E-Modul Metode Numerik

i|Metode Numerik

Dr. Sudarman, M.Pd
Universitas MuShaamtrmiaodiyWahiMceatkrosPoenndoidikSa.n, MMat.ePmdatika

ii | M e t o d e N u m e r i k

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
Segala puji bagi Allah SWT, yang telah memberikan nikmat serta hidayah-

Nya terutama nikmat kesehatan dan kesempatan sehingga penulis dapat
menyelesaikan modul ini. Kemudian shalawat beserta salam senantiasa kita sanjung
agungkan kepada Nabi besar Muhammad SAW, yang telah memberikan pedoman
hidup yakni Al-Qur’an dan Sunnah untuk keselamatan umat di dunia.

Modul ini merupakan pengantar untuk memahami konsep perhitungan
secara numerik yang diberikan pada mahasiswa yang telah memahami kalkulus
fungsi satu peubah dan memahami salah satu bahasa pemograman. Topik kuliah:
pengertian galat, interpolasi, pengintegralan dan pendeferensialan numerik.
Dalam penyusunannya, penulis memperoleh banyak bantuan dari berbagai pihak,
karena itu penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada semua
pihak yang telah membantu dalam penyusunan modul ini.meskipun penulis berharap
isi dari modul ini bebas dari kekurangan dan kesalahan, namun selalu ada yang
kurang. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun
agar modul ini dapat lebih baik lagi.
Waassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.

Metro, Februari 2022
Penyusun

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

iii | M e t o d e N u m e r i k

DAFTAR ISI

Halaman Judul............................................................................................................ i
Kata Pengantar...........................................................................................................ii
Daftar Isi................................................................................................................... iii
Deskripsi Mata Kuliah Dan Capaian Perkuliahan.................................................... iv
Petunjuk Penggunaan E-Modul................................................................................. v
Peta Konsep.............................................................................................................. vi
BAB I Metode Numerik.............................................................................................1

A. Perbedaan Metode Numerik dengan Analisis Numerik..........................1
B. Mengapa Menggunakan Metode Numerik..............................................1
C. Penerapan Metode Numerik....................................................................2
BAB II Deret Taylor Dan Analisis Galat..................................................................4
A. Deret Taylor dan Deret MacLaurin........................................................ 4
B. Pendekatan dan Kesalahan..................................................................... 9
BAB III Penyelesaian Permasalahan Non Linear....................................................13
A. Metode Belah Dua................................................................................13
B. Metode Newton.................................................................................... 15
C. Metode Titik tetap.................................................................................16
BAB IV Interpolasi.................................................................................................. 18
BAB V Deferensial Numerik..................................................................................21
BAB VI Integral Numerik....................................................................................... 29
BAB VII Ekstrapolasi.............................................................................................. 35
BAB VIII Singularitas............................................................................................. 37
BAB IX Integral Ganda........................................................................................... 39
Latihan Soal Liveworksheet..................................................................................... 45
Daftar Pustaka..........................................................................................................46

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

iv | M e t o d e N u m e r i k

DESKRIPSI MATA KULIAH
CAPAIAN MATA KULIAH

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

v|Metode Numerik

PETUNJUK PENGGUNAAN E-MODUL

Petunjuk Bagi Mahasiswa
Untuk memperoleh hasil belajar secara maksimal, maka langkah-langkah
yang perlu dilakukann dalam E-modul ini antara lain:

1. Bacalah dan pahami materi yang ada pada setiap kegiatan belajar. Bila
ada materi yang belum jelas, mahasiswa dapat bertanya pada dosen.

2. Mahasiswa dapat menyecan kode QR dengan aplikasi yang diunduh
pada HP Android untuk melihat video pembelajaran yang berkaitan
dengan materi.

3. Kerjakan setiap tugas diskusi terhadap materi-materi yang dibahas
dalam setiap kegiatan belajar.

4. Jika belum menguasai level materi yang diharapkan, ulangi lagi pada
kegiatan belajar sebelumnya atau bertanyalah kepada dosen.

Petunjuk Bagi Dosen
Dalam setiap kegiatan belajar Dosen berperan untuk:

1. Membantu mahasiswa dalam merencanakan proses belajar
2. Membimbing mahasiswa dalam memahami konsep, analisa, dan

menjawab pertanyaan mahasiswa mengenai proses belajar.
3. Mengorganisasikan mahasiswa pada kegiatan belajar kelompok.

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

vi | M e t o d e N u m e r i k Metode Numerik
Deret Taylor & Galat
PETA KONSEP Penyelesaian Permasalahan Non Linear
Interpolasi
Metode Numerik Diferensial Numerik
Integral Numerik
Ekstrapolasi
Singularitas
Integral Ganda

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

1|Metode Numerik

BAB I
Metode Numerik

A. Perbedaan Metode Numerik dengan Analisis Numerik
Untuk persoalan tertentu tidaklah cukup hanya menggunakan metode untuk

memperoleh hasil yang diinginkan, kita juga perlu mengetahui apakah metode tersebut
memang memberikan solusi hampiran, dan seberapa bagus hampiran itu. Hal ini
melahirkan kajian baru, yaitu analisis numerik.

Metode numerik dan analisis numerik adalah dua hal yang berbeda. Metode adalah
algoritma, menyangkut langkah-langkah penyelesaian persoalan secara numerik,
sedangkan analisis numerik adalah terapan matematika untuk menganalisis metode.
Dalam analisis numerik, hal utama yang ditekankan adalah analisis galat dan kecepatan
konvergensi sebuah metode. Teorema-teorema matematika banyak dipakai dalam
menganalisis suatu metode. Di dalam buku ini, kita akan memasukkan beberapa materi
analisis numerik seperti galat metode dan kekonvergenan metode.

Tugas para analis numerik ialah mengembangkan dan menganalisis metode
numerik. Termasuk di dalamnya pembuktian apakah suatu metode konvergen, dan
menganalisis batas-batas galat solusi numerik. Terdapat banyak sumber galat,
diantaranya tingkat ketelitian model matematika, sistem aritmetik komputer, dan
kondisi yang digunakan untuk menghentikan proses pencarian solusi. Semua ini harus
dipertimbangkan untuk menjamin ketelitian solusi akhir yang dihitung.

Tautan Video Pembelajaran

https://www.youtube.com/ https://www.youtube.com/w https://www.youtube.com/w
watch?v=2gEBNZiC46o atch?v=zwSGfM_lE0c atch?v=dSZJj5BC3Jg

B. Mengapa Menggunakan Metode Numerik?
Para rekayasawan dan para ahli ilmu alam, dalam pekerjaannya sering berhadapan

dengan persamaan matematik. Persoalan yang muncul di lapangan diformulasikan ke
dalam model yang berbentuk persamaan matematika. Persamaan tersebut mungkin
sangat kompleks atau jumlahnya lebih dari satu. Metode numerik, dengan bantuan
komputer, memberkan cara penyelesaian persoalan matematika dengan cepat dan akurat.

Terdapat beberapa alasan tambahan mengapa kita harus mempelajari metode
numerik:
1. Metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat

ampuh. Metode numerik mampu menangani sistem persamaan besar, kenirlanjaran,
dan geometri yang rumit yang dalam praktek rekayasa seringkali tidak mungkin
dipecahkan secara analitik.

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

2|Metode Numerik

2. Di pasaran banyak tersedia program aplikasi numerik komersil. Penggunaan aplikasi

tersebut menjadi lebih berarti bila kita memiliki pengetahuan metode numerik agar

kita dapat memahami cara paket tersebut menyelesaikan persoalan.

3. Kita dapat membuat sendiri program komputer tanpa harus membeli paket

programnya. Seringkali beberapa persoalan matematika yang tidak selalu dapat

diselesaikan oleh program aplikasi. Sebagai contoh, misalkan ada program aplikasi
tertentu yang tidak dapat dipakai untuk menghitung integrasi lipat dua , atau lipat
tiga . Mau tidak mau, kita harus menulis sendiri programnya. Untuk itu, kita

harus mempelajari cara pemecahan integral lipat dua atau lebih dengan metode

numerik.

4. Metode numerik menyediakan sarana untuk Tautan Video

memperkuat kembali pemahaman

matematika. Karena, metode numerik

ditemukan dengan menyederhanakan

matematika yang lebih tinggi menjadi

operasi matematika yang mendasar

C. Peranan Metode Numerik https://www.youtube.com/watch?

1. Bidang Rekayasa v=KQQc8NBu-7s

Dalam bidang rekayasa, kebutuhan untuk menemukan solusi persoalan secara

praktis adalah jelas. Dari kacamata rekayasawan, masih tampak banyak cara

penyelesaian persoalan matematik yang dirasa terlalu sulit atau dalam bentuk yang

kurang konkret. Penyelesaian analitik yang sering diberikan oleh kaum matematika

kurang berguna bagi rekayasawan, karena ia harus dapat mentransformasikan solusi

matematika yang sejati ke dalam bentuk berwujud yang biasanya meninggalkan kaidah

kesejatiannya.

Bagi rekayasawan, solusi yang diperoleh secara analitik kurang kurang berguna

untuk tujuan numerik. Persoalan rekayasa dalam prakteknya tidak selalu membutuhkan

solusi dalam bentuk fungsi matematika menerus (continuous). Rekayasawan seringkali

menginginkan solusi dalam bentuk numerik, misalnya persoalan integral tentu dan

persamaan diferensial. Sebuah contoh dalam termodinamika dikemukakan di bawah ini

untuk memperjelas pernyataan ini:
Sebuah bola logam dipanaskan sampai pada suhu 100° . Kemudian, pada saat t = 0,

bola itu dimasukkan ke dalam air yang bersuhu 30°C. Setelah 3 menit, suhu bola
berkurang menjadi 70° . Tentukan suhu bola setelah 22.78 menit menit. Diketahui

tetapan pendinginan bola logam itu adalah 0.1865.

Dengan menggunakan hukum pendinginan Newton, laju pendinginan bola setiap

detiknya adalah:

= − ( − 30)

k adalah tetapan pendinginan bola logam yang harganya 0.1865. Bagi matematikawan,

untuk menentukan suhu bola pada t = 22.78 menit, persamaan diferensial tersebut harus

diselesaikan terlebih dahulu agar suhu T sebagai fungsi dari waktu t ditemukan.

Persamaan diferensial ini dapat diselesaikan dengan metode kalkulus diferensial. Solusi

umumnya adalah: ( ) = − + 30

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

3|Metode Numerik

Nilai awal yang diberikan adalah (0) = 100. Dengan menggunakan nilai awal ini,
solusi khusus persamaan diferensial adalah

( ) = 70 −0.1865 + 30
Dengan menyulihkan t = 22.78 ke dalam persamaan T, diperoleh

(22.78) = 70 −0.1865 ×22.78 + 30 = 31° .
Jadi, suhu bola setelah 22.78 menit adalah 31° .

Bagi rekayasawan, solusi persamaan diferensial yang berbentuk fungsi menerus ini
tidak terlalu penting (bahkan beberapa persamaan diferensial tidak dapat dicari solusi
khususnya karena memang tidak ada teknik yang baku untuk menyelesaikannya).
Dalam praktek di lapangan, seringkali para rekayasawan hanya ingin mengetahui
berapa suhu bola logam setelah t tertentu misalnya setelah 30 menit tanpa perlu mencari
solusi khususnya dalam bentuk fungsi terlebih dahulu. Rekayasawan cukup
memodelkan sistem ke dalam persamaan diferensial, lalu solusi untuk t tertentu dicari
secara numerik.

2. Bidang Komputer

Komputer berperan besar dalam perkembangan bidang metode numerik. Hal ini

mudah dimengerti karena perhitungan dengan metode numerik adalah berupa operasi

aritmetika seperti penjumlahan, perkalian, pembagian, serta membuat perbandingan.

Sayangnya, jumlah operasi aritmetika ini umumnya sangat banyak dan berulang,

sehingga perhitungan secara manual sering menjemukan. Manusia (yang melakukan

perhitungan manual ini) dapat membuat kesalahan dalammelakukannya. Dalam hal ini,

komputer berperanan mempercepat proses perhitungan tanpa membuat kesalahan.

Penggunaan komputer dalam metode numerik antara lain untuk memprogram.

Langkah-langkah metode numerik Tautan Video Pembelajaran
diformulasikan menjadi program komputer.

Program ditulis dengan bahasa

pemrograman tertentu, seperti FORTRAN,

PASCAL, C, C++, BASIC, dan sebagainya.

https://www.youtube.com/watch?
v=jnIhFPKwFOo

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

4|Metode Numerik

BAB II
Deret Taylor & Analisis Galat

A. Deret Taylor & Deret MacLaurin

Polinomial f (x)  a0  a1x  a2 x2  ...  an xn …(*) adalah bentuk sederhana

yang menarik untuk diteliti. Salah satunya adalah menyatakan fungsi yang sama

kedalam turunan-turunannya, sebab harga kofaktor a0, a1, a2,...an dapat di hitung dari

nilai fungsi turunan-turunannya:

f ( x)  a0  a1x  a2 x2  ...  an xn maka : f (0)  a0 …..…. (1)

f 1(x)  a1  2a2x  3a3x2  ... nanxn1, maka f 1(0)  a1 ……. (2)

f 11(x)  2a2  6a3x 12a4x2...  n(n 1)anxn2 , maka f 11(0)  2a2 …. (3)

f (3) (x)  6a3  24a4x  ...  n(n 1)(n  2)anxn3 , maka f (3) (0)  6a3 ..(4)

………………………………………………………dan seterusnya

f (n) ( x)  n(n  1)(n  2)...3.2.1an +…,maka f (n) (0)  n(n  1)(n  2)...3.2.1.an ..

(n)

Dari persamaan terakhir ini diperoleh kenyataan bahwa an  f (n) (0) berlaku pada
n!
persamaan sebelumya: − (1), (2), …( − 1).

Oleh karenanya polinomial (*)dapat dinyatakan dalam bentuk lain :

f (x)  f (0)  f 1(0) x  f 11(0) x2  f (3) (0) x3  ...  f (n) (0) xn ……(**)
1! 2! 3! n!

Gagasan ini berkembang tidak hanya merubah polinomial kedalam suku-suku

yang mengandung turunan-turunannya, tapi boleh jadi sembarang fungsi dapat

diperlakukan sama. Temuan ini sudah barang tentu dengan anggapan bahwa

f (x) kontinu dalam interval [a,b] dan dapat di differensialkan sampai tingkat ke n

dalam (a,b) pada x = 0 atau f (n) (0)  ada , tepatnya berlaku pada interval dimana

f (x) konvergen.

Karena rumusan tersebut ditemukan oleh MacLaurin (1698-1746) maka :

f (x)  f (0)  f 1(0) x  f 11 (0) x2  f (3) (0) x3  ...  f (n) (0) xn disebut deret MacLaurin.
1! 2! 3! n!

Sebenarnya deret MacLaurin ini kejadian khusus dari deret yang dikembangkan

Brook Taylor (1685-1731) - salah seorang murid Newton.

1. Deret Taylor dengan Suku Sisa maka f(x) ini dapat



Pandanglah f (x)  a0  a1x  a2 x2  ...  an xn  ... = an xn
n0

kita tulis : f (x)  Sn (x)  Rn …………*) dengan mana :

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

5|Metode Numerik

n 1

Sn (x)  an xn  a0  a1x  a2 x2  ...  an1xn1 , dan
n0

Rn  an x n dinamakan residu atau sisa.

Residu Rn dapat muncul dalam berbagai bentuk, misalnya oleh Lagrange (1799)

ditulis : Rn = xn f (n)  ; = nilai diantara 0 dan x atau Rn = xn f (n) x  h ; 0<θ<1.
n! n!

Dari f (x)  Sn (x)  Rn dan : Rn = x n f (n)   , untuk n  menyebabkan Rn  0 ,

n!

maka Sn(x)  f (x) .

Ini berarti fungsi f (x) dapat diwakili deret pangkat (MacLaurin) hanya apabila

Rn mempunyai limit nol. Selain itu f (x) harus mempunyai turunan di semua tingkat

pada x = 0.

Fungsi-fungsi seperti : ln x , cot x , x , 1 tidak dapat di uraikan atas deret MacLaurin,

x

karena turunannya di x = 0 tidak terdefinisikan (tak ada).
Atas dasar tersebut, dapat di kembangan fungsi atas deret pangkat di sekitar

titik bukan nol, misal pada x = c sehingga :

f (x)  a0  a1(x c)  a2 (x c)2  a3 (x c)3 ... an (x c)n … *)

Kofaktor-kofaktor a0, a1, a2,...,an dicari sebagai berikut :

f (x)  a0  a1(x  c)  a2 (x  c)2  a3 (x  c)3  ...  an (x  c)n maka f(c) = a0

f 1 ( x)  a1  2a2 ( x  c)  3a3 ( x  c) 2 maka f 1(c)  a1

……………………………………….dan seterusnya

f (n) (x)  n(n 1)(n  2)...3.2.1an maka f (n)(c)  n(n 1)(n  2)...3.2.1.an

Dari yang terakhir ini diperoleh bentuk umum : an  f (n) (c) , sehingga persamaan *)
n!

menjadi :

f (x)  f (c)  f 1(c) (x  c)  f 11 (c) (x  c)2  f (3) (c) (x  c)3  ...  f (n) (c) (x  c)n disebut Deret
1! 2! 3! n!

Taylor.

Atau f (x)  Sn (x)  Rn dengan :

Sn (x) n 1  c)n  a0  a1( x  c)  a2 (x  c)2  ...  an1( x  c)n1 dan

an (x

n0

Rn  an (x  c) n dinamakan residu atau sisa.

Bentuk lain residu (oleh Langrange) : Rn = (x  c)n f (n)   ; 0<<1
n!

Jadi deret MacLaurin adalah kejadian khusus dari deret Taylor.

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

6|Metode Numerik

Kesimpulan :

Deret Taylor dengan suku sisa

f (x)  f (c)  f 1 (c) (x  c)  f 11 (c) (x  c)2  f (3) (c) (x  c)3  ...  ,f (n) (c) (x  c)n atau
1! 2! 3! n!

f (x)  Sn (x)  Rn

dengan Sn (x) n 1  a0  a1( x  c)  a2 ( x  c)2  ...  an1( x  c)n1 dan

an (x  c)n

n0

Rn  an (x  c) n atau Rn = ( x  c)n f (n)   ;0 <<x
n!

Deret MacLaurin :

f (x)  f (0)  f 1(0) x  f 11(0) x2  f (3) (0) x3  ...  f (n) (0) xn
1! 2! 3! n!

2. Rumus Tambahan
Mungkin kita jumpai menurunkan fungsi sampai tingkat ke− dari fungsi hasil kali,

berikut ini teoremanya

Teorema:

Bila y = UV dengan mana U=U(x) dan V=V(x) masing-masing continue

dan dapat di diferensialkan sampai tingkat ke-n, maka :

y(n)  C0U (n)V (0)  C1U ( Vn1) (1)  C2U V(n2) (2)  ...  CkU (nk )U (k )  ...  CnU (0)V (n) atau :

n ; Ck  Cnk  n! , kn
k!(n  k)!
y (n)  CkU (nk )V (k )

k 0

Catatan :

1. C0  Cn0  n!  n!  1(didefinisikan)
0!(n  0)! 0!.n!

2. U (n)  d nU maka: U (0)  U , U (1)  dU  U 1, U (2)  d 2U , dst
dx n dx dx 2

Bukti teorema: dengan induksi lengkap

n

Akan dibuktikan y (n)  CkU V(nk ) (k ) berlaku untuk semua n.
k 0

Caranya:

1) Rumus berlaku untuk k = 1, yakni :

dari y = UV maka y1  U 1V  UV 1

2) Rumus berlaku untuk k = 2, yakni :
dari y1  U 1V  UV 1 maka

y11  U11V U1V1 U1V1 UV11 = U11V  2U1V1 UV11 atau dapat ditulis

y (2)  C0U (2)V (0)  C1U V(21) (1)  C2U (2 2)V (2) .
3) Bila rumus berlaku untuk sebarang bilangan k, yakni y (k) maka yang harus

dibuktikan rumus berlaku untuk (k+1) atau y(k 1)

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

7|Metode Numerik

Caranya :

Salah satu suku dari y(k 1) yang berbentuk U V(km) (m1) diperoleh dari turunan

U VA = (km1) (m1) dan B = U(km)V (m) , sedangkan :

Kofaktor A = U V(km1) (m1) adalah C m1  k! dan
k  1)!(k 
(m m  1)!

Kofaktor B = U V(km) (m) adalah = Ckm  k! ; dengan demikian :
m!(k  m)!

Kofaktor dari U(km)V (m1) adalah

k! + k! = k!(k  m)  k!(m  1)
m!(k  m)! (m  1)!(k  m)(k  m  1)! (m  1)m!(k  m)!
(m  1)!(k  m  1)!

= k! (k  m)  (m  1)

(m  1)!(k  m)!

= (k  1)k!  (k  1)!

(m  1)(k  m)! (m  1)!(k  m)!

= C m1
k 1

Karena rumus berlaku untuk k menyebabkan berlaku untuk k+1 maka rumus

berlaku untuk semua n (teorema terbukti)

Contoh:

C-1 : Ubahlah f (x)  2x3  6x2  11x  6 menurut deret Taylor kedalam pangkat

( − 1)!

Jawab: Deret Taylor:

f ( x)  f (c)  f 1(c) ( x  c)  f 11 (c) ( x  c)2  f (3) (c) ( x  c)3  ...  f (n) (c) ( x  c)n
1! 2! 3! n!

f (x)  2x3  6x2  11x  6  f (1) 1

f 1(x)  6x2 12x 11  f 1(1)  5

f 11(x)  12x  12  f 11(1)  0

f (3) (x)  12  f (3) (1)  12

Jadi f (x)  2x3  6x2 11x  6 1 5(x 1) 12(x 1)3

C-2 : Uraikan ex atas deret MacLaurin dan tentukan interval konvergensinya.

Kemudian pakailah untuk menghitung 1 tepat sampai 5 angka di belakang

e5

koma.

Jawab: Deret MacLaurin

f (x)  f (0)  f 1(0) x f 11(0) x2  f (3) (0) x3  ...  Rn
1! 2! 3!

dengan Rn  xn f (n) (x) , 0< <1
n!

f (x)  ex  f (0)  1

f 1(x)  ex  f (0)  1

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

8|Metode Numerik

f 11(x)  ex  f (0)  1

………………………..

f (x)  ex 1 x x2  x3  ...  Rn dengan Rn  xn ex
2! 3! n!

Deret ini konvergen bila lim  lim x n ex  0
n   Rn n n!

Pandanglah interval    x   maka pada interval ini ex adalah berhingga, dan

lim xn ex  0
n   n!

Jadi ex  1  x  x2  x3  ... konvergen untuk   x  
2! 3!

     11  12 13 14

e5 5 5 5  ...
 1 5 2! 3! 4!

= 1+0,2+0,02+0,001333+0,000067+…=1,22140

C-3 : Uraikan 1 atas deret MacLaurin dan tentukan interval konvergensinya.
1+
Jawab :

f (x)  1  (1 x)1  f (0)  1
1 x

f 1(x)  (1  x)2  f 1(0)  1

f 11(x)  2(1 x)3  f 11(0)  2  2!

f (3) (x)  2.3(1  x)4  f (3) (0)  3!

f (4) (x)  2.3.4(1  x)5  f (4) (0)  4!

Jadi : 1  1 x  x2  x3  x4  ...  ( 1) n 1.x n 1  Rn
1 x

= 1 (x)n  Rn  1 (x)n  Rn
1 (x) 1 x

Rn 1  1 (x)n  (x)n
1 x 1 x 1 x

Untuk 1  x 1 maka n lim Rn  lim (x)n  0
 n   1 x

Jadi :
1  1  x  x2  x3  x4  ...  (1)n1.xn1  ... konv.untuk 1  x  1

1 x

Bila x diganti (-x) diperoleh :

1  1 x  x2  x3  x4  ..... konv. untuk 1  x 1
1 x

C-4 : Uraikan sin x atas deret MacLaurin, dan tentukan interval konvergensinya.

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

9|Metode Numerik

Jawab : f (x)  sinx  Tautan Video Pembelajaran

f (0)  0 f 1(x)  cos x  f 1(0)  1

f 11(x)   sin x  f 11(0)  0

f (3) (x)   cos x  f (3) (0)  1

f (4) (x)  sin x  f (4) (0)  0

jadi :

f (x)  sinx = x x3  x5  x7  ...  Rn https://www.youtube.com/watch?
3! 5! 7! v=4tF4DVyb21g

dengan Rn  xn f (n) (x) ;0< <x https://www.youtube.com/watch
n! ?v=Q-ExlLe1JHU

atau : Rn   xn sinx
  n!
 xn cosx
 n!

Karena sinx  1dan cosx  1maka Rn  xn
n!

Untuk    x   maka lim xn  0

n   n!

jadi lim  0
n   Rn

Kesimpulan :
f (x)  sin x = x  x3  x5  x7  ... konvergen untuk   x  .

3! 5! 7!

B. Pendekatan dan Kesalahan

Secara umum, terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik:

1. Galat Pemotongan (truncation error)

Galat pemotongan mengacu pada galat yang ditimbulkan akibat penggunaan

hampiran sebagai pengganti formula eksak. Maksudnya, ekspresi matematik yang lebih

kompleks “diganti” dengan formula yang lebih sederhana. Tipe galat pemotongan

bergantung pada metode komputasi yang digunakan untuk penghampiran sehingga

kadang-kadaang ia disebut juga galat metode. Misalnya, turunan pertama fungsi f di xi

dihampiri dengan formula +1 − ( )
ℎ
'( ) ≈

yang dalam hal ini h adalah lebar absis +1 dengan . Galat yang ditimbulkan dari
penghampiran turunan tersebut merupakan galat pemotongan. Istilah “pemotongan”

muncul karena banyak metode numerik yang diperoleh dengan penghampiran fungsi

menggunakan deret Taylor. Karena deret Taylor merupakan deret yang tak-berhingga,

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

10 | M e t o d e N u m e r i k

maka untuk penghampiran tersebut deret Taylor kita hentikan/potong sampai suku orde
tertentu saja. Penghentian suatu deret atau runtunan langkah-langkah komputasi yang
tidak berhingga menjadi runtunan langkah yang berhingga itulah yang menimbulkan
galat pemotongan.

Contohnya, hampiran fungsi cos ( ) dengan bantuan deret Taylor di sekitar = 0:

Deret Taylor fungsi cos(x) sebenarnya tidak berhingga, namun untuk keperluan praktis,

deret tersebut kita potong sampai suku orde tertentu, misalnya sampai suku orde n = 6

seperti pada contoh di atas. Kita melihat bahwa menghampiri cos(x) dengan deret

Taylor sampai suku berderajat enam tidak memberikan hasil yang tepat. Galat pada

nilai hampiran diakibatkan oleh pemotongan suku-suku deret. Jumlah suku-suku

selanjutnya setelah pemotongan merupakan galat pemtongan untuk cos(x). Kita tidak

dapat menghitung berapa persisnya galat pemotongan ini karena jumlah seluruh suku-

suku setelah pemotongan tidak mungkin dapat dihitung. Namun, kita dapat

menghampiri galat pemotongan ini dengan rumus suku sisa:
+1
− 0 +1
= +1 ! ; 0 < <

Pada contoh cos ( ) diatas, 7
7!
6 = cos ; 0< <

Nilai yang tepat hampir tidak pernah diperoleh karena tidak diketahuinya nilai c
sebenarnya, kecuali informasi bahwa c terletak pada suatu selang tertentu. Karenanya
perlu dicari nilai maksimum yang mungkin dari untuk c dalam selang yang
diberikan, yaitu:
− 0 +1
( ) < 0 Max +1 ( ) × +1 !
< <

Contoh:

Gunakan deret Taylor orde 4 disekitar 0 = 1 untuk menghampiri ln (0,9) dan berikan

taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang dibuat!

Penyelesaian:

Tentukan turunan fungsi = ln ( ) terlebih dahulu
= ln → 1 = 0
''(('''45' )) =====−1 2−→32 1425→ 6 →→4 ' →1 ' ''' '5 =14
1

=− 1

=2

1 =− 6

= 24
5
Deret taylornya adalah

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

11 | M e t o d e N u m e r i k

ln = −1 − −1 2 + −1 3 − −1 4
2 3 4
+ 4

dan −0,1 2 −0,1 3 −0,1 4
2 3 4
ln 0,9 = −0,1 − + − + 4 =− 0,1053583 + 4( )

Juga −0,1 5
5!
5(0,9) < 0,9 Max 1 24 ×
< < 5
24
Dan nilai max 5 diselang 0,9 < < 1 adalah pada = 0,9 (berdasarkan fakta bahwa

suatu pecahan nilainya semakin membesar bila penyebut dibuat lebih kecil) sehingga:
5
Max 24 −0,1
5(0,9) < 0,9 < < 1 0,95 × 5! = 0,0000034

2. Galat Pembulatan (round-off error)

Perhitungan metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil. Masalah

timbul bila komputasi numerik dikerjakan oleh mesin (komputer) karena semua

bilangan riil tidak dapat disajikan secara tepat. Keterbatasan komputer dalam

menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yang disebut galat pembulatan. Sebagai
1
contoh 6 = 0.166666666… tidak dapat dinyatakan secara tepat oleh komputer karena

digit 6 panjangnya tidak terbatas. Komputer hanya mampu merepresentasikan sejumlah

digit (atau bit dalam sistem biner) saja. Bilangan riil yang panjangnya melebihi jumlah

digit (bit) yang dapat direpresentasikan oleh komputer dibulatkan ke bilangan terdekat.

Misalnya sebuah komputer hanya dapat merepresentasikan bilangan riil dalam 6
d60i-.0gdi0itg0ait0n0gtk0ear3s3be3beru.atrtia,dmaClaoakhnator0he.p1r6e6se6n6dt.aalsaGimbaillaatngpaesnmis61bte=umla0ta.1n6n6yb6ai6na6ed6ra6la6h6…16md–iis0daa.l1nla6ym6a6k6o7mp=11u0te−=r
0.000110011001100110011 00110011…2 direpresentasikan di dalam komputer

dalam jumlah bit yang terbatas.

Kebanyakan komputer digital mempunyai 2 cara penyajian bilangan riil, yaitu

bilangan titik –tetap (fixed point) dan bilangan titik-kambang (floating point). Dalam

format bilangan titik-tetap setiap bilangan disajikan dengan jumlah tempat desimal yang
tetap, misalkan 62,358; 0,013; 1,000 . Sedangkan, dalam format bilangan titik-

kambang setiap bilangan disajikan dengan jumlah digit berarti yang sudah tetap.

Misalnya: 0.6238 × 103 0.1714 × 10−13

atau ditulis juga 0.6238 + 03 0.1714 − 13

Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik-kambang disebut juga angka

bena (significant figure). Konsep angka bena (significant figure) atau angka berarti

telah dikembangkan secara formal untuk menandakan keandalan suatu nilai numerik.

Angka bena adalah angka bermakna, angka penting, atau angka yang dapat digunakan

dengan pasti.

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

12 | M e t o d e N u m e r i k

Tautan Video Pembelajaran

Contoh:

43.123 memiliki 5 angka bena (yaitu 4, 3, 1, 2, 3) https://www.youtube.com/watch?
0.1764 memiliki 4 angka bena (yaitu 1, 7, 6, 4) v=a7iCfJ_fLNc
0.0000012 memiliki 2 angka bena (yaitu 1, 2)
278.300 memiliki 6 angka bena (yaitu 2, 7, 8, 3, 0, 0)
270.0090 memiliki 7 angka bena (yaitu 2, 7, 0, 0, 0, 9, 0)
0.0090 memiliki 2 angka bena (yaitu 9, 0)
1360, 1.360, 0.001360 semuanya memiliki 4 angka bena

Tugas!
Diketahui = 4 − 3 + 4 2 − 12 + 8

Ubahlah:
1. Deret Taylor kedalam pangkat ( − 1)!
2. atas deret MacLaurin dan tentukan interval konvergensinya!
1
3. 1+ atas deret MacLaurin dan tentukan interval konvergensinya!

4. sin x atas deret MacLaurin, dan tentukan interval konvergensinya!

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

13 | M e t o d e N u m e r i k

BAB III
Penyelesaian Permasalahan Non-Linear

A. Metode Belah Dua
Misalkan kita telah menentukan selang [a, b] sehingga f(a)f(b) < 0. Pada setiap kali

lelaran, selang [a, b] kita bagi dua di x = c, sehingga terdapat dua buah paselang yang
berukuran sama, yaitu selang [a, c] dan [c, b]. Selang yang diambil untuk lelaran
berikutnya adalah upaselang yang memuat akar, bergantung pada apakah f(a)f(c) < 0
atau f(c)f(b) < 0.

Selang yang baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya

sampai ukuran selang yang baru sudah sangat kecil (lihat Gambar 3.1). Kondisi berhenti

lelaran dapat dipilih salah satu dari tiga kriteria berikut:

1. Lebar selang baru: ôa - bô < e, yang dalam hal ini e adalah nilai toleransi lebar

selang yang mengurung akar.

2. Nilai fungsi di hampiran akar: f(c) = 0. Tautan Video Pembelajaran
Beberapa bahasa pemrograman membolehkan

pembandingan dua buah bilangan riil,

sehingga perbandingan f(c) = 0 dibenarkan.

Namun kalau kita kembali ke konsep awal

bahwa dua buah bilangan riil tidak dapat

dibandingkan kesamaannya karena

representasinya didalam mesin tidak tepat, https://www.youtube.com/watch
maka kita dapat menggunakan bilangan yang ?v=ERU8soGWPbE

sangat kecil (misalnya epsilon mesin) sebagai

pengganti nilai 0. Dengan demikian, menguji

kesamaan f(c) = 0 dapat kita hampiri dengan

f(c) < epsilon_mesin.
3. Galat relatif hampiran akar: ô( −

)/ ô < , yang dalam hal ini d

adalah galat relatif hampiran yang diinginkan. https://www.youtube.com/watch
?v=KttYuE6G68E

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

14 | M e t o d e N u m e r i k

Gambar 3.1 Proses Pembagian Selang , pada Metode Belah Dua

Contoh:
Tentukan akar riil dari ( ) = 3 + 2 – 1 menggunakan metode belah dua!

Jawab: = 03 + 2.0 – 1 = − 1
= 13 + 2.1 – 1 = 2

akar-akarnya dipℎe r=o=leh1 a−22n−t20ar a10 dan 1 = 1 + 2
= 0,5 = 0 + 12

2
= 0,5

( ) = 0,5 3 + 2 (0,5) – 1 = 0,125 ( )
NO ℎ 0,125
1 0,5 0,5 0,921875
0,494140625
2 0,25 0,75 0,3029785156
0,2124328613
3 0,125 0,625 0,2971191406
0,1465764046
4 0,625 0,5625 0,1357651356
0,1303767543
5 0,3125 0,53125 0,1276899093
0,1263430625
6 0,015625 0,515625 0,1256714076
0,1253356466
7 0,0078125 0,5078125 0,1251677828

8 0,00390625 0,50390625

9 0,001953125 0,5019531

10 0,0009765625 0,5009765375

11 0,0004882812 0,5004882563

12 0,0002441406 0,5002441157

13 0,0001220705 0,5001220452

14 0,0000610353 0,500610099

Kesimpulan: Bahwa = 0,500610099 dengan suatu galat paling banyak
0,1251677828 atau dengan = 10, 11, 12, 13, 14 diperkirakan akar rill dari ( ) =
3 + 2 – 1 adalah 0,500610099.

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

15 | M e t o d e N u m e r i k

Tautan Video Pembelajaran

B. Metode Newton
Di antara semua metode pencarian akar, metode

Newton-lah yang paling terkenal dan paling banyak

dipakai dalam terapan sains dan rekayasa. Metode ini

paling disukai karena konvergensinya paling cepat

diantara metode lainnya. https://www.youtube.com/watch

Contoh: ?v=PPACly-_iEY

Tentukan akar riil dari ( ) = 3 + 2 – 1 menggunakan metode Newton!

Jawab:
( ) = 3 + 2 – 1 → ( ) = 3 + 2 – 1

’ = 3 2 + 2 → ’( ) = 3 3 + 2

+1 = − ( )
'( )

= − 3 + 2 −1
3 2 + 2

= 3 2+ 2 −( 3 + 2 −1)
3 2+ 2

= 3 3+ 2 − ( 3 + 2 −1)
3 2+ 2

= 2 3 + 1
3 2+ 2

1 = 0,5

2 = 2(0,5)3+ 1 = 1 ,25 = 0,454545
3(0,5)2+ 2 2, 75

3 = 2(0,454545)3+ 1 = 1, 187828 = 0,453938
3(0,454545)2+ 2 2,619833

4 = 2(0,453938)3+ 1 = 1, 187076 = 0,453397
3(0,453938)2+ 2 2,618179

N
1 0,5
2 0,454545
3 0,453938
4 0,453397

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

16 | M e t o d e N u m e r i k Tautan Video Pembelajaran

C. Metode Titik Tetap https://www.youtube.com/watch?
Syarat : rumus dapat digunakan apabila ' ≤ 1, v=HDbKa0KSP_Q

dengan = 0,5. https://www.youtube.com/watch?
v=ry5rKNBv9_g
Contoh:
Tentukan akar riil dari ( ) = 3 + 2 – 1

menggunakan metode Titik Tetap!

Jawab:
1. ( ) = 3 + 2 – 1
2 = 3 – 1
3− 1
= 2

’ = 3 2
2
0,75
’ = 2

’ = 0,375 (dapat digunakan)

maka: 3− 1
2
=

= 0,53− 1
2
= − 0,4375
n
1 -0,4375

2 -0,541870

3 -0,579559

4 -0,597333

2. ( ) = 3 + 2 – 1
3 = 2 – 1
( 2) = 2 – 1
2 −1
= 2 2
’ =
’ = 2 2

2(0,5)
’ = 2 (tidak dapat digunakan)

3. ( ) = 3 + 2 – 1
3 – 2 = 1
( 2 − 2) = 1
1
= 12− 2
’ =
’ = 2 1

2(0,5)
’ = 1 (dapat digunakan)

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

17 | M e t o d e N u m e r i k

maka:
1
= 2−12
=
(0,5)2− 2
= 0,444444
n
1 0,444444

2 0,4550563

3 0,4530881

Tugas!
Gunakan metode Belah Dua, Newton, dan Titik Tetap untuk menentukan akar
persamaan riil dari = 3 + 4 2 + − 6!

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

18 | M e t o d e N u m e r i k

BAB IV
Interpolasi

Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik
yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui.
dpl. : cara menentukan harga fungsi f dititik ∗ [ 0, ] dengan menggunakan
informasi dari seluruh atau sebagian titik-titik yang diketahui ( 0, 1, …, )

0 1 2 …

( ) ( 0) ( 1) ( 2) …

A. Teknik Umum Yang Digunakan
1. Membentuk polinomial berderajat ≤ n yg mempunyai harga fungsi di titik-titik

yang diketahui  Polinomial Interpolasi
2. Masukkan titik yang ingin dicari harga fungsinya ke dalam polinomial interpolasi

B. Jenis-Jenis Interpolasi
1. Interpolasi Linier
Misalkan ada m bilangan 1, 2, …, dan bilangan lain yang berkaitan 1, 2, …,
maka masalahnya berapa harga ∗ pada ∗ , +1

Ambil ruas garis yang menghubungkan , dan +1, +1 sehingga diperoleh

persamaan garisnya:
∗− +1−
∗− = ( +1 − )
=+ + 1 − ++∗∗ −1−1 −− ( +1 − )
∗−

∗=

Jadi, persamaan garisnya adalah
∗−
∗= + +1− ( +1 − )

Contoh:
Diketahui data berikut ini:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 7
9 4 1 0 1 4 9 16 25 49
Tentukan harga y pada = 6,5 !

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

19 | M e t o d e N u m e r i k

Jawab: Tautan Video Pembelajaran
= 6,5 terletak pada = 6 dan = 7
∗= + ∗− ( +1 − )
+1−
6,5−6
∗= 36 + 7−6 49 − 36 = 42,5

Alternatif 2
= 6,5 terletak pada = 1 dan = 7
∗= ++6 7,5 −+−∗1−11− 4 9( − +11 − ) https://www.youtube.com/watch?
∗= 1 =1+ 5,5 48 = 45 v=zUNEpUCnfO4
6
Bandingkan hasil kedua jawaban tersebut, mana yang mendekati jawaban

sesungguhnya?
Karena hubungan dan adalah = 2 maka untuk harga = 6,5 didapat

= 6,5 2 = 42,25

Kesalahan mutlak (E), untuk:
= 42,5 → 42,5 − 42,25 = 0,25 = 25%

Sedangkan untuk: = 45 → 45 − 42,25 = 3,25 = 325%

2. Interpolasi Kuadrat
Banyak kasus penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan dengan fungsi yang

diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier. Untuk itu, digunakan polinomial
lain yang berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau mendekati fungsinya. Caranya:
Pilih tiga titik dan buat polinomial berderajat dua melalui ke-3 titik tersebut. Sehingga
harga fungsi pada = ∗
Pemilihan ke-3 titik tersebut dapat:

−1 < < +1 −1 < ∗ < < +1

Persamaan umum Polinomial kuadrat :
( ) = 0 + 1 + 0 2 …. . ( ∗ )

3 titik −1, −1 , , , dan ( +1, +1) dilalui fungsi P(x) berarti:
−1 = 0 + 1 −1 + 2 −12
= 0 + 1 + 2 2…………( ∗∗ )
+1 = 0 + 1 +1 + 2 −12
Akan diperoleh dari 3 pers. yaitu 0, 1 dan 2 kemudian subtitusikan ke (*) &
diperoleh persamaan kuadrat, sehingga dapat dicari nilai fungsi untuk = ∗
yaitu ∗ = 0 + 1 ∗ + 0 ∗2
Sistem persamaan non homogen (**) mempunyai solusi dan solusinya unik (tunggal).

3. Interpolasi Lagrange
Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk interpolasi berselang tidak

sama selain formula interpolasi Newton umum & metoda Aitken. Walaupun demikian
dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama. Misalkan fgs. ( ) kontinu &
diferensiabel sampai turunan ( + 1) dalam interval buka ( , ). Diberikan ( + 1)
titik 0, 0 , 1, 1 , …, ( , ) dengan nilai tidak perlu berjarak sama dengan yang

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

20 | M e t o d e N u m e r i k

lainnya, dan akan dicari suatu polinom berderajat n. Untuk pemakaian praktis, formula
interpolasi Lagrange dapat dinyatakan sbb. :
Jika ( ) : nilai yang diinterpolasi; x : nilai yg berkorespondensi dengan ( )
0, 1, …, = nilai dan 0, 1, …, = nilai

= − 1 − 2 …( − ) 0 + − 0 − 2 …( − ) 1 + … + − 0 − 1 …( − −1)
0− 1 0− 2 …( 0− ) 1− 0 1− 2 …( 0− ) − 0 − 1 …( − −1)

Contoh:
Nilai yang berkorespondensi dengan = 10log adalah ...
300
10log 3004 305 307
2,4871
2,4771 2,4829 2,4843

Carilah 10log 301!

Untuk menghitung = 10log 301 dengan = 301 maka nilai diatas menjadi
0 = 300 1 = 304 2 = 305 3 = 307
0 = 2,4771 1 = 2,4829 2 = 2,4843 3 = 2,4871

Dengan rumus interpolasi lagrange, maka:
301−304 301−305 301−307 301−300 301−305 301−307
= 300−304 300−305 300−307 2,4771 + 304−300 304−305 304−307 2,4829 +

301−300 301−304 301−307 2,4843 + 301−300 301−304 301−305 2,4871
305−300 305−304 305−307 307−301 307−304 307−305
= 1,2739 + 4,9658 − 4,4717 + 0,7106
= 2,4786

Tugas!

Diketahui data berikut!
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 7
9 4 1 0 1 4 9 16 25 49

Tentukan:
Harga y pada = 4,5 menggunakan interpolasi linier, dan interpolasi kuadrat!

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

21 | M e t o d e N u m e r i k

BAB V
Diferensial Numerik

Perhitungan nilai turunan dapat dikerjakan Tautan Video Pembelajaran

secara numerik (numerical differentiation atau

numerical derivative). Nilai turunan yang

diperoleh merupakan nilai hampiran. Sebagaimana

halnya pada integrasi numerik, perhitungan

turunan numerik juga menggunakan nilai-nilai

diskrit. Karena itu, fungsi dalam bentuk tabel https://www.youtube.com/watch?
merupakan bentuk alami untuk perhitungan v=DgxdP8L2bZQ

turunan.

Cara Menentukan Pola Interpolasi Serta Turunannya

Contoh:
Diketahui : 3 − 4 2 + − 6

Tentukan:

a. Selisih Muka

b. Selisih belakang

c. Selisih Tengah Muka

d. Selisih Tengah Belakang

e. Stirling

f. Bessell

Penyelesaian: = 1
= 0 3 − 4 2 + − 6
3 − 4 2 + − 6 = (1)3 − 4(1)2 + 1 − 6
= (0)3 − 4(0)2 + 0 − 6
=− 6 =1−4+1−6
=− 8
= 2 = 3
3 − 4 2 + − 6 3 − 4 2 + − 6
= (2)3 − 4(2)2 + 2 − 6 = (3)3 − 4(3)2 + 3 − 6
= 8 − 16 + 2 − 6 = 9 − 36 + 3 − 6
=− 12 =− 12
= 4
3 − 4 2 + − 6 TABEL PENYELESAIAN
= (4)3 − 4(4)2 + 4 − 6 ∆ ∆ ∆ ∆
= 64 − 64 + 4 − 6 0 −
=− 2 - −
1 − −
−
2 −

3 −

4 −

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

22 | M e t o d e N u m e r i k

A. Selisih Muka ( −1) −1 ( −2)
2 6
: = = ∆0 + ∆02 + ∆03

Jika = + ℎ
= 0 = . 1
=
( − 1) + − 1 ( − 2)
=− 6 + −2 + 2 . −2 6 . 6

=− 6 − 2 + 2 − . − 1 + ( 2 − − 2 + 2)
=− 6 − 2 − 2 + + 3 − 2 − 2 2 + 2
= 3 − 42 + − 6

Turunan Ke − 1 3 2
1 2 − 1 − 6 + 2
= ℎ ∆0 + 2 ∆02 + 6 ∆03

Substitusi nilai fungsi ke dalam rumus turunan ke − 1
Jika = + ℎ
= 0 = . 1
=
1 2 − 1. 3 2 − 6 + 2.6
= 1 −2 + 2 − 2+ 6

= 1( − 2 + 2 − 1 . − 1 + 3 2 − 6 + 2)
=− 2 − 2 + 1 + 3 2 − 6 + 2
= 3 2 − 4 + 1

Turunan Ke − 2 TABEL SELISIH MUKA
2 ℎ11122((∆−20 +2 ∆ ∆ ∆ ∆
2 = − 1 ∆03)
= + − 1 6)
0 −

= 1( − 2 + 6 − 6) - −
= 6 − 8
1 − −

− 3 −
3 1
3 = ℎ13 (∆03) 2 −
= 13 6


= 1.6 3 −

=6

4 −

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

23 | M e t o d e N u m e r i k

B. Selisih Belakang ( + 1) + 1 ( + 2) ∆ 3
2! 3!
: = + ∆ + ∆2 +

Jika = + ℎ
= + , 1
=4+
= −4
( − 4 + 1) −4 ( −4+1 −4+2 ).6
=− 2 + − 4 . 10 + −4 2 . 10 + 6

=− 2 + 10 − 40 + − 4 − 3 . 5 + − 4 ( − 3 − 2 )
=− 2 + 10 − 40 + 2 − 7 + 12 . 5 + − 4 ( − 3 − 2 )
=− 2 + 10 − 40 + 2 − 7 + 12 5 + − 4 ( 2 − 5 + 6)
=− 2 + 10 − 40 + 5 2 − 35 + 60 + 3 − 5 2 + 6 − 4 2 + 20 − 24
= 3 − 4 2 + − 6

Turunan Ke − 1 3 2 + 6 + 2
1 2 + 1 6
= ℎ (∆ + 2 ∆2 + ∆3

Substitusi nilai fungsi ke dalam rumus turunan ke − 1
Jika = + ℎ
= + , 1
=4+
= −4

= 1 10 + 2 −4 +1 . 10 + 3( − 4)2 +6 − 4 +2.6
1 2 6
= 10 + 2 − 8 + 1 . 5 + 3 2 − 8 + 16 + (6 − 24 + 2)
= 10 + 2 − 7 . 5 + 3 2 − 24 + 48 + 6 − 22
= 10 + 10 − 35 + 3 2 − 24 + 48 + 6 − 22
= 3 2 − 8 + 1

Turunan Ke − 2 TABEL SELISIH BELAKANG
2 1 ∆ ∆ ∆ ∆
2 = ℎ12 (∆2 + + 1 )∆ 3 0 −
= 12 (10 + −4+1 - −
). 6 1 − −

= 1(10 + − 3) . 6 −
= 10 + 6 − 18
= 6 − 8 2 −

3 −
Turunan Ke − 3
3 1
3 = ℎ13 (∆3 ) 4 −
= 13 (6)

= 1.6 = 6

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

24 | M e t o d e N u m e r i k

C. Selisih Tengah Muka ( − 1) ∆2 − 1 ( + 1) ∆3
2! 3!
: = + ∆ + +

Jika = + ℎ
= 2 + . 1
=2+
= −2
−2 ( − 2 − 1) ( − 2 −2 − 1)( − 2 + 1)) . 6
=− 12 + −2 .0+ 2 . 4 + 6

=− 12 + 0 + ( − 2 − 3 . 2 + ( − 2)( − 3 − 1 )
=− 12 + 2 − 5 + 6 . 2 + − 2 ( 2 − 4 + 3)
=− 12 + 2 2 − 10 + 12 + 3 − 4 2 + 3 − 2 2 + 8 − 6
= 3 − 4 2 − 6

Turunan Ke − 1 (3 2 −
1 (2 − 1) 6 1)
= ℎ ∆ + 2 ∆2 + ∆3

Substitusi nilai fungsi kedalam rumus turunan − 1
Jika = + ℎ
= 2 + . 1
=2+
= −2
1 2 −2 − 1 3( − 2)2 − 1
= 1 0+ 2 . 4 + 6 . 6

=1 0+ 2 − 4 − 1 .2 + 3( 2 − 4 + 4 − 1) . 6
6
= 2 − 5 . 2 + (3 2 − 12 + 12 − 1)
= 4 − 10 + 3 2 − 12 + 11
= 3 2 − 8 + 1
TABEL SELISIH TENGAH MUKA
Turunan ke − 2 ∆ ∆ ∆ ∆
2 1 0 −
2 = ℎ12 (∆2 + ∆3 ) - − −
= 12 (4 + − 2 . 6) 1 −
−
= 1(4 + 6 − 12) 2 −
= 6 − 8

3 −
Turunan Ke − 3
3 1
3 = ℎ13 (∆3 ) 4 −
= 13 6

= 1.6
=6

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

25 | M e t o d e N u m e r i k

D. Selisih Tengah Belakang ( +1) +1 ( −1)
2! 3!
: = + ∆ + ∆2 + ∆3

Jika = + ℎ
= 2 + . 1
=2+
= −2
− 2 ( − 2 + 1) . 4 −2 ( −2+1 −2−1 ).6
=− 12 + −2 .−4+ 2 + 6

=− 12 − 4 + 8 − 2 − 1 . 2 + − 2 ( − 1 − 3 )
=− 12 − 4 + 8 + 2 − 3 + 2 . 2 + − 2 ( 2 − 4 + 3)
=− 12 − 4 + 8 + 2 2 − 6 + 4 + 3 − 4 2 + 3 − 2 2 + 8 − 6
= 3 − 4 2 + − 6

Turunan Ke − 1 1) (3 2 −
1 (2 + 6 1)
= ℎ (∆ + 2 ∆2 + ∆3

Substitusi nilai fungsi ke dalam rumus turunan − 1
Jika = + ℎ
= 2 + . 1
=2+
= −2
1 2( − 2) + 1 3( − 2)2 − 1
= 1 −4 + 2 . 4 + 6 . 6

= 1( − 4 + 2 − 4 + 1 . 2 + 3 2 − 4 + 4 − 1)
=− 4 + 2 − 3 . 2 + 3 2 − 12 + 12 − 1
=− 4 + 4 − 6 + 3 2 − 12 + 11
= 3 2 − 8 + 1

Turunan Ke − 2 TABEL SELISIH TENGAH BELAKANG
2 1 ∆ ∆ ∆ ∆
2 = ℎ12 (∆2 + ∆3 ) 0 −
= 12 (4 + − 2 . 6) - −
1 − −
= 4 + 6 − 12 −
= 6 − 8
2 −

Turunan Ke − 3 3 −
3 1
3 = ℎ13 (∆3 ) 4 −
= 13 (6)

=6

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

26 | M e t o d e N u m e r i k

E. Stirling 2 ( 2−1) ∆13+∆32
2! 3! 2
Rumus : = + ∆2+∆3 + ∆22 +
2
Jika = + ℎ
= 2 + . 1
=2+
= −2
−4 + 0 ( − 2)2 − 2 (( − 2)2 − 1) 6 + 6
=− 12 + − 2 . 2 + 2 . 4 + 6 . 2

=− 12 + −2 .−2+ 2 − 4 + 4 . 2 + − 2 ( 2 − 4 + 4 − 1) . 6
6
=− 12 − 2 + 4 + 2 2 − 8 + 8 + − 2 ( 2 − 4 + 3)
=− 12 − 2 + 4 + 2 2 − 8 + 8 + 3 − 4 2 + 3 − 2 2 + 8 − 6
= 3 − 4 2 + − 6

Turunan Ke − 1 3 2 − 1 ∆13 ∆23
1 ∆2 + ∆3 2 6 +
= ℎ 2 + 2 . ∆22 + . 2

Substitusi nilai fungsi kedalam turunan ke − 1
Jika = + ℎ
= 2 + . 1
=2+
= −2
1 −4 + 0 2( − 2) (3( − 2)2 − 1) 6 + 6
= 1 . 2 + 2 . 4 + 6 . 2

=− 2 + 2 − 4 .2 + 3 ( 2 − 4 + 4 − 1) . 6
6
=− 2 + 4 − 8 + 3 2 − 12 + 12 − 1
=− 2 + 4 − 8 + 3 2 − 12 + 11
= 3 2 − 8 + 1

Turunan Ke − 2 TABEL STIRLING
2 111ℎ1122(4(4∆+22++ −.−(2∆231. + ∆32) ∆ ∆ ∆
2 = .26 ∆
= 0 −
= + 6 - −
2
1 − −
6) −

= 1(4 + 6 − 12) 2 −
= 6 − 8

3 −
Turunan Ke − 3
3 1 (∆13 + ∆23)
3 = ℎ13 . (6 +26) 4 −
= 13 .
2
=6

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

27 | M e t o d e N u m e r i k

F. Besell 2− ( −12)
2
: = + ∆3 + 2− ∆22+∆23 + . ∆32
2! 2
Jika = + ℎ
= 2 + . 1
=2+
= −2
1
=− 12 + − 2 . 0 + ( − 2)2 − ( − 2) . 4 + 10 + ( − 2)2 − − 2 ( − 2 − 2 ) . 6
=− 12 + ( 2 − 2 + ( 2 2 − 6
−625
5 + 6) . 14 − 4 + 4 ( − 2))( ) .
2 2
= 12 + ( 2 6
− 5 = 6) . 2552 )2
2 + 7 + 2 − 5 + 6 ( −
=− 12 + 7 2 35 21 + 3 − 5 2 + 6 − + 25 − 15
2 − 2 2

= 3 − 4 2 + − 6

Turunan Ke − 1 1
2
= 1 ∆3 + 2 − 1 (∆22 + ∆23) + 3 2 − 3 + ∆23
ℎ 2 2 6
Jika = + ℎ
= 2 + . 1
=2+
= −2

Substitusi nilai fungsi ke dalam rumus turunan − 1 1
2
= 1 0 + 2 −2 −1 4 + 10 3( − 2)2 − 3 − 2 + . 6
1 2 2 +6

= 2 − 4 − 1 . 7 + 3 2 − 4 + 4 − 3 − 2 + 1
= 2 2
= .7227++3 32 2−−151 2 ++32712 1
2 − 5 −3 + 6 + 2

2 − 5

= 3 2 − 8 + 1 TABEL BESSEELL
∆ ∆ ∆ ∆
Turunan ke − 2 0 −
2 1 (∆22 + ∆32) 6 − 3
2 = ℎ2 2 + 6 . (∆23) - −
1 − −
1 (4 + 10) 6 − 3 −
= 12 2 + 6 . 6
2 −
= 1.7 + 6 − 12 − 3
= 7 + 6 − 15
= 6 − 8 3 −

Turunan Ke − 3 4 −

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

28 | M e t o d e N u m e r i k

3 ==ℎ11133(.∆623)
3

= 1.6
=6

Tugas!
Diketahui : 3 − 2 2 + − 5!
Tentukan:

a. Selisih Muka
b. Selisih belakang
c. Selisih Tengah Muka
d. Selisih Tengah Belakang
e. Stirling
f. Bessell

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

29 | M e t o d e N u m e r i k

BAB VI
Integral Numerik

Formulasi dari Integrasi suatu fungsi ditulis dalam bentuk :

= b

 f (x)dx ...........(6.1)

a
yang merupakan integral suatu fungsi ( ) terhadap variabel x yang dihitung antara
batas = sampai = . Yang dimaksud dengan integrasi adalah nilai total atau
luasan yang dibatasi oleh fungsi ( ) dan sumbu x , dari batas = sampai = .

Gambar 6.1. Luas Integrasi
Integrasi numerik merupakan pendekatan dari integrasi analitis untuk
mempermudah mendapatkan solusinya, dimana kadang-kadang suatu integral sulit
diselesaikan dengan analitis. Integrasi numerik merupakan integral tertentu yang
didasarkan pada perkiraan dengan membagi luasan dalam sejumlah pias kecil. Luas
totalnya adalah jumlah dari luas pias semuanya.
Metode integrasi numerik dapat dibedakan dalam dua kelompok, yaitu kelompok
metode Newton-cotes dan kelompok metode Gauss. Yang termasuk Metode Newton-
cotes diantaranya adalah metode Trapesium dan metode Simpson, sedangkan untuk
kelompok metode Gauss contohnya adalah metode Gauss-kuadratur.

A. Metode Trapesium Tautan Video Pembelajaran
Dalam metode ini kurva lengkung dari fungsi ( )
https://www.youtube.com/watch
digantikan dengan garis lurus. Sehingga luasan bidang ?v=ydQF-BfPmRc
dibawah kurva fungsi ( ) didekati dengan luas

trapesium y F(b)

F(a)

I

0a b x

Gambar 6.2. Luasan Trapesium

Untuk menghitung integrasi sesuai dengan persamaan (6.1) https://www.youtube.com/watch
maka : ?v=a6-7rKOsnVU

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

30 | M e t o d e N u m e r i k

 − f (a)  f (b) …………(6.2)

2

Penggunaan garis lurus untuk mendekati garis lengkung menyebabkan terjadinya
kesalahan sebesar luasan yang tidak diarsir. Besarnya kesalahan dapat diperkirakan dari
persamaan berikut :

= − 1 h3 f " , dimana ” adalah turunan kedua dari fungsi ( ), h adalah ( − )

12

dan  adalah titik tengah interval a dan b.

Contoh: 4
0
Hitung = dengan metode trapesium satu pias!

Jawab:

Apabila diselesaikan secara analitis :
= 4 − 0 = 53,59815

Dengan integrasi numerik :

= (4 − 0) e 4  e 0 = 111,1963
2

Kesalahannya:
 = (53,59815 − 111,1963) / 53,59815 100 % = − 107,46 %

Untuk memperkecil kesalahan yang ada maka dilakukan pembagian luasan
dibawah kurva dengan jumlah n pias trapesium dengan lebar yang sama. Seperti dapat
dilihat pada Gambar 6.2., lebar pias ℎ = ( − ), dengan demikian dapat ditulis :

= + ℎ ; = ( )

Y

y = f(x)

Q
P

f r+1 fn

fr

f0

O Xo X1 MN X

Xr X Xn-1
Xn =b
=Xa2 r+1

Gambar 6.3. Derivation of the Trapesium Rule

Luas dari NMPQ adalah sebagai luasan trapesium :

1 h( f r  f r1 ) (6.3)
2

Total luas dibawah kurva dapat didekati dengan jumlah n trapesium :

I 1 h ( f0 + f1) + 1 h ( f1 + f2) + 1 h ( f2 + f3) + ..... + 1 h ( fn-2 + fn-1) +
2 2 2 2

1 h ( fn-1 + fn) (6.4)
2

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

31 | M e t o d e N u m e r i k

I  h ( 1 f0 + f1 + f2 + ..... + fn-1 + 1 fn) (6.5)
2 2

atau

I 1 h [ f (a) + f (b) + 2 n1 (xr ) ] (6.6)
2
f

r 1

Besarnya kesalahan yang terjadi pada penggunaan banyak pias adalah :

Et =- 1 _ , dimana nilai _
h2 (b  a) f "
12 f " adalah rata-rata nilai f”(x) untuk nilai x antara a

dan b

_

untuk kebanyakan fungsi, bentuk f " dapat didekati dengan oleh persamaan :

_ f '(b)  f '(a) (6.7)
ba
f"=

Sehingga bentuk persamaan trapesium dengan memperhitungkan koreksi yaitu :

I 1 h [ f (a) + f (b) + 2 n1 ( xr ) ] - 1 h2 [ f ' (b)  f '(a) ] (6.8)
2 12
f

r 1

Metode trapesium dapat digunakan untuk integrasi suatu fungsi yang diberikan dalam

bentuk numerik pada intervaal diskret. Koreksi pada ujung-ujungnya dapat didekati

dengan mengganti diferensial f’(a) dan f’(b) dengan diferensial beda hingga :

Contoh:

Selesaikan soal pada contoh 1. dengan menggunakan metode trapesium empat pias

dengan lebar pias 1.

penyelesaian :
Luas trapesium dengan 4 pias, ℎ = 1

I 1 h [ f (a) + f (b) + 2 n1 (xr ) ]
2
f

r 1

I 1 1 [ e0 + e4 + 2 (e1 + e2 + e3)] = 57,991950
2

f (r) = f (r 1)  f (r) (6.9)
h

B. Metode Romberg

Keakuratan dapat ditingkatkan dari integral metode Trapesium dengan sebuah

teknik yang dikenal dengan Ekstrapolasi Richardson, yang lebih dikenal sebagai

Integrasi Romberg. Metode Romberg mudah diaplikasikan untuk jangkauan fungsi

yang lebar, demikian juga untuk beberapa fungsi Riemann-fungsi pengintegralan.

Dengan tidak mewajibkan kehalusan dan kesinambungan.

Karena integral menetapkan dengan metode Trapesium mempunyai kesalahan

O(h2), dapat dikombinasikan dua estimasi dari pada integral yang mempunyai nilai h

pada sebuah rasio 2 : 1 dengan persamaan sebelumnya, yang direpresentasikan:

Estimasi lebih baik = lebih akurat + 1 (lebih akurat – kurang akurat)
2n 1

Metode Romberg adalah metode perhitungan yang didasarkan trapezional rule dan

error calcultion sehingga dapat menghasikan nilai integral dengan tingkat yang tinggi.

Metode romberg didasarkan pada perluasan ekstrapolasi richarrdson untuk memperoleh

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

32 | M e t o d e N u m e r i k

nilai integrasi yang semakin baik. Sebagai catatan, setiap penerapan ekstrapolasi

richardson akan menaikan order galat pada hasil solusinya sebesar dua:
(ℎ2 ) → (ℎ2 +2)
Misalnya, bila ℎ dan 2ℎ dihitung dengan kaidah trapesium yang berorder galat
(ℎ2) , maka ekstrapolasi richardson menghasilkan kaidah Simpson 1/3 yang berorde
(ℎ4) . Selanjutnya, bila I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah Simpson 1/3,
ekstrapolasi Richardson menghasilkan kaidah Boole yang berorde (ℎ6).

Tinjauan kembali persamaan ekstrapolasi Richardson:
ℎ − ℎ
= ℎ + 2 − 1

Misalkan adalah nilai integrasi sejati yang dinyatakan sebagai
= + ℎ2 + ℎ4 + ℎ6 + …
(b−a)
Yang dalam hal ini: h = dan

==2P2oerrkdieragaanlant i la i integrasi dengan kaidah trapesium dan jumlah pias
adalah (ℎ2)

Misal , dibagi menjadi 64 buah pias atau upselang: N = 64 = 26 → =
6(0,1,2,3,4,5,6)
( − ) ℎ0
= 0 (artinya = 20 = 1 pias, ℎ0 = 1 → 0 = 2 0+ ℎ641
= 1 (artinya = = 2 pias, 0+2 32+ ℎ642
= 2 (artinya = 21 = 4 pias, ℎ1 = ( − ) → 1 = 2 0+2 16+2 32+2 48+ 64
= 3 (artinya = = 8 pias, 2
22 ( − )
ℎ2 = 4 → 2 = 2
23
ℎ2 = ( − ) → 2 =
ℎ2 8

2 0+2 8+2 16+2 24+2 32+2 40+2 48+2 56+ 64
...
( − ) ℎ6
= 6 (artinya = 26 = 64 pias, ℎ6 = 64 → 2 = 2 0+2 1+2 2+. . .+2 63+ 64

Dari setiap adalah sebagai berikut : m e nj ad i n=2d0en=ga1n menggunakan kaidah
0 adalah taksiran nilai dari integrasi = buah pias;
trapesium dengan pembagian daerah integrasi m e nj ad i n=2d1en=ga2n

1 adalah taksiran nilai dari integrasi = menggunakan kaidah
trapesium dengan pembagian daerah integrasi buah pias;
m e nj ad i n=2d2en=ga4n
2 adalah taksiran nilai dari integrasi = menggunakan kaidah
trapesium dengan pembagian daerah integrasi buah pias;
m e nj ad i n=2d6en=ga6n4
6 adalah taksiran nilai dari integrasi = menggunakan kaidah
trapesium dengan pembagian daerah integrasi buah pias;
Tiga yang pertama dilukiskan oleh gambar.
Gunakan 0, 1, 2,. . . , pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan
− −1
runtutan 1, 2, …, yaitu = + 22−1

Jadi nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I= + 'ℎ4 + 'ℎ6 + … dengan orde
galat adalah O(ℎ4)

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

33 | M e t o d e N u m e r i k

Gunakan 1, 2,. . . , pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan
− −1
runtutan 2, 3, …, yaitu: = + 24−1

Jadi nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah = + ''ℎ6 + … dengan orde galat
adalah O(ℎ6)
rGuunntuatkaann 32, , 4 ,3…, …, , yaiptuad: a pe=rsa m a+an 2e−6k −s 1t−r1apolasi
Jadi nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I= + Richardson untuk mendapatkan
adalah O(ℎ8) demikian seterusnya. '''ℎ8 + … dengan orde galat

Dari runtutan tersebut, diperoleh tabel yang dinamakan table Romberg seperti berikut

ini. (ℎ14)
(ℎ2) (ℎ4) (ℎ6) (ℎ8) (ℎ10) (ℎ12)

A0

A1 B1

A2 B2 C2

A3 B3 C3 D3

A4 B4 C4 D4 E4

A5 B5 C5 D5 E5 F5 → nilai integrasi yang lebih
baik
A6 B6 B6 D6 E6 F6

Contoh: 1 1
0 1+
Hitung integral: dengan metode Romberg ( = 8). Gunakan 5 angka bena!

Jawab: 1−0
8
Jarak antar titik ℎ = = 0.125

Tabel titik-titik di dalam selang 0,1 dengan h = 0.125:


00 1.0000

1 0.125 0.88889

2 0.250 0.80000

3 0.375 0.72727

4 0.500 0.66667

5 0.625 0.61538

6 0.750 0.57143

7 0.875 0.53333

ℎ0 8 1.000 0.50000
12
0 = 0 + 8
= 2 1+ 0,50000

= 0,75000

1 = ℎ1 0 + 2 4 + 8
= 02,5 1 + 2 0,66667
+ 0,70833
2
= 0,7604175

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

34 | M e t o d e N u m e r i k

2 = 0ℎ2,22250 01++22 20+,820 0400+ 2 6 + 8
= + 2 0,66667
+ 2 0,57143 + 0,50000

= 0,697025

3 = ℎ3 ( 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 8
2
= 0,125 (1 + 2 0,88889 + 2(0,80000 + … + 2 0,53333 + 0,50000
2
= 0,69412

1 = 1 + 1− 0 = 0,69445 ( berorde 2, jadi q = 2)
2 = 2 + 222−− 11 = 0,69325
3 = 3 + 222−− 11 = 0,69315 ( berorde 4, jadi q = 4)
22− 1 ( berorde 6, jadi q = 6)

2 = 2 + 2− 1 = 0,69317
3 = 3 + 234−− 12 = 0,69314
24− 1

3 = 3 + 3− 3 = 0,69314
26− 1

Tabel Romberg: O(ℎ4) O(ℎ6) O(ℎ8)
K O(ℎ2) 0,69314
0 0,75000 0,69445 0,69317
1 0,70833 0,69325 0,69314
2 0,69702 0,69315
3 0,69412

Jadi, 1 1 = 0,69314 (bandingkan dengan solusi sejati 1 1 = 0,693145.
0 1+ 0 1+

Tugas! 1
0 +1
Diketahui: =

Hitunglah menggunakan:

a. Metode trapesium satu pias!
b. Metode Romberg ( = 8). Gunakan 5 angka bena!

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

35 | M e t o d e N u m e r i k

BAB VII

Ekstrapolasi

Tautan Video Pembelajaran

Pandang kembali kaidah trapesium:
ℎ − ''( )
= 2 ( + 2 + ) − 12 ℎ2
=1

Yang dapat ditulis sebagai

= ℎ + ℎ2

Dengan ℎ adalah integrasi dengan menggunakan kaidah https://www.youtube.com/watch?
trapesium dengan jarak antar titik selebar ℎ dan = − 12 ''( ). v=zUNEpUCnfO4

Secara umum, kaidah integrasi yang lain dapat kita tulis sebagai

= ℎ + ℎ (P.6.42)

Dengan dan adalah konstanta yang tidak bergantung pada ℎ . Nilai dapat ditentukan

langsung dari orde galat kaidah integrasi, misalnya:
Kaidah trapesium, (ℎ2) → =2
Kaidah titik-tengah, (ℎ2) → =2
1
Kaidah 3 Simpson, (ℎ4) → =4

Tujuan ekstrapolasi Richardson ialah menghitung nilai integrasi yang lebih baik

(improve)dibandingkan dengan I. Misalkan J adalah nilai integrasi yang lebih baik dari pada I

dengan jarak antar titik adalah h: (P.6.43)
= ℎ + ℎ (P.6.44)

Ekstrapolasikan ℎ menjadi 2ℎ, lalu hitung integrasi numberiknya
= 2ℎ + (2ℎ)

Eliminasikan C dari kedua persamaan dengan menyamakan persamaan (P.6.43) dan persamaan

(P.6.44):
ℎ + ℎ = 2ℎ + (2ℎ) c

Sehingga diperoleh:
ℎ − (2ℎ)
= (2 −1)ℎ (P.6.45)

Subtitusikan (P.6.45) kedalam (P.6.43) untuk memperoleh:
ℎ − (2ℎ)
= ℎ + 2 −1 (P.4.46)

Yang merupakan persamaan ekstrapolasi ricahrdson. Ekstrapolasi Ricahrdson dapat kita artikan

sebagai berikut :

Mula-mula hitunglah nilai integrasi dengan kaidah yang sudah baku dengan kaidah

yang sudah baku dengan jarak antara titik selebar h untuk mendapatkan I(h),

kemudian hitung kembali nilai integrasi dengan jarak antar titik selebar 2h untuk

memperoleh I(2h). akhirnya, hitung nilai integrasi yang lebih baik dengan

menggunakan persamaan (P.6.46)

Perhatikanlah bahwa jika pernyataan diatas dibalik, kita telah melakukan ekstrapolasi menuju
ℎ = 0, yaitu kita hitung ( (2ℎ) lalu hitung (ℎ). Urutan pengerjaan ( (2ℎ) atau (ℎ) lebih dulu )

tidak mempengaruhi hasil akhirnya.
Sebagai contoh, bila (ℎ) dan ( (2ℎ) dihitung dengan kaidah trapesium = 2 , maka

ekstrapolasi Richardson-nya adalah
1
= ℎ + 3 ℎ − (2ℎ) (P.6.47)

Dan bila (ℎ) dan ( (2ℎ) dihitung dengan kaidah 1/3 Simpson = 4 , maka ekstrapolasi

Richardson-nya adalah

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

36 | M e t o d e N u m e r i k

= ℎ + 1 ℎ − (2ℎ)
15
Perhatikanlah bahwa suku 1/3 ℎ − (2ℎ) pada persamaan (P.6.47) dan suku 1/15 ℎ −
(2ℎ) pada persamaan (P.6.48) merupakan factor koreksi. Artinya, nilai taksiran (ℎ) dapat

ditingkatkan menjadi nilai yang lebih baik dengan menambahkan factor koreksi tersebut.

Contoh: 1 1
0 1+
Hitung kembali integral dengan menggunakan ekstrapolasi Richardson, yang dalam

hal ini (ℎ) dan (2ℎ) dihitung dengan kaidah trapesium dan ℎ = 0.125

Jawab: 1−0
0.125
Jumlah upselang di didalam selang : = = 8

Tabel titik-titik di dalam selang 0,1 dengan ℎ = 0.125 :


00 1

1 0.125 0.88889

2 0.250 0.80000

3 0.375 0.72727

4 0.500 0.66667

5 0.625 0.61538

6 0.750 0.57143

7 0.875 0.53333

8 1.000 0.50000

I(h) adalah nilai integrasi dengan kaidah trapesium menggunakan h = 0.125
1
1
ℎ = 1+

≈ ℎ ( 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 0 2 7 + 8)
2
2 6 +

≈ 0.125 1 + 2 0.88889 + 2 0.800000 + …0.500000
2
≈ 0.69412
I(2h) adalah nilai integrasi dengan kaidah trapesium menggunakan 2ℎ = 0.250
11 2ℎ
(2h) = 0 1+ ≈ ( 2 )( 0 + 2 2 + 2 4 + 2 6 + 8)

≈ 0.250 [1 + 2 0.80000 + 2 0.66667 + 2 0.57143 + (0.50000)
2
≈ 0.69702

Nilai integrasi yang lebih baik, J, diperoleh dengan ekstrpolasi Richardson :
ℎ − (2ℎ)
= (ℎ) + 2 −1

Yang dalam hal ini, q =2 karena I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah trapesium (yang

mempunyai orde galat = 2).
0.69412−0.69702
= 0.69412 + 22−1 = 0.69315

Jadi, taksiran nilai integrasi yang lebih baik adalah 0.69315. Bandingkan dengan nilai integrasi

sejatinya: 1 1
0 +
1 = ln (1 + ) ==10 = ln 2 − ln 1 = 0.69314718

Dibulatkan kedalam 5 angka bena. (0.69314718) = 0.69315 , hasilnya tepat sama dengan

nilai integrasi yang dihitung dengan ekstrapolasi Richardson.

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

37 | M e t o d e N u m e r i k

Tugas!

Buktikan bahwa bila (ℎ) dan (2ℎ) dihitung dengan kaidah trapesium, maka persamaan
ekstrapolasi Richardson menyatakan kaidah Simpson 1/3!

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

38 | M e t o d e N u m e r i k

BAB VIII
Singularitas

Kita akan kesulitan melakukan menghitung integrasi numerik apabila fungsi tidak
terdefinisi di = . Dalam hal ini, < < .

Misalnya dalam menghitung integrasi 1

= cos ( )

0
Fungsi = cos ( ) jelas tidak di = 0 (ujung bawah selang).
terdefinisi

Pada perhitungan integrasi 2

= 1 1
−
0,5
Menggunakan ℎ = 0,1
1
Titik diskrit di = 1 tidak dapat dihitung sebab fungsi = −1 tidak terdefinisi di = 1.

Fungsi yang tidak terdefinisi di = , untuk ≤ ≤ dinamakan Fungsi Singular.

Pada titik singular, nilai fungsinya tidak terdefinisi. Bila selang [a, b] mengandung titik

singular, lelaran metode bagidua tidak pernah berhenti. Penyebabnya, metode bagidua

menganggap titik singular sebagai akar karena lelaran cenderung konvergen. Yang sebenarnya,

titik singular bukanlah akar, melainkan akar semu.

Gambar 1. Fungsi Singular

Cara mengatasinya: periksa nilai ( ) − ( ) . Jika ( ) − ( ) konvergen ke nol,
akar yang dicari pasti akar sejati, tetapi jika ( ) − ( ) divergen, akar yang dicari

merupakan titik singular (akar semu). Pada setiap lelaran pada metode bagidua, kita mencatat

bahwa selisih antara akar sejati dengan akar hampiran tidak pernah melebihi setengah panjang

selang saat itu. Pernyataan ini dinyatakan degan teorema berikut.
Singular juga muncul pada fungsi yang turunannya tidak terdefenisi di = , untuk
1
≤ ≤ . Misalnya hasil perhitungan integral 0 memperlihatkan hasil yang menyimpang

meskipun fungsi = sendiri terdefenisi untuk semua = , untuk ≤ ≤ .
1
Penyimpangan ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan integral 0 dihitung dengan

kaidah trapesium.

Tinjau kembali galat total pada kaidah trapesium:

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

39 | M e t o d e N u m e r i k

≈≈−−1ℎ1ℎ2323( '0'=−+01 1'' + … + '' −1
' '

≈− ℎ3
12
ℎ3
≈− 12 [ ' − ' ] ...(1)
atau '
Persamaan (1) menyiratkan bahwa galat integrasi akan besar apabila '

tidak ada. Singularitas harus dihilangkan dengan cara memanipulasi persamaan fungsi

sedemikian sehingga ia tidak singularitas lagi.

Contoh: 1 cos ( )
0
Ubahlah fungsi integrasi = sehingga menjadi tidak singular lagi!

Jawab: cos

Fungsi = tidak terdefinisi di = 0.

Misal: = 2 → = 2

Batas selang integrasi juga berubah
=0→ = =0
=1→ = =1

Maka:
1 cos
= 0

= 1 cos 2 2
= 2 →
0 2 tidak singular lagi
1
0 cos

Tugas!

Ubahlah fungsi integrasi berikut sehingga menjadi singular:
1
1. = 0 ( )(1− 3)

2. = 1
0

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

40 | M e t o d e N u m e r i k

BAB IX
Integral Ganda

Dalam bidang teknik, integral sering muncul dalam bentuk integral ganda dua

(lipat dua) atau integral ganda tiga (lipat tiga). Misalkan kita tinjau untuk integral lipat

dua, integral lipat dua didefinisikan sebagai:

. = , =

Tafsiran geometri dari integral ganda adalah menghitung volume ruang dibawah
permukaan kurva ( , ) yang alasnya adalah berupa bidang yang dibatasi oleh garis-
garis = , = , = , dan = . volume berada di dimensi tiga adalah:

= ×

Kaidah-kaidah integrasi numerik yang telah kita bahas dapat dipakai untuk
menghitung integral ganda. Jika pada fungsi dengan satu peubah = ( ) , luas

daerah dihampiri dengan pias-pias yang berbentuk segi empat atau trapesium, maka
pada fungsi dengan dua peubah = ( , ) volume balok dihampiri dengan balok-

balok yang berbentuk segi empat atau trapesium.

Solusi integral lipat dua diperoleh dengan integrasi dua kali, pertama dalam arah x

(dalam hal ini, nilai y tetap ) selanjutnya dalam arah y (dalam hal ini, nilai x tetap).

Dalam arah x berarti kita menghitung kuas alas benda, sedanglkan arah y kita

menghitung luas alas dengan tinggi untuk memperoleh volume benda. Tinggi benda

dinyatakan secara tidak langsung dengan koefisien-koefisien wi pada persamaan

Misalkan integrasi dalam arah x dihitung dengan kaidah trapesium, dan

integrasi dalam arah y dihitung dengan kaidah simpson 1/3, maka:

, =
=1 =1
=++∆342 [××∆2 ∆∆22
0,0 + 2 1,0 + 2 2,0 + … + 2 −1,0 + ,0
0,1 + 2 1,1 + 21 + … + 2 −1,1 + ,1
0,2 + 2 1,2 + 2 2,2 + … + 2 −1,2 + ,2

… ∆
2
+2 × 0, −2 + 2 1, −2 + 2 2, −2 + … + 2 −1, −2 +

, −2
∆
+4 × 2 0, −1 + 2 1, −1 + 2 2, −1 + … + 2 −1, −1 +

, −1
∆
+ 2 0, + 2 1, + 2 2, + … + 2 −1, + , ]

Dengan:
= jarak antar titik dalam arah
= jarak antar titik dalam arah
= jumlah titik diskrit dalam arah
= jumlah titik diskrit dalam arah

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

41 | M e t o d e N u m e r i k

Contoh :
Diberikan tabel , sebagai berikut:

y 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
X
2.549 3.031
1.5 0.990 1.524 2.045 3.943 4.672
6.341 7.379
2.0 1.568 2.384 3.177 10.030 11.841

2.5 2.520 3.800 5.044

3.0 4.090 6.136 8.122
0,6 3,0
Hitunglah: 0,2 1,5 , !

Jawab:

Misalkan

● Dalam arah x kita gunakan kaidah trapesium

● Dalam arah y kita gunakan kaidah simpson 1/3

Dalam arah x (y tetap): 3,0
3,0 1,5
= 0,2; 1,5 , ( , 0.2)

= ∆ 0,0 + 2 1.0 + 2 2,0 + 3,0
= 02.5 0.990 + 2 × 1.658 + 2 × 2.520 + 4.090
2
= 3.3140

= 0,3; 3,0 , 3,0 ( , 0.3)
1,5 1,5
∆
= 02.5 0,0 + 2 1.1 + 2 2,1 + 3,1
= 2 1.524 + 2(2.384 + 2 × 3.800 + 6.136

= 5.0070

= 0,4; 3,0 , 3,0 ( , 0.4) = 6,6522
= 0,5; 1,5 1,5
= 0,6; 3,0 3,0
1,5 , 1,5 ( , 0.5) = 8,2368

3,0 , 3,0 ( , 0.6) = 9,7435
1,5 1,5

0,6 , = ∆ (3,3140 + 4 × 5,0070 + 2 × 6,6522 + 4 × 8,2368 + 9,7435)
0,2
0,1
= 3 3,3140 + 4 × 5,0070 + 2 × 6,6522 + 4 × 8,2368 + 9,7435

0,6 3,0 = 2,6446
0,2 1,5
Jadi, , = 2,6446.

A. Integral Ganda dengan Batas Persegi Panjang
Bentuk umum:

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

42 | M e t o d e N u m e r i k

Dimana: = , = ,
, ; ≤ ≤ , ≤ ≤ , , dan adalah konstanta

Contoh: 10 14
7 11
Hitunglah 2 + 4 !

Jawab: 4 =14

10 2 + 4 = 1 3 + =11
7 = 3 14 3
1 + 4 14
3 − 1 11 3 − 4 11
3
= 471 + 12

Kemudian mengintegrasikan hasilnya sehubungan dengan y
10 =10
7 471 + 12 = 471 + 6 2 =7

= 1 14 3 + 14 14 − 1 11 3 − 4 11
3 3
= 471 + 12

Dalam kasus dimana integral ganda dari nilai absolut fungsi berhingga, urutan

integrasi dapat dipertukaran,yaitu x pertama dan integrasikan sehubungan dengan y

pertama menghasilkan hasil yang sama. Itulah Teorema Fubini. Misalnya,

melakukan perhitungan sebelumnya dengan urutan terbalik memberikan hasilnya

sama: 111131414+3 1 202 2++ 12 0== 211241 == 710
14 10
11 7 2 + 4 =
=
=

= 1719

B. Integral Ganda dengan Batas Bukan Persegi Panjang
2( )
1. , = = = 1( ) ,

Dimana: = , ; 1 ≤ ≤ 2 , ≤ ≤

2. , = 2 ,
= = 1
Dimana: = , ; 1 ≤ ≤ 2 , ≤ ≤

C. Aplikasi Integral Lipat Dua
Aplikasi integral lipat dua yang bentuk umumnya:
,
Dapat dijelaskan sbb :

1. Luas

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

43 | M e t o d e N u m e r i k

Luas bidang dapat dipandang sebagai integral lipat dua jika , = 1 ,
sehingga integral lipat dua menjadi:

= = =

Dalam koordinat: 1

= = 2= 21
2=

Contoh:
Jika S daerah persegi panjang dibidang XY dibatasi oleh garis = 0, = 1, =
0 dan y = 2. Tentukan luas sebagian dari permukaan setengah tabung =

4 − 2 yang terproyeksi pada S!

Jawab:
Dalam koordinat kartesius: = , : 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ 2
−
Andaikan: , = 4 − 2 maka = 4− 2 , = 0 dan

A G = 2 + 2 + 1

= 2 + 1
4− 2

= 2
4− 2
1 2 2
= 0 0 4− 2

=4 1 1
0 4− 2

= 4 −1 1
= 2 0
2
3

2. Momen Inersia
Momen inersia dari pelat tipis yang mempunyai kerapatan ( , ) terdapat

sumbu x dan sumbu y adalah :
= 2 , . . , = 2 , . .

Sedangkan momen inersia terhadap sumbu z (titik asal ) :
= + = 2 2 + 2 ( , ). .

Contoh :
Sebuah Lamina dengan kerapatan , = dibatesi sumbu , garis = 8 dan
kurva = 2/3. Tentukan massa totalnya. Tentukan momen inersia terhadap
sumbu , dan
Penyelesaian: =
2/3
= 8 0
0

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika

44 | M e t o d e N u m e r i k

2
3
= 8 2
0 2

8 1 73 0
0 2
= 8
= 1 3 10/3 0
= 2 10
768

5
= 153,6

8 2
0 3
= 3 = 0

= 18 131
= 641404

7
= 877,71

2
8 3
= 3 = 0 0 3

= 1 8 133
2 0
= 6144

= +
= 877,71 + 6144
= 7021,71

3. Volume
Jika = ( , ) adalah persamaan permukaan, maka: = , ddalah
volume benda antara permukaan dan bidang XOY.

Contoh:

Hitung volume bangun ruang yang terletak di oktan pertama yang dibatasi oleh
bidang 2 + 3 + − 6 = 0.

Jawab:
Dari 2 + 3 + − 6 = 0 didapatkan, , =− 2 − 3 + 6. Misal R daerah di
oktan pertama ( ≥ 0, ≥ 0 ≥ 0) merupakan proyeksi , di bidang

XOY.

Maka 6−2 6−2
3 3
= 0 ≤ ≤ 3,0 ≤ ≤ atau = 0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ 2

Jadi volume bangun ruang :
= =

Universitas Muhammadiyah Metro Pendidikan Matematika