Κβαντομηχανική Γ’ Λυκείου

To βιβλίο μαθητή περιλαμβάνει: • Όλη την ύλη της Κβαντομηχανικής της Γ΄ Λυκείου, σύμφωνα με το επίσημο πρόγραμμα σπουδών του Υπουργείου Παιδείας • Αναλυτική παρουσίαση της θεωρίας με παραδείγματα και εφαρμογές • Πάνω από 200 ασκήσεις • Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα • Ειδικό παράρτημα με τις λύσεις των ασκήσεων για έλεγχο και αυτοαξιολόγηση • 2 κριτήρια αξιολόγησης για τον μαθητή (λύσεις μόνο στο ψηφιακό) • 2 κριτήρια αξιολόγησης για τον καθηγητή (ψηφιακά) Τo βιβλίο παρέχει επίσης κωδικό ψηφιακού βιβλίου για 12μηνη πρόσβαση μέσω της LMS εφαρμογής Klett Book-App*, ο οποίος ενεργοποιεί**: • Το ψηφιοποιημένο έντυπο βιβλίο με τις περισσότερες ασκήσεις διαδραστικοποιημένες • 2 βίντεο-πειράματα • 6 βιντεοσκοπημένες μεθοδολογίες λύσης ασκήσεων * Απαιτείται συνεχής σύνδεση στο Internet Δείτε τους όρους χρήσης στο www.klett.gr/termsba Δείτε τις προδιαγραφές συσκευών στο www.klett.gr/physicsbooks ** Ο κωδικός αυτού του βιβλίου δεν ενεργοποιείται σε λογαριασμό καθηγητή Αναζητήστε στο www.klett.gr αντίστοιχο κωδικό για καθηγητές. Λυκείου Γ΄ + πρόσβαση στην ψηφιακή έκδοση Προσανατολισμού θετικών επιστημών και επιστημών υγείας Αναλυτική θεωρία με εφαρμογές και πειράματα Ασκήσεις με μεθοδολογία: 66 λυμένες, 203 προς λύση Αναλυτική θεωρία με εφαρμογές και πειράματα Ασκήσεις με μεθοδολογία: 66 λυμένες, 203 προς λύση Απογείωσε τις επιδόσεις σου στην Κβαντομηχανική με πλούσιο έντυπο και ψηφιακό υλικό! www.klett.gr/physicsbooks Βιβλίο + Klett Book-App Γεώργιος Γκρος, Παναγιώτης Δημητριάδης, Κωνσταντίνος Νικολόπουλος Ιωάννης Παπαδάκης, Λαμπρινή Παπατσίμπα Κβαντομηχανική Γ΄ Γενικού Λυκείου Κβαντομηχανική Γ΄ Γενικού Λυκείου Κβαντομηχανική ISBN 978-960-582-167-8

Βιβλίο + Klett Book-App Γεώργιος Γκρος Παναγιώτης Δημητριάδης Κωνσταντίνος Νικολόπουλος Ιωάννης Παπαδάκης Λαμπρινή Παπατσίμπα Klett Hellas Αθήνα Αναλυτική θεωρία με εφαρμογές και πειράματα Ασκήσεις με μεθοδολογία: 66 λυμένες, 203 προς λύση Κβαντομηχανική Γ΄ Γενικού Λυκείου Προσανατολισμού θετικών επιστημών και επιστημών υγείας ΔΕΙΓΜΑ - DEMO - ΔΕΙΓΜΑ - DEMO ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ & Η ΕΚΤΥΠΩΣΗ

3 ΚβαντομηχανιΚη Γ΄ ΛύΚειοy Αγαπητές μαθήτριες, αγαπητοί μαθητές, Βρίσκεστε στην εξαιρετικά ευνοϊκή συγκυρία να διδάσκεστε τα πρώτα στοιχεία κβαντομηχανικής ήδη κατά τη φοίτησή σας στο λύκειο! Η σύγχρονη Φυσική, συμπεριλαμβανομένης της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας και της κβαντομηχανικής, αποτελεί ένα τεράστιο διανοητικό άλμα της ανθρωπότητας. Αυτές οι εξελίξεις είχαν κοσμογονική επίδραση στον ανθρώπινο πολιτισμό, σε τεχνολογικό/πρακτικό αλλά και φιλοσοφικό επίπεδο. Φυσικά, δεν μπορεί κανείς να παραγνωρίσει το γεγονός πως το τέλος της σχολικής χρονιάς οδηγεί στις εξετάσεις εισαγωγής για τα ιδρύματα της Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης. Κατανοούμε πλήρως πως αυτό αποτελεί μια απαιτητική και επίπονη διαδικασία, άλλωστε υπήρξαμε και εμείς μαθητές. Παρ’ όλα αυτά, πιστεύουμε πως είναι δυνατόν η προετοιμασία σας για τις εξετάσεις να αποτελέσει μια ευκαιρία κατανόησης νέων συναρπαστικών εννοιών και γνωριμίας με φαινόμενα που βρίσκουν καθημερινή εφαρμογή. Αυτό, λοιπόν, προσπαθήσαμε να επιτύχουμε με τη δημιουργία του βιβλίου που κρατάτε στα χέρια σας. Είμαστε βέβαιοι πως κατά τη διάρκεια των μαθητικών σας χρόνων έχετε αναπτύξει τις τεχνικές μελέτης που σας ταιριάζουν περισσότερο. Από τη μεριά μας θα θέλαμε να υπογραμμίσουμε ότι κάθε κομμάτι του βιβλίου έχει κάτι να σας προσφέρει! Η «θεωρία» αναπτύσσει τις έννοιες και τις θέτει σε ένα συστηματικό πλαίσιο. Οι εφαρμογές επεξηγούν τη «θεωρία» και αναδεικνύουν με ποσοτικό τρόπο τα χαρακτηριστικά της. Οι ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής και σωστού/λάθους βοηθούν στον έλεγχο της κατανόησης των εννοιών, ενώ με τα θέματα «Β» εξασκείστε στην εφαρμογή των μαθηματικών σχέσεων που αναπτύχθηκαν. Τέλος, τα θέματα «Γ» είναι πιο σύνθετες ασκήσεις, που απαιτούν συνδυαστική σκέψη σε κάποια μέρη τους. Φυσικά, οι λυμένες ασκήσεις αναπτύσσουν τις σχετικές μεθοδολογίες και τεχνικές. Στα κομμάτια που τιτλοφορούνται «Εμβάθυνση στη Φυσική» αναπτύσσονται ενδιαφέροντα, κατά τη γνώμη μας, θέματα, που χρησιμοποιούν τις έννοιες που μελετήσατε ή ζητήματα που, ενώ είναι πέραν της ύλης του μαθήματος, έχουν ενδιαφέρον καθώς προχωράτε στην ενασχόληση σας με την κβαντομηχανική. Σας παροτρύνουμε να μην αφήσετε τίποτε στην άκρη! Θα είμαστε χαρούμενοι να λάβουμε τα σχόλια και τις προτάσεις σας, ώστε να βελτιώσουμε αυτό το βιβλίο ακόμα περισσότερο. Σας ευχόμαστε καλή μελέτη! Αγαπητή/έ συνάδελφε, Η ένταξη εννοιών από την κβαντική Φυσική στη διδακτέα-εξεταστέα ύλη της Φυσικής της Γ΄Λυκείου είναι από μόνη της ένα πολύ σημαντικό βήμα για τον εκσυγχρονισμό του διδακτικού περιεχομένου της Λυκειακής Φυσικής στην Ελλάδα. Επιθυμώντας να συνεισφέρουμε από τη δική μας πλευρά στη σταθεροποίηση αλλά και την εξέλιξη του παραπάνω βήματος, αποφασίσαμε να συγγράψουμε το εγχειρίδιο που αυτή τη στιγμή κρατάς στα χέρια σου. Όλα τα μέλη της συγγραφικής ομάδας, με μακροχρόνια εμπειρία στη διδακτική πράξη, έχουν βαθιά συναίσθηση του ότι η διδασκαλία της Φυσικής είναι μια ενεργή διαδικασία οικοδόμησης της γνώσης, όπου τα διδακτικά βήματα πρέπει να προσαρμόζονται, να αναδιαμορφώνονται και να επαναπροσδιορίζονται μέσα από την αλληλεπίδραση δασκάλου-μαθητή. Λαμβάνοντας υπόψη το πλαίσιο των στόχων και τη φιλοσοφία του νέου προγράμματος σπουδών για τη Φυσική του Λυκείου, δεν στοχεύσαμε τη συγγραφή ενός βιβλίου κβαντομηχανικής αλλά ενός οδηγού, με τη βοήθεια του οποίου ο μαθητής θα πραγματοποιήσει τα πρώτα του βήματα στον συναρπαστικό κόσμο της κβαντικής Φυσικής. Εσύ, ο δάσκαλός του, θα είσαι συμπαραστάτης, εμψυχωτής και καθοδηγητής στην επίπονη και δημιουργική πορεία του προς τη γνώση. Με τις παραπάνω σκέψεις ως οδηγό, προσπαθήσαμε να διαρθρώσουμε την κάθε ενότητα ακολουθώντας τα βήματα της μάθησης με διερεύνηση. Στην αρχή, προκαλούμε το ενδιαφέρον των μαθητών χρησιμοποιώντας ως εναύσματα εφαρμογές από τη σύγχρονη τεχνολογία, φαινόμενα από την καθημερινή ζωή, καθώς και ερωτήσεις για φαινόμενα που εξελίσσονται στις πιο απομακρυσμένες γωνιές του σύμπαντος ή στο πολύ μακρινό παρελθόν. Στη συνέχεια, εισάγουμε τις έννοιες, είτε ακολουθώντας την ιστορική διαδρομή είτε με την πραγματοποίηση απλών δραστηριοτήτων ή πειραμάτων ή με τη βοήθεια νοητικών πειραμάτων, και καθοδηγούμε τον μαθητή στη διατύπωση συμπερασμάτων και στην απάντηση ερωτήσεων ή στην ερμηνεία φαινομένων που παρουσιάστηκαν στην αρχή της ενότητας. Στο πλαίσιο της εμπέδωσης των συμπερασμάτων από τον μαθητή και της ανάδειξης του ερμηνευτικού χαρακτήρα της επιστημονικής γνώσης, παρουσιάζουμε μια σειρά από εφαρμογές. Στο τέλος κάθε ενότητας, ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής και σωστού/λάθους βοηθούν τον μαθητή στην εννοιολογική κατανόηση. Μια σειρά από προβλήματα αλλά και λυμένα παραδείγματα καλλιεργούν τη δεξιότητα επίλυσης προβλημάτων. Επίσης, έτοιμα φύλλα εργασίας, σχέδια μαθήματος, ερωτήσεις με απαντήσεις, προβλήματα με τις λύσεις τους, βίντεο, διαδραστικές ερωτήσεις/απαντήσεις, όλα αυτά ελπίζουμε να γίνουν πολύτιμα εργαλεία στα χέρια σου για τη διδασκαλία του μαθήματός σου. Εμείς θα είμαστε δίπλα σου για να λύσουμε τις απορίες σου. Σου ευχόμαστε καλή επιτυχία στο έργο σου! Πρόλογος Η συγγραφική ομάδα 3 ΔΕΙΓΜΑ - DEMO - ΔΕΙΓΜΑ - DEMO ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ & Η ΕΚΤΥΠΩΣΗ

Περιεχόμενα 4 Πρόλογος 3 7.1 Το τέλος της κλασικής μηχανικής ť Κβαντική θεωρία Εισαγωγή 6 7.2 Ακτινοβολία μέλανος σώματος Εισαγωγή - στόχοι 8 Βασικές έννοιες από τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 9 Τα σώματα με υψηλή θερμοκρασία ακτινοβολούν 9 Η αρχή του τέλους 11 Οι επιτυχίες και οι αποτυχίες της κλασικής Φυσικής 11 Μια ριζοσπαστική ιδέα: Το κβάντο ενέργειας 12 Εμβαθύνοντας στη Φυσική 16 Η κοσμική μικροκυματική ακτινοβολία υποβάθρου 16 Το φαινόμενο του θερμοκηπίου 16 Θέματα Α κλειστού τύπου 20 Θέματα Β λυμένα 23 Θέματα Β προς λύση 24 Λυμένες ασκήσεις - Μεθοδολογία 25 Ασκήσεις προς λύση 27 Πειραματική μελέτη: Το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο Το φωτοκύτταρο 30 1η δραστηριότητα 31 2η δραστηριότητα 32 3η δραστηριότητα 34 4η δραστηριότητα 34 Θεωρητικό παράρτημα 35 7.3 Το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο Εισαγωγή - στόχοι 37 Ας ακολουθήσουμε τα βήματα του Χερτζ 38 Πώς δημιουργείται το φωτόρευμα 40 Το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο στην κλασική κυματική θεωρία 43 Κβαντική ερμηνεία του φωτοηλεκτρικού φαινομένου 44 Διερεύνηση της φωτοηλεκτρικής εξίσωσης του Αϊνστάιν 45 Η ορμή των φωτονίων 46 Θέματα Α κλειστού τύπου 47 Θέματα Β λυμένα 50 Θέματα Β προς λύση 53 Λυμένες ασκήσεις - Μεθοδολογία 55 Ασκήσεις προς λύση 62 7.4 Το φαινόμενο Κόμπτον Εισαγωγή - στόχοι 67 Ακτίνες Χ 68 Αλληλεπίδραση των ακτίνων Χ με την ύλη 69 Το φαινόμενο Κόμπτον 70 Απόδειξη της μαθηματικής σχέσης της μετατόπισης Κόμπτον 72 Θέματα Α κλειστού τύπου 75 Θέματα Β λυμένα 77 Θέματα Β προς λύση 79 Λυμένες ασκήσεις - Μεθοδολογία 81 Ασκήσεις προς λύση 84 Το πείραμα του Γιανγκ Το φαινόμενο της περίθλασης 88 Τα υλικά που θα χρησιμοποιήσεις 88 1η δραστηριότητα 89 2η δραστηριότητα 91 7.5 Κυματική φύση της ύλης Εισαγωγή - στόχοι 92 Ο κυματο-σωματιδιακός δυϊσμός του φωτός 93 Η κυματική φύση της ύλης 93 Πότε η ύλη εμφανίζει κυματικές και πότε σωματιδιακές ιδιότητες 94 Η συνθήκη κβάντωσης της στροφορμής 95 Πειραματική επιβεβαίωση της ύπαρξης υλικών κυμάτων 96 Όταν τα ηλεκτρόνια διέρχονται από λεπτές σχισμές 97 Εμβαθύνοντας στη Φυσική 100 Το πείραμα των Ντέιβισον και Γκέρμερ 100 Το μικροσκόπιο ηλεκτρονίων 101 Θέματα Α κλειστού τύπου 102 Θέματα Β λυμένα 103 Θέματα Β προς λύση 105 ΔΕΙΓΜΑ - DEMO - ΔΕΙΓΜΑ - DEMO ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ & Η ΕΚΤΥΠΩΣΗ

Βίντεο ΕπεÀήγηση συμβόλων Διαδραστική άσκηση 5 Λυμένες ασκήσεις - Μεθοδολογία 106 Ασκήσεις προς λύση 108 7.6 Η αρχή της απροσδιοριστίας Εισαγωγή - στόχοι 109 Πού βρίσκεται το σωματίδιο; Η αρχή της απροσδιοριστίας 110 Μέτρηση και αρχή της απροσδιοριστίας: Το νοητικό πείραμα του Χάιζενμπεργκ 112 Η αρχή της απροσδιοριστίας και το πείραμα της μονής σχισμής 112 Η αρχή της απροσδιοριστίας για τη θέση και την ταχύτητα 113 Η αρχή της απροσδιοριστίας για την ενέργεια και τον χρόνο 114 Η αρχή της απροσδιοριστίας και η μάζα ασταθών σωματιδίων 115 Εμβαθύνοντας στη Φυσική 118 H ελάχιστη ενέργεια παγιδευμένου ηλεκτρονίου 118 H ελάχιστη ενέργεια απλού αρμονικού ταλαντωτή 119 Θέματα Α κλειστού τύπου 120 Θέματα Β λυμένα 122 Θέματα Β προς λύση 123 Λυμένες ασκήσεις - Μεθοδολογία 124 Ασκήσεις προς λύση 128 7.7 Κυματοσυνάρτηση Εισαγωγή - στόχοι 129 Η εξίσωση του Σρέντινγκερ 131 Εμβάθυνση στη Φυσική - Η εξίσωση του Σρέντινγκερ και τελεστές 132 Η φυσική σημασία της κυματοσυνάρτησης (Συνθήκη κανονικοποίησης) 132 Παραδείγματα εφαρμογών της εξίσωσης του Σρέντινγκερ 133 Διαπερνώντας τα εμπόδια 134 Παγιδευμένα σωματίδια 135 Η σχολή της Κοπεγχάγης 137 Μερικές γενικότερες σκέψεις για την κβαντομηχανική 138 Θέματα Α κλειστού τύπου 139 Απαντήσεις ερωτήσεων και ασκήσεων Απαντήσεις στην ακτινοβολία μέλανος σώματος 141 Απαντήσεις στο φωτοηλεκτρικό φαινόμενο 144 Απαντήσεις στη σκέδαση Κόμπτον 156 Απαντήσεις στην κυματική φύση της ύλης 165 Απαντήσεις στην αρχή της απροσδιοριστίας 170 Απαντήσεις στην κυματοσυνάρτηση 173 Απαντήσεις εργαστηριακών ασκήσεων Απαντήσεις στην εργαστηριακή άσκηση στο φωτοηλεκτρικό φαινόμενο 174 Απαντήσεις στην εργαστηριακή άσκηση στο πείραμα του Γιανγκ 178 Kριτήρια αξιολόγησης 1ο κριτήριο αξιολόγησης στην κβαντομηχανική 182 2ο κριτήριο αξιολόγησης στην κβαντομηχανική 186 Τυπολόγιο κβαντομηχανικής 190 ΔΕΙΓΜΑ - DEMO - ΔΕΙΓΜΑ - DEMO ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ & Η ΕΚΤΥΠΩΣΗ

6 Ο 19ος και ο 20ός αιώνας αποτελούν μια χρονική περίοδο η οποία χαρακτηρίζεται από την εισαγωγή πολλών ριζοσπαστικών ιδεών στη Φυσική και τη διατύπωση νέων επιστημονικών θεωριών για τη φύση του φωτός και της ύλης. Η κλασική Φυσική απέτυχε να ερμηνεύσει πειράματα που έχουν σχέση με την αλληλεπίδραση της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας με την ύλη. Τη λύση σε αυτό το πρόβλημα την έδωσε αρχικά ο Μαξ Πλανκ (Max Planck) το 1900, όταν εξήγαγε την εξίσωση της φασματικής κατανομής για την ακτινοβολία του μέλανος σώματος, που συμφωνούσε με τα πειραματικά δεδομένα. Υπέθεσε πως στο μέλαν σώμα υπάρχουν ταλαντωτές οι οποίοι εκπέμπουν ενέργεια σε διακριτές μόνο τιμές. Το 1905 ο Άλμπερτ Αϊνστάιν (Albert Einstein) χρησιμοποίησε αυτή την ιδέα για την ερμηνεία του φωτοηλεκτρικού φαινομένου, εισάγοντας την ιδέα ότι η ενέργεια των φωτονίων που προσπίπτουν σε ένα σώμα είναι κβαντισμένη και ότι αυτό είναι ένα καθολικό χαρακτηριστικό του φωτός. Το 1922 ο Άρθουρ Kόμπτον (Arthur Compton) παρατήρησε και μελέτησε τη σκέδαση των ακτίνων Χ από ηλεκτρόνια, αποδεικνύοντας ότι τα φωτόνια εκτός από ενέργεια έχουν και ορμή. Με τη βοήθεια αυτών των απόψεων απαντήθηκαν ερωτήματα που απασχολούσαν επί αιώνες την επιστημονική κοινότητα, όπως είναι η φύση του φωτός ή η εξάρτηση του χρώματος ενός θερμού σώματος από τη θερμοκρασία του. Με την ανάπτυξη της κβαντικής θεωρίας προβλέφθηκαν επίσης φαινόμενα η ύπαρξη των οποίων επιβεβαιώθηκε πολύ αργότερα, όπως το φαινόμενο του κβαντικού εναγκαλισμού (ή κβαντική σύμπλεξη). Το τέλος της κλασικής μηχανικής ť Κβαντική θεωρία 6 Σε αυτή την ενότητα: • Θα γνωρίσεις φαινόμενα που οδήγησαν τους επιστήμονες να εισαγάγουν έννοιες που με πρώτη ματιά αντιτίθενται στην εμπειρία μας. • Θα μάθεις για τους νόμους που διέπουν τη λειτουργία του μικρόκοσμου. • Θα γνωρίσεις πώς η συμπεριφορά των σωματιδίων του μικρόκοσμου προσδιορίζει και ιδιότητες που εμφανίζονται στον μακρόκοσμο αλλά και στον μεγάκοσμο. • Θα γνωρίσεις ότι η εφαρμογή των νόμων του μικρόκοσμου οδηγεί σε σημαντικές τεχνολογικές εφαρμογές, όπως το ηλεκτρονικό μικροσκόπιο και, στο μέλλον, οι κβαντικοί υπολογιστές. 7.1 ΔΕΙΓΜΑ - DEMO - ΔΕΙΓΜΑ - DEMO ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ & Η ΕΚΤΥΠΩΣΗ

7 ΚβαντομηχανιΚη Γ΄ ΛύΚειοy «Όσοι δεν συνταράζονται όταν συναντούν για πρώτη φορά την κβαντική θεωρία δεν είναι δυνατόν να την έχουν κατανοήσει.» Νιλς Μπορ (1952) 7 Νιλς Μπορ Στο φαινόμενο του κβαντικού εναγκαλισμού δύο ή περισσότερα σωματίδια που δημιουργήθηκαν μαζί ή αλληλεπιδρούν δεν μπορούν να περιγραφούν ανεξάρτητα, καθώς η κατάσταση του ενός συνδέεται με την κατάσταση του άλλου. Τα σωματίδια παραμένουν σε εναγκαλισμό ανεξάρτητα από την απόσταση που μπορεί να τα χωρίζει στη συνέχεια. Αν μετρήσουμε την κατάσταση του ενός σωματιδίου, ο κβαντικός εναγκαλισμός μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα τον άμεσο προσδιορισμό της κατάστασης και του άλλου, ακόμα και αν βρίσκεται εξαιρετικά μακριά. Σήμερα, αυτή η «παράξενη» συμπεριφορά των σωματιδίων βρίσκει εφαρμογή, μεταξύ άλλων, στους τομείς των κβαντικών υπολογιστών και της κβαντικής κρυπτογραφίας. Οι πρωτοπόροι των πειραματικών μελετών σε αυτά τα φαινόμενα, Αλέν Ασπέ (Alain Aspect), Τζον Κλάουζερ (John Clauser) και Άντον Τσάιλινγκερ (Anton Zeilinger), τιμήθηκαν με το Βραβείο Νόμπελ Φυσικής του 2022. ΔΕΙΓΜΑ - DEMO - ΔΕΙΓΜΑ - DEMO ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ & Η ΕΚΤΥΠΩΣΗ

8 «Μπορεί κανείς να διαπιστώσει πως η συνεχής απώλεια ενέργειας υπό τη μορφή ακτινοβολίας μπορεί να αποφευχθεί αν παραδεχτούμε πως η ενέργεια, ευθύς εξαρχής, είναι αναγκασμένη να παραμένει σε ορισμένα κβάντα. Επρόκειτο για μια εντελώς θεωρητική παραδοχή την οποία δεν σκέφτηκα πολύ, εκτός από το ότι, με οποιοδήποτε κόστος, έπρεπε να οδηγηθώ σε ένα θετικό αποτέλεσμα.» Μαξ Πλανκ (1931) Ακτινοβολία μέλανος σώματος Σε αυτή την ενότητα: • Θα μάθεις ότι η θερμή ύλη στη στερεά και υγρή μορφή της εκπέμπει ακτινοβολία, της οποίας το φάσμα έχει συγκεκριμένα χαρακτηριστικά. • Θα μάθεις να περιγράφεις τα χαρακτηριστικά των πειραματικών δεδομένων της ακτινοβολίας μέλανος σώματος. • Θα γνωρίσεις ποια χαρακτηριστικά του φάσματος της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος δεν μπορεί να ερμηνεύσει η κλασική θεωρία. • Θα μάθεις να περιγράφεις ποιοτικά την υπόθεση του Πλανκ για την ερμηνεία της μορφή του φάσματος της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος και να την αναφέρεις λεκτικά. • Θα μάθεις να αναγνωρίζεις τη σταθερά του Πλανκ ως θεμελιώδη φυσική σταθερά με διαστάσεις ενέργεια επί χρόνο. • Θα μάθεις να εξηγείς εφαρμογές της καθημερινής ζωής με βάση τα χαρακτηριστικά της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος. 7.2 Ο Ήλιος 8 ΔΕΙΓΜΑ - DEMO - ΔΕΙΓΜΑ - DEMO ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ & Η ΕΚΤΥΠΩΣΗ

9 ΚβαντομηχανιΚη Γ΄ ΛύΚειοy Βασικές έννοιες από τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα Το φως, σύμφωνα με τη θεωρία του Μάξγουελ, είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα, όπως επιβεβαίωσε πειραματικά αργότερα ο Χερτζ (Heinrich Hertz). Σύμφωνα με τη θεωρία του Μάξγουελ, τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα δημιουργούνται από ηλεκτρικά φορτία που επιταχύνονται. Όταν ένα ηλεκτρικά φορτισμένο σωμάτιο εκτελεί αρμονική ταλάντωση συχνότητας f, τότε παράγονται ηλεκτρομαγνητικά κύματα με την ίδια συχνότητα, τα οποία ονομάζονται και ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Τα κύματα αυτά είναι εγκάρσια, χαρακτηρίζονται από ταλαντώσεις του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου σε διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους και κάθετες προς την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, όπως και τα μηχανικά κύματα, μεταφέρουν ενέργεια και ορμή που προέρχεται από την πηγή του κύματος. Επιπλέον, τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα δεν χρειάζονται κάποιο μηχανικό μέσο για τη διάδοσή τους, μπορούν να διαδίδονται στον κενό χώρο με σταθερή ταχύτητα και χωρίς παραμόρφωση. Η ένταση της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας I είναι ένα μονόμετρο φυσικό μέγεθος που μετρά την ενέργεια που μεταφέρεται από ένα κύμα. Εκφράζει τη ροή ενέργειας ΔΕ μέσα από μια επιφάνεια κάθετη στη διεύθυνση του κύματος, ανά μονάδα χρόνου Δt και ανά μονάδα εμβαδού της επιφανείας ΔΑ. E I A t ∆ = ∆ ⋅∆ ή E 1 I t A ∆ = ⋅ ∆ ∆ με μονάδα στο SI: 2 2 J W 1 1 ms m = ⋅ Τα σώματα με υÉηλή θερμοκρασία ακτινοβολούν Στα στερεά, τα άτομα του υλικού εκτελούν ταλαντώσεις γύρω από συγκεκριμένες θέσεις. Η ενέργεια των ταλαντωτών είναι ανάλογη της απόλυτης θερμοκρασίας του σώματος και η συχνότητά τους εξαρτάται από το υλικό. Επειδή τα δομικά αυτά στοιχεία είναι φορτισμένα, εκτελούν ηλεκτρικές ταλαντώσεις (ηλεκτρικοί ταλαντωτές), με αποτέλεσμα να δημιουργούν ηλεκτρομαγνητικά κύματα, τα οποία μεταφέρουν ενέργεια. Με αυτόν τον τρόπο έχουμε τη μετατροπή της θερμικής ενέργειας σε ενέργεια ακτινοβολίας. Επομένως, η θερμική ενέργεια μετατρέπεται σε ενέργεια ακτινοβολίας, μέσω της επιτάχυνσης των ηλεκτρικά φορτισμένων δομικών στοιχείων της ύλης, συνήθως των ηλεκτρονίων και των πρωτονίων, κατά τη θερμική τους κίνηση. z x y c ➝ ➝ E B ȩοή ενέργειας ΔΕ σε χρόνο Δt Eπιφάνεια Δ$ Παρατήρησε την πρώτη από τις παρακάτω φωτογραφίες, που δείχνει κάρβουνα σε μια ψησταριά. Αντίστοιχες εικόνες παρατηρούσαν στα εργαστήριά τους και οι σιδηρουργοί από την αρχαιότητα, οπότε αυτές αποτέλεσαν για τους φυσικούς το έναυσμα ώστε να θέσουν τα εξής ερωτήματα προς το τέλος του 19ου αιώνα: • Γιατί τα σώματα όταν θερμαίνονται ακτινοβολούν; • Πώς συνδέεται η ακτινοβολία με τη θερμοκρασία; Για την απάντηση στα παραπάνω ερωτήματα οι επιστήμονες διέθεταν σημαντικές θεωρητικές βάσεις: την ηλεκτρομαγνητική θεωρία, όπως διατυπώθηκε από τον Μάξγουελ (James Clerk Maxwell), τη θερμοδυναμική, τη θεωρία για την ατομική δομή της ύλης. Ƞερμά κάρβουνα Ƞερμό πέταλο Ο ȳλιος ΔΕΙΓΜΑ - DEMO - ΔΕΙΓΜΑ - DEMO ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ & Η ΕΚΤΥΠΩΣΗ

10 Πώς συνδέεται το μήκος κύματος και η συχνότητα της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας με τη θερμοκρασία του σώματος; Ας θεωρήσουμε ένα ιδανικό σώμα, το οποίο βρίσκεται σε θερμική ισορροπία και απορροφά πλήρως το φως όλων των μηκών κύματος που προσπίπτουν σε αυτό. Επειδή το σώμα αυτό δεν ανακλά (και δεν είναι διαπερατό από) καμία προσπίπτουσα ακτινοβολία, ονομάζεται μέλαν σώμα1 . Η εκπεμπόμενη ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία από ένα μέλαν σώμα οφείλεται μόνο στις θερμικές διεργασίες που συμβαίνουν στο εσωτερικό του. Πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα μέλαν σώμα για να το χρησιμοποιήσουμε πειραματικά, ώστε να ελέγχουμε τα συμπεράσματα που προκύπτουν από τις αντίστοιχες θεωρητικές μελέτες; Το 1859 ο Γερμανός φυσικός Γούσταβ Κίρχοφ (Gustav Kirchho• ) πρότεινε ένα απλό μοντέλο για το μέλαν σώμα: ένα κλειστό κουτί το οποίο στη μια πλευρά του φέρει μια μικρή οπή. Η ακτινοβολία εισέρχεται μέσω της οπής, υπόκειται σε διαδοχικές ανακλάσεις στα τοιχώματα της κοιλότητας από τα οποία τελικώς απορροφάται, και έχει πολύ μικρή πιθανότητα να εξέλθει ξανά. Ένα τέτοιο κουτί συμπεριφέρεται ως τέλειος απορροφητής, δηλαδή αποτελεί ένα μέλαν σώμα. Ο Κίρχοφ απέδειξε πως σε ένα τέτοιο σώμα η ισχύς της ακτινοβολίας που εκπέμπεται ανά μονάδα επιφανείας, σε κάθε συχνότητα, εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία του και όχι από το σχήμα, το μέγεθος ή τη σύστασή του. Πρακτικά, κάθε κοιλότητα σταθερής θερμοκρασίας, όπως είναι ένας φούρνος με ένα μικρό άνοιγμα, συμπεριφέρεται κατά προσέγγιση ως μέλαν σώμα. Η ακτινοβολία μέσα στην κοιλότητα βρίσκεται σε θερμική ισορροπία με τα τοιχώματα της κοιλότητας, αφού έχει αλληλεπιδράσει με αυτά πολλές φορές. 1 Ένα τέτοιο σώμα, σε χαμηλές θερμοκρασίες, θα φαίνεται μαύρο. Γι΄ αυτό ονομάστηκε μέλαν σώμα. Ένας τέτοιος φούρνος χρησιμοποιήθηκε από τον Γιόζεφ Στέφαν (Josef Stefan), ο οποίος το 1879 βρήκε πειραματικά τη σχέση που συνδέει τη θερμοκρασία του μέλανος σώματος με την ένταση I της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας: 4 I T = ⋅ σ (1) Όπου σ είναι μια σταθερά, η τιμή της οποίας προσδιορίστηκε σε: 8 5,67 10 W 2 4 m K σ − = ⋅ ⋅ Η παραπάνω πειραματική σχέση αποδείχθηκε και θεωρητικά το 1884 από τον Αυστριακό θεωρητικό φυσικό Λούντβιχ Μπόλτζμαν (Ludwig Boltzmann), γι’ αυτό και ονομάζεται και νόμος των Στέφαν – Μπόλτζμαν. Μέχρι αυτό το σημείο η κλασική Φυσική είναι ακόμη επαρκής για την ερμηνεία των φαινομένων. 7.2 αΚτινοβοΛια μεΛανο² ²µματο² Γούσταβ Ȣίρχοφ ΔΕΙΓΜΑ - DEMO - ΔΕΙΓΜΑ - DEMO ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ & Η ΕΚΤΥΠΩΣΗ

11 ΚβαντομηχανιΚη Γ΄ ΛύΚειοy Η αρχή του τέλους Καθώς οι πειραματικές τεχνικές εξελίχθηκαν, το 1890 οι Βιν (Wilhelm Wien) και Λούμερ (Otto Lummer) στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου κατάφεραν να μετρήσουν με ακρίβεια την ένταση της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας I σαν συνάρτηση του μήκους κύματος. Δηλαδή, μέτρησαν την ένταση της ακτινοβολίας I που εκπέμπεται μεταξύ δύο κοντινών τιμών μήκους κύματος, λ καιλ λ + ∆ , για διάφορα μήκη κύματοςλ . Αυτές τις μετρήσεις τις εξέφρασαν ως ένταση της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας ανά μονάδα μήκους κύματος και προσδιόρισαν την κατανομή της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας: f( ) I λ λ = ∆ Πειραματικά αποτελέσματα από το 1899 παριστάνονται στην παραπάνω εικόνα, όπου παρατηρούμε: Α) Για κάθε θερμοκρασία, η ένταση της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας εμφανίζει μια μέγιστη τιμή σε ορισμένο μήκος κύματος λmax , που λέγεται μήκος κύματος αιχμής. Β) Το μήκος κύματος στο οποίο εμφανίζεται η μέγιστη ένταση ακτινοβολίας συνδέεται με τη θερμοκρασία του σώματος που την εκπέμπει με τη σχέση: 3 max λ T 2,9 10 m K − ⋅= ⋅ ⋅ (2) Καθώς η θερμοκρασία αυξάνεται, η τιμή του μήκους κύματος αιχμήςλmax , δηλαδή το ύψος της κορυφής της καμπύλης, αυξάνεται και συγχρόνως μετατοπίζεται προς μικρότερα μήκη κύματος. Άρα μετατοπίζεται προς μεγαλύτερες συχνότητες: από το υπέρυθρο προς το ορατό και το υπεριώδες, όπως φαίνεται στο σχήμα. Γ) Το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη σε όλα τα μήκη κύματος παριστάνει την ολική ένταση της ακτινοβολίας I που εκπέμπεται από το μέλαν σώμα στη συγκεκριμένη θερμοκρασία. Όπως προκύπτει από το διάγραμμα, το συνολικό εμβαδόν αυξάνεται όταν αυξάνεται η θερμοκρασία. Άρα η ολική ένταση αυξάνεται για θερμότερα σώματα, όπως προβλέπει ο νόμος των Στέφαν – Μπόλτζμαν. ̌ι επιτυχίες και οι αποτυχίες της κλασικής ³υσικής Στις προσπάθειες που έγιναν για να εξηγηθούν οι τρεις παραπάνω προτάσεις μέσω της χρήσης των νόμων της κλασικής Φυσικής, προέκυψαν: Η επιτυχία: Η πρόταση (Β) ότι: «καθώς η θερμοκρασία αυξάνεται, η τιμή του μήκους κύματος αιχμήςλmax , δηλαδή το ύψος της κορυφής της καμπύλης, αυξάνεται και συγχρόνως μετατοπίζεται προς μικρότερα μήκη κύματος» επιβεβαιώθηκε από τον Βιν (Wilhelm Wien) το 1893 με τη βοήθεια των νόμων της θερμοδυναμικής, του ηλεκτρομαγνητισμού, και το κλασικό μοντέλο του μέλανος σώματος. Για τον λόγο αυτό αποκαλείται και νόμος μετατόπισης του Βιν: 3 max λ T 2,9 10 m K − ⋅= ⋅ ⋅ Η kυπεριώδης καταστροφήz: ȟ πρόταση (Α) ότι: «για κάθε θερμοκρασία, η ένταση της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας εμφανίζει μια μέγιστη τιμή σε ορισμένο μήκος κύματοςλ max », δεν κατέστη δυνατόν να ερμηνευθεί με βάση τον νόμο του Ράλεϊ (Rayleigh) της κλασικής Φυσικής. Σύμφωνα με τον νόμο αυτό, για κάθε θερμοκρασία, η καμπύλη που παριστάνει την ένταση της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας σε συνάρτηση με το μήκος κύματος δεν εμφανίζει κάποιο μέγιστο. Για μικρά μήκη κύματος η ένταση της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας τείνει στο άπειρο1 . 1 Συμπεριφέρεται ως η ένταση της ακτινοβολίας ǿ να είναι ανάλογη του 1 / λ4 . ΔΕΙΓΜΑ - DEMO - ΔΕΙΓΜΑ - DEMO ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ & Η ΕΚΤΥΠΩΣΗ

12 Λόγω ακριβώς αυτού του απειρισμού, η ολική ένταση της ακτινοβολίας τείνει στο άπειρο, οπότε δεν εξηγείται ούτε η πρόταση (Γ) ότι «το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη της έντασης ανά μονάδα μήκους κύματος παριστάνει την ολική ένταση της ακτινοβολίας I που εκπέμπεται από το μέλαν σώμα στη συγκεκριμένη θερμοκρασία». Εφαρμογή 1η: Μπορείς, με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα, να προσδιορίσεις σε ποια περιοχή θερμοκρασιών ένα αντικείμενο θα είναι ορατό στο σκοτάδι, για το μήκος κύματος που αντιστοιχεί στο μέγιστο της έντασης της ακτινοβολίας που εκπέμπει; Απάντηση Με τη βοήθεια του νόμου μετατόπισης του Βιν, 3 max λ T 2,9 10 m K − ⋅= ⋅ ⋅ μπορείς να υπολογίσεις την περιοχή θερμοκρασιών για τις οποίες το μέγιστο μήκος κύματος λmax της ακτινοβολίας που εκπέμπεται από το σώμα είναι στην περιοχή του ορατού φάσματος: 400 ⸱ 10-9 m ” λmax ” 700 ⸱10-9 m ή 3 9 9 2,9 10 m K 400 10 m 700 10 m T − − − ⋅ ⋅ ⋅ ≤ ≤⋅ ή 3 3 9 9 2,9 10 K 2,9 10 K 700 10 400 10 T − − − − ⋅ ⋅ ≤ ≤ ⋅ ⋅ ή 4143K 7250 K ≤ ≤ T ή 0 0 3870 C 6977 C ≤ ≤ T ²χόλιο: Πώς το παραπάνω αποτέλεσμα συνδυάζεται με την εμπειρία μας, σύμφωνα με την οποία ζεστά σώματα όχι όμως σε τόσο υψηλές θερμοκρασίες εκπέμπουν ορατό φως; Για παράδειγμα, ο σίδηρος, που έχει σημείο τήξης περίπου στους 0 1540 C. Ο νόμος μετατόπισης του Βιν μας δίνει μόνο το μήκος κύματος λmax του μέγιστου της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας. Αν και το μέγιστο βρίσκεται εκτός του ορατού φάσματος, ένα μέρος της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας βρίσκεται στο ορατό φάσμα. Μια ρι»οσπαστική ιδέα: Το κβάντο ενέργειας Στην κλασική Φυσική η ενέργεια ενός ταλαντωτή δεν εξαρτάται από τη συχνότητα αλλά από το πλάτος της ταλάντωσης. Σε έναν ηλεκτρικό ταλαντωτή συχνότητας f το πλάτος της ταλάντωσής του μπορεί να μεταβάλλεται κατά συνεχή τρόπο, επομένως η ενέργειά του παίρνει οποιαδήποτε τιμή. Ένας τέτοιος ταλαντωτής μπορεί να ακτινοβολεί οποιοδήποτε κλάσμα της ενέργειάς του. Η λύση στην «υπεριώδη καταστροφή» δόθηκε από τον Γερμανό φυσικό Μαξ Πλανκ (Max Planck) τον Οκτώβριο του 1900, όταν έκανε μια ριζοσπαστική υπόθεση, για να εξασφαλίσει συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα: Η ολική ενέργεια ενός ηλεκτρικού ταλαντωτή συχνότητας f δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, αλλά μόνο διακριτές τιμές (μη συνεχείς, κβαντισμένες) που είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της ποσότητας h f ⋅ : E nh f n =⋅⋅ . Όπου f η συχνότητα του ηλεκτρικού ταλαντωτή, n θετικός ακέραιος που λέγεται κβαντικός αριθμός, και h σταθερά που ονομάσθηκε σταθερά του Πλανκ με τιμή 34 h 6,626 10 J s − =⋅⋅ . 7.2 αΚτινοβοΛια μεΛανο² ²µματο² Το ορατό φάσμα Μήκος κύματος Χρώμα (προσεγγιστικά) ( nm) Ερυθρό 630 – 700 Πορτοκαλί 590 – 630 Κίτρινο 560 – 590 Πράσινο 500 – 560 Κυανό 440 – 500 Ιώδες 400 – 440 ΔΕΙΓΜΑ - DEMO - ΔΕΙΓΜΑ - DEMO ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ & Η ΕΚΤΥΠΩΣΗ

13 ΚβαντομηχανιΚη Γ΄ ΛύΚειοy Η ποσότητα h f ⋅ ονομάσθηκε κβάντο (quantum) ενέργειας. Το «κλειδί» στη θεωρία του Πλανκ είναι η ριζοσπαστική υπόθεση ότι οι ενέργειες των ταλαντωτών είναι κβαντισμένες. Την ιδέα αυτή την εισήγαγε ο Πλανκ αρχικά ως μια υπολογιστική τεχνική για να προβλέψει τη σχέση που δίνει την ένταση της ακτινοβολίας σε συνάρτηση με το μήκος κύματος του μέλανος σώματος. Εφαρμόζοντας την παραπάνω υπόθεση, και με χρήση των νόμων της θερμοδυναμικής, ο Πλανκ προσδιόρισε τη σχέση που δίνει την κατανομή της έντασης της ακτινοβολίας σε συνάρτηση με το μήκος κύματός της. Η γραφική παράσταση αυτής της σχέσης δίνεται στο σχήμα και είναι σε πλήρη συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα. Με τη βοήθεια των μαθηματικών αποδεικνύεται ότι το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη είναι ανάλογο της τέταρτης δύναμης της απόλυτης θερμοκρασίας του T, επιβεβαιώνεται δηλαδή ο νόμος των Στέφαν – Μπόλτζμαν 4 I T = ⋅ σ καθώς και ο νόμος μετατόπισης του Βιν. Αργότερα ο Αϊνστάιν αναγνώρισε ότι η κβάντωση της ενέργειας είναι κάτι παραπάνω από ένα υπολογιστικό τέχνασμα. Είναι ένα καθολικό χαρακτηριστικό της φύσης του φωτός. Θεώρησε ότι το φως αλληλεπιδρά με την ύλη με ασυνεχή κβάντα ενέργειας που τα ονόμασε «κβάντα φωτός» και τα οποία στη συνέχεια ονομάστηκαν φωτόνια1 . Τα άτομα απορροφούν ή εκπέμπουν ενέργεια με τη μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, κάνοντας «άλματα» από μια επιτρεπτή ενεργειακή κατάσταση σε μια άλλη. Αν το άτομο απορροφήσει ενέργεια ίση με ένα κβάντο ενέργειας, E hf = ⋅ , αυξάνεται η ενέργειά του στην κλίμακα των ενεργειακών σταθμών, ενώ αν εκπέμψει ένα κβάντο ενέργειας, E hf = ⋅ , μειώνεται η ενέργειά του. Αν το άτομο παραμείνει στην ίδια ενεργειακή κατάσταση, δεν απορροφά ούτε εκπέμπει ενέργεια. Η ενέργεια της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που μπορεί να εκπέμψει ή να απορροφήσει ένα άτομο έχει μόνο διακριτές (κβαντισμένες) τιμές. Η κβαντική υπόθεση του Πλανκ επιβεβαιώθηκε από τη θεωρία του Μπορ για τις ενεργειακές στάθμες του ατόμου, καθώς και από τη γενικότερη εξέλιξη της κβαντομηχανικής. Εφαρμογή 2η: Η ενέργεια ενός φωτονίου ακτίνων γ Ένα κβάντο ενέργειας (φωτόνιο) ακτίνων γ που εκπέμπεται κατά τη διάρκεια σχάσης ενός πυρήνα ραδιενεργού κοβαλτίου έχει μήκος κύματος 13 λ 9,3 10 m − = ⋅ . Να υπολογίσεις την ενέργεια αυτού του φωτονίου. Δίνεται: 3 108 m s c = ⋅ και 34 h 6,626 10 J s − =⋅⋅ . 1 Ο όρος «φωτόνια» προτάθηκε αρχικά από τον Γκίλμπερτ Λούις (Gilbert Lewis) σε ένα γράμμα του στο περιοδικό Nature στις 18 Δεκεμβρίου 1926. Φωτόνια που αλληλεπιδρούν με τα τοιχώματα Εκπεμπόμενα φωτόνια Ελεύθερα φωτόνια στο εσωτερικό της κοιλότητας ΔΕΙΓΜΑ - DEMO - ΔΕΙΓΜΑ - DEMO ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ & Η ΕΚΤΥΠΩΣΗ

14 Απάντηση Η ενέργεια ενός φωτονίου είναι: E hf = ⋅ ή c E h λ = ⋅ ή 8 34 13 3 10 m s 6,626 10 J s 9,3 10 m E − − ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ ή 13 E 2,137 10 J − = ⋅ Εφαρμογή 3η: H κβαντομηχανική στον μακρόκοσμο Υλικό σημείο μάζας m =1kg είναι κρεμασμένο από το άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς 25N m k = , το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε οροφή. Το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A = 0, 2 m . Να υπολογίσεις: α. την ολική ενέργεια και τη συχνότητα του ταλαντωτή. β. τον κβαντικό αριθμό της ενεργειακής στάθμης στην οποία βρίσκεται ο ταλαντωτής, σύμφωνα με τη θεωρία του Πλανκ. γ. τη μικρότερη ποσότητα ενέργειας που μπορεί να αφαιρεθεί από το σύστημα, σύμφωνα με τη θεωρία του Πλανκ. Δίνεται: ππ= 3,14 και 34 h 6,626 10 J s − =⋅⋅ . Λύση α. Η ολική ενέργεια του ταλαντωτή είναι: 1 2 2 E kA = ⋅⋅ ή ( ) 1 N 2 25 0,2m 2 m E =⋅ ⋅ ή E = 0,5J Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι: 1 2 k f m = ή 12 5 Hz 2 f = ή 5 Hz =0,79Hz 2 f = β. Σύμφωνα με τη θεωρία του Πλανκ, η ενέργεια του ταλαντωτή είναι κβαντισμένη: E nh f =⋅⋅ ή E n h f = ⋅ ή 34 0,5J 6,626 10 J s 0,79 Hz n − = ⋅ ⋅⋅ ή 32 n = ⋅ 9,6 10 γ. Η μικρότερη ποσότητα ενέργειας που μπορεί να αφαιρεθεί από το σύστημα, σύμφωνα με τη θεωρία του Πλανκ, είναι: ∆=⋅ E hf ή 34 E 6,626 10 J s 0,79 Hz − ∆ = ⋅ ⋅⋅ ή 34 E 5,2 10 J − ∆= ⋅ Παρατηρούμε ότι στον μακρόκοσμο η ενέργεια ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ενεργειακές καταστάσεις είναι τόσο μικρή σε σχέση με την ολική ενέργεια του ταλαντωτή, ώστε δεν μπορούμε να μετρήσουμε τέτοιες ενεργειακές μεταβολές. Τα αποτελέσματα της κβαντικής θεωρίας είναι μετρήσιμα μόνο στον μικρόκοσμο. Εφαρμογή 4η: Λαμπτήρας πυρακτώσεως Για πολλά χρόνια, οι λαμπτήρες πυρακτώσεως, στους οποίους φωτοβολούσε ένα λεπτό σύρμα από βολφράμιο, αποτελούσαν το κύριο μέσο για τον οικιακό και όχι μόνο φωτισμό. Οι λαμπτήρες αυτής της τεχνολογίας θεωρούνται χαμηλής απόδοσης, οπότε άλλα είδη επινοήθηκαν, όπως οι λάμπες φθορισμού και οι λάμπες LED, ώστε να έχουμε υψηλότερες αποδόσεις. Οι τελευταίες μάλιστα κατασκευάζονται ώστε να εκπέμπουν φως με διαφορετικά χρώματα, π.χ. ψυχρό λευκό θερμοκρασίας 5500 Κ. α. Παρατήρησε την επόμενη εικόνα που παριστάνει την ένταση της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας ενός λαμπτήρα πυράκτωσης, όπου το νήμα βρίσκεται σε θερμοκρασία 2500 ο C. Μπορείς να υπολογίσεις προσεγγιστικά το ποσοστό της συνολικής εκπεμπόμενης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που μετατρέπεται σε φωτεινή; Εξήγησε με βάση το προηγούμενο συμπέρασμα γιατί οι λαμπτήρες πυρακτώσεως είναι χαμηλής απόδοσης. Μπορείς να προτείνεις τρόπους βελτίωσης της απόδοσης των λαμπτήρων πυρακτώσεως, δεδομένου ότι το σημείο τήξης του βολφραμίου είναι 3422 ο C; 7.2 αΚτινοβοΛια μεΛανο² ²µματο² ΔΕΙΓΜΑ - DEMO - ΔΕΙΓΜΑ - DEMO ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ & Η ΕΚΤΥΠΩΣΗ

15 ΚβαντομηχανιΚη Γ΄ ΛύΚειοy β. Ƞα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε μια λάμπα φθορισμού με ψυχρό λευκό φως αν αυτές συμπεριφέρονταν ως μέλαν σώμα με θερμοκρασία 6000 Κ; Σημειώνεται πως η θερμοκρασία χρώματος αντιστοιχεί στη θερμοκρασία μέλανος σώματος που εκπέμπει ακτινοβολία ίδιου χρώματος. Απάντηση α. Από το σχήμα παρατηρούμε ότι το εμβαδόν που αντιστοιχεί στα μήκη κύματος του ορατού φωτός είναι κατά προσέγγιση το 1/ 10 του συνολικού εμβαδού. Δηλαδή από τη συνολική εκπεμπόμενη ενέργεια μόνο το 1/ 10 αυτής εκπέμπεται με τη μορφή ορατής ακτινοβολίας. Αν υποθέσουμε ότι όλη η προσφερόμενη ενέργεια στον λαμπτήρα εκπέμπεται με τη μορφή ακτινοβολίας μέλανος σώματος, τότε η απόδοση του λαμπτήρα θα είναι 10 %. Εάν ο λαμπτήρας λειτουργούσε σε υψηλότερη θερμοκρασία, τότε μεγαλύτερο κλάσμα της ενέργειάς του θα εκπεμπόταν με τη μορφή ορατού φωτός. Επομένως, θα είχε μεγαλύτερη απόδοση. Η λειτουργία του λαμπτήρα βολφραμίου σε υψηλότερες θερμοκρασίες οδηγεί σε εξάχνωση του βολφραμίου, με αποτέλεσμα να κόβεται το νήμα και να περιορίζεται ο χρόνος ζωής του λαμπτήρα. Λειτουργία σε υψηλότερη θερμοκρασία επιτυγχάνεται με τους λαμπτήρες αλογόνου. Σε αυτούς ένας χημικός κύκλος αλογόνου-βολφραμίου επιτρέπει την επαναπόθεση του βολφραμίου στο σύρμα και επομένως την επέκταση της ζωής του λαμπτήρα. β. Από τον νόμο των Στέφαν – Μπόλτζμαν γνωρίζουμε πως η ενέργεια που εκπέμπεται από ένα μέλαν σώμα αυξάνεται με την τέταρτη δύναμη της απόλυτης θερμοκρασίας του. Επομένως, αν η λάμπα φθορισμού συμπεριφερόταν ως μέλαν σώμα με θερμοκρασία 6000 Κ, η ένταση της ακτινοβολίας της θα ήταν: 4 I T = ⋅ σ ή 8 4 4 2 4 W 5,67 10 6000 K m K I − =⋅ ⋅ ⋅ ή 6 2 W 73,5 10 m I = ⋅ . Δηλαδή αυτή η λάμπα θα είχε εξαιρετικά μεγάλη ένταση ακτινοβολίας και κατανάλωση ενέργειας. ΔΕΙΓΜΑ - DEMO - ΔΕΙΓΜΑ - DEMO ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ & Η ΕΚΤΥΠΩΣΗ

52 Από τη σχέση (1) η μέγιστη κινητική ενέργεια σε συνάρτηση με το μήκος κύματος των φωτονίων που προσπίπτουν στην κάθοδο είναι της μορφής: a y x = − β , δηλαδή είναι αρχικά υπερβολή. Τα φωτοηλεκτρόνια μπορούν να εξέλθουν από την επιφάνεια του μετάλλου της καθόδου αν είναι: Κmax • 0 ή Κmax ma 0 0 c c Ê h λ λ   = −≥     ή 0 0 c c λ λ − ≥ ή 0 c c λ λ ≥ λ λ ≤ 0 . Όταν λ λ = 0 τότε Κmax max Ê = 0 Όταν λ λ > 0 τότε Κmax max Ê < 0 . Αυτό είναι αδύνατο, γιατί η κινητική ενέργεια των φωτοηλεκτρονίων είναι θετική ή μηδέν. Οι πραγματικά πρωτότυπες ιδέες θέλουν συνήθως αρκετό χρόνο για να αναγνωριστούν. Ο Μίλικαν, το 1914, όταν υπολόγισε με ακρίβεια τη σταθερά Πλανκ h και υπέβαλε τη φωτοηλεκτρική εξίσωση του Αϊνστάιν σε αυστηρές πειραματικές δοκιμές, αναφέρθηκε στην «τολμηρή, αν όχι απερίσκεπτη, υπόθεση των φωτονίων, που μοιάζει προς το παρόν να είναι ολοκληρωτικά αβάσιμη». Ο Πλανκ, το 1916, στην εισήγησή του για την αναγόρευση του Αϊνστάιν σε μέλος της Πρωσικής Ακαδημίας Επιστημών, είπε: «Ο Αϊνστάιν μερικές φορές χάνει τον στόχο του με τις υποθέσεις του, όπως για παράδειγμα η θεωρία του για τα κβάντα φωτός». 7.3 το ³µτοηΛεΚτ̍ιΚο ³αινομενο ΔΕΙΓΜΑ - DEMO - ΔΕΙΓΜΑ - DEMO ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ & Η ΕΚΤΥΠΩΣΗ

58 K K W τελ αρχ πεδ − = ή ή ή 19 0 19 4,6 10 J 1,6 10 C V − − ⋅ = ⋅ ή 0 V = 2,86 V δ. Η ολική ισχύς της ακτινοβολίας P0 που προσπίπτει σε επιφάνεια εμβαδού A δίνεται από τη σχέση του ορισμού της έντασης της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας 0 I : 0 0 P I A = ή P IA 0 0 = ⋅ ή 2 0 2 ì W 3,3 5cm cm P = ⋅ 3,3 μW / cm2 ⸱ 5 cm2 ή 0 P =16,5 ì W16,5 μW Η ισχύς που διατίθεται για την παραγωγή των φωτοηλεκτρονίων είναι το 5% της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, αφού το 95% ανακλάται: 0 P P 0,05 ϕ = ⋅ ή Pϕ = ⋅ 0,05 16,5 ì W0,05 ⸱ 16,5 μW ή Pϕ =0,25 μW 0,825 ì W Η ολική ενέργεια που απορροφάται από το μέταλλο και διατίθεται για την παραγωγή των φωτοηλεκτρονίων σε χρονικό διάστημα ǻt = 60 s προκύπτει από τον ορισμό της ισχύος: Å P t ολ ϕ = ∆ ή ΕRȜ Å Pt ολ ϕ = ⋅∆ ή ΕRȜ = 0,25 μW ⸱ 60 s ή ΕRȜ = 49,5 μή ΕRȜ = 49,5 ⸱10-6 J Η ενέργεια κάθε φωτονίου υπολογίζεται από τη σχέση του Πλανκ: E hf 1 = ⋅ ή 1 c E h λ = ⋅ ή 8 34 1 7 3 10 6,626 10 J 2, 40 10 E − − ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ή 19 1 E 8, 28 10 J − = ⋅ Κάθε φωτόνιο παράγει ένα φωτοηλεκτρόνιο. Συνεπώς, αν υπολογίσεις τον αριθμό των φωτονίων, θα είναι ίσος με τον αριθμό των φωτοηλεκτρονίων. Η ολική ενέργεια ΕRȜ των φωτονίων που απορροφάται από το μέταλλο, ο αριθμός των φωτονίων Nϕ και η ενέργεια του κάθε φωτονίου Ε1 συνδέονται με τη σχέση: E E ολ ϕ =Ν ⋅ 1 ή 1 E E ολ Ν = ϕ ή 6 19 49,5 10 J 8, 28 10 J ϕ − − ⋅ Ν = ⋅ ή 13 6 10 Ν=⋅ ϕ Συνεπώς, ο αριθμός των φωτοηλεκτρονίων είναι: 13 6 10 Ν =Ν = ⋅ e ϕ ε. ȟ ένταση του φωτορεύματος υπολογίζεται από τον ορισμό της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος: q i t ολ = ∆ ή Ne e i t − ⋅ = ∆ ή 13 19 6 10 1,6 10 $ 60s i − ⋅ ⋅⋅ = ή 7 i 1,6 10 $− = ⋅ . 7.3 το ³µτοηΛεΚτ̍ιΚο ³αινομενο ΕRȜ e ΔΕΙΓΜΑ - DEMO - ΔΕΙΓΜΑ - DEMO ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ & Η ΕΚΤΥΠΩΣΗ

To βιβλίο μαθητή περιλαμβάνει: • Όλη την ύλη της Κβαντομηχανικής της Γ΄ Λυκείου, σύμφωνα με το επίσημο πρόγραμμα σπουδών του Υπουργείου Παιδείας • Αναλυτική παρουσίαση της θεωρίας με παραδείγματα και εφαρμογές • Πάνω από 200 ασκήσεις • Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα • Ειδικό παράρτημα με τις λύσεις των ασκήσεων για έλεγχο και αυτοαξιολόγηση • 2 κριτήρια αξιολόγησης για τον μαθητή (λύσεις μόνο στο ψηφιακό) • 2 κριτήρια αξιολόγησης για τον καθηγητή (ψηφιακά) Τo βιβλίο παρέχει επίσης κωδικό ψηφιακού βιβλίου για 12μηνη πρόσβαση μέσω της LMS εφαρμογής Klett Book-App*, ο οποίος ενεργοποιεί**: • Το ψηφιοποιημένο έντυπο βιβλίο με τις περισσότερες ασκήσεις διαδραστικοποιημένες • 2 βίντεο-πειράματα • 6 βιντεοσκοπημένες μεθοδολογίες λύσης ασκήσεων * Απαιτείται συνεχής σύνδεση στο Internet Δείτε τους όρους χρήσης στο www.klett.gr/termsba Δείτε τις προδιαγραφές συσκευών στο www.klett.gr/physicsbooks ** Ο κωδικός αυτού του βιβλίου δεν ενεργοποιείται σε λογαριασμό καθηγητή Αναζητήστε στο www.klett.gr αντίστοιχο κωδικό για καθηγητές. Λυκείου Γ΄ + πρόσβαση στην ψηφιακή έκδοση Προσανατολισμού θετικών επιστημών και επιστημών υγείας Αναλυτική θεωρία με εφαρμογές και πειράματα Ασκήσεις με μεθοδολογία: 66 λυμένες, 203 προς λύση Αναλυτική θεωρία με εφαρμογές και πειράματα Ασκήσεις με μεθοδολογία: 66 λυμένες, 203 προς λύση Απογείωσε τις επιδόσεις σου στην Κβαντομηχανική με πλούσιο έντυπο και ψηφιακό υλικό! www.klett.gr/physicsbooks Βιβλίο + Klett Book-App Γεώργιος Γκρος, Παναγιώτης Δημητριάδης, Κωνσταντίνος Νικολόπουλος Ιωάννης Παπαδάκης, Λαμπρινή Παπατσίμπα Κβαντομηχανική Γ΄ Γενικού Λυκείου Κβαντομηχανική Γ΄ Γενικού Λυκείου Κβαντομηχανική ISBN 978-960-582-167-8