MODULE AND MORE Matematik Tambahan Tingkatan 5

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 6 Fungsi Trigonometri 148 BAB 6 (e) tan (x + 30°) = 2.15 (f) sin (2x − 10°) = 0.681 (g) sin 2x 3 = 0.782 (h) 2 kos (x − 25°) = 1.567 2 cos(x – 25°) = 1.567 tan (x + 30)= 2.15 x + 30 = 65° 3’, 245° 3’ x = 35° 3’, 215° 3’ sin 2x 3 = 0.782 = 51° 27’, 128° 33’ x = 77° 11’ , 192° 50’ sin(2x – 10°) = 0.681 (2x – 10°) = 42° 55’, 137° 5’ 402° 55’, 497° 5’ 2x = 52° 55’, 147° 5’ 412° 55’, 507° 5’ x = 26° 28’, 73° 32’, 206° 28’ 253° 32’ 2 kos(x – 25°) = 1.567 kos(x – 25°) = 0.7835 x – 25° = 38° 25’, 321° 35’ x = 63° 25’, 346° 35’ x y 65fi3ff 65fi3ff x y 42fi55ff 42fi55ff x y 51fi27ff 51fi27ff x y 38fi25ff 38fi25ff 20. Selesaikan yang berikut dengan rumus yang sesuai. Solve the following by using the suitable formulae. TP 4 CONTOH Diberi sin A = 4 5 dan tan B = 1, dengan 90° ≤ A ≤ 180° dan 180° ≤ B ≤ 270°. Cari nilai Given that sin A = 4 5 and tan B = 1, where 90° ≤ A ≤ 180° and 180° ≤ B ≤ 270°. Find the value of (i) sin (A − B) (ii) kos/ cos 2A (iii)tan (A + B) Penyelesaian: (i) sin (A − B) = sin A kos B − kos A sin B = 4 5 ( –1 2 ) – (–3 5 )( –1 2 ) = –7 5 2 (ii) kos 2A = 1 − 2 sin2 A cos 2A = 1 − 2 4 5 2 2 = 7 – 25 x y 5 4 –3 A x y √2 –1 –1 B

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 6 Fungsi Trigonometri 149 6 (iii)tan (A + B) = tan A + tan B 1 – tan A tan B = 4 –3 + 1 1 1 –  4 –3 2 = 1 – 7 Tip 1. Lakar dan tempatkan sudut dalam sukuan yang betul. Sketch and place the angles in the right quadrants. 2. Lengkapkan sisi segi tiga yang dibina dengan teorem Pythagoras. Complete the sides of the triangles with Pythagoras theorem. 3. Gunakan rumus yang sesuai. Use the correct formula. (a) Diberi kos A = 3 – 5 dan sin B = 5 – 13, dengan 90° ≤ A ≤ 180° dan 180° ≤ B ≤ 270°. Cari nilai Given that cos A = 3 – 5 and sin B = 5 – 13, where 90° ≤ A ≤ 180° and 180° ≤ B ≤ 270°. Find the value of (i) kos/ cos (A + B) (ii) sin 2A (iii) tan (A − B) (b) Diberi sek A = 13 12 dan kot B = −1, dengan 0° ≤ A ≤ 90° dan B ialah 90° ≤ B ≤ 180°. Cari nilai Given that sec A = 13 12 and cot B = −1, where 0° ≤ A ≤ 90° and B is 90° ≤ B ≤ 180°. Find the value of (i) tan (A − B) (ii) tan 2A (iii) kosek/ cosec (A + B) x y –5 –3 13 4 5 A –12 y x –1 1 B A √2 12 5 13 (i) kos (A + B) = kos A kos B – sin A sin B =  3 – 5 2 12 – 132 –  4 5 2 5 – 132 = 56 65 (ii) sin 2A = 2 sin A kos A = 2 4 5 2 3 – 5 2 = – 24 25 (iii)tan (A – B) = tan A – tan B 1 + tan A tan B = 4 – 3 –  5 12 2 1 +  4 – 3 2 5 12 2 = – 3 15 16 (i) tan (A – B) = tan A – tan B 1 + tan A tan B = 5 12 – (–1) 1 +  5 12 2(–1) = 17 7 (ii) tan 2A = 2 tan A 1 – tan2 A = 2 5 12 2 1 – 25 144 = 1 1 119 = 120 119 (iii) kosek (A + B) = 1 sin (A + B) sin (A + B) = sin A kos B + kos A sin B =  5 13 2– 1 2 2 +  12 13 2 1 2 ) = 7 13 2 = kosek (A + B) = 13 2 7

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 6 Fungsi Trigonometri 150 BAB 6 (c) Diberi kos A = p, dengan 270° ≤ A ≤ 360°. Cari dalam sebutan p, Given cos A = p, where 270° ≤ A ≤ 360°. Find in terms of p, (i) kos/ cos 2A (ii) tan A (iii) kos/ cos 4A (d) Diberi tan A = 1 p , dengan 180° ≤ A ≤ 270°. Cari nilai dalam sebutan p, Given tan A = 1 p , where 180° ≤ A ≤ 270°. Find the value in terms of p. (i) sin A (ii) sin 2A (iii)tan 1 p y x A p 1 √1–p2 x A y –1 –p √1+p2 (i) kos 2A = 2 kos2 A – 1 cos 2A = 2 cos2A – 1 = 2p2 – 1 (ii) tan A = 1 – p2 p (iii) kos 4A = kos 2(2A) cos 4A = cos 2(2A) = 2 kos2 2A –1 = 2[2p2 – 1]2 – 1 = 2[4p4 – 4p2 + 1] – 1 = 8p4 – 8p2 + 1 (i) sin A = –1 1 + p2 (ii) sin 2A= 2 sin A kos A = 2( –1 1 + p2 )( –p 1 + p2 ) = 2p 1 + p2 (iii)tan A 2 tan A = 2tan A 2 1 – tan2 A 2 1 p = 2tan A 2 1 – tan2 A 2 1 – tan2A 2 = 2ptan A 2 tan2 A 2 + 2p tan A 2 – 1= 0 tan A 2 = –2p ± 4p2 – 4(–1) 2 = –2p ± 4p2 + 4 2 = –p ± p2 + 1

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 6 Fungsi Trigonometri 151 6 21. Selesaikan yang berikut untuk 0° ≤ x ≤ 360°. Solve the following for 0° ≤ x ≤ 360°. TP 4 (a) kot x + kos x = 0 cot x + cos x = 0 (b) 2 kos2 x − 1 = sin x 2 cos2x − 1 = sin x (c) 2 sek2 x = 5 tan x 2 sec2x = 5 tan x (d) 4 tan 2x = 9 tan x (e) 5 sin x kos x − 5 sin x − 2 kos x = −2 5 sin x cos x − 5 sin x − 2 cos x = −2 CONTOH 2 sin x kos x = sin x 2 sin x cos x = sin x Penyelesaian: 2 sin x kos x – sin x = 0 sin x (2 kos x − 1) = 0 sin x = 0, kos/ cos x = 1 2 Untuk/For sin x = 0 x = 0°, 180°, 360° Untuk/For kos/ cos x = 1 2 x = 60°, 360° − 60° = 60°, 240° Maka/Hence x = 0°, 60°, 180°, 240°, 360° sin x ialah faktor sepunya yang tidak boleh dibatalkan. sin x is a common factor which cannot be cancelled. kot x + kos x = 0 kos x sin x + kos x = 0 kos x[1 + sin x] = 0 kos x = 0 sin x = –1 x = 90°, 270° 2 sek2 x = 5 tan x 2 kos2 x = 5 sin x kos x 2 kos x = 5 sin x kos2 x kos x[2 – 5 sin x kos x] = 0 kos x = 0 2 5 = sin x kos x sin 2x = 4 5 = 0.8 x = 90°, 270° 2x = 53° 8’, 126° 52’ 413° 8’, 486° 52’ x = 26° 34’, 63° 26’ 206° 34’, 243° 26’ 4 tan 2x = 9 tan x 8 tan x 1 – tan2 x = 9 tan x 8 tan x = 9 tan x – 9 tan3 x 9 tan3 x = tan x tan x[9 tan2 x – 1] = 0 tan x = 0 tan x = ± 1 3 x = 0, 180°, 360° x = 18° 27’, 161° 34’, 198° 27’, 341° 34’ 5 sin x kos x – 5 sin x – 2 kos x + 2 = 0 5 sin x[ kos x – 1] – 2[kos x – 1] = 0 (kos x – 1)(5 sin x – 2) = 0 kos x = 1 sin x = 2 5 x = 0°, 360°, 23° 35’, 156° 25’ 2 kos2 x – 1 = sin x 2[1 – sin2 x] – 1 = sin x 2 sin2 x + sin x – 1 = 0 (2 sin x – 1)(sin x + 1) = 0 sin x = 1 2 sin x = –1 x = 30°, 150°, 270°

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 6 Fungsi Trigonometri 152 BAB 6 (f) 3 kos x = 5 sin x 3 cos x = 5 sin x (g) 3 sin x + 3 kos x + 1 sin x – kos x = 0 3 sin x + 3 cos x + 1 sin x – cos x = 0 (h) 3 sin2 x = 8 sin x kos x + 3 kos2 x 3 sin2 x = 8 sin x cos x + 3 cos2 x (i) sin2 x = 1 – 2 kos2 x sin2 x = 1 – 2 cos2 x 22. Selesaikan soalan yang berikut. Solve the following questions. TP 5 3 kos x = 5 sin x 3 5 = tan x x = 30° 58’ 210° 58’ 3 sin2 x = 8 sin x kos x + 3 kos2 x 3 sin2 x – 8 sin x kos x – 3 kos2 x = 0 (3 sin x + kos x)(sin x – 3 kos x) = 0 3 sin x = –kos x tan x = 3, tan x = 1 – 3 , x = 71° 34’, 251° 34’ x = 161° 34’, 341° 33’ sin2 x = 1 – 2 kos2 x = 1 – 2[1 – sin2 x] = –1 + 2 sin2 x sin2 x = 1 sinx = ± 1 x = 90°, 270° 3 sin x + 3 kos x 1 + 1 sin x – kos x = 0 3[sin x + kos x][sin x – kos x] + 1 = 0 3[sin2 x – kos2 x] + 1 = 0 3[sin2 x – (1 – sin2 x)] + 1 = 0 3[2 sin2 x – 1] + 1 = 0 6 sin2 x – 2 = 0 sin2 x = 1 3 sin x = ± 1 3 x = 35° 16’, 144° 44’ = 215° 16’, 324° 44’ CONTOH Satu titik P(x, y) bergerak pada lilitan satu bulatan berpusat O yang mempunyai persamaan x2 + y2 = 400. Pada sebarang kedudukan, OP akan membuat satu sudut θ dengan paksi-x. Satu garis mengufuk dan mencancang yang melalui P akan dilukis dan disambung oleh diameter seperti dalam rajah. A point P(x, y) moves along a circle with centre O whose equation is x2 + y2 = 400. At any position, OP will make an angle θ with the x-axis. A horizontal and a vertical line is drawn through P and are joined by the diameter of the circle as shown in the diagram. Cari satu ungkapan bagi luas segi tiga itu dalam sebutan θ. Find an expression for the area of the triangle in terms of θ. y x P(x, y) O fi y x P(x, y) O A B x y 20 fi

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 6 Fungsi Trigonometri 153 6 x2 + y2 = 400 x2 + y2 = 202 Maka, jejari OP = 20 unit Hence, radius OP = 20 units Panjang AP / Length of AP = 2x Panjang PB / Length of PB = 2y Luas ∆APB = 1 2 (2x)(2y) Area = 2xy Paksi-y ialah pembahagi dua sama serenjang. y-axis is a perpendicular bisector Tetapi sin θ = y 20 , kos θ = x 20 ∴ y = 20 sinθ, x = 20 kosθ luas = 2xy = 2(20 sinθ)(20 kosθ) = 400(2 sinθ kosθ) = 400 sin 2θ (a) Rajah menunjukkan sebuah semibulatan dengan pusat O dan mempunyai persamaan x2 + y2 = 16. P(x, y) ialah satu titik yang bergerak pada lilitan dan OP membuat sudut θ dengan paksi-x. Pada mana-mana kedudukan, satu segi empat dapat dilukis. The diagram shows a semicircle with centre O and have an equation of x2 + y2 = 16. P(x, y) is a point moving on the circumference and OP makes an angle θ with the x-axis. At any positions, a rectangle can be drawn. Cari / Find (i) satu ungkapan bagi luas yang berlorek dalam sebutan θ. an expression for the area of the shaded region in terms of θ. (ii) luas apabila θ = 30°. the area when θ = 30°. (b) Rajah menunjukkan satu titik P(x, y) yang bergerak supaya OP sentiasa 5 unit. The diagram shows a point P(x, y) which moves so that OP is always 5 units. (i) Cari persamaan lintasan OP. Find the equation of the path OP. (ii) Pada suatu ketika, OP membuat sudut θ dengan paksi-x dan satu garis mengufuk dilukis untuk menyilang lintasan pada Q. Cari satu ungkapan bagi luas yang dibatasi oleh lintasan dan garis lurus mengufuk itu dalam sebutan θ. At one time, OP makes an angle of θ with the x-axis and a horizontal line is drawn to intersect the path at Q. Find an expression of the area enclosed by the path and the horizontal line in the terms of θ. (iii) Seterusnya, cari luas apabila θ = 15°. Then, find the area when θ = 15°. Q(–x, y) P(x, y) R O x S fi 4 y (i) P(x, y) OP = 5 OP2 = 52 x2 + y2 = 52 x2 + y2 = 25 QOP = 180° – 2θ (ii) luas berlorek = luas sektor – luas ∆QOP = (180° – 2θ) 360° × p(5)2 – 1 2 (2x)y = 25 (90° – θ) 180° π – xy x = 5 kos θ, y = 5 sin θ luas berlorek = 5 36(90° – θ)p – 25 sin θ kos θ (iii)Apabila θ = 15° luas berlorek = 5 36[90° – 15°]p – 25 2 sin 30° = 32.72 – 6.25 = 26.47 unit2 (i) x2 + y2 = 16 Maka OP = 4 luas berlorek = luas semibulatan – luas PQRS = 1 2 π(4)2 – (2x)(y) sin θ = y 4 , kos θ = x 4 ∴ luas berlorek = 8π – 2(4 sin q)(4 kos q) = 8π – 16 sin 2q (ii) Apabila/When q = 30°. Luas/Area = 8p − 16 sin 2(30°) = 8p − 16 3 2 = 8p − 8 3 y x P(x, y) O = = Q x 2x y fi fi

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 6 Fungsi Trigonometri 154 BAB 6 PRAKTIS PRAKTIS SPM SPM 16 Kertas 1 1. Selesaikan persamaan sin 2x + sin x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°. Solve the equation sin 2x + sin x = 0 for 0° ≤ x ≤ 360°. sin 2x + sin x = 0 2 sin x kos x + sin x = 0 sin x[2 kos x + 1] = 0 sin x = 0 ; x = 0°, 180°, 360°, kos x = 1 – 2 x = 120°, 240° 2. Diberi tan x = 5 12 dan 180° ≤ x ≤ 270°, cari nilai sin(x − 45°). Given tan x = 5 12 and 180° ≤ x ≤ 270°, find the value of sin (x − 45°). sin (x – 45°) = sin x kos 45° – kos x sin 45° = sin x cos 45° – cos x sin 45° = 1 2 –5 13 2 – 1 2 –12 13 2 = 7 13 2 3. Selesaikan persamaan 3 kos x – kosek x + 2 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° Solve the equation 3 cos x – cosec x + 2 = 0 for 0° ≤ x ≤ 360° for 0° ≤ x ≤ 360° 3 kos x – kosek x + 2 = 0 3 kos x – 1 kos x + 2 = 0 3 kos2 x + 2 kos x – 1 = 0 [3 kos x – 1][kos x + 1] = 0 kos x = 1 3 ; –1 x = 70° 32’, 289° 28‘, 180° 4. Diberi sin x = k, dengan keadaan k ialah satu pemalar, dan 0° ≤ x ≤ 360°. Ungkapkan dalam sebutan k. Given that sin x = k, where k is a constant, and 0° ≤ x ≤ 360°. Express in terms of k. (a) kos/ cos (180° – x) (b) kosek/ cosec 2x (a) kos(180° – x) = kos 180° kos x + sin 180° sin x = –kos x = – 1 – k2 (b) kosek 2x = 1 sin 2x = 1 2k 1 – k2 Kertas 2 1. (a) Buktikan kot2 x 1 – kos2 x = 1 2 kos 2x + 1 2 . Prove that cot2x 1 – cos2x = 1 2 cos 2x + 1 2 . (b) Seterusnya, selesaikan persamaan kot2 x 1 – kos2 x = 3 4 untuk 0° ≤ x ≤ 360° Then, solve the equation cot2x 1 – cos2x = 3 4 for 0° ≤ x ≤ 360°. (c) (i) Lakar graf bagi y = 1 2 kos 2x + 1 2 untuk 0 ≤ x ≤ 2π. Sketch the graph of y = 1 2 cos 2x + 1 2 for 0 ≤ x ≤ 2π. (ii) Seterusnya, dengan paksi yang sama, lakarkan garis yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 3π( kot2 x 1 – kos2 x ) − 2x = 0. Nyatakan bilangan penyelesaian. Then, use the same axes, sketch a suitable line to find the number of solutions for the equation 3π( cot2x 1 – cos2x ) − 2x = 0. State the number of solutions. 2014 2015 2016 2017 y x 60fi 2 1 y x –12 –5 x 13 y x √1–k2 k 1 x 2017

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 6 Fungsi Trigonometri 155 6 (a) kot2 x 1 – kos2 x = 1 2 kos 2x + 1 2 Sebelah kiri = kot2 x sin2 x Left side = kos2 x sin2 x ÷ 1 sin2 x = kos2 x Tetapi kos 2x = 2kos2 x – 1 kos2 x = kos 2x + 1 2 = 1 2 kos 2x + 1 2 (b) 1 2 kos 2x + 1 2 = 3 4 kos 2x = 1 2 2x = 60°, 300°, 420°, 660° x = 30°, 150°, 210°, 330° (c) (i) y = 1 2 kos2x + 1 2 y x 0 1 fi 2fi 1 2 y = kos 2x + 1 2 1 2 y = cos 2x + 1 2 1 2 y = 2x 3fi 3π( 1 2 kos 2x + 1 2 ) = 2x 1 2 kos 2x + 1 2 = 2x 3π y = 2x 3π x = 0, y = 0 x = π, y = 2 3 3 penyelesaian/solutions 2. (a) Tunjukkan bahawa tan (x + 45°) + tan (x − 45°) = 2 tan 2x. Show that tan (x + 45°) + tan (x − 45°) = 2 tan 2x. (b) Seterusnya, selesaikan persamaan tan (x + 45°) + tan (x − 45°) = 1 2 untuk 0° ≤ x ≤ 360°. Then, solve the equation tan (x + 45°) + tan (x − 45°) = 1 2 for 0° ≤ x ≤ 360°. (c) Lakar graf y = 1 2 [tan (x + 45°) + tan (x − 45°)] + 1 untuk 0 ≤ x ≤ π. Sketch the graph of y = 1 2 [tan (x + 45°) + tan (x − 45°)] + 1 for 0 ≤ x ≤ π. (a) tan(x + 45°) + tan(x – 45°) = 2 tan 2x Sebelah kiri = tan x + 1 1 – tan x + tan x – 1 1 + tan x Left side = (1 + tan x)2 – (1 – tan x)2 1 – tan2 x = 1 + 2 tan x + tan2 x – 1 + 2 tan x – tan x 1 – tan2 x = 2(2 tan x) 1 – tan2 x = 2 tan 2x (b) 2 tan 2x = 1 2 tan 2x = 1 4 2x = 14° 2’, 194° 2’, 274° 2’, 554° 2’ x = 7° 1’, 97° 1’, 137° 1’, 277° 1’ (c) y = 1 2 [tan(x + 45°) + tan(x – 45°)] + 1 y = 1 2 [2 tan 2x] + 1 = tan 2x + 1 y x 0 1 fi 3. (a) (i) Buktikan bahawa sek A – 1 tan A = tan A 2 . Prove that sek A – 1 tan A = tan A 2 . (ii) Seterusnya, tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai tan 22 1 2 °. Beri jawapan dalam bentuk surd. Then, without using a calculator, find the value of tan 22 1 2 °. Give your answer in surd form. (b) (i) Lakar graf bagi y = tan x untuk 0 ≤ x ≤ 2π. Sketch the graph of y = tan x for 0 ≤ x ≤ 2π. (ii) Seterusnya, dengan paksi yang sama, lakarkan garis yang sesuai untuk mencari y x 60fi 2 0 1 2019 2018

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 6 Fungsi Trigonometri 156 BAB 6 bilangan penyelesaian bagi persamaan kot x 2 (sek x − 1) = − x π. Nyatakan bilangan penyelesaian. Then, with the same axes, sketch a suitable line to find the number of solutions for the equation cot x 2 (sec x − 1) = – x π . State the number of solutions. (a) (i) sek A – 1 tan A = tan A 2 Sebelah kiri Left side = 1 kos A – 1 sin A kos A = 1 – kos A sin A = 1 – [1 – 2 sin2 A 2 ] 2 sin A 2 kos A 2 = sin A 2 kos A 2 = tan A 2 (ii) tan 1 22 2 = sek 45° – 1 tan 45° = 1 kos 45° –1 = 2 – 1 (b) (i) & (ii) y x 0 fi 2fi y = tan x y = – x fi kot x 2 [sek x – 1) = – x π sek x – 1 tan x 2 = tan x = – x π ∴ y = – x π x = 0, , y = 0 x = π, y = –1 3 penyelesaian/solutions Sudut Sudut KBAT KBAT 2 sin A kos B = 8 kos A sin B sin A kos B = 4 kos A sin B (b) (i) tan B = 1 2 sin A kos A = 4 tan B = 4 1 2 2 = 2 tan A = 2 (ii) tan 2A = 2 tan A 1 – tan2 A = 2(2) 1 – 4 = 4 –3 Diberi sin(A – B) sin(A + B) = 3 5 . Given that sin(A – B) sin(A + B) = 3 5 . (a) Tunjukkan bahawa sin A kos B = 4 kos A sin B. Show that sin A cos B = 4 cos A sin B. (b) Jika tan B = 1 2 , cari nilai If tan B = 1 2 , find the value of (i) tan A (ii) tan 2A (a) sin(A – B) sin(A + B) = 3 5 5[sin A kos B – kos A sin B] = 3[sin A kos B + kos A sin B] KBAT Ekstra Praktis SPM Ekstra Quiz 6

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 157 7 NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN BAB 7 Pengaturcaraan Linear Linear Programming 7.1 Model Pengaturcaraan Linear Linear Programming Model 1. Suatu garis lurus y = mx + c pada satah Cartes membahagikan kawasan kepada dua bahagian. A straight line y = mx + c on a Cartesian plane divides the region into two parts. 2. Suatu rantau yang memuaskan satu sistem ketaksamaan boleh diwakili pada satu graf. A region that satisfies a system of inequalities can be represented on a graph. x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 y > mx + c Rantau di atas garis y = mx + c. The region above the line y = mx + c. y ≤ mx + c Rantau di bawah garis y = mx + c dan termasuk garisan y. The region below the line y = mx + c including the line itself. y < mx + c Rantau di bawah garis y = mx + c. The region below the line y = mx + c. y ≥ mx + c Rantau di atas garis y = mx + c dan termasuk garisan y. The region above the line y = mx + c including the line itself. 1. Lorekkan rantau yang ditakrifkan oleh ketaksamaan bagi setiap yang berikut. Shade the region defined by the inequality for each of the following. TP 1 (a) x + 2y ≥ 5 (b) 1 + x − 3y ≤ 0 1 + x ≤ 3y x y 0 CONTOH y < −3x + 2 Penyelesaian: x y 0 2 x y 0

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 158 BAB 7 2. Bagi setiap rantau berlorek, cari persamaan garis lurus dan seterusnya nyatakan ketaksamaan yang mentakrifkan rantau itu. For each of the shaded regions, find the equation of the line and then state the inequality that define the shaded region. TP 2 (a) y = 4 y > 4 (b) m = 5 − (−2) −4 − 4 = 7 – 8 y = 7 – 8 x + c c = 3 2 y = 7 – 8 x + 3 2 y ≤ 7 – 8 x + 3 2 3. Lorek dan tandakan rantau R yang memuaskan ketaksamaan linear yang berikut. Shade and mark the region R that satisfies the following linear inequalities. TP 3 (a) x < 4, 2y ≤ 4x − 1, 2 ≤ x + 2y CONTOH Penyelesaian: Kecerunan/Gradient, m = 3 2 , c = −3 y = 3 2 x − 3 y ≤ 3 2 x − 3 2y ≤ 3x − 6 x y 0 4 x y 0 (–4, 5) (4, –2) x y 0 R 2y ≤ 4x – 1 2 ≤ x + 2y x < 4 CONTOH 2y – 2x ≤ 5, 2y – x + 4 > 0, x + y ≥ −4 Penyelesaian: 2y – 2x ≤ 5, 2y ≤ 2x + 5 (di bawah garis ini) (below the line) 2y – x + 4 > 0, 2y > x − 4 (di atas garis ini) (above the line) x + y ≥ −4, y ≥ −x − 4 (di atas garis ini) (above the line) x y 0 R 2y – 2x ≤ 5 2y – x + 4 > 0 x + y ≥ –4 x y 0 –3 2 Tip Susun ketaksamaan semula supaya hanya sebutan y dalam satu belah. Rearrange the inequalities so that the y-term is on one side.

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 159 7 (b) 3x − 2y ≥ −5, x + y < 10, 2y + 3x + 2 > 0 (c) x + 2y ≥ 4, x ≤ y, x ≥ −1 4. Bina dan lorek rantau R yang memenuhi ketaksamaan linear yang diberi. Construct and shade the region R that satisfies the given inequalities. TP 3 (a) x ≥ 1 − 2y, −2 ≤ y, −x ≥ −4 (b) x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 60, x + 4y ≤ 100 (c) y ≥ −3x − 15, 2y + x ≥ −12, y ≥ 4x − 12, y ≤ 5 x y 0 R 2y +3x + 2 > 0 3x – 2y ≥ –5 x + y < 10 x y 0 R x ≤ y x ≥ –1 x + 2y ≥ 4 CONTOH 2y ≥ x, y − 2x < 2, −y − 2x + 4 > 0 Penyelesaian: x y 0 R 2 4 y – 2x < 2 2y ≥ x –y – 2x + 4 > 0 2y ≥ x , y ≥ 1 2 x (Di atas garis ini) (Above the line) y − 2x < 2, y < 2x + 2 (Di bawah garis ini) (Below the line) −y − 2x + 4 > 0, −2x + 4 > y (Di bawah garis ini) (Below the line) x y 0 R –x ≥ –4 x ≥ 1 – 2y –2 ≤ y x y 0 R x + 4y ≤ 100 x + y ≤ 60 x y 0 R y ≥ 4x – 12 y ≥ –3x – 15 2y + x ≥ –12 y ≤ 5

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 160 BAB 7 5. Daripada rajah berikut, tuliskan persamaan garis lurus yang terlibat dan seterusnya nyatakan semua ketaksamaan yang mentakrifkan rantau yang berlorek. From the following diagram, write the equation of the lines and then state all the inequalities that define the shaded region. TP 3 (a) y ≤ 3x + 3 y ≥ 4 – 3 x + 4 y ≥ 1 2 x − 1 (b) x ≥ 0 x ≤ 2 y ≥ 2 3 x y ≤ 2x + 2 (c) y + x ≥ 4 3x + 2y ≤ 12 x + 2y ≤ 8 CONTOH Penyelesaian: y ≤ 4 y ≥ 1 2 x x ≥ 0 x + y ≤ 6 x y 1 2 3 3 4 –2 1 2 0 –1 –2 –1 x y 1 2 3 3 4 5 6 –2 1 2 0 –1 –1 x y 4 6 8 4 6 2 0 –1 2 x y 2 4 4 6 6 0 8 2 –2

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 161 7 NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN 7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear Application of Linear Programming 1. Pengaturcaraan linear merupakan satu penggunaan ketaksamaan linear. Linear programming is one of the used of the linear inequalities. 2. Setiap ketaksamaan dalam sistem yang diberi dikenali sebagai kekangan. Every inequality in the given system is known as a constraint. 3. Pada amnya, kekangan dalam pernyataan matematik adalah seperti berikut. In general, the constraints in mathematical statements are as follows. Kekangan dalam pernyataan matematik Constraints in the mathematical statements Tatatanda ketaksamaan linear Linear inequality notation y tidak lebih daripada x. y is not more than x. y ≤ x y tidak kurang daripada x. y is not less than x. y ≥ x y adalah sekurang-kurangnya k kali x. y is at least k times x. y ≥ kx y adalah selebih-lebihnya k kali x. y is at most k times x. y ≤ kx Nilai maksimum x ialah k. The maximum value of x is k. x ≤ k Nilai minimum x ialah k. The minimum value of x is k. x ≥ k y melebihi x sekurang-kurangnya k. y exceeds x by at least k. y − x ≥ k Nisbah y kepada x adalah tidak lebih daripada h : k. The ratio of y to x is not more than h : k. y x ≤ h k 4. Langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear. Steps to solve the linear programming problems. (i) Tafsirkan masalah tersebut dan tentukan kedua-dua pemboleh ubah, x dan y. Interpret the problem and determine the two variables, x and y. (ii) Bentukkan ketaksamaan atau persamaan mengikut kekangan. Form the inequalities or equations according to the constraints. (iii) Lukis dan lorekkan rantau R yang memuaskan semua kekangan. Draw and shade the region R that satisfies all the constraints. (iv) Tentukan fungsi optimum yang diperlukan. Determine the optimum function if required.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 162 BAB 7 6. Daripada rajah yang diberi, jawab soalan yang berikut. From the given diagram, answer the following questions. TP 3 CONTOH Dalam rajah, rantau R diberi. Cari nilai maksimum dan minimum bagi x + y, dengan keadaan x dan y adalah integer yang memuaskan rantau berlorek itu. In the diagram, the region R is given. Find the maximum and the minimum value for x + y, where x and y are integers which satisfy the shaded region. Penyelesaian: Katakan x + y = k, dengan k ialah pemalar. Lukis satu garis lurus dengan kecerunan sama dengan x + y = k, iaitu m = −1 seperti ditunjukkan. Apabila garis ini dianjakkan merentasi rantau berlorek, titik pertama dalam rantau yang dilalui ialah nilai minimum dan titik terakhir dilalui ialah nilai maksimum. Suppose x + y = k, where k is a constant. Draw a straight line with the gradient equals to x + y = k, that is m = −1 as shown. When the line is slide towards the region, the first point it crosses is the minimum point and the last point it crosses is the maximum point. Maka titik pertama = (2, 4) dan titik terakhir = (4, 5). Hence the first point = (2, 4) and the last point = (4, 5). Nilai minimum / Minimum value = 2 + 4 = 6 Nilai maksimum / Maximum value = 4 + 5 = 9 x 2 4 6 0 2 4 6 y R Tip Biasanya, salah satu koordinat bagi bucu-bucu rantau adalah penyelesaian jawapan jika koordinat-koordinat adalah integer. Normally, one of the coordinates for the vertices of the region is the answer solution if the coordinates are integers. Contoh/Example (2, 4) memberi nilai k = 6 ialah minimum. (6, 2) memberi nilai k = 8 sahaja, dan (4, 5) memberi k = 9. ( maks) (4, 4) dalam rantau berlorek juga memberi jawapan k = 8. (4, 4) in the shaded region also give the answer k = 8 x 1 2 3 0 1 2 3 y R -2 -1 4 5 4 (a) Dalam rajah rantau berlorek R dan fungsi objektif y + 2x = k diberi. Berdasarkan rantau berlorek, cari nilai minimum dan maksimum k. In the diagram of the region R and the objective function y + 2x = k is given. Based on the shaded region, find the minimum and the maximum value of k. Pada (−2, 2) ialah titik minimum, maka At (−2, 2) is a minimum point, hence k = 2 + 2(−2) = −2 Pada (4, 5) ialah titik maksimum, maka At (4, 5) is a maximum point, hence k = 5 + 2(4) = 13

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 163 7 (b) Dalam rajah, rantau berlorek R dan fungsi objektif 2y + x = k diberi. Berdasarkan rantau berlorek , cari nilai minimum dan maksimum k. In the diagram, the region R and the objective function 2y + x = k is given. Based on the shaded region, find the minimum and the maximum value of k. 7. Bentukkan ketaksamaan yang memuaskan semua kekangan yang diberi dalam setiap situasi yang berikut. Form the inequalities that satisfy all the given constraints in each of the following situations. TP 3 Pada (3, 1) ialah titik minimum. Maka, k = 2(1) + 3 = 5. Tidak wujud titik maksimum kerana garis lurus boleh dianjak merentas rantau yang tidak ada had. At (3, 1) is a minimum point. Hence, k = 2(1) + 3 = 5. There is no maximum point because the straight lines can be moved across an unlimited region. x 1 2 3 0 1 2 3 y R 4 5 4 CONTOH Jumlah peserta dalam suatu pertandingan pidato tidak kurang daripada 20. Bilangan orang lelaki mesti sekurang-kurangnya 10 dan bilangan orang perempuan melebih bilangan orang lelaki sebanyak tidak lebih daripada 2. Tulis satu set ketaksamaan yang memuaskan kekangan yang diberi selain daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0. The total number of participants in the speech contest is not less than 20. The number of boys must be at least 10 and the number of girls is more than the number of boys by not more than 2. Write a set of inequalities that satisfy the constraints other than x ≥ 0 and y ≥ 0. Penyelesaian: Katakan bilangan orang lelaki ialah x dan bilangan orang perempuan ialah y. Let the number of boys be x and the number of girls be y. I Jumlah orang tidak kurang daripada 20, iaitu x + y ≥ 20. Total number of participants is not less than 20, that is x + y ≥ 20. II Bilangan orang lelaki mesti sekurangkurangnya 10, iaitu x ≥ 10. The number of boys must be at least 10, that is x ≥ 10. III Bilangan orang perempuan melebih bilangan orang lelaki sebanyak tidak lebih daripada 2y − x ≤ 2. The number of girls is more than the number of boys by not more than 2y – x ≤ 2.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 164 BAB 7 (a) Satu syarikat bercadang membeli dua jenis mesin, A dan B. Empat pekerja perlu beroperasikan mesin A yang memerlukan kawasan 3 m2 . Lima orang pekerja perlu beroperasikan mesin B yang memerlukan kawasan 5 m2 . Syarikat hanya ada ruang 150 m2 untuk semua mesin itu dan 120 orang pekerja. Jika setiap mesin A dan B masingmasing berharga RM600 dan RM1 500, dan syarikat memperuntukkan RM30 000 untuk membeli mesin itu. Jika bilangan mesin A dan B masing-masing ialah x dan y, tulis satu set ketaksamaan yang memuaskan kekangan yang diberi selain daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0. A company decides to buy two types of machines, A and B. Four workers are needed to operate the machine A which occupies a space of 3 m2. Five workers are needed to operate machine B and it occupies a space of 5 m2. The company has only a space of 150 m2 for all the machines and 120 workers. If each A and B machine costs RM600 and RM1 500 respectively, and the company allocates RM30 000 to buy the machine. If the number of machine A and B are x and y respectively, write a set of inequalities that satisfy each of the constraints other than x ≥ 0 and y ≥ 0. I 4x + 5y ≤ 120 II 3x + 5y ≤ 150 III 600x + 1 500y ≤ 30 000 atau 2x + 5y ≤ 100 (b) Sebuah syarikat penerbitan ingin menerbitkan sejenis buku rujukan. Kos yang terlibat adalah seperti berikut. A publishing company wants to publish two types of reference books. The cost involved are as follows. (i) Kos penyuntingan dan penulisan tidak melebihi RM5 000. The editing and the writing cost is not more than RM5 000. (ii) Perbelanjaan lain tidak melebihi RM1 000. Other expenses is not more than RM1 000. (iii) Kos minimum untuk percetakan dan pengangkutan ialah RM2 000 untuk 20 ribu naskhah buku. The minimum cost for the printing and transportation is RM2 000 for 20 thousand copies. Syarikat tersebut ingin menerbitkan 150 ribu naskhah buku. Tafsirkan masalah ini The company wants to publish 150 thousand copies. Interpret this problem. (i) Jika perbelanjaan untuk penyuntingan dan penulisan ialah x, maka x ≤ 5 000. If the cost for editing and writing is x, then x ≤ 5 000. (ii) Jika perbelanjaan lain ialah y, maka y ≤ 1 000. If the other expenses is y, then y ≤ 1 000. (iii) Kos 150 ribu naskhah ialah = 150 × 2 000 20 = RM15 000. Kos untuk percetakan dan pengangkutan Z ≥ 15 000. The cost of 150 thousand copies is 150 × 2 000 20 = RM15 000. The cost for printing and transportation Z ≥ 15 000.

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 165 7 CONTOH Seorang peniaga ingin menjual dua jenis makanan A dan B. Dia menjual x bungkus makanan A dan y bungkus makanan B sehari. Penjualannya mengikut syarat-syarat yang berikut. A trader sells two types of food A and B. He sells x packets of food A and y packets of food B daily. The sales follow the following conditions: I : Jumlah yang dijual bagi kedua-dua makanan adalah sekurang-kurangnya 4 bungkus. The total sacks for the two types of food is at least 4 packets. II : Kos penyediaan 1 bungkus makanan A dan makanan B masing-masing ialah RM1 dan RM2 dan jumlah kos tidak melebihi RM8 sehari. The preparation cost of 1 packet of food A and food B is RM1 and RM2 respectively and the total cost does not exceed RM8 daily. III : Makanan A yang dijual tidak lebih daripada 6 bungkus sehari. Food A sold not more than 6 packets a day. (i) Tulis 3 ketaksamaan yang memuaskan syarat-syarat di atas, selain daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0. Write 3 inequalities which satisfy the conditions above, other than x ≥ 0 and y ≥ 0. (ii) Menggunakan skala 2 cm kepada 1 bungkus makanan pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau R yang memuaskan semua syarat di atas. Using a scale of 2 cm to 1 packet of food on both axes, construct and shade the region R which satisfies all the conditions above. (iii) Daripada graf / From the graph (a) cari bilangan maksimum bungkus makanan B jika bilangan bungkus makanan A dijual ialah 4. find the maximum number of packets of food B if the number of packets of food A that is sold is 4. (b) Kos membuat sebungkus makanan A dan B masing-masing ialah RM1.50 dan RM2.00. Cari keuntungan maksimum jika peniaga itu ingin menjual makanan A dan B masing-masing dengan harga RM8 dan RM8.50. The cost to make a packet of food A and B is RM1.50 and RM2 respectively. Find the maximum profit if the seller wants to sell food A and food B for RM8 and RM8.50 respectively. Penyelesaian: (i) I x + y ≥ 4 II x + 2y ≤ 8 III x ≤ 6 (ii) (iii)(a) Jika x = 4, nilai maksimum y = 2. If x = 4, the maximum value y = 2. Bilangan maksimum makanan B ialah 2. The maximum number of food B is 2. (b) Keuntungan bagi makanan A dan B masing-masing ialah RM 6.50. The profit for food A and B are RM6.50 each. Fungsi keuntungan K = 6.5x + 6.5y The profit function K = 6.5x + 6.5y Jika susun semula fungsi itu, kita mendapat y = −x + k 6.5 . If rearrange the function, we get y = −x + k 6.5 Lukis satu garis dengan kecerunan −1 dan anjakan garis itu ke arah rantau berlorek R, titik terakhir yang sampai di rantau itu ialah titik maksimum, iaitu (6, 1). Draw a line with a gradient of −1 and slide the line towards the shaded region R, the last point to reach in that region is the maximum point, which is (6, 1). Maka/So K = 6.5(6) + 6.5(1) = RM45.50 8. Selesaikan masalah berikut yang melibatkan penggunaan pengaturcaraan linear. Solve the following problems involving the usage of linear programming. TP 5 x 2 1 3 4 -1 0 1 2 3 y R 5 4 5 6 7 Lukis garis x = 4, titik paling tinggi dalam rantau berlorek ialah integer 2 Draw the line x = 4, the highest point in the shaded region is an integer 2.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 166 BAB 7 (a) Sebuah syarikat tertentu ingin mengeluarkan dua jenis cenderamata, jenis A dan jenis B. Pada suatu hari, syarikat itu telah menghasilkan x unit jenis A dan y unit jenis B. Masa yang diambil untuk menghasilkan jenis A dan B masing-masing ialah 3 minit dan 2 minit . Penghasilan cenderamata itu dihadkan oleh syarat-syarat yang berikut: A company wants to produce two types of souvenir, type A and B. On a certain day, the company has produced x units of type A and y units of type B. The time taken to produce type A and B is 3 and 2 minutes respectively. The production is limited by the following constraints: I Bilangan unit B tidak melebihi 80. The number of unit B is not more than 80. II Bilangan unit A melebihi 3 kali ganda bilangan unit B sebanyak 30 unit atau kurang. The number of unit A exceeds 3 times the number of unit B by 30 units or less. III Jumlah masa untuk menghasilkan jenis A dan B tidak melebihi 300 minit. The total time to produce type A and B is not more than 300 minutes. (i) Tulis ketaksamaan yang memuaskan semua kekangan yang diberi selain daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0. Write the inequalities which satisfy all the given constraints other than x ≥ 0 and y ≥ 0. (ii) Lukis graf dan lorek dan tandakan rantau R yang memuaskan semua kekangan yang diberi. Draw the graph and shade the region R that satisfies all the given constraints. (iii) Gunakan graf anda, jawab soalan yang berikut. Use your graph, answer the following questions. (a) Cari julat bilangan unit jenis B yang boleh dihasilkan jika 60 unit jenis A dihasilkan. Find the range of the number of type B units that can be produced if 60 units of type A are produced. (b) Jika keuntungan yang dihasilkan oleh jenis A dan B masing-masing ialah RM3 dan RM6 setiap unit. Cari keuntungan maksimum yang mungkin sehari. If the profit generated by type A and B are RM3 and RM6 respectively, find the maximum possible profit per day. (c) Cari bilangan unit maksimum yang boleh dihasilkan untuk jenis A dan B jika syarikat ingin menghasilkan bilangan unit yang sama bagi jenis A dan B. Find the maximum number of units that can be produced for type A and type B if the company wants to produce the same number of units type A and type B. (i) Ketaksamaan bagi setiap kekangan. The inequalities for each constraint. I y ≤ 80 II x − 3y ≤ 30 III 3x + 2y ≤ 300 (ii) (iii) (a) Daripada graf, julat bilangan B ialah From the graph, the range of the number of B is 10 ≤ y ≤ 60 (b) Keuntungan/Profit K = 3x + 6y Titik optimum ialah titik persilangan. The optimum point is the intersection point. y = 80 dan/and x − 3y = 300 Nilai integer x terdekat ialah 46. The value of the nearest integer x is 46. Maka, untung maksimum K Hence, the maximum profit K = 3(46) + 6(80) = RM618 (c) Untuk y = x, titik maksimum = (60, 60). For y = x, maximum point = (60, 60). Jenis A dan B masing-masing ialah 60 unit. Type A and type B are 60 units respectively. 40 20 –20 60 80 0 20 40 60 y x R 100 80 100 y = x 3x + 2y = 300 y = 80 x – 3y = 30

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 167 7 (b) Sebuah fakulti menawarkan dua subjek, A dan B. Bilangan murid mengambil subjek A ialah x dan bilangan murid mengambil subjek B ialah y. Pengambilan murid adalah berdasarkan kekangan berikut: A faculty offers two subjects, A and B. The number of students taking subject A is x and the number of students taking subject B is y. The intake of students is based on the following constraints: I : Bilangan maksimum murid bagi kedua-dua subjek ialah 100 orang. The maximum number of students for both subjects is 100. II : Bilangan murid subjek B adalah sekurang-kurangnya 20 orang. The number of students for subject B is at least 20. III : Bilangan murid subjek B adalah selebih-lebihnya 2 kali bilangan murid subjek A. The number of students for subject B is at most 2 times the number of students for subject A. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain x ≥ 0 dan y ≥ 0, yang memenuhi semua kekangan di atas. Write three inequalities, other than x ≥ 0 and y ≥ 0, which satisfy all the above constraints. (b) Menggunakan skala 2 cm kepada 20 orang murid pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. Use a scale of 2 cm to 20 students on both axes, construct and shade the region R which follows all the constraints above. (c) Daripada graf, jawab soalan yang berikut. From the graph, answer the following questions. (i) Cari bilangan maksimum murid mengambil subjek A. Find the maximum number of students taking subject A. (ii) Cari julat bilangan murid mengambil subjek B jika bilangan murid mengambil subjek A ialah 30. Find the range of the number of students taking subject B if the number of students taking subject A is 30. (iii) Hitung kutipan maksimum yuran bagi satu semester jika seorang murid membayar RM1 200 untuk subjek A dan RM600 untuk subjek B. Calculate the maximum collection of fees per semester if a student pays RM1 200 for subject A and RM600 for subject B. (a) I x + y ≤ 100 II y ≥ 20 III y ≤ 2x (b) (c) (i) x maksimum / x maximum = 80 (ii) 20 ≤ y ≤ 50 (iii) Andaikan P = 1 200x + 600y Yuran maksimum / Maximum fees = 1 200(80) + 600(20) = RM108 000 40 R 40 20 0 20 60 60 80 80 100 100 y x y = 2x (80, 20) y = 20 x + y = 100

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 168 BAB 7 PRAKTIS PRAKTIS SPM SPM 17 Kertas 2 1. Seorang majikan ingin menyediakan pengangkutan untuk menghantar pekerjanya ke kilang dengan menggunakan x buah van dan y buah bas. Bilangan kenderaan yang digunakan adalah berdasarkan kekangan berikut: An employer wants to provide transport for his workers to the factory using x vans and y buses. The number of vehicles used is based on the following constraints: I : Van dapat muat 10 orang pekerja manakala bas dapat muat 30 orang pekerja. Terdapat sekurang-kurangnya 120 orang pekerja yang menggunakan pengangkutan yang disediakan. A van can carry 10 workers while a bus can carry 30 workers. There are at least 120 workers that use the transport provided. II : Bilangan bas yang digunakan tidak melebihi bilangan van. The number of buses used does not exceed the number of vans. III : Bilangan van yang digunakan selebih-lebihnya 9 buah. The number of vans used is at most 9. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0, yang memuaskan semua kekangan di atas. Write three inequalities, other than x ≥ 0 and y ≥ 0, which satisfy all the constraints above. (b) Menggunakan skala 2 cm kepada 2 buah kenderaan pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau R yang memuaskan semua kekangan di atas. Using a scale of 2 cm to 2 vehicles on both axes, construct and shade the region R which satisfies all the constraints above. (c) Daripada graf itu, cari From the graph, find (i) julat bilangan van digunakan jika 4 bas digunakan the range of the number of vans used if 4 buses are used. (ii) kos maksimum yang ditanggung oleh majikan itu jika kos menyewa van dan bas masing-masing ialah RM120 dan RM180. the maximum cost incurred by the employer if the cost of renting a van and a bus is RM120 and RM180 respectively. (a) I : 10x + 30y ≥ 30 x + 3y ≥ 3 II : y ≤ x III : x ≤ 9 (b) 2014 R 4 4 2 0 2 6 6 8 8 10 10 12 x y y = x (3, 3) x = 9 x + 3y = 12 (c) (i) Julat ialah 4 ≤ x ≤ 9. The range is 4 ≤ x ≤ 9. (ii) K = 120x + 180y Kos maksimum / Maximum cost K = 120(9) + 180(9) = RM2 700

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 169 7 2. Seorang wanita membuat dua jenis kraftangan, iaitu bakul dan alas lantai dengan menggunakan rotan. Sebuah bakul memerlukan 50 m rotan dan masa untuk menyiapkannya ialah 75 minit. Sekeping alas lantai memerlukan 60 m rotan dan masa 45 minit untuk menyiapkannya. Wanita itu membuat x buah bakul dan y keping alas lantai. Dia mempunyai masa lapang 15 jam sehari dan sebanyak 750 m rotan. A woman makes two types of handicraft, that are baskets and floor mats by using rattan. A basket needs 50 m of rattan and the time to complete it is 75 minutes. A floor mat needs 60 m of rattan and the time of 45 minutes to complete it. The woman makes x baskets and y floor mats. She has 15 hours of spare time a day and 750 m of rattan. (a) Tulis dua ketaksamaan, selain daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0 yang memenuhi semua kekangan di atas. Write two inequalities, other than x ≥ 0 and y ≥ 0 that satisfy all the above constraints. (b) Pada graf yang sama, bina dan lorek rantau R yang memenuhi kedua-dua kekangan tersebut. On the same graph, construct and shade the region R which satisfies all the two constraints given. (c) Menggunakan graf yang dibina, cari Use the graph constructed, find (i) bilangan maksimum bakul dan alas lantai jika bilangan alas lantai ialah dua kali lebih banyak daripada bilangan bakul. the maximum number of baskets and floor mats if the number of floor mats is twice more than the number of the baskets. (ii) nilai x dan y yang akan memaksimumkan keuntungannya jika keuntungan daripada sebuah bakul dan sekeping alas lantai masing-masing ialah RM60 dan RM30. the value of x and of y which will maximise her profit if the profit from a basket and a floor mat is RM60 and RM30 respectively. (a) 50x + 60y ≤ 750 5x + 6y ≤ 75 75x + 45y ≤ 15 × 60 5x + 3y ≤ 60 (b) 2018 4 2 12 6 -2 0 2 4 6 y x 8 10 8 10 12 14 16 18 20 5x + 3y = 60 5x + 6y = 75 (c) (i) y = 2x, Dalam rantau, x maksimum = 4 dan y maksimum = 8 In the region, x maximum = 4 and y maximum = 8 (ii) U = 60x + 30y, apabila x = 9, y = 5 akan mendapat maksimum U = 60(9) + 30(5) = RM 690

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 170 BAB 7 3. Yuki ditugaskan membeli x batang pen dan y buah buku cerita sebagai hadiah sempena perayaan pesta sekolah. Harga sebatang pen dan sebuah buku cerita masing-masing ialah RM 30 dan RM40. Pembelian hadiah itu bergantung kepada kekangan yang berikut. Yuki was assigned to buy x pens and y story books as gifts in conjunction with the school’s celebration. The price of a pen and a storybook is RM30 and RM40 respectively. The purchase of the gift depends on the following constraints. I Jumlah bilangan pen dan buku cerita mesti melebihi 40. The total number of pens and story books must be more than 40. II Jumlah peruntukan ialah RM4 000. The total allocation is RM4 000. III Bilangan pen melebihi bilangan buku cerita selebih-lebihnya 15. The number of pens exceeds the number of story books by at most 15. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0 yang memenuhi semua kekangan di atas. Write three inequalities, other than x ≥ 0 and y ≥ 0 that satisfy all the above constraints. (b) Pada graf yang sama, bina dan lorek rantau R yang memenuhi kedua-dua kekangan tersebut. On the same graph, construct and shade the region R which satisfies both the constraints. (c) Menggunakan graf yang dibina, cari Use the graph constructed, find (i) peruntukan yang tinggal jika dia membeli bilangan minimum pen dan buku cerita yang sama. the amount of allocation left if she buys the same minimum number of pens and story books. (ii) Tentukan bilangan maksimum pen jika Yuki menggunakan RM400 untuk membeli bahan yang lain. Determine the maximum number of pens if Yuki uses RM400 to buy other things. (a) x + y ≥ 40 30x + 40y ≤ 4 000 3x + 4y ≤ 400 x − y ≤ 15 (b) 40 20 60 80 0 –20 –20 20 40 100 60 80 100 120 140 160 180 x + y = 40 x – y = 15 3x + 4y = 360 3x + 4y = 400 y x 2019 (c) (i) Titik minimum = (20, 20) Minimum point Harga / Price = 30(20) + 40(20) = RM1 400 Baki = RM4000 − RM1 400 = RM2 600 (ii) Peruntukan yang tinggal = RM3 600 Allocation left = RM3 600 Maka/Hence 30x + 40y ≤ 3600 3x + 4y ≤ 360 Bilangan pen maksimum = 60 Maximum number of pens Praktis SPM Ekstra

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 7 Pengaturcaraan Linear 171 7 Sudut Sudut KBAT KBAT Seorang penternak ingin membeli x ekor anak lembu dengan harga RM80 seekor dan y ekor anak kambing dengan RM50 seekor. Kandang penternak hanya cukup untuk 20 ekor binatang dan dia hanya mampu membelanjakan sebanyak RM1 200. A breeder wants to buy x young cows for RM80 each and y young goats for RM50 each. The breeder cage can only holds 20 animals and he can only spend RM1 200. (a) Tulis dua ketaksamaan yang memuaskan syarat diberi di atas selain daripada x ≥ 0 dan y ≥ 0. Write two inequalities that satisfy the given constraints above other than x ≥ 0 and y ≥ 0. (b) Pada graf yang sama, bina dan lorek rantau R yang memenuhi kedua-dua kekangan tersebut. On the same graph, construct and shade the region R which satisfies both the constraints. (c) Menggunakan graf yang dibina, cari Use the graph that is constructed, find (i) julat bilangan lembu yang boleh dibeli olehnya jika dia membeli 5 ekor anak kambing. the range of the number of cows he can buy if he buys 5 goats. (ii) bilangan maksimum kambing jika dia mesti membeli dua kali lebih banyak lembu daripada kambing. the maximum number of goats if he must buy twice as many cows as goats. (a) x + y ≤ 20 80x + 50y ≤ 1 200 8x + 5y ≤ 120 (b) (c) (i) Julat / Range 0 ≤ x ≤ 11 (ii) Lukis x = 2y, maksimum kambing y = 5 10 5 15 20 –5 0 5 10 25 15 20 x + y = 20 8x + 5y = 120 x y KBAT Ekstra Quiz 7

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 172 BAB 8 NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN BAB 8 Kinematik Gerakan Linear Kinematics of Linear Motion 8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa Displacement, Velocity and Acceleration as a Function of Time Sesaran / Displacement 1. Satu zarah yang bergerak di sepanjang garis lurus melalui satu titik tetap O, sesarannya s, m dari O berubah dengan masa, t saat. s ialah satu fungsi dalam masa t, iaitu s = f(t). A particle moves along a straight line and passes through a fixed point O, its displacement s, m from O changes with time, t second, s is a function of time t, that is s = f(t). 2. Sesaran ialah kuantiti vektor yang mempunyai magnitud dan arah, manakala jarak ialah kuantiti skalar yang mempunyai magnitud sahaja. Displacement is a vector quantity with magnitude and direction, while distance is a scalar quantity with magnitude only. (i) Sesaran positif bermakna zarah bergerak dari O ke arah kanan O. Positive displacement means the particle moves from O to the right (ii) Sesaran negatif bermakna zarah bergerak dari O ke arah kiri O. Negative displacement means the particle moves from O to the left. (iii) Sesaran sifar bermakna zarah berada di O. Zero displacement means the particle is at O. 3. Jumlah jarak yang dilalui dalam p saat pertama ialah jumlah jarak yang dilalui dari masa t = 0 ke t = p. Total distance travelled in the first p seconds is the total distance travelled from the time t = 0 to t = p. 4. Jumlah jarak yang dilalui dalam p saat = sesaran dalam p saat pertama – sesaran dalam (p − 1) saat pertama. Total distance travelled in p seconds = displacement in the first p seconds – displacement in the first (p − 1) seconds. Halaju / Velocity 1. Halaju, v ialah kadar perubahan sesaran dengan masa. Velocity, v is the rate of change of displacement with time. v = ds dt 0 s t Sesaran negatif Negative displacement O Sesaran positif Positive displacement 2. Halaju ialah kuantiti vektor manakala laju ialah kuantiti skalar. Velocity is a vector quantity while speed is a scalar quantity. (i) Satu zarah bergerak ke arah kanan dikatakan mempunyai halaju positif. A particle that moves to the right is said to have a positive velocity. (ii) Satu zarah bergerak ke arah kiri dikatakan mempunyai halaju negatif. A particle that moves to the left is said to have a negative velocity. (iii) Satu zarah pegun atau berhenti seketika dikatakan mempunyai halaju sifar. A particle is stationary or stops instantaneously will have zero velocity. (iv) Satu zarah bergerak dengan halaju seragam jika ia bergerak dengan laju malar dalam satu arah tertentu. A particle moves with a uniform velocity if it moves at a constant speed in a certain direction. Kecerunan graf sesaran-masa yang malar menunjukkan halaju seragam. Gradient of the displacement-time graph is constant shows uniform velocity. 0 s t Kecerunan graf sesaran-masa yang tidak malar menunjukkan halaju tidak malar. Gradient of the displacement-time graph is not constant shows non-uniform velocity.

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 173 8 NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN 3. Pengamiran halaju, v m s−1 tehadap masa, t akan memberi sesaran, s m. Integration of velocity, v m s−1 with respect to time, t will give the displacement, s m. s = ∫v dt Pecutan / Acceleration 1. Pecutan ditakrifkan sebagi kadar perubahan dalam halaju. Acceleration is defined as the rate of change of velocity. 2. Pecutan ialah satu kuantiti vektor. Acceleration is a vector quantity. (i) Satu zarah dikatakan mempunyai pecutan positif apabila halaju zarah itu bertambah dengan seragam terhadap masa. A particle is said to have positive acceleration when the velocity is increasing uniformly with time. (ii) Satu zarah dikatakan mempunyai pecutan negatif apabila halaju zarah itu berkurang dengan seragam terhadap masa. A particle is said to have negative acceleration when the velocity is decreasing uniformly with time. (iii) Satu zarah dikatakan mempunyai pecutan sifar apabila halaju zarah itu ialah malar dengan seragam terhadap masa A particle is said to have zero acceleration when the velocity is uniformly constant with time. 0 v t Kecerunan malar – Pecutan seragam Gradient is constant – Acceleration is uniform 0 v t Kecerunan tidak malar – Pecutan tidak seragam Gradient is not constant – Acceleration is not uniform 1. Cari sesaran dan jarak bagi yang berikut Find the displacement and distance for the following. TP 1 CONTOH Seorang posman bergerak sejauh 2 km dari pejabat pos ke rumah Ali. Kemudian dia berjalan 5 km ke rumah Don dan seterusnya 3 km balik ke pejabat pos. Apakah A postman travels 2 km from the post office to Ali’s house. Then, he travels 5 km to Don’s house before travelling 3 km back to the post office. What (i) jumlah jarak dilalui pada akhir perjalanannya? is the total distance travelled at the end of his journey? (ii) jumlah sesaran pada akhir perjalanannya? is the total displacement at the end of his journey? Penyelesaian: (i) Jumlah jarak = jumlah perjalanan Total distance = total journey = (2 + 5 + 3) km = 10 km (ii) Kedudukan asal posman ialah pejabat pos dan kedudukan akhir posman juga di pejabat pos. Maka, sesaran = 0 km The initial position of the postman is the post office and the final destination is also the post office. Hence, displacement = 0 km

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 174 BAB 8 2. Satu zarah bergerak supaya sesarannya, s(t), m adalah diberi di bawah, dengan t ialah masa dalam saat dari titik tetap O. Cari sesaran, s, dalam m pada masa yang diberi. Jelaskan jawapan anda. A particle moves so that its displacement, s(t), m is given below, where t is the time in seconds from the fixed point O. Find the displacement, s, in m at the time given. Explain your answers. TP 2 (a) Diberi s(t) = 4 – 2t − t 2 . Pada Given s(t) = 4 – 2t − t2. At (i) t = 0 (ii) t = 1 (iii)t = 2 (i) Apabila t = 0 s, s(0) = 4 – 2(0) − 02 = 4 m (zarah berada ke kanan O) (the particle is at the right of O) (ii) Apabila t = 1 s, s(1) = 4 – 2(1) − 12 = 1 m (zarah berada ke kanan O) (the particle is at the right of O) (iii)Apabila t = 2 s, s(2) = 4 – 2(2) − 22 = −4m (zarah berada di titik O) (the particle is at O) (a) Cik Nor berjalan dari rumahnya sejauh 2 km ke pasar raya. Kemudian, dia berjalan ke kedai runcit yang terletak 3 km dari pasar raya. Selepas itu, dia berjalan sejauh 7 km ke rumah kawan sebelum dia balik ke rumahnya. Apakah Cik Nor walks 2 km from her house to the market. Then, she walks to the grocery shop located 3 km from the supermarket. After that, she walks 7 km to her friend's house before she returned to his house. What is (i) jumlah jarak pada akhir perjalanannya? the total distance at the end of her journey? (ii) jumlah sesaran pada akhir perjalanannya? the total displacement at the end of her journey? (i) Jumlah jarak = jumlah semua perjalanan Total distance = total all the journey = (2 + 3 + 7) km = 12 km (ii) Titik asal Cik Nor ialah rumahnya dan titik akhir juga rumahnya. Maka sesaran = 0 km. Cik Nor’s original point is her house and the end point is also her house. Hence, displacement = 0 km. (b) Satu zarah bermula dari titik O bergerak ke kanan 5 m sepanjang satu garis lurus. Ia berhenti seketika dan mula bergerak ke kiri sejauh 8 m. Apakah A particle starts from point O moves 5 m to the right along a straight line. It stops for a while and starts to move 8 m to the left. What is (i) jumlah jarak pada akhir perjalanan zarah? the total distance at the end of the journey? (ii) jumlah sesaran pada akhir perjalanan zarah dari O? the total displacement at the end of the journey from O? (i) Jumlah jarak = jumlah semua perjalanan Total distance = total all the journey = (5 + 8) m = 13 m (ii) Titik asal zarah ialah di O dan titik akhirnya ialah 3 m ke kiri O. Maka sesaran = −3 m. The original point of the particle is at O and its end point is 3 m to the left of O. So, displacement = −3 m. CONTOH Diberi s(t) = t2 − 4t − 5. Pada Given s(t) = t2 − 4t − 5. At (i) t = 0 s (ii)t = 5 s (iii)t = 6 s Penyelesaian: (i) Apabila/When t = 0 s, s(0) = 02 − 4(0) − 5 = −5 m (zarah berada ke kiri O) (the particle at the left of O) (ii) Apabila/When t = 5 s, s(5)= 52 − 4(5) – 5 = 0 m (zarah berada di titik O) (the particle is at O) (iii) Apabila/When t = 6 s, s(6)= 62 − 4(6) − 5 = 7 m(zarah berada ke kanan O) (the particle is to the right of O) t = 0 t = 5 t = 6 –5 m 0 m 7 m

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 175 8 (b) Diberi s(t) = 2 + 4t − 2t 2 . Pada Given s(t) = 2 + 4t − 2t2. At (i) t = 1s, (ii) t = 5 s, (iii)t = 1 2 s (i) Apabila t = 1 s, s(1) = 2 + 4(1) − 2(1)2 = 4 m (zarah berada ke kanan O) (the particle is at the right of O) (ii) Apabila t = 5 s, s(5) = 2 + 4(5) − 2(5)2 = −28 m (zarah berada ke kiri O) (the particle is at the left of O) (iii) Apabila t = 1 2 s, s( 1 2 ) = 2 + 4( 1 2 ) − 2( 1 2 )2 = 3 1 2 m (zarah berada ke kanan O) (the particle is at the right of O) (c) Diberi s(t) = (1 − t)(3t + 4). Pada Given s(t) = (1 − t)(3t + 4). At (i) t = 0 s (ii) t = 1 3 s (iii)t = 1.5 s (i) Apabila t = 0 s, s(0) = (1 − 0)(3(0) + 4) = 4 m (zarah berada ke kanan O) (the particle is at the right of O) (ii) Apabila t = 1 3 s, s( 1 3 ) = (1 − 1 3 )(3( 1 3 )+ 4) = 3 1 3 m (zarah berada ke kanan O) (the particle is at the right of O) (iii)Apabila t = 1.5 s, s(1.5) = (1 − 1.5)(3(1.5) + 4) = −4 1 4 m (zarah berada ke kiri O) (the particle is at the left of O) 3. Satu zarah bergerak supaya halajunya, v(t), m s−1 adalah diberi di bawah, dengan keadaan t ialah masa dalam saat dari titik tetap O. Cari halaju seketika, dalam m s−1 pada masa yang diberi. Jelaskan jawapan anda. A particle moves so that its velocity, v(t), m s−1 is given below, where t is the time in seconds from the point O. Find the instantaneous velocity, in m s−1 for the time given. Explain your answers. TP 2 (a) v(t) = (2 − t)(3t − 4) apabila/when (i) t = 0 s (ii) t = 2 s (iii)t = 5 s (i) Apabila t = 0 s, v(0) = (2 − 0)(3(0) − 4) = −8 m s−1 (zarah bergerak ke arah kiri) (the particle moves to the left) (ii) Apabila t = 2 s, v(2) = (2 − 2)(3(2) − 4) = 0 m s−1 (zarah berhenti seketika) (the particle stops instantaneously) (iii)Apabila t = 5 s, v(5) = (2 − 5)(3(5) − 4) = −33 m s−1 (zarah bergerak ke arah kiri) (the particle moves to the left) CONTOH v(t) = 6 − 5t + t 2 apabila/when (i) t = 0 s (ii) t = 2 s (iii)t = 4 s Penyelesaian: (i) Apabila t = 0 s, v(0) = 6 − 5(0) + 02 = 6 m s−1 (zarah bergerak ke arah kanan) (the particle moves to the right) (ii) Apabila t = 2 s, v(2) = 6 − 5(2) + 22 = 0 m s−1 (zarah berhenti seketika) (the particle stops instantaneously) (iii) Apabila t = 4 s, v(4) = 6 − 5(4) + 42 = 2 m s−1 (zarah bergerak ke arah kanan) (the particle moves to the right) Apabila t = 0, halaju dikenali sebagai halaju awal. When t = 0, the velocity is called the initial velocity.

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 176 BAB 8 (b) v(t) = 1 2 t 2 – 2t apabila/when (i) t = 0 s (ii) t = 2 s (iii)t = 5 s (i) Apabila t = 0 s, v(0) = 1 2 (0)2 – 2(0) = 0 m s−1 (zarah tidak bergerak) (the particle is not moving) (ii) Apabila t = 2 s, v(2) = 1 2 (2)2 – 2(2) = −2 m s−1 (zarah bergerak ke arah kiri) (the particle moves to the left) (iii)Apabila t = 5 s, v(5) = 1 2 (5)2 – 2(5) = 2 1 2 m s−1 (zarah bergerak ke arah kanan) (the particle moves to the right) (c) v(t) = 1 2 (2t − 3)2 − 4 apabila/when (i) t = 0 s (ii) t = 1 s (iii) t = 2 s (i) Apabila t = 0 s, v(0) = 1 2 (2(0) − 3)2 − 4 = 1 2 m s−1 (zarah bergerak ke arah kanan) (the particle moves to the right) (ii) Apabila t = 1 s, v(1) = 1 2 (2(1) − 3)2 − 4 = 1 –3 2 m s−1 (zarah bergerak ke arah kiri) (the particle moves to the left) (iii)Apabila t = 2 s, v(2) = 1 2 (2(2) − 3)2 − 4 = 1 –3 2 m s−1 (zarah bergerak ke arah kiri) (the particle moves to the left) 4. Satu zarah bergerak supaya pecutannya, a(t), m s−2 adalah diberi di bawah, dengan t ialah masa dalam saat dari titik tetap O. Cari pecutan seketika, dalam m s−2 pada masa yang diberi. Jelaskan jawapan anda. A particle moves such that its acceleration, a(t), m s−2 is given below, where t is the time in seconds from a fixed point O. Find the instantaneous acceleration, in m s−2 at the given time. Explain your answers. TP 2 (a) a(t) = 2 − 5t + t2 apabila/when (i) t = 0 s (ii) t = 1 2 s (iii)t = 3 s (i) Apabila t = 0 s, a(0) = 2 − 5(0) + 02 = 2 m s−2 (halaju zarah bertambah dengan seragam) (the velocity is increasing uniformly) (ii) Apabila t = 1 2 s, a 1 2  = 2 − 51 1 2  + 1 1 2  2 = − 1 4 m s−2 (halaju zarah berkurang dengan seragam) (the velocity is decreasing uniformly) (iii)Apabila t = 3 s, a(3) = 2 − 5(3 ) + (3)2 = −4 m s−2 (halaju zarah berkurang dengan seragam) (the velocity is decreasing uniformly) CONTOH a(t) = 1 2 t2 – t apabila/when (i) t = 0 s (ii) t = 1 s (iii)t = 4 s Penyelesaian: (i) Apabila t = 0 s, a(0) = 1 2 (0)2 – (0) = 0 m s−2 (zarah bergerak dengan halaju malar) (the particle moves with constant velocity) (ii) Apabila t = 1 s, a(1) = 1 2 (1)2 – (1) = − 1 2 m s−2 (halaju zarah berkurang dengan seragam) (the velocity is decreasing uniformly) (iii) Apabila t = 4 s, a(4) = 1 2 (4)2 – (4) = 4 m s−2 (halaju zarah bertambah dengan seragam) (the velocity is increasing uniformly) Apabila t = 0 s, pecutan dikenali sebagai pecutan awal. When t = 0 s, the acceleration is known as initial acceleration.

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 177 8 (b) a(t) = −2t + 6 apabila/when (i) t = 1 s (ii) t = 3 s (iii)t = 4 s (i) Apabila t = 1 s, a(1) = −2(1) + 6 = 4 m s−2 (halaju zarah bertambah dengan seragam) (the velocity is increasing uniformly) (ii) Apabila t = 3 s, a(3) = −2(3) + 6 = 0 m s−2 (halaju zarah adalah malar) (the velocity is constant) (iii)Apabila t = 4 s, a(4) = −2(4) + 6 = −2 m s−2 (halaju zarah berkurang dengan seragam) (the velocity is decreasing uniformly) (c) a(t) = −t 2 + 4t apabila/when (i) t = 2 s (ii) t = 4 s (iii)t = 6 s (i) Apabila t = 2 s, a(2) = −(2)2 + 4(2) = 4 m s−2 (halaju zarah bertambah dengan seragam) (the velocity is increasing uniformly) (ii) Apabila t = 4 s, a(4) = −(4)2 + 4(4) = 0 m s−2 (halaju zarah adalah malar) (the velocity is constant) (iii)Apabila t = 6 s, a(6) = −(6)2 + 4(6) = −12 m s−2 (halaju zarah berkurang dengan seragam) (the velocity is decreasing uniformly) 5. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus supaya sesarannya, s m, dari titik tetap O selepas t saat diberi seperti yang berikut. Lakarkan graf sesaran-masa dan seterusnya cari A particle moves along a straight line so that the displacement, s m, from a fixed point O after t seconds is given as follows. Sketch the displacement-time graph and then find TP 3 (i) jumlah jarak yang dilalui dalam masa yang ditentukan. the total distance travelled in the given time. (ii) jarak yang dilalui dalam saat ketiga. the distance travelled in the third second. CONTOH Lakaran graf sesaranmasa Displacement-time graph Jumlah jarak dilalui Total distance travelled Jarak yang dilalui dalam saat ketiga Distance travelled in the third second s(t) = 2t 2 – 8, 0 ≤ t ≤ 4 Penyelesaian: s(t)= 2(t 2 − 4) = 2(t − 2)(t + 2) Graf ini ialah graf minimum dengan punca-punca 2 dan −2. This is a minimum graph with the roots of 2 and −2. Titik minimum Minimum point ds(t) dt = 4t = 0 t = 0, s = −8 Dari graf, jumlah jarak From the graph, total distance = 8 + 24 = 32 m Jarak dalam saat ketiga Distance travelled in the third second = s(3) − s(2) = 2(3)2 – 8 − [2(2)2 − 8)] = 10 m Kaedah Alternatif s(4) − s(0) = 2(4)2 – 8 – (2(0)2 − 8) = 32 m 24 –8 –2 0 2 4 s(t) t t = 0 t = 2 t = 4 –8 m 24 m

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 178 BAB 8 Lakaran graf sesaranmasa Displacement-time graph Jumlah jarak dilalui Total distance travelled Jarak yang dilalui dalam saat ketiga Distance travelled in the third second (a) s(t) = 3t − 4, 0 ≤ t ≤ 3 s(t) = 3t − 4 Graf ini ialah graf garis lurus dengan kecerunan 3 dan titik pintasan-y ialah −4. This is a straight line graph with the gradient of 3 and the y-interception point is −4. 5 –4 0 3 t s(t) Dari graf, jumlah jarak From the graph, total distance = 4 + 5 = 9 m Jarak dalam saat ketiga Distance in the third second = s(3) − s(2) = 3(3) − 4 − [3(2) − 4)] = 3 m (b) s(t) = (t − 2)(t − 5), 0 ≤ t ≤ 6 s(t) = (t − 2)(t − 5) = t 2 − 7t + 10 Graf ini ialah graf minimum dengan punca-punca 2 dan 5. This is a minimum graph with the roots of 2 and 5. Titik minimum ds(t) dt = 2t − 7 = 0 t = 7 2 , s = 1 –2 4 10 –2 0 2 5 t s(t) 1 4 7 2 Dari graf, jumlah jarak From the graph, total distance = 10 + 1 2 4 + 1 2 4 + 4 = 1 18 2 m Jarak dalam saat ketiga Distance in the third second = s(3) − s(2) = (3 − 2)(3 − 5) – (2 − 2)(2 − 5) = −2 m = 2 m (c) s(t) = −t2 + 4t − 3, 0 ≤ t ≤ 3 s(t) = −t 2 + 4t − 3 = (1 − t)(t − 3) Graf ini ialah graf maksimum dengan punca-punca 1 dan 3 This is a maximum graph with the roots of 1 and 3. Titik maksimum ds(t) dt = −2t + 4 = 0 t = 2, s = 1 1 –3 0 1 2 3 t s(t) Dari graf, jumlah jarak From the graph, total distance = 3 + 1 + 1 = 5 m Jarak dalam saat ketiga Distance in the third second = s(3) − s(2) = (1 − 3)(3 − 3) − (1 − 2)(2 − 3) = 1 m

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 179 8 6. Suatu zarah bergerak pada satu garis lurus. Sesarannya, s m, dari titik tetap O selepas t saat diberi seperti berikut. Cari A particle moves on a straight line. The displacement, s m, from a fixed point O after t seconds is given as follows. Find (i) julat t dalam keadaan sesaran ialah positif the range of t when the displacement is positive. (ii) masa apabila zarah ialah s m yang diberi dari titik O. the time when the particle is s m from the point O. TP 3 CONTOH s(t) = −t 2 +2t + 8 16 m ke kiri O. 16 m to the left of O. Penyelesaian: (i) Untuk sesaran positif, s > 0. For positive displacement s(t) = −t 2 + 2t + 8 > 0 t2 − 2t − 8 < 0 (t + 2)(t − 4) < 0 0 ≤ t < 4 (ii) Apabila/When s = −16 −t 2 + 2t + 8 = −16 t 2 − 2t − 24 = 0 (t + 4)(t − 6) = 0 t = 6 (a) s(t) = t 2 − 3t 10 m ke kanan O 10 m to the right of O (i) Untuk sesaran positif, s > 0 For positive displacement s(t)= t2 − 3t > 0 t(t − 3) > 0 t > 3 (ii) Apabila s = 10 t2 − 3t = 10 t2 − 3t −10 = 0 (t − 5)(t + 2) = 0 t = 5 (b) s(t) = t 2 − 3t – 4 1 6 4 m ke kiri O 1 6 4 m to the left of O (i) Untuk sesaran positif, s > 0. For positive displacement s(t) = t 2 − 3t – 4 > 0 (t − 4)(t + 1) > 0 t > 4 (ii) Apabila s = 25 – 4 4t 2 −12t – 16 = −25 4t 2 −12t + 9 = 0 (2t − 3)(2t − 3) = 0 t = 3 2 0 3 t s(t) 4 s(t) –4 t 8 0 4 t s(t)

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 180 BAB 8 NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN 8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear Differentiation in Kinematics of Linear Motion 1. Halaju, v m s−1, boleh ditulis sebagai ds dt , manakala pecutan boleh ditulis sebagai dv dt atau d2 s dt2 . Velocity, v m s−1, can be written as ds dt , while the acceleration can be written as dv dt or d2 v dt2 . 2. Sesaran maksimum atau minimum berlaku apabila ds dt = 0 manakala halaju maksimum atau minimum berlaku apabila dv dt = d2 s dt2 = 0. The maximum or minimum displacement occurs when ds dt = 0 while the maximum or minimum velocity occurs when dv dt = d2 s dt2 = 0. 3. Halaju malar berlaku apabila pecutan = 0 atau dv dt = 0 manakala pecutan malar berlaku apabila da dt = 0. The uniform velocity occurs when the acceleration = 0 or dv dt = 0 while the uniform acceleration occurs when da dt = 0. 7. Sesaran satu objek dari titik O adalah diberi seperti berikut, dengan t adalah masa dalam saat selepas objek melalui O. Tentukan The displacement of an object from point O is given as follows, where t is the time in seconds after passing O. Determine (i) bilakah sesaran ialah maksimum / minimum dan cari sesaran maksimum / minimum itu. when the displacement is maximum / minimum and find the maximum / minimum of the displacement. (ii) bilakah halaju adalah malar dan cari nilai halaju itu. when the velocity is uniform and find the value of the velocity. TP 4 CONTOH s = 3 2 t 2 − 1 6 t 3 + 7 2 t Penyelesaian: ds dt = 3t − 1 2 t 2 + 7 2 (i) Untuk sesaran maksimum atau minimum, For maximum or minimum displacement, ds dt = 0 3t − 1 2 t 2 + 7 2 = 0 (t + 1)(t − 7) = 0 t = 7 Apabila t = 7, s = 3 2 (7)2 − 1 6 (7)3 + 7 2 (7) = 5 40 6 m Untuk menentukan sesaran maksimum atau minimum. To determine maximum or minimum displacement. d2 s dt2 = 3 – t Apabila t = 7, d2 s dt2 = −4 < 0 Maka, s = 5 40 6 ialah maksimum. Hence, s = 5 40 6 is maximum. (ii) Untuk halaju malar, pecutan mesti 0. For a uniform velocity, the acceleration must be 0. Jadi, a = d2 s dt2 = 3 – t = 0 t = 3 Apabila t = 3, halaju malar When t = 3, the velocity is uniform. v = 3(3) – 1 2 (3)2 + 7 2 = 8 m s−1

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 181 8 (a) s = t 3 3 − 2t 2 − 12t + 4 ds dt = t 2 − 4t − 12 (i) Untuk sesaran maksimum atau minimum, For maximum or minimum displacement, ds dt = 0 t 2 − 4t −12 = 0 (t + 2)(t − 6) = 0 t = 6 Apabila t = 6, s = (6)3 3 − 2(6)2 − 12(6) + 4 = −68 m (ke kiri O) Untuk menentukan sesaran maksimum atau minimum. To determine maximum or minimum displacement. d2 s dt2 = 2t − 4 Apabila t = 6, d2 s dt2 = 8 > 0 Maka, s = −68 ialah minimum. Hence, s = −68 is minimum (ii) Untuk halaju malar, pecutan mesti 0. For a uniform velocity, the acceleration must be 0. Jadi, a = d2 s dt2 = 2t − 4 = 0 t = 2 Apabila t = 2, halaju malar When t = 2, the velocity is uniform. v = 22 − 4(2) − 12 = −16 m s−1 (b) s = −t 3 + 3t 2 + 9t ds dt = −3t 2 + 6t + 9 (i) Untuk sesaran maksimum atau minimum, For maximum or minimum displacement, ds dt = 0 −3t 2 + 6t + 9 = 0 t 2 − 2t − 3 = 0 (t + 1)(t − 3) = 0 t = 3 Apabila t = 3, s = −33 + 3(3)2 + 9(3) = 27 m (ke kanan O) Untuk menentukan sesaran maksimum atau minimum. To determine maximum or minimum displacement. d2 s dt2 = −6t + 6 Apabila t = 6, d2 s dt2 = −30 < 0 Maka, s = 27 m ialah maksimum. Hence, s = 27 m is maximum (ii) Untuk halaju malar, pecutan mesti 0 For a uniform velocity, the acceleration must be 0. Jadi, a = d2 s dt2 = −6t + 6 =0 t = 1 Apabila t = 1, halaju malar. When t = 1, the velocity is uniform. v = −3(1)2 + 6(1) + 9 = 12 m s−1 8. Sesaran satu objek dari titik O adalah diberi seperti berikut dengan t adalah masa dalam saat apabila objek melalui O. The displacement of an object from O is given as follows with t is the time in seconds after passing O. Tentukan / Determine (i) halaju awal. the initial velocity. (ii) pecutan awal dan pecutan apabila t = 2. the initial acceleration and the acceleration when t = 2. (iii) masa apabila halajunya adalah maksimum atau minimum. Tentukan nilai halaju maksimum atau minimumnya dengan lakaran graf halaju-masa. the time when the velocity is maximum or minimum. Determine the value of the maximum or minimum velocity with the velocity-time graph. TP 4

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 182 BAB 8 CONTOH s = 1 3 t 3 − 1 2 t2 + 4 Penyelesaian: (i) s = 1 3 t 3 − 1 2 t 2 + 4 ds dt = v = t2 − t Apabila t = 0, v = 0 m s−1 (ii) d2 s dt2 = dv dt = 2t – 1 Apabila t = 0, dv dt = 2(0) − 1 = −1 m s−2 Apabila t = 2, a = 2(2) − 1 = 3 m s−2 (iii) Apabila halaju maksimum atau minimum, dv dt = 0. When velocity is maximum or minimum, dv dt = 0. 2t − 1 = 0 t = 1 2 Untuk menentukan sama ada halaju maksimum atau minimum, kita guna To determine whether the velocity is maximum or minimum, we use d2 v dt2 = 2 (> 0 minimum) Maka, apabila t = 1 2 , halaju minimum = ( 1 2 )2 − 1 2 = 1 – 4 m s−1 (ke arah kiri) Hence, when t = 1 2 , the minimum velocity = ( 1 2 )2 − 1 2 = 1 – 4 m s−1 (to the left) (a) s = −2t 3 + 6t 2 + 5 (i) ds dt = v = −6t 2 + 12t Apabila t = 0, v = 0 m s−1 (ii) dv dt = −12t + 12 Apabila t = 0, a = 12 m s−2 Apabila t = 2, a = −12(2) + 12 = −12 m s−2 (iii)Apabila halaju maksimum atau minimum, dv dt = 0. When velocity is maximum or minimum, dv dt = 0. −12t + 12 = 0 t = 1 Untuk menentukan sama ada maksimum atau minimum, kita guna To determine whether the velocity is maximum or minimum, we use d2 v dt2 = −12 (< 0 maksimum) Maka, apabila t = 1, halaju maksimum = −6(1)2 + 12 = 6 m s−1 (ke arah kanan / to the right) (b) s = 3t 3 − 15 2 t 2 + 6t (i) ds dt = 9t 2 − 15t + 6 Apabila t = 0, v = 6 m s−1 (ii) dv dt = 18t − 15 Apabila t = 0, a = −15 m s−2 Apabila t = 2, a = 18(2) − 15 = 21 m s−2 (iii)Apabila halaju maksimum atau minimum, dv dt = 0. 18t − 15 = 0 t = 5 6 Untuk menentukan sama ada maksimum atau minimum, kita guna To determine whether the velocity is maximum or minimum, we use d2 v dt2 = 18 ( > 0 minimum) Maka, apabila t = 5 6 , halaju mininum = 9 5 6 2 2 − 15 5 6 2 + 6 = 1 – 4 m s−1 ( ke arah kiri / to the left) 1 v – 0 t 1 4 2 v 0 t 1 6 v t – 1 4 2 3

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 183 NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN 8 NOTA IMBASAN NOTA IMBASAN 8.3 Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear Integration in Kinematics of Linear Motion 1. Halaju seketika suatu zarah dapat diperolehi dari fungsi pecutan dengan cara pengamiran, iaitu a = dv dt . Instantaneous velocity of a particle is obtained from the acceleration function by integration, that is a = dv dt . ∫a dt = ∫dv = v 2. Dengan proses yang serupa, sesaran seketika suatu zarah boleh didapati daripada fungsi halaju dengan cara pengamiran, iaitu v = ds dt . With the similar process, the instantaneous displacement of a particle is obtained from the velocity function by integration, that is v = ds dt . ∫v dt = ∫ds = s 3. Secara Am / In general 4. Jumlah jarak yang dilalui boleh didapati dengan mencari luas di bawah graf halaju-masa, misalnya The total distance travelled can be obtained by finding the area under the velocity-time graph. For instant Jumlah jarak bagi masa 0 ≤ t ≤ t3 ialah jumlah luas yang berlorek, iaitu Total distance for time 0 ≤ t ≤ t3 is the total shaded area, that is ∫ t 1 0 f(t) dt + |∫ t2 t 1 f(t) dt| + ∫ t3 t 2 f(t) dt Sesaran, s = f(t) Displacement Halaju, v = g(t) Velocity Pecutan, a = h(t) Acceleration s = ∫v dt v = ∫a dt v = ds dt a = dv dt v(m s–1 ) v = f(t) t(s) 0 t1 t2 t3

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 184 BAB 8 9. Suatu zarah bergerak dalam satu garis lurus supaya melalui titik tetap O dengan halaju awal yang diberi dan pecutannya a m s−2 dan t ialah masa dalam saat selepas melalui O. A particle moves on a straight line so that it passes a fixed point O with the given initial velocity and the acceleration a m s−2 and t is the time in second after passing O. TP 4 Tentukan / Determine (i) halaju zarah apabila t = 2. the velocity when t = 2. (ii halaju zarah apabila pecutan ialah sifar. the velocity when the acceleration is zero. CONTOH a = 9 − 4t 2 , halaju awal / initial velocity = 5 m s−1 (i) a = dv dt = 9 − 4t 2 dv = (9 − 4t 2 )dt ∫dv = ∫(9 − 4t 2 )dt v = 9t − 4 3 t 3 + c Apabila t = 0, v = 5. Maka, c = 5. v = 9t − 4 3 t 3 + 5 Apabila t = 2, v = 9(2) − 4 3 (2)3 + 5 = 1 12 3 m s−1 (ii) Apabila pecutan ialah sifar, When the acceleration is zero 9 − 4t 2 = 0 t = 3 2 Maka / Hence v = 9 3 2 2 − 4 3  3 2 2 3 + 5 = 14 m s−1 (a) a = 12 − 4t, halaju awal / initial velocity = −2 m s−1 (i) a = dv dt = 12 − 4t dv = (12 − 4t) dt ∫dv = ∫12t − 4t dt v = 12t − 2t2 + c Apabila t = 0, v = −2. Maka, c = −2 v = 12t − 2t 2 − 2 Apabila t = 2, v = 12(2) − 2(2)2 – 2 = 14 m s−1 (ii) Apabila pecutan ialah sifar, When the acceleration is zero 12 − 4t = 0 t = 3 Maka / Hence, v = 12(3) − 2(3)2 − 2 = 16 m s−1 (b) a = 2t − 3, halaju awal / initial velocity = 10 m s−1 (i) a = dv dt = 2t − 3 dv = (2t − 3)dt ∫dv = ∫2t − 3 dt v = t 2 − 3t + c Apabila t = 0, v = 10. Maka, c = 10 v = t 2 − 3t + 10 Apabila t = 2, v = (2)2 − 3(2) + 10 = 8 m s−1 (ii) Apabila pecutan ialah sifar, When the acceleration is zero 2t − 3 = 0 t = 3 2 Maka / Hence, v = 1 3 2  2 − 31 3 2  + 10 = 3 7 4 m s–1

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 185 8 10. Satu zarah melalui titik O dengan halaju v m s−1 dan bergerak dalam satu garis lurus dengan pecutan a m s−2 dan t ialah masa dalam saat selepas melalui O. A particle passes through O with the velocity v m s−1 and moves on a straight line with the acceleration a m s−2 and t is the time in second after passing O. TP 4 Cari / Find (i) masa dan halaju apabila pecutan ialah 2 m s−2. the time and the velocity when the acceleration is 2 m s−2. (ii) sesaran dan masa apabila halaju maksimum atau minimum. the displacement and the time when the velocity is maximum or minimum. CONTOH a = 5t − 3 dan halaju awal ialah −4 m s−1. a = 5t − 3 and the initial velocity is −4 m s−1. (i) a = dv dt = 5t − 3 dv = (5t − 3) dt ∫dv = ∫(5t − 3) dt v = 5 2 t 2 − 3t + c Apabila t = 0, v = −4. Maka, c = −4 When t = 0, v = –4. Hence, c = −4 v = 5 2 t 2 − 3t + c = 5 2 t 2 − 3t − 4 Apabila/When a = 2, 5t − 3 = 2 t = 1 v = 5 2 (1)2 − 3(1) − 4 v = 1 –4 2 m s– 1 2 (ii) s = ∫vdt =∫[ 5 2 t 2 − 3t − 4]dt = 5 6 t 3 − 3 2 t 2 − 4t + c Apabila t = 0, s = 0, c = 0 s = 5 6 t 3 − 3 2 t 2 − 4t Apabila halaju maksimum atau minimum, When the velocity is maximum or minimum, dv dt = 0, 5t − 3 = 0 t = 3 5 s = 5 6 1 3 5 2 3 − 321 3 5 2 2 − 41 3 5 2 = 37 –13 50 m (a) a = 4 − t dan halaju ialah −5 m s−1 apabila t = 2 s. a = 4 − t and the velocity is −5 m s−1 when t = 2 s. (i) a = dv dt = 4 − t dv = (4 − t) dt ∫dv = ∫(4 − t) dt v = 4t – 1 2 t 2 + c Apabila/When t = 2, v = −5. Maka/Hence −5 = 4(2) – 1 2 (2)2 + c c = −11 v = 4t – 1 2 t 2 − 11 Apabila/When a = 2, 4 − t = 2 t = 2 v = 4(2) – 1 2 (2)2 − 11 v = −5 m s−1 (ii) s = ∫v dt =∫[ –1 2 t 2 + 4t −11] dt = –1 6 t 3 + 2t 2 − 11t + c Apabila/When t = 0, s = 0, c = 0 s = –1 6 t 3 + 2t 2 − 11t Apabila halaju maksimum atau minimum. When the velocity is maximum or minimum. dv dt = 0, 4 − t = 0 t = 4 s = –1 6 (4)3 + 2(4)2 − 11(4) = 2 –22 3 m

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 186 BAB 8 (b) a = 6t dan halaju ialah 4 m s−1 apabila t = 1 s. a = 6t and the velocity is 4 m s−1 when t = 1 s. 11. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Halajunya, v m s−1 atau pecutan, a m s−2 diberi berikut, t ialah masa dalam saat selepas zarah itu melalui satu titik tetap O. Dengan lakaran graf halaju-masa, cari jumlah jarak yang dilalui dalam julat masa itu. A particle moves along a straight line. The velocity, v m s−1 or acceleration, a m s−2 is given as follows, t is the time in second after the particle passing through a fixed point O. With a velocity –time graph, find the total distance travelled in the given time interval. TP 4 (ii) s = ∫v dt = ∫[3t 2 + 1] dt = t 3 + t + c Apabila t = 0, s = 0, c = 0 s = t 3 + t Apabila halaju maksimum atau minimum. When the velocity is maximum or minimum. dv dt = 0, 6t = 0 t = 0 Jadi/So s = 0 (i) a = dv dt = 6t dv = (6t) dt ∫dv = ∫(6t) dt v = 3t 2 + c Apabila/When t = 1, v = 4. Maka/Hence 4 = 3(1)2 + c c = 1 v = 3t 2 + 1 Apabila a = 2, 6t = 2 t = 1 3 v = 3 1 3 2 2 + 1 v = 1 1 3 m s−1 CONTOH a = 6t − 8, halaju awal / initial velocity = 4 m s−1 Lakaran graf halaju–masa: Velocity–time graph: v t 0 4 2 2 3 Penyelesaian: Cari persamaan v / Find the equation of v: a = dv dt = 6t − 8 dv = (6t − 8) dt ∫dv = ∫(6t − 8) dt v = 3t 2 − 8t + c Apabila/When t = 0, v = 4, maka/so c = 4 v = 3t 2 − 8t + 4 Jumlah jarak yang dilalui dalam masa yang diberi: Total distance travelled in the given time interval: 0 ≤ t ≤ 2 Luas dari 0 hingga 2 3 ialah / Area from 0 to 2 3 is s1 = ∫ 2 3 0 (3t 2 − 8t + 4)dt = 3t 3 − 4t 2 + 4t 4 2 3 0 = 3 2 3 4 3 − 43 2 3 4 2 + 43 2 3 4 = 5 1 27 m Luas dari t = 2 3 ke t = 2/Area from t = 2 3 to t = 2 s2 = ∫ 2 (3t 2 − 8t + 4)dt 2 3 = [t 3 − 4t 2 + 4t] 2 2 3 = [23 − 4(2)2 + 4(2)] − 13 2 3 4 3 − 43 2 3 4 2 + 43 2 3 42 = − 5 1 27 m Jumlah jarak/Total distance = 5 1 27 + 5 1 27 = 10 2 27 m

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 187 8 (a) v = 12t − 2t 2 Lakaran graf halaju–masa: Velocity–time graph: 3 ≤ t ≤ 8 v = 2t(6 − t) Luas dari 3 hingga 6 ialah The area from 3 to 6 is s1 = ∫ 6 3 (12t − 2t 2 )dt = [6t 2 − 2 3 t 3 ] 6 3 = [6[6]2 − 2 3 (6)3 ] − [6(3)2 − 2 3 (3)3 ] = 36 m Luas dari t = 6 ke t = 8 The area from t = 6 to t = 8. s2 = ∫ 8 6 (12t − 2t 2 )dt = [6t 2 − 2 3 t 3 ] 8 6 = [6[8]2 − 2 3 (8)3 ] − [6(6)2 − 2 3 (6)3 ] = 1 –29 3 Jumlah jarak/Total distance = 36 + 1 29 3 = 1 65 3 m (b) a = (2 − t)2 dengan halaju sifar apabila t = 2. a = (2 − t)2 with zero velocity when t = 2. Lakaran graf halaju–masa: Velocity–time graph: 2 ≤ t ≤ 4 a = dv dt = (2 − t)2 dv = (2 − t)2 dt ∫dv = ∫(2 − t)2 dt v = (2 – t)3 –3 + c Apabila/When t = 2, maka/hence c = 0, v = (2 – t)3 –3 Jarak/Distance s = ∫ 4 2 (2 – t)3 –3 dt =[(2 – t)4 3(4) ] 4 2 = 4 3 m v t 0 3 6 8 v t 0 2 4 – 8 3

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 188 BAB 8 8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear Applications of Kinematics of Linear Motion 12. Selesaikan yang berikut. Solve the following. TP 6 CONTOH O A P Rajah menunjukkan suatu garis lurus yang mengandungi dua titik tetap, O dan A. Zarah P bergerak pada garis lurus itu. Halajunya, v m s−1 diberi oleh v = 6t − 12, dengan keadaan t ialah masa, dalam saat, selepas melalui A. The diagram shows a straight line with two fixed points, O and A. A particle P moves on the line. The velocity, v m s−1 is given by v = 6t − 12, where t is the time, in seconds, after passing through A. (i) Cari julat masa bagi pergerakannya ke arah O. Find the range of time for the movement towards O. (ii) Jika jarak OA = 12 m, tentukan sama ada zarah itu sampai ke O dalam pergerakannya. If the distance OA = 12 m, determine whether the particle reaches O during its journey. (iii) Cari jumlah jarak yang dilalui dalam 8 saat yang pertama Find the total distance travelled in the first 8 seconds. (iv) Lakarkan graf bagi sesaran–masa untuk 0 ≤ t ≤ 8. Sketch the displacement–time graph for 0 ≤ t ≤ 8. Penyelesaian: (i) 6t – 12 < 0 6t < 12 t < 2 ∴ Jarak/Distance 0 ≤ t < 2 (ii) s = ∫(6t – 12)dt s = 3t 2 – 12t + c Apabila/When t = 0 s = 12 s = 3t 2 – 12t + 12 Apabila/When s = 0 3t 2 – 12t + 12 = 0 t 2 – 4t + 4 = 0 (t – 2)2 = 0 t = 2s Apabila/When t = 2, v = 6(2) – 12 = 0 ms–1 Zarah berhenti di 0 The particle stops at 0. (iii) Jumlah jarak = 1 2 (2)(12) + 1 2 (6)(36) = 12 + 108 = 120 m (iv) 12 0 2 8 t s (8, 108) 3 0 –12 2 8 v t (8, 36)

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 189 8 (a) Sebuah kereta mainan bergerak dengan keadaan rehat dari satu titik tetap O. Pecutannya ialah a m s−2, diberi oleh a = 8 − 2t dan t ialah masa, dalam saat, selepas melalui titik O. Cari A toy car moves at rest from a fixed point O. The acceleration is a m s−2, given by a = 8 − 2t and t is the time, in seconds, after passing O. Find (i) halaju maksimumnya. the maximum velocity. (ii) sesaran maksimumnya. the maximum displacement. (iii) masa yang diambil untuk kereta mainan kembali ke O. the time taken for the toy car to return to O again. (iv) jumlah jarak yang dilalui dalam 6 saat yang pertama. the total distance travelled in the first 6 seconds. (b) Suatu zarah bergerak dalam satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju 3 2 m s−1. Zarah bergerak t s selepas melalui O, pecutannya f m s−2, diberi oleh f = a + bt, dengan keadaan a dan b adalah pemalar. Jika diberi halajunya ialah 7 2 m s−1 apabila t = 2 dan zarah berhenti seketika apabila t = 3. A particle moves along a straight line and passes through a fixed point O with a velocity of 3 2 m s−1. The particle moves at t s after passing through O, the acceleration f m s−2, is given by f = a + bt, where a and b are constants. If the velocity is 7 2 m s−1 when t = 2 and the particle stops instantaneously when t = 3 (i) Cari nilai a dan nilai b. Find the value of a and of b. (ii) Tentukan jarak yang dilalui dalam saat kedua. (i) a = 8 – 2t Determine the distance travelled in the 2nd second. v = 8t – t 2 + c t = 0 v = 0 c = 0 v = 8t – t 2 Apabila vmak, 8 – 2t = 0 t = 4 ∴ v = 8(4) – 42 = 16 m s–1 (ii) s = 4t2 – t 3 3 + c t = 0, s = 0 c = 0 s = 4t 2 – 1 3 t 3 Untuk smak, 8t – t 2 = 0 t[8 – t] = 0 t = 0 ; t = 8 Apabila t = 8, s = 4(8)2 – 1 3 (8)3 = 1 85 3 m (iii) Apabila balik ke O, s = 0 4t 2 – 1 3 t 3 = 0 t 2 [4 – 1 3 t] = 0 t = 0 t = 12 (iv) s = ∫ 6 0 (8t – t 2 )dt = [4t 2 – 1 3 t 3 ] 6 0 = 72 m O 6 8 t v (i) t = 0 v = 3 2 ∫ = a + bt v = at + b 2 t 2 + c t = 0 v = 3 2 c = 3 2 v = at + b 2 t2 + 3 2 Apabila t = 2 v = 7 2 7 2 = 2a + 2b + 3 2 a + b = 1 v = 0, t = 3 0 = 3a + 9b 2 + 3 2 –3 = 6a + 9b –1 = 2a + 3b = 2(1 – b) + 3b –3 = b, a = 4 ∴ 4t – 3 2 t 2 + 3 2 (ii) s = ∫ 2 14t – 3 2 t 2 + 3 2 2dt = 32t 2 – 1 2 t 3 + 3 2 t 4 2 1 = 3(2(2)2 – 4 + 3) – 2 – 1 2 + 3 2 24 = 4 m

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 190 BAB 8 (c) Satu zarah bergerak di sepanjang suatu garis lurus dari satu titik tetap O. Halajunya, v m s−1 diberi oleh v = 6t – kt2 , dengan t ialah masa, dalam saat, selepas melalui titik O. Jika pecutannya ialah 2 m s−2 apabila t = 2, cari A particle moves along a straight line from O. Its velocity, v m s−1 is given by v = 6t – kt2, where t is the time, in seconds, after passing through O. If the acceleration is 2 m s−2 when t = 2, find (i) nilai k. the value of k. (ii) halaju maksimum the maximum velocity. (iii) masa apabila zarah itu melalui O semula. the time when the particle passes through O again. (d) Suatu objek bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju −10 m s−1. Pecutannya, a m s−2, diberi oleh a = p − 3t 2 , dengan t ialah masa, dalam saat, selepas melalui O. Jarak yang dilalui oleh zarah itu dari masa t = 1 hingga t = 2 ialah 1 4 4 m. Cari A particle moves along a straight line and passes through a fixed point O with a velocity of −10 m s−1. The acceleration, a m s−2, is given by a = p − 3t2, where t is the time, in seconds, after passing through O. The distance travelled by the particle from the time of t = 1 to t = 2 is 1 4 4 m. Find (i) nilai p. the value of p. (ii) halaju maksimum. (i) v = 6t – kt the maximum velocity. 2 a = dv dt = 6 – 2kt Apabila t = 2, a = 2 2 = 6 – 2k(2) –4 = –4k k = 1 v = 6t – t 2 (ii) dv dt = 6 – 2t = 0 t = 3 Apabila t = 3 v = 6(3) – 32 = 18 – 9 = 9 vmak = 9 m s–1 (iii)s = 3t 2 – t 3 3 + c t = 0; s = 0, c = 0 s = 3t 2 – t 3 3 Apabila kembali ke O When return to 0. s = 0 = t 2 33 – t 3 4 ∴ t = 9 s (i) s = 0 ; v = –10 a = p – 3t 2 v = pt – t 3 + c t = 0 v = –10 c = –10 v = pt – t 3 – 10 s = pt2 2 – 1 4 t 4 – 10t + c t = 1 s1 = p 2 – 1 4 – 10 + c t = 2 s2 = 4 2 p – 4 – 20 + c s2 – s1 = 3 2 p – 3 13 4 = 1 4 4 3 2 p = 18 p = 12 (ii) v = 12t – t 3 – 10 a = 12 – 3t 2 = 0 t = 2 vmak = 12(2) – 23 – 10 = 6 m s–1

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 191 8 PRAKTIS PRAKTIS SPM SPM 18 Kertas 1 1. Suatu zarah bergerak di sepanjang garis lurus dan melalui titik tetap O. Halajunya, v m s−1, diberi oleh v = at2 − 8t, dengan keadaan a adalah pemalar dan t ialah masa, dalam saat, selepas melalui O. Pecutannya ialah 12 m s−2 apabila t = 4 s. Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai positif. Cari A particle moves along a straight line and passes through a fixed point O. Its velocity, v m s−1, is given by v = at2 − 8t, where a is a constant and t is the time, in seconds, after passing O. The acceleration is 12 m s−2 when t = 4 s. Assumming movement to the right is positive. Find (a) nilai a. the value of a. (b) julat masa apabila halaju menyusut. the range of time when the velocity decreases. (c) masa dalam saat apabila zarah berhenti seketika. the time in seconds when the particle stops instantaneously. (d) jumlah jarak yang dilalui dalam 3 saat pertama the total distance travelled in the first 3 seconds. (a) v = at2 – 8t a = dv dt = 2at – 8 Apabila t = 4, a = 12 12 = 8a – 8 a = 5 2 (b) v = 5 2 t 2 – 8t v = t[ 5 2 t – 8] ∴ 8 5 < t < 16 5 (c) 5 2 t 2 – 8t = 0 t[ 5 2 t – 8] = 0 t = 16 5 s (d) s = ∫ 3 0 ( 5 2 t 2 – 8t)dt = [ 5 6 t 3 – 4t 2 ] 3 0 = 13.5 m 2. Rajah menunjukkan kedudukan awal dan arah pergerakan zarah P dan Q. Kedua-dua zarah bergerak secara serentak. The diagram shows the initial position and the direction of the movement of P and Q. The two particles move simultaneously. P O A Q 13 m Halaju bagi zarah P, vp diberi oleh 6t 2 + 12 dan sesaran bagi zarah Q, sQ m dari A diberi oleh sQ = 2t 3 – t, dengan keadaan t ialah masa, dalam saat, selepas zarah P melalui O dan zarah Q melalui A. The velocity of P is given by 6t2 + 12 and the displacement of Q, sQ m from A is given by sQ = 2t3 – t, where t is the time, in seconds, after particle P passes through O and particle Q passes through A. (a) Cari halaju awal bagi zarah Q. Find the initlal velocity of Q. (b) Cari jumlah jarak dilalui oleh zarah Q dalam 3 saat yang pertama. Find the total distance travelled by Q in the first three seconds. (c) Hitung jarak pergerakan bagi kedua-dua zarah P dan Q, dalam m, apabila mereka bertemu. Calculate the distance travelled by both the particles, P and Q, in m, when they meet. 0 t v –2 8 5 16 5 2016 2017

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 192 BAB 8 (a) P O A Q 13 m vP = 6t 2 + 12 SQ = 2t 3 – t dsQ dt = 6t 2 – 1 Apabila t = 0 dsQ dt = –1 ∴vQ = –1 m s–1 (b) s1 = ∫ 1 6 0 (6t 2 – 1)dt = (2t 3 – t) 1 6 0 =  ( 2 6 6 – 1 6 ) =  –2 3 6  = 2 3 6 m s2 = ∫ 3 (6t 2 – 1)dt 1 6 = 3(2t 3 – t)4 3 1 6 = 51 – [ 2 6 6 – 1 6 ] = 51 – [– 2 3 6 ] = 51 + 2 3 6 Jumlah jarak = 51 + 4 3 6 Total distance = 51.54 m (c) sp = 2t 3 + 12t + c Apabila t = 0 sp = –13 sp = 2t 3 + 12t – 13 Apabila berselisah sp = sQ 2t 3 + 12t – 13 = 2t 3 – t 13t = 13 t = 1 sp = 2 + 12 – 13 = 1 m sQ = 2 – 1 = 1 m dari A 3. Dua zarah, P dan Q bergerak di sepanjang satu garis lurus, dengan keadaan sesaran zarah-zarah dari satu titik tetap O ialah s m. Zarah P bergerak dari A dengan sp = 6 + 6t − 6t 2 dan pada masa yang sama, zarah Q mula bergerak dari B dengan sQ = 4t 2 − 6t – 10, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas kedua-dua zarah mula bergerak. Two particles, P and Q move along a straight line, such that the displacement of the particles from a fixed point O is s m. Particle P moves from A with sp = 6 + 6t − 6t 2 and at the same time, particle Q moves from B with sQ = 4t 2 − 6t – 10, where t is the time in seconds after the two particles start moving. (a) Cari jarak di antara A dan B. Find the distance between A and B. (b) Cari masa, dalam saat, apabila kedua-dua zarah itu bertemu. Find the time, in seconds, when the two particles meet. (c) Hitung jumlah jarak yang dilalui oleh zarah P apabila zarah-zarah itu bertemu. Calculate the total distance travelled by particle P when the particles meet. (a) Sp = 6 + 6t – 6t 2 Bila t = 0, Sp = 6 m SQ = 4t 2 – 6t – 10 Bila t = 0, SQ = –10 m ∴ jarak AB = 10 + 6 = 16 m (b) Sp = SQ 6 + 6t – 6t 2 = 4t 2 – 6t – 10 10t 2 – 12t – 16 = 0 5t 2 – 6t – 8 = 0 (5t + 4)(t – 2) = 0 ∴ t = 2 (c) vp = 6 – 12t Jarak oleh P = 1 2 (6)( 1 2 ) + 1 2 ( 3 2 )(18) = 3 2 + 27 2 = 30 2 = 15 m 4. Suatu zarah bergerak di sepanjang garis lurus dan melalui titik tetap O. Halajunya, v m s−1, diberi oleh v = t 3 − 5t 2 + 4t, dengan t ialah masa, dalam saat, selepas melalui O. Cari A particle moves in a straight line and passes through O. Its velocity, v m s–1 is given by v = t3 − 5t2 + 4t, where t is the time, in seconds, after passing through O. Find (a) pecutan awal zarah itu. the initial acceleration of the particle. Q B A P 0 6m 0 3 t vQ 1 fiff6 2018 0 1 2 t v 6 9 2019

BAB Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 8 Kinematik Gerakan Linear 193 8 (b) julat masa, dalam saat, apabila pecutan zarah itu kurang daripada 12 m s−2. the time interval, in seconds, when the acceration of the particle is less than 12 m s−2. (c) masa, dalam saat, apabila zarah berhenti seketika. the time, in seconds, when the particle stops instantaneously. (d) jumlah jarak yang dilalui oleh zarah sehingga ia berhenti seketika pada kali kedua the total distance travelled by the particle until the second time it stops momentarily. (a) v = t 3 – 5t 2 + 4t a = dv dt = 3t 2 – 10t + 4 Apabila t = 0, a = 4 m s–2 (b) 3t 2 – 10t + 4 < 12 3t 2 – 10t – 8 < 0 (3t + 2)(t – 4)< 0 0 ≤ t < 4 (c) v = 0 = t[t 2 – 5t + 4] t[(t – 4)(t – 1) = 0 t = 0 t = 1; 4 ∴ t = 1 atau 4 (d) s = ∫ 1 0 t 3 – 5t 2 + 4t dt + ∫ 4 1 t 3 – 5t 2 + 4t dt = 3 t 4 4 – 5 3 t 3 + 2t 2 4 1 0 + 3 t 4 4 – 5 3 t 3 + 2t 2 4 4 1 = 1 1 4 – 5 3 + 22 + 1 256 4 – 320 3 + 322 = 7 12 +  – 1 11 4  = 5 11 6 m v t 0 1 4 Sudut Sudut KBAT KBAT v = 0 = 36t – 18t 2 0 = 18t[2 – t] t = 0 ; 2 ∴t = 2 s ke B (b) a = dv dt = 36 – 36t Apabila t = 2, a = 36 – 72 = –36 m s–2 (c) vmak apabila dv dt = 0, t = 1 v maks = 36(1) – 18(1)2 = 18 m s–1 (d) SAB = ∫ 2 0 (36t – 18t 2 )dt = [18t 2 – 6t 3 ] 2 0 = 24 m (e) Apabila s = 18t2 – 6t 3 = 0 6t2 [3 – t] = 0 t = 0 ; 3 ∴ t = 3 Satu zarah mula bergerak dari satu titik tetap A di sepanjang garis lurus dan menuju ke titik B. Apabila tiba ke B, zarah itu berhenti seketika dan kembali ke A. Jarak B dari A, t saat selepas melalui A ialah s meter dan halajunya pada ketika itu, v m s−1, diberi oleh v = 36t – 18t 2 . Cari A particle starts from a fixed point A along a straight line and moves towards B. When it reaches B, it stops instantaneously and then returns to A. The distance of B from A, t seconds after passing A is s metre and the velocity at that time, v m s−1, is given by v = 36t – 18t2. Find (a) masa yang diambil oleh zarah untuk bergerak dari A ke B. the time taken by the particle to move from A to B. (b) pecutan seketika apabila sampai ke B. the instantaneously acceleration when it reaches B. (c) halaju makimum dalam pergerakannya. the maximum velocity during the journey. (d) jarak AB. the distance AB. (e) masa apabila zarah kembali ke A lagi. the time when the particle is back to A again. (a) v = 36t – 18t 2 Apabila berhenti A B 0 2 t v KBAT Ekstra Praktis SPM Ekstra Quiz 8

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Kertas Pra-SPM 194 8 KERTAS PRA KERTAS PRA SPM SPM 1. (a) Tiga biji dadu dilambungkan serentak. Nombor yang diperoleh oleh dadu merah, putih dan hitam masing-masing ialah 1, 4, dan 5. Three dice are thrown simultaneously. The numbers appear on the red, white and black dice are 1, 4 and 5 respectively. (i) Lukis satu gambar rajah anak panah untuk mewakilkan hubungan warna dadu yang dilontar kepada nombor yang diperoleh. Draw an arrow diagram to show the relation between the colour of the thrown dice to the number obtained. (ii) Seterusnya, nyatakan jenis hubungan itu. Adakah hubungan ini satu fungsi? Then, state the type of relation. Is this a function? [2 markah / marks] (b) Diberi fungsi f : x → 8 ax + b, x ≠ k, a ≠ 0, f(1) = 13 6 dan f(2) = 5 6 . Given the function f : x → 8 ax + b, x ≠ k, a ≠ 0, f(1) = 13 6 and f(2) = 5 6 . (i) Nyatakan nilai k. State the value of k. (ii) Cari nilai a dan nilai b. Find the value of a and of b. (iii) Cari nilai h jika f(h) = 1 6 . Find the value of h if f(h) = 1 6 . [4 markah / marks] (a) (i) (ii) Satu kepada satu One to one (b) (i) k = 0 (ii) f(1) = 8 a + b = 13 6 ...➀ f(2) = 8 2a + b = 5 6 ...➁ ➀ – ➁ 4 a = 8 6 2a = 6 a = 3 b = 13 6 – 8 3 = 3 – 6 = 1 – 2 (iii) f(h) = 8 3h – 1 2 = 1 6 8 3h = 4 6 h = 4 2. (a) Diberi satu punca bagi persamaan kuadratik x2 + px + 3q = 0 ialah dua kali punca satu lagi. Given that one root of the quadratic equation x2 + px + 3q = 0 is two times the other root. Ungkapkan / Express (i) q dalam sebutan p. q in terms of p. (ii) fungsi kuadratik x2 + px + 3q dalam bentuk verteks dan seterusnya cari koordinat titik pusingan dalam sebutan p. the quadratic function x2 + px + 3q in its vertex form and then find the turning point in terms of p. [4 markah / marks] Kertas 1 / Paper 1 [2 jam / hours] Bahagian A / Section A [64 markah / marks] Jawab semua soalan. Answer all questions. Merah / Red Putih / White Hitam / Black 5 4 ➤ 1 ➤ ➤

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Kertas Pra-SPM 195 (b) Cari julat x bagi x(x − 2) > x + 4. Find the range of x for x(x − 2) > x + 4. [2 markah / marks] (a) (i) x2 + px + 3q = 0 α + 2α = –p 3α = –p α(2α) = 3q 2 –p 3  2 = 3q 2p2 = 27q q = 2p2 27 (ii) x2 + px + 3q = 1x + p 2 2 2 – p2 4 + 3q = 1x + p 2 2 2 – p2 4 + 2p2 9 = 1x + p 2 2 2 – p2 36 ∴ Titik pusingan 1 –p 2 , –p2 36 2 Turning point (b) x(x – 2) > x + 4 x2 – 2x – x – 4 > 0 x2 – 3x – 4 > 0 (x + 1)(x – 4) > 0 Julat x /Range of x ∴x < –1, x > 4 3. (a) Cari nilai p jika log2 8 + 2 log2 p = 5. Find the value of p if log2 8 + 2 log2 p = 5. [2 markah / marks] (b) Selesaikan / Solve 32x + 3 + 6(3x ) − 1 = 0 [3 markah / marks] (a) log2 8 + 2 log2 p = 5 3 + log2 p2 = 5 log2 p2 = 2 p2 = 22 p = 2 (b) 32x + 3 + 6(3x ) – 1 = 0 27·32x + 6(3x ) – 1 = 0 (9·3x – 1)(3·3x + 1) = 0 3x = 1 9 3x = 1 – 3 = –(3)–1 3x = 3–2 Tidak diterima x = –2 Rejected 4. (a) Jabatan Kerja Raya merancang akan membina tiga jalan raya. Juruteranya melukis pelan pada satu satah Cartes. Cari persamaan satu jalan raya, J3 yang mempunyai kecerunan 2 dan bertemu dengan titik persilangan di antara dua jalan raya lain yang mempunyai persamaan J2 , 2x − 3y + 1 = 0 dan J1 , x − 2y = 1. The Public Works Department plans to build three roads. The engineer draws the plan on the Cartesian plane. Find the equation of the road, J3 which has a gradient of 2 and meet the point of intersection between the other two roads which have the equations of J2, 2x − 3y + 1 = 0 and J1, x − 2y = 1. [3 markah / marks] (b) Ketiga-tiga jalan raya itu menyilang paksi-y. Jika jalan raya J3 bertemu paksi-y pada A, jalan raya J2 bertemu paksi-y pada B dan jalan raya J1 bertemu paksi-y pada C, cari nisbah AB : BC. The three roads intersect the y-axis. If the road J3 meets y-axis at A, the road J2 meets y-axis at B and the road J1 meets y-axis at C, find the ratio AB : BC. [3 markah / marks] (a) 2x – 3y + 1 = 0 ...➀ x – 2y = 1 x = 1 + 2y ...➁ 2[1 + 2y] – 3y + 1 = 0 2 + 4y – 3y + 1 = 0 y = –3 x = 1 – 6 = –5 ∴Titik persilangan (–5, –3) Intersection point Persamaan J3 (y + 3) = 2(x + 5) Equation J3 y = 2x + 7 (b) y = 2x + 7 J2 : y = 2 3 x + 1 3 J1 : y = 1 2 x – 1 2 AB : BC 17 − 1 3 2 : 1 1 3 – 1− 1 2 22 20 3 : 5 6 = 8 : 1 y A 7 1 3 B C x 1 0 – 2

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Kertas Pra-SPM 196 8 5. (a) Seekor kura-kura bergerak dalam satu garis lurus dengan jarak 2 m dalam minit pertama, 1.5 m dalam minit kedua dan untuk setiap minit yang seterusnya, ia bergerak sejauh 3 4 daripada jarak yang dibuat sebelumnya. Terdapat beberapa makanan yang diletakkan 9 m dari titik permulaan. Adakah kura-kura akan sampai ke makanan jika ia meneruskan perjalanan seperti yang dinyatakan? Terangkan. A tortoise moves in a straight line with a distance of 2 m in the first minute, 1.5 m in the second minute and for each subsequent minute, it moves 3 4 of the distance made previously. There is some food placed 9 m from the starting point. Will the tortoise reach the food if it continues its journey as stated? Explain. [3 markah / marks] (b) Tiga sebutan positif yang berbeza, 2, x, y adalah sebutan berturutan bagi suatu janjang geometri. Jika ketiga-tiga sebutan itu juga adalah sebutan pertama, ke-2 dan ke-12 satu janjang aritmetik, cari nilai-nilai x dan y. Three different positive terms, 2, x, y are consecutive terms for a geometric progression. If the three terms are also the first , 2nd and the 12th terms of an arithmetic progression. Find the values of x and y. [3 markah / marks] (a) 2, 1.5, ... a = 2 , r = 3 4 S∞ = a 1 – r = 2 1 – 3 4 = 8 m Tidak sampai tempat makanan. Not reach the food. (b) x 2 = y x y = x2 2 a = 2 a + d = x ⇒ d = x – 2 a + 11d = y 2 + 11(x – 2) = x2 2 2 + 11x – 22 = x2 2 2(11x – 20) = x2 x2 – 22x + 40 = 0 (x – 20)(x – 2) = 0 x = 20 ; 2 y = 200, 2 2, 20, 200, x = 2, y = 2 ∴x = 20, y = 200 tidak diterima 6. Diberi persamaan x2 − (2k + 4)x + 3k + 2 = 0 mempunyai punca-punca berbeza dan nyata, dan perbezaan di antara kedua- dua punca ialah 4. Given the equation x2 − (2k + 4)x + 3k + 2 = 0 has different and real roots, and the difference between the roots is 4. (a) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k. Find the possible values of k. (b) Seterusnya, cari punca-punca yang mungkin. Then, find the possible roots [5 markah / marks] (a) α, α + 4 α + α + 4 = 2k + 4 2α + 4 = 2k + 4 α = k α(α + 4) = 3k + 2 k(k + 4) = 3k + 2 k2 + k – 2 = 0 (k – 1)(k + 2) = 0 k = 1 ; –2 (b) Jika k = 1 x2 – 6x + 5 = 0 (x –1)(x – 5) = 0 Jika k = –2 x2 – 4 = 0 x = ±2 7. (a) Terdapat tiga buah bot permainan, Q, R dan S dalam satu kolam. Kedudukan masing- masing jika merujuk kepada titik P ialah → PQ = −2 i ~ + j ~ , → PR = 2 i ~ + 5 j ~ dan → PS = 4 i ~ + 7 j ~ . Adakah ketiga-tiga bot itu segaris? Three toy boats, Q, R and S are in a pond. The respective positions if referring to point P are → PQ = −2 i ~ + j ~, → PR = 2 i ~ + 5 j ~ and → PS = 4 i ~ + 7 j ~. Are the three boats collinear? [3 markah / marks] (b) Bot Q mula bergerak pada masa yang sama dengan bot R pada arah yang sama. Halaju Q dan R masing-masing ialah v ~q = (5 i ~ + 6 j ~ ) m s−1 dan v ~r = (a i ~ + 3 j ~ ) m s−1. Cari nilai a. Boat Q starts to move at the same time as boat R in the same direction. The velocities of Q and R are v ~q = (5 i ~ + 6 j ~) m s−1 and v ~r = (a i ~ + 3 j ~) m s−1 respectively. Find the value of a. [3 markah / marks] (a) → PQ = –2 i ~ + j → ~ PR = 2 i ~ + 5 j → ~ PS = 4 i ~ + 7 j ~

Matematik Tambahan Tingkatan 5 Kertas Pra-SPM 197 → QR = → QP + → PR = 1 2 –12 + 1 2 5 2 = 1 4 4 2 → QS = → QP + → PS = 1 2 –12 + 1 4 7 2 = 1 6 6 2 → QR = 4(i ~ + j ~ ) → QS = 6(i ~ + j ~ ) = 6 4 → QR → QS = 3 2 → QR Oleh sebab titik Q ialah titik sepunya dan → QS = 3 2 → QR. Q, R dan S adalah segaris. Since point Q is a common point and → QS = 3 2 → QR. Q, R and S are collinear. (b) v ~q = 5 i ~ + 6 j ~ , v ~r = a i ~ + 3 j ~ 6 5 = 3 a 6a = 15 a = 5 2 8. (a) Rajah 1 menunjukkan graf lengkung y = 2x2 − 8. Lengkung itu diungkapkan dalam bentuk linear Y = −8X + c dan dilukis dalam graf garis lurus seperti ditunjukkan. Diagram 1 shows a curve y = 2x2 − 8. The curve is expressed in linear form Y = −8X + c and drawn in the graph of a straight line as shown. Rajah 1 / Diagram 1 (i) Ungkapkan X dan Y dalam sebutan x dan/ atau y. Express X and Y in terms of x and/or y (ii) Cari nilai k. Find the value of k. [2 markah / marks] (b) Satu hukum yang berbentuk y = axn menghubungkan pemboleh ubah x dan y. Daripada satu set nilai-nilai x dan y, graf log10 y melawan log10 x dilukis. Didapati bahawa dari garis lurus penyuaian terbaik mempunyai kecerunan 2 dan pintasan log10 y ialah 1.3, anggarkan nilai a dan n. A law in the form y = axn relates the variables x and y. From a set of values of x and y, the log10 y graph against log10 x is drawn. It is found that from the line of best fit has a gradient of 2 and the intercept of log10 y is 1.3, estimate the value of a and of n. [2 markah / marks] (a) (i) y = 2x2 − 8 y x2 = – 8 x2 + 2 Y = y x2 , X = 1 x2 , m = −8 , c = 2 (ii) k = −8(2) + 2 = −14 (b) y = axn log y = log a + n log x n = 2 log a = 1.3 a ≈ 20 9. (a) Diberi y = 1 (x + 2)(x – 3), buktikan dy dx + y2 (2x − 1) = 0. Given y = 1 (x + 2)(x – 3), prove that dy dx + y2(2x − 1) = 0. [3 markah / marks] (b) Isi padu air, V cm3 , di dalam sebuah tangki yang bocor adalah diberi oleh V = 100 − 2t − t 2 , dengan t ialah masa dalam saat. Cari The volume of the water, V cm3 , in a leaking tank is given by V = 100 − 2t − t2, where t is the time in seconds. Find (i) isi padu asal air di dalam tangki. the initial volume of water in the tank. (ii) kadar isi padu air mengalir keluar dari tangki apabila t = 4. the rate of the volume of water that flows out from the tank when t = 4. [2 markah / marks] (a) y = 1 (x + 2)(x – 3) = 1 (x2 – x – 6) dy dx = –(x2 – x – 6)–2(2x – 1) = 1 – 2x (x2 – x – 6)2 dy dx + y2 (2x – 1) = 1 – 2x (x2 – x – 6)2 + (2x – 1) (x + 2)2 (x – 3)2 = 0 (x + 2)2 (x – 3)2 = 0 0 y x y = 2x2 – 8 0 Y X 2 (2, k)