E-MODUL TEOREMA PYTHAGORAS

i

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI..............................................................................................................................ii
PYTHAGORAS.........................................................................................................................1
TEOREMA PYTHAGORAS ....................................................................................................2

1. PENGERTIAN ...............................................................................................................2
2. MENENTUKAN JENIS SEGITIGA .............................................................................5
3. TRIPEL PYTHAGORAS ...............................................................................................6
4. PENERAPAN TEOREMA PYTHAGORAS.................................................................8
CONTOH SOAL .......................................................................................................................9
SOAL LATIHAN ....................................................................................................................12
DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................................................17

ii

Pythagoras (582 SM – 496 SM) lahir di pulau Samos, di daerah
Ionia, Yunani Selatan. Salah satu peninggalan Pythagoras yang
paling terkenal hingga saat ini adalah teorema Pythagoras.
Teorema Pythagoras menyatakan bahwa kuadrat sisi miring suatu
segitiga sikusiku sama dengan jumlah kuadrat dari sisi-sisi yang
lain. Yang unik, ternyata rumus ini 1.000 tahun sebelum masa
Phytagoras. Orang-orang Yunani sudah mengenal penghitungan
“ajaib” ini. Walaupun faktanya isi teorema ini telah banyak
diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini
dianggap sebagai temuan Pythagoras, karena ia yang pertama
membuktikan pengamatan ini secara matematis. Pythagoras menggunakan metode aljabar
untuk membuktikan teorema ini.
Berdasarkan uraian di atas dapat kita ambil beberapa kesimpulan, antara lain:
1. Pythagoras adalah orang yang mempunyai rasa ingin tahu yang sangat tinggi. Sekalipun
teorema tentang segitiga siku-siku sudah dikenal masyarakat sebelumnya, tetapi dia
terus menggalinya sehingga dapat membuktikan kebenaran teorema tersebut secara
matematis.

2. Tanpa kita sadari ternyata bumi yang indah beserta kehidupan yang ada di dalamnya
ini tidak lepas dari perhitungan matematika. Oleh karena itu, kita perlu belajar
Matematika dengan lebih mendalam, sehingga bisa menguak rahasia alam sekaligus
membuktikan ke-Mahabesaran ciptaan Tuhan YME.

3. Matematika adalah ilmu yang menarik untuk kita pelajari, bukan ilmu yang
menyeramkan seperti dikatakan sebagian orang. Karena telah banyak sejarah yang
menceritakan tentang peran matematika dalam memajukan peradaban manusia, salah
satunya adalah teorema Pythagoras yang menjadi spelopor perkembangan ilmu
geometri dan arsitektur.

1

TEOREMA PYTHAGORAS
1. PENGERTIAN

Pythagoras adalah seorang ahli matematika dan filsafat berkebangsaan Yunani yang
hidup pada tahun 569-475 SM. Sebagai ahli matematika, ia mengungkapkan bahwa kuadrat
panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-
sisi yang lain (Sood, 2013). Untuk menentukan teorema pythagoras, ada beberapa langkah yang
dilakukan. Ambillah dua potong kertas berbentuk persegi berukuran (b+c) cm.

Gambar diatas menunjukkan persegi ABCD berukuran (a+b) cm. Pada keempat
sudutnya, dibuat empat segitiga siku-siku dengan panjang sisi sikusikunya b cm dan c cm. Luas
persegi ABCD sama dengan luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir) ditambah luas empat
segitiga siku-siku (luas daerah yang diarsir), sehingga diperoleh

Luas daerah yang diarsir = Luas empat segitiga siku-siku
= 4 1 2 = 2

Luas daerah yang tidak diarsir = Luas persegi PQRS
= = ^2

2

Selanjutnya buatlah persegi EFGH berukuran (b+c) cm seperti di bawah ini.

Pada dua buah sudutnya, dibuat empat segitiga siku-siku sedemikian sehingga
membentuk dua persegi panjang berukuran (b x c) cm. Luas persegi EFGH sama dengan luas
persegi (luas daerah yang tidak diarsir) ditambah luas empat segitiga siku-siku (luas daerah
yang diarsir), sehingga diperoleh

Luas daerah yang diarsir = luas dua persegi panjang
=2 = 2 c

Luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi KMGN + luas persegi OFML
= ( ) + ( ) = ^2 + ^2

Dari penjelasan sebelumnya terlihat bahwa ukuran persegi ABCD = ukuran persegi EFGh,
sehingga diperoleh

Luas persegi ABCD = Luas persegi EFGH
2 + ^2 = 2 + ^2 + ^2
^2 = ^2 + ^2

Kesimpulannya, luas daerah yang panjang sisinya adalah sisi miring suatu segitiga siku-
siku sama dengan jumlah luas daerah persegi yang panjang sisinya adalah siku-siku segitiga.

3

Kesimpulan tersebut selanjutnya dikenal dengan teorema Pythagoras. Yang
dirumuskan sebagai berikut: Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi
miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi lainnya.

Gambar segitiga ABC di atas adalah segitiga siku-siku dengan a panjang sisi miring,
sedangkan b dan c panjang siku-sikunya maka berlaku,

^2 = ^2 + ^2
^2 = ^2 – ^2
^2 = ^2 – ^2
KODE AR :

4

2. MENENTUKAN JENIS SEGITIGA DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA
PYTHAGORAS

Selain untuk menghitung Panjang sisi segitiga siku-siku, teorema Pythagoras juga dapat
digunakan untuk menentukan jenis-jenis segitiga. Berdasarkan besar sudutnya, jenis segitiga
dibagi menjadi tiga yaitu, segitiga tumpul, segitiga siku-siku, dan segitiga lancip.

a. Pada segitiga tumpul, salah satu sudutnya berukuran lebih dari 90 derajat.
Jika pada suatu segitiga berlaku kuadrat sisi terpanjang lebih dari jumlah kuadrat sisi-
sisi yang lain, maka segitiga itu adalah segitiga tumpul.

b. Segitiga Siku-siku, salah satu sudutnya berukuran 90 derajat.
Jika pada suatu segitiga berlaku kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat
sisi-sisi yang lain, maka segitiga itu adalah segitiga siku-siku.

c. Segitiga lancip semua sudutnya berukuran dari 90 derajat.
Jika pada suatu segitiga berlaku kuadrat sisi terpanjang kurang dari jumlah kuadrat
sisi-sisi yang lain, maka segitiga itu adalah segitiga lancip.

5

3. TRIPEL PYTHAGORAS
Panjang sisi-sisi dari segitiga siku-siku sering kali dinyatakan dalam tiga bilangan asli.

Nah, tiga bilangan asli yang memenuhi persamaan pada teorema Pythagoras disebut Tripel
Pythagoras.

Tripel Phytagoras yaitu berbagai bilangan bulat positif yang kuadrat bilangan
terbesarnya mempunyai nilai yang sama dengan jumlah dari kuadrat bilangan-bilangan
lainnya.

Kita menguji tripel Pythagoras dengan menguadratkan panjang hipotenusa, yakni c^2 ,
kemudian menghitung a^2 + b^2 . Jika kedua penghitungan tersebut memiliki nilai yang sama,
maka ketiga bilangan tersebut adalah tripel Pythagoras. Bilangan 3, 4, dan 5 membentuk tripel
Pythagoras karena 3^2 + 4^2 = 25 dan 5^2 = 25. Jika kita mengalikan ketiga bilangan tersebut
dengan bilangan lain, tiga bilangan yang baru juga akan membentuk tripel Pythagoras.
Misalnya, jika kita mengalikan 3, 4 dan 5 dengan 5, kita mendapatkan 15, 20, dan 25. Ketiga
bilangan ini memenuhi teorema Pythagoras.

Cek:
c^2 = 252 = 625
a^2 + b^2 = 152 + 202 = 625, sehingga
c^2 = a^2 + b^2
Aljabar dapat digunakan untuk menentukan himpunan bilangan yang merupakan tripel
Pythagoras. Terdapat dua cara yang dapat dilakukan. Salah satunya seperti berikut. Cara ini
meminta kita untuk menentukan sebarang dua bilangan dan menerapkan aturan kepada dua
bilangan yang telah ditentukan, untuk selanjutnya menghasilkan tripel Pythagoras.

Panjang sisi segitiga siku-siku adalah (p2 + q2 ), (p2 − q2 ), dan 2pq. Dengan ukuran panjang
itu, ketiganya akan membentuk tripel Pythagoras.

6

Tabel Triple Pythagoras

P Q (p^2+q^2) (p^2-q^2) 2pq Hubungan Triple

Pythagoras

2 1 2^2+1^2=5 2^2-1^2=3 2 x 2 x 1=4 5^2=3^2+4^2 5,3,4

31 10 8 6 10^2=8^2+6^2 10,8,6

32 13 5 12 13^2=5^2+12^2 13,5,12

41 17 15 8 17^2=15^2+8^2 17,15,8

42 20 12 16 20^2=12^2+16^2 20,12,16

43 25 7 24 25^2=7^2+24^2 25,7,24

51 26 24 10 26^2=24^2+10^2 26,24,10

52 29 21 20 29^2=21^2+20^2 29,21,20

53 34 16 30 34^2=16^2+30^2 34,16,30

54 41 9 40 41^2=9^2+40^2 41,9,40

7

4. PENERAPAN TEOREMA PYTHAGORAS PADA BANGUN DATAR DAN
KEHIDUPAN SEHARI-HARI.

Tidak hanya pada segitiga, pada kondisi tertentu teorema Pythagoras dapat digunakan
dalam perhitungan bangun datar, misalnya untuk menghitung Panjang diagonal, Panjang sisi
miring pada trapesium dan sebagainya. Untuk memudahkan dalam menyelesaikan masalah
sehari-hari dengan menggunakan teorema pythagoras diperlukan bantuan gambar ( sketsa ).
Dengan adanya bantuan gambar akan memudahkan kita dalam memahami konsep serta dalam
menyelesaikan masalah tersebut.

8

CONTOH SOAL
1. Perhatikan gambar berikut.

Panjang BC adalah….
Penyelesainnya :
Segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku sehingga berlaku Teorema Pythagoras.
BC=√AB^2−AC^2

=√15^2−12^2
=√225−144
=√81
=9 cm
Jadi, Panjang BC adalah 9 cm.
KODE AR:

9

2. Pada segitiga ABC diketahui AB = 10 cm, BC = 24 cm, dan AC = 26 cm. Tunjukkan
bahwa ∆ABC siku-siku dan di titik manakah ∆ABC siku-siku?
Penyelesainnya:
Untuk membuktikan apakah ∆ABC siku-siku dapat digunakan teorema Pythagoras,
yakni:
AC^2 = 262
AC^2 = 676
AB^2 + BC^2 = 10^2 + 24^2
AB^2 + BC^2 = 100 + 576
AB^2 + BC^2 = 676
Karena AC^2 = AB^2 + BC^2, maka ∆ABC termasuk segitiga siku-siku. Jika
digambarkan seperti gambar di bawah ini.

KODE AR :

10

3. Sebuah tangga yang panjangnya 5 meter bersandar pada pohon. Jarak ujung bawah
tangga terhadap pohon = 3 meter. Hitunglah tinggi pohon yang dapat dicapai oleh
tangga.
Penyelesainnya:

Berdasarkan gambar di atas, tinggi pohon dapat dicari dengan menggunakan teorema
pythagoras.
Tinggi =√5^2−3^2

=√25−9
= √16
=4
Jadi, tinggi pohon yang dapat dicapai oleh tangga adalah 4 meter.
KODE AR:

11

SOAL LATIHAN

Pilihlah Jawaban dibawah ini dengan benar dan tepat.
1. Berikut ini adalah ukuran sisi-sisi dari empat buah segitiga:
1. 33 cm, 44 cm, 55 cm
2. 77 cm, 88 cm, 99 cm
3. 55 cm, 1212 cm, 1515 cm
4. 77 cm, 2424 cm, 2525 cm
Segitiga yang berbentuk segitiga siku-siku ditunjukkan oleh nomor…
a. 1 dan 2
b. 1 dan 3
c. 2 dan 3
d. 1 dan 4

2. Perhatikan gambar berikut.

Diketahui CD= 8cm dan AD=17cm . Panjang AB adalah…
a. 7 cm
b. 6 cm
c. 5 cm
d. 4 cm

3. Perhatikan gambar di bawah.

12

ABCD adalah jajar genjang dengan Panjang CD= 7 cm, AD=25 cm dan AE=22 cm.
Panjang CE adalah…
a. 17 cm
b. 20 cm
c. 22 cm
d. 24 cm

4. Kebun berbentuk belah ketupat dengan Panjang diagonal 10 m dan 24 m akan
dipasang kawat di sekelilingnya sebanyak 3 putaran. Jika harga 1 m kawat
Rp5.000,00, maka harga seluruh kawat yang diperlukan adalah ⋯
a. Rp260.000,00
b. Rp510.000,00
c. Rp580.000,00
d. Rp780.000,00

5. Pada gambar berikut, PQR merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi 12cm.
Panjang RS adalah…

a. 3 cm
b. 3 √3 cm
c. 6 cm
d. 6 √3 cm

13

6. Berdasarkan teorema Pythagoras, pada segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring
sama dengan...
a. Selisih kuadrat panjang sisi siku-sikunya
b. Jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya
c. Selisih akar panjang sisi siku-sikunya
d. Jumlah akar panjang sisi siku-sikunya

7. Panjang sisi miring pada segitiga sik-siku sama kaki dengan panjang sisi siku-siku p
cm adalah... cm.
a. 1/2p
b. p
c. p√2
d. p√3

8. Dari tiga bilangan berikut, yang merupakan tripel pythagoras adalah...
a. 9, 13, 15
b. 7, 12, 15
c. 10, 24, 25
d. 8, 15, 17

9. Perhatikan gambar berikut!

Luas bidang diagonal ACGE adalah...
a. 12 cm2
b. 24 cm2

14

c. 30 cm2
d. 72 cm2

10. Perhatikan trapesium berikut!

Keliling trapesium di atas adalah...
a. 46 dm
b. 48 dm
c. 50 dm
d. 52 dm

SOAL URAIAN
1. Seorang anak akan mengambil sebuah layang-layang yang tersangkut di atas sebuah
tembok yang berbatasan langsung dengan sebuah kali. Anak tersebut ingin
menggunakan sebuah tangga untuk mengambil layang-layang tersebut dengan cara
meletakan kaki tangga di pinggir kali. Jika lebar kali tersebut 5 meter dan tinggi tembok
12 meter, hitunglah panjang tangga minimal yang diperlukan agar ujung tangga
bertemu dengan bagian atas tembok.
2. Dua buah tiang berdampingan berjarak 24 m. Jika tinggi tiang masing-masing adalah
22 m dan 12 m, hitunglah panjang kawat penghubung antara ujung tiang tersebut.
3. Seorang nakhoda kapal melihat pun cak mercusuar yang berjarak 100 meter dari kapal.
Jika diketahui tinggi mercusuar 60 meter, tentukan jarak nakhoda dari puncak
mercusuar tersebut!
4. Sebuah tiang tingginya 12 m berdiri tegak di atas tanah datar. Dari ujung atas tiang
ditarik seutas tali ke sebuah patok pada tanah. Jika panjang tali 15 m, maka jarak patok
dengan pangkal tiang bagian bawah adalah ….

15

5. Suatu kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 15 km menuju arah utara.
Seudah tiba pada Pelabuhan B, kapal tersebut berlayar kembali sejauh 36 km menuju
arah timur. Tentukan jarak antara pelabuhan A dengan titik akhir!

16

DAFTAR PUSTAKA

Rahayu, Ratri dan Naela Khusna Faela Shufa. 2019. Konsep Matematika Untuk Perguruan
Tinggi. Kudus: Badan Penerbit Universitas Muria Kudus.
As’ari, Abdur Rahman dkk. 2017. Matematika. Jakarta: : Pusat Kurikulum dan Perbukuan,
Balitbang, Kemendikbud.
Ronawan dan A.N.M. Salman. Materi Teorema Pythagoras untuk Siswa SMP/MTs dengan
Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik untuk Mengembangkan Kecakapan Matematika
Siswa. Bandung: PROSIDING SNIPS 2016, ISBN: 978-602-61045-0-2.
Zaerani, Syahrida dkk. 2017. Pengaruh Penguasaan Konsep Teorema Pythagoras Terhadap
Kemampuan Menyelesaikan Soal-Soal Bangun Ruang Sisi Datar Pada Siswa Kelas Viii Mts
Negeri Balang-Balang. Makassar: Jurnal Matematika dan Pembelajaran, Vol 5 No 2: 279-292.
Affaf, Moh. Konstruksi Baru Untuk Tripel Pythagora. 2016. Bangkalan: Jurnal Pendidikan dan
Pembelajaran Matematika (JP2M), Vol 2 No 1: 69-78.
Sopamena, Patma. 2013. Pengaruh Proses Pembelajaran Teorema Pythagoras Dengan
Menggunakan Strategi Inquiry Terhadap Kemampuan Memecahkan Masalah Siswa Kelas Viii
Smp Negeri 14 Ambon. Ambon: Jurnal Matematika Dan Pembelajarannya, Vol 1 No 1: 64-83.
Rohati dkk. 2012. Pembelajaran Teorema Phytagoras Dengan menggunakan Strategi
Relating, Experiencing, Applying, Cooperating,Transferring (React)Pada Siswa Di Smp
Negeri 16 Kota Jambi. Jambi: Jurnal Matematika, Vol 2 no 2: 27-36.
Sari, Wulan Permata dkk. 2020. Analisis Kesalahan Siswa Dalam Menyelesaikan Soal Cerita
Materi Teorema Pythagoras. Lubuklinggau: Jurnal Pendidikan Matematika, Vol 4 no 2: 387-
401.

17