FINAL ADD MATH T5 FASA 2 DLP(1)

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation
(b) hujung bayang-bayangnya yang bergerak
the moving tip of the shadow

Jawapan/Answer: [(a) 1.5 −1 ( ) 5 −1 ]
2.4.8 Mentafsir dan menentukan perubahan kecil dan penghampiran suatu kuantiti

Interpreting and determining small changes and approximations of certain quatities

Contoh:

Example:
Diberi bahawa = 3, cari

(a) perubahan hamper dalam jika menokok daripada 4 kepada 4.05

(b) perubahan hamper dalam jika menyusut daripada 8 kepada 7.97

Penyelesaian:

Solution:

(a) = 3 (b) Apabila = 8, 3 = 8, = 2

= 3 2 = 7.97 − 8 = −0.03 dan

= 3(2)2 = 12
Apabila = 4, = 4.05 − 4 = 0.05 dan

= 3(4)2 = 48 Jadi, ≈ ×


Jadi, ≈ × = 48 × 0.05 −0.03 = 12 ×

−0.03
= 2.4 = 12
= −0.0025
Maka, perubahan hamper dalam , iaitu
ℎ 2.4 Maka, perubahan hamper dalam , iaitu

> 0 bermaksud berlakunya tokokan kecil dalam ℎ − 0.0025
sebanyak 2.4
< 0 bermaksud berlakunya susutan kecil dalam
sebanyak 0.0025

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation

Contoh:

Example:

Diberi bahawa = √ , cari
(a) nilai apabila = 4



(b) nilai hampir bagi √4.02

Penyelesaian:

Solution:

1 (b) Apabila = 4, = √4 = 2

(a) = √ = 2 1
4
= 1 21−1 = 1 −12 = 1 = 4.02 − 4 = 0.02 dan =
2 2 2√
Menggunakan ( + ) ≈ +
Apabila = 4, = 1 = 1 = 1

2√4 2(2) 4
1
√4 + 0.02 = 2 + 4 (0.02)

√4.02 = 2.005

Maka, nilai hamper bagi √4.02 ialah 2.005

Contoh:

Example:
Diberi = 2 2 − 3 + 4. Apabila = 2, terdapat perubahan kecil dalam sebanyak 3%. Dengan
menggunakan konsep kalkulus, cari peritus perubahan dalam y yang sepadan.

Penyelesaian:

Solution:

Diberi = 2 2 − 3 + 4

Apabila = 2, = 2(2)2 − 3(2) + 4 = 6

3
= 4 − 3 = 4(2) − 3 = 5 = 100 × 2 = 0.06

Jadi, = × = 5 × 0.06 = 0.3



0.3
× 100 = 6 × 100 = 5

Maka, peratus perubahan dalam yang sepadan ialah 5%

Latihan Kendiri/ Self-Exercise:

1. Beri setiap fungsi berikut, cari perubahan kecil dalam yang sepadan dengan perubahan kecil dalam

yang diberi

For each of the following functions, find the small corresponding change in with the given small change

in .
(a) = 4 3 − 3 2, apabila menokok daripada 1 kepada 1.05

= 4 3 − 3 2, when increases from 1 to 1.05
(b) = 4√ + 3 2apabila menyusut daripada 4 kepada 3.98

= 4√ + 3 2, when decreases from 4 to 3.98

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation

Jawapan/Answer: [(a) 0.3 unit (b) -0.5 unit ]

2. Bagi setiap fungsi berikut, cari perubahan kecil dalam yang sepadan dengan perubahan kecil dalam

yang diberi.

For each of the following functions, find the small corresponding change in with the given small change

in .

3

(a) = 2 2, apabila menyusut daripada 16 kepada 15.7

3

= 2 2 , when decreases from 16 to 15.7

(b) = +22apabila menokok daripada 2 kepada 2 +
+2
= 2 when y increases from 2 to 2 +

Jawapan/Answer: [(a) -0.05 unit (b) 2p unit ]

3. Diberi = 16 cari nilai apabila = 2 dan seterusnya tentukan nilai hampir bagi 16
2 2.022

Given = 16 find the value of when = 2 and determine the approximate value of 16
2 2.022

Jawapan/Answer: [-4, 3.92]

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation

5

4. Jika = 4, cari peritus perubahan hampir dalam apabila terdapat 4% perubahan dalam .

5

If = 4, find the approximate percentage change in when there is 4% change in .

Jawapan/Answer: [3.2%]

2.4.9 Menyelesaikan masalah yang melibatkan perubahan kecil dan penghampiran suatu kuantiti

Solving problems involving small changes and approximations of certain quantities

Contoh:

Example:

Cari perubahan kecil dalam isi padu, 3, sebiji bola kaca yang berbentuk sfera apabila jejarinya, ,
bertambah daripada 3 kepada 3.02 .

Penyelesaian:

Solution:

Katakan 3 dan masing-masing ialah isi padu dan jejari bola kaca itu.

Jadi = 4 3

3

= 4 2


Apabila = 3, = 3.02 − 3 = 0.02 dan = 4 (3)2 = 36


Oleh itu, = × = 36 × 0.02



= 2.262

Maka, perubahan kecil dalam isi padu bola kaca itu ialah 2.262 3

Latihan Kendiri/ Self-Exercise:

1. Tempoh ayunan , saat, bagi suatu bandul dengan panjang diberi oleh = 2 √ Cari perubahan

10

hampir dalam apabila menokok daripada 9 kepada 9.05

The period of oscillation. second. of a pendulum with a length of is given by = 2 √

10

Find the approximate change in when increases from 9 to 9.05

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation

Jawapan/Answer: [ √10 ]

600
2. Luas tompokan minyak yang berbentuk bulatan bertambah dari 4 2 kepada 4.01 2. Cari

perubahan kecil yang sepadan dalam jejari tompokan minyak itu.
The area of a drop of oil which spreads out in a circle increases from 4 2 to 4.01 2. Find the

corresponding small change in the radius of the oil.

Jawapan/Answer: [0.0025 ]
3. Panjang sisi sebuah kubus ialah . Cari perubahan kecil dalam isi padu kubus itu apabila setiap sisinya

menyusut daripada 2 kepada 1.99 .
The length of the side of a cube is . Find the small change in the volume of the cube when each side
decreases from 2 to 1.99 .

Jawapan/Answer: [−0.12 3]
4. Cari perubahan kecil dalam isi padu sebuah sfera apabila jejarinya menyusut daripada 5 kepada

4.98 .
Find the small change in the volume of a sphere when its radius decreases from 5 to 4.98

Jawapan/Answer: [−2 3]

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation

Soalan SPM 2003 K1 No 16
Diberi = 2 + 5 , gunakan kaedah pembezaan untuk mencari perubahan kecil bagi apabila menokok
daripada 3 kepada 3.01
Given that = 2 + 5 , use differentiation to find the small change in when increases from 3 to 3.01

Jawapan/Answer: . ]

Soalan SPM 2003 K1 No 15
Diberi = 14 (5 − ), hitungkan
Given that = 14 (5 − ), calculate
(a) nilai apabila adalah maksimum

the value of when is a maximum
(b) nilai maksimum bagi y

the maximum value of

Jawapan/Answer: [( ) 5 , ( ) 1275]
2

Soalan SPM 2003 K2 No 3

(a) Diberi = 2 + 2 dan = 6 apabila = −1, carikan dalam sebutan .


Given that = 2 + 2 and = 6 when = −1, find in terms of .


(b) Seterusnya, carikan nilai jika 2 2 + ( − 1) + = 8.
2

Hence, find the value of if 2 2 + ( − 1) + = 8
2

Jawapan/Answer: [( ) = 2 + 2 + 7 ( ) = 3 , = −1]
5

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation

Soalan SPM 2003 K2 No 9

Rajah menunjukkan sebuah bekas berbentuk kon dengan diameter 0.6 dan tinggi 0.5 . Air dituangkan
ke dalam bekas itu dengan kadar malar 0.2 3 −1

Diagram shows a conical container of diameter 0.6 and height 0.5 . Water is poured into the container at a
constant rate of 0.2 3 −1

Hitungkan kadar perubahan tinggi paras air pada ketika tinggi paras air itu ialah 0.4

Calculate the rate of change of the height of the water level at the instant when the height of the water level is 0.4

(Gunakan = 3.142, = 1 2ℎ)
3
1 2ℎ)
(Use = 3.142, =
3

Jawapan/Answer: [1.105 −1]

Soalan SPM 2004 K1 No 21
Dua pemboleh ubah, dan , dihubungkan oleh persamaan = 3 + 2 .
Diberi bahawa bertambah dengan kadar malar 4 unit sesaat, carikan kadar perubahan apabila = 2.
Two variables, x and y, are related by the equation = 3 + 2 .
Given that increases at a constant rate of 4 units per second, find the rate of change of when = 2.

Jawapan/Answer: [8 ]

5

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation

Soalan SPM 2004 K2 No 5
Fungsi kecerunan bagi suatu lengkung yang melalui (1, −12) ialah 3 2 − 6 . Carikan
The gradient function of a curve which passes through (1, −12) is 3 2 − 6 . Find

(a) persamaan lengkung itu
the equation of the curve

(b) koordinat titik-titik pusingan lengkung itu dan tentukan sama ada titik-titik pusingan itu adalah

maksimum atau minimum.
the coordinates of the turning points of the curve and determine whether each of the turning points is a
maximum or a minimum.

Jawapan/Answer: [( ) = 3 2 − 6 − 10, ( )(0, −10) , (2, −10) ]

Soalan SPM 2005 K1 No 19
Diberi ℎ( ) = (3 −15)2, nilaikan h”(1)
Given that ℎ( ) = (3 −15)2,evaluate h”(1)

Jawapan/Answer: [27]

8

Soalan SPM 2005 K1 No 20

Isi padu air, 3, dalam satu bekas diberi oleh = 1 ℎ3 + 8ℎ, dengan keadaan ℎ ialah tinggi air

3
dalam bekas itu. Air dituang ke dalam bekas itu dengan kadar 10 3 −1.

Carikan kadar perubahan tinggi air, dalam −1, pada ketika tingginya ialah 2 .

The volume of water, 3, in a container is given by = 1 ℎ3 + 8ℎ , where ℎ is the height of the water in
3
the container. Water is poured into the container at the rate of 10 3 −1.

Find the rate of change of the height of water, in −1, , at the instant when its height is 2 .

Jawapan/Answer: [− 5 −1]
6

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation

Soalan SPM 2006 K1 No 18

Diberi bahawa = 2 7, dengan keadaan = 3 − 5. Cari dalam sebutan .
3

It is given that = 2 7 , dengan keadaan = 3 − 5. Find in terms of .
3

Jawapan/Answer: [14(3 − 5) 6]

Soalan SPM 2006 K1 No 19

Diberi = 3 2 + − 4,

Given that = 3 2 + − 4,

(a) cari nilai bagi apabila = 1.

find the value of when = 1.


(b) ungkapkan perubahan kecil bagi , dalam sebutan , apabila berubah daripada 1 kepada 1 + , dengan

keadaan ialah nilai yang kecil.

express the approximate change in , in terms of , when changes from 1 to 1 + , where is a small value.

Jawapan/Answer: [( )7, ( )7 ]

Soalan SPM 2007 K1 No 20
Lengkung = 2 − 32 + 64 mempunyai titik minimum di = , dengan ialah pemalar. Cari nilai .
The curve = 2 − 32 + 64 has a minimum point at = , where is a constant. Find the value of .

Jawapan/Answer: [16]

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation

Soalan SPM 2007 K2 No 4

Suatu lengkung dengan fungsi kecerunan 2 − 2 mempunyai titik pusingan di ( , 8).
2
2
A curve with gradient function 2 − 2 has a turning point at ( , 8)..

(a) Cari nilai .

Find the value of

(b) Tentukan sama ada titik pusingan ini adalah titik maksimum atau titik minimum.

Determine whether the turning point is a maximum or a minimum point.

(c) Cari persamaan lengkung itu.

Find the equation of the curve.

Jawapan/Answer: [( ) = 1, ( )(1,8) ℎ ( ) = 2 + 2 + 5]


Soalan SPM 2008 K1 No 19

Dua pemboleh ubah, dan dihubungkan oleh persamaan = 1 62. Ungkapkan, dalam sebutan ℎ, perubahan
kecil bagi , apabila berubah daripada 4 kepada 4 + ℎ, dengan keadaan ℎ ialah satu nilai kecil.

Two variables, and , are related by the equation = 1 62. Express, in terms of ℎ, the approximate change in , when
changes from 4 to 4 + ℎ, where ℎ is a small value.

Jawapan/Answer: [16]
Soalan SPM 2008 K1 No 20
Garis normal kepada lengkung = 2 − 5 pada titik adalah selari dengan garis lurus = − + 12.
Cari persamaan garis normal kepada lengkung itu pada titik .
The normal to the curve = 2 − 5 at a point is parallel to the straight line = − + 12.
Find the equation of the normal to the curve at point .

Jawapan/Answer: [ = − − 3]

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation

Soalan SPM 2009 K1 No 19

Fungsi kecerunan suatu lengkung ialah = − 6, dengan keadaan ialah pemalar. Diberi bahawa


lengkung itu mempunyai titik pusingan pada (2,1)

The gradient function of a curve is = − 6, where is a constant. It is given that the curve has a turning point


at (2,1)

Cari

Find

(a) nilai

the value of

(b) persamaan lengkung itu

the equation of the curve.

Jawapan/Answer: [( ) = 3, ( ) = 3 2 − 6 + 7]
2

Soalan SPM 2009 K1 No 21

Seketul ais berbentuk kubus dengan sisi , mencair pada kadar 9.72 3 per minit. Cari kadar
perubahan pada ketika = 12 .

A block of ice in the form of a cube with sides , melts at a rate of 9.72 3 per minute. Find the rate of
change of at the instant when = 12 .

Jawapan/Answer: [−0.0225 −1]

Soalan SPM 2009 K2 No 3
Fungsi kecerunan suatu lengkung ialah ℎ 2 − , dengan keadaan ℎ dan ialah pemalar. Lengkung itu
mempunyai titik pusingan pada (3, −4). Kecerunan tangen kepada lengkung itu pada titik = 1 ialah 8.
The gradient function of a curve is ℎ 2 − , where ℎ and are constants. The curve has a turning point at (3, −4).
The gradient of the tangent to the curve at the point = 1 is 8.
Cari

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation
Find
(a) nilai ℎ dan nilai .

the value of ℎ and of .
(b) persamaan lengkung itu.

the equation of the curve.

Jawapan/Answer: [( )ℎ = 2, = 6 ( ) = 2 3 − 3 2 + 5]
3

Soalan SPM 2010 K1 No 20

Diberi = 2 ( − 6), cari

Given = 2 ( − 6), find

(a)


(b) nilai apabila adalah minimum

the value of when is minimum

(c) nilai minimum bagi

the minimum value of

Jawapan/Answer: [( ) = 4 − 12 ( ) = 3 ( ) − 18]


Soalan SPM 2010 K1 No 21

Isi padu sebuah sfera bertambah dengan kadar tetap 12.8 3 −1. Cari jejari sfera itu pada Ketika jejari
bertambah dengan kadar 0.2 −1.

The volume of a sphere is increasing at a constant rate of 12.8 3 −1. Find the radius of the sphere at the
instant when the radius is increasing at a rate of 0.2 −1.

[ Isi padu sfera, = 4 3]

3

[ Volume of sphere, = 4 3]
3

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation

Jawapan/Answer: [ = 4 ]

Soalan SPM 2010 K2 No 8
Lengkung = 3 − 6 2 + 9 + 1 melalui titik (2,3) dan mempunyai dua titik pusingan, (3,1) dan .
The curve = 3 − 6 2 + 9 + 1 passes through the point (2,3) and has two turning points, (3,1) and .
Cari
Find
(a) kecerunan lengkung itu pada

the gradient of the curve at .
(b) persamaan normal kepada lengkung itu pada .

the equation of the normal to the curve at .
(c) koordinat Q dan tentukan sama ada Q adalah titik maksimum atau titik minimum

the coordinates of Q and determine whether Q is the maximum or the minimum point.

Jawapan/Answer: [( ) − 3, ( ) − 3 + 7 = 0, ( )(1,5), ]

Soalan SPM 2011 K1 No 20

Diberi bahawa = 10 − 12. Cari perubahan kecil dalam , dalam sebutan , apabila nilai berubah



daripada 4 kepada 4 + .

It is given that = 10 − 12. Find the small change in , dalam sebutan , when the value of changes from



4 to 4 + .

Jawapan/Answer: [ ]

3

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation
Soalan SPM 2012 K1 No 19
Diberi fungsi ℎ( ) = 3 − 4 2 + 5 , Cari
Given the function ℎ( ) = 3 − 4 2 + 5 , find
(a) ℎ’( )
(b) nilai jika ℎ”(1) = 4

the value of if ℎ”(1) = 4

Jawapan/Answer: [( )3 2 − 8 + 5 ( ) = 2]

Soalan SPM 2012 K1 No 20
Kecerunan tangen kepada lengkung = 2(2 + ) di = −2 ialah 7.
Cari nilai .
The gradient of the tangent to the curve = 2(2 + ) at = −2 is 7.
Find the value of .

Jawapan/Answer: [ = 5]

4

Soalan SPM 2012 K2 No 3
Suatu lengkung mempunyai fungsi kecerunan − 6, dengan keadaan ialah pemalar. Diberi titik
minimum bagi lengkung itu ialah (3, −5), cari
A curve has a gradient function − 6, where is a constant. Given that the minimum point of the curve is (3, −5),
find
(a) nilai

the value of
(b) pintasan- bagi lengkung itu.

the -intercept of the curve.

Jawapan/Answer: [( ) = 2, ( ) = 4]

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation
Soalan SPM 2013K1 No 19
Titik (1, −5) terletak pada lengkung = 3 2 − 8 .
The point (1, −5) lies on the curve = 3 2 − 8 .
Cari
Find
(a) kecerunan tangen kepada lengkung itu di titik

the gradient of the tangent to the curve at point
(b) persamaan normal kepada lengkung itu di titik .

The equation of the normal to the curve at point .

Jawapan/Answer: [( ) − 2 ( )2 = − 11]

Soalan SPM 2013 K1 No 20
Diberi = 8 − 3 dan = 20 apabila = 2, ungkapkan dalam sebutan .



Given = 8 − 3 and = 20 when = 2, express in terms of .



Jawapan/Answer: [ = 4 2 − 3 + ]

Soalan SPM 2014 K1 No 17
Akibat daripada peningkatan kos sara hidup, Siva telah menanam beberapa jenis sayur untuk kegunaan
sendiri di Kawasan lapang berbentuk segi empat tepat di belakang rumahnya. Dia bercadang untuk memagar
Kawasan tersebut yang berukuran 6 dan (4 − ) . Cari panjang, dalam m, pagar yang perlu dia beli
apabila luas kawasan itu adalah maksimum.
Due to the high living cost, Siva has planted several types of vegetables for his own consumption on a rectangular
shape empty plot of land behind his house. He plans to fence the land which has a dimension of 6 and
(4 − ) . Find the length, in m, the fence he has to buy when the area of the land is maximum.

Jawapan/Answer: [28 ]

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation

Soalan SPM 2014 K1 No 18

Diberi = 2 + 3 dan = 14 3, cari


Given = 2 + 3 and = 14 3, find


(a)


(b) , dalam sebutan



, in terms of



Jawapan/Answer: [( )7 2 ( ) 2 = − 3]

Soalan SPM 2015 K1 No 16
Fungsi kecerunan suatu lengkung ialah ( − 3). Diberi (2,1) terletak pada lengkung itu.
The gradient function of a curve is ( − 3). It is given (2,1) lies on the curve.
Cari
Find
(a) kecerunan tangen pada titik

the gradient of the tangent at point
(b) the equation of the curve.

persamaan lengkung itu.

Jawapan/Answer: [( ) − 1 ( ) = 1 2 − 3 + 5]
2

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation

Soalan SPM 2016 K1 No 6

Luas permukaan bagi sebuah kiub bertambah pada kadar tetap 15 2 −1. Cari kadar perubahan bagi
panjang sisi, dalam −1, ketika isi padu kiub ialah 125 3.

The surface area of a cube increases at a constant rate of 15 2 −1. Find the rate of change of side length, in −1,
when the volume of the cube is 125 3.

Jawapan/Answer: −


Soalan SPM 2015 K2 No 2

Diberi persamaan suatu lengkung ialah = 2 (1 − )4 dan lengkung itu melalui (2,4).

It is given the equation of the curve is = 2 (1 − )4 and the curve passes through (2,4).

Cari

Find

(a) kecerunan lengkung pada titik

the gradient of the curve at point

(b) persamaan garis normal kepada lengkung pada titik

the equation of the normal to the curve at point

Jawapan/Answer: [(a)18, (b)x + 18y = 74]

Soalan SPM 2016 K1 No 7

Rajah menunjukkan sebahagian daripada lengkung = 2 −6 dan satu garis lurus.
+2

Diagram shows a part of curve = 2 −6 and a straight line.
+2

Diberi bahawa garis lurus itu selari dengan tangen kepada lengkung itu pada titik . Cari nilai .
It is given that the straight line is parallel to the tangent of the curve at point . Find the value of .

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation

Jawapan/Answer: [ = 1]

5

Soalan SPM 2017 K1 No 1

Rajah 1 menunjukkan graf kubik = ( ) dan graf linear = ( )

Diagram 1 show a cubic graph = ( ) and a linear = ( )

terletak pada garis lurus. Titik-titik , dan terletak pada lengkung. Tangen kepada lengkung itu pada
titik dan titik adalah selari dengån paksi− . Nyatakan titik-titik manakah yang memenuhi syarat

berikut:

Point lies on the straight line. Points , and lie on the curve. The tangents to the curve at points and are
parallel to the -axis. State which point(s) that satisfies the following condition:

(a) = 0


(b) < 0


(c) 2 > 0
2

Jawapan/Answer: [( ) ( ) ( ) ]

Soalan SPM 2017 K2 No 2

Diberi bahawa persamaan suatu lengkung ialah = 52.

It is given that the equation of a curve is = 5 2.

(a) Cari nilai apabila = 3



Find the value of when = 3


(b) Seterusnya, anggarkan nilai bagi (2.958)2.

Hence, eatimate the value of 5
(2.98)2

Modul Matematik Tambahan Tingkatan 5 KSSM BAB 2: Pembezaan
Chapter 2 : Differentiation

Jawapan/Answer: [( ) − 10 ( )0.56296]
27

Soalan SPM 2018 K1 No 6

Diberi bahawa = 4 − 2 dan = 3 + 6 .

It is given that = 4 − 2 and = 3 + 6 .

(a) Ungkapkan dalam sebutan .


Express dalam sebutan .


(b) Cari perubahan kecil bagi , apabila berubah daripada 3 kepada 3.4 pada ketika = 1.

Find the small change in , when changes from 3 to 3.4 at the instant = 1.

Jawapan/Answer: [( ) 2− ( ) 6]
3
5

Soalan SPM 2019 K1 No 17

Lengkung = 4 + 2 mempunyai titik pusingan pada (−1, ). Cari nilai dan nilai .

The curve = 4 + 2 has turning point at (−1, ). Find the value of and of .

Jawapan/Answer: [ = 1 , = −23]
2

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

BAB 3 PENGAMIRAN
CHAPTER 3 INTEGRATION
3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan
Integration as the Inverse of Differentiation

3.1.1 Perkaitan antara pembezaan dengan pengamiran
The relation between differentiation and integration

NOTA / NOTE :

1. Pengamiran ialah suatu proses songsangan bagi pembezaan.
Integration is in fact the reverse process of differentiation.

2. Jika y ialah satu fungsi x atau y= f (x) dan dy = f ' (x) , maka  dy dx = y+c atau  f ' (x)dx = y + c , dengan
dx dx

c = pemalar.

If y is a function of x or y = f (x) and dy = f ' (x) , then  dy dx = y+c or  f ' (x)dx = y + c , such that c =
dx dx

constant.

3.

4.

5. Imbas Kembali / Recall : / (a) If y = axn , then dy = anxn−1.
(a) Jika y = axn , maka dy = anxn−1. dx

dx / (b) If y = a, then dy = 0
dx
(b) Jika y = a, maka dy = 0 .
dx

Contoh 1: I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
Example 1:

Contoh 2:

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Example 2:

Latihan Kendiri 3.1 / Self-Exercise 3.1:

( ) ( )1. Diberi d 5x3 + 4x = 15x2 + 4 , cari 15x2 + 4 dx

dx

( ) ( )Given d 5x3 + 4x = 15x2 + 4 , find 15x2 + 4 dx .

dx

( )2. Diberi d 8x3 = 24x2 , cari 24x2dx Jawapan/Answer: 5x3 + 4x
Jawapan/Answer: 8x3
dx

( )d 24x2dx .

Given
8x3 = 24x2 , find
dx

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

3. Penggunaan air di sebuah pusat beli-belah A boleh diwakili oleh satu fungsi J = 100t3 + 30t2 , dengan
keadaan J ialah isipadu air yang digunakan, dalam liter, dan t ialah masa, dalam hari.
The usage of water at mall A is given by the function J = 100t3 + 30t2 , where J is the volume ov water used, in l
litres, and t is the time, in days.

(a) Cari kadar penggunaan air bagi pusat beli-belah A, dalam sebutan t.
Find the rate of water used at mall A, in terms of t.
(b) Jika kadar penggunaan air bagi pusat beli-belah A berubah kepada dj = 1500t2 + 300t , cari isipadu air, dalam

dt
liter, yang digunakan pada hari kedua.
If the rate of change of the water in mall A changes according to dj = 1500t2 + 300t , find the volume, in litres, used on the

dt
second day.

Jawapan/Answer: (a) 300t2 + 60t , (b) 4600 litres

Latihan Formatif 3.1 / Formative Exercise 3.1 :

 1. Diberi dy
y = 3(2x + 2)3, cari dx . Seterusnya, cari  18(2x + 2)2 dx .

 Given dy
y = 3(2x + 2)3, find dx . Subsequently, find  18(2x + 2)2 dx .

Jawapan/Answer: 18(2x + 2)2 , 3(2x + 2)3

2. Diberi y = 5x + 2 , cari f '(x) dan  f '(x)dx .
2 − 3x

Given y = 5x + 2 , find f '(x) and  f '(x)dx .
2 − 3x

16 5x + 2

Jawapan/Answer: (2 − 3x)2 , 2 − 3x

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

3. Diberi 2x dan dy = h(x + 2)k , cari nilai h + k . Seterusnya, cari nilai bagi 1   dy dx dengan
dx 10  dx 

keadaan x = 2 .

Given y = 5(x + 2)3 and dy = h(x + 2)k , find the value of h + k . Subsequently, find the value of 1  dy dx

dx 10  dx 

where x = 2 .

Jawapan/Answer: 17,32

( )4. Diberi f (x) = 3x(2x +1)2 dan  12x2 + 8x +1 dx = af (x), cari nilai a.
( )Given f (x) = 3x(2x +1)2 and  12x2 + 8x +1 dx = af (x), find the values of a.

Jawapan/Answer: 1
3

5. Fungsi keuntungan harian daripada jualan tiket bas bagi sebuah syarikat K diberi oleh A = 100t2 + 50t3 ,
dengan keadaan A ialah keuntungan yang diperoleh, dalam RM, dan t ialah masa, dalam hari.

The profit function from the sale of bus tickets of company K is given by A = 100t2 + 50t3 , where A is the profit
obtained, in RM, and t is the time, in days.

(a) Kira kadar keuntungan jualan tiket bas yang diperoleh syarikat itu selepas 5 hari.
Find the rate of profit obtained by the bus company after 5 days.

(b) Diberi kadar keuntungan jualan tiket bas bagi sebuah syarikat H ialah dA = 30t2 + 40t , syarikat manakah
dt

yang

memperoleh keuntungan paling tinggi pada hari ke-10?
Given that the rate of profit obtained from another bus company H is given by dA = 30t2 + 40t , which company

dt

gets more profit on the 10th day?

Jawapan/Answer: (a) RM4750 , (b) Syarikat K / Company K

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
3.2 Kamiran Tak Tentu

Indefinite Integral
3.2.1 Rumus kamiran tak tentu

Indefinite integral formula
NOTA / NOTE :
1. Rumus kamiran tak tentu terhadap x / Indefinite integral formula with respect to x :
(a)

(b)

(c)

 5dx = 5x + c , c = pemalar pengamiran / constant of integration

(d)

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
3.2.2 Kamiran tak tentu bagi suatu fungsi algebra

Indefinite integral formula for algebraic functions
Contoh 3:

Example 3:

Contoh 4: Example 4:

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Contoh 5:

Example 5:

Latihan Kendiri 3.2 / Self-Exercise 3.2 :
1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut. / Find the indefinite integral for each of the following :

(a)  2dx (b)  5 dx (c)  − 2dx (d)   dx
6 3

Jawapan/Answer: (a) 2x + c (b) 5 x + c (c) − 2x + c (d)  x + c
6 3

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

2. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x. / Integrate each of the following with respect to x :

(a)  3x2dx (b)  4 x3dx (c)  − xdx (d)  − 2 dx
3 x2

(e)  3 dx (f)  3 dx (g)  2 dx (h)   − 3 3 dx
x3 x 3x  x

Jawapan/Answer: (a) x3 + c (b) x4 + c (c) − x2 + c (d) 2 + c
(e) − 3 + c 3 2 x
2x2
(f) 2 x3 + c (g) 33 x2 + c (h) 54 + c
x

3. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x. / Integrate each of the following with respect to x :

(a) 2x + 3 (b) 4x2 + 5x (c) 1 x3 + 5x − 2 (d) 3 + 4x − 2
2 x2

Jawapan/Answer: (a) x2 + 3x + c (b) 4 x3 + 5 x2 + c (c) 1 x4 + 5 x2 − 2x + c (d) − 3 + 2x2 − 2x + c
32 82 x

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

4. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut. / Find the indefinite integral for each of the following :
( )(b) x2 3x2 + 5x dx ( )(c)  5x2 − 3 x dx
(a)  (x + 2)(x − 4)dx

(d)  (5x − 3)2 dx  5 x 2 − 3 x d ( )(f) 2
x
(e) x  x+ x dx

Jawapan/Answer: (a) x3 − x2 − 8x + c (b) 3 x5 + 5 x4 + c (c) 5 x3 − 2 x3 + c
3 54 3

(d) 25 x3 −15x2 + 9x + c (e) 5 x2 − 3x + c (f) 1 x3 + 4 5 + 1 x2 + c
3 2
x2
35 2

3.2.3 Kamiran tak tentu bagi fungsi berbentuk (ax + b)n , dengan keadaan a dan b ialah pemalar, n ialah integer

dan n  −1

Indefinite integral for functions in the form of (ax + b)n , where a and b are constants, n is an integer and n  −1

NOTA / NOTE :

Terbitan rumus kamiran tak tentu bagi fungsi berbentuk (ax + b)n , dengan keadaan a dan b ialah pemalar, n ialah

integer dan n  −1:

Derivation of indefinite integral formula for functions in the form of (ax + b)n , where a and b are constants, n is an

integer and n  −1:

Jika diberi fungsi y =  (ax + b)n dx , maka dy = (ax + b)n .
dx

If given function y =  (ax + b)n dx , then dy = (ax + b)n
dx

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Contoh 6:

Example 6:

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Contoh 7:
Example 7:

Latihan kendiri 3.3 / Self-Exercise 3.3 :

1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut dengan menggunakan kaedah penggantian.

Find the indefinite integral for each of the following by using substitution method.

(a)  (x − 3)2 dx (b)  (3x − 5)9 dx (c)  4(5x − 2)5 dx

Jawapan/Answer: Jawapan/Answer: Jawapan/Answer:

(x − 3)2 + c (3x − )5 10 + c 2 (5x − 2)6 + c

3 30 15

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

(d)  (7x − 3)4 dx (e)  12 dx (f)  2 2)2 dx
3
(2x − 6)3 3(3x −

Jawapan/Answer: Jawapan/Answer: Jawapan/Answer:

(7x − 3)5 + c − 3 +c − 2 2) + c

105 (2x − 6)2 9(3x −

2. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.

Integrate each of the following with respect to x.

(a) (4x + 5)4 (b) 2(3x − 2)3 (c) (5x −11)4

Jawapan/Answer: Jawapan/Answer: Jawapan/Answer:

(4x + 5)5 + c (3x − 2)4 + c (5x −11)5 + c

20 6 25

(d) (3x − 2)5 5 12

5 (e) (6x − 3)6 (f) (3x − 5)8

Jawapan/Answer: Jawapan/Answer: Jawapan/Answer:

(3x − 5)6 + c − 1 + c − 4 +c

90 6(6x − 3)5 7(3x − 5)7

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
3.2.4 Persamaan lengkung daripada fungsi kecerunan

Equation of a curve from its gradient function
NOTA / NOTE :
1.

2. Nilai pemalar pengamiran, c boleh ditentukan dengan menggantikan nilai x dan y yang sepadan ke dalam hasil
pengamiran suatu fungsi kecerunan.
The constant of integration, c can be determined by substituting the given value of x with its corresponding value of y into the
result of integration of the gradient function.
Contoh 8 :

Example 8 :

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Contoh 9 :

Example 9 :

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Latihan Kendiri 3.4 / Self-Exercise 3.4 :

1. Cari nilai pemalar pengamiran , c bagi fungsi kecerunan .

Find the constant of integration, c for the following gradient functions.

.

(a) dy = 4x − 2, y = 7 apabila x = -1 (b) dy = −6x − 6 , y = 6 when x = -1
dx dx x3

dy = 4x − 2, y = 7 when x = -1 dy = −6x − 6 , y = 6 when x = -1
dx dx x3

Jawapan/Answer: (a) 3 (b) 6

2. Diberi dy = 20x3 − 6x2 − 6 dan y = 2 apabila x = 1, cari nilai y apabila x=1.
dx 2

Given dy = 20x3 − 6x2 − 6 and y=2 when x = 1, find the value of y when x= 1

.
dx 2

33
Jawapan/Answer:

16
3. Cari persamaan lengkung bagi setiap fungsi kecerunan yang melalui titik berikut.
Find the equation of curve for each gradient function which passes through the given point.

(a) dy = 9x2 − 2 , titik / at point (1, 6) (b) dy = 10x − 2 , titik / at point (2, 13)
dx dx

Jawapan/Answer: y = 3x3−2x + 5 Jawapan/Answer: y = 5x2 −2x − 3

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

(c) dy = 24x2 − 5 , titik / at point (1, 1) (d) dy = 18x2 +10x , titik / at point (-2, -10)
dx dx

Jawapan/Answer: y = 8x3−5x − 2 Jawapan/Answer: y = 6x3+5x2 +18

Latihan Formatif 3.2 / Formative Exercise 3.2

1. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut.

Find the indefinite integral for each of the following.

(a)  1 dx (b)  5 dx (c)  1 dx (d)
2 3x3 x
  2 − 3 dx
 x3 x4 

Jawapan/Answer: (a) 1 x + c (b) − 5 + c 1 (d) − 1 + 1 + c
2 6x2 x2 x3
(c) 2x 2 + c

2. Kamirkan setiap yang berikut terhadap x. (b) 6x3 + 2x2
Integrate each of the following with respect to x. 2x2

(a) 5x2 − 3x3
x

(c) (5 − 6x)3 I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

(d) 1
4 5− 2x

Jawapan/Answer: (a) 5 x2 − x3 + c (b) 3 x2 + x +c (c) − (5 − 6x)4 + c (d) − 2(5 − 2 )3 +c

x4

22 24 3

3. Diberi dy = 10x + p , dengan keadaan p ialah pemalar. Jika dy = 20 1 dan y = 19 apabila x = 2, cari nilai p .
dx x2 dx 2

Seterusnya, cari nilai y apabila x = -2.

It is given that dy = 10x + p , where p is a constant. If dy = 20 1 and y = 19 when x = 2, find the value of p.
dx x2 dx 2

Subsequently, find the value of y when x = -2.

Jawapan/Answer: p = 2, y = 21 (b) Diberi dy = 2x + 2 dan y = 2 apabila
dx
4. (a) Diberi dy = 4x3 −15x2 + 6 dan y = -20 apabila
dx x = 2, cari nilai x apabila y = -6.
Given dy = 2x + 2 and y = 2 when x = 2,
x = 3, cari nilai y apabila x = -2.
Given dy = 4x3 −15x2 + 6 and y = -20 when x = 3, dx

dx find the value of x when y = -6.

find the value of y when x = -2.

Jawapan/Answer: 60 Jawapan/Answer: x = 0,−2

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

5. Rajah di sebelah menunjukkan suatu lengkung yang melalui titik A(1, -1).
Diberi fungsi kecerunan bagi lengkung tersebut ialah dy = 3x2 − 8x , cari

dx
persamaan bagi lengkung tersebut.

The diagram on the right shows a curve that passes through point A(1, -1). Given

the gradient function of that curve is dy = 3x2 − 8x , find the equation for that
dx

curve.

Jawapan/Answer: y = x3 − 4x2 + 2
6. Diberi kecerunan normal bagi suatu lengkung pada suatu titik ialah 1 . Jika lengkung itu melalui titik (2, 2),

6x − 2
cari persamaan bagi lengkung tersebut.
It is given that the gradient of a normal to a curve at one point is 1 . If the curve passes through point (2, 2), find the

6x − 2

equation for that curve.

Jawapan/Answer: y = 2x − 3x2 +10
7. Diberi fungsi kecerunan bagi suatu lengkung ialah ax + b. Kecerunan lengkung pada titik (-2, 8) ialah -7 dan
kecerunan lengkung pada titik (0, 6) ialah 5. Cari nilai a dan nilai b. Seterusnya, cari persamaan bagi lengkung
tersebut.
It is given that the gradient function of a curve is ax + b. The gradient of the curve at (-2, 8) is -7 and the gradient of the
curve at (0, 6) is 5. Find the values of a and b. Then, find the equation for that curve.

Jawapan/Answer: a = 6,b = 5, y = 3x2 + 5x + 6

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

8. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kereta yang dipandu di sebuah jalan raya
yang lurus. Diberi fungsi perubahan sesaran bagi kereta tersebut ialah

ds =10t − 2 dan s = 8m when t = 1s. Cari sesaran, dalam m, apabila t = 3 s.
dt

The diagram on the right shows a car being driven on a straight road. It is given that the

rate of change of the displacement function of the car is ds = 10t − 2 and s = 8 m
dt

when t = 1s. Find the displacement, in m, when t = 3 s.

Jawapan/Answer : 44m

SOALAN BERFORMAT SPM
SPM FORMAT QUESTIONS

Paper 1

1. Tunjukkan bahawa d  3 x2  = 2x2 + 6x . Seterusnya, cari  x(x + 3) dx .
dx + 2x (3 + 2x)2
(3 + 2x)2

d  x 2  2x2 + 6x x(x + 3)
dx + (3 + 2x)2 dx .
2 (3 + 2x)2 . Hence, find
Show that 3 x = [4 markah / marks]

Jawapan/Answer : 1  3 x 2 x 
2 +
2

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

2. Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut :

Find the indefinite integral for each of the following :

( )(b) 2 dx 5
 2 1 dx  x2 +3 3  5 2 
(a)  3 x5 + 6x5  x2 (c)  2  − 3 u du [6 markah /

marks]

Jawapan/Answer : (a) x6 − 1 +c (b) x3 + 6x − 9 + c (c) − 55 − 2 u 6 + c
9 24 x 4 3x  3

3. Diberi  (5x3 + 2)dx = kx4 + 2x + c , dengan keadaan k dan c ialah pemalar. Cari
Given that  (5x3 + 2)dx = kx4 + 2x + c , where k and c are constants. Find

(a) nilai k,
the value of k,

(b) nilai c jika  (5x3 + 2)dx = 30 apabila x = 2. [3 markah / marks]
the value of c if  (5x3 + 2)dx = 30when x=2.

Jawapan/Answer: (a) k = 5 (b) c = 6
4

4. Jika dy = 4x3 − 4x dan y = 0 apabila x = 2, cari y dalam sebutan x. [3 markah / marks]
dx

If dy = 4x3 − 4x and y = 0 when x = 2, find y in terms of x.
dx

Jawapan/Answer: y = x4 − 2x2 − 8

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

5. Jika dp = 2v − v3 dan p = 0 apabila v = 0, cari nilai p apabila v = 1. [3 markah / marks]
dv 2

If dp = 2v − v3 and p = 0 when v = 0, find the value p when v = 1.
dv 2

Jawapan/Answer: p = 7
8

6. Cari persamaan bagi lengkung yang mempunyai fungsi kecerunan 2x2 + 3x −1 dan melalui titik asalan.
Find the equation of the curve with gradient function 2x2 + 3x −1, which passes through the origin. [3 markah / marks]

Jawapan/Answer: y = 2 x3 + 3 x2 − x
32

7. Diberi d2y = 4x, dan dy = 0, y = 2 apabila x = 0. Cari dy dan y dalam sebutan x.
dx2 dx dx

Given that d 2 y = 4x, and that dy = 0 , y = 2 when x = 0. Find dy and y in terms of x. [4 markah / marks]
dx2 dx dx

Jawapan/Answer: y = 2 x3 + 2
3

Soalan SPM 2003 K1 No 17

Diberi   5 dx = k (1 + x)n + c , dengan keadaan k dan n ialah pemalar. Cari nilai k dan nilai n.

(1+ x)4

Given that  (5x3 + 2)dx = kx4 + 2x + c , where k and c are constants. Find the value of k and n.

[3 markah / marks]

Jawapan/Answer: k = − 5 , n = −3
3

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Paper 2

1. Suatu lengkung dengan keadaan dy = 1+ 1 . Diberi lengkung tersebut melalui titik −1, 1  , cari persamaan bagi

dx 2x2  2

lengkung tersebut.

A curve is such that dy =1+ 1 . Given that the curve passes through the point  −1, 1  , find the equation of the curve.
dx 2x2
 2

[ 4 markah / marks]

y

A(0, 1)
y= 1
4x +1

x
02

Jawapan/Answer: y = x − 1 +1
2x

2. Rajah di bawah menunjukkan suatu lengkung dengan keadaan dy = 2x − 6 . Titik minimum lengkung tersebut
dx

ialah A(3, 1). AB ialah suatu garis lurus yang melalui titik A dan B, dengan keadaan B ialah titik persilangan antara
lengkung tersebut dengan paksi-y.

The diagram shows a curve such that dy = 2x − 6 . The minimum point of the curve is A(3,1). AB is a straight line passing

dx

through A and B, where B is the point of intersection between the curve and y-axis.

y

B •A x

O [3 markah / marks]

Cari persamaan bagi lengkung tersebut.
Find the equation of the curve.

Jawapan/Answer: y = x2 − 6x +10

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

BAB 3.3 Kamiran Tentu Definite Integral

Nota Imbasan Smart Note

(a) = g(b) – g(a) (d) += , a<b<c

(b) = − (e) = k , k ialah pemalar k is constant

(c) = 0 (f) =±

1. Nilaikan yang berikut Evaluate the following =
Contoh Example

=

Penyelesaian Solutions Kaedah alternatif : Alternative method:

Kamiran tak tentu : Indefinite integral :

dx = [ ( ) + 2( ) – 3x ] }
= ( ) + 2( ) – 3x + c = [ + 2( ) – 3x ]
= + 2( ) – 3x + c =
= + x2 – 3x + c ={[ – [
Kamiran tentu : Definite integral: =5

=
={[ –
[}
=5

(a) [- 6 ] (b) [11 ]

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

(c) [ 1  ] (d) [ −6 ]

(e) [ −0.5 ] (f) [− ]

(g) [ − ] (h) [2]

Cuba Latihan Kendiri 3.5 ms 95

2. Diberi = 6 dan I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

Given that = 6 and = 2 , cari nilai bagi setiap yang berikut :

= 2 , find the following values :

Contoh Example (a) + [6] (b) + [-4]

=2
= 2 (6)
= 12

(c) [-8] (d) [−7] (e)  [12]

3. Selesaikan yang berikut :

Solve the following :

(a) Diberi bahawa = 10, cari (b) Diberi bahawa = 4, cari
= 4, find
Given that = 10, find Given that
i. Nilai
i. Nilai [−10] [8]
The value of [6]
The value of ii. Nilai

ii. Nilai k jika = 25 [−3] The value of

The value of k if = 25

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
(c) (d)

[ 8, −4.5, 3.5] [7,
Diberi luas P ialah 4.5 unit2 dan luas Q ialah 8 unit2. Diberi luas Q ialah 18 unit2,
Cari kamiran tentu
Given that the area Q is 18 unit2,
Given that the area of P is 4.5 unit2 and area of of Q is 8
unit2. Find the definite integral (i) Cari luas P Find the area of P
(ii) ungkapkan luas Q dalam tatatanda kamiran
(ii)
Express the area of Q in integration notation
(iii)

(e) Diberi ( ) = f(x), hitungkan nilai (f) Diberi ( ) = f(x), hitungkan nilai

[] []
Given that ( ) = f(x), calculate the value of Given that ( ) = f(x), calculate the value of

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5

4. Cari luas rantau berlorek

Find the area of shaded region

Nota Imbasan Smart Note

Luas di antara lengkung dengan paksi x Luas di antara lengkung dengan paksi y
Area between the curve and the x axis Area between the curve and the y axis
L= L=

Contoh Example (a)

Luas Area ] [30]
= [3 ]
= [ 4 – 7x −

= {[ 4 – 7(6) − ] − [ 4 – 7(3) − ]}
= 24 (c)
(b)

[16 ]

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
(d) (e)

[1.89] [76 ]

5. Cari luas rantau berlorek yang dibatasi oleh lengkung dan garis lurus

Find the area of shaded region that bounded by a curve and a straight line.

Contoh Example (a)

[4.5]

Titik Persilangan Point of intersection
– 4x + 6 = 6 – x
– 3x = 0
x(x – 3 ) = 0

x = 0 atau x = 3
(0,6) atau (3,3)
Luas di bawah lengkung + luas segitiga

Area under curve + area of triangle

= + (3)(3)

= [ − + 6x] + 4.5

={ [ − 2 + 6(3)]− [ − 2 + 6(0)]} +

4.5
=13.5 unit2

I MODUL KSSM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
(b) (c)

[20 ] [53 ]

(d) (e)
[7 ] [4.5]