Distribusi Sistem Partikel

FISIKA STATISTIK

Distribusi Sistem Partikel

Muhammad Aulia Rahman & Siti Nurhafizah Adha

Daftar Isi

DAFTAR ISI..........................................................................................................................1
KATA PENGANTAR ...........................................................................................................2
BAB I PENDAHULUAN......................................................................................................3
A. Latar Belakang ..................................................................................................................3
B. Rumusan Masalah .............................................................................................................3
C. Tujuan Penulisan ...............................................................................................................3
BAB II PEMBAHASAN .......................................................................................................4
A. Keadaan-Keadaan Mikroskopik dari Suatu Sistem Fisis ..................................................4
B. Konsep Ensamble dan Postulat Statistik ...........................................................................5
C. Probabilitas Keadaan Mikroskopik Tertentu ....................................................................11
BAB III PENUTUP ...............................................................................................................13
A. Kesimpulan .......................................................................................................................13
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................19

1

Kata Pengantar
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan rahmat
dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas berupa makalah pada mata
kuliah Fisika Statistik ini. Sholawat serta salam senantiasa terlimpah curahkan kepada Nabi
Muhammad SAW, kepada keluarganya, para sahabatnya, dan kepada umatnya hingga akhir
zaman.
Alhamdulillah tugas mata kuliah Fisika Statistik dengan materi “Distribusi Sistem
Partikel” ini dapat diselesaikan. Penulis menyadari bahwa masih banyak terdapat kekurangan
dalam makalah ini. Oleh karena itu kritik serta saran sangat penulis harapkan untuk makalah
ini. Penulis berharap makalah ini bermanfaat bagi pembaca dan yang mempelajarinya.

Banjarmasin, Oktober 2021
Penulis

2

BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam ilmu mekanika statistik, dibahas sistem-sistem makroskopik yang terdiri
atas banyak partikel penyusun sistem tersebut. Sifat-sifat makroskopik sistem seperti
suhu, energy, dan sebagainya diturunkan dari sifat-sifat partikel pendukungnya yang
sangat banyak itu. Sifat dan kelakuan partikel-partikel penyusun sistem makroskopik
secara individual disebut dengan keadaan mikroskopik dari sistem makroskopik
tersebut. Banyaknya partikel dalam sistem yang bergerak bebas menyebabkan sulitnya
mengetahui besaran fisis sifat-sifat makroskopik sistem. Namun, besaran-besaran
tersebut dapat diramalkan keadaan fisisnya berdasarkan peluangnya (probabilitas).
Fungsi distribusi bagi sistem partikel identik merupakan peluang sebuah
partikel berada pada tingkat energy. Fungsi ini merupakan perluasan gagasan peluang
diskret untuk kasus energy kontinu. Sampai sejauh ini, di alam, paling tidak terdapat
tiga fungsi distribusi yang berbeda, yaitu fungsi distribusi Maxwell-Boltzman,
BoseEinstein, dan Fermi-Dirac. Namun, yang akan kami bahas disini ialah yang konsep
dasarnya.

B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana Keadaan-Keadaan Mikroskopik dari Suatu Sistem Fisis?
2. Bagaimana Konsep Ensamble dan Postulat Statistik?
3. Bagaimana Probabilitas Keadaan Mikroskopik Tertentu?

C. Tujuan Penulisan
1. Untuk mengetahui bagaimana keadaan-keadaan mikroskopik dari suatu sistem fisis.
2. Untuk mengetahui bagaimana konsep ensamble dan postulat statistik.
3. Untuk mengetahui bagaimana probabilitas keadaan mikroskopik tertentu.

3

BAB II
PEMBAHASAN

A. Keadaan-Keadaan Mikroskopik dari Suatu Sistem Fisis
Dalam suatu sistem seperti gas, suatu keadaan mikro berhubungan atau

berkaitan dengan sekumpulan posisi dan momentum dari partikel-partikel gas.
Biasanya, suatu sistem mempunyai konstrain, misalnya volume tetap, sehingga orang
cukup memperhatikan keadaan-keadaan mikro pada volume tetap itu saja. Dalam
sistem kuantum, keadaan mikro adalah solusi dari persamaan Schrodinger seperti
̂ = .

Keadaan makro adalah sekumpulan keadaan-keadaan mikro dengan energy
tertentu, U, yang memenuhi konstrain tertentu, misalnya energy U, volume V, dan
jumlah partikel N yang konstan. Jumlah keadaan mikro dalam suatu keadaan makro
tertentu dinyatakan sebagai bobot statistic dari keadaan makro tersebut dan dinyatakan
dengan symbol ohm(U,V, N). Pada keadaan setimbang statistik, orang tak memerlukan
rincian dari keadaan-keadaan mikro; yang diperlukan hanyalah jumlah keadaan makro
dalam keadaan makro bersangkutan.

Untuk sistem N partikel identic yang dapat dibedakan secara umum berlaku hal
berikut. Andaikan suatu keadaan makro mengandung m buah keadaan mikro dengan
tingkat-tingkat energy 1, 2, … … , . Jika distribusi partikel-partikel adalah
1, 2, … … , dengan keadaan makro yang mempunyai konstrain



= ∑

=1


= ∑

=1

Maka jumlah keadaan mikro di dalam keadaan makro bersangkutan adalah

Jika sekiranya, tingkat-tingkat energy dalam keadaan mikro mempunyai degenerasi,
misalnya untuk tingkat energy ke-i, maka peluang penempatan buah partikel
ditingkat energy adalah . Dengan demikian maka persamaan diatas dapat
disempurnakan menjadi

4

Karena interaksi dan tumbukan, distribusi partikel-partikel pada tingkat-tingkat
energi keadaan mikro bisa berubah. Dapat diasumsikan bahwa pada setiap keadaan
makro dari suatu sistem, ada suatu distribusi yang lebih baik daripada distribusi-
distribusi lainnya. Artinya, secara fisis pada suatu sistem yang memiliki sejumlah
partikel dengan total energy tertentu, terdapat suatu distribusi paling mungkin. Jika
distribusi itu tercapai, sistem itu disebut dalam keadaan setimbang statistic, dan dalam
keadaan itu Ω maksimum.
B. Konsep Ensamble dan Postulat Statistik
1. Konsep Ensamble

Untuk satu assembli tertentu, jumlah sistem dan energi yang dimilikinya selalu
tetap. Tegasnya, seolah-olah kita memiliki sejumlah besar assembli dimana jumlah
sistem dalam tiap-tiap assembli sama, yaitu N tetapi energinya bisa berbeda-beda.
Semua konfigurasi yang mungkin dilakukan bagi penyusunan sistem-sistem dalam
assembli ada wakilnya dalam kelompok assembli tersebut. Apa yang kita miliki dapat
diilustraikan pada gambar di bawah ini.

Sumber:https://phys.unpad.ac.id/wp-
content/uploads/2019/01/Buku-Fistat.pdf

Ensembel adalah kumpulan assembli. Tiap assembli mempunyai jumlah sistem
dan energi yang tetap. Tetapi jumlah sistem yang dimiliki masing-masing assembli

5

sama sedangkan besar energi berbeda antara satu assembli dengan assembli lain.
Misalnya sampel batang logam. Jumlah atom dalam batang logam tetap tetapi energi
dapat keluar atau masuk dari batang logam.

Semua assembli tersebut digabung dalam satu wadah besar (super assembli).
Jumlah assembli dalam sumper assembli tetap dan energi total super assembli juga
tetap. Super assembli semacam ini dinamakan ensembel.

Ilustrasi:
Misalnya ilustrasi adalah kampus. Kampus dapat kita analogikan sebagai ensembel.
Kelas-kelas dalam kampus dianalogikan sebagai assembli. Mahasiswa yang duduk
dalam kelas-kelas dapat dianalogikan sebagai sistem. Jumlah mahasiswa pada tiap
kelas semuanya sama. Namun, energi total yang dimiliki mahasiswa berbeda antara
satu kelas dengan kelas lainnya. Untuk mencari sifat rata-rata satu kelas kita dapat
lakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah mengukur sifat satu kelas dalam jangka
waktu yang lama lalu merata-ratakan hasil yang diperoleh. Cara kedua adalah
mengukur sifat semua kelas secara serentak lalu merata-ratakan sifat tersebut. Cara
pertama hanya memperhatikan satu kelas kemudian melakukan perata-rataan terhadap
waktu. Cara kedua memperhatikan seluruh kelas kemudian merata-ratakan terhadap
jumlah. Secara statistik, hasil yang diperoleh sama.

 Jenis-Jenis Ensembel

Sumber:http://himafi.fmipa.unej.ac.id/wp-
content/uploads/sites/16/2018/09/Diktat-Fisika-Statistik-Mikrajuddin-

Abdullah.pdf

1. Ensembel Mikrokanonik
Karena tidak ada fluktuasi energy maka tidak ada pertukaran energy antar

assembli-assembli kecil yang dibuat dan juga tidak ada pertukaran partikel antar

6

assembli. Ensembel dengan sifat yang terbatas tersebut disebut ensembel
mikrokanonik.

Pada ensembel mikrokanonik, sistem partikel terisolasi dengan lingkungannya,
sehingga yang konstan adalah energy dalam,volume, dan jumlah partikel. Dengan
keadaan seperti itu maka semua keadaan mikro yang mungkin dari sistem
memiliki probabilitas yang sama. Oleh sebab itu, berlaku

Ω( ) = jumlah keadaan mikro berenergi U

Sehingga probabilitas bahwa sistem ada pada keadaan mikro ke-i dengan energy
U adalah = Ω(1 ), dan probabilitas sistem pada keadaan dengan energy ′ ≠
sama dengan nol. Entropi sesuai adalah

= ln Ω(U)

2. Ensembel Kanonik
Jika batasan untuk ensembel diperlonggar sehingga diizinkan untuk terjadinya

pertukaran energy antar assembli yang membangun ensembel tetapi tidak
diizinkan terjadinya pertukaran partikel antar assembli maka ensembel tersebut
disebut ensembel kanonik. Dengan membiarkan sistem partikel kontak termal
dengan suatu reservoir yang besar, maka terjadi pertukaran energy sehingga suhu
sistem sama dengan suhu reservoir.

Dalam ensembel ini, karena terjadi kontak termal antara sistem dan reservoir
maka suhu sistem partikel menjadi tetap. Yang konstan dari sistem partikel adalah
suhu, volume, dan jumlah partikel. Misalkan sistem menempati suatu keadaan
mikro ke-i yang berenergi , energy ini jauh lebih kecil dari pada energy
reservoir sehingga jumlah keadaan mikro gabungan sama dengan jumlah keadaan
mikro dalam sistem partikel,

Ω( ) = ∑ Ω ( − )



Dengan hubungan entropi = Ω, maka

7

Ω( ) = ∑ exp] [ ( − )]



Dengan uraian Taylor,

( − ) ≈ ( ) − ( )


Dan mengingat 1 = ( ) maka



Ω( ) = ( )/ ∑ − /



Dari persamaan terakhir ini terungkap bahwa probabilitas sistem pada keadaan

mikor ke-i adalah
∝ − /

Secara lengkap probabilitas di atas harus dinormalisasi; untuk itu
− /

= 1

Dengan

1 = ∑ − /



Disebut fungsi partisi untuk satu partikel.
Energy rata-rata satu partikel dirumuskan seperti

< >= ∑



Dengan menggunakan (2.23) dan (2.24), maka

< >= ∑ − = − 1 1
1 1


Sehingga diperoleh

< >= − 1


8

Dimana = 1/ .

Dengan persamaan = dan = − / diperoleh apa yang disebut distribusi
1

Maxwell-Boltzmann, yakni jumlah partikel yang menempati keadaan mikro ke-i:

= −
1

Sedangkan

( ) = −

Disebut fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann.

3. Ensembel Kanonik Besar

Jika pembatasan ensembel diperlonggar lagi sehingga disamping pertukaran

energy antar assembli juga diizinkan pertukaran partikel antara assembli maka

ensembel yang kita bangun dinamakan ensembel kanonik besar (grand canonic).

Dalam ensembel kanonik, sistem partikel dibiarkan kontak termal dengan

reservoir panas sehingga terjadi pertukaran energy dan suhu sistem menjadi

konstan. Jika selain pertukaran energy, terjadi pula pertukaran partikel maka

sistem dan reservoir disebut membentuk ensembel kanonik besar. Besaran-

besaran yang konstan dari sistem adalah suhu, volume, dan potensial kimia per

partikel . Dalam keadaan itu, probabilitas menemukan sistem partikel pada

keadaan-i bergantung pada tingkat energy dan jumlah partikel yang

menempati keadaan-i itu, seperti

∝ − ( − )

Untuk normalisasi, maka

Dengan

9

disebut fungsi partisi kakonik besar dari keseluruhan partikel. Dengan
demikian berlaku ∑ = 1.
Berdasarkan entropi Gibs = − ∑ ln maka

Hal di atas dapat dinyatakan seperti

Dimana

Untuk merumuskan fungsi partisi besar dari keadaan-i misalkan tingkat-tingkat
energy 1, 2, … … .. secara serentak diduduki oleh jumlah partikel 1, 2, … … ..
maka fungsi partisi kanonik besar total adalah

10

Atau

Dengan

2. Postulat Statistik
1) Postulat “Equal a Priori Probability”

Postulat ini menyatakan bahwa semua keadaan kuantum memiliki peluang yang

sama untuk muncul. Lebih lanjut, tidak ada keadaan yang memiliki energy kurang

dari E atau lebih dari E+E∆ karena energy assembli hanya ada dalam rentang E

sampai E+E∆. Postulat tersebut dapat dituliskan secara matematis sebagai

berikut:

( , ) = {01,, < < <> ++∆∆}


2) Postulat Fase Random
Postulat ini menyatakan bahwa kemunculan suatu keadaan tidak mempengaruhi
oleh kemunculan keadaan lainnya. Artinya, tiap keadaan muncul secara random
dari tidak mempengaruhi atau dipengaruhi oleh keadaan lainnya. Secara
matematis, postulat tersebut dinyatakan sebagai berikut:

( , ) = 0, ≠

Catatan:
Jika munculnya satu keadaan dipengaruhi oleh keadaan lainnya maka ( , ) ≠ 0

C. Probabilitas Keadaan Mikroskopik Tertentu
Pada distribusi spasial dari molekul, diasumsikan bahwa setiap molekul dapat

berada dimana saja dalam wadah dengan probabilitas yang sama dan memperoleh
kerapatan yang seragam. Pada distribusi dalam ruang kecepatan, diasumsikan sama

11

bahwa setiap molekul dapat bergerak dengan kecepatan berapa pun dan memiliki
distribusi Maxwell yang telah dikonfirmasi secara eksperimental. Dalam kedua kasus,
diasumsikan probabilitas yang sama untuk gerakan mikroskopik yang tidak dapat
dideteksi, kecuali untuk memaksakan beberapa kendala makroskopik yang jelas.
Selanjutnya, tentukan sifat termal yang benar. Penentuan tersebut terkait dengan prinsip
kesetaraan probabilitas, yaitu “dalam kesetimbangan termal dibawah kendala
direalisasikan dengan probabilitas yang sama”. Kendala makroskopik dalam keadaan
ini yaitu varibel keadaan, seperti energy total atau volume sistem.

Sebenarnya,prinsip tersebut tidak tepat. Misalnya, dalam derivasi distribusi
Maxwell, molekul dibiarkan bergerak dengan kecepatan lebih tinggi dari kecepatan
cahaya. Namun, dalam distribusi Maxwell yang diperoleh pada kondisi ini
kemungkinan menemukan molekul kecepatan tinggi sangat kecil sehingga praktis nol.
Untuk keadaan ini, puncak distribusi menjadi sangat tajam karena ada sejumlah
molekul makroskopik dan sebagian besar realisasi mikroskopik berada di sekitar
puncak. Dengan demikian, jika prinsipnya tidak terpenuhi secara ketat, hasil yang
diperoleh pada dasarnya benar.

12

BAB III
PENUTUP

A. Kesimpulan
1. Keadaan-Keadaan Mikroskopik dari Suatu Sistem Fisis
Suatu keadaan mikro berhubungan atau berkaitan dengan sekumpulan posisi
dan momentum dari partikel-partikel gas. Biasanya, suatu sistem mempunyai
konstrain, misalnya volume tetap, sehingga orang cukup memperhatikan keadaan-
keadaan mikro pada volume tetap itu saja. Dalam sistem kuantum, keadaan mikro
adalah solusi dari persamaan Schrodinger seperti ̂ = .
Keadaan makro adalah sekumpulan keadaan-keadaan mikro dengan energy
tertentu, U, yang memenuhi konstrain tertentu, misalnya energy U, volume V, dan
jumlah partikel N yang konstan. Jumlah keadaan mikro dalam suatu keadaan makro
tertentu dinyatakan sebagai bobot statistic dari keadaan makro tersebut dan
dinyatakan dengan symbol ohm(U,V, N). Pada keadaan setimbang statistik, orang
tak memerlukan rincian dari keadaan-keadaan mikro; yang diperlukan hanyalah
jumlah keadaan makro dalam keadaan makro bersangkutan.
2. Konsep Ensamble dan Postulat Statistik
 Ensembel adalah kumpulan assembli. Tiap assembli mempunyai jumlah sistem
dan energi yang tetap. Tetapi jumlah sistem yang dimiliki masing-masing
assembli sama sedangkan besar energi berbeda antara satu assembli dengan
assembli lain. Ensembel terbagi menjadi 3 jenis, yaitu ensembel mikrokanonik,
ensembek kanonik, dan ensembel kanonik besar.
 Postulat statistik terbagi menjadi 2, yaitu postulat Equal a Priori Probability dan
postulat Fase Random
3. Probabilitas Keadaan Mikroskopik Tertentu
Pada distribusi spasial dari molekul, diasumsikan bahwa setiap molekul dapat
berada dimana saja dalam wadah dengan probabilitas yang sama dan memperoleh
kerapatan yang seragam. Pada distribusi dalam ruang kecepatan, diasumsikan sama
bahwa setiap molekul dapat bergerak dengan kecepatan berapa pun dan memiliki
distribusi Maxwell yang telah dikonfirmasi secara eksperimental. Dalam kedua
kasus, diasumsikan probabilitas yang sama untuk gerakan mikroskopik yang tidak
dapat dideteksi, kecuali untuk memaksakan beberapa kendala makroskopik yang
jelas. Selanjutnya, tentukan sifat termal yang benar. Penentuan tersebut terkait
dengan prinsip kesetaraan probabilitas, yaitu “dalam kesetimbangan termal dibawah

13

kendala direalisasikan dengan probabilitas yang sama”. Kendala makroskopik dalam
keadaan ini yaitu varibel keadaan, seperti energy total atau volume sistem.

14

Soal
1. Carilah rapat probabilitas ( ) untuk energi E dari sebuah atom tunggal dalam gas

monoatomik klasik tak-berinteraksi yang berada dalam kesetimbangan termal.
2. Suatu sistem terdiri dari 3 buah partikel yang tak terbedakan, memiliki energy total =

3 . Sistem tersebut memiliki tingkat energy 0, , 2 , 3 . Jika tidak ada batasan jumlah
partikel yang menghuni setiap aras, maka tentukan keadaan makronya.
3. Jelaskan perbedaan antara statistic Maxwell-Boltzman dengan statistic lainnya.
Bagaimana hubungan statistic-statistik tersebut dengan keterbedaan dari partikel-partikel
identic?
4. 6 buah partikel yang tak terbedakan memiliki energy total 6 dapat didistribusikan pada
aras tenaga 0, , 2 , 3 , 4 . Tentukan keadaan makro dan mikro.
5. Jelaskan mengapa statistic Maxwell-Boltzman tepat digunakan untuk sistem elektron dan
hole semikonduktor Ge pada STP (band-gap≈ 1 eV.

15

Jawaban

1. Ketika jumlah atom dari gas tersebut sangat besar, keadaan sistem dapat dipresentasikan

dalam sebuah fungsi distribusi kontinu. Keetika sistem mencapai kesetimbangan termal,

probabilitas sebuah atom memiliki energy E sebanding dengan exp(-E / kT), dimana =
2/2 , dengan adalah momentum dari atom. Maka probabilitas dari atom berada pada p

dan p + dp adalah:
Aexp(− 2/2 ) 3

Dari
A∫ (− 2/2 ) 3 = 1

Diperoleh

−1

A= (2 ) 2

Sehingga

∫ (− 2/2 ) 3 = 2 ∫0∞ 1 −

3 2

( )2

=∫0∞ ( )

Yang menghasilkan

( ) = 2 12 −
√ ( )32

2. Diketahui: N=3, E=3 1 23
= ∑ x
x
Jk/k xx x xxx
x
3
2

0

3 buah keadaan makro
 Keadaan makro 1
1 = 2, 2 = 0, 3 = 0, 4 = 1

16

= ∑ = 1 + 2 + 3 + 4 = 2 + 0 + 0 + 1 = 3
= ∑ = 2.0 + 0. + 0.2 + 1.3 = 3

dst

3. Statistic Maxwell-Boltzman berlaku untuk sistem terlokalisasi, partikel-partikel saling
terbedakan dan jumlah partikel yang dapat mengisi satu keadaan tidak dibatasi. Jumlah rata-
rata partikel yang mengisi tingkat energy memenuhi bentuk umum
= exp(−∝ − )

Dengan adalah degenerasi dari tingkat energy ke-l.

Statistik Fermi-Dirac berlaku untuk sistem yang terdiri atas fermion, partikel-partikel tak

dapat terbedakan dan memenuhi prinsip larangan Pauli. Satu keadaan hanya dapat diisi

maksimal dua partikel dengan arah spin berlawanan. Jumlah rata-rata partikel yang mengisi

tingkat energi el adalah

= − 1
(−∝− )

Statistik Bose-Einstein berlaku untuk sistem yang terdiri atas boson, partikel-partikel tak

dapat terbedakan. Satu keadaan kuantum dapat diisi oleh partikel dalam jumlah berapa pun.

Jumlah rata-rata partikel yang mengisi tingkat energi el adalah

= − 1
(∝+ )

4. g j Nj (Klasik )
wkMB  N ! Nj

j

  wkBE N j  gj 1 !  Einstein)
 j (Bose
N j ! g j 1 !

g j ! (Fermi  Dirac)
Nj! gj Nj !
  wkFD j

5. Elektron dan hole adalah fermion sehingga memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac

−

1/[ + 1]. Dalam semikonduktor, parameter disebut tingkat energy Fermi. Untuk

kebanyakan semikonduktor, lebar celah pita energy di atas 1 eV dan lokasi energy Fermi

17

sekitar tengah-tengah celah pita energy. Dengan demikian ( − ) ≈ 0,5 eV. Pada STP nilai
energy termal kT≈ 0,025eV. Dengan demikian ( − )/ ≈ 0,5/0,025 = 20 sehingga
( − )/ ≫ 1 atau fungsi Fermi-Dirac untuk elektron dan hole dalam semikonduktor dapat
diaprokasimasi dengan 1/ ( − )/ = ( − )/ yang merupakan fungsi distribusi Maxwell-
Boltzmann.

18

Daftar Pustaka

Abdullah, Mikrajuddin, Mekanika Statistik, Bandung: Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam ITB, 2017

https://phys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2019/01/Buku-Fistat.pdf

Abdullah, Mikrajuddin, Pengantar Fisika Statistik untuk Mahasiswa, ITB: 2007.
http://himafi.fmipa.unej.ac.id/wp-content/uploads/sites/16/2018/09/Diktat-Fisika-Statistik-
Mikrajuddin-Abdullah.pdf

Rajagukguk, Juniastel, Fisika Statistik, Jakarta Timur: PT. Bumi Aksara, 2020.
https://books.google.co.id/books?hl=id&lr=&id=9L_8DwAAQBAJ&oi=fnd&pg=PA3&dq=k
eadaan+mikroskopik+tertentu+fisika+statistik&ots=wx73Uri6xA&sig=pnDK2v1rP7oQbsl2E
zHW_Sl628k&redir_esc=y#v=onepage&q=keadaan%20mikroskopik%20tertentu%20fisika
%20statistik&f=false

Siregar,Rustam.E, Fisika Statistik, Semarang: UNPAD, 2012.
https://phys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2019/01/Buku-Fistat.pdf

Wati, Widya. 2014. “Aplikasi Distribusi Maxwell-Boltzman dalam Menentukan Kecepatan
Molekular”. dalam Jurnal Ilmiah Pendidikan Fisikal ‘Al-Biruni’. 3(2): 71-78.

https://scholar.google.com/scholar?hl=id&as_sdt=0%2C5&q=aplikasi+distribusi+maxwell+b
oltzmann&oq=aplikasi+distribusi+max#d=gs_qabs&u=%23p%3DCVpBHabFslYJ

Purwoningsih, Tuti. 2012. “Komputasi Distribusi Neutron Dalam Statistik Maxwell-
Boltzman”. dalam Jurnal Matemika, Sains, dan Teknologi. 13(1): 22-32.

https://scholar.google.com/scholar?hl=id&as_sdt=0%2C5&q=komputasi+distribusi+neutron
+dalam+statistik+maxwell+boltzman&btnG=#d=gs_qabs&u=%23p%3DyclFsvDUJgEJ

19