UJI COBA EBOOK

GANESHA OPERATION 1

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

PERSAMAAN KUADRAT (PK)
ax2 + bx + c = 0, a  0

Akar-Akar Jumlah dan Hasil Kali
Persamaan Kuadrat Akar-Akar

x1.2 = b  b2  4ac x1 + x2 = b ; x1x2 = c ;
2a a a

D = b2 – 4ac x1 – x2 =  D
1. D  0 : real a

2. D > 0 : real berbeda Rumus-rumus lain:

1. x12 + x 2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
2

3. D = 0 : real sama 2. x13 + x32 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)

4. D < 0 : tidak real 3. 1  1  x1  x2   b
5. D  k2 : rasional x1 x2 x1x 2 c

4. dan lain-lain

Sifat Akar–Akar

1. Dua akar positif  (1) x1 + x2 > 0; (2) x1x2 > 0; (3) D  0
2. Dua akar negatif  (1) x1 + x2 < 0; (2) x1x2 > 0; (3) D  0
3. Berlainan tanda  x1 . x2 < 0

2 GANESHA OPERATION

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

Menyusun
Persamaan Kuadrat
Rumus persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya y1 dan y2 adalah:

x2 – (y1 + y2)x + y1 . y2 = 0

ax2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat
baru yang akarnya:

1. 1 dan 1 
x1 x2

2. nx1 dan n x2  cx2 + bx + a = 0
ax2 + nbx + n2c = 0
3. x1 + n dan x2 + n  a(x  n)2 + b(xn) + c = 0
a2x2  (b2  2ac)x + c2 = 0
4. x12 dan x22  acx2  (b2  2ac)x +ac = 0
a2x2 + a(b  c)x  bc = 0
5. x1 dan x2 
x2 x1

6. x1 + x2 dan x1x2 

GANESHA OPERATION 3

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

FUNGSI KUADRAT (FK)
y = f(x) = ax2 + bx + c, a  0

Grafik Fungsi Hubungan a, b, c, dan D
Kuadrat dengan Kurva

Cara menggambar parabola a. berhubungan dengan keterbukaan
a > 0 : kurva terbuka ke atas
Tentukan salah satu dari: a < 0 ; kurva terbuka ke bawah

(a) Titik potong dengan sumbu

koordinat b. berhubungan dengan posisi

(b) Titik puncak  b , D b>0 b=0 b <0
 2a 4a 

x = b
2a

 sumbu simetri b<0 b=0 b>0

y= b2  4ac c. berhubungan dengan titik potong
4a dengan sumbu y
c > 0 memotong sumbu y positif
 nilai ekstrem c < 0 memotong sumbu y negatif
c = 0 memotong sumbu y di nol
Jika a > 0 : terbuka ke atas
a < 0 : terbuka ke bawah d. berhubungan dengan titik potong dengan
sumbu x
D > 0 memotong sumbu x di 2 titik
berlainan
D = 0 menyinggung sumbu x
D < 0 tidak memotong sumbu x
Definite positif : a > 0 dan D < 0
Definite negatif : a < 0 dan D < 0

4 GANESHA OPERATION

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

Menentukan Persamaan Hubungan Garis dengan
Parabola Parabola

1. Titik puncak (xp, yp) Hubungan garis y = mx + n
y = a (x – xp)2 + yp dengan parabola y = ax2 + bx + c
Caranya:
2. Titik potong dengan sumbu x 1. Subtitusi garis ke parabola
y = a (x – x1) (x – x2) 2. D > 0 berpotongan di 2 titik

3. Yang lain D = 0 bersinggungan
y = ax2 + bx + c D < 0 tidak berpotongan

GANESHA OPERATION 5

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

PERTIDAKSAMAAN

Sifat–Sifat Penyelesaian Pertidaksamaan

1. Jika a > b, maka Langkah–langkah mencari HP
(i) a ± p > b ± p
(ii) ap > bp, p > 0 I. HP1 didapat dari syarat harus
(iii) ap < bp, p < 0 dipenuhi
(iv) a3 > b3
II. HP2 didapat dari langkah–langkah
2. Jika a > b > 0, 1. Nolkan ruas kanan
maka (i) a2 > b2 2. Tentukan pembuat nol ruas kiri
3. Tulis pembuat nol di garis
(ii) 1  1 bilangan
a b 4. Tentukan tanda (+) atau (–)
5. Arsir daerah yang sesuai
3. Jika a > b dan b > c 6. Tulis HP2

maka a > c III. HP = HP1  HP2

4. Jika a > b dan c > d
maka a + c > b + d

5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0
maka ac > bd

6 GANESHA OPERATION

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

Bentuk Akar Harga Mutlak

f (x)  g(x) Pengertian Mutlak
 HP1 : syarat f(x)  0 dan g(x)  0
 HP2 : kuadratkan ruas kiri kanan x   x, x0
 HP : HP1  HP2  x, x0


1. |x| < a  –a < x < a

2. |x| > a  x > a atau x < –a

3. |x| < |y|  x2 < y2

GANESHA OPERATION 7

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS

Gradien Dua Garis dan Jarak

Gradien: Suatu besaran yang Garis y = m1 x + c1
digunakan untuk mengukur y = m2 x + c2
kemiringan suatu garis.
1. Sejajar  m1 = m2
naik  gradien positif
turun  gradien negatif 2. Tegak lurus  m1 = – 1
datar  gradien nol m2

(1) Persamaan Garis 3. Membentuk sudut 
y = mx + c, maka gradien = m,
ax + by + c = 0, maka gradien =  tg  = m1 - m2
–a 1+ m1 × m2

b Jarak Titik ke Garis:

(2) Diketahui Dua Titik Jarak titik (x1, y1) ke garis
Garis melalui titik (x1, y1) dan (x2, ax + by + c = 0.
y2) maka gradien = y2 - y1
d = ax1 + by1 + c
x 2 - x1 a2 + b2

(3) Sudut antara garis dengan sumbu Konsep The King
x positif adalah , gradien = tg .
y
(4) Garis melalui titik (x1, y1) dan a
gradien m.
y – y1 = m (x – x1)

ax + by = ab

0 bx

8 GANESHA OPERATION

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

PROGRAM LINIER

Menentukan Penyelesaian Optimum

Program Linier adalah salah satu bagian dari matematika terapan yang dapat
memecahkan berbagai persoalan sehari-hari, dimana model matematika terdiri
atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linier yang mempunyai banyak
penyelesaian, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian
optimum).
Langkah-langkah menentukan penyelesaian optimum

Langkah 1 : Buat gambar
Langkah 2 : Tentukan nilai fungsi objektif di titik-titik menyudut
Langkah 3 : Maksimum = pilih yang terbesar

Minimum = pilih yang terkecil

GANESHA OPERATION 9

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

RELASI DAN FUNGSI

Pengertian Fungsi Fungsi Komposisi

Relasi dari A ke B disebut fungsi (pemetaan) fg
jika setiap anggota A dipasang dan hanya sekali.
Domain Kumpulan nilai x yang terdefinisi A BC
Range Kumpulan nilai y h

h=gof

Fungsi Invers  f(x) = ax + b  f 1 (x) = xb
a
Suatu fungsi mempunyai fungsi
invers jika fungsi itu satu–satu.  f(x) = ax  b  f 1 (x) = dx  b
Invers f (x) dinotasikan f –1 (x). cx  d cx  a
Jika y = f (x) maka x = f –1(y).
Rumus fungsi komposisi  f(x) = abx + c  f 1 (x) = a log x  c
(fog)–1 = g –1 o f –1 b

 f(x) = alog(bx + c)  f 1 (x) = ax c
b

 f(x) = ax2 + c  f 1 (x) = 1 (x  c)
a

10 GANESHA OPERATION

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

MATRIKS

Kesamaan dan Operasi Matriks
Transpose
(1) 1 2 2 3 3 5
Dua buah matriks dikatakan sama jika   +   =  
ordo-nya sama dan unsur-unsur seletak  3 4   5 1   8 5 
juga sama.
1 2   2 3  1 1
Jika unsur-unsur baris matriks A (2)   –   =  
diletakkan di kolom maka diperoleh  3 4   5 1   2 3 
transpose A.
(3) 4 1 2  4 8 
Determinan dan Invers   = 12 
 3 4  16 

(4) 1 2   2 3 12 5 .
    =  13
 3 4   5 1   26

(1) Jika A = a b  maka A = ad – bc
 d 
 c 

(2) Jika AB = ;  = 1 0  , maka A dan B dikatakan saling invers
 1 
 0 

(3) Jika A = a b maka A–1 = 1 d b 
  A  
 c d   c a 

(4) AX = B  X = A–1B
XA = B  X = B . A–1

(5) det At = det A

det A–1 = 1
det A

det (A.B) = (det A)(det B)
det Am = (det A)m

GANESHA OPERATION 11

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

STATISTIKA

Ukuran Pemusatan

Rumus-rumus Data Tunggal:

1. Rata-rata : x  x
n

2. Modus : paling sering muncul

3. Kuartil : membagi data atas 4 bagian yang sama

Q1 Q2 Q3

Q1 = Kuartil bawah
Q2 = Kuartil tengah (median)
Q3 = Kuartil atas

Ukuran Pemusatan

Rumus-rumus Data Interval

1. Rata-rata : x = RS + (f . d)
n

2. Modus : Mo = Tb +  S1 S1 S2  C
  
 

3. Kuartil : Qi = Tb +  i n   fs  C
 4 f (Qi ) 

12 GANESHA OPERATION

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

Simpangan

Rumus-rumus untuk Data Tunggal dan Data Interval:

1. Jangkauan : J = Xbesar – Xkecil

2. Simpangan Kuartil : Qd = 1 (Q3 – Q1)
2

3. Simpangan baku : S= (x  x)2
n

4. Simpangan rataan : SR =  xi  x
n

GANESHA OPERATION 13

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

TRIGONOMETRI

Segitiga Jumlah dan Selisih
Sudut

siAn x = b  sin (A + B) = sin A cos B + cosA sin B
c
c sin (A  B) = sin A cos B  cos A sin B
a
x cbos x = c cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
Ba
b cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
a
taCn x = tan (A + B) = tan A  tan B
1  tan A . tan B

Hubungan : 1. sin2 x + cos2 x = 1 tan (A  B) = tan A  tan B
1  tan A . tan B
2. sin x = tan x
cos x
 Sudut kembar
Segitiga sembarang:
sin 2x = 2 sin x cos x
1. Rumus aturan sinus cos 2x = cos2x  sin2x

a  b  c = 2 rL = 2 cos2x  1
sin A sin B sin C
= 1  2 sin2x
2. Rumus aturan cosinus
a2 = b2 + c2  2 bc cos A tan 2x = 2 tan x
1 tan2 x
3. Luas = 1 ab sin c
2

14 GANESHA OPERATION

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

Jumlah dan Selisih Fungsi

Jumlah dan Selisih  perkalian
sin A + sin B = 2 sin ½(A + B) cos ½(A – B)
sin A – sin B = 2 cos ½(A + B) sin ½(A – B)
cos A + cos B = 2 cos ½(A + B) cos ½(A – B)
cos A – cos B = –2 sin ½(A + B) sin ½(A – B)

Perkalian  Jumlah dan Selisih
2 sin x cos y = sin(x + y) + sin (x – y)
2 cos x sin y = sin (x + y) – sin (x  y)
2 cos x cos y = cos (x + y) + cos (x – y)
–2 sin x sin y = cos (x + y) – cos (x – y)

GANESHA OPERATION 15

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

LIMIT
(LIMIT ALJABAR)

Bentuk tak tentu 0  Bentuk tak tentu ~
0 ~

1. Kerjakan dengan memfaktorkan  lim ao xn  a1 xn1  ...  an
x ~ bo xm  b1 xm1  ... bm
lim F(x)
xa G(x) ao
bo
 lim (x  a) f(x) , untuk n = m
(x  a) g(x)
xa = ~, untuk n > m

 lim f(x) f(a) O, untuk n < m
g(x)  g(a)
xa  Bentuk tak tentu ~ – ~

2. L Hospital  lim  ax2  bx  c  ax2  px  q 
lim F(x)  
xa G(x) x ~  b p

2a

 lim F(x) F(a)  lim ax  b  a2 x2  px  q
G(x)  G(a)
xa x ~ 2ab  p 2ab  p
2 a2 2a
 

16 GANESHA OPERATION

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

Limit Trigonometri

Rumus–rumus

1. lim sin ax 3.  lim sin a(x  p)  lim sin a(x  p)
x0 bx b(x  p) tan b(x  p)
xp xp

= lim ax = a = lim a(x  p) = a = lim tan a(x  p) = a
sin bx b sin b(x  p) b sin b(x  p) b
x0 xp xp

2. lim tg ax  lim tan p(x  a)
x0 bx q(x  a)
xa

= lim ax = a = lim p(x  a) = p
tg bx b tan q(x  a) q
x0 xa

GANESHA OPERATION 17

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

TURUNAN

Rumus–rumus Dasar Penggunaan Turunan

f (x) = lim f xhf x (1) Gradien garis singgung Jika titik (x1,
h0 y1) terletak pada y = f (x) maka
h gradien garis singgung di (x1, y1)
m = f (x1)
1. y = k  y = 0 y – y1 = m(x – x1)
2. y = xn  y = nxn – 1
(2) Naik/Turun, Min/Maks
3. y = u ± v  y = u ± v Turun  f (x) < 0
Naik  f (x) > 0
4. y = u . v  y = uv + uv Maks  f (x) = 0
f (x) < 0
5. y= u  y = u '  uv ' Min  f (x) = 0
v 2 f (x) >0
Titik belok  f (x) = 0
6. y = f (g(x))  y = f (g(x)) . g(x)

7. y = sin x  y = cos x

8. y = cos x  y = –sin x

Rumus THE KING 1
2
C  Luas maksimum PQRS = Luas ABC

S Rt  PQ = 1 AB
2
A
P B  PS = QR = 1 t
Q 2

DC

AB  Luas maksimum ABCD = r2
rr

18 GANESHA OPERATION

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

EKSPONEN

Eksponen Persamaan Eksponen

Rumus-rumus praktis Bentuk Persamaan Eksponen
(1) am . an = am + n (1) a f (x) = ag(x)  f (x) = g(x)
(2) a f (x) = b f (x)  f (x) = 0
(2) am = am–n (3) a f (x) = bg(x)  f (x) log a = g(x) log b
an (4) f (x)g(x) = f(x)h(x)
Penyelesaian adalah gabungan dari
(3) (am)n = am.n (i) g(x) = h(x)
(ii) f (x) = 1
(4) (a . b)n = an . bn (iii) f (x) = –1

(5) a = 1 Syarat g(x) dan h(x) sama-sama bernilai
genap atau ganjil
(6) a–n = 1 (iv) f (x) = 0
an Syarat g(x) dan h(x) sama-sama bernilai
positif
(7) m  n am

an

Pertidaksamaan
Eksponen

Jika a f (x) > ag(x) 
(i) f(x) > g(x), untuk a > 1
(ii) f(x) < g(x), 0 < a < 1

GANESHA OPERATION 19

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

LOGARITMA
ax = b  x = alog b

Rumusrumus Persamaan

1. log a . b = log a + log b Jika :
log f(x) = log g(x)
2. log a = log a  log b maka :
b f(x) = g(x)
3. log an = n . log a dengan syarat :

4. a a log b = b f(x) > 0 dan g(x) > 0

5. alog b = log b = 1 a Pertidaksamaan
log a b log
Jika :
6. am log b = a log 1 alog f(x) > alog g(x)
maka :
bm (i) f(x) > g(x), a > 1
(ii) f(x) < g(x), 0 < a < 1
7. alog b . blog c = alog c dengan syarat :

f(x) > 0 dan g(x) > 0

20 GANESHA OPERATION

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

BARISAN DAN
DERET

Deret Aritmetika Deret Geometri
U2 – U1 = U3 – U2 = ...
U2/U1 = U3/U2 = ...

1. Un = a + (n  1)b 1. Un = arn1

2. Sn = n (a + Un) 2. Sn = a . rn 1
2 r1

= n (2a + (n  1)b) 3. Un = Sn  Sn1
2
4. Ut = a.Un atau
3. Un = Sn  Sn  1
 2
4. Ut = a  Un atau Uk . Ul =  U 
2 k  
2
Uk + Ul = 2 U k

2

Deret Geometri
Tak Hingga

1. Syarat Konvergen (mempunyai jumlah)

1 < r < 1

2. Jumlah : S~ = a (konvergen)
1 r

3.  S~ nomor genap = ar
1 r2

 S~ nomor ganjil = a
1 r2

 r = S~ nomor genap

S~ nomor ganjil

GANESHA OPERATION 21

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

HIMPUNAN

Rumus–rumus Himpunan

1. Komplemen dari A adalah Ac = {x | x  A}

2. Interseksi/irisan: A  B = {x | x  A dan x  B}

3. Union/gabungan: A  B = {x | x  A atau x  B}

4. Selisih: A – B = {x | x  A dan x  B}

5. Jumlah:

A + B = {x | x  A atau x  B dan x  A  B}

A + B = (A – B)  (B – A)

6. Deorgan: (a) (A  B) = A  B

(b) (A  B) = A  B

7. Kontrapositif: Jika A  B maka B  A

8. Jika A  B maka A  B = A dan A  B = B

9. Tentang Cardinal

n () = 0

n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B)

n (A  B  C) = n (A) + n (B) + n (C)

– n (A  B) – n (B  C) – n (C  A)

+ n (A  B  C)

n (A – B) = n (A) – n (A  B)

n (A + B) = n (A  B) – n (A  B)
10. Banyak himpunan bagian A = 2n(A) banyaknya himpunan bagian A

yang k anggota: Cnk  n!
(n  k)!k!

11. Himpunan kuasa:

Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang
anggotanya semua himpunan bagian dari A. notasi kuasa: 2A

22 GANESHA OPERATION

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

KOMBINASI DAN
PERMUTASI

Kombinasi

1. Definisi Kombinasi:
Sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan unsur-unsur tersebut
yang berbeda tanpa memperhatikan urutannya.

2. Rumus Kombinasi:

C(n, r) = Crn = n!
r!(n  r)!

dimana n  r
n! = n . (n – 1) . (n – 2) ... 3 . 2 . 1.

Permutasi

1. Definisi Permutasi:
Sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan unsur-unsur tersebut yang
berbeda dengan memperhatikan urutannya (tempatnya).

2. Rumus Permutasi:

P(n, r) = Prn = n! ; dimana n  r
(n  r)!

3. Permutasi Siklis:
Pn(siklis) = (n – 1)!

GANESHA OPERATION 23

The King of the Fastest Solution

Kumpulan Rumus XII IPS_12.05.0.16.04.01.00.184 Matematika

LOGIKA

Tabel Kebenaran

p q ~p p  q p  q p  q p  q

BBS B B B S

BSS B S S S

S BB B S B S

S SB S S B B

Konvers Negasi

Diketahui p  q (implikasi) maka: ~(semua) = beberapa
1. q  p : disebut konvers ~(beberapa) = semua
2. ~p  ~q : disebut invers ~(p – q) = p  ~q
3. ~q  ~p : disebut kontraposisi atau

kontrapositif.

Ekivalensi

1. p  q = ~q  ~p = ~p  q 3. ~(p  q) = ~p  ~q

2. ~(p  q) = ~p  ~q 4. ~(p  q) = p  ~q

Menarik Kesimpulan

1. Modus Ponen 2. Modus Tollen 3. Sillogisme
pq pq
p pq qr
~q
q
 ~p pr

24 GANESHA OPERATION

The King of the Fastest Solution