28 Тоочин Нямтогтох 2023 он Дүүргийн олимпиад 7, 8, 9-р анги
Холбогдох утасны дугаар: 9971-6609 8871-6609 Дүүргийн олимпиад анхдугаар хэвлэл Зохиогчид: Т.Нямтогтох Редакторууд: О.Нарантуяа МУИС, С.Сайнзаяа МУИС Хэвлэлийн эхийг бэлтгэсэн: Б.Ариунтуяа, Б.Лхагвасүрэн Зургийн дизайнер: Б.Мялхайжав Хэвлэсэн тоо: 500ш
- 3 - Гарчиг 1. Өмнөх үг ..................................................................................................................................... 4 2. Олон улсын дунд ангийн олимпиад 2.1 Ганцаарчилсан төрөл.......................................................................................................... 6 2.2 Багийн төрөл ....................................................................................................................... 8 2.3 Asia Inter-Cities Teenager’s Mathematics Olympiad 2005................................................ 11 2.4 Asia Inter-Cities Teenagers Mathematics Olympiad 2009 ................................................. 13 2.5 International Teenager’s Mathematics Olympiad 2015 (ITMO)........................................ 16 2.6 International Teenager’s Mathematics Olympiad 2017 (ITMO)....................................... .21 2.7 International Young Mathematicians Convention 2022 (IYMC) ....................................... 25 2.8 International Young Mathematicians Convention 2022 (IYMC) ....................................... 26 2.9 International Young Mathematicians Convention 2006 (IYMC) ....................................... 29 3. Хот хооронд, Оросын олимпиад 1-ийн даваа, IMAS, 3.1 Хаврын уралдаан 2022 бэлтгэл даваа ............................................................................. 31 3.2 Хаврын уралдаан 2016 бэлтгэл даваа ............................................................................. 32 3.3 Хаврын уралдаан 2016 үндсэн даваа .............................................................................. 33 3.4 Тайван 2022 дунд ангийн олимпиад. .............................................................................. 34 3.5 Бүх Оросын математикийн олимпиад 1-ийн даваа 7-9-р анги ..................................... 37 3.6 IMAS 2011 он дунд анги 2-р шат..................................................................................... 40 3.7 IMAS 2014 он дунд анги 2-р шат .................................................................................... 43 3.8 IMAS 2017 он дунд анги 2-р шат .................................................................................... 46 4. Дүүргийн олимпиад 4.1 Дүүргийн олимпиад 7-р анги 2010-2022 он ................................................................... 48 4.2 Дүүргийн олимпиад бодолт 7-р анги .............................................................................. 53 4.3 Классик 2017 он ................................................................................................................ 69 4.4 Дүүргийн олимпиад 8-р анги 2010-2022 он ................................................................... 75 4.5 Дүүргийн олимпиад 9-р анги 2011-2022 он ................................................................... 97 4.6 Классик 2011 анхдугаар олимпиад................................................................................ 101 4.7 Классик 2011 олимпиад сорил-2 .................................................................................... 103 4.8 Дунд анги Пи тооны олимпиад 7-9-р анги.................................................................... 104 4.9 Дунд ангийн багийн төрөл IMC-2000 он...................................................................... 106 4.10Бодолт.............................................................................................................................. 109 5. Хавсралт ................................................................................................................................. 111
Олон улсын дунд ангийн олимпиад - 4 - Өмнөх үг Уг ном нь математик сонирхогч болон математикийн багш, 10 хүртэлх ангийн сурагчдад зориулагдсан. Сүүлийн 10 гаруй жил зохиогдсон дунд ангийн дүүргийн олимпиадын бодлогууд болон 2022 оны олон улсын дунд ангийн материалаар бэлтгэлээ. Мөн ОХУ-ын математикийн олимпиадын материал, дунд ангийн ITMO, IYMC, IMAS, нэмэлт зарим сэдвүүдийн бодлого, бодолтыг эмхэтгэлээ. Монгол улс 2016, 2017 онд IMC олон улсын олимпиадын бага, дунд ангийн төрөлд тус бүр хоёроос олон алтан медалийг хүртэж байсан. Тухайн сурагчид Олон улсын олимпиадад түүхэн амжилт тогтоосон. Монгол улс бага ангийн IMC олимпиадад анх удаа сурагчдаа оролцуулж, улмаар олон шинэ амжилтуудыг бий болоход онцгой үүрэг гүйцэтгэсэн Математикийн ухааны доктор Б.Батцэнгэл багшдаа нийт математикчдын өмнөөс баярласан, талархсанаа илэрхийлье. Уг номонд чухал зөвлөгөө өгсөн Ч.Гантөмөр, Б.Төрболд, О.Нарантуяа, Д.Сэржмядаг багш нартаа баярлалаа. Шинэ-Өнөөдөр сургуулийн хамт олондоо баярлалаа. Сүүлийн жилүүдэд манай оронд бага ангийн олимпиад цөөхөн зохион байгуулагдах болсон ба математикт сонирхолтой, ирээдүйд өндөр амжилт гаргах сурагчдын тоо цөөрсөөр байна. Бид бүхэн амжилтаа давтах, илүү амжилт гаргахын тулд дор бүрнээ хичээж ажиллацгаая. Математикт дуртай сурагчдын тоо олшрох тусам бидний амжилт өсөн нэмэгддэг. Аливаа олимпиад, уралдаан тэмцээнд амжилт гаргахад дараах 6 хүчин зүйл хамгийн чухал. • Сурагчийн сонирхол, хүсэл тэмүүлэл, тасралтгүй хөдөлмөр • Сэтгэлээсээ хүүхдийн төлөө ажилладаг багш • Хүүхдээ ойлгож, амжилт өөд чиглүүлж өгдөг эцэг, эхийн дэмжлэг • Сурах орчин, сургуульдаа дуртай байх • Сургуулиудын тухайн хичээлийг дэмжсэн нэмэлт хөтөлбөр. • Олон дугуйланд хамрагдахгүй, сурах ачаалал бага байх Номыг ашиглах заавар: Тухайн сурагч бодлого бодохдоо эхлээд тодорхой хугацаанд бодлогоо оролдож үзээд чадахгүй бол бодолт, зааврыг нь харна уу. Мөн сургуулийнхаа математикийн багшаас асууж болно. Танд амжилт хүсье. Номонд гарсан алдаа дутагдал байвал ℎℎ@. хаяг руу илгээнэ үү. Баярлалаа.
Математикийн багш Тоочин овогтой Нямтогтох - 5 - Бага, дунд ангийн IMC олимпиадад Монгол улс 2018, 2019, 2021 онд оролцоогүй тасарсан жилүүдийн ажилдаа дүгнэлт хийж энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд санаачлага гарган онцгойлон анхаарсан Монгол улсын гавьяат багш З.Бат-Эрдэнэ, олимпиадын хорооны нарийн бичгийн дарга, доктор Даянцолмон болон бусад багш нартаа нийт математик сонирхогч сурагчдынхаа өмнөөс талархсанаа илэрхийлье. 2022 онд Монгол улс дотооддоо сонгон шалгаруулалт зарласанд туйлын баяртай байна. Дунд анги 15 бодлоготой эхний хэсэг 12 бодлого тус бүр 5 оноо, сүүлийн хэсэг 3 бодлого тус бүр 20 оноотой. 120 минутын хугацаанд эхний хэсгийн хариуг тавина, сүүлийн хэсэг бодолт бичнэ. Нийт 3 удаа сорил авсан. Уг 3 сорилын эцсийн дүнгээр дараах 8 сурагч дунд ангийн төрөлд шалгарч олон улсын дунд ангийн олимпиадад оролцсон. Индонез улсад 2022 оны 6.30-7.06 өдрүүдэд цахимаар зохион байгуулагдсан бага, дунд ангиллын олон улсын математикийн олимпиадад дунд ангийн төрөлд монгол улсын 2 баг оролцлоо. 1. СБД Сант сургууль С.Манлай 90 оноо Алтан медаль Бэлтгэсэн багш Д.Ганчимэг 2. БГД Эрхэт-Эрдэм сургууль Т.Билгүүнгэрэлт 80 оноо Мөнгөн медаль Бэлтгэсэн багш Ч.Сугардорж 3. БГД Эрхэт-Эрдэм сургууль Ч.Ирмүүн 75 оноо Мөнгөн медаль Бэлтгэсэн багш Ч.Сугардорж 4. БЗД 11-р сургууль Н.Болор 70 оноо Мөнгөн медаль Бэлтгэсэн багш Д.Хосбаяр, С.Буяндэлгэр 5. ХУД Хобби сургууль Э.Тэнүүн 65 оноо Мөнгөн медаль Бэлтгэсэн багш Б.Вандансүрэн 6. БГД Эрхэт-Эрдэм сургууль О.Түвшинбаатар 65 оноо Мөнгөн медаль Бэлтгэсэн багш Ч.Сугардорж 7. СБД Шинэ-Үе сургууль Б.Тэнүүнсайхан 45 оноо Хүрэл медал Бэлтгэсэн багш Б.Мөнхтулга 8. СБД 11-р сургууль Б.Бэлгүтэй 45 оноо Хүрэл медаль Бэлтгэсэн багш С.Буяндэлгэр Өмнөх үг Уг ном нь математик сонирхогч болон математикийн багш, 10 хүртэлх ангийн сурагчдад зориулагдсан. Сүүлийн 10 гаруй жил зохиогдсон дунд ангийн дүүргийн олимпиадын бодлогууд болон 2022 оны олон улсын дунд ангийн материалаар бэлтгэлээ. Мөн ОХУ-ын математикийн олимпиадын материал, дунд ангийн ITMO, IYMC, IMAS, нэмэлт зарим сэдвүүдийн бодлого, бодолтыг эмхэтгэлээ. Монгол улс 2016, 2017 онд IMC олон улсын олимпиадын бага, дунд ангийн төрөлд тус бүр хоёроос олон алтан медалийг хүртэж байсан. Тухайн сурагчид Олон улсын олимпиадад түүхэн амжилт тогтоосон. Монгол улс бага ангийн IMC олимпиадад анх удаа сурагчдаа оролцуулж, улмаар олон шинэ амжилтуудыг бий болоход онцгой үүрэг гүйцэтгэсэн Математикийн ухааны доктор Б.Батцэнгэл багшдаа нийт математикчдын өмнөөс баярласан, талархсанаа илэрхийлье. Уг номонд чухал зөвлөгөө өгсөн Ч.Гантөмөр, Б.Төрболд, О.Нарантуяа, Д.Сэржмядаг багш нартаа баярлалаа. Шинэ-Өнөөдөр сургуулийн хамт олондоо баярлалаа. Сүүлийн жилүүдэд манай оронд бага ангийн олимпиад цөөхөн зохион байгуулагдах болсон ба математикт сонирхолтой, ирээдүйд өндөр амжилт гаргах сурагчдын тоо цөөрсөөр байна. Бид бүхэн амжилтаа давтах, илүү амжилт гаргахын тулд дор бүрнээ хичээж ажиллацгаая. Математикт дуртай сурагчдын тоо олшрох тусам бидний амжилт өсөн нэмэгддэг. Аливаа олимпиад, уралдаан тэмцээнд амжилт гаргахад дараах 6 хүчин зүйл хамгийн чухал. • Сурагчийн сонирхол, хүсэл тэмүүлэл, тасралтгүй хөдөлмөр • Сэтгэлээсээ хүүхдийн төлөө ажилладаг багш • Хүүхдээ ойлгож, амжилт өөд чиглүүлж өгдөг эцэг, эхийн дэмжлэг • Сурах орчин, сургуульдаа дуртай байх • Сургуулиудын тухайн хичээлийг дэмжсэн нэмэлт хөтөлбөр. • Олон дугуйланд хамрагдахгүй, сурах ачаалал бага байх Номыг ашиглах заавар: Тухайн сурагч бодлого бодохдоо эхлээд тодорхой хугацаанд бодлогоо оролдож үзээд чадахгүй бол бодолт, зааврыг нь харна уу. Мөн сургуулийнхаа математикийн багшаас асууж болно. Танд амжилт хүсье. Номонд гарсан алдаа дутагдал байвал ℎℎ@. хаяг руу илгээнэ үү. Баярлалаа.
Олон улсын дунд ангийн олимпиад - 6 - 1-р хэсэг. Бодлого бүр 5 оноо. 1. 2 + + = 0 тэгшитгэл хоёр шийдтэй байг. Хэрэв + = 16 бол хэд вэ? 2. 2 + тоо яг 6 натурал хуваагчтай байх натурал тоо хичнээн байх вэ? 3. 32+2+22 ++ илэрхийлэл хамгийн бага утгаа авдаг байх эерэг тоонуудыг , ба . Хэрэв = 432 бол 3 + + 3 нийлбэрийг ол. 4. Зурагт харуулснаар, зөв гурвалжныг багтаасан тойрог дээр зурагт харуулснаар цэгийг = 24 см ба = 8 см байхаар сонгоё. Хэрэв ба хэрчмүүд цэгт огтлолцдог бол хэрчмийн уртыг ол. Хариултаа см-ээр илэрхийл. 5. , , ба нь 0 < < < < < 2022, + = + ба − = 2021 байх натурал тоонууд байг. Тэгвэл энэ нөхцөлийг хангах эрэмбэлэгдсэн (, , , ) дөрвөл хэд байх вэ? 6. 1, 2, 3, 4, … , натурал тоонуудын аравтын бичлэг дэх бүх 2 цифрийн тоог () гэе. Жишээ нь: (23) = 7, учир нь 2 цифр 2, 12, 20, 21, 23 тоо бүрт нэг удаа 22 тоонд хоёр удаа орсон тул (23) = 5 + 2 = 7. () = байх натурал -ийг ол. 7. 2 + 2018 + 1 = 0 тэгшитгэлийн ялгаатай хоёр язгуурийг ба , мөн 2 − 2022 + 1 = 0 тэгшитгэлийн ялгаатай хоёр язгуурийг ба гэе. ( + )( − )( + )( − ) илэрхийллийн утгыг ол.
Математикийн багш Тоочин овогтой Нямтогтох - 7 - 8. Зурагт үзүүлсэн цэгүүдээс гурвалжин үүсгэж байхаар ялгаатай гурван цэгүүдийг хичнээн янзаар сонгож болох вэ? 9. зурагт өгсөн зөв зургаан өнцөгт байг. талын дундаж цэг , ба -ийн огтлолцлын цэг нь байг. Хэрэв хэрчмийн урт 140 см бол -ийн уртыг ол. Хариултаа см -ээр илэрхийл. 10. Тэгээс ялгаатай 1, 2, 3, 4, … , 1000 тоонуудыг тойрог дээр бичигдсэн байг. Сондгой дугаартай тоо бүр нь өөрийн хөрш хоёр тоонуудынхаа нийлбэртэй тэнцүү ба тэгш дугаартай тоо бүр нь хөрш хоёр тоонуудынхаа үржвэртэй тэнцүү байг. Тэгвэл энэ мянган тоонуудын нийлбэр хэд байж болох вэ? 11. Цифрүүдийнх нь үржвэр 120 ба цифрүүдийнх нь нийлбэр 20 гардаг 10 оронтой натурал тоо хэд байх вэ? 12. нь зурагт үзүүлсэн = ба ∠ = 108° байх адил хажуут гурвалжин байг. гурвалжны дотор цэгийг ∠ = 30° ба ∠ = 12° байхаар сонгов. ∠ өнцгийг ол. Хоёрдугаар хэсэг. Бодлого бүр 20 оноо, бодолтыг бүрэн бичнэ. B1. Анна, Борис нар нүд бүртээ яг нэг зоостой 6 × 8 хүснэгт дээр дараах дүрмийн дагуу тоглоно. Тоглоомыг Анна эхэлж тэд ээлжилнэ. Анна өөрийн ээлжиндээ нэг мөр эсвэл 1-р хэсэг. Бодлого бүр 5 оноо. 1. 2 + + = 0 тэгшитгэл хоёр шийдтэй байг. Хэрэв + = 16 бол хэд вэ? 2. 2 + тоо яг 6 натурал хуваагчтай байх натурал тоо хичнээн байх вэ? 3. 32+2+22 ++ илэрхийлэл хамгийн бага утгаа авдаг байх эерэг тоонуудыг , ба . Хэрэв = 432 бол 3 + + 3 нийлбэрийг ол. 4. Зурагт харуулснаар, зөв гурвалжныг багтаасан тойрог дээр зурагт харуулснаар цэгийг = 24 см ба = 8 см байхаар сонгоё. Хэрэв ба хэрчмүүд цэгт огтлолцдог бол хэрчмийн уртыг ол. Хариултаа см-ээр илэрхийл. 5. , , ба нь 0 < < < < < 2022, + = + ба − = 2021 байх натурал тоонууд байг. Тэгвэл энэ нөхцөлийг хангах эрэмбэлэгдсэн (, , , ) дөрвөл хэд байх вэ? 6. 1, 2, 3, 4, … , натурал тоонуудын аравтын бичлэг дэх бүх 2 цифрийн тоог () гэе. Жишээ нь: (23) = 7, учир нь 2 цифр 2, 12, 20, 21, 23 тоо бүрт нэг удаа 22 тоонд хоёр удаа орсон тул (23) = 5 + 2 = 7. () = байх натурал -ийг ол. 7. 2 + 2018 + 1 = 0 тэгшитгэлийн ялгаатай хоёр язгуурийг ба , мөн 2 − 2022 + 1 = 0 тэгшитгэлийн ялгаатай хоёр язгуурийг ба гэе. ( + )( − )( + )( − ) илэрхийллийн утгыг ол.
Олон улсын дунд ангийн олимпиад - 8 - мөрөнд байрлах хөрш нүднүүдэд байгаа зооснуудыг авна. Борис өөрийн ээлжиндээ зөвхөн нэг зоосыг авна. Гэхдээ Анна өөрийн ээлжиндээ хөрш нүднүүдэд байрлах зооснуудыг авч чадахгүй болсон үед Борис үлдсэн бүх зооснуудыг авна. Борис хамгийн олондоо хэдэн зоос авч чадах вэ? B2. ба нь зурагт үзүүлсэн төвтэй тойргийн ⊥ байх радиусууд байг. нь энэ тойрог дээрх цэг ба хэрчим дээр цэгийг = 4 байхаар тэмдэглэв. Хэрэв = 8 см бол хэрчмийн хамгийн бага утгыг ол. Хариултаа см -ээр илэрхийл. B3. ̅ ̅̅̅̅̅̅ нь √̅̅̅̅̅̅̅ √̅̅̅̅+√̅ ̅̅̅ рационал тоо байх дөрвөн оронтой тоо байг. Энд , ≠ 0. ̅ ̅̅̅̅̅̅ -ийн авч болох бүх утгыг ол. 1. Урдаасаа болон хойноосоо ижилхэн уншигддаг тоог палиндром тоо гэж нэрлэдэг. 101 − д хуваагддаг 11 оронтой хичнээн палиндром тоо байх вэ? 2. Дурын бодит ба −ийн хувьд () + 2() = 3 ( + 2 3 ) байх дурын бодит −ийн хувьд тодорхойлогдсон () функц байг. Хэрэв (2) = 1 ба (5) = 7 бол f(2022) −ийг ол. 3. Индонезийн нэгэн өдөр технологийн компани өндөр барилга дээрээс унахад хагардаггүй аюулгүйн дэрийг бүтээжээ. Нэгэн инженер 75 давхар Индонезийн хамгийн өндөр барилга Autograph Tower Thamrin Nine-д дараах туршилтыг хийжээ. Түүний зорилго нь дээр дурьдсан аюулгүйн дэр хамгийн өндөртөө хэдэн давхараас унгаахад хагарахгүй байх вэ? гэдгийг олход оршино. Инженер хамгийн өндөр давхарт хүрэхээс өмнө хоёр аюулгүйн дэр
Математикийн багш Тоочин овогтой Нямтогтох - 9 - хагарвал туршилт бүтэлгүйтсэнд тооцогдоно. Инженер хамгийн өндөр давхарыг олохын тулд аюулгүйн дэрүүдийг хамгийн цөөндөө хэдэн удаа хаях хэрэгтэй вэ? 4. 1,2, 3,4, 5 нь зурагт харуулснаар нэгж радиустай тойрог дээр ∡524 = ∡135 = ∡241 = ∡352 = 300 байхаар оршино. 24 ба 35, 35 ба 41, 41 ба 52, 52 ба 13 хэрчмүүд харгалзан 1, 2,3, 4, 5 цэгүүдэд огтлолцдог байг. 12345 таван өнцөгтийн талбайг ол. Хариултаа квадрат нэгжээр илэрхийл. 5. Хэрэв + = 7, 2 + 2 = 49, 3 + 3 = 133 ба 4 + 4 = 406 бол 2022( + ) + 7( + ) + 2 илэрхийллийн утгыг ол. 6. Аль ч дараалсан хоёр тооных нь нийлбэр анхны тоо гардаг байхаар 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 тоонуудыг нэг мөрөнд хэдэн янзаар цувуулан бичиж болох вэ? 7. нь зурагт үзүүлсэн ∥ байх трапец байг. ба диагоналииудын огтлолцлын цэгийг гэе. , ба хэрчмүүдийн дунджыг харгалзан , ба гэе. Хэрэв ∡ = 1200, ∡ = ∡ ба гурвалжны талбай 1024√3 см2 бол хэрчмийн уртыг ол. Хариултаа см-ээр илэрхийл. 8. нь зурагт үзүүлсэн зөв гурвалжин байг. ба цэгүүд харгалзан ба хэрчмүүд дээр ∡ = 150 ба ∡ = 300 байхаар оршино. гурвалжныг багтаасан тойрог шулуунтай цэгт огтлолцоно. Тэгвэл = гэж батал. мөрөнд байрлах хөрш нүднүүдэд байгаа зооснуудыг авна. Борис өөрийн ээлжиндээ зөвхөн нэг зоосыг авна. Гэхдээ Анна өөрийн ээлжиндээ хөрш нүднүүдэд байрлах зооснуудыг авч чадахгүй болсон үед Борис үлдсэн бүх зооснуудыг авна. Борис хамгийн олондоо хэдэн зоос авч чадах вэ? B2. ба нь зурагт үзүүлсэн төвтэй тойргийн ⊥ байх радиусууд байг. нь энэ тойрог дээрх цэг ба хэрчим дээр цэгийг = 4 байхаар тэмдэглэв. Хэрэв = 8 см бол хэрчмийн хамгийн бага утгыг ол. Хариултаа см -ээр илэрхийл. B3. ̅̅̅̅̅̅̅ нь √̅̅̅̅̅̅̅ √̅̅̅̅+√̅ ̅̅̅ рационал тоо байх дөрвөн оронтой тоо байг. Энд , ≠ 0. ̅̅̅̅̅̅̅ -ийн авч болох бүх утгыг ол. 1. Урдаасаа болон хойноосоо ижилхэн уншигддаг тоог палиндром тоо гэж нэрлэдэг. 101 − д хуваагддаг 11 оронтой хичнээн палиндром тоо байх вэ? 2. Дурын бодит ба −ийн хувьд () + 2() = 3 ( + 2 3 ) байх дурын бодит −ийн хувьд тодорхойлогдсон () функц байг. Хэрэв (2) = 1 ба (5) = 7 бол f(2022) −ийг ол. 3. Индонезийн нэгэн өдөр технологийн компани өндөр барилга дээрээс унахад хагардаггүй аюулгүйн дэрийг бүтээжээ. Нэгэн инженер 75 давхар Индонезийн хамгийн өндөр барилга Autograph Tower Thamrin Nine-д дараах туршилтыг хийжээ. Түүний зорилго нь дээр дурьдсан аюулгүйн дэр хамгийн өндөртөө хэдэн давхараас унгаахад хагарахгүй байх вэ? гэдгийг олход оршино. Инженер хамгийн өндөр давхарт хүрэхээс өмнө хоёр аюулгүйн дэр