MATH CALENDAR

∅ ⊥ ℝ ∅

C OCMOMMMOONNMMAATHT SH S

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

1 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ

Ν’ αποδειχθεί το παρακάτω θεώρημα
«Αν δύο χορδές ΑΒ, ΓΔ ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Ρ,
τότε ισχύει ΡΑ ∙ ΡΒ = ΡΓ ∙ ΡΔ»

Στο διπλανό σχήμα οι χορδές ΑΓ,

ΒΔ τέμνονται στο σημείο Ρ.

i. Να υπολογιστούν οι τιμές

του x.

ii. Για x=10. Αν Ε είναι το

εμβαδόν του ΑΒΓΔ, να

βρεθεί η τιμή της

παράστασης

= + , όπου

̂ = ̂ .

COMMONMATHS 209

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

16 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ

Στο διπλανό σχήμα η πλευρά του ισόπλευρου

τριγώνου ΑΒΓ είναι 2cm και τα σημεία Κ, Λ, Μ

και Ρ, Σ, Τ είναι μέσα των ευθύγραμμων

τμημάτων. ( )
( )
i. Να βρεθεί ο λόγος =

ii. Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης
Α= 80∙(ΡΣΤ)∙R, όπου R η ακτίνα του

περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο

ΑΒΓ.
iii. Έστω , , οι περίμετροι των τριγώνων ΡΣΤ, ΚΛΜ και

ΑΒΓ, αντίστοιχα. Αν = , = , = οι τρεις

πρώτοι όροι μιας γεωμετρικής προόδου, να βρεθεί η τιμή της

παράστασης = + ( ) + , όπου το άθροισμα των 9

πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου.

COMMONMATHS 219

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

25 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ

Στο παραπάνω σχήμα φαίνεται ένα μέρος της γραφικής παράστασης μιας
συνάρτησης f. H συνάρτηση : ℝ → ℝ είναι περιττή.

i. Να συμπληρωθεί η γραφική παράσταση της f και να βρείτε τις
τιμές των , > 0, όπου ( ) = και [ , +∞) το ευρύτερο
διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα.

ii. Αν ( ) = ( − ) + , με ( ) ≥ = ( ) για κάθε x∈ ℝ, να
βρείτε την τιμή του γ.

COMMONMATHS 225

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

31 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ

Είναι γνωστός ο τύπος ( + ) = ∙ + ∙ .

Αν στη θέση του β θέσω το α, τότε γίνεται ⇒ = ∙ .
( + ) =…

Γενικά στον τελευταίο τύπο μπορώ να θέσω όπου α το

 , οπότε έχουμε: = ∙ ⇒ = ∙


 2α, οπότε έχουμε: ∙ = ⋯

Ομοίως έχουμε: ( + ) = ∙ − ∙

Αν στη θέση του β θέσω το α, τότε γίνεται

( + ) =… ⇒ = −

{ ⇒⇒ = = − − = ⋯ =
= ⋯ ⇒ { =

Στους παραπάνω τύπους μπορώ να θέσω όπου α το ή το 2α, οπότε


προκύπτουν οι ανάλογοι τύποι

{ = ⋯ ⇒ =
 = ⋯ {

=

{ = ⋯ =
 = ⋯ ⇒ { =

Λαμβάνοντας υπόψη τους παραπάνω τύπους,

i. να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης
|
= | − +

ii. Αν Α=31,να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης

Β= ∙ ∙ − +


iii. Δίνεται το πολυώνυμο ( ) = ∙ ∙ − √ − + , όπου
< < . Ποιο το υπόλοιπο της διαίρεσης ( ): ( − );

COMMONMATHS 229

ℕ∅∃ ℝ ∅

C OCMOMMMOONNMMAATHT SH S

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ

Δύνεται η ςυνϊρτηςη ǣ ℝ ℝǡ με ൌ − ൅ − − − − ൅ .


Να βρεθούν οι τιμϋσ των α, β, γ, αν γνωρύζετε ότι η ςυνϊρτηςη f εύναι

 γνηςύωσ φθύνουςα ςτο ሺ− ∞ǡ − ሿ
 γνηςύωσ αύξουςαςτο ሾ− ǡ − ሿ
 γνηςύωσ φθύνουςα ςτο ሾ− ǡ ሿ
 γνηςύωσ αύξουςα ςτο ሾ ǡ ൅∞ሻ

250 COMMONMATHS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ

Έςτω οι ςυναρτόςεισ ൌ − − ൅ − ൅ − και


ൌ − − ൅ .

i. Nα βρεθούν οι τιμϋσ των α, β, ώςτε οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ των g,

h να ϋχουν κοινό εφαπτομϋνη ςτο ൌ .
− ∞ − ൅ .
ii. Να υπολογιςτεύ το όριο



COMMONMATHS 251

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

26 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ

Έςτω η ςυνϊρτηςη ൌ − − ൅ − ൅ ൅ ǡ με
ℝ.

i. Να βρεθεύ η μϋγιςτη και η ελϊχιςτη τιμό του λ,ώςτε η f να εύναι

κυρτό ςτο ℝ.

‹‹Ǥ Για τη μικρότερη τιμό του λ, που βρόκατε ςτο i) ερώτ., να

υπολογύςετε το όριο ൅ ሺ − ∙ ൅ ሻǤ
− ′′ሺ ሻ


27 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ

Έςτω η ςυνεχόσ ςυνϊρτηςη ǣ ℝ ℝǡ με ൌ − ൅ ൅ ,
για κϊθε ∈ ℝ.

i. Να υπολογιςτεύ το ολοκλόρωμα .


ii. Να βρεθεύ η θϋςη του τοπικού ελαχύςτου τησ f.

‹‹‹Ǥ Δύνεται η εξύςωςη ൌ ൅ ൅ . Να βρεθεύ η
ሺ ሻ

εξύςωςη εφαπτομϋνη τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ g ςτο ςημεύο

ሺ ǡ ሺ ሻሻǤ

COMMONMATHS 255

COMMONMATHS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

3 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ

Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της κυρτής
συνάρτησης : ℝ → ℝ, με ( ) = ′( − ) + .

i. Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β, όπου [ , ] το διάστημα στο

οποίο η γραφική παράσταση της f είναι γνησίως φθίνουσα.

ii. Να βρεθεί το → [ ′ ( ) ∙ + ].
′( )

COMMONMATHS 263

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

4 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ

Ένας ράφτης έχει ένα ύφασμα 10 μέτρων από το οποίο κάθε μέρα κόβει
2m.

i. Σε πόσες μέρες θα έχει κόψει το ύφασμα;

ii. Ο ράφτης εργάζεται σε μια επιχείρηση, που το βασικό της

αντικείμενο είναι οι πωλήσεις υφασμάτων. Οι συναρτήσεις των

ημερήσιων εσόδων Ε(x) και εξόδων C(x) είναι

{ ( ) = + + (€), όπου x τα εκατοντάδες μέτρα

( ) = + + (€)


ύφασμα, που πουλάει η εταιρεία ημερησίως. Να βρείτε το μέγιστο

ημερήσιο κέρδος και την τιμή του x, με την οποία επιτυγχάνεται

αυτό.

264 COMMONMATHS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

6 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ

Μια ιδέα του συναδέρφου Νίκου Παπαγγελή

Δίνεται η συνάρτηση : [ , ] → ℝ, με ( ) = − .

i. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα στο

[ , ] και στη συνέχεια να βρεθεί η τιμή της παράστασης
= ( ) − ( ), όπου , οι θέσεις μεγίστου και ελαχίστου

της f, αντίστοιχα.

ii. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης = , όπου η ρίζα της
εξίσωσης ( ) = .

iii. Να υπολογιστεί το όριο → −∞ + ( ) + .

266 COMMONMATHS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

7 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ

Έστω οι συναρτήσεις ( ) = − + , ( ) = √ − − και
( )

( ) = ( ) ∙ ( ), με x ∈ [ ⁄ , +∞. )

i. Να βρεθούν τα α, β, αν ( ) = − .
→

ii. Να δειχθεί ότι η h αντιστρέφεται και να βρεθεί η μικρότερη τιμή
του x, ώστε − (| − |) ≥ − ( − ).

COMMONMATHS 267

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

12 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ

Έστω η συνάρτηση ( ) = {−| − | + + + − , − ≤ <
− − , =
− + , < ≤

με α, β, γ ∈ ℝ. Να βρεθούν οι τιμές των α, β και η μεγαλύτερη ακέραια τιμή

του γ, ώστε να πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο
[− , ].

COMMONMATHS 271

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

13 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ

Να συμπληρώσετε τον αριθμό που λείπει
811→ 1821
922→ 1922
007→ 2017
32008→

14 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ

Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) = − + − και ( ) = ( ( ) −)− . Να
− + −

υπολογιστούν τα όρια

i. ( )
→ −∞

ii. ( )
→ +∞

iii. ( ), αν ( ) = ∈ ℝ.
→ +∞ → +∞

272 COMMONMATHS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

15 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ

Έστω η συνάρτηση ( ) = {( + ( − ) , − ≤ ≤ . Να βρεθούν
− ) + − , < ≤

οι τιμές των α, β, γ, ώστε να ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος
Rolle στο [− , ] για τη συνάρτηση f. Στη συνέχεια, να γίνει η μελέτη και

η γραφική παράσταση της f.

COMMONMATHS 273

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

26 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ

Να συμπληρωθεί το παρακάτω Sudoku με τα ψηφία 0, 1, 2, …, 8.

COMMONMATHS 283

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

i. Βουνδουλάκης Ι., Καλλιγάς Χ., Μαρκάκης Ν., Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου.
ii. Βλάμος Π., Δρούτσας Π., Πρέσβης Γ., Ρεκούμης Κ., Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου,

OΕΔΒ.
iii. Αργυράκης Δ., Βουργάνας Π., Μεντής Κ., Τσικοπούλου Στ., Χρυσοβέργης Μ.,

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου, OΕΔΒ.
iv. Ανδρεαδάκης Σ., Πολύζος Γ., Αδαμόπουλος Λ., Κατσαργύρης Β., Σβέρκος Α.,

Δαμιανού Χ., Παπασταυρίδης Σ., Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων A΄ Γενικού
Λυκείου, OΕΔΒ.
v. Ευκλείδεια Γεωμετρία Α΄ και Β΄ Γενικού Λυκείου, Αργυρόπουλος Η., Βλάμος Π.,
Κατσούλης Γ., Μαρκάτης Σ., Σιδέρης Π., OΕΔΒ.
vi. Ανρεαδάκης Σ., Πολύζος Γ., Κατσαργύρης Β., Σβέρκος Α., Παπασταυρίδης Σ.,
Άλγεβρα Β΄ Γενικού Λυκείου, OΕΔΒ.
vii. Συλλογικό έργο, Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης,
OΕΔΒ.
viii. Ανρεαδάκης Σ., Πολύζος Γ., Κατσαργύρης Β., Παπασταυρίδης Σ., Μέτης Σ.,
Μπρουχούτας Κ., Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπου-
δών Οικονομίας και Πληροφορικής, (Γ΄ Γενικού Λυκείου), OΕΔΒ.
ix. Αδαμόπουλος Λ., Σβέρκος Α., Δαμιανού Χ. Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστι-
κής Γ΄ Γενικού Λυκείου, OΕΔΒ.
x. Μπάρλας Τάσος Χ., Μαθηματικά Α΄, Β΄, Γ΄ Γυμνασίου όλων των επιπέδων, Εκ-
δόσεις Μπάρλας.
xi. Παπαδάκης Β., Μαθηματικά Γ1 και Γ2 (Γ΄ Λυκείου), Εκδόσεις Σαββάλας.
xii. Μαθηματικά Γ1 και Γ2 (Γ΄ Λυκείου), Στεργίου Χαρ., Νάκης Χρ., Εκδόσεις Σαβ-
βάλας.
xiii. Μάμαλης Π., Μιχαήλογλου Στ., Τόλης Ευάγ., Τα μαθηματικά των εξετάσεων Γ΄
Λυκείου, Α΄, Β΄ τόμος, Εκδόσεις Λιβάνης.