สมการตรีโกณมิติ2

คำนำ

การเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตรท์ ม่ี ุ่งเน้น
ให้ผ้เู รียนมคี วามรูใ้ นวิชาคณิตศาสตร์จากการ
เรียนในหอ้ งเพยี งอยา่ งเดยี ว ทาให้นกั เรยี นมี
ความคิดเกี่ยวกับวิชาคณิตศาสตรว์ ่าวชิ า
คณติ ศาสตร์เปน็ วิชาท่ตี อ้ งเน้นทฤษฎี หลักการ
และเนือ้ หาเท่าน้นั ซึง่ มีผลทาให้นกั เรยี นไม่ชอบ
วชิ าคณิตศาสตร์

ผ้จู ัดทาหวังว่า โครงงานคณิตศาสตรน์ ้ี
จะเป็นประโยชนต์ อ่ ผู้ทสี่ นใจวิชาคณติ ศาสตร์
และผูท้ ตี่ ้องการจะศึกษาค้นคว้าทุก ๆ ท่าน
ขอขอบพระคุณอาจารยศ์ ิริวรรณ ขาพาลี ท่ชี ่วย
เปน็ ทป่ี รกึ ษาและดูแลเปน็ อยา่ งดี

สำรบญั หนำ้
1
เรอ่ื ง 6
แบบฝกึ หัดก่อนเรยี น 8
สมกำรตรโี กณมติ ิ 10
ตวั อย่ำงกำรแกส้ มกำรตรีโกณมิติ 12
แบบฝกึ หดั
แบบทดสอบหลังเรียน

แบบทดสอบก่อนเรียน

คำส่ัง ใหน้ กั เรียนเลือกคำตอบที่ถูกตอ้ งแลว้ ×ลงใน
กระดำษคำตอบ

1.กำหนดให้ tan ≡ 1 จงหำค่ำของcot( + )

2

1. −2 2. 2

3. − 1 4. 1
2
2

2.กำหนด 15sinA = 9 แลว้ 5sinA + 5cosA - 4tanA มีคำ่

ตรงกบั ขอ้ ใด

1. 4 2. 7

3. 3 4. 1

1

3.ขอ้ ใดไม่เป็นเอกลกั ษณ์ตรีโกณมิติ
1.sin2A+cos2A = 1
2. 1+tan2A = sec2A
3. secA⋅cosB = 1
4. cosecA⋅sinA-1 =0
4.ขอ้ ใดกล่ำวถูกตอ้ ง
1.sin27° < sin 43°
2. cos0° <cos89°
3. sin27° > sin 43°
4. cos0°<sin60°
5. ขอ้ ใดต่อไปน้ีกล่ำว ไม่ ถูกตอ้ ง
1.sin218° +cos218° = 1
2. sin218° +sin272° = 1
3. cos272° +cos218° = 1
4.ในสำมเหล่ียมABC มีมุมB = 90° แลว้ sinA =sin(90°-A)

2

6.ขอ้ ใดกล่ำวถูกตอ้ ง
1.ถำ้ sinA = cosB แลว้ AB = 90°
2.ถำ้ sinA = cosB แลว้ A+B = 90°
3.ถำ้ sinA = cosB แลว้ A=B
4.ถำ้ sinA = cosB แลว้ A-B = 90°
7. จงหำค่ำ tan sin + tan = 0 เม่ือ

0 ≤ ≤ 2

1. = 0, =
2. = 0, = 0
3. = 1, = 0
4. = 1, = 1
8.จงแกส้ มกำร cos 2

1. 0 2. 1
3. 2 4. 3

3

9.เอกลกั ษณ์ตรีโกณมิติ

1.กำรคำนวนคำ่ ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ อำจเกี่ยวขอ้ งกบั มุมที่อยู่
ในรูปของ ผลบวกหรือผลลบสูตรท่ีสำคญั

2.มุมที่จุดศูนยก์ ลำงของวงกลม ซ่ึงรองรับดว้ ยส่วนของเส้น
โคง้ ท่ียำว 2πr หน่วยจะมีขนำด 2π เรเดียนและมุมท่ีจุด
ศูนยก์ ลำงของวงกลม ซ่ึงรองรับดว้ ยส่วนโคง้ คร่ึงวงกลมที่
ยำว πr หน่วยจะมีขนำด π เรเดียน

3.กำรเท่ำกนั ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติที่ต่ำงกนั และเป็นจริง
สำหรับทุก ๆ ค่ำของขนำดของมุม

4.ในรูปสำมเหล่ียม ABC ใดๆ ถำ้ a,b และ cเป็นควำมยำว
ของดำ้ นตรงขำ้ มมุม A,B และ C ตำมลำดบั

10.กำหนดให้ ∈ 0 , 2 จงแกส้ มกำร

cos − 3
2

1.120°, 220° 2.150°, 210°

3.120°, 140° 4.180°, 210°

4

แบบทดสอบก่อนเรียน

ข้อ 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

5

สมกำรตรีโกณมติ ิ

เอกลกั ษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เอกลกั ษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หมำยถึง สมกำรตรีโกณมิติที่เป็นจริง
เสมอ ไม่วำ่ จะแทนท่ีตวั แปลดว้ ยจำนวนจริง
ใดๆ กต็ ำม โดยกำรแทนที่ตวั แปลดว้ ย
จำนวนจริงน้นั จะตอ้ งทำใหแ้ ต่ละพจนม์ ี
ควำมหมำยดว้ ย
กำรพสิ ูจน์เอกลกั ษณ์

หมำยถึง กำรพิสูจน์ใหเ้ ห็นจริงวำ่ กลุ่ม
พจนท์ ำงดำ้ นซำ้ ยมือและขวำมือ ของ
เครื่องหมำยเท่ำกบั เท่ำกนั เสมอ ในทุกๆ
ค่ำตวั แปร

6

หลกั กำรในกำรพสิ ูจน์เอกลกั ษณ์
1. ควรพสิ ูจน์จำกดำ้ นท่ียงุ่ ยำกไปหำดำ้ นที่
ง่ำยกวำ่
2. ควรจะเปล่ียนฟังกช์ นั ตรีโกณมิติท่ีโจทย์
กำหนดมำใหเ้ ป็นฟังกช์ นั sine หรือ cosine
เพ่อื ท่ีจะทำใหก้ ำรพิสูจน์เอกลกั ษณ์ง่ำยข้ึน

7

ตัวอย่าง

1. กำหนดให้ θ∈[0,2π]θ∈[0,2π]
จงแก้สมกำรต่อไปนี้
1.1) sinθ=12sinθ=12
วธิ ีทำ sinθ=12sinθ=12

sin30∘=12sin30∘=12
sin(180∘−30∘)=12sin(180∘−30∘)=12

ดงั น้นั
θ=30∘θ=30∘หรือกค็ ือ θ=π6θ=π6
θ=150∘θ=150∘หรือกค็ ือ θ=5π6θ=5π6

8

ตัวอย่าง

1.2) tanθ=1tanθ=1
วธิ ีทำ tan45∘=1tan45∘=1

tan225∘=1tan225∘=1

ดงั น้นั
θ=225∘θ=225∘ หรือ θ=5π4θ=5π4
θ=45∘θ=45∘ หรือ θ=π4θ=π4

9

แบบฝึ กหดั

10

แบบฝึ กหดั

11

แบบทดสอบหลังเรียน

1.กำหนด 15sinA = 9 แลว้ 5sinA + 5cosA - 4tanA
มีค่ำตรงกบั ขอ้ ใด

1. 4 2. 7
3. 3 4. 1
2.ขอ้ ใดกล่ำวถูกตอ้ ง
1.sin27° < sin 43°
2. cos0° <cos89°
3. sin27° > sin 43°
4. cos0°<sin60°
3.จงแกส้ มกำร cos 2
1. 0 2. 1
3. 2 4. 3

12

4.กำหนดให้ ∈ 0 , 2 จงแกส้ มกำร

cos − 3 2.150°, 210°
4.180°, 210°
2

1.120°, 220°

3.120°, 140°

5.ขอ้ ใดไม่เป็นเอกลกั ษณ์ตรีโกณมิติ
1.sin2A+cos2A = 1
2. 1+tan2A = sec2A
3. secA⋅cosB = 1
4. cosecA⋅sinA-1 =0

12

ในส่วนของตอนที่ 2 ให้เตมิ คำตอบลงในกระดำษคำตอบ

6.แกส้ มกำร sin = 1
2

7.กำหนดให ้ 0,2
จงแกส้ มกำรcos = − 3

2

8.จงแกส้ มกำร sin + cos = 1เ
ม่ือ ∈ 0,2

9.กำหนด 0° < < 360°0’
จงแกส้ มกำรxจำกสมกำร

10.จงหำค่ำ tan 30°เมื่อ tan 20° = 0.3640

12

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน

ข้อ 1 2 3 4
1x
2x
3x
4x
5x
6x
7x
8x
9x
10 x

13

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน

ข้อ 1 2 3 4

1x

2x

3x

4x

5x

6 = + −1
6
7 150°, 210°

8 X,0°, 90°360°

9 X=60°, 270°, 300°

10 0.3640

14