KELOMPOK 8 4A TMTK [HIMPUNAN TERBUKA & TERTUTUP]

HIMPUNAN
TERBUKA & TERTUTUP

Analisis Real
Dosen Pengampu : Arif Abdul Haqq, S.Si, M.Pd.

Kelompok 8 4A TMTK

Intan Nur Putri Syifa Ratna
2008105012 Elya Mulhamah

2008105024

01 02

PENDAHULUAN DEFINISI 8.1

03 04

TEOREMA 8.2 AKIBAT 8.3

01.

PENDAHULUAN

PENDAHULUAN

 Teori himpunan dijadikan landasan semua cabang matematika yang ditemukan
oleh George Cantor.

 Himpunan terbilang (countable) dan takterbilang (uncountable).
 Himpunan berhingga (finite) dan takberhingga (infinite).

* Himpunan takberhingga : himpunan bilangan asli, cacah, genap, ganjil,
rasional, dan irasional.

 Himpunan terbilang takberhingga (denumerable), takberbilang dan takberhingga
(non denumerable).

PENDAHULUAN

 Himpunan ∅ (Terbilang erhingga)
 Himpunan ℕ (Terbilang Takberhinga)
 Himpunan = 1,2,3 (Terbilang Berhingga)
 Himpunan Terbuka (Open Set) pada bilangan real (ℝ) : interval terbuka ( , )
 Himpunan Tertutup (Close Set) pada bilangan real (ℝ) : interval tertutup

, ; , ∈ ℝ
 Interval tidak tertutup dan tidak terbuka atau setengah terbuka setengah tertutup :

, [ , )

02.

DEFINISI 8.1

DEFINISI 8.1

 Himpuanan ⊆ ℝ dikatakan terbuka di ℝ jika ∀ ∈ terdapat persekitaran
( ) ∋ ( ) ⊂ .

 Himpunan ⊆ ℝ dikatakan tertutup di ℝ jika komplemen yaitu terbuka di
ℝ.

Dengan kata lain

 ⊆ ℝ himpunan terbuka jika ∀ ∈ , ∃ > 0 ∋ ( − , + ) ⊂ .
 ⊆ ℝ himpunan tertutup jika ∀ ∉ , ∃ > 0 ∋ ∩ − , + = ∅.

Contoh Apakah himpunan ℝ = −∞ , ∞ adalah himpunan
(1) terbuka ?

Jawab:
Ambil sebarang ∈ ℝ
Pilih = 1
Maka diperoleh = − 1 , + 1 ⊂ ℝ
Untuk setiap ∈ ℝ
Sehingga ⊂ ℝ
Jadi, ℝ adalah Himpunan Terbuka.

Misalkan = ∈ ℝ ∶ 0 < < 1 . Apakah

himpunan terbuka ?

Jawab:

Ambil ∈ sebarang, ∈ (0, 1)

Pilih = , 1−

22

 Jika = , maka − = − = > 0 .... (i)
2 2 2

Karena < 1− atau 0 < < 1 , maka
2 2 2

+ = + = 3 < 3 × 1 = 3 < 1 .... (ii)
2 2 2 2 4

(i) & (ii) : − , + = , 3 ⊂ (0, 1) .... (iii)

22

 Jika = 1− ,

2

Maka 1− < atau 1 < < 1 , karena itu,
2 2 2

− = − 1− = 3 −1 = 3 × 1 − 1 = 1 > 0 .... (iv)
2 2 2 2 2 4

+ = + 1− = +1 = 1 × 1 + 1 = 3 < 1 .... (v)
2 2 2 2 2 4

(iv) & (v) : − , + = 3 −1 , +1 ⊂ (0,1) .... (vi)

22

Dari (iii) & (vi) : − , + ⊂ 0,1 , ∀ ∈ (0,1)

Artinya

1 −
∃ = 2 , 2 ∋ − , + ⊂ 0,1 , ∀ ∈ (0,1)
Jadi, Himpunan Terbuka.

Contoh
(3)

Apakah = ∈ ℝ ∶ 0 ≤ ≤ 1 himpunan tertutup ?
Jawab:
Ambil ∉ sebarang, berarti < 0 atau > 1
 Jika < 0 , pilih = > 0

Maka 0, 1 ∩ − , + = 0, 1 ∩ 2 , 0 = ∅ .... (i)
 Jika y > 1 , pilih = − 1 > 0

Maka 0, 1 ∩ − − 1 , + − 1 = 0, 1 ∩ 1, 2 − 1 = ∅ .... (ii)

(i) & (ii) : ∀ ∉ , ∃ > 0 ∋ ∩ − , + = ∅
Jadi, Himpunan Tertutup.

03.

TEOREMA 8.2

(SIFAT HIMPUNAN TERBUKA)

~ Teorema 8.2

1) Jika Himpunan Indeks (berhingga atau tak
berhingga) dan terbuka ∀ ∈ , maka ∪ ∈
terbuka

2) Jika 1, 2, … , masing-masing himpunan terbuka,
maka ∩ =1 terbuka

Namakan =∪ ∈ BUKTI
Ambil ∈ sebarang, maka ∃ 0 ∈ ∋ ∈ 0 (1)
Karena 0 terbuka, maka ∃ ( ) ⊂ 0 ⊂
Jadi, terbukti ∀ ∈ , ∃ ( ) ⊂
Berarti =∪ ∈ terbuka

Namakan = ∩ =1 . A.d.t: Terbuka
Ambil ∈ sebarang, maka ∈ , = 1, 2, … ,
Karena ∈ 1 dan 1 terbuka, ∃ 1 > 0 ∋ 1( ) ⊂ 1
Karena ∈ 2 dan 2 terbuka, ∃ 2 > 0 ∋ 2( ) ⊂ 2
Dst.

Karena ∈ dan terbuka, , ∃ > 0 ∋ ( ) ⊂
Sebut: = 1, 2, … , . Jelas > 0
Sehingga ⊂ ⊂ , = 1, 2, … ,
Akibatnya, ⊂ = ∩ =1
Jadi, ∩ =1 terbuka.

04.

AKIBAT 8.3

AKIBAT 8.3

1) Jika Himpunan Indeks (berhingga atau tak

berhingga) dan tertutup ∀ ∈ , maka

∪ ∈ tertutup himpunan

2) Jika 1, 2, … , masing-masing
tertutup, maka ∩ =1 tertutup

THANKYOU

FOR YOUR

ATTENTION!

CREDITS: This presentation template was created by Slidesgo, including icons by
Flaticon, and infographics & images by Freepik