เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก

หนงั สืออิเลก็ ทรอนิกสร์ ายวิชาคณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี๕

คานา

การเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตรท์ ่ีมุ่งเน้นให้
ผเู้ รียนมีความรู้ในวชิ าคณติ ศาสตร์จากการเรยี นในหอ้ ง
เพียงอย่างเดียว ทาใหน้ ักเรยี นมคี วามคิดเกยี่ วกับวิชา
คณติ ศาสตร์วา่ วิชาคณิตศาสตร์เปน็ วชิ าที่ตอ้ งเน้น
ทฤษฎี หลกั การ และเนื้อหาเท่านั้น ซงึ่ มีผลทาให้
นกั เรยี นไมช่ อบวิชาคณติ ศาสตร์

ผู้จดั ทาหวังว่า โครงงานคณติ ศาสตรน์ ้จี ะเป็น
ประโยชน์ต่อผูท้ ี่สนใจวิชาคณิตศาสตร์ และผทู้ ่ี
ตอ้ งการจะศกึ ษาคน้ คว้าทุก ๆ ทา่ น ขอขอบพระคณุ
อาจารย์ศิริวรรณ ขาพาลี ที่ช่วยเปน็ ทปี่ รึกษาและดแู ล
เป็นอย่างดี

สารบัญ

เรือ่ ง หนา้

แบบทดสอบกอ่ นเรียน 1

เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ัดฉากสองมิติ 11

เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉากสามมติ ิ 15

การเท่ากนั ของเวกเตอร์ 18

การบวกเวกเตอร์ 19

เวกเตอรศ์ นู ย์ 20

นเิ สธของเวกเตอร์ 21

การลบเวกเตอร์ 22

การคณู เวกเตอรด์ ้วยสเกลาร์ 23

สมบัติของการบวกเวกเตอรใ์ นระบบพกิ ัดฉาก 24

และการคณู เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ัดฉากด้วยสเกลาร์

แบบฝกึ หัด 27

แบบทดสอบหลงั เรยี น 31

1

แบบทดสอบก่อนเรยี น

1.ข้อใดกล่าวถงึ เวกเตอรท์ ก่ี าหนดให้ถูกต้อง

1.สมบตั ปิ ดิ การบวก
2.สมบัติสลับทีก่ ารบวก
3.สมบตั เิ ปลยี่ นกลมุ่ การบวก
4.เอกลักษณ์การบวก

2

แบบทดสอบกอ่ นเรียน

2.ขอ้ ใดเป็นผลลบของ ത ดว้ ย ҧทก่ี าหนดให้

ҧ

ത

1. 2.

3. 4.

3

แบบทดสอบก่อนเรียน

3.ข้อใดเป็นผลคณู ของ ത ที่กาหนดใหด้ ้วย2
ത

1.

2.

3.
4.

4

แบบทดสอบกอ่ นเรียน

4..ใหน้ ักเรยี นเลือกคาตอบที่ถกู ตอ้ งจากโจทยต์ อ่ ไปน้ี

8 −24

ถ้า ത = −10 และ ҧ = −30 แล้ว ത + ҧ

เท่ากบั ขอ้ ใด12 16

16

1. 20

28

−16
2. −20

−18

−32
3. −40

−4

32
4. 40

4

5

แบบทดสอบก่อนเรียน

5.ให้A(-2,-3)และB(6,-8)ข้อใดเปน็ เวกเตอรA์ B

1. 4 2. 8 3. −8 4. −4
−11 −5 5 11

6.ให้นกั เรยี นเลอื กคาตอบท่ีถูกต้องจากโจทย์ต่อไปน้ี

ถา้ ത = 5 และ ҧ = −10 แล้ว
10 −15
ത + ҧ เทา่ กบั ข้อใด

1. 5 2. −5
5 −5

3. −15 4. 15
−25 25

6

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น

7.ให้A(-6,9,-4) และB(-5,-6,-12)ข้อใดเปน็ เวกเตอร์

AB

−11

1. 3

−16

−1

2. 15

8

1

3. −15

−8

11

4. 3

16

7

แบบทดสอบก่อนเรยี น

8.กาหนดให้C(-1,2,-3) และD(2,4,-3)แลว้ เวกเตอร์
หนง่ึ หน่วยมที ศิ ทางเดียวกับเวกเตอรC์ Dคือเวกเตอร์
ในขอ้ ใด

1.

2.

3.

4.

8

แบบทดสอบก่อนเรยี น

8.กาหนดให้C(-1,2,-3) และD(2,4,-3)แลว้ เวกเตอร์
หนง่ึ หน่วยมที ศิ ทางเดียวกับเวกเตอรC์ Dคือเวกเตอร์
ในขอ้ ใด

1.

2.

3.

4.

9

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น

9.ให้นกั เรียนเลือกคาตอบทีถ่ กู ตอ้ งจากโจทย์ต่อไปนี้

−4
ให้ ത = −3 ขนาดของ ത เท่ากบั ข้อใด

−5 2.4 2หนว่ ย
1.5 2หนว่ ย

3.3 5หน่วย 3.2 5หน่วย

10.ให้A(5,-2)และB(-3,-6)ขนาดของเวกเตอรB์ A
เท่ากับข้อใด

1.4 5หนว่ ย 2.9 5หนว่ ย

3.4 3หน่วย 4.9 3หน่วย

10

แบบทดสอบก่อนเรยี น

ข้อ 1 2 3 4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

11

เวกเตอรร์ ะบบพกิ ดั ฉาก

เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ัดฉากสองมิติ
เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉากสองมติ ิเปน็ การนา

เวกเตอร์มาเขียนบนระนาบของแกน X และแกน Y

จากรูป ത ในระบบพิกดั ฉากเขยี นแทนด้วย หมายถงึ



เวกเตอร์ทว่ี ดั จากจดุ เริ่มต้นไป a หน่วยในแนวนอนและ
b หน่วยในแนวตง้ั โดยจะกาหนดจดุ เริม่ ตน้ ท่ใี ดก็ได้

121

เวกเตอร์ระบบพิกัดฉาก

โดยถา้ a > 0 แล้ว a แทนระยะ หน่วย
วัดตามแนวนอนไปทางดา้ นขวา

ถา้ a < 0 แทนระยะ หน่วย
วดั ตามแนวนนอนทางดา้ นซา้ ย

และถา้ b > 0 แทนระยะ หน่วย
วดั ตามแนวตัง้ ขึ้นไปทางด้านบน

ถา้ b < 0 แทนระยะ หนว่ ย
วดั ตามแนวตงั้ ลงไปทางด้านล่าง
ถ้าเวกเตอร์มจี ุดเร่มิ ตน้ ทจ่ี ุดกาเนิด จะเรียก
เวกเตอรน์ ้นั วา่ เวกเตอรบ์ อกตาแหน่ง
(Positio vector)

131

เวกเตอรร์ ะบบพิกดั ฉาก

ในกรณที ีท่ ราบจดุ เริม่ ต้น และจดุ ปลายของ
เวกเตอร์ ดงั รปู

ถา้ P x1,y1 เปน็ จุดใดๆในระบบแกนมมุ ฉาก
แลว้ PQ = 1 − 2
2 − 1

141

เวกเตอรร์ ะบบพกิ ดั ฉาก

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ A มีพิกัด (4 , -3) และ b
มีพกิ ดั (-1 , 6) จงหา AB

วิธีทา AB = −1 −4
6 − −3

= −5
9

151

เวกเตอร์ระบบพกิ ดั ฉาก

เวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ


บทนิยาม กาหนดให้x,y,zเป็นจานวนจรงิ เรยี ก ว่า



เวกเตอรใ์ นระบบพิกดั ฉากสามหรือเวกเตอรใ์ นสาม
มิตหิ รือเรยี กส้ันๆว่า เวกเตอร์

161

เวกเตอรร์ ะบบพกิ ดั ฉาก

จากรูปOP เป็นเวกเตอร์ในสามมติ ทิ ม่ี จี ดุ เรมิ่ ต้นที่
(0,0)และมจี ุดสนิ้ สดุ ท่ี(x,y,z)สาหรับเวกเตอรท์ ี่
จดุ เร่ิมตน้ มขี ้อกาหนดดงั น้ี

ถา้ P1(x1,y1, z1)เปน็ จดุ เรม่ิ ตน้ และP2(x2, y2, z2)
เปน็ จดุ สน้ิ สุด
2 − 1
2 − 1
1 2 = 2 − 1

171

เวกเตอรร์ ะบบพกิ ดั ฉาก

ตัวอยา่ ง กาหนดP1 มีพิกดั (4,4,4)แลP2มีพิกดั
(0,-3,5)จงหาP1P2

0 04
วธิ ที า 1 2 = −3 0 4

5 1Δ

4
= −7

1

181

เวกเตอร์ระบบพิกัดฉาก

การเทา่ กนั ของเวกเตอร์

บทนยิ าม 1.ถ้า ത = และ ҧ = เปน็

เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉากสองมิติ และ ത = ҧก็

ตอ่ เม่อื = และ =
1 2

2.ถา้ ത = 1 และ −− 2 เป็น
1 2

เวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ แลว้ ത = ҧกต็ อ่ เมื่อ

1 = 2 , 1 = 2 และ 1 = 2

191

เวกเตอร์ระบบพิกัดฉาก

เทปฤน็ ษเวฎกกีบาเทตรบอ1รว.์ใถกน้าเรว തะ กบเ=ตบอพริก์ ดั ฉากแสลอะง ม ติҧ ิ=


แลว้ ത + ҧ = + = +
+

1 2

2.ถ้า = 1 และ ҧ 2

เปน็ เวกเตอรร์ ะบบพิกดั ฉา ก 1สามมิตแิ ล้ว 2

1 2

แล้ว ത + ҧ = 1 + 2

1 2
1 + 2

= 1 + 2

1 + 2

201

เวกเตอร์ระบบพิกัดฉาก

เวกเตอร์ศนู ย์

บทนิยาม 1.เวกเตอรใ์ นระบบพิกดั ฉากสองมิติ
2.หเวมกาเยตถองึร์ใ นത ระ=บบพ00ิกดั ฉากสามิติ
0
หมายถงึ ത = 0
0

211

เวกเตอร์ระบบพกิ ัดฉาก

นเิ สธของเวกเตอร์

บทนิยาม

1.ถ้า ത = ҧกเ็ตปอ่ น็ เมเวอ่ื ก เ ตอ=รใ์ น รแะลบะบ พกิ=ดั ฉ า กสอง
มิติแล้ว ത = 2

2.ถ้า ത = 1 และ ҧ = 2 เป็นเวกเตอร์

1 2
ในระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ แลว้ ത = ҧก็ตอ่ เมื่อ

1 = 2 ; 1 = 2 และ 1 = 2

221

เวกเตอร์ระบบพกิ ัดฉาก

การลบเวกเตอร์

ทฤษฎบ๊ ท 1.ถ้า ത = และ ҧ = เป็น

เวกเตอรใ์ ดๆในระบบพกิ ัดฉากสองมิติ

แล้ว ത − ҧ = − = −
−

1 2

2.ถ้า ത = 1 และ ҧ = 2
เป็นเวกเตอร์ใดๆในระบบ พ 1ิกดั ฉากสามมติ ิ 2

1 − 2

แลว้ ത − ҧ = 1 − 2
1 − 2

231

เวกเตอรร์ ะบบพกิ ัดฉาก

การคูณเวกเตอรด์ ้วยสเกลาร์

ทฤษฎบ๊ ท 1.ถ้า ത = และ ҧ = เป็น

เวกเตอรใ์ นระบบพิกัดฉากสองมติ แิ ละ∝เปน็ จานวนจรงิ

แลว้ ∝ ത =∝ = ∝
∝

a

2.ถ้า ത = b
เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกดัcฉากสามมติ ิแลว้ ∝เป็น

∝

จานวนจริง แลว้ ∝ ത = = ∝


241

เวกเตอร์ระบบพกิ ดั ฉาก

สมบัตขิ องการบวกเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
และการคูณเวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉากด้วยสเกลาร์

ให้ , และ ⅇ เปน็ เวกเตอร์ใดๆใน

ระบบพกิ ัดฉากสองมิติ

1 2 3

และ 1 , 2 และ 3 เปน็ เวกเตอร์ใดๆ
ในระบบพ 1ิกัดฉากส า2มมติ ิ 3

และ∝เปน็ จานวนจรงิ ใดๆสามารถแสดงสมบัติ

การบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอรด์ ้วนสเกลาร์ได้

ดังตาราง

251

เวกเตอรร์ ะบบพกิ ดั ฉาก

261

เวกเตอรร์ ะบบพกิ ดั ฉาก

271

แบบฝึกหดั

1.จงหาเวกเตอรA์ B และ BA
ในระบบพกิ ดั ฉาก เม่ือกาหนดจดุ AและB
ใหด้ งั ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้
1.1A(3,2),B(4,6)

AB =……………………………………………………

=……………………………………………………

1.2A(1,8),B(-2,3)
AB =……………………………………………………

BA =……………………………………………………

281

แบบฝึกหดั

1.3A(-3,-2),B(4,-5)

AB =……………………………………………………………..

=……………………………………………………………

1.4A(12,-4),B(7,-6)
AB =……………………………………………………………..

BA =………………………………………………………………

1.5A(1,1,5)B(-2,6,-3)

=……………………………………………………………

=……………………………………………………………

291

แบบฝกึ หดั

2.จงหาจดุ สิน้ สุดของเวกเตอรA์ B (B)จากเงื่อนไข
ทก่ี าหนดให้ในละขอ้ ต่อไปนี้

2….…1A…B……=……72……A…=…(2…,3…)……………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

2….…2A…B……=……−4…3……, A……4…, −……3………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

2….…3A…B……=……−3…8……, A……1…−……8………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

301

แบบฝกึ หดั

2.4AB = −4 A=(-2,-3)
2

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

9

2.5AB = 5 , A 1, −7,4

−6

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

1

2.6AB = 4 , A 3 − 1,4

2

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

311

แบบทดสอบหลงั เรยี น

1.ขอ้ ใดต่อไปนเ้ี ป็นจดุ ทอ่ี ย่อู ัฐภาคท่ี 1 ท้งั หมด

1.จุด A(3,4,4) และจดุ B(2,-6,1)

2.จุด C(1,1,1) และจดุ D(1,-1,3.)

3.จดุ X(2,7,9) และจดุ R(1,8,5)

4.จุด X(2,3,6) และจุด Y(1,2,4)

2.กาหนดใหจ้ ดุ D(y,4,-2) และจดุ E(12,-9,5)จงหาค่า x

ทท่ี าใหร้ ะยะทางระหว่างจุด D และจดุ E ยาว 90

1. 10 และ 12 2. 8 และ 16

3. 8 และ -16 4. -10 และ 12

3.จงพิจารณาขเอความต่อไปนี้ ข้อใดเป็นปรมิ าณ

เวกเตอร์

1.วิชยั มที ่ดี นิ อยทู่ ภ่ี าคเหนือจานวน 20 ไร่

2.ประตบู านหนง่ึ กวา้ ง 120 เซนตเิ มตร

และสงู 350 เซนตเิ มตร

3.สุดารัตน์ขับรถไปทางทิศใต้ดว้ ยความเรว็

100 กิโลเมตรตอ่ ชั่วโมง

4.แตงโมผลหนึ่งหนัก 5 กโิ ลกรัม

321

แบบทดสอบหลงั เรียน

4.ข้อใดต่อไปน้ี กลา่ วถกู ต้อง

1.เวกเตอรท์ ี่มที ิศทางเดียวกัน เปน็ เวกเตอรท์ ี่อยใู่ น

แนวเส้นตรงเดียวกัน และมหี ัวลกู ศรไปทางเดียวกนั

2.เวกเตอร์ทม่ี ที ศิ ทางเดยี วกัน เป็นเวกเตอรท์ อ่ี ย่ใู น

เส้นตรงขนานกนั และมหี ัวลูกศรไปทางเดียวกัน

3.เวกเตอร์ทมี่ ีทศิ ทางตรงกันข้าม เปน็ เวกเตอร์ท่ีอยู่

ในแนวเส้นตรงเดียวกันหรือขนานกนั และมหี วั ลกู ศรไป

ทางเดยี วกนั

4.เวกเตอรท์ ่มี ีทศิ ทางตรงกนั ขา้ ม เป็นเวกเตอร์ทอี่ ยู่

ในแนวเสน้ ตรงเดียวกัน และมหี วั ลกู ศรไปทางตรงกนั

ข้าม

2

5.กาหนดให้ ത = 4 , ҧ = และ ത + ҧ =

−5
−3
8 จงหาคา่ 2 + 2 + 2

1 1. 77 2. 88

3.95 4. 98

331

แบบทดสอบหลังเรยี น

6.ให้A(-2,-3)และB(6,-8)ข้อใดเปน็ เวกเตอรA์ B

1. 4 2. 8 3. −8 4. −4
−11 −5 5 11

7.ให้นกั เรียนเลอื กคาตอบที่ถูกต้องจากโจทยต์ อ่ ไปน้ี
−10
ถเทา้ า่ ก ത บั ข=้อใด150 และ ҧ = −15 แล้ว ത + ҧ

1. 5 2. −5
5 −5

3. −15 4. 15
−25 25

8.ให้A(-6,9,-4) และB(-5,-6,-12)ขอ้ ใดเป็นเวกเตอรA์ B

−11 −1 1 11

1. 3 2. 15 3. −15 4. 3

−16 8 −8 16

348

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น

9.ให้นกั เรยี นเลือกคาตอบทถ่ี ูกต้องจากโจทย์ต่อไปนี้

−4
ให้ ത = −3 ขนาดของ ത เทา่ กบั ข้อใด

−5 2.4 2หน่วย
1.5 2หน่วย

3.3 5หน่วย 3.2 5หน่วย

10.ให้A(5,-2)และB(-3,-6)ขนาดของเวกเตอรB์ A
เทา่ กับข้อใด

1.4 5หน่วย 2.9 5หน่วย

3.4 3หนว่ ย 4.9 3หนว่ ย

3589

แบบทดสอบกอ่ นเรียน

ข้อ 1 2 3 4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.



3698

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียน

ข้อ 1 2 3 4
1. x
2. x
3. x
4. x
5. x
6. x
7. x
8. x
9. x
10. x

3798

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน

ข้อ 1 2 3 4
1. x
2. x
3. x
4. x
5. x
6. x
7. x
8. x
9. x
10. x