Nota Padat Math PT3 2020

SMK BANDAR TASIK SELATAN
JALAN 21/146, BANDAR TASIK SELATAN

57000 KUALA LUMPUR

NOTA PADAT
PANDUAN ULANGKAJI

MATEMATIK PT3

ANJURAN
PANITIA MATEMATIK
SMK BANDAR TASIK SELATAN

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 2

(A) PEMBUNDARAN
 nilai tempat, nilai digit, pembundaran

4 729 813 nilai tempat nilai digit pembundaran

sa / unit 3 puluh terdekat 4 729 810
puluh 10 ratus terdekat 4 729 800
ratus 800 ribu terdekat 4 730 000
ribu 9 000 puluh ribu terdekat 4 730 000
20 000 ratus ribu terdekat 4 700 000
puluh ribu 700 000 5 000 000
ratus ribu 4 000 000 juta terdekat

juta

(B) NOMBOR PERPULUHAN
 nilai tempat, nilai digit, pembundaran

5.7391 nilai tempat nilai digit pembundaran

persepuluh ribu 0.0001 3 tempat perpuluhan 5.739
perseribu 0.009 2 tempat perpuluhan 5.74
perseratus 0.03 1 tempat perpuluhan 5.7

persepuluh 0.7 nombor bulat 6
sa / unit 5

(C) PECAHAN (Ulangkaji) ~ kalkulator

 Pecahan wajar, pecahan tak wajar, nombor bercampur dan pecahan setara

Pecahan wajar, Pecahan setara Nombor bercampur  Pecahan tak wajar

= 2 = 1  pengangka 2 3 = 11
6 3  penyebut 44

25 1 11 susunan menaik 1 2 5 11
,, , 18 (dari kalkulator) ,,,

59 6 (0.61) 6 5 9 18

(0.40) (0.56) (0.17)

(D) INTEGER

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

integer negatif sifar integer positif
 50 m di bawah aras laut = 50  suhu meningkat 10C = + 10

(E) URUTAN & POLA NOMBOR

 Nombor berpola

Ganjil 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, . . .

Genap 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, . . .
Perdana 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, …

Gandaan gandaan 3  3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, . . .
gandaan 5  5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, . . .

kuasa dua 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, . . .
 Faktor, faktor perdana ~ kalkulator

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 3

Faktor Faktor perdana

45 = 1  45 2 156 bukan perdana
= 3  15 2 78 bukan perdana
= 59
3 39 bukan perdana
 faktor bagi 45 = 1, 3, 5, 9, 15, 45
13

 faktor perdana bagi 156 = 2, 3, 13

 GSTK (Gandaan Sepunya TerKecil), FSTB (Faktor Sepunya TerBesar), faktor sepunya, gandaan sepunya

FSTB = 8 8 16 40 FSTB = 6 6 18 24 36
6
25 33 4

GSTK = 8  2  5 = 80 21 4 2

 gandaan sepunya bagi 16 dan 40 12 1
= gandaan 80 GSTK = 6  3  2  1  2  1 = 72
= 80, 160, . . .
 gandaan sepunya bagi 18, 24 dan 40
 faktor sepunya bagi 16 dan 40 = gandaan 72
= faktor bagi 8
= 1, 2, 4, 8  faktor sepunya bagi 18, 24 dan 40
= faktor bagi 6

(F) NOMBOR NISBAH ~ kalkulator

NOTA : peraturan melakukan operasi bercampur
 pertama, lakukan operasi dalam kurungan – ( )

 kemudian, lakukan operasi darab atau bahagi dari kiri ke kanan - x @ ÷
 akhir, lakukan operasi tambah atau tolak dari kiri ke kanan - + @ -

 1.08  4 1  0.6  15  1 1 + (16)  4.26  0.8   1 1 
2 4  2

= 1.08  2.7 = 12  16 = 3.408 + 1.5
=  1.62 = 4 = 4.908

 13 + (20  5)  (6)  18 + 5   3.6  6   (21  2 )  23
= 13 + (4)  (6)  7 35 5

= 13 + 24 = 18 + 5 (4.2) = 29  13
= 37 = 18  21 15 5
= 3
= 29
39

(G) KUASA DUA , PUNCA KUASA DUA & KUASA TIGA , PUNCA KUASA TIGA

  1 24  3 1 2 =  49  1 2 =  7  1 2 = 64
 25 125   25 5  5 5 25

  1  63 3 =  1 27 3 =  3 3 = 27
 3 4   3 4  2 8

(H) UKURAN ASAS (Penukaran Unit) ~ kalkulator

Jisim

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 4

 1000  100  10  1000  1000  1000

km m cm mm tan kg g mg

 1000  100  10  1000  1000  1000

 1000 Isipadu - cecair 1 ml = 1 cm3
l ml 1 l = 1000 cm3
nota

 1000

Masa / waktu

 7  24  60  60

minggu hari jam minit saat

 7  24  60  60

1.00 a.m. = Jam 0100 Sistem 24 jam 7.00 p.m. = Jam 1900
2.00 a.m. = Jam 0200 7.00 a.m. = Jam 0700 1.00 p.m. = Jam 1300 8.00 p.m. = Jam 2000
3.00 a.m. = Jam 0300 8.00 a.m. = Jam 0800 2.00 p.m. = Jam 1400 9.00 p.m. = Jam 2100
4.00 a.m. = Jam 0400 9.00 a.m. = Jam 0900 3.00 p.m. = Jam 1500 10.00 p.m. = Jam 2200
5.00 a.m. = Jam 0500 10.00 a.m. = Jam 1000 4.00 p.m. = Jam 1600 11.00 p.m. = Jam 2300
6.00 a.m. = Jam 0600 11.00 a.m. = Jam 1100 5.00 p.m. = Jam 1700 12.00 a.m. = 2400 / 0000
12.00 p.m. = Jam 1200 6.00 p.m. = Jam 1800

(I) SUDUT DAN GARIS sudut tepat / tegak sudut cakah sudut refleks
 Jenis sudut  
sudut tirus 
ABC @ CBA @ B  = 90 90 <  < 180 180 <  < 360
A

B C

 < 90

 Jenis garis

AB selari dengan CD AB berserenjang dengan CD AB bersilang dengan CD
A
B A y D
x x
A d C
d D B C y B
sudut bertentangan bucu adalah sama
C D

 Sudut pada garis lurus

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] Sudut bersebelahan 5
a b
Sudut pelengkap / Sudut penggenap Sudut putaran lengkap
 jika a dan b adalah sudut pelengkap a + b = 180
b
 a + b = 90 a

 jika a dan b adalah sudut penggenap c
 a + b = 180 a + b + c = 360

 Ciri-ciri garis selari

Sudut sepadan Sudut berselang seli Hasil tambah sudut pendalaman

garis b a b
a rentas lintang b a
a
a b a b
b

a + b = 180

a b NOTA a
a b a + b
a
a + b b

b

(J) POLIGON
 Poligon & bukan poligon ~ rajah tertutup & disempadani oleh tiga atau lebih garisan

poligon bukan poligon bukan poligon
 Segi tiga
Segi tiga sama kaki Segi tiga bersudut tegak Segi tiga tidak sekata
Segi tiga sama sisi
a 45 a a a + b
60 b b 45 b b c b
60 60
 a = 180  b  b  a + b = 90
 a = 90  b
 180  a  b = 90  a a + b + c = 180
b=
2

3 Bilangan garis simetri @ bilangan paksi simetri 0
10

 Segi empat Segi empat sama Segi empat tepat Segi empat selari
Segi empat a b

a b b a
a + b = 180
e d c
0
a + b + c + d = 360 Trapezium
e=a+b+c

0 Bilangan garis simetri @ bilangan paksi simetri
Rombus 42

Lelayang

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 6

a b a a a d a a
b a b c b b
a + b = 180
a + b = 180 a + b = 180
c + d = 180 1
2
Bilangan garis simetri @ bilangan paksi simetri
10

 Poligon sekata ~ semua sisinya sama panjang & semua sudut pedalaman adalah sama saiz

Poligon Bilangan sisi Bilangan Bilangan Hasil tambah Hasil tambah
segi tiga sama sisi (n) paksi simetri diagonal sudut pedalaman sudut peluaran

3 3 0 (n  2)  180

180

segi empat sama 4 42 360

pentagon 5 55 540

heksagon 6 69 720 360
heptagon 7 7 14 900

oktagon 8 8 20 1080

nonagon 9 9 27 1260

dekagon 10 10 35 1440

Nota : hasil tambah sudut pendalaman / peluaran adalah sama untuk poligon sekata dan tidak sekata

 sudut peluaran + sudut pedalaman = 180

sudut pedalaman  sudut pedalaman = hasil tambah sudut pedalaman
sudut peluaran bilangan sisi

 sudut peluaran = 360  n= 360
n
sudut peluaran

 sudut pada pusat = 360  n = 360

sudut pada pusat n sudut pada pusat

(K) PERATUSAN

 Penukaran pecahan / perpuluhan kepada peratusan & sebaliknya

pecahan  peratusan perpuluhan  peratusan

pecahan  100 peratusan perpuluhan  100 peratusan
 100  100

 peratus kenaikan / penurunan ; peratus untung / rugi ; peratus diskaun
 peratus kenaikan / penurunan = nilai naik / nilai turun  100%
nilai asal
 peratus keuntungan / kerugian = nilai untung / nilai rugi  100%
harga kos
 peratus diskaun = nilai diskaun  100%
harga asal jualan

 faedah ; dividen ; komisen

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 7

 faedah = prinsipal  kadar faedah  masa
 dividen = jumlah pelaburan  kadar dividen
 komisen = harga jualan  kadar komisen

 pelbagai contoh (2) Rizal membeli sebuah computer dengan harga
(1) RM2000. Dia menjual komputer tersebut
dengan harga RM1600. Hitungkan peratus
peratusan kawasan berlorek = ? kerugian harga komputer itu ?
 4  100 = 50% @ 2  100 = 50%
 2000  1600 = 400
84  400  100 = 20%

2000

(3) Cari nilai akhir bagi 650, jika ia bertambah (4) Harga sebuah radio ialah RM35.80. Ia dijual
sebanyak 18%. dengan diskaun 20% discount. Cari harga
jualan radio itu ?

 650  35.8
100 100
 100% 650
767  100% RM 35.80

118% 80% RM 28.64

@ @

 650  118 = 767  35.8  80 = RM 28.64
100 100

(5) Azri mengambil bahagian dalam suatu (6) Keuntungan 30% diperolehi selepas suatu
pertandingan kuiz. Dia menjawab 75% daripada barangan dijual pada harga RM650. Cari harga
soalan-soalan itu dengan betul. Dia menjawab 4 kos barangan itu ?
soalan dengan salah. Cari jumlah bilangan
soalan dalam kuiz itu

4  130% 5 RM 650
100% RM 500
 25% 25 4 soalan
100% 16 soalan

(L) TEOREM PYTHAGORAS, PERIMETER & LUAS

 Teorem Pythagoras

3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17

H 6 8 10 10 24 26 14 48 50 16 30 34
O
A 9 12 15 15 36 39

12 16 20 9 40 41 20 21 29

H = A2  O 2 @ H2 = A2 + O2 A = H 2  O 2 @ A2 = H2  O2 O = H 2  A2 @ O2 = H2  A2

 perimeter, P

 Perimeter = jumlah panjang garis yang menutupi suatu rajah

segi empat sama segi empat tegat segi tiga sama sisi segi tiga sama kaki

a b a b
P = a+a+a+a
a P = a+a+a a
= 4a P = a+a+b+b = 3a P = a+b+b

 luas, L = 2a + 2b = a + 2b

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 8

segi empat sama segi empat tegat segi empat selari

bb

a a a
 L= a  a  L=ab  L=ab
a= L  a=L @ b=L  a=L @ b=L

ba ba

segi tiga Trapezium

b b a a ab
a a bh h h
ab
b

 L= 1 ab  L= 1  (a + b)  h
2 2

 a=L2 @ b= L2  h=L2 @ a+b = L  2
b a ab h

(M) BULATAN
 ukur lilit , panjang lengkok ; luas, luas sektor

lilitan bulatan, P luas bulatan, L panjang lengkok, s luas sektor, L
jA
jj A
O j

O

B B

P = 2 j L =   j2 s =  2j L =   j2
360 360

 hubungan antara perentas, jejari dan panjang lengkok

PR  PQ = QR P R  PR = SU
Q Q  OQ = OT
 PQ = QR = ST = TU
O  ST = TU S O

U T
ST U

 sudut pada pusat bulatan, sudut pada lilitan bulatan, sudut sisi empat kitaran

sudut pada lilitan bulatan sudut pada lilitan (dicangkum oleh semibulatan)

aa aa a O
bb a O

hubungan antara sudut pada pusat dengan sudut pada lilitan (pada suatu lengkok yang sama panjang)

a O Oa aO 2a
a 2a O
O

2a 2a 2a a

sisi empat kitaran lain-lain

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 9

a d  a + c = 180 a a 3a O O
b c  b + d = 180 a a

a a a
2 cm
6 cm

(N) PEPEJAL GEOMETRI

 pepejal, bilangan sisi, bilangan bucu, bilangan permukaan

pepejal bilangan sisi bilangan bucu bilangan permukaan
kubus 12 8 6
kuboid 12 8 6
silinder 2 0 3
kon 1 1 2
piramid (segi empat) 8 5 5
Prisma (segitiga) 9 6 5
prisma (trapezium) 12 8 6
Sfera 0 0 1

 pepejal , bentangan , jumlah luas permukaan (JPL) , isipadu (V)

Pepejal Bentangan Jumlah luas permukaan Isipadu
kubus a3

6a2

a 2 [ ab + ac + bc ] a3
kuboid @ @
luas tapak  a
c 2ab + c (2a + 2b)

b 2j h 2j2 + 2jh   j2  h
a 2jh @
silinder
luas keratan rentas  h
j

h

kon t 1    j2  h
3
h jt j2 + jt
j 2j @

piramid (segi empat) 1  luas tapak  h
3

h t ab + 2 [ 1 at  1 bk ] 1 abh
b a bk 22 3
@
a @
prisma (segi tiga) ab + at + bk
1  luas tapak  h
t 3

2 [ 1 ab ] + ah + bh + th 1 a bh
2 2

@ @

b h ab + h (a + b+ t) luas keratan rentas  h
a

Pepejal Bentangan Jumlah luas permukaan Isipadu

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 10

prisma (trapezium) 2 [ 1 (a  b)(h) + 1  (a + b)  h  t
2 2

ak at + bt + ht + kt @
luas keratan rentas  h
h @
b
t (a + b)(h) + (a + b + h + k)(t)

sfera

4    j2 4    j3
3
j

hemisfera

3    j2 2    j3
3
j

 bentangan pada grid Contoh 2 :
Contoh 1 :

5 unit 5 unit 4 unit 5 unit
3 unit  3 unit

4 unit 6 unit

(O) UNGKAPAN ALGEBRA pembolehubah, T
 pembolehubah, objek objek, H

Sebanyak T orang kanak-kanak telah mengunjungi zoo H pada hari Ahad

 sebutan algebra ~ hasil darab suatu nombor dengan pembolehubah

pekali = 8 t pekali = 1  dc2 pekali = 1
pembolehubah = k 3 3 pembolehubah = d, c
 8k
pembolehubah = t

 sebutan serupa, sebutan tak serupa

sebutan serupa sebutan tak serupa

5h, h, h , 2 h @ xy, 2 xy, yx , yx 6g, 3g2, 5 , 3 k , p @ 2abc, 4bcd, 2 def
79 3 5 g7 5

 ungkapan algebra
(terdiri daripada satu sebutan algebra @ gabungan sebutan algebra dan nombor dengan operasi + atau / dan )

ungkapan algebra bilangan sebutan Bilangan pembolehubah pembolehuhah

3x  2 2 1 x

5  3c + 9q 3 2 c, q

2xy + 4abc + 3 3 5 x, y, a, b, c

6 + 3y2 + y  11 4 1 y

 kembang

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 11

 Permudahakan : 2 (n + 5)  3  Permudahkan : 2p  3q  (p + 5q)
= 2n + 10  3 = 2p  3q  p  5q
= 2n + 7 = p  8q

 Permudahkan : (3p  m) (p + 2m)  Permudahkan (3x  1)2  (7x + 4)
= 3p2 + 6mp  mp  2m2 = (3x  1) (3x  1)  7x  4
= 3p2 + 5mp  2m2 = 9x2  3x  3x + 1  7x  4
= 9x2  13x  4

 faktor ~ 1 (4e)
 Faktor selengkapnya : 4e  12ef
(p)
 Faktor selengkapnya : p2  mp = 4e (1  3f)

= p (p  m)

 faktor ~ 2

a2  b2 = (a + b) (a  b)

1 = 12 4 = 22 9 = 32 16 = 42 25 = 52 36 = 62 49 = 72
64 = 82 81 = 92 169 = 132 196 = 142
100 = 102 121 = 112 144 = 122

 Faktor selengkapnya : 100  k2  Faktor selengkapnya : 9x2  1
= 102  k2 = 32x2  12
= (10 + k) (10  k) = (3x + 1) (3x  1)

(3) (5)
 Faktor selengkapnya : 3x2  48  Faktor selengkapnya : 5  20k2

= 3(x2  16) = 5(1  4k2 )
= 3(x2  42) = 3(12  22k2 )

= 3(x + 4) (x  4) = 3(1 + 2k) (1  2k)

 faktor ~ 3  Faktor selengkapnya : p2 (p)  (q)
+ 3p 3q  pq
 Faktor selengkapnya : 3k (3)3m + kp(k) mp
= 3(k  m) + p(k  m) = p(p + 3)  q(3 + p)
= (k  m) (3 + p) = (p + 3) (p  q)

 Faktor selengkapnya : e2 (e)  2f (f) (2) (v)
 2e + ef  Faktor selengkapnya : 2  2w + vw  v

= e (e  2)  f (2  e ) = 2 (1  w) + v (w  1)
= e (1  w) + f (1  w )
= e (e  2) + f (e  2 ) = (1  w) (e + f )

= (e  2) (e  f )

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 12

 Faktor selengkapnya : m2  12m + 36

(m) (6) m 6 6m
= m2  6m  6m +36 m 6 6m

= m (m  6)  6 (m  6) @ m2 +36 12m
= (m  6)2
= (m  6) (m  6)
= (m  6)2

 Faktor selengkapnya : 3x2 + 12x + 12

= 3(x2 + 4x + 4) = 3(x2 + 4x + 4)

= 3(x2 (x) + 2x (2) @ x +2 +2x
x +2 +2x
+ 2x + 4)
x2 +4 +4x
= 3[ x(x +2) + 2(x + 2) = (x + 2)2

= 3(x + 2) (x + 2)
= 3(x + 2)2

 faktor ~ 4

 Faktor selengkapnya : 3x2  2 (x  1)  7  Faktor selengkapnya : 2m2  n (m + n)

= 3x2  2x + 2  7 = 2m2  mn  n2
= 3x2  2x  5
+5x 2m +n +mn
3x +5 3x m n 2mn
x 1 3m2 n2
3x2 5 2x mn
= (2m + n) (m  n)
= (3x + 5) (x  1)

 pecahan algebra  1  m2  m  3  2  3n

 1  5  2v 2m (3m) 6m 2 3mn (2) 6n (m)

5m (3v) 15m v = 3m  (m  2) = 2m  6  (2m  3mn)
= 3v  (5  2v) 6m2 6mn

15mv = 3m  m  2 = 2m  6  2m  3mn
= 3v  5  2v 6m2 6mn

15mv 2m  2 = 6  3mn
= 5v  5 (5) = (2) (3)

15mv 6m2 6mn
= v 1
m 1 = 2  mn
3mv = 2mn

 2  x5 3m2

x  3 (x  3) x2  9 (p) (2n)
2x  6  (x  5)  2mn  4n  6mn
=  2nm  pq  pm 9  n2 3n
p nm2
x2 9 = 2n (m  2)  3  n
2x 6 x 5 = 2nm  p(q  m) (3  n)(3  n) 36mn
= p nmm

x2 9 = 2(q  m) = m2
x 11 m 3m (3  n)
=
x2 9 2q  2m
=

m

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 13

(P) RUMUS ALGEBRA [ CATATAN : perkara rumus sentiasa positif]
 perkara rumus
 k  (m + 2) = 3m ~ (m)  8m  2n  mn  n ~ (m)
 2 ( p  3 ) = 5 ~ (P) k  m  2 = 3m 3
k k  2 = 3m + m
k  2 = 4m 8m  2n = 3mn + 3n
2p  6 = 5k k2
2p = 5k + 6 =m (m)
p = 5k  6 4
8m  3mn = 3n + 2n
2  2  g  3 ~ (g)
h m (8  3n) = 5n
 m = 5  3n2 ~ (n) m = 5n
3n2 = 5  m 2  g = 32
n2 = 5  m h 8  3n
3 2g = 9
n  5m  k  m = h ~ (m)
3 h 2

2 + g = 9h k  m = 2k
g = 9h  2 k + m = (2k)2
k + m = 4k2
k = 4k2  m

 menentukan nilai suatu pembolehubah (ii) nilai q apabila y = 4, p = 7 dan r = 2
 Diberi y = 2p  4q + 3r. Cari
(i) nilai y apabila p = 5, q = 1 dan r = 3  4 = 2(7)  4q + 3(2)
 y = 2(5)  4(1) + 3(3) 4 = 14  4q + 6
= 18 4  14  6 = 4q
4= q

(Q) PERSAMAAN LINEAR
 konsep kesamaan ~ = , 

2 + 18 = 24  4 8 + p = p8 0.2 l  20 ml a+a+a  a3

(20) (20) (200 ml)

 persamaan linear dalam satu pembolehubah bukan persamaan linear dalam satu pembolehubah
persamaan linear dalam satu pembolehubah x + 5 , 2 = 3 + x , y2  y + 2 = 0 , t3 + 1 = 9

3  p = 1 , 10a  8 = 6 + 2a , k + 16 = 2 x
2

 persamaan linear dalam dua pembolehubah bukan persamaan linear dalam dua pembolehubah
persamaan linear dalam dua pembolehubah
1 + n = 5 , 6ab  a = 7 , p x2  1 = 2y
4x + y = 8 , 5h + 4b = 2b , x + y  2 = 0 = 2,
mq

 menulis persamaan linear dalam satu pembolehubah bagi maklumat yang diberi

(1) a , 2a dan 50 ialah tiga sudut pada suatu (2) Panjang sekeping poster adalah 3 kali lebarnya,
garis lurus. L cm. Perimeter poster itu ialah 36cm.

 a + 2a + 50 = 180  2L + 2(L + 3) = 36

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 14

 selesaikan persamaan linear x3=5 2x = 6 x =3
x=5+3 x= 6 2
x+3=5 x=6
x=53 2

Contoh 1 : Contoh 2 :
(a) 2n = 3n  4 (a) 12 = 3
(b) 2k = 3  7k n

5 (b) f + 3 (6  4f ) = 31
Jawapan : 2

(a) 2n  3n = 4 Jawapan :
n = 4
n= 4 (b) 10k = 3  7k (a) 12 = 3n (b) f + 9  6f = 31
10k + 7k = 3 4= n
17k = 3 f  6f = 31  9
k= 3
17 5f = 40

f = 40
5

f =8

 menulis persamaan linear dalam dua pembolehubah bagi maklumat yang diberi

(1) Dalam rajah di bawah, setiap satu petak mewakili seorang pemain. Setiap pemain hanya dibenarkan
bermain satu daripada empat jenis permainan; bola sepak (S), hoki (H), bola jarring, dan catur. Bola
sepak dan hoki ditunjukkan dalam rajah itu. Bilangan pemain bola jaring adalah dua kali daripada
pemain catur. ( J = bilangan pemain bola jaring, C = bilangan pemain catur )

S HH SS 1 2H H 3

4 5S HHH S 6H S

7H 8 9 S 10 11 S 12 13

HH S H H14 15 16 17 18

 J + C = 18  J = 2C

(2) Mark membeli 60 keping setem yang berharga 30 sen dan RM 1. Jumlah nilai setem itu ialah
RM 42.50. ( x = bilangan setem 30 sen, y = bilangan setem RM 1 )

 x + y = 60  30x + 100y = 4250

 selesaikan persamaan linear serentak ~ kaedah gantian

Contoh 1 : Contoh 2 :
x = 2y  5 dan 2x  5y = 8, …… y = ?
2x  6 = 0 dan 3x + y = 10 …… y = ?
2(2y  5)  5y = 8
2x = 6 3(3) + y = 10 4y 10  5y = 8
x=3 9 + y = 10 4y  5y = 8 + 10
y = 10  9
y=1 y = 18
y = 18

 selesaikan persamaan linear serentak ~ kaedah penghapusan

NOTA sama tanda () ; tidak sama tanda (+)

Contoh 1 : Contoh 2 :
p + 5q = –11 dan p  3q = 13 … q = ? 2k  3m = 6 dan 7k + 3m = –9 … k = ?

p + 5q = 11 hapus p 2k  3m = 6 hapus m
 ) p  3q = 13 + ) 7k + 3m = 9

8q = 24 9k = 3
q = 3
k =  1
3

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 15

Contoh 3 : Contoh 4 :

(  2) (  2) (  7)
2h + q = 4 dan 4h + 3q = 10 … q = ? 7x  5y = 45 dan 2x + 3y = 4 … selesaikan

4h + 2q = 8 hapus h 14x  10y = 90 2x + 3(2) = 4
 ) 4h + 3q = 10  ) 14x + 21y = 28 2x  6 = 4
2x = 4 + 6
q = 2 31y = 62 x=5
q= 2
y = 62
31

y = 2

(R) KETAKSAMAAN LINEAR
 konsep ketaksamaan ~ < , >

45 > 23 1 5 < 0 10 < 8
2 > 0.4

(0.5)

 membina ketaksamaan linear daripada maklumat yang diberi

(1) Markah lulus, x, bagi ujian Matematik ialah 40 markah. ............ x  40
(2) Tinggi maksimum, x, kenderaan yang boleh melepasi terowong ialah 5.5 meter. ............ x  5.5
(3) Gaji bulanan, x, Cik Azerra melebihi RM3500. ............ x > 3500

 mewakilkan ketaksamaan linear pada garis nombor dan begitu juga sebaliknya

x < 3 x> 2 3 < x  2

x x x
3 2 3 2 3 2
. . . 6, 5, 4 = x x = 3, 4, 5, . . .
x = 2, 1, 0, 1, 2

x  3 x 2 3  x < 2
x x
x
3 2 3 2 3 2
. . . 5, 4, 3 = x x = 3, 2, 1, 0, 1
x = 2, 3, 4, . . .
3 < x < 2 3  x  2
x
x
3 2 3 2
x = 2, 1, 0, 1 x = 3, 2, 1, 0, 1, 2

 menentukan / mewakilkan nilai sepunya bagi dua ketaksamaan linear serentak pada garis nombor

x > 10 x  3 1  x < 3

x> 8 x  3 x  1
x > 10 x<2
x<3

8 10 3 2 1 3

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 16

 menyelesaikan ketaksamaan linear x  3
x3
x+3 < 5 x3 > 5 2x  6 x  3 2x < 6 x x  3
x < 53 x > 5+3 x 3 2 x> 6 >3 x  3

x6 2 2
x < 6

 Selesaikan : 4  2x  10.  Selesaikan : 7  5x > 6  x.
2x  10  4 5x + x < 6  7
2x  6 4x < 1
x 6 x > 1
2 4
x  3 1
x>
4

 menyelesaikan ketaksamaan linear serentak

 Selesaikan : p + 3 < 5 dan 2  3p  8  Selesaikan : 3  5  x < 4

p < 53  3p  8  2 3  5  x 5x < 4
p<2 x  5+3 x < 45
 3p  6 x8 x < 1
x>1
p 6
3

p  2

2 2 18
p = 2, 1, 0, 1 x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

 contoh-contoh lain penolakan pendaraban pembahagian
penambahan [ min. ] = min .

[ min ] = min. + min. [ min. ] = min.  mak. [ min. ] = (min.) (min.) mak.
[ max. ] = mak.
[ mak. ] = mak. + mak. [ mak. ] = mak.  min. [ mak. ] = (mak.) (mak.)
min .

(1) Diberi 0 < x  2 dan 3  y  5. Jika x dan y ialah integer, cari nilai minimum bagi y .
x

 x = 1, 2  y = 3, 4, 5  nilai minimum y 3
=
x2

(2) Diberi 2 ≤ r < 9 dan 2  s < 4, dengan keadaan r dan s ialah integer. Cari nilai terbesar bagi r  s.

 r = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  2s < 4  nilai terbesar r  s
s < 4  2 = 8  (1)
s < 2 =9
s > 2
 s = 1, 0, 1, 2, ...

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 17

(S) PEMBINAAN GEOMETRI Berserenjang dengan AB Berserenjang dengan AB
Pembahagi dua sama dan melalui B dan melalui P
serenjang AB
4 4
3
12 23 P

1 1

AB AB

12 A 1B 23
Segi empat selari ABCD
Pembahagi dua sama ABC ABC = 60

1A D 4 C 3C 1

2 2

B4 3 1
2
3
AB AB
1C  ABC = 90
 ABC = 120  ABC = 30
C4
3 C4 5C 3 2 1
23
2 4

1 AB A 1B
 ABC = 67.5
AB  ABC = 75
 ABC = 45

74 C9 6 9C 74
5 8
C6 7 4 5
2 8 6

3 3
2
5 2

3 1

A B1 AB A B1

(T) TRANSFORMASI ISOMETRI

 translasi  x  ~ cari translasi ; objek @ imej (gunakan kertas surih untuk membantu menjawab)
 y 

x imej huraikan penjelmaan
H
+ + (2) objek translasi  27 
H 
y (7)



P P

di bawah di bawah

translasi translasi

P  23 P P  34  P
 P 

 43 P

ubah

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 18

 pantulan ~ cari paksi pantulan @ imej (gunakan kertas surih untuk membantu menjawab)

y y y y
objek imej objek objek imej objek

x x 3 x
imej 5
imej huraikan penjelmaan x
 huraikan penjelmaan
huraikan penjelmaan huraikan penjelmaan
 pantulan pada paksi-y 
 pantulan pada garis x = 5
pantulan pada paksi-x pantulan pada garis y = 3

S P S S P L lukiskan L
Q di bawah S
pantulan garis

pada pantulan

garis PQ L L

Q

 putaran ~ cari pusat putaran @ imej (gunakan kertas surih untuk membantu menjawab)

objek objek

imej imej objek O imej

O O huraikan penjelmaan
huraikan penjelmaan 
huraikan penjelmaan
  putaran 180 pada pusat O
putaran 90 ikut arah jam
putaran 90 lawan arah jam
pada pusat O pada pusat O

 kekongruenan ~ cari imej (gunakan kertas surih untuk membantu menjawab)

FA F A

ED B lukiskan PQRSTU yang ED B
kongruen dengan ABCDEF C U
C P
P penyelesian ST
QR
Q (1) putar dengan A padan P
& B padan Q
(terkeluar dari grid)

(2) pantul pada garis PQ

 bentuk serupa ~ penyelesaian masalah
(2 bentuk adalah sama jika  (1) sudut sepadan adalah sama ; (2) sisi sepadan adalah berkadaran)

Contoh :

Q (a) sisi yang sepadan dengan sisi PS Q T 5 cm
(b) sudut yang sepadan dengan SRT 8 cm 2 cm S
8 cm R (c) panjang QS
R
2 cm P
S S

P T 5 cm

Jawapan :

(a) RS (b) SPQ (c) 2 4 8
5 ( 20 )

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 19

(U) LOKUS DALAM DUA DIMENSI

Bentuk 1 ~ dari 1 titik tetap  bulatan dengan pusat ( ) dan jeajri j unit lokus j

Contoh : j

 Lokus bagi titik Z dengan keadaan ZL = 3 cm  bulatan dengan pusat L dan jejari 3 cm

j

 Lokus Y dengan keadaan sentiasa berjarak 3 unit dari R  bulatan dengan pusat R dan jejari 3 unit

j

 Lokus bagi titik P dengan keadaan MP = DC  bulatan dengan pusat M dan jejari DC

j

 Lokus bgi titik M dengan keadaan 3 unit dari (2, 1)  bulatan dengan pusat (2, 1) dan jejari 3 unit

Bentuk 2 ~ dari 2 titik tetap  pembahagi dua sama serenjang bagi garis ( )

Contoh : lokus

 Lokus bagi titik Y dengan keadaan YJ = YK  pembahagi dua sama serenjang bagi garis JK

 Lokus bagi titik Q dengan keadaan AQ = BQ  pembahagi dua sama serenjang bagi garis AB

 Lokus P dengan keadaan jaraknya adalah sama dari Q dan T  pembahagi dua sama serenjang bagi garis QT

 Lokus Z dengan keadaan jaraknya dari E dan H adalah sama  pembahagi dua sama serenjang bagi garis EH

Bentuk 3 ~ dari 1 garis lurus  dua garis selari, dengan jarak tegak d unit dari garis ( )

Contoh : d

 Lokus bagi titik P dengan keadaan sentiasa berjarak 2 unit dari MK lokus

 dua garis selari, dengan jarak tegak 2 unit dari garis MK d

d

 Lokus bagi titik Y dengan keadaan Y sentiasa berjarak 3 unit dari MN

 dua garis selari, dengan jarak tegak 2 unit dari garis MN d d

 Lokus bagi titik P dengan keadaan jarak tegak dari EG sentiasa 1.5 cm lokus
 dua garis selari, dengan jarak tegak 1.5 cm dari garis EG

Bentuk 4 ~ dari 1 garis lurus  pembahagi dua sama  ( ) lokus

Contoh :

 Lokus H dengan keadaan jaraknya sentiasa sama dari QR dan QP  pembahagi dua sama PQR

 Lokus X dengan keadaan jarak tegaknya adalah sama dari garis EF dan EH  pembahagi dua sama FEH

 Lokus Z dengan keadaan jarak tegaknya dari PQ dan QR adalah sama  pembahagi dua sama PQR

 Lokus bagi titik P dengan keadaan PAC = PAD  pembahagi dua sama CAD

Bentuk 5 ~ dari 2 garis selari lokus
Contoh :
P Q
 Lokus bagi titik Z dengan keadaan jarak tegaknya adalah sama dari PT and QR T R
P Q
 pembahagi dua sama serenjang bagi garis PQ / TR S U

 Lokus W bergerak dengan keadaan jarak tegaknya dari PS and QU adalah sama

 pembahagi dua sama serenjang bagi garis PQ / SU

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 20

 menulis skala bagi lukisan dan objek yang diberi

 skala  saiz lukisan : saiz objek sebenar

~ skala 1: 1 @ 2 : 1  objek menjadi besar, dengan 1 unit kepada 2 unit
2

~ skala 1 : 2  objek menjadi kecil, dengan 2 unit menjadi 1 unit

Contoh :

Objek 1 cm 1 cm 1 cm
2 cm 2 cm 2 cm

Lukisan 1 cm 2 cm 0.5 cm
1 cm
2 cm 4 cm
1:1 1:2
Skala (1 : n) 2:11: 1
2

.

 melukis bentuk geometri mengikut skala 1 : n
Contoh 1 :

skala ~ 1 : 1
2

skala ~ 2 : 1

Contoh 2 :

skala ~ 1 : 3

 penyelesaian masalah skala ~ 1 : 200 (8 cm)
Contoh : 1 cm : 200 cm = 1 cm : 2 m 16 m
16 m
6m 6 m (3 cm)
10 m
Jawapan : 10 m
(5 cm)

1 cm
1 cm

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 21

(V) SUKATAN KECENDERUNGAN MEMUSAT
 mod
mod = nilai data dengan kekerapan tertinggi (data dengan bilangan terbanyak)

9, 4, 2, 8, 3, 4, 3, 3, 9, 5, 7, 3 Skor 10 20 30 40 50
(1) Cari skor mod bagi set data di atas. Kekerapan 6 2 5 2 1

 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 9 (2) Cari skor mod bagi data di atas.
 mod = 3  skor mod = 10

Skor 0 123 4 Skor 1 2 3 4 5
Kekerapan 1 37x 5 Kekerapan 10 k 11 11 9

(3) Jika skor mod ialah 2, cari nilai maksimum x. (4) Jika skor mod ialah 2, cari nilai minimum k.
 x<7  k > 11
x=6 k = 12

 median
median = nilai yang berada di tengah-tengah suatu set data yang telah disusun mengikut tertib menaik @ menurun

5, 3, 3, 5, 7, 7, 1 4, 5, 2, 3, 2, 1, 5, 2, 4, 8
(1) Cari skor median bagi set data di atas. (2) Cari skor median bagi set data di atas.

~ 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7 ~ 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 8
 median = 5  median = 3  4 = 3.5
2

Skor 012345
Bilangan murid 261151

(3) Cari skor median bagi data di atas

~ 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5
 median = 1  2 = 1.5
2

 min min = jumlah (skor / titik tengah  ke ker apan)
min = hasil tambah semua nilai data jumlah ke ker apan
bilangan data
(2) Hitung min markah ujian bagi data di bawah.
(1) Cari min skor bagi set data di bawah.
Markah 74 78 82 86
68, 62, 84, 75, 78, 89
Kekerapan 5 10 2 3
 68  62  84  75  78  89 = 76
6  74 (5)  78 (10)  82 (2)  86 (3)
= 78.6
(3) Min umur Encik Julasri, Puan Jennifer dan 5  10  2  3
tiga orang anak mereka ialah 31 tahun. Min
umur bagi tiga anak mereka ialah 19 tahun. (4) Satu set data yang terdiri daripada 6 nombor
Hitung min umur Encik Julasri dan Puan mempunyai min 42. Apabila satu nombor
Jennifer. ditambah, min menjadi 38. Cari nilai x.
 5  31 = 155
 3  19 = 57  6  42 = 252
 155  57 = 49
2  7  38 = 266

 x = 266  252 = 14

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 22

 jadual kekerapan

Contoh :
Data dalam rajah di bawah menunjukkan markah yang diperoleh 20 orang peserta dalam satu kuiz.

1 4  6 5 4 6 3 5 4 6

2  1 2  4  6 1 2  4  2  3 

(a) Menggunakan data itu, lengkapkan jadual kekerapan di ruang jawapan.
(b) Nyatakan mod.
Jawapan :
(a)

Markah 123456
Kekerapan

Markah 123456
Kekerapan 342524

(b) 4

 piktograf

Contoh :
Jadual di bawah menunjukkan bilangan buku di sudut bacaan bagi tiga buah kelas.

Kelas Bilangan buku
Aman 75
Bestari 60
Cerdas 90

Maklumat bagi kelas Bestari ditunjukkan sepenuhnya dalam piktograf di ruang jawapan. Lengkapkan
piktograf itu untuk mewakili semua maklumat dalam jadual.

Jawapan :

Bilangan buku di sudut bacaan Bilangan buku di sudut bacaan

Kelas Bilangan buku Kelas Bilangan buku
Aman 
Bestari ( 60 )  Aman  15
Cerdas Bestari
Cerdas 30 30 

 30

30 30



30 30

 mewakili …………….. buah buku  mewakili ………30…….. buah buku

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 23

 carta bar

Contoh :
Jadual di bawah menunjukkan tiga aktiviti yang disertai oleh sekumpulan 50 orang murid.

Aktiviti Bilangan murid
Catur 24
Hoki M
Koir 18

(a) Cari nilai M.
(b) Seterusnya, wakilkan semua data itu dengan melukis satu carta palang pada ruang jawapan.

Jawapan :

(a) 50  24  18 = 8

(b) Bilangan murid Bilangan murid

28 28

24 24

20 20

16 16

12 12

88

44

00 Catur Hoki Koir Aktiviti
Catur Hoki Koir Aktiviti 

 carta pai

Contoh 1 :
Jadual di bawah menunjukkan bilangan murid yang bermain empat jenis permainan.

Jenis permainan Ping pong Badminton Hoki Bola baling
Bilangan murid 8 25 12
15
48 6 150 72

90

Maklumat bagi permainan badminton ditunjukkan sepenuhnya dalam carta pai di ruang jawapan.
Lengkapkan carta pai itu untuk mewakili semua maklumat dalam jadual.

Jawapan :

Badminton Bola Baling Badminton
72



150 48
Ping pong

Hoki

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 24

Contoh 2 :

Rajah di bawh ialah carta pai yang menunjukkan bilangan buah rambutan yang dimakan oleh 4 orang
murid.

David Ali Muthu
12 10

18

20

Chong

Hitung
(a) min bilangan buah rambutan yang dimakan oleh seorang murid,
(b) sudut sektor yang mewakili David.

Jawapan :

(a) (b) 6 360
12  10  20  18  15 60 ( 108 )
4 18

 graf garis

Contoh :

Jadual di bawah menunjukkan bilangan murid di sebuah sekolah yang mendapat skor 8A dalam suatu
peperiksaan untuk tempoh lima tahun .

Tahun Bilangan murid yang mendapat 8A
2006 15
2007 20 5
2008 12
2009 28 23 11
2010 30 15

(a) Nyatakan median.
(b) Berdasarkan jadual, lukis satu graf garis di ruang jawapan.

Jawapan :

(a) 2009
(b)

Bilangan murid

35

30

28

25

20

15

12

10

5

Tahun
2006 2007 2008 2009 2010

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 25

(W) GRAF FUNGSI
 mengira nilai pembolehubah bersandar, apabila nilai pembolehubah tidak bersandar diberi.

(1) Jadual menunjukkan nilai-nilai pembolehubah x dan y bagi fungsi y = 2x2  1.

x 1 0 1 2
q
y p 1 1

Hitung nilai p + q.
 p = 2(1)2  1 = 1
 q = 2(2)2  1 = 7
 1+7= 8

 mengenali bentuk graf apabila diberi fungsi dan begitu juga sebaliknya

Graf Linear Graf Kuadratik Graf Kubik
y = ax3 + c
y = ax + c y = ax2 + c

a (+) a= v a () a (+) a () a (+) a ()
h y y y y

yy cx c c c
O x x
cv c x x
h O O O O
x

O

 cari pintasan-x, pintasan-y pintasan-y / pada paksi-y  koordinat x = 0

pintasan-x / pada paksi-x  koordinat y = 0  Cari pintasan-y bagi 3x  4y = 24.
~ 3(0)  4y = 24
 Cari pintasan- x bagi 3x  4y + 24 = 0. 4y = 24
~ 3x  4(0) + 24 = 0 y = 6
3x + 24 = 0
3x = 24
x = 8

 pelbagai contoh

(1) Satu garis lurus dengan fungsi y = 3x + k (2) Titik (3, 11) memuaskan fungsi
melalui titik (3, 16), cari nilai k. A. y = x2 + 5  y = (3)2 + 5 = 14
B. y = x2 + 2  y = (3)2 + 2 = 11 
 16 = 3(3) + k C. y = x + 8
16 = 9 + k D. y = 4  x
16  9 = k
7= k

(3) Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai pembolehubah x dan y bagi suatu fungsi.

x 2 1 2
y 5 1 3

Fungsi itu ialah

A. y = 4x + 1 x 2 B x 2 1
B. y = 3x + 1 A y 7 y 5 4
C. y = 2x  1
D. y = x  1 C x 2 1 2 
y 5 1 3

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 26

 melukis graf fungsi dengan skala yang diberi

Contoh 1 :

x 2 1 0 1 2 3 4
0
y 12 5 0 3 4 3

 lukiskan graf, skala  2 cm kepada 1 unit pada paksi-x
 2 cm kepada 2 unit pada paksi-y

y

12

10

8

6

5

4

2

2 1 O x
1 234

2

3

4

Contoh 2 :

x 3 2 1 0 1 2 3
y 19 3 1 1 3 1 17

 lukiskan graf, skala  2 cm kepada 1 unit pada paksi-x
 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y

y

20

17

15

10

5

3 2 1 1x
1 1 2 3

3

5

10

15

19

20

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 27

(X) INDEKS

 “ indeks ” dan “ Hukum Indeks ”

an −3 −2 −1 0 1234567

2 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128
8 4 2 1
1
3 1 1 1 1 3 9 27 81 243 729
27 9 3 1

5 1 1 1 5 25 125 625 3125
125 25 5

7 11 1 7 49 343 2401 1
343 49 7 10 100 1000
42 = 4 =2
10 1 1 1
1000 100 10

am  an = am + n am  an = am  n am = am  n (am)n = a m n
an
an  bn = (a  b)n
an =  a n  a n =  b n an = 1 / an = 1
1 bn b b a an an

an = n a  m  1  m
n
an an
= m = n am @ 1 m na m a0 = 1
= an =
a

 pelbagai contoh  Cari nilai : 23  21  Permudahkan : (k 3 )2  k
 Permudahkan p5  p3 = 23  (1) k 2
= p5 + (3) = 23 + 1
= p5  3 = 24 k6  k1
= p2 = 16 =

 Permudahkan : e3  (d 2e)4 k 2
= e3  d8e4
= e3 + 4 d8 = k 6+1 +2
= e7d8
= k9
2
 1  Cari nilai : 92
 Nilaikan : (8 3 ) 2  45  16 32  35
 Cari nilai bagi 53  26 3
3  2  (2) = 32(2)
= 51  22 32  5
= 2  3   22(5)  24 = 1 4
= 24  210  24 = 34  2 + 5
= 24 + (10) + 4 5
= 24 10 + 4 =4 = 31
= 22
=1 5 =3

4 13 11

 Cari nilai : 32  18 2  2 2  Nilaikan : 2 2  32 2

13 2

= 32  (3  3  2) 2  2 2 83

1

11 13 = (2  32) 2

= 32  3 2  3 2  2 2  2 2 2  2 
3
2
2 1  1 31
= 3 2 222 2 1

= 33  22 64 2
=

22

= 27  4 8
=

4

= 108 =2

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 28

 Permudahkan :  Selesaikan : 3x  1 = 81  Selesaikan : 2n  3  8n = 32
(3f 5g)2  (f 4) 3  f 2 g7 2n  3  23(n) = 25
3x  1 = 34 n  3 + 3n = 5
= 32 f 10g2  f 12  f 2 g7 x1 =4 n + 3n = 5 + 3
= 9 f 10 + (12)  (2) g 2  7 x = 4+1 4n = 8
= 9 f 10 12 + 2 g 5 x=5 8
= 9 f 0 g 5 n=
= 9g5 4
n=2

(Y) NISBAH TRIGONOMETRI
 menukar unit sudut daripada “darjah” kepada “darjah dan minit” dan sebaliknya ~ guna kalkulator

(a) 57.83 = 57 50  57.83  =  shift ’  nota
 30 ~ + 1

(b) 65 54 = 65.9  65 ’  54 ’   =  ’ 
=
1 = 60
NOTA :

 menentukan nilai tangen, sinus, kosinus, menggunakan kalkulator saintifik & sebaliknya
(a) sin 38.2 = 0.6184  sin 38.2  =

(b) tan 60 15 7  shift tan 7  = ’ 
= 4
4

 Teorem Pythagoras & nisbah trigonometri

3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17
50 16 30 34
H 6 8 10 10 24 26 14 48
O 9 12 15 15 36 39

A 12 16 20 9 40 41 20 21 29
 tan  = O
 sin  = O  kos  = A A
H H

H  sin  = O  kos  =  A  tan  =  O
O H H A

A

 pelbagai contoh Contoh 2 :
Contoh 1 :

A G
5 cm x
13 cm 5 x 13

 A 4 cm  4H
x
BCD O D E 2 cm F x
Cari nilai tan x Cari nilai kos x
66 A

12 2

 tan x = 6  kos x =  2 =  1
5 42

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 29

Contoh 3 : Contoh 4 :

E (a) sin  = ? T sin x = 5 , kos y = 3 .
(b) tan EFG = 3 , EH = ? 15 cm 13 5
H
26 cm 4 (a) tan x = ? (b) PQR = ?

F y Q x R
G 24 cm P

5 cm

Jawapan : S
Jawapan :

(a) (b) (a) (b)

H 26 F E F (12) T
10 O Q A x R 15 H
H O 5O H
G  S y
GA P AQ
24 24
 sin x = 5
13  kos y = 3
 tan EFG = 3 5
 sin  = 10 4
26 5=5
EG 3 (6) RS 13 PQ = 3 (3)
=5 = 15 5 (3)
13 RS = 13
24 4 (6)

EG = 18 PQ = 9

 EH = 18  10 = 8  tan x = 5  PQR = 9 + 12 = 21
12

 penyelesaian masalah cari panjang
cari sudut

Q S S V
95 m 50 m 3m hm

P 60 m R TU
10 m
Cari sudut yang dibentuk oleh
garis QS dan garis mengufuk Diberi sudut yang dibentuk oleh garis SV dan garis
mengufuk ialah 42, cari h.

 tan  = 45  tan 42 = t
60 42 t 10
45 
60  = 3652 10 9.004 = t

 h = 9.004 + 3 = 12.004

(Z) NISBAH, KADAR DAN KADARAN
 mempermudahkan nisbah dua kuantiti kepada sebutan terendah ~ kalkulator

(1) 50g : 1 kg 50g (2) 2.4 : 0.06 3
 50g : 1050g  40 : 1 (3) 2 :
1 : 21
4
 8:3

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 30

 mempermudahkan nisbah tiga kuantiti kepada sebutan terendah ~ kalkulator

(1) 40ml, 1 l, 0.1l (2) 1 : 3 : 1 1
100 43

 40ml : 10ml : 100ml  1 : 3 dan 3 : 1 1 1:3: 4
4 : 1 : 10 4 4 3 43

@

4 : 3 dan 9 : 16 12 : 9 : 16
3 12 12 12

12 : 9 dan 9 : 16

12 : 9 : 16 12 : 9 : 16

 menentukan sama ada suatu kuantiti berkadar dengan kuantiti yang lain apabila diberi dua nilai bagi
setiap kuantiti tersebut

(1) Rajah di bawah menunjukkan nilai x dan (2) Rajah di bawah menunjukkan bilangan durian
nilai y. dan harganya.

xy 3 2 durian berharga RM 8 4
26 5 durian berharga RM 15 28

26 2 4
5 15
4 84 8

Adakah nilai y berkadaran dengan nilai x ? Adakah harga durian berkadaran dengan
 tidak bilangannya ?

 ya

 masalah melibatkan nisbah bagi dua kuantiti

(1) x : y = 2 : 7 ; y = 28 … x = ? (2) x : y = 5 : 7 ; x + y = 48, x = ?

x: y x: y x+y
2 7 57 12

4 4

18 28 20 48

(3) x : y = 3 : 5 ; y  x = 12 … x + y = ? (4) RM 640 dikongsi antara Safa dan Reivian
mengikut nisbah n : 3. Jika bahagian Safa
x: y yx ialah RM400, cari nilai n.
35 2
S: R S+R
6 n 3

 80

18 30 12 400 240 640

 18 + 30 = 48  n = 400  80 = 5

 masalah melibatkan nisbah bagi tiga kuantiti (2) x : y = 2 : 5 dan z : y = 1 : 3 … x : y : z = ?
(1) x : y = 3 : 2 dan y : z = 8 : 5 … x : y : z = ?

x : * *y : z x : * z : *y
y 85 y 13

32 25 5

4 3

12 8 85 6 15 5 15

 12 : 8 : 5  6 : 15 : 5

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 31

(3) Clement, Enjel dan Nur Iman menjual kupon (4) RM 750 dibahagi antara Merry, Jeffron dan
mengikut nisbah 4 : 5 : 3. Jika Enjel mendapat Deva mengikut nisbah m : 5 : 8. Diberi
RM12 lebih banyak daripada Nur Iman, Merry mendpat RM 100, cari nilai m .
berapa jualan yang Clement dapat
M: JD M+J+D
n 58
C: E N EN
45 32 13

6  50

100 650 750
 n = 100  50 = 2
24 12

 kadar

(1) Rajah di bawah menunjukkan tiga pek kacang, (2) Jadual di bawah menunjukkan kadar bayaran
P, Q dan R. yang berlainan jisim dan harga. yang dikenakan untuk perkhidmatan melayari
internet di sebuah pusat komputer.

PQ R Tempoh masa Kadar per jam
Satu jam pertama RM 5.00
100g 150g 200g Dua jam berikutnya RM 4.00
RM 0.70 RM 0.90 RM 1.20 Setipa jam berikutnya RM 3.00

Pek kacang manakah yang paling mahal ?

 P = RM 0.70 = RM 0.007 per gram Catherine menggunakan perkhidmatan itu dari
100g 10.00 a.m. hingga 4.00 p.m. pada suatu hari
tertentu. Hitung jumlah amaun yang perlu
 Q = RM 0.90 = RM 0.006 per gram Aisyah bayar untuk perkhidmatan itu.
150g
 jam 1600  jam 1000 = 6 jam
 R = RM 1.20 = RM 0.006 per gram
200g  6 = 1 + 2 +3
 1(5) + 2(4) + 3(3) = RM 22
P

(3) Jadual di bawah menunjukkan kadar bayaran (4) Jadual di bawah menunjukkan kadar harga

parker bagi sebuah kereta di sebuah kompleks. untuk membeli suatu produk.

Masa Kadar 100 unit pertama 20 sen seunit
2.00 200 unit berikut 15 sen seunit
Satu jam pertama unit seterusnya 12 sen seunit
1.50
setiap 1 jam berikutnya
2

Christie meletak keretanya selama 6 1 jam, Sherlynieza membeli 580 unit produk itu.
2 Hitung jumlah yang perlu dibayar olehnya.

hitung jumlah wang yang perlu dibayarnya.  580 = 100 + 200 + 280

 6 1 = 1 + 11 ( 1 )  100(0.20) + 200(0.15) + 280 (0.12)
2 2 = RM83.60

 2.00 + 11(1.50) = RM 18.50

 menukar daripada satu unit laju kepada unit laju yang lain.

(1) 90 kmj1 = ………. ms1 (2) 900 m min1 = …… kmj1 (3) 50 ms1 = ……… kmj1

 90 km (90  1000) m  900 m 900 km 50 km
= = 1000  50 m = 1000
1 j (1 3600) s 1 min
1 1s 1 j
= 25 ms1 j 3600

60 = 180 kmj1
= 54 kmj1

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 32

 laju, masa, jarak

laju = jarak jarak jarak = laju  masa jumlah jarak
masa masa = Purata laju =

laju jumlah masa

(1) Jarak antra Kota Kinabalu dan Ranau ialah (2) Jarak dari Kota Belut ke Kudat ialah 140 km.
280 km. Sebuah bas berlepas dari Kota Sebuah bas bertolak dari Kota Belut pada jam
Kinabalu ke Ranau pada pukul 10.45 a.m. 0830. Purata laju bas itu ialah 80 kmh1.
dan tiba di pada pukul 2.15 p.m. pada hari Pukul berapakah, dalam system 24 jam, bas
yang sama. Hitungkan laju, dalam kmj1, itu tiba di Kudat ?
seluruh perjalanan itu.
80 km/j

280 km 140 km

KK R KB K
Jam 1045 Jam 1415 Jam 0830

 280 km = 80 km/j  masa KB / K = 140 = 1 jam 45 minit
jam 1415  jam 1045 80

 jam 0830 + 1 jam 45 minit = jam 1015

(3) Ellysther memandu kereta dengan purata laju (4) Rajah di bawah menunjukkan kedudukan bagi
105 km/j dari Bandar M ke Bandar N. tiga bandar, P, Q dan R.
Perjalanan itu mengambil masa 3 jam. Ali
mengambil masa 30 minit lebih lama dalam 80 km/j 100 km/j
perjalanan pulang dari N ke M. Hitung purata
laju, dalam km/j, perjalanan pulang. 40 km 150 km

105 km/j , 3 jam PQ R

280 km N Sebuah taxi berlepas dari bandar P ke bandar
M Q dengan purata laju 80km/j dan dari bandar
Q ke bandar R dengan purata laju 100km/j.
3 jam 30 minit Cari purata laju, dalam km/j, bagi seluruh
perjalanan itu.

 jarak MN = 105 (3) = 315 km  masa PR = 40 + 150 = 2 jam
80 100
 315 kn = 90 km/h

3 jam 30 min it  (40  150) km = 95 km/j
2 jam

 pecutan

pecutan = laju awal  laju awal
masa

(1) Joeycie memandu dengan laju seragam 60 (2) Sebuah taxi berlepas dengan laju 20 ms1 dan
kmj1. Selepas 40 minit, dia memandu dengan lajunya berkurang dengan seragam sehingga ia
laju 110 kmj1. Cari pecuatan, dalam kmj2, berhenti dalam masa 40 saat. Hitungkan
nyahpecutan, dalam ms2, taxi itu.
kereta itu.

40 minit 40 s

60 km/j 110 km/j 20 ms1 0 ms1

 (110  60) km / j = 75 km/j2  pecutan = (0  20) ms1 = 0.5 ms1
40 min it 40 s.

 nyahpecutan = 0.5 ms1

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 33

(AA) KOORDINAT
 koordinat

y y paksi-y
4P 
2 Q2 Q1 y
(, +) (, +)
x ( 0, y)
(, ) (, )
4 2 O x Q3 Q4 x  paksi-x
Q 2 24
4
O ( x, 0)

P (1, 3) , Q (4, 2)  terletak pada paksi-y
asalan, O (0, 0)  koordinat - x = 0

 terletak pada paksi-x
 koordinat - y = 0

 “ titik tengah ” & “ jarak ” pada garis yang selari dengan paksi-x
selari dengan paksi–x  “ koordinat–y ” sama

( x1 , y ) ( x2 , y )

titik tengah =  x1 x2 , y  jarak = x2  x1
2
(2) Hitungkan jarak antara titik A (1, 7) dan
(1) Koordinat bagi titik P dan Q masing-masing B (9, 7).
ialah (1, 2) dan (7, 2). Cari koordinat  1  (9) = 8
titik tengah bagi PQ.

  1 7 ,  2 = (3, 2)
2 

(3) Diberi garis lurus PQ adalah selari dengan paksi-x. Titik P (4, 2) adalah 5 unit daripada titik Q.
Carikan titik-titik yang mungkin bagi Q.

55

Q ( , 2) P (4, 2) Q ( , 2)

4  5 = 9 4 + 5 = 1
 (9, 2) , (1, 2)

 “ titik tengah ” & “ jarak ” pada garis yang selari dengan paksi-y
selari dengan paksi–y  “ koordinat–x ” sama

titik tengah =  x, y1  y2  ( x , y2 ) jarak = y2  y1
2 ( x , y1 )

(1) Koordinat titik P dan Q masing-masing (2) Diberi P (0, 7) dan Q (0, 8), cari panjang
ialah (5, 14) dan (5, 2). Carikan titik PQ ?
tengah bagi PQ.
 8  (7) = 15
 5, 14  2  = (5, 8)
 2

[ PANDUAN ULANGKAJI MATEMATIK PT3 / 50 ] 34

(3) Jarak antara S ( 4, n ) dan T ( 4, 2 ) ialah 6 unit. Carikan nilai-nilai bagi n.

S(4, n) T ( 4 , 2 ) 6

n  (2) = 6 2  n = 6
n +2=6 2  6 = n
n = 62
n=4 8 = n

 “ titik tengah ” & “ jarak ” bagi suatu titik dengan asalan

titik tengah =  x1 , y1  y jarak = x 2  y 2
2 2
( x1 , y1 )
x

O

(1) Cari koordinat titik tengah bagi titik yang (2) Antara yang berikut, titik manakah yang
menyambungkan titik (12, 16) dengan asalan. paling dekat dengan asalan ?
A. (3, 9)  (3) 2  9 2 = 90
  12 , 16  = (6, 8)
2 2 B. (2, 10)  (2) 2 10 2 = 104

C. (5, 8)  52  82 = 89 

 “ titik tengah ” & “ jarak ”  bagi dua titik (tidak mempunyai koordinat yang sama)

titik tengah =  x1 x2 , y1  y2  ( x2 , y2 ) jarak = (x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2
2 2 ( x1 , y1 )

(1) Koordinat P ialah (4, 2) dan koordinat Q (2) Cari jarak antara K (4, 6) dan L (20, 1).
ialah (2, 8). Koordinat titik tengah bagi garis = (4  20) 2  (6  (1) ) 2
lurus PQ. = 625
= 25
   4  2 ,  2  (8)  = (1, 5)
2 2

(3) Dalam rajah di bawah, Q ialah titik tengah (4) Jarak antara J (6, 1) dan K (18, n) ialah
garis lurus PR. 15 unit. Cari nilai-nilai bagi n.

y 12

R (9, y) J(6, 1) K ( 18 , n ) 15

Q (x, 8) 9
P (1 , 2)

x

Hitungkan nilai x dan y.

 1 9  2 y 1 n = 9 n  1= 9
=x =8 19=n n=9+1
2 2 8 = n n = 10

5= x 2 + y = 16

y = 16  2

y = 14