗ - 2) = 0
✗=
ง% / 093 ✗ = , ✗
2
✗ =3 log ✗ =3 ,
3
✗ =3 โง ✗ = 33

✗ = 27

อมโ7. A = ±
|3
µ÷ ☐ง ¥B =
{AUB = %}

3 Iog

10 93 10932 ( X - 1) - 3 ( X - 1) = 1 ? 2
2-
( 1) ( 1)xt x-

109,1 logglx✗ - 1) 2- 3 = 1 /✗ + 1 X -1 + ☒ -1

- 1) 4 4=

-

/ og [ { ง | = 1 2- = -4 × -1

ะ, _l,ไ (-2( 1) 2 × -1) 2
= -=
×-า
1 = 4 ix. 1)

3 X -3 =1 1 = 4✗ -4
✗
§= 4✗ = 5

✗ =5

_

4

( ) ( )¥ /•ต 3 =5

. ..

ู๋ยู้ฐ่วุทุ๋สุ๋งุ๊ญ้อ๋วุ้ญุ่ว้ห้ยุคุ้ภุ่ญ

16
X =1

8. AT 1 y =4

ออ "" C) - [ xpo

µ→ว 0 im นะ

01 4

/ 0g " - 2ก/ oาgรzx 4= """ ¥ น☐¥ #
2 +2
zy = q.cz

109# 1--4 224. × × +2 =0
q_
ฺ 2.

( ) 2 24 4 - qat 2 =0
=
( 4 a- 1) Ca - 2) = 0

a = 14,2

2,2× [ า

y =4 2 =

✗ Ex = า
_
y = 4/\
,

HW yX สอดค อง บ สมการ
. ,

g)( ✗ + Y ✗- = และ
3

2 1 09 ixty ) yx= - หา า ำ×

C)1. cf ลด) จารณา ห ง / 0g

:[10g 1093C × + แ ] > / 0g / 093 [ ✗ + 1) >๐

Xt 1 °

>3 =1

/ Oggcx +1) < 2 ✗ >0

X t1 < 32

✗ <8

น๔ อ ไ

อ๔ 11 11 11 ร

( 0,8 )

ุ่อุ้บัลิพุ้ง่คุ้หัก้ลูง้หู้ภุ้ห

2. ๐
10 10

log [ Iogxn cg - logx ำ / ะ 1 / ogx ±

/ 0g ทาง 0g×) 71 X =

2

£

= 10

/(2- 2 9 / Ogx -10 20 0g| × = 2

Ogx ) + ✗= 102

| }ณ1- ตลอด ; - 9 / ogx + 10 < o
2 ( 0g ×

→ t - +
µ
clogx a) 2 - qa + เอ < o p
- 5) ( a- 2) 102
= .

C 2A <๐ ไ£ ำ

10

§a = • [ ]• เ, 1

, a=2 ab " £ #
= เอ
= 1

3. oLO-oTT.nl
0939
0

/ 093 (4×+137) < / 0939 + ำ/09 11 +2
3

\£ เ ม \|0(94×+137) < | 0 3g [ 9 C 1 t }|
3

2×+2× ×2

4 t 137 < q + g. วน 2 2•

82 ำ 2 + 137 < ×

9 t 36.2

( 2 ำ 2-36.2×+128 < 0

(2×-4) (2×-32) < 0

✗= 2 X 5=
,
+ - i.

00

ตอบ C 2 5)
,
2.mn

ุข๋ิห่ิพ๋ัอ๋ัอ้อ้หูค่อิห์ช

5. 0/ า อTา_ฤ
_
%

p0

=1 ✗ 2- 2 ✗ - 15 > 0

จาก (2 - 3) (2 + 13) 0

=1 8 X - 5) (1/-13) >

2 3เ- 2 + โ3

+-+

|แ

2- 3 = (2+0) " -3 5

/8 × 2-2 ✗ " /09,12 t 3) ๔0 0ร

-1 6) 0g 2 (2+0) <

C- × ำ 2×+16) µEE.lญa/ใoqc2+Yfg, .nlตอบ °- , - 3) U C 5,8 )

✗ 2- 2✗ -16 > -1

☐PAT 1 ปี 2563

-

-

% // 09,12 % ' °98 โง / dogx log2 2. / ogx - แ / 0g 2) 2=0
( 2× 4, = )+
2
ab เb 2
10g zc 2 i. czx ) "9×-4 " โ= ✗ +- =o

b) b)ca +3 ( a- 2 =o

/ 411+ แ °9 ° 98 2 ba =-3 a = zb
= /ogx = 2 1092

logx 1098 logx =-3 /0g 2 µ × = 1g22
( 2✗ ) 4
ใ ง( | 0g = 109× = / 092 % ✗=4

2 างาน 109 × 1098 {2 %
µ µแ × , 4 f- 2 3 ×-
-

=

094-22/ Ogx . / 0g 2 ✗ = | 0g 8. | ตอบ (E) {(4) = = อ5
.
=

Iogx . [ Iogz + | 0g x ] =3 / 0g 2.2 / 0g 2
e-

้ข้ัท่สู้ศ่ีท๋ับุ้ผ้ห้ดู๋ก