Slide หน่วยที่ 10 การลดรูปสมการลอจิกเกต E-book

01 หลกั การเบื้องตน้ ของวงจรลอจกิ
02 หลกั การเบอื้ งต้นของพีชคณิต
03 ทฤษฎพี ีชคณิตบูลนี
04 การพิสจู น์ ทฤษฎขี องพีชคณิตบูลีน
05 การลดรูปสมการโดยใชแ้ ผนผังคารโ์ นห์







ตวั อยา่ ง การลดรูปสมการโดยใชพ้ ีชคณิตบลู ลนี 2) Y = A(AB + ABC)
1) Y = A(AB + ABC)

ตวั อยา่ ง การลดรูปสมการโดยใชพ้ ีชคณิตบลู ลนี
1) Y = AC + ABC + ABCD + ABD

ตวั อยา่ ง การลดรูปสมการโดยใชพ้ ีชคณิตบูลลีน โดยใชท้ ฤษฎดี มี อรแ์ กน
4) Y = (A + B + C)D

พิสจู น์ A B A A + AB A + B

A + AB = A + B 00 1 0 0
= (A + A)(A + B)
= (AA + AB + AA + AB) 01 1 1 1
= (A + AB + AB)
= A + AB 1 00 1 1

1 10 1 1

พิสจู น์ A B A A + AB A + B

A + AB = A + B 00 1 1 1
= (A + A)(A + B)
= (AA + AB + AA + AB) 01 1 1 1
= AB + A + AB
= AB + A(1+B) 1 00 0 0
= AB + A
= A + AB 1 00 1 1

การเขียนสมการบลู นี โดยใชฟ้ ังกช์ นั บลู นี : Minterm และ Maxterm

ฟังก์ชนั บลู นี : โดยทวั่ ไปฟังกช์ นั บลู นี ประกอบด้วยพจน์ตา่ งๆ และพจน์ เหลา่ น้ี
อาจเกดิ ข้ึนจากตวั แปรที่ AND กนั หรอื ตวั แปร OR กันหรอื มีทง้ั สองกไ็ ด้

❑ นิ ยามพจน์ ของตวั แปรท่ี AND กันว่า Minterm เชน่ AC
❑ นิ ยามพจน์ ของตวั แปรท่ี OR กันว่า Maxterm เชน่ (A+C)

ตวั อยา่ งฟังกช์ นั บลู นี

Y = ABCD + ABC + AB + AC Minterm

Y = (A+C+D) • (A+B+C) • (A+B+C) Maxterm

การเขียนสมการบลู นี โดยใชฟ้ ังกช์ นั บลู นี : Minterm

Minterm : ตัวแปรกระทาในรูปการณ์ AND และถ้าการจัดหมตู่ ัวแปร n ตัว จะได้
Minterm 2 พจน์ เชน่ n = 2 ใชต้ ัวแปร A, B จะได้ Minterm 4 พจน์ คือ

A B Function Minterm

พจน์ ที่ 1 AB 00 AB
พจน์ ที่ 2 AB
พจน์ ท่ี 3 AB 01 AB
พจน์ ท่ี 4 AB
10 AB

11 AB

สังเกตวา่ : Minterm จะใส่เครอื่ งหมายบาร์ ( ) ทต่ี ัวแปรอินพุตทม่ี ีค่าเป็น 0

การเขียนสมการบลู นี โดยใชฟ้ ังกช์ นั บลู นี : Maxterm

Maxterm : ตัวแปรกระทาในรูปการณ์ OR และถ้าการจัดหม่ตู วั แปร n ตวั จะได้
Maxterm 2 พจน์ เชน่ n = 2 ใชต้ ัวแปร A, B จะได้ Maxterm 4 พจน์ คือ

A B Function Maxterm

พจน์ ที่ 1 A+B 00 A+B
พจน์ ท่ี 2 A+B
พจน์ ที่ 3 A+B 01 A+B

พจน์ ที่ 4 A+B 10 A+B

11 A+B

สังเกตวา่ : Maxterm จะใส่เครอ่ื งหมายบาร์ ( ) ทต่ี วั แปรอนิ พุตทมี่ คี ่าเป็น 1

การเลอื ก Minterm และ Maxterm จากตารางความจรงิ

ABC Function Minterm Maxterm ❑ Minterm: เลือกจากค่าฟังก์ชนั = “1”
000 0 - A+B+C ใส่เครอื่ งหมายบารท์ ตี่ วั แปรค่า 0
001 1 -
010 1 ABC - ❑ Maxterm: เลือกจากค่าฟังกช์ นั = “0”
011 0 ABC A+B+C ใส่เครอื่ งหมายบารท์ ต่ี ัวแปรค่า 1
100 0 A+B+C
101 0 - A+B+C Fmin = ABC + ABC + ABC
110 1 - -
111 0 - A+B+C Fmax = (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
ABC (A+B+C)(A+B+C)
-

การเขียนสมการบลู นี ในรูปแบบฟังกช์ นั ผลรวมของพจน์ผลคณู (SOP)
และผลคณู ของพจน์ผลบวก (POS)

❑ ผลรวมของพจน์ผลคณู (Sum of Product) : ตัวยอ่ (SOP) นิ พจน์ ทเ่ี กดิ จากการรวม
พจน์ ของ Minterm

❑ ผลคณู ของพจน์ผลบวก (Product of Sum) : ตัวย่อ (POS) นิ พจน์ ทเี่ กดิ จากการคูณ
พจน์ ของ Maxterm)

❑ ผลรวมของพจน์ผลคณู (Sum of Product) : นิ พจน์ ทเ่ี กดิ จากการรวมพจน์ ของ

Minterm เชน่ (ABC) + (ABC) + (ABC)

ABC Function Minterm

000 0 - สมการบลู นี แบบ (SOP)
001 1 ABC
010 1 ABC F(A,B,C) = Σm(1,2,6,) = m1+m2+m6
011 0
- = (ABC) + (ABC) + (ABC)

100 0 -

101 0 -

110 1 ABC

111 0 -

❑ ผลคณู ของพจน์ผลบวก (Product of Sum) : นิ พจน์ ทเี่ กดิ จากการคูณพจน์ ของ

ABC Function Maxterm Maxterm เชน่
(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
000 0 A+B+C

001 1 -

010 1 - สมการบลู ลนี แบบ (POS)

011 0 A+B+C F(A,B,C) = ℿM(0,3,4,5,7) = M0+M3+M4+M5+M7

100 0 A+B+C =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
101 0 A+B+C (A+B+C)

110 1 -

111 0 A+B+C

การเขียนสมการบลู นี ในรูปแบบฟังกช์ นั ผลรวมของพจน์ผลคณู (SOP) และผลคณู
ของพจน์ผลบวก (POS)

ABC Function Minterm Maxterm ❑ Minterm: เลือกจากค่าฟังกช์ นั = “1”
000 0 - A+B+C
001 1 - ใส่เครอื่ งหมายบารท์ ต่ี วั แปรค่า 0
010 1 ABC -
ABC F(A,B,C) = Σm(1,2,6,) = m1+m2+m6

= (ABC) + (ABC) + (ABC)

011 0 - A+B+C ❑ Maxterm: เลือกจากค่าฟังก์ชนั = “0”
100 0 - A+B+C
101 0 - A+B+C ใส่เครอ่ื งหมายบารท์ ต่ี วั แปรค่า 1
110 1 ABC F(A,B,C) = ℿM(0,3,4,5,7)
-
= M0+M3+M4+M5+M7

111 0 - A+B+C =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
(A+B+C)(A+B+C)

แผนผงั คารน์ อร์ : แผนภมู แิ สดงความสัมพันธข์ องตัวแปรกบั หมายเลขกากบั ของพจน์

(Karnaugh Map) Minterm และพจน์ Maxterm เลขกากับเทอมมกั ใชเ้ ลขฐานสิบท่ี

(K-Map) สอดคล้องกบั เลขฐานสิบทม่ี คี วามสอดคลอ้ งกบั เลขฐานสองทเี่ กดิ

จากการจัดหม่ตู วั แปรอนิ พุตและเลขทเ่ี รยี งกันในลักษณะห่างกนั

หน่ึ งบติ ประโยชน์ ของแผนผงั คารโ์ นห์คอื ใชล้ ดรูปฟังก์ชนั บลู ีน

ลกั ษณะของแผนผงั คารน์ อร์ : 1) ถ้ามี 2 ตวั แปร ก็จะมีชอ่ งของตาราง 4 ชอ่ ง (22 = 4)
2) ถ้ามี 3 ตัวแปร ก็จะมีชอ่ งของตาราง 8 ชอ่ ง (23 = 8)
3) ถ้ามี 4 ตวั แปร ก็จะมีชอ่ งของตาราง 16 ชอ่ ง (24 = 16)

รูปแบบของแผนผงั คารโ์ นห์

01 แผนผงั คารโ์ นห์แบบ 2 ตวั แปร

ลกั ษณะของแผนผงั คารโ์ นห์ 2 ตวั แปร : มีชอ่ งของตาราง 4 ชอ่ ง (22 = 4)
ชอ่ งของตาราง k-map => ใชแ้ ทนเหตุการณ์ทเี่ กิดข้ึนกับตวั แปร (อนิ พุต)

A B Minterm Maxterm A 1 A 1 BA0 1
B0 B0 00 10
0 0 AB A+B 10 10
00 00 0 A+B A+B
0 1 AB A+B 11 AB
0 0 AB 01 11

1 0 AB A+B 01 01 11 1 A+B A+B

1 1 AB AB

1 1 AB A+B จานวนชอ่ งของตาราง ตวั แปรแบบ Minterm ตัวแปรแบบ Maxterm

การเขียนสมการลอจกิ ลงในแผนผงั คารโ์ นห์ (K-map) แบบ 2 ตวั แปร

Input Output 1) เลอื กตวั แปรแบบ Minterm เลอื กเอาต์พุตทเ่ี ป็น “1”
AB F
00 1 BA 0 1 BA 0 1
01 1 00 00
10 0 10 10
11 1 01 01
0 0
01 01
11 11
11 11
1 1

2) เขียนสมการลอจกิ ใชว้ ธิ แี บบ SOP

F(0,1,3) = Σm(0,1,3,) =

การเขียนสมการลอจกิ ลงในแผนผงั คารโ์ นห์ (K-map) แบบ 2 ตวั แปร

Input Output 1) เลอื กตวั แปรแบบ Maxterm เลือกเอาตพ์ ุตทเ่ี ป็น “0”
AB F
00 1 BA 0 1 BA 0 1
01 1 00 00
10 0 10 10
11 1 01 01
0 0
01 01
11 11
11 11
1 1

2) เขียนสมการลอจกิ ใชว้ ธิ แี บบ SOP
F(0,1,3) =ℿM(2) = M2

F(0,1,3) = A+B

02 แผนผงั คารโ์ นห์แบบ 3 ตวั แปร

ลกั ษณะของแผนผงั คารโ์ นห์ 3 ตวั แปร : มีชอ่ งของตาราง 8 ชอ่ ง (23 = 8)

ชอ่ งของตาราง k-map => ใชแ้ ทนเหตุการณ์ท่เี กิดข้ึนกบั ตวั แปร (อินพตุ )

ABC Minterm Maxterm ตาราง K-map เลอื กตวั แปรเอาตพ์ ตุ แบบ Minterm
000 ABC A+B+C
001 ABC A+B+C AB C 0 1 A CB 00 01 11 10
010 ABC A+B+C
011 ABC A+B+C 000 001 000 001 011 010
100 ABC A+B+C
101 ABC A+B+C 00 ABC ABC 0 ABC ABC ABC ABC
110 ABC A+B+C
111 ABC A+B+C 01 010 011 101 111 101

ABC ABC หรอื ABC ABC ABC

11 110 111 1 100

ABC ABC ABC

100 101

10 ABC ABC

02 แผนผงั คารโ์ นห์แบบ 3 ตวั แปร

ลกั ษณะของแผนผงั คารโ์ นห์ 3 ตวั แปร : มชี อ่ งของตาราง 8 ชอ่ ง (23 = 8)

ชอ่ งของตาราง k-map => ใชแ้ ทนเหตกุ ารณ์ท่ีเกิดข้ึนกับตัวแปร (อินพตุ )

ABC Minterm Maxterm ตาราง K-map เลอื กตวั แปรเอาตพ์ ตุ แบบ Maxterm
000 ABC A+B+C
001 ABC A+B+C AB C 0 1 หรอื A CB 00 01 11 10
010 ABC A+B+C
011 ABC A+B+C 000 001 000 001 011 010
100 ABC A+B+C
101 ABC A+B+C 00 011 0 101 111 101
110 ABC A+B+C 01 010 1 100
111 ABC A+B+C 111
11 110
101
100

10

รูปแบบการหาผลลพั ธข์ อง K-map แบบ 3 ตวั แปร

ตาราง K-map เลอื กตวั แปรเอาตพ์ ตุ แบบ Minterm

1) วงไดค้ รง้ั ละ 8 2) วงไดค้ รงั้ ละ 4 F(A,B,C) = A

A BC 00 01 11 10 F(A,B,C) = 1 A BC 00 01 11 10

000 001 011 010 000 001 011 010

01 1 1 1 01 1 1 1
1 100
1 100 1 101 111 110 1 101 111 110

1 1

3) วงไดค้ รงั้ ละ 4 4) วงไดค้ รงั้ ละ 4 F(A,B,C) = B

A BC 00 01 11 10 A BC 00 01 11 10

000 001 011 010 000 001 011 010
111 110
01 1 F(A,B,C) = B 0 1 1
110 1
1 100 1 101 1 100 101 111 1

1

รูปแบบการหาผลลพั ธข์ อง K-map แบบ 3 ตวั แปร

ตาราง K-map เลอื กตวั แปรเอาตพ์ ตุ แบบ Minterm

5) วงไดค้ รงั้ ละ 8 F(A,B,C) = C 6) วงไดค้ รง้ั ละ 2 F(A,B,C) = AC

A BC 00 01 11 10 A BC 00 01 11 10

000 001 011 010 000 001 011 010
110
01 1 0 1 1

1 100 1 101 111 110 1 100 101 111

1

7) วงไดค้ รง้ั ละ 1 F(A,B,C) = ABC 8) วงไดค้ รง้ั ละมากกวา่ 1 วง
F(A,B,C) = AB+BC+AC
A BC 00 01 11 10 A BC 00 01
000 001 011 11 10
000 001 011 010 010
01 1
0 111 1 110

100 101 1 100 101 111 110

1 1 1

ตวั อยา่ ง จากตารางความจรงิ จงออกแบบวงจรลอจกิ ทใี่ ชอ้ ุปกรณ์น้ อยทส่ี ุด โดยใช้
แผนผังคารโ์ นห์ (K-map)

Input Output ❑ เลือกฟังกช์ นั เอาต์พุตแบบ Minterm
ABC F ❑ เขียนสมการได้ดังน้ี
000 1
001 1 ❑ ทาตาราง K-map เพื่อให้วงจรมขี นาดเล็กและมีจานวนลอจิกเกตน้ อย
010 1
011 0 BC 01 11 10
1 00 1 A 00
101 1 001 011 010
1 10 1 000
111 0 1 1
01

100 101 1 111 110 1

11

ตวั อยา่ ง จากตารางความจรงิ จงออกแบบวงจรลอจิกทใ่ี ชอ้ ุปกรณ์น้ อยทสี่ ดุ โดยใช้
แผนผังคารโ์ นห์ (K-map)

Input Output ❑ เขียนสมการจาก K-mapไดด้ งั น้ี
ABC F ❑ วาดวงจรลอจกิ จากสมการจาก K-map
000 1
001 1
010 0
011 0
1 00 1
101 1
1 10 1
111 0

ตวั อยา่ ง จากตารางความจรงิ จงออกแบบวงจรลอจกิ ทใ่ี ชอ้ ุปกรณ์น้ อยทสี่ ุด โดยใช้
แผนผังคารโ์ นห์ (K-map)

Input Output ❑ เลอื กฟังกช์ นั เอาตพ์ ตุ แบบ………………
ABC F ❑ เขียนสมการไดด้ งั น้ี
000 1
001 0 ❑ ทาตาราง K-map เพื่อให้วงจรมขี นาดเลก็ และมีจานวนลอจิกเกตน้ อย
010 0
011 1 A BC 00 01 11 10
1 00 1
101 1 000 001 011 010
1 10 1
111 1 0 101 111 110
1 100

ตวั อยา่ ง จากตารางความจรงิ จงออกแบบวงจรลอจิกทใ่ี ชอ้ ุปกรณ์น้ อยทสี่ ดุ โดยใช้
แผนผังคารโ์ นห์ (K-map)

Input Output ❑ เขียนสมการจาก K-mapไดด้ งั น้ี
ABC F ❑ วาดวงจรลอจกิ จากสมการจาก K-map
000 1
001 0
010 0
011 1
1 00 1
101 1
1 10 1
111 1

01 แผนผงั คารโ์ นห์แบบ 4 ตวั แปร ABCD Minterm Maxterm

ลกั ษณะของแผนผงั คารโ์ นห์ 4 ตวั แปร
: มชี อ่ งของตาราง 16 ชอ่ ง (24 = 16)

ตาราง K-map เลอื กตวั แปรเอาตพ์ ตุ แบบ Minterm

AB
CD 00 01 11 10
0000 0001 0011 0010

00 ABCD ABCD ABCD ABCD

0100 0101 0111 0110
01 ABCD ABCD ABCD ABCD

1100 1100 1111 1110
11 ABCD ABCD ABCD ABCD

10 1000 1001 1011 1010

ABCD ABCD ABCD ABCD

01 แผนผงั คารโ์ นห์แบบ 4 ตวั แปร ABCD Minterm Maxterm

ลกั ษณะของแผนผงั คารโ์ นห์ 4 ตวั แปร
: มชี อ่ งของตาราง 16 ชอ่ ง (24 = 16)

ตาราง K-map เลอื กตวั แปรเอาตพ์ ตุ แบบ Maxterm

AB 01 11 10
CD 00 0011
0001 0010
0000
0101 0111 0110
00
1100 1111 1110
0100
1001 1011 1010
01

1100

11

1000

10

รูปแบบการหาผลลพั ธข์ อง K-map แบบ 4 ตวั แปร

ตาราง K-map เลอื กฟังกช์ นั พตุ แบบ Minterm

1) วงไดค้ รง้ั ละ 16 2) วงไดค้ รง้ั ละ 8 3) วงไดค้ รง้ั ละ 8

CD 01 11 10 CD 01 11 10 CD 01 11 10
AB 00 AB 00 AB 00
0001 0011 0010 0001 0011 0010 0001 0011 0010
0000 0000 0000
1 1 1 1 1 1 1 0110
00 1 00 1 00 1
0110 0110 1110
0100 0101 0111 0100 0101 0111 0100 0101 0111
1 1010
01 1 1 1 01 01 1 1
1110
1100 1101 1111 1100 1101 1111 1110 1100 1101 1111
1
11 1 1 1 11 1001 11 1 1
1010
1000 1001 1011 1000 1 1011 1010 1000 1001 1011
1 10 1 1
10 1 1 1 10 1 1 1

รูปแบบการหาผลลพั ธข์ อง K-map แบบ 4 ตวั แปร

ตาราง K-map เลอื กฟังกช์ นั เอาตพ์ ตุ แบบ Minterm

4) วงไดค้ รง้ั ละ 4 5) วงได้ 2 วง ครง้ั ละ 4 6) วงได้ 2 วง ครง้ั ละ 2

CD 01 11 10 CD CD
AB 00 AB 00 01 11 10 AB 00 01 11 10
0001 0011 0010
0000 0000 0001 0011 0010 0000 0001 0011 0010
0110
00 00 1 1 00
1
0100 0101 0111 0100 0101 0111 0110 0100 0101 0111 0110
1110 1110
01 1 1 1 01 1 1 01 1 1
1010
1100 1101 1111 1100 1101 1111 1100 1101 1111 1110

11 11 1 1 11 1

1000 1001 1011 1000 1001 1011 1010 1000 1001 1011 1010

10 10 1 1 10 1

รูปแบบการหาผลลพั ธข์ อง K-map แบบ 4 ตวั แปร

ตาราง K-map เลอื กฟังกช์ นั เอาตพ์ ตุ แบบ Minterm

7) วงได้ 2 วง วงละ 1 8) วงได้ 2 วง

CD 01 11 10 CD 01 11 10
AB 00 AB 00
0001 0011 0010 0001 0011 0010
0000 0000
0111 0110 1 0111 0110
00 00
1 1110 1 1
0100 0101 01 0100 0101
1111 1111 1110
01 1 1
1011 1010
11 1100 1101 1100 1101

11 1

1000 1001 1011 1010 1000 1001

10 1 10 1

ตวั อยา่ ง จากตารางความจรงิ แบบอนิ พตุ 4 อนิ พุต จงออกแบบวงจรลอจกิ ท่ใี ชอ้ ปุ กรณ์น้ อยท่ีสดุ โดย
ใชแ้ ผนผังคารโ์ นห์ (K-map)

Input Output ❑ เลือกฟังกช์ นั เอาต์พุตแบบ Mintern
ABCD Y ❑ เขียนสมการไดด้ งั น้ี

0000 0

0001 0 ❑ ทาตาราง K-map เพ่ือให้วงจรมขี นาดเลก็ และมจี านวนลอจกิ เกตน้ อย
0010 1
0011 1 CD
0100 1 AB 00 01 11 10
0101 1
0110 0 0000 0001 0011 0010
0111 0
1000 1 00 1 1
1001 0
1010 1 01 0100 0101 0111 0110
1011 1
1100 1 1 1

1100 1101 1111 1110

11 1 1 1

1000 1001 1011 1010
10 1
11

1101 1

1110 0

1111 1

ตวั อยา่ ง จากตารางความจรงิ แบบอินพุต 4 อินพุต จงออกแบบวงจรลอจกิ ท่ใี ชอ้ ุปกรณ์น้ อยท่สี ุด โดย
ใชแ้ ผนผังคารโ์ นห์ (K-map)

Input Output ❑ เขียนสมการจาก K-map โดยใชร้ ูปแบบ (SOP) ได้ดังน้ี
ABCD Y

0000 0

0001 0 ❑ วาดวงจรลอจกิ จากสมการจาก K-map
0010 1
0011 1
0100 1
0101 1

0110 0

0111 0

1000 1

1001 0

1010 1

1011 1
1100 1
1101 1
1110 0
1111 1

ตวั อยา่ ง จากตารางความจรงิ แบบอินพตุ 4 อนิ พุต จงออกแบบวงจรลอจกิ ท่ีใชอ้ ปุ กรณ์น้ อยท่สี ดุ โดย
ใชแ้ ผนผังคารโ์ นห์ (K-map)

Input Output ❑ เลอื กฟังก์ชนั เอาตพ์ ุตแบบ………………
ABCD Y ❑ เขียนสมการไดด้ ังน้ี

0000 0

0001 0 ❑ ทาตาราง K-map เพื่อให้วงจรมขี นาดเล็กและมจี านวนลอจิกเกตน้ อย
0010 1
0011 1 CD 01 11 10
0100 1 AB 00
0101 0 0001 0011 0010
0110 0 0000
0111 0
1000 1 00
1001 0
01 0100 0101 0111 0110

1100 1101 1111 1110

11

1010 0 1000 1001 1011 1010
1011 1
10

1100 0

1101 1

1110 0

1111 1

ตวั อยา่ ง จากตารางความจรงิ แบบอินพุต 4 อนิ พตุ จงออกแบบวงจรลอจกิ ท่ใี ชอ้ ุปกรณ์น้ อยท่สี ุด โดย
ใชแ้ ผนผงั คารโ์ นห์ (K-map)

Input Output ❑ เขียนสมการจาก K-map โดยใชร้ ูปแบบ (SOP) ได้ดังน้ี
ABCD Y

0000 0

0001 0 ❑ วาดวงจรลอจกิ จากสมการจาก K-map
0010 1
0011 1
0100 1
0101 0

0110 0

0111 0

1000 1

1001 0

1010 0

1011 1
1100 0
1101 1
1110 0
1111 1