ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

นายณัฐณัพงษ์ หงษาพัน เลขที่2 นายเอกมงคล ดอนสินธุ์ เลขที่10 นายภาคิน จำ ปา เลขที่18 นางสาวณัฐณัวลัญลัช์ แหลมคม เลขที่26 นางสาววรนุช สังสั ประเสริฐ เลขที่34 Ebook เรื่องความสัมสัพันธ์แธ์ละฟังก์ชัก์นชั อาจารย์กัย์ญกัญ์ภัญ์คภัพิมพ์ อุดมวงษ์ ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2566 เป็นส่วนหนึ่งของวิชา คณิตศาสตร์ จัด จั ทำ โดย นำ เสนอ

1 การเท่ากันของคู่อันดับ 1. (a,b) =(c,d) ก็ต่อเมื่อมื่ a = c และ b = d 2. (a,b) ≠ (c,d) ก็ต่อเมื่อมื่ a ≠ c หรือรื b ≠ d 2 ผลคูณคาร์ทีเซียน ผลคูณคาร์ทีเซียน (cartesian product) ของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) โดยที่ a เป็นสมาชิกของ A, b เป็นสมาชิกของ B นั่นนั่คือA × B = {(a, b)/a Ɛ A, b Ɛ B} และเมื่อ A = B จะได้เซตผลคูณคาร์ทีเซียนของ A กับ A คือ A × A = {(a, b)/a, b Ɛ A} 3 แผนภาพต้นไม้ แผนภาพต้นไม้ (tree diagram) ช่วยในการหาเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน 4 สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน ให้ A, B, C, D เป็นเซต 1. ถ้า A, B เป็นเซตจํากัด แล้ว n(A × B) = n(A) x n(B) 2. A × ∅ = ∅ × A = Ø 3. (ข้อนี้ไม่จริง) A x B = B × A 4. A × B = Ø ⇔ A= Ø v B = ∅ 5. A × B = A × C ∧ A ≠ Ø → B = C 6. (1) Ax (B⋂C) = (A x B) ⋂(A x C) (2) Ax (BUC) = (A x B) U (A x C) (3) A × (B - C) = (A × B) - (A × C) 7. A⊂C ∧ B ⊂ D → A × B ⊂ C×D 8. (A × B) ⋂ (C x D) → (A⋂C) x (B⋂D) 9. A × A = B × B → A = B 10. A ≠ ∅ ∧ A × B ⊂ A × C → B ⊂ C 11. (A × B) = B × A -1

5 ความสัมพันธ์ 6 โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ 1. ความสัมพันธ์เป็นเซต และเป็นเซตของคู่อันดับ 2. ความสัมพันธ์เป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเซต 2 เซต 3. ถ้า r ⊂ A × A เรียก r ว่าความสัมพันธ์ในเซต A 4. r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ⇔ r ⊂ A × B 5. จำ นวนความสัมพันธ์ r จาก A ไป B = 2 6. (x, y) r เขียน x r y หมายถึง x ไม่มีความสัมพันธ์กับ y 7. Ø เป็นความสัมพันธ์ A × B, A × B × C เป็นความสัมพันธ์ Ø เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B, Ø เป็นสมาชิกของ A × B 1. โดเมนของ r คือเซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน นั่นนั่คือ D = { x/ มี y ซึ่ง (x, y) Ɛ r } 2. เรนจ์ของ r คือเซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน นั่นนั่คือ r R = {y/มี x ซึ่ง (x, y) Ɛ r } 1. การหาโดเมน : เขียน y ในรูปของ x คือ y = Δx เช่น 3xy = 4 → y = 2. การหาเรนจ์ : เขียน x ในรูปของ y คือ x = Δy เช่น 3xy = 4 → x = 7 กราฟของความสัมพันธ์ ให้ R เป็นเซตของจำ นวนจริง r เป็นสับเซตของ R x R กราฟของ ความสัมพันธ์ r คือเซตของจุดในระนาบ โดยที่ แต่ละจุดแทนสมาชิกของความ สัมพันธ์ r n(A × B) 3 / / r r วิธีการหาโดเมนและเรนจ์ 4 4 3x 3y _ _

8. อินเวอร์สของความสัมพันธ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r มีความสำ คัญซึ่งเกิดจากการสลับที่ของ สมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r นั่นนั่คือ r = {(y,x)/.(x,y) r}ในกรณีแจกแจงสมาชิก แต่ในกรณีแบบบอกเงื่อนไขจะเป็น r = {(x,y) Ɛ A × B | y = p(x)} r = {(x,y) Ɛ B × A | x = p(y)} r = {(y,x) Ɛ B × A | y = p(x)} ความสัมพันธ์ระหว่าง r กับ r (1) D = R (2) R = D 9. สมบัติของความสัมพันธ์ -1 3 r r r -1 r -1 เมื่อ r เป็นความสัมพันธ์ A,B เป็นเซต 1. (1) (r ) = r (2) ∅ ≠ ∅ 2. S และ T เป็นความสัมพันธ์จาก x ไป y จะได้ (1) (S ⋂ T) = S ⋂ T (2) (S ⋃ T) = S ⋃ T -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

10 กำ หนด r เป็นความสัมพันธ์บนเซต A 1. r มีคุณสมบัติสะท้อน (reflexive) ก็ต่อเมื่อ ara, ∀a A 2. r มีคุณสมบัติสมมาตร (symmetric) ก็ต่อเมื่อ ถ้า arb แล้ว bra 3. r มีคุณสมบัติการถ่ายทอด (transitive) ก็ต่อเมื่อ ถ้า arb และ bre แล้ว arc 4. r เป็นความสัมพันธ์สมมูล (equivalence relation) ก็ต่อเมื่อ r มีคุณสมบัติสะท้อนสมมาตรและถ่ายทอด 11 ฟังก์ชัน ฟังก์ชัน คือความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้นนั้ถ้ามีสมาชิกตัว หน้าเหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน 3 หมายเหตุ ถ้าสามารถยกตัวอย่างคู่อันดับสองคู่อันดับในความสัมพันธ์ที่มี สมาชิกตัว หน้าเหมือนกันแต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน จะสรุปได้ทันที ว่าความสัมพันธ์ นั้นนั้ ไม่เป็นฟังก์ชัน แผนภาพของ r , r และ r เขียนได้ดังนี้ r ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะมีคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแต่สมาชิก ตัวหลังต่างกัน ตัวอย่างของคู่อันดับนี้ได้แก่ (1,a) ,(1,b) r •r เป็นฟังก์ชันเพราะไม่มีคู่อันดับใดที่มีสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันเลย สำ หรับความสัมพันธ์ที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกนั้นนั้ถ้าสมาชิกตัวหน้าของ แต่ละคู่อันดับไม่เหมือนกันเลย สรุปได้ว่าความสัมพันธ์นั้นนั้เป็นฟังก์ชัน 1 2 3 1 2 3

12 ฟังก์ชันจาก A ไป B (Function from A into B) 13 ฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (One-to-one function) 14 ฟังก์ชันแบบทั่วถึง (Onto function) f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B เขียนแทนด้วย f : A → B หมายถึง ฟังก์ชัน f ที่มี D = A และ R ⊂ B f เป็น ฟังก์ชัน 1-1 จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อสมาชิกในเรนจ์ทุกตัว จับคู่กับ สมาชิกในโดเมนเพียงตัวเดียวเท่านั้นนั้หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งว่าไม่มีสมาชิก ในโดเมน 2 ตัวที่จับคู่กับเรนจ์ 1 ตัวเลย f f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วทั่ถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B และ R = B เขียน f : A → B (onto อาจใช้ภาษาไทยว่าไปทั่วทั่ถึง) f ทั่วทั่ถึง

17 สมบัติของฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชัน ⇔ f เป็นความสัมพันธ์ ซึ่ง [x,y ) Ɛ f ∧ (x,y ) Ɛ f → y = y ] 1. 2. f เป็นฟังก์ชัน ⇔ มี x, y y ซึ่ง [x,y ) Ɛ f ∧ (x,y ) Ɛ f แต่ y ≠ y f 15 การเท่ากันของฟังก์ชัน 16 ฟังก์ชันเอกลักษณ์ ถ้า f : A → A โดยที่ f(x) = x, ∀x Ɛ A จะเรียก f ว่าเป็น ฟังก์ชันเอกลักษณ์แทนด้วย I จะได้ I : A → A f, g เป็นฟังก์ชัน f = g ⇔ D = D และ f(x) = g(x), ∀x D f g A A 1-1 onto 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

18 การทดสอบการเป็นฟังก์ชัน 1. ทดสอบว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่ โดยลากเส้นตรงขนานกับแกน Y ให้ตัดกราฟเส้นตรง ตัดกราฟ เพียง 1 จุด แสดงว่าเป็นฟังก์ชัน ดังกราฟ 3. f, g เป็นฟังก์ชัน, f = g ⇔ D = D ∧ f(x) = g(x), ∀x Ɛ D 4. f : X → Y และ R ⊂ Z → f : X → Z 5. กำ หนด f : A → B (1) f เป็นฟังก์ชัน 1-1 ⇔ (x , y) Ɛ f ((x ,y) Ɛf → x = x (2) f : A → B ⇔ R = B 1 f g f f 1 2 2 f

นิยาม เมื่อ f เป็นฟังก์ชันและถ้า f เป็นฟังก์ชันจะเรียก f ว่า ฟังก์ชันอินเวอร์ส นั่นนั่คือ ถ้า f = {(x, y) A x B/x A และ y B} แล้ว f = {(y, x) B x A/(x, y) f) ข้อสังเกต D = R และ R = D 19 ฟังก์ชันอินเวอร์ส 20 หลักการหาอินเวอร์ส ถ้า r = {(x, y) A × B/y = 5x + 1) หา r ได้ 2 วิธีคือ r = {(y, x) A x B/x= 5y + 1} แบบที่ 1 คงคู่ลำ ดับไว้ แต่เปลี่ยนเงื่อนไข r = {(y, x) B x A/y = 5x+1} แบบที่2 เปลี่ยนคู่อันดับ แต่คงเงื่อนไข การหาฟังก์ชันอินเวอร์ส y = f(x) ขั้นขั้ที่1 แทน x ด้วย y และ y ด้วย x ขั้นขั้ที่2 แก้สมการของ y ถ้าเป็นไปได้ อินเวอร์สสามารถเขียน ด้วยสัญลักษณ์ฟังก์ชันโดยแทน y ด้วย r (x) ถ้า f เป็น 1-1 แล้วจะได้ r จะเป็นฟังก์ชันอินเวอร์ส -1 -1 -1 -1 -1 -1 f f f f -1 -1 -1

21. สมบัติของฟังก์ชัน 1. ถ้า f : X → Y และ A, B ⊂ X แล้วจะได้ (1) f(A) ⊂ Y (2) f(X) = R (3) f(Ø) = Ø (4) f(A B) = f(A) v f(B) (5) f(An B) c f(A) n f(B) 2. f : X → Y และ A ⊂ X, B ⊂ X f : X →Y ⇔ f(A⋂B) = f(A) ⋂ f(B) 3. f : X → Y และ A ⊂ Y, B ⊂ Y แล้ว (1) f (A) ⊂ x (2) f (Y) = f (R ) = X (3) f (Ø) = Ø (4) f (A ⋃ B) = f (A) ⋃ f (B) (5) f (A ⋃ B) = f (A) ⋂ f (B) 4. ถ้า f : X → Y ,A ⊂ X และ B ⊂ Y แล้ว (1) A ⊂ f (f(A)) (2) f(f (B)) ⊂ B 5. f เป็นฟังก์ชัน 1-1 ⇔ f เป็นฟังก์ชัน 1-1 6. ถ้าf : A → B แล้ว f : R → A 7. ถ้า f : A → B แล้ว f : B → A ไปบน f ไปบน ไปบน 1-1 1-1 1-1 1-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1-1 f f