κυριο σωμα 10 σεπτ-pages-deleted-pages-deleted-pages-deleted

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ
ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

Δημήτριος Νεκτάριος Ε. Κοντόκωστας

COMMONMATHS

Τιτλος
Μαθηματικό ημερολόγιο

Συγγραφέας
Δημήτριος Νεκτάριος Ε. Κοντόκωστας

www.commonmaths.weebly.com
www.facebook.com/commonmaths

email: [email protected]
Επιμέλεια εξωφύλλου:

Μανώλης Δ. Κοντόκωστας
Ψηφιακή επιμέλειA:

Μαλαματένια Στρουμπούλη
Μαθηματικός έλεγχος:

Μανώλης Καπούνης, Μαθηματικός στη Β/θμια Εκπ/ση
Επαλήθευση Απαντήσεων:
Δανάη Δ. Κοντόκωστα
Φιλολογικός έλεγχος:

Ιωάννα Τζουβάρα, Φιλόλογος στη Β/θμια Εκπ/ση

Copyright© 2019
Δημήτριος Νεκτάριος Ε. Κοντόκωστας

Πρώτη Εκδοση
Αθήνα, Αύγουστος 2019
ISBN 978-960-5.......................

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Βατάτζη 55, 114 73 Αθήνα | Τηλ.: 210 64 31 108
[email protected] | www.ocelotos.gr

Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας, (Ν.
2121/1993, όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) καθώς και από τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευ-
ματικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται η καθ’ οιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντι-
γραφή, φωτοανατύπωση και γενικώς αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε ο-
ποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου χωρίς τη γραπτή άδεια
του δικαιούχου συγγραφέα.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Το βιβλίο που κρατάτε είναι ένα αναμνηστικό Μαθηματικό Ημερολό-
γιο για το Μαθηματικό Έτος 2018. Εδώ, είναι σημαντικό να τονίσω τη
διαχρονικότητα του ημερολογίου, αφού δεν αναφέρονται οι ημέρες,
οπότε ο επίδοξος λύτης των ασκήσεων μπορεί να το αγοράσει οποιοδή-
ποτε έτος. Το ημερολόγιο αποτελείται από 365 άλυτες ασκήσεις, μία για
κάθε μέρα. Ανά 2 μήνες, οι ασκήσεις αναφέρονται σε διαφορετική τάξη του
Γυμνασίου και του Λυκείου. Ειδικότερα, οι μήνες
• Ιανουάριος-Φεβρουάριος αναφέρονται στην Α’ Γυμνασίου,
• Μάρτιος-Απρίλιος στη Β’ Γυμνασίου.... και καταλήγω στους μήνες,
• Νοέμβριο-Δεκέμβριο, στους οποίους υπάρχουν ασκήσεις της Γ’Λυκείου.
Κάθε άσκηση έχει 3 ερωτήματα, στα οποία οι απαντήσεις των 2 ερωτημά-
των είναι η ημερομηνία της εκάστοτε μέρας και βέβαια το 3ο ερώτημα έχει
ως αποτέλεσμα το Μαθηματικό Έτος 2018. Ουσιαστικά, λοιπόν, κάθε τάξη
έχει περίπου 60 ασκήσεις, στις οποίες εξαντλούνται, όσο είναι δυνατόν , οι
μεθοδολογίες, που συναντούν οι μαθητές στο μάθημα των Μαθηματικών,
τη μακρόχρονη σχολική περίοδο των 6 χρόνων τους.
Με το βιβλίο αυτό έχω σκοπό:
• Να βοηθήσω τους μαθητές της Β΄ Γυμνασίου και πάνω, να ελέγχουν και

να θυμούνται τις Μαθηματικές έννοιες των προηγούμενων τάξεων.
• Να προσφέρω στους συναδέλφους μου ένα αναμνηστικό Μαθηματικό

ημερολόγιο για το Μαθηματικό‘Έτος 2018 , ώστε να θυμούνται τις έννοι-
ες, που δίδασκαν τα σχολικά έτη 2017-18 και 2018-19.
• Να ξεσκονίσουν οι ενήλικες, πλέον, μαθητές και λάτρεις των Μαθηματι-
κών τις γνώσεις τους πάνω στα Μαθηματικά.
• Και, να δώσω τη δυνατότητα σε όλους να κάνουν μια καινούρια αρχή, να
προσεγγίσουν ξανά τα Μαθηματικά της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης
με ένα νέο, πρωτότυπο τρόπο.
Οι ασκήσεις του Μαθηματικού Ημερολογίου, εκτός από την Άλγεβρα και την
Ανάλυση, έχουν συχνές αναφορές στη Γεωμετρία, σε γρίφους ενταγμένους
στην ύλη κάθε τάξης και σε ορισμένες έννοιες της Φυσικής και της Χημείας.

Τελειώνοντας, νιώθω την ανάγκη να ευχαριστήσω την οικογένειά μου για
την πολύτιμη στήριξη, που μου πρόσφερε στη διετή συγγραφή του Μαθη-
ματικού Ημερολογίου. Ειδικότερα, θέλω να ευχαριστήσω:
• Τη σύζυγό μου, για την ψηφιακή επιμέλεια του βιβλίου.
• Την κόρη μου, για τις εύστοχες παρατηρήσεις της στη διατύπωση των

ασκήσεων.
• Το γιο μου, για την καλλιτεχνική επιμέλεια του εξωφύλλου.
• Τον αδερφό μου, Γιώργο Κοντόκωστα (Φυσικό) και τη φίλη Ανθή Απο-

στολίδου (Φυσικό), για τον έλεγχο των ασκήσεων Φυσικής και Χημείας.
• Το φίλο και συνάδελφο Μανώλη Καπούνη (Μαθηματικό), για τον έλεγχο

των ασκήσεων.
• Και τέλος, τη φίλη Ιωάννα Τζουβάρα (Φιλόλογο), για τη φιλολογική επι-

μέλεια των κειμένων.
Κλείνοντας, είναι σημαντικό να πω ένα μεγάλο ευχαριστώ στους «μικρούς»
μου συνεργάτες:
Δανάη Κ., Αγγελική Κ., Γιάννη Θ., Γιάννη Μ., Μιράντα Τ., Αθηνά Τ., Άρη
Καρ., Χρυσάνθη Α., Δέσποινα Α., Χάρη Κ., Θάνο Κ., Δημήτρη Μ., Γιώργο
Κ., Γιώργο Κ., Γιάννη Σ., Σοφοκλή Χ., Αριστοφάνη Π., Κωνσταντίνο Γ.,
και Φαίδωνα Π., που εντόπισαν τις αριθμητικές αστοχίες, λύνοντας
τις ασκήσεις του Μαθηματικού Ημερολογίου.

Στη σύζυγό μου Μάτα

∀ℕ∅ ∪ ∀ℝ ∅

15 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ

Η Δανάη πήγε στο Super M

2 κιλού φέτα με 6 €/κιλ


Στο ταμείο έδωσε την κάρ

COMMONMATHS i. Πόσα ευρώ ρέστα π
ii. Από τις σημερινές α
COMMONMATHS
ξοδέψει ακόμα στ
πόντους και να κερ
iii. Την επόμενη μέρα π
Έκανε τις αγορές τ
εξαργύρωση της πε
κέρδισε συνολικά;

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

23 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ

ί ά

= −(− ) + (− ) + (− ) + (− ) + (− ) + (− ) .

i. Να βρείτε την αντίθετη τιμή της παράστασης Α.

ii. ί ί = +− ∙ .

iii. ί ό − έ ά .

24 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ

i. Nα βρεθεί η τιμή της παράστασης = , ∙ − , : ,
ii. ί , ί ή ά

= ( − + , : , ): ( ∙ , + ), όπου = .

iii. ί ί ∙ = , , ό = .


20 COMMONMATHS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

29 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ

Στο διπλανό σχήμα έχουμε ∥
i. Να υπολογιστεί το μέτρο της γωνίας
̂ .
ii. Πόσες κάθετες ημιευθείες στην ( )
μπορούμε να φέρουμε με αρχή το Α;

iii. Το διπλανό σχήμα είναι η κάτοψη
μιας διπλής δεξαμενής, της ΑΒΓ
(μικρή) και της ΒΕΔΓ (μεγάλη).
Αρχικά, γεμίζει με νερό η μικρή σε
672 sec και στη συνέχεια η μεγάλη.
Αν ο όγκος της μικρής είναι το 25%
της συνολικής δεξαμενής, σε πόσα sec
γεμίζει η μεγάλη;

30 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ

Σε μια κατασκήνωση τοποθετούμε κάθε μεσημέρι τις μερίδες φαγητού σε
πάγκους.

i. Αν οι 60 μερίδες τοποθετούνται σε 12 πάγκους, σε πόσους πάγκους

θα τοποθετηθούν οι 150 μερίδες φαγητού;

ii. Η κατασκήνωση έχει αρκετό φαγητό για 60 παιδιά και για 36

ημέρες. Για πόσους μήνες θα είναι αρκετό το φαγητό, αν τα παιδιά

αυξηθούν κατά 20%;

iii. To κόστος συμμετοχής στην κατασκήνωση είναι 1441 €. Μια


οικογένεια στέλνει 2 παιδιά, οπότε της γίνεται έκπτωση 30%.

Πόσα € θα πληρώσει;

COMMONMATHS 23

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

31 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ

Δίνεται η παράσταση

= (− ) − (− )− + (− )− − (− )− + (− )−

και η εξίσωση + ∙ = (− )− (1)


i. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α.
ii. Να λυθεί η εξίσωση (1).
iii. Να βρεθεί ο αριθμός που, αν διαιρεθεί με τον Α+x, δίνει πηλίκο

2Α+1 και υπόλοιπο 2x. Τα Α, x είναι οι τιμές που βρήκατε στα i), ii)
ερωτ.

24 COMMONMATHS

∃ ℝ ∪ ∀ℝ ∅

C OCMOMMMOONNMMAATHT HS S

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

5 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ

i. Πόσα τετράγωνα βλέπετε στο διπλανό
σχήμα;

ii. Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς x
του μικρού τετραγώνου, αν το συνολικό
μήκος όλων των ευθυγράμμων τμημάτων
είναι 24cm.

iii. Θέλουμε να φτιάξουμε 20 ίδιους κύβους με
ακμή 2x, όπου x η τιμή που βρήκατε στο
i) ερώτ. Αγοράσαμε, λοιπόν, χαρτόνι και
περίσσεψαν 98 cm2. Πόσα, τουλάχιστον,
cm2 χαρτόνι αγοράσαμε;

6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ

Δίνεται το διπλανό σχήμα όπου
ΓΜ⊥ΑΒ και Μ το μέσο της ΑΒ. Αν
ΓΑ=60mm και ΑΜ= 10,09cm, τότε να
βρείτε

i. Το μήκος του ευθύγραμμου
τμήματος ΓΒ σε cm.

ii. Πόσες ίσες γωνίες έχει το τρίγωνο ΑΒΓ;
iii. Πόσα mm είναι το ευθύγραμμο τμήμα, που έχει μήκος ίσο με το

10πλάσιο του μήκους του ΑΒ;
Σε κάθε ερώτημα να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

COMMONMATHS 29

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

13 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ

Διαγωνισμός Καγκουρό 2008 LEVEL: 3-4

…
i. Πόσα τετραγωνικά πλακάκια θα έχει το επόμενο σχήμα;
ii. Αν η πλάκα του 1ου σχήματος έχει εμβαδόν 512mm2, πόσα mm2

είναι η μικρότερη πλάκα του 5ου σχήματος;
iii. Αν η μικρότερη πλάκα του 5ου σχήματος ζυγίζει γρ., πόσα

γραμμάρια ζυγίζει η πλάκα του 1ου σχήματος;

14 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ

i. Πόσα τετράγωνα διακρίνεις στο διπλανό σχήμα;
ii. Για να κατασκευάσουμε το διπλανό πλέγμα

χρησιμοποιήσαμε 48cm σύρμα. Πόσα cm είναι το
μήκος της πλευράς κάθε μικρού τετραγώνου;
iii. Ρίχνουμε, λοιπόν, στο πλέγμα ένα μεγάλο αριθμό
από μικρές μπίλιες και σε κάθε τετράγωνο
μπαίνουν κατά μέσο όρο 224 μπίλιες. Πόσες
μπίλιες ρίξαμε, αν γνωρίζετε ότι 2 έπεσαν εκτός
πλέγματος;

COMMONMATHS 33

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

22 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ
i. Στο παρακάτω σχήμα είναι ‖ . Να βρεθεί η γωνία ̂ .

ii. Να βρεθεί η γωνία ̂ , που είναι συμπληρωματική της γωνίας 4 ̂ ,

όπου ̂ η γωνία του (i) ερωτ.

iii. Ένας μαθητής για να λύσει την άσκηση αφιέρωσε 5h και 36 min.

Πόσες μοίρες διέγραψε ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού στη
διάρκεια αυτού του χρόνου;

23 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ

Να κατασκευάσετε ένα τετράγωνο χαρτόνι πλευράς 5 cm και να το
χωρίσετε σε 25 ίσα μέρη. Να χρωματίσετε το 92% του τετραγώνου με ένα
χρώμα, ώστε το σχέδιο που θα προκύψει να είναι συμμετρικό ως προς το
κέντρο του τετραγώνου.

i. Πόσα μέρη από τα 25 του τετραγώνου είναι χρωματισμένα;
ii. Πόσα μέρη του τετραγώνου δε χρωματίστηκαν;
iii. Μια αφίσα αποτελείται από x χαρτόνια, που κατασκευάσατε

αρχικά. Τα χρωματισμένα μέρη της αφίσας είναι 46.414. Πόσα
χαρτόνια χρησιμοποιήθηκαν για να κατασκευαστεί η αφίσα;

COMMONMATHS 39

∀ℝ ⊥ ∅

C OCMOMMMOONNMMAATHT HS S

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

7 ΜΑΡΤΙΟΥ

Στο διπλανό σχήμα έχουμε = √ cm και
ΓΔ=√ cm. Να υπολογίσετε

i. Το χ.
ii. Το y.
iii. Την παράσταση

= ∙ + ∙ + .

8 ΜΑΡΤΙΟΥ

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε μια τριγωνική
πλατεία. Τα μήκη είναι εκφρασμένα σε μέτρα.

i. Να υπολογίσετε το x.
(Υπόδειξη: ( + ) = ( + )( + ) )

ii. Έστω Μ, Κ, Λ τα μέσα των ΒΓ, ΒΜ, ΒΚ,
αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του
τριγώνου ΑΛΒ.

iii. Θέλουμε να πλακοστρώσουμε την πλατεία.
Πόσα ευρώ θα πληρώσουμε, αν γνωρίζουμε
ότι το οικόπεδο ΑΜΒ κοστίζει όσο το ΑΒΓ,
ελαττωμένο κατά 1.009€.

48 COMMONMATHS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

9 ΜΑΡΤΙΟΥ

Δίνεται κύκλος (Κ, 2,5μ) και το
εγγεγραμμένο τετράπλευρο με ΔΓ=4,
όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

i. Να βρεθεί το 12% της ̂ .
ii. Να υπολογιστεί η πλευρά ΑΔ.

iii. Ρίχνουμε στην τύχη έναν αριθμό
σφαιριδίων, τα οποία
κατανέμονται σε όλα τα χωρία
του κύκλου. Το πλήθος των
σφαιριδίων φαίνεται στο διπλανό
σχήμα. Να βρεθεί η τιμή του t αν
στα 2 ημικύκλια έχουμε τον ίδιο
αριθμό σφαιριδίων.

COMMONMATHS 49

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

15 ΜΑΡΤΙΟΥ

Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται
το πλήθος των οικογενειών που
έχουν από 1 έως 4 παιδιά. Το
μέγεθος του δείγματος είναι 200
οικογένειες. Η επιλογή του
δείγματος έγινε από μια
κωμόπολη της Ελλάδας.

i. Αν το πλήθος των
οικογενειών που έχουν 3
παιδιά είναι , να βρεθεί
η τιμή του α.

ii. Πόσα παιδιά, κατά μέσo όρο, έχουν οι οικογένειες του δείγματος;
iii. Αν το δείγμα είναι το 9,91% των οικογενειών της κωμόπολης,

πόσες οικογένειες έχει η κωμόπολη; (να γίνει στρογγυλοποίηση
στη μονάδα)

54 COMMONMATHS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

5 ΑΠΡΙΛΙΟΥ

Στο διπλανό σχήμα οι πλευρές του
ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ έχουν
μήκη διαδοχικούς ακεραίους.

i. Αν η πλευρά ΑΓ έχει το
μικρότερο μήκος, να βρεθούν
τα α, γ.

ii. Να βρεθεί το εμβαδόν του
τετραγώνου με πλευρά το
ΒΕ.

6 ΑΠΡΙΛΙΟΥ

Μια δεξαμενή έχει 3 βρύσες. Η 1η βρύση γεμίζει τη δεξαμενή σε 10 ώρες, η
2η σε 15 ώρες, ενώ η 3η δε γνωρίζουμε σε πόσες ώρες γεμίζει τη δεξαμενή.

i. Σε πόση ώρα θα γεμίσει η δεξαμενή, αν ανοίξουμε την 1η και τη 2η
βρύση μαζί;

ii. Αν ανοίξουμε και τις τρεις βρύσες μαζί, γεμίζει η δεξαμενή σε 2
ώρες και 24 λεπτά. Σε πόση ώρα γεμίζει τη δεξαμενή η 3η βρύση
μόνη της;

iii. Αν η 1η βρύση ρίχνει 201,8 lt νερό τη 1 ώρα, πόσα lt νερό ρίχνουν
συνολικά και οι 3 βρύσες μαζί, αν είναι ανοιχτές για 2,4 ώρες;

COMMONMATHS 71

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

9 ΑΠΡΙΛΙΟΥ

Στο διπλανό σχήμα φαίνονται τα μέτρα των
τόξων ΑΒ, ΒΓ,ΓΔ,ΔΑ σε συνάρτηση με το χ.

i. Να υπολογιστεί η τιμή του χ.
ii. Να σχεδιάσετε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ.

Πόσες ίσες γωνίες έχει;
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
iii. Αν το τόξο ΑΔ έχει μήκος 50,45π dm, να
υπολογιστεί το μήκος της χορδής ΑΓ σε
cm.

10 ΑΠΡΙΛΙΟΥ

Μια πυραμίδα με τετραγωνική βάση πλευράς χ, έχει 4 τριγωνικές έδρες.
Η ακμή, που συνδέει τις 2 τριγωνικές έδρες, έχει μήκος √ cm, ενώ κάθε
τρίγωνο έχει ύψος = √ cm.

i. Να βρεθεί η τιμή του χ και το ύψος h της πυραμίδας.
ii. Σε ένα κουτί χωράνε 6 πυραμίδες και περισσεύει χώρος ίσος με

1218 . Ποια η χωρητικότητα του κουτιού;

74 COMMONMATHS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

12 ΑΠΡΙΛΙΟΥ

Ένα οικοδομικό έργο ολοκληρώνεται σε y ημέρες, εάν δουλέψουν x
εργάτες με τον ίδιο ρυθμό. Αφού αναφέρετε, αν τα x, y είναι ανάλογα ή
αντιστρόφως ανάλογα,

i. να υπολογίσετε τα α, β στον παρακάτω πίνακα
x : εργάτες β 8 16
y : ημέρες 48 24 α

ii. Τα οικοδομικά υλικά είχαν κόστος 1.980€ και συμμετείχαν στο
κτίσιμο 24 εργάτες. Πόσα δεκάευρα κόστισε συνολικά το έργο, αν
το ημερομίσθιο του κάθε εργάτη ήταν 100€;

13 ΑΠΡΙΛΙΟΥ

Στο διπλανό σχήμα βλέπετε 2 κανονικά ν-
γωνα και 1 τετράγωνο να σχηματίζουν
ένα τρίγωνο. Το σχήμα δεν είναι
ολοκληρωμένο και δε γνωρίζουμε το
πλήθος των πλευρών των 2
διαφορετικών ν-γώνων.

i. Το τμήμα ΑΒ είναι η πλευρά ενός
κανονικού ν-γώνου με περίμετρο
78cm και κεντρική γωνία ν-γώνου
ίση με 60ο. Πόσα cm είναι το μήκος
του ΑΒ;

ii. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ είναι
πλευρά κανονικού ν-γώνου με
γωνία 150ο. Να βρεθεί το 1/3
του πλήθους των πλευρών του κανονικού ν-γώνου.

iii. Αν η περίμετρος του ν-γώνου με πλευρά την ΑΓ είναι 516cm, να
βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου.

76 COMMONMATHS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

20 ΑΠΡΙΛΙΟΥ

Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ με ̂ = 90ο, ̂ = και ΑΓ = 12. Αν Μ μέσο της ΑΒ


και ΓΚ= διάμεσος του τριγώνου ΜΒΓ, να βρεθεί

i. το μήκος της υποτείνουσας,

ii. το μήκος του ΚΜ και
iii. η τιμή της παράστασης = + + + .

21 ΑΠΡΙΛΙΟΥ

Στο διπλανό πίνακα παρουσιάζεται Έτη Πλήθος
το πλήθος των τροχαίων τροχαίων
ατυχημάτων που συνέβησαν σ’ έναν 2015 ατυχημάτων
επαρχιακό δρόμο. Αν το 12,5% των 2016
συνολικών ατυχημάτων της 5ετίας 2017 64
2015-2019 έγιναν το 2018, 2018 50
2019 x
i. πόσα τροχαία έγιναν το 2017; Σύνολο y
ii. πόσα παραπάνω τροχαία 40
200
έγιναν το 2018 από το 2017;

iii. ποια χρονιά έγιναν λιγότερα από 40 και περισσότερα από 20

τροχαία;

82 COMMONMATHS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

25 ΑΠΡΙΛΙΟΥ

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα
ορθογώνιο ΚΛΜΝ και ένα τρίγωνο
ΑΒΓ.

i. Να βρεθεί το εμβαδόν
τετραγώνου, που έχει πλευρά
την ΑΒ.

ii. Αρχικά, να υπολογίσετε την περίμετρο του ΑΒΓ και στη συνέχεια
να βρείτε το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά ΒΓ, αν, επιπλέον,
γνωρίζετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ.

iii. Ένα τρίγωνο πρίσμα με βάση το τρίγωνο ΑΒΓ έχει ύψος cm. Να
υπολογισθεί ο όγκος του πρίσματος.

COMMONMATHS 85

∀ ∅

C OCMOMMMOONNMMAATHT HS S

Wassily Kandinsky

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

13 ΜΑΪΟΥ

ό ή ί ί ώ
ί έ έ ό έ ,
ί : .

‹Ǥ ί ί .
‹‹Ǥ ό ί ό , έ

ά ;
ί ί ή ύ
ή.

(Υπόδειξη: Μη ξεχνάτε, ότι ο λόγος των εμβαδών 2

όμοιων σχημάτων είναι ίσος με το λόγο ομοιότητας

στο τετράγωνο, με άλλα λόγια ΄ = )



14 ΜΑΪΟΥ

ί ί έ , ά =
ί . , έ , , ί ,

‹Ǥ ί ή ά .
ii. ί ό ί ί έ ό

έ ί ή ά .
‹‹‹Ǥ έ , ά , ί ί ό ί :

ή ή . ό ά έ ύ ,
ί , ά; ί έ έ
ά .

COMMONMATHS 99

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

24 ΜΑΪΟΥ

Μια ιδέα της Denise Russel
ό ή

‹Ǥ ί ί ή .
‹‹Ǥ , ί ώ ,

ί , = ⊥ ,
ί ή ύ
ή .
‹‹‹Ǥ = , , ί ό
ή .

25 ΜΑΪΟΥ

ώ ώ έ έ ί ύ ά , Ά ύ .
έ ώ ά ύ , ί έ
ί ά ώ . ύ ά ό ,

‹Ǥ ί ό
« ό ώ έ Ά ά » ( %).

‹‹Ǥ ί ί έ , ό ί έ έ
ί ό ( ) . ;

‹‹‹Ǥ ώ , ί ί ί έ , ό
ί ό , ί ό
έ ό ί ό . έ
ί ύ ύ ώ , έ ί
ί έ έ .
. . ό έ έ ί ό ,
ί ί έ ;

COMMONMATHS 107

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

26 ΜΑΪΟΥ

Στο παραπάνω σχέδιο σπιτιού
i. ό ί ί ό ;
ii. ί έ ή ή ό
. ώ. ύ έ ά ί ό
ή , ό ώ ί ύ;
( ύ ά ό ά )

108 COMMONMATHS

∅ ∪ ℕ ∅

C OCMOMMMOONNMMAATHT HS S

Wassily Kandinsky

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

6 IOYNIOY

Έστω οι παραστάσεις
−
= − + +

= ( + ) : ( ∙ )−

i. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α

και Β.

ii. Περιστρέφουμε ένα βέλος (φαίνεται
στο σχήμα) και διαγράφει γωνία ̂
με μέτρο + , όπου θ το μέτρο

της γωνίας, που ικανοποιεί τη σχέση

( + ) −( − ) = . Πόσες μοίρες περιστρέψαμε το βέλος;


Να σχεδιάσετε κατά προσέγγιση την τελική θέση του βέλους μετά

την περιστροφή.

118 COMMONMATHS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

7 IOYNIOY

Μια ιδέα του Παναγιώτη Ευθυμιόπουλου
Στο παρακάτω σχήμα εμφανίζονται μερικά από τα εμβαδά των χωρίων,
στα οποία είναι χωρισμένο το παραλληλόγραμμο. Τα εμβαδά είναι
εκφρασμένα σε .

( ) =
( ) = −
( ) = +
( ) =
( ) = +

i. Αφού δείξετε ότι (ΑΒΓ)=(ΡΝΓ), να υπολογιστεί το x.
ii. Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ για να πλακοστρωθεί απαιτούνται 1009€,

πόσα € χρειάζονται για να πλακοστρωθεί όλη η πλατεία σχήματος
παραλληλογράμμου;

COMMONMATHS 119

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

19 IOYNIOY

Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται οι διαστάσεις (εκφρασμένες σε m) του
ορθογωνίου οικοπέδου και του σπιτιού. Αρχικά, να εκφράσετε το
εμβαδόν του σπιτιού σε μορφή αλγεβρικής παράστασης.

i. Στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή της μεταβλητής x, αν

γνωρίζετε ότι το εμβαδόν το οικοπέδου είναι 380 .

ii. Αν τα μέρη του οικοπέδου είναι κήπος, να βρείτε την τιμή της


μεταβλητής y.

iii. Το συνολικό κόστος αγοράς του οικοπέδου και κατασκευής του

σπιτιού είναι 435.888ευρώ. Αν η αξία του οικοπέδου ήταν το 50%
του κόστους κατασκευής του σπιτιού, πόσο κόστισε το 1 του

σπιτιού;

COMMONMATHS 129

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

21 IOYNIOY

Σ’ ένα πάρτι όλοι οι καλεσμένοι τσούγκρισαν τα
ποτήρια τους 210 φορές.

i. Αν ο καθένας τσούγκρισε με όλους τους
υπόλοιπους καλεσμένους από μια φορά,
να υπολογίσετε το πλήθος των
καλεσμένων.

ii. Στη συνέχεια, οι καλεσμένοι
τοποθετήθηκαν σε 3 τραπέζια. Τo1ο
τραπέζι είχε διπλάσια άτομα από το 2ο,
το οπoίο είχε διπλάσια άτομα από το 3ο.
Πόσα άτομα κάθισαν στο 2ο τραπέζι;

iii. Η κάτοψη της τραπεζαρίας και της βεράντας, που κάθισαν οι
καλεσμένοι, είναι στο πιο πάνω σχήμα. Πόσα είναι η συνολική
επιφάνεια;

COMMONMATHS 131

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

23 IOYNIOY

Ένα εργοστάσιο πλαστικών ρολογιών για την ημερήσια παραγωγή 1000
ρολογιών ξοδεύει 5.014€, ενώ για την παραγωγή 2000 ρολογιών ξοδεύει
10.014€. Η συνάρτηση ημερήσιου κόστους παραγωγής των ρολογιών
είναι = ( − ) + + ( = τεμάχια ρολογιών, = €)

i. Να βρεθούν οι τιμές των α, β.
ii. Ο ιδιοκτήτης του εργοστασίου σκέφτεται ν’ αλλάξει τα

μηχανήματα παραγωγής ρολογιών με νέα, όπου το ημερήσιο
κόστος δίνεται από τον τύπο = + σε €. Αν το εργοστάσιο
παράγει
 1500 ρολόγια ή
 2500 ρολόγια ημερησίως, να εξετάσετε, αν η αλλαγή των

μηχανημάτων είναι συμφέρουσα για τον ιδιοκτήτη ή όχι.
Τέλος, να υπολογίσετε την ελάχιστη ποσότητα ημερήσιας
παραγωγής ρολογιών, ώστε η αλλαγή των μηχανημάτων να
θεωρηθεί συμφέρουσα.

24 IOYNIOY

Στο διπλανό μοτίβο κάθε τετραγωνάκι
έχει πλευρά 1cm.

i. Να συμπληρωθεί το μοτίβο μέχρι
και το σχήμα, που έχει εμβαδόν
21cm2. Ποια η περίμετρός του και σε
ποια θέση βρίσκεται;

ii. Πόσα σκαλοπάτια έχει το σχήμα με περίμετρο 8072cm ;

COMMONMATHS 133

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

26 IOYNIOY

Θεωρούμε τις παραστάσεις

= : [(√ − ) + (√ + ) ]− ,
√ − − √ +

= ( √ + √ ) − ( √ − √ ) + √ + − √ + √

και την εξίσωση − = − + + √ + − ,
όπου , οι τιμές των πιο πάνω παραστάσεων.

i. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων Α και Β.
ii. Να λυθεί η εξίσωση.

COMMONMATHS 135

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

30 IOYNIOY

Δίνονται οι ανισώσεις

− + − ≤ + ( ) και − − − ≤ + ( )


i. Να βρεθεί η ελάχιστη και η
μέγιστη τιμή του x, που
επαληθεύει τις ανισώσεις ( )
και ( ), αντίστοιχα.

ii. Στο διπλανό σχήμα η πλευρά ΑΒ
του ΑΒΓΔ είναι διπλάσια από
την = και αυξημένη κατά
6μ. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή
του συνολικού εμβαδού. Το x
κυμαίνεται μεταξύ των τιμών
του ii) ερωτ.

138 COMMONMATHS

∅ ∪∧ ∅

COMMONMATHS

COMMONMATHS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

9 ΙΟΥΛΙΟΥ

i. Να λυθεί η εξίσωση || − | + | = (1).
ii. Αν > οι 2 ρίζες της (1), να βρεθεί η τιμή της παράστασης
= √ + √ − + − + √ − − √ − +

10 ΙΟΥΛΙΟΥ

Στο παραπάνω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της f ( )
i. Να βρεθεί το Πεδίο Ορισμού της f. Ποια η μέγιστη τιμή, που μπορεί
να πάρει η μεταβλητή x;
ii. Να βρεθεί το Σύνολο Τιμών της f. Ποια η μέγιστη τιμή της
συνάρτησης f;

iii. Αν η εξίσωση ( ) = | − |, λ ℝ, έχει λύση τους αριθμούς 2 και
10, να βρεθεί η μέγιστη τιμή του λ.
COMMONMATHS 145

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

21 ΙΟΥΛΙΟΥ

Δίνεται η ανίσωση

[ ( , ) − ] − ( , ) + < { − (− , − ) + [ (− , − ) − ]}


i. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη ακέραια τιμή του x.
ii. Στο διπλανό σχέδιο φαίνεται ένα οικόπεδο. Οι διαστάσεις είναι

εκφρασμένες σε m. Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού
του οικοπέδου.

COMMONMATHS 153

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

24 ΙΟΥΛΙΟΥ

Μια δεξαμενή πλάτους 1m, όπως
φαίνεται στο σχήμα, γεμίζει σιγά–
σιγά με νερό. Αν μια τυχαία στιγμή το
ύψος της στάθμης του νερού είναι
από το χαμηλότερο σημείο της
δεξαμενής, να εκφράσετε τον όγκο
του νερού σε συνάρτηση με τη
μεταβλητή x.

i. Πόσος είναι ο όγκος του νερού,
όταν η στάθμη είναι σε ύψος
6m από το χαμηλότερο σημείο
της δεξαμενής;

ii. Πόσα m από το ψηλότερο
σημείο της δεξαμενής
βρίσκεται η στάθμη του νερού, αν ο όγκος της είναι 112 ;

iii. Αν η δεξαμενή γεμίζει σε 58min και 51,5sec, σε πόσα sec η στάθμη
του νερού θα φτάσει σε ύψος 14m από το χαμηλότερο σημείο της;

COMMONMATHS 155

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

27 ΙΟΥΛΙΟΥ

Iranian Geometry Olympiad 2017(Elementary)

Στο διπλανό σχήμα το τετράγωνο ΑΒΓΔ έχει

μήκος πλευράς 10α. . ∙

i. Να υπολογισθεί ο λόγος

ii. Αφού δείξετε ότι το ΚΛΡΣ είναι

τραπέζιο, να υπολογιστεί η τιμή της
∙
παράστασης = − , όπου (υ)

το ύψος του τραπεζίου.

iii. Τα Μ,Ν είναι μέσα των διαγωνίων

του τραπεζίου. Να βρεθεί η τιμή του

(α), αν το μήκος του ευθύγραμμου

τμήματος ΜΝ είναι 5045μ.

28 ΙΟΥΛΙΟΥ

Σ’ ένα χωριό εμφανίστηκε μια ασθένεια, στην οποία 226 άτομα είχαν
ανοσία. Κάθε μέρα τα κρούσματα αυξάνονται 100%. Μετά από (ν) ημέρες
από την εμφάνιση της ασθένειας, νοσούν 112 άτομα.

i. Πόσα άτομα νοσούσαν πριν δύο μέρες;
ii. Αν την 8η μέρα νοσούσαν 896 άτομα, πόσα άτομα προσβλήθηκαν

από την ασθένεια την 1η μέρα;
iii. Ποιος είναι ο συνολικός πληθυσμός του χωριού, αν επιπλέον

γνωρίζετε ότι την 8η μέρα νοσούσαν τα μισά άτομα από αυτά, που
θα μπορούσαν ν’αρρωστήσουν;

158 COMMONMATHS

∀ ∪ ∅ ∪ ⊥ ∅

C OCMOMMMOONNMMAATHT HS S

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

6 ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ

Η κεραμοσκεπή ενός σπιτιού έχει 4
ίσες πλευρές σχήματος ισοσκελούς
τραπεζίου. Το μήκος της μεγάλης
βάσης είναι 6m. Σε κάθε πλευρά
της κεραμοσκεπής τοποθετούνται
συνολικά και στις 10 σειρές 210
κεραμίδια. Το κάθε κεραμίδι έχει
πλάτος 20cm. Το πλήθος των

κεραμιδιών κάθε σειράς αποτελεί όρους αριθμητικής προόδου.

i. Στην 4η σειρά είναι σπασμένα το των κεραμιδιών της, ενώ στην


τελευταία τα των κεραμιδιών. Πόσα σπασμένα κεραμίδια

υπάρχουν σε κάθε μία από τις 2 σειρές;

ii. Όταν φτιάχτηκε ολόκληρη η κεραμοσκεπή, δούλεψεένας εργάτης

για 2 μέρες. Πόσα € κόστισε, αν το ημερομίσθιο του εργάτη ήταν

169€ και κάθε κεραμίδι αγοράστηκε με 2€;

166 COMMONMATHS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

27 ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ

Μια ιδέα του Ηλία Αγγελάκου

Στο διπλανό σχήμα, από το μεγάλο κύβο ακμής
∈ ℕ − { } αφαιρούμε το μικρό κύβο ακμής
∈ ℕ − { } και προκύπτουν …….ίδιες κόλουρες

πυραμίδες. Με την ταυτότητα της διαφοράς

κύβων, ν’ αποδείξετε ότι ο όγκος της κόλουρης

πυραμίδας είναι = ( + √ + ),

όπου h το ύψος της πυραμίδας και , τα
εμβαδά των βάσεων της κόλουρης πυραμίδας.

i. Αν η κόλουρη πυραμίδα έχει όγκο , να βρείτε τον όγκο του


μεγάλου και του μικρού κύβου, όπως φαίνονται στο σχήμα.

ii. κόλουρες πυραμίδες τοποθετήθηκαν ανά 6, όπως φαίνεται

στο δοσμένο σχήμα, σ’ ένα κουτί, στο οποίο και περισσεύουν
φανερά 2 . Ποιος ο συνολικός κενός όγκος του κουτιού;

180 COMMONMATHS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

30 ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ

Να δειχθεί ότι + ≥ , για κάθε , ∈ ℝ. Αν ∙ = , να βρεθεί η
ελάχιστη τιμή των παρακάτω παραστάσεων

i. = +

ii. = + , αφού αποδείξετε ότι + ≥ √

iii. = + + .

31 ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ

Αν + = (1), με x, y> ,

i. να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης = ∙ − με 2 τρόπους.


(Βλέπε προηγούμενη άσκηση)

ii. Ποια η τιμή της παράστασης = √ , όταν η παράσταση Α


παίρνει τη μέγιστη τιμή;

iii. Να λυθεί η εξίσωση ως προς α
√ − √ + + [ − ( − + ) ] = , όπου Α, Β οι

τιμές, που βρήκατε στα 2 πρώτα ερωτήματα.

COMMONMATHS 183

∃ ⊥ ∃ ℝ ∅

C OCMOMMMOONNMMAATHT HS S

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

1 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

Έστω το πολυώνυμο ( ) = − ( − ) + + , α, β ∈ ℝ.
i. Να βρεθούν οι τιμές των α, β, αν η αριθμητική τιμή του P(x) για
= − είναι 2012 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το
− είναι 2018.
ii. Να βρείτε την τεταγμένη του κοινού σημείου της ευθείας = με
τη γραφική παράσταση του πολυώνυμου P(x).

2 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

Θεωρούμε την εξίσωση − + = (1), με λ∈ ℝ.
i. Ποια η μικρότερη ακέραια τιμή του, ώστε η εξίσωση (1) να έχει 4
πραγματικές ρίζες;
ii. Για τη διπλάσια τιμή λ, που βρήκατε στο i) ερώτ., να βρεθεί η τιμή
της παράστασης Α= + + ∙ ,
όπου , οι 2 θετικές ρίζες της (1).

iii. Πόσες ημιπεριφέρειες έχει διαγράψει η γωνία ̂ = √ , όπου Α η
τιμή, που βρήκατε στο ii) ερωτ.;

COMMONMATHS 187

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

19 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

Μια ιδέα του συναδέρφου Francesco Giuseppe Turtanο

i. Να λυθεί το σύστημα { + = .


− − − = −
ii. Αν = και = , όπου ( , ) η λύση του συστήματος του i)

ερώτ., να βρεθεί η τιμή της παράστασης = ∙ .

20 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

Δίνεται το πολυώνυμο ( ) = − + − και η αριθμητική του
τιμή για = είναι − √ + .

i. Να βρεθούν οι τιμές των α, β, ώστε να ισχύει
( ) = ( − + )( − ), για κάθε x∈ ℝ.

ii. Να βρεθεί η τιμή του .

COMMONMATHS 199

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

26 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται
ένα μέρος της γραφικής παράστασης
μιας άρτιας συνάρτησης : ℝ → ℝ .

i. Να συμπληρωθεί η υπόλοιπη
γραφική της παράσταση. Στη
συνέχεια, να βρεθεί η μέγιστη
τιμή της f, καθώς και η
μέγιστη θέση μεγίστου.

ii. Να λύσετε την ανίσωση (− ) + (| − | + ) ≥ + ( ).

27 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) = + − ∙ − (1)


και ( ) = − ( − ) + ( − ) + (2)

i. Να βρεθούν οι τιμές των α, β, ώστε η συνάρτηση ( ) να πάρει τη
μορφή της ( ).

ii. Αν η λύση της εξίσωσης ( ) = , με < < , να
υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας ̂ και να πείτε πόσες

περιφέρειες κύκλου περιλαμβάνει.

COMMONMATHS 203

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ

28 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

Δίνεται το σύστημα { − − − + − − = =− . Να βρεθεί
i. η λύση ( , ) του συστήματος και
ii. το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου
( ) = − ( + ) + − + , όπου = − ,
= − , με το πολυώνυμο ( ) = + + .

204 COMMONMATHS

∅ ⊥ ℝ ∅

C OCMOMMMOONNMMAATHT SH S