Teknik BoTa dan y2x dalam melakar graf Fungsi Kuadratik

TEKNIK bo2a DAN y2x UNTUK MELAKAR GRAF FUNGSI KUADRATIK

NUR HAZIRAH BAHARIN
SMKA Dato’ Haji Abu Hassan Haji Sail

[email protected]

ABSTRAK

Murid-murid tingkatan 4 perlu menguasai topik fungsi kuadratik kerana ianya asas dalam
Matematik Tambahan. Terdapat banyak langkah dan syarat yang perlu murid ambil tahu
menyebabkan ramai yang masih keliru bagaimana untuk menukar bentuk persamaan am
kepada bentuk penyempurnaan kuasa dua dan juga bagaimana untuk melakar graf dengan
betul tanpa plot menggunakan kertas graf. Tujuan kajian ini dilakukan adalah untuk melihat
jika teknik ‘bo2a’ dan teknik ‘y2x’ dapat menambaik baik amalan guru dalam PdP. Teknik
‘bo2a’ digunakan sebagai formula untuk mencari persamaan paksi simetri dan teknik ‘y2x’
digunakan sebagai langkah melakar graf fungsi kuadratik dengan cantik dan simetri. Kedua-
dua teknik ini diperkenalkan kepada murid-murid Tingkatan 4 Al-Khawarizmi SMKA Dato’
Haji Abu Hassan Haji Sail apabila didapati mereka tidak dapat menguasai dengan baik topik
ini. Selepas diperkenalkan, Ujian Topikal menunjukkan semua murid mendapat markah lebih
60. Murid dapat menukar bentuk persamaan am kepada bentuk penyempurnaan kuasa dua
serta dapat melakar graf fungsi kuadratik dengan baik dan cantik.

Kata kunci : fungsi kuadratik, penyempurnaan kuasa dua, graf kuadratik

1.0 PENGENALAN

Murid-murid di SMKA Dato’ Haji Abu Hassan Haji Sail adalah murid-murid yang terpilih dan
bagus keputusan PT3nya. Sekolah ini dikategorikan sebagai sekolah luar bandar. Sebahagian
mereka tinggal di asrama sekolah ini dan sebahagian lagi tinggal di rumah masing-masing di
sekitar Rembau, Negeri Sembilan. Kelas 4 Al-Khawarizmi terdiri daripada 20 lelaki dan 16
perempuan. Mereka mengambil 11 mata pelajaran dalam SPM menyebabkan mereka perlu
bahagi masa belajar dengan baik dan disiplin. Selepas saya melakukan pentaksiran formatif
pada awal tahun, saya mendapati hampir semua murid dalam kelas ini menghadapi masalah
dalam melakar graf fungsi kuadratik. Hal ini berlaku kerana murid-murid tidak dapat
menukarkan fungsi kuadratik daripada bentuk am ( ) = 2 + + kepada bentuk
penyempurnaan kuasa dua ( ) = ( − )2 + dengan betul. Mereka gagal membentuk
kuasa dua sempurna apabila melibatkan algebra. Terdapat murid yang cuai apabila melakukan
kuasa dua sempurna dan terdapat juga murid yang tidak mahu mencuba langsung dalam
membuat pertukaran bentuk fungsi kuadratik tersebut.

Jika masalah ini tidak ditangani dengan segera, murid akan menghadapi masalah yang
lebih besar kerana murid haruslah menguasai standard pembelajaran dalam fungsi kuadratik

kerana ianya asas dalam Matematik Tambahan. Terdapat banyak lagi topik selepas ini yang
akan melibatkan penyelesaian fungsi kuadratik. Saya perlu lakukan sesuatu kerana kegagalan
mereka menguasai topik ini adalah kerana kegagalan saya menyampaikan isi kandungan
dengan baik.

Fungsi Kuadratik adalah salah satu topik yang asas dalam Matematik Tambahan dan
diperkenalkan seawal standard kandungan kedua (2.3) di dalam Dokumen Standard Kurikulum
dan Pentaksiran (DSKP). Keperluan murid untuk menguasai topik fungsi kuadratik pada awal
tahun tingkatan 4 adalah sangat penting kerana banyak kemahiran dalam topik ini digunakan
dalam topik-topik selepasnya. Pemantapan konsep fungsi kuadratik akan memudahkan banyak
perkara dan penyelesaian masalah dalam Matematik Tambahan.

2.0 FOKUS KAJIAN

2.1 TUJUAN KAJIAN
Tujuan kajian ini dijalankan adalah untuk menambah baik amalan saya dalam
pengajaran topik fungsi kuadratik dalam Matematik Tambahan Tingkatan 4. Teknik ‘bo2a’
digunakan untuk menentukan paksi simetri sesuatu fungsi kuadratik. Seterusnya, teknik ‘y2x’
digunakan sebagai langkah untuk melakar graf fungsi kuadratik.

2.2 PERSOALAN KAJIAN
Bagaimana teknik ‘bo2a’ dan ‘y2x’ dapat membantu murid-murid melakar graf fungsi
kuadratik?

3.0 KAEDAH KAJIAN

Dimulakan dengan membuat tinjauan awal, saya mengenal pasti isu dan masalah yang dihadapi
oleh murid-murid kelas 4 Al-Khawarizmi. Kemudian, saya merancang intervensi yang perlu
dilakukan untuk mengatasi masalah tersebut. Setelah membuat perancangan yang teliti, saya
melaksanakan intervensi tersebut dan membuat pemerhatian serta mengumpul data. Akhirnya,
saya membuat refleksi adakah saya telah berjaya mengubah amalan pengajaran saya kepada
yang lebih baik seterusnya menghasilkan keputusan murid seperti yang diharapkan. Berikut
adalah langkah kajian tindakan ini.

Mengenal pasti Merancang Melaksanakan
isu dan masalah intervensi intervensi

Menganalisis Membuat
data dan pemerhatian dan
mengumpul data
Membuat refleksi

Rajah 1. Langkah yang digunakan dalam kajian tindakan ini.

3.1 TINJAUAN AWAL

Pada Ujian Mac yang lalu, murid-murid tingkatan 4 diberi soalan-soalan yang

merangkumi tiga topik iaitu Fungsi, Persamaan Kuadratik dan Fungsi Kuadratik. Saya

dapati murid-murid Tingkatan 4 Al-Khawarizmi tidak dapat menukarkan fungsi
kuadratik daripada bentuk am ( ) = 2 + + kepada bentuk penyempurnaan
kuasa dua ( ) = ( − )2 + dengan betul. Berikut adalah cara penukaran yang

diperkenalkan kepada mereka.

f (x) = −3x2 + 2x +1

= −3  x2 − 2 x − 1 
 3 3 

= −3  x2 − 2 x +  − 2 2 −  − 2 2 − 1 
 3  3(2)   3(2)  3 
     

= −3  x2 − 2 x +  − 1 2 −  − 1 2 − 1 
 3  3   3  3 
 

= −3  x − 1 2 −  − 1 2 − 1 
3   3  3 


= −3  x − 1 2 − 4 
3  9 


= −3  x − 1 2 + 4
 3  3

Kebanyakan mereka tidak dapat membentuk kuasa dua sempurna kerana
melibatkan algebra. Kecuaian dalam melakukan proses ini juga menjadi faktor utama
bentuk penyempurnaan kuasa dua tidak dapat dibentuk. Selain itu terdapat banyak
kurungan dan pecahan menyebabkan mereka keliru dan terlupa langkah-langkah yang
sepatutnya.

Isu yang kedua ialah apabila murid tidak dapat melakar graf fungsi kuadratik
dengan betul walaupun fungsi yang diberi sudah sedia dalam bentuk penyempurnaan
kuasa dua. Contoh cara-cara melakar graf fungsi kuadratik adalah seperti berikut.

f (x) = a( x − p)2 + q

f ( x) = −3 x − 1 2 + 4
3  3

Nilai a = −3  0 menunjukkan graf adalah maksimum dan berbentuk  . Nilai p = 1
3

menunjukkan persamaan paksi simetri adalah x = 1 dan nilai q = 4 menunjukkan nilai
33

maksimum adalah pada f (x) = 4 . Lakaran graf adalah seperti dalam Rajah 2.
3

Rajah 2. Graf fungsi kuadratik bagi f (x) = −3 x − 1 2 + 4 .
3  3

Saya dapati murid tidak dapat melakar graf dengan sempurna kerana mereka
tidak pasti angka perwakilan yang terdapat di dalam persamaan bentuk penyempurnaan
kuasa dua tersebut. Terdapat juga murid yang menggunakan pintasan-y sebagai titik
pusingan sedangkan titik pusingan adalah pada paksi simetri graf tersebut. Akhir sekali,
terdapat lakaran graf yang tidak simetri terutamanya melibatkan persamaan kuadratik
yang tidak mempunyai punca secara tidak langsung tidak mempunyai pintasan-x. Jika
suatu graf kuadratik tidak mempunyai punca, murid tidak akan dapat melakar graf yang
simetri kerana mereka hanya ada 2 titik yang diplot (titik pusingan dan pintasan-y)
mengakibatkan graf yang dilakar tidak cantik dan simetri.

3.2 MERANCANG INTERVENSI

Untuk menyelesaikan isu pertama iaitu penukaran bentuk am kepada bentuk
penyempurnaan kuasa dua, saya memperkenalkan teknik ‘bo2a’ mewakili ‘b over 2 a’
( = − ) sebagai formula bagaimana untuk mendapatkan nilai x pada titik pusingan

2

graf. Selepas mendapatkan nilai x ini, murid hanya perlu menggantikan semula dalam
bentuk am fungsi kuadratik tersebut untuk mendapatkan nilai f(x) yang sepadan. Teknik
ini amat mudah dan tidak mengelirukan murid kerana terdapat formula dan langkah
yang sangat jelas untuk mendapatkan fungsi kuadratik bentuk penyempurnaan kuasa
dua. Sebagai contoh,

f (x) = ax2 + bx + c
f (x) = −3x2 + 2x +1
a = −3 b = 2 c = 1

langkah1: x=− b =− 2 =1
2a 2(−3) 3
langkah 2 :
langkah 3 : f  1  = −3 1 2 + 2  1 +1 = 4
 3  3   3  3

f (x) = a(x − p)2 + q

f (x) = −3  x − 1 2 + 4
 3  3

Untuk menyelesaikan isu kedua berkenaan dengan lakaran graf kuadratik, saya
menggunakan langkah ‘y2x’ iaitu selepas memplot titik pusingan (p, q), murid
hendaklah memplot pintasan-y, dan kemudiannya memplot titik 2 kali ganda jarak x
dari pintasan-y seperti Rajah 3. Hanya tiga titik ini yang diperlukan untuk mendapatkan
graf kuadratik yang simetri. Sebagai contoh,

Rajah 3. Graf fungsi kuadratik yang simetri dengan menggunakan ‘y2x’

Teknik ‘y2x’ ni sangat membantu murid melakar graf dengan simetri tanpa mencari
punca-punca (nilai x apabila ( ) = 0) bagi persamaan kuadratik tersebut kerana
terdapat juga fungsi kuadratik yang tidak mempunyai pintasan-x.

3.3 MELAKSANA INTERVENSI

Selepas dua bulan dari ujian bulan Mac, saya peruntukkan satu jam waktu PdPc untuk
membuat ulangkaji topikal sebagai persediaan murid untuk menduduki Peperiksaan
Pertengahan Tahun. Berikut adalah ringkasan aktiviti yang dilakukan.

5 minit Murid menulis di papan putih apa-apa sahaja perkara yang
murid tahu mengenai Fungsi Kuadratik secara bergilir-gilir.
10 minit Guru memperkenalkan teknik ‘bo2a’ dan ‘y2x’
10 minit
Beberapa murid dipilih untuk mencuba jawab soalan di papan
20 minit putih.
Murid menyelesaikan beberapa soalan secara ‘two stay two
10 minit stray’
5 minit Murid menjawab soalan menggunakan aplikasi Kahoot

Rumusan PdPc iaitu murid hendaklah membuat carta alir
tentang apa yang dipelajari hari ini.

Murid hendaklah menjawab beberapa soalan sebagai latihan pengukuhan di dalam buku
tulis dan guru menyemak latihan tersebut. Seminggu selepas PdPc, murid-murid
menjawab satu ujian topikal untuk melihat sejauh mana murid-murid telah menguasai
topik ini. Data keputusan murid direkodkan.

4.0 DAPATAN KAJIAN

Berdasarkan Jadual 1, selepas intervensi dijalankan, keputusan ujian topikal menunjukkan
bahawa tiada lagi murid mendapat markah bawah 70. Seramai 5 daripada 36 orang murid
mendapat markah antara 70 hingga 79 dan seramai 10 daripada 36 orang murid mendapat
markah antara 90 hingga 100.

Jadual 1. Keputusan Ujian Topikal mengikut julat markah.

Julat markah (%) Bilangan Murid
90-100 10
80-89 21
70-79 5
60-69 0
50-59 0
40-49 0

30-39 0
20-29 0

Daripada dapatan kajian, saya amat berpuas hati dengan keputusan ujian topikal ini.
Murid telah dapat mengaplikasi teknik ‘bo2a’ untuk menukarkan fungsi bentuk am ( ) =
2 + + kepada bentuk penyempurnaan kuasa dua ( ) = ( − )2 + . Titik
pusingan sesuatu graf fungsi kuadratik itu dengan mudah dapat dikira tanpa banyak kecuaian
dilakukan. Hal ini menyebabkan murid lebih yakin untuk melakar graf fungsi kuadratik. Selain
itu, saya juga dapat lihat murid mengaplikasi teknik ‘y2x’ sebagai langkah untuk melakar graf
fungsi kuadratik dalam ujian topikal. Tiga titik diplot dahulu iaitu titik pusingan, pintasan-y
dan 2 kali ganda jarak x daripada pintasan-y. Kemudian titik-titik dicantum dengan sedikit
lengkungan di titik pusingan. Lakaran murid dilihat lebih baik, kemas dan simetri berbanding
ujian Mac.

5.0 RUMUSAN DAN CADANGAN KAJIAN SETERUSNYA

Saya amat berpuas hati dapat menambah baik PdPc saya dalam membantu murid-murid
menguasai fungsi kuadratik. Penggunaan akronim sangat membantu murid dalam menghafal
sesuatu perkara atau langkah. Teknik ‘bo2a’ dan ‘y2x’ dapat membantu murid melakukan
penyempurnaan kuasa dua seterusnya dapat melakar graf yang dikehendaki.

Setelah selesai kajian tindakan ini, saya dapati terdapat beberapa ruang untuk
penambahbaikan. Pertama, saya boleh menggunakan aplikasi geogebra supaya murid boleh
visualisasi kesan perubahan nilai-nilai a, b dan c yang terdapat dalam bentuk am ( ) = 2 +
+ . Hal ini akan menambah pengukuhan murid terhadap konsep fungsi kuadratik.

Akhir sekali, diharapkan teknik yang digunakan ini dapat dimanfaatkan sepenuhnya
oleh murid-murid untuk menguasai topik Fungsi Kuadratik seterusnya dapat menyediakan
murid pengetahuan asas sebelum mengaplikasi topik ini dalam beberapa topik yang lain seperti
Pembezaan dan Kinematik Gerakan Linear.