Calculus-1

บทที่ 5 เทคนคิ การหาปรพิ นั ธ์

I. การหาปรพิ นั ธ์โดยวิธแี ยกสว่ น
1. จงหาคา่ ของ ∫ xex dx
2. จงหาค่า ∫ xcosx dx
3. จงหาคา่ ∫ exsin x dx
4. จงหาค่า ∫ sec3 x dx

5. จงหาค่า ∫ √xln x dx
II. การหาปริพันธ์ของฟังกช์ ันตรโี กณมิติที่มีรปู แบบแนน่ อน
1. จงหาค่าของ ∫ sin3 xdx
2. จงหาคา่ ∫ cos4 x dx
3. จงหาค่า ∫ sin3 xcos−4 x dx
4. จงหาค่า ∫ sin2 xcos4 x dx
5. จงหาค่าของ ∫ sec4 3xtan 3xdx
6. จงหาคา่ ∫ cot4 x dx
7. จงหาค่า ∫ tan−3/2 xsec4 x dx
8. จงหาคา่ ∫ tan3 xsec−1/2 x dx
9. จงหาคา่ ∫ cos y cos 4y dy

51

III. การหาปรพิ ันธ์โดยการแทนค่าดว้ ยฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิ

1. จงหาค่า ∫ dx
2√4 − x2

2. จงหาคา่ ∫ √9 − 4x2 dx

3. จงหาค่า ∫−√13 √4 − 2 dx

4. จงหาค่า∫ 1 dx
2√4+ 2

5. จงหาคา่ ∫ x dx
√x2−4

6. จงหาคา่ ∫ 1 dx
√x2+4x

7. จงหาค่า ∫ dx
(6 − x2)3/2

IV. การหาปรพิ นั ธ์โดยใช้เศษส่วนย่อย
1. ∫ 3 − 2 − 2

2. ∫ 3 + 2 2 − − 2

3. ∫ x3 − 2x 2

4. จงหาค่าของ ∫ dxx2+x−2

3x3−x2+3 −1

5. จงหาค่าของ ∫ 3x4 + 3x3 − 5x2 + x − 1 dx

x2+x−2

6. จงหาคา่ ของ ∫ 2−3x dx
x3+x2+4x+4

7. จงหาคา่ ของ ∫
( −1)2( +1)2

52

เฉลย
I. การหาปริพนั ธโ์ ดยวธิ ีแยกสว่ น

1. จงหาคา่ ของ ∫ xex dx

ให้ u = x และ dv = e x dx จะได้ ∫ xex dx = ∫ udv หา du จาก u = x จะได้ du = dx และหา v
จาก dv = e x dx จะได้ v = e x ดงั นนั้

∫ xex dx = ∫ udv

= uv − ∫ vdu

= xex − ∫ e x dx
= xex − e x + C

2. จงหาค่า ∫ xcosx dx
ให้ u = x และ dv = cos xdx จะได้ du = dx และ v = sin x หาปริพนั ธโ์ ดยวธิ ีแยกส่วนไดด้ ังนี้

∫ xcos x dx = x sin x − ∫ sinx dx
= x sin x + cos x + C

3. จงหาค่า ∫ exsin x dx

ให้ u=ex และ dv= sin x dx จะได้ du= exdx และ v= −cos x ดังน้นั

∫ exsin x dx= −ex cos x +∫ ex cos x dx

หา ∫ e xcosx dx โดยวธิ แี ยกส่วนอีกครงั้
ให้ u = e x และ dv = cosxdx จะได้ du = e x dx และ v = sinx ดังนน้ั

∫ e x cosx dx = e x sinx − ∫ e x sinx dx

เพราะฉะน้ัน

∫ e x sinx dx = −e x cosx + ∫ e x cos x dx

= −e x cosx + ( e x sinx − ∫ e x sinx dx )

= −e x cosx + e x sinx −∫ e x sinx dx

53

จะได้ 2 ∫ e x sinx dx = e x sinx − ex cosx + C
เพราะฉะนั้น ∫ e x sinx dx = 1 e x (sinx − cosx) + K

2

4. จงหาคา่ ∫ sec3 x dx
ให้ u = secx และ dv = sec2 xdx จะได้ du = sec xtan xdx และ v = tan x ดงั นนั้

∫ sec3 x dx = sec xtan x − ∫ sec xtan2 x dx

= sec xtan x − ∫ sec x(sec2 x − 1) dx
= sec xtan x −∫ sec3 x dx + ∫ sec x dx
ดังนนั้ จะได้

2 ∫ sec3 x dx = sec xtan x + ln|secx + tanx| + C
เพราะฉะน้ัน

∫ sec3 x dx = 1 sec xtan x + 1 ln|secx + tanx| + K

22

5. จงหาคา่ ∫ √xln x dx

ให้ u = ln x และ dv = √x dx จะได้ du = dx และ v = 2 x 3/2 ดังนัน้
x
3

∫ √xln x dx = 2 x 3/2 ln x − ∫ 2 x 3/2 (dx )

3 3 x

= 2 x 3/2 ln x − 2 ∫ x 1/2 dx

33

= 2 x 3/2 ln x − 2 (x3/2 )+ C

3 3 3/2

= 2 x 3/2 ln x − 4 x 3/2 + C

39

54

II. การหาปริพันธข์ องฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ทิ ่ีมีรูปแบบแนน่ อน

1. จงหาคา่ ของ ∫ sin3 xdx

จะใช้เอกลกั ษณ์

sin2 u + cos2 u = 1

แกโ้ จทย์ปัญหานี้ ∫ sin3 xdx = ∫ sin2 x(sin xdx)

= ∫ (1−cos2 x)(−d(cosx))

= ∫ (cos2 x − 1)d(cosx)

= 3x – cos x + C

3

2. จงหาค่า ∫ cos4 x dx = ∫ (cos2 x) 2 dx
∫ cos4 x dx

= ∫ (1 + cos 2x 2
2
) dx

= 1 ∫ (1 + 2cos2x + cos22x) dx
4
= 1 ∫ dx + 1 ∫ cos 2x d(2x) + 1 ∫ cos22x dx
44 4
= 1 x + 1 sin2x + 1 ∫ (1 + cos 4x) dx
44 4 2
= 1 x + 1 sin2x + 1 ∫ (1 + cos 4x) dx
44 8
= 1 x + 1 sin 2x + 1 ∫ dx + 1 ∫ cos 4x d(4x)
44 8 32
= 1 x + 1 sin2x + 1 x + 1 sin4x + C
44 8 32
= 3 x + 1sin 2x + 1 sin 4x + C
84 32

3. จงหาคา่ ∫ sin3 xcos−4 x dx
∫ sin3 xcos−4 x dx = ∫ (1 − cos2 x)(cos−4 x)(sinx) dx
= − ∫ (cos−4 x − cos−2 x) d(cosx)
= − [(cosx) −3 − (cosx) −1 ] + C

−3 −1

= 1 sec3 x − secx + C

3

55

4. จงหาคา่ ∫ sin2 xcos4 x dx

∫ sin2 xcos4 x dx = ∫ (1 − cos 2x ) (1 − cos 2x 2

22 ) dx

= 1 ∫ (1 − cos2 2x)(1 + cos 2x) dx
8

= 1 ∫ (1 + cos2x − cos2 2x − cos3 2x) dx
8

= 1 ∫ [1 + cos2x − (1 + cos 4x) − (1 − sin2 2x)cos 2x ]dx
82

= 1 ∫ [1 − cos 4x + (sin22x)cos 2x ]dx
8
22

= 1 (1 ∫ dx − 1 ∫ cos4x d(4x) + 1 ∫ sin22x d(sin 2x) )
82 8 2

= 1 x − 1 sin4x + 1 sin3 2x + C
16 64 48

5. จงหาคา่ ของ ∫ sec4 3xtan 3xdx
ให้ u = 3x จะได้ du = 3dx หรือ dx = 1 du ดงั น้ัน

3

∫ sec4 3xtan 3xdx = 1 ∫ sec3 u sec utan udu

3

= 1 ∫ sec3 ud(secu)

3

= sec4 3x + C

12

6. จงหาคา่ ∫ cot4 x dx
∫ cot4 x dx = ∫ cot2 x(csc2 x − 1) dx
= ∫ cot2 xcsc2 x dx − ∫ cot2 x dx
= − ∫ cot2 x d(cotx) − ∫ (csc2 x − 1) dx
= − 1 cot3 x + cot x + x + C

3

7. จงหาค่า ∫ tan−3/2 xsec4 x dx
∫ tan−3/2 xsec4 x dx = ∫ tan−3/2(1 + tan2 x)sec2 x dx
= ∫ (tan−3/2 x + tan1/2 x) d(tanx)

56

= tan−1/2 x + tan3/2 x + C
−1/2 3/2

= 2 tan3/2 x− 2 tan−1/2 x + C

3

8. จงหาคา่ ∫ tan3 xsec−1/2 x dx
∫ tan3 xsec−1/2 x dx = ∫ tan2 xsec−3/2 xsec xtan x dx
= ∫ (sec2 x − 1)sec−3/2 x d(secx)
= ∫ sec1/2 x d(sec x) − ∫ sec−3/2 x d(secx)
= 2 sec3/2 x + 2sec−1/2 x + C

3

9. จงหาค่า ∫ cos y cos 4y dy
∫ cosycos 4y dy = 1 ∫ [cos 5y + cos(−3y)] dy

2

= 1 ∫ cos 5y d(5y) + 1 ∫ cos 3y d(3y)

10 6

= 1 sin 5y + 1 sin 3y + C

10 6

III. การหาปรพิ ันธโ์ ดยการแทนค่าด้วยฟังกช์ ันตรโี กณมิติ

1. จงหาคา่ ∫ dx
2√4 − x2

จัดรูปใหม่ได้ ∫ dx =∫ dx
2√4 − x2 2√22 − x2

ดงั น้นั ให้ x = 2 sin θ เพราะฉะนนั้ x2= 4 sin2 θ

√22 − x2 = √22 − 4 sin2θ = √22(1 − sin2θ) =√22 − cos2θ = 2 cosθ

และ dx = 2 cos θdθ

ดงั น้ัน ∫ dx =∫ 2 cos θdθ
x2√4−x2 4 sin2 θ2 cos θ

= 1 ∫ csc2 θ dθ
4

= − 1cot θ + C
4
จะเปล่ยี นจากฟงั ก์ชันตรโี กณมติ กิ ลบั ไปส่รู ูปแบบเดมิ โดยพิจารณาจาก

57

sin θ =x ≡ ข้าม จะได้รปู สามเหลยี่ มมุมฉาก
2 ฉาก

ดงั นน้ั cot θ = √4 − x2 เพราะฉะนนั้
x

∫ =dx − √4 − x2 +C
4x
x2√4−x2

2. จงหาคา่ ∫ √9 − 4x2 dx

จัดรปู ใหม่ได้ ∫ √9 − 4x2 dx = ∫ √32 − (2x)2 dx ดังน้ันให้
2x = 3 sin θ

หรอื

x = 3sin θ

2

ดังนนั้ dx = 3cos θdθ และ sin θ = 2x ซ่ึงจะใชว้ าดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
3
2

√9 − 4x2 = √9 − (2x)2

= √9 − (3sinθ)2

= √9 (1 − sin2θ)

= √32 − cos2θ

= 3 cos θ

แทนค่าแลว้ จะได้

เนือ่ งจาก ∫ √9 − 4x2 dx = ∫ 3 cos θ 3 cos θ dθ = 9 ∫ cos2θ dθ
22

∫ cos2 θ dθ = 1 ∫ (1 + cos 2θ)dθ
2
= 1 ( + sin 2 ) + C
22

58

= 1 (θ + sin θ cos θ) + C

2

ฉะนนั้

∫ √9 − 4x2 dx = 9 θ + 9 sin θ cos θ + C
44

เนือ่ งจาก sin θ = 2 ฉะนนั้ จะไดร้ ปู สามเหลี่ยมมุมฉาก
3

ฉะนน้ั θ = arcsin( 2 ) และ cos θ = √9 − 4x2 เพราะฉะน้ัน
3 3

∫ √9 − 4x2 dx = 9 θ + 9 sin θ cos θ + C
44

= 9 arcsin(2 ) + 9 2 √9 − 4x2 + C
4 3 43 3

= 9 arcsin(2 ) + √9 − 4x2 + C
43 2

3. จงหาค่า ∫−√13 √4 − 2 dx
พจิ ารณา ∫ √4 − 2dx โดยการแทนคา่ x = 2 sin θ จะได้

∫ √4 − 2dx = 2 (arcsin( ) + + √4− 2 ) C
24

ฉะนนั้

∫−√13 √4 − 2 dx =2 (arcsin( ) ]−√31 + √4− 2] −√31)
2
4

= 2 (sin−1 (√3) − sin−1 (− 1) + √3)
2 22

= 2 (π (− π) + √3)
36 2

= π + √3

4. จงหาค่า∫ 1 dx
2√4+ 2

ให้ x = 2 tan θ ฉะน้นั dx = 2 sec2 θ dθ

59

และ

√4 + 2 = √4 + (2 tan θ)2

= √4 + (1 + tan2θ)

= √22sec2θ

= 2sec θ

และ

x 2 = 4 tan2 θ

∫ 1 dx = ∫ 4 tan2 1 sec2 θ 2 sec2 θdθ
2√4+ 2 θ2

= 1 ∫ sec θ dθ
4 tan2θ

= 1 ∫ cos θ dθ
4 sin2θ

= 1 ∫ d(sin) θ
4 sin2θ
=− 1 +C
4sin θ

เนอ่ื งจาก tan θ = x จะไดร้ ูปสามเหลีย่ มมุมฉาก ดงั นี้
2

ดงั นั้น

1 √4+x2
x2√4+x2 4x
dx = − + C∫

5. จงหาคา่ ∫ x dx
√x2−4
ให้ x = 2 sec θ ฉะนัน้ dx = 2 sec θ tan θdθ

และ

√x2 − 4 = √(2 sec θ)2 − 4 = √4(sec2 θ − 1) = √22 2 θ = 2 tan θ

60

∫ x dx = ∫ 2 sec θ 2 sec θ tan θdθ
√x2−4 2 tan θ
= 2 ∫ sec2 θdθ

= 2 tanθ + C

เน่อื งจาก sec θ = x ฉะนนั้ ได้รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก
2

ดงั นนั้ tan θ = √x2−4 เพราะฉะนน้ั
2
x
∫ √x2−4 dx = 2 tan θ + C = √x2 − 4 + C

สังเกตว่า ∫ x dx สามารถใช้การแทนค่าแบบปกติไดด้ ังนี้
√x2−4
x = 1 ∫ (x 2 – 4)−1/2 d(x 2 − 4)
∫ √x2−4 2

= 1 (x(x 2 – 4)−1/2)+ C
2 1/2
= √x2 − 4+ C

6. จงหาคา่ ∫ 1 dx
√x2+4x
พจิ ารณา x 2+ 4x = ⏟x2 + 4x + 4−4 = (x + 2)2 − 4 ดังน้ัน

∫ 1 dx = ∫ 1 dx = ∫ 1 dx
√x2+4x √(x + 2)2 − 4 √(x + 2)2−22

ให้ x + 2 = 2 sec θ ดงั นน้ั dx = 2 sec θ tan θdθ และ

√x2 + 4x = √(x + 2)2 − 22 = √(2 sec θ)2 − 22

= √22( 2θ − 1) = √22 2θ= 2 tan θ

∫ 1 dx =∫ 1 2 sec θ tan θdx
√x2+4x 2tan θ

= ∫ sec θdθ

= ln|sec θ + tan θ|+ C

เนอื่ งจาก sec θ = x+2 จะไดร้ ูปสามเหลย่ี มมุมฉากดงั น้ี
2

61

ดงั น้ัน∫ 1 dx = ln | +2 + √ 2+4 | + C หรอื
√x2+4x
2 2

∫ 1 dx = ln| + 2 + √ 2 + 4 |+ C
√x2+4x

7. จงหาค่า ∫ dx
(6 − x2)3/2

พิจารณา

∫ dx = ∫ dx
− x2)3/2
(6 ((√6)2− 3/2

x2)

ให้ x = √6 sin θ ฉะนน้ั dx = √6 cos θdθ และ

(6 −x 2) 3/2 = (6 − 6 sin2 θ)3/2

= 63/2(1 − sin2θ)3/2

= 6√6(cos2θ)3/2

= 6√6 cos3 θ

dx √6 θdθ
(6 − x2)3/2 6√6 3θ
=∫ ∫

= 1 ∫sec2 θdθ
6

= 1 tan θ + C
6

62

เนอ่ื งจาก sin θ =x ไดร้ ูปสามเหลีย่ มมุมฉากดงั น้ี
√6

ดงั นนั้

∫ (6 dx =1 tan θ + C= x + C
− x2)3/2 6 6√6− 2

IV. การหาปริพันธโ์ ดยใช้เศษส่วนยอ่ ย
1. ∫ 3 − 2 − 2
แยกตัวประกอบ x 3 − x 2 − 2x = x(x 2 − x − 2) = x(x − 2)(x + 1) ดงั นั้น

หรอื x−1 ≡A + B+ C
x3 + x2 − 2x
x x−2 x+1

x − 1 ≡ A(x − 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 2)

เลอื ก x = 0 จะได้ A = 1/2 และเลอื ก x = 2 จะได้ B = 1/6 และเลือก x = −1 จะได้ C = −2/3

ดงั นน้ั

x−1 ≡ 1/2 + 1/6 + −2/3
x3 + x2 − 2x x+1
x x−2

2. ∫ 3 + 2 2 − − 2

แยกตวั ประกอบ x 3 + 2x 2 − x − 2 = (x − 1)(x 2 + 3x + 2) = (x − 1)(x + 2)(x + 1)

ดงั นัน้

2 2− 5x − 9 ≡ A + B+ C
x3 + 2x2 − x−2 x−1
หรือ x+2 x+1

63

2x 2 − 5x − 9 ≡ A(x + 2)(x + 1) + B(x − 1)(x + 1) + C(x − 1)(x + 2)

เลอื ก x = 1 จะได้ A = −2 และเลอื ก x = −1 จะได้ C = 1 และเลอื ก x = −2 จะได้ B = 3 เพราะฉะน้นั

2 2− 5x − 9 = −2 + 3+ 1
x3 + 2x2 − x−2
x−1 x+2 x+1

3. ∫ x3 − 2x 2

แยกตัวประกอบ x3− 2x 2 = x 2 (x − 2)

ดังน้นั

2x+4 ≡A + B + C
x3−2x2 x2 x−2
x

หรอื

2x + 4 ≡ Ax(x − 2) + B(x − 2) + Cx2 (*)

เลอื ก x = 0 จะได้ B = −2 และเลอื ก x = 2 จะได้ C = 2

ยอ้ นกลบั ไปแทนคา่ B = −2 และ C = 2 ในสมการ(*) จะได้

2x + 4 ≡ Ax(x − 2) − 2(x − 2) + 2x 2 = (A + 2)x 2+ (−2A + 2)x + 4

เทยี บสัมประสิทธิจ์ ะได้ A + 2 = 0 ดงั นน้ั A = −2 เพราะฉะนน้ั

2x+4 ≡ −2 + −x22+ 2
x3−2x2 x−2
x

4. จงหาค่าของ ∫ dxx2+x−2

3x3−x2+3 −1
แยกตวั ประกอบ 3x3 − x2 + 3x − 1 ได้ดังน้ี

3x 3− x 2 + 3x − 1 = x 2(3x − 1) + (3x − 1)

= (x 2+ 1)(3x − 1)

ฉะน้นั จดั รปู เพือ่ แยกเป็นเศษส่วนยอ่ ยได้ดงั น้ี

x2+x−2 ≡ + + C (∗)
3x3−x2+3 −1 x2+1 3x−1

คำนวณหาคา่ A,B และ C ดังนี้ จดั รูป (*) ใหม่ได้
x2+ x − 2 ≡ (Ax + B)(3x − 1) + C(x 2 + 1)
= 3Ax2 − Ax + 3Bx − B + Cx2 + C
= (3A + C)x 2 + (3B − A)x + (C − B)

64

เทียบสัมประสิทธจิ์ ะไดร้ ะบบสมการ =1
=1 }
3A + C = −2
−A + 3B
−B + C

แกร้ ะบบสมการได้ A = 4 , B =3 และ C = − 7 ฉะน้นั
55 5
x2+x−2
3x3−x2+3 −1 ≡ 4 +3 - 7
5(x2+1) 5(3x−1)

∫ x2+x−2 dx = ∫ 4 +3 dx − ∫ 7 dx
3x3−x2+3 −1 5(x2+1) 5(3x−1)

=2 ∫ d(x2+1) + 3 ∫ dx − 7 ∫ d(3x−1)
5 x2+1 5 2+1 15 (3x−1)

= 2 ln(x 2+ 1) +3 tan−1x − 7 ln|3x − 1| + C
5 5 15

นัน่ คอื

∫ x2+x−2 dx = 2 ln(x 2+ 1) +3 tan−1x −7 ln|3x − 1| + C
3x3−x2+3 −1 5 5 15

5. จงหาค่าของ ∫ 3x4 + 3x3 − 5x2 + x − 1 dx

x2+x−2

เนื่องจากดีกรีของตวั เศษมากกว่าดกี รขี องตัวส่วน ฉะนัน้ ทำการหารยาว(long division) ได้ดงั น้ี

2 + − 2 3 2 +1

ดงั นนั้ 4443 4 + 3x3 − 5x2 + x − 1
3 4 + 3 3 − 6 2
2 + − 1
2 + − 1

1

3x4 + 3x3 − 5x2 + x − 1 = (3x 2 + 1) + 1
x2+ x − 2 2+ x
– 2

∫ 3x4 + 3x3 − 5x2 + x − 1 dx =∫ [(3x2 + 1) + 1 ]dx
x2+ x − 2 2+ x
– 2

= x3 + x + ∫ dx
2+ x – 2
เนอ่ื งจาก x 2+ x − 2 = (x + 2)(x − 1) ดังนั้น

1≡ +

x2+ x − 2 x − 1 x+ 2

65

หรือ

1 ≡ A(x + 2) + B(x − 1)

เลือก x = 1 ได้ A = 1 และ เลือก x = −2 ได้ B = − 1 ดงั นน้ั
33

1 − = 1/3 + −1/3

x2+ x 2 x−1 x+ 2

∫ = 1 ∫ − 1 ∫
x2+ x − 3 x+ 2
2 x−1 3
= 1ln|x − 1| − 1ln|x + 2| + C
33
= 1 ln |x − 1 |+ C
3 x+2
ฉะน้ัน

∫ 3x4 + 3x3 − 5x2 + x − 1 dx = x3 + x + 1 ln |x − 1 |+ C
x2+ x − 2
3 x+2

6. จงหาค่าของ ∫ 2−3x dx
x3+x2+4x+4

2−3x = 2−3x = 2−3x
x3+x2+4x+4 x2+(x+1)+4(x+1) (x2+4)(x+1)

2−3x = Ax+B + c = −x−2 + 1
(x2+4)(x+1) (x2+4) (x+1) (x2+4) (x+1)

∫ 2−3x dx = ∫ ( −x−2 + 1 ) dx
x3+x2+4x+4 (x2+4)
(x+1)

= ∫ ( −x−2 + )−2 + 1 dx
(x2+4) (x+1)
(x2+4)

= − ∫ d(−x−2) − 2 ∫ dx + ∫ 1 dx
(x2+4) (x2+4) (x+1)

= −ln|x2 + 4| − 2 ∫ dx + ln|x + 1|

4(x2+1)
4

= −ln|x2 + 4| − 1 ∫ 2d(x) + ln|x + 1|
2
2

((x2)+1)
2

= −ln|x2 + 4| − tan−1 (x) + ln|x + 1| + C
2

66

7. จงหาค่าของ ∫
( −1)2( +1)2

1 = + + +
( −1)2( +1)2 −1 ( −1)2 +1 ( +1)2

= + + +
4( −1) 4( −1)2 4( +1) 4( +1)2

∫ = 1 ∫ (( −−11) + 1 + 1 + ( +11)2)dx
( −1)2( +1)2 4 ( +1)2 ( −1)

= 1 (− | − 1| − 1 + | + 1| − ( −1 1)) +
4 ( −1)

67

บทท่ี 6
การประยกุ ตป์ ริพนั ธ์

68

บทที่ 6 การประยุกตป์ ริพนั ธ์

จงแสดงวิธีทำข้อต่อไปน้ี
1. จงหาพื้นที่ของบรเิ วณทถ่ี ูกปิดดว้ ยเสน้ ตรง y = x + 6 เสน้ โคง้ y = x 2 เส้นตรง x = 0 และ เส้นตรง x = 2

2. จงหาพ้นื ท่ีของบรเิ วณทถี่ กู ปดิ ลอ้ มด้วยเสน้ โคง้ y = x 2 และเส้นตรง y = x + 6

3. จงหาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ปิดลอ้ มด้วยเส้นโค้ง f(x) = x 2 และ g(x) = √x

4. จงหาพ้ืนท่ีของอาณาบรเิ วณท่ีปิดลอ้ มด้วยเส้นโคง้ y + x 2 = 6 และ y + 2x − 3 = 0
5.จงหาพื้นของบรเิ วณที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ x = y 2 และ y = x – 2
6. จงหาพนื้ ของบริเวณท่ปี ดิ ล้อมด้วยกราฟของ x = y 2 และ y = x – 2

7.จงหาพ้ืนทขี่ องอาณาบริเวณที่ปิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้ง 2y 2 = x + 4 และเสน้ โคง้ x = y 2

8.จงหาพืน้ ของอาณาบรเิ วณทีป่ ดิ ล้อมด้วยเส้นโคง้ y − x = 6, y − x 3 = 0 และ 2y + x = 0

9.จงหาปรมิ าตรของทรงกลมท่ีมรี ศั มี r หน่วย

10.จงหาปริมาตรของทรงตันทเี่ กดิ จากการหมนุ อาณาบรเิ วณใต้เสน้ โค้ง y = √x และเส้น ตรง y = 0 บนชว่ ง
[1, 4] รอบแกน x

11. จงหาปรมิ าตรของทรงตนั ทเ่ี กิดจากการหมนุ อาณาบริเวณทอ่ี ยรู่ ะหว่างกราฟของสมการ f(x) = 1 + x 2 กบั
2

g(x) = x บนช่วง [0, 2] หมนุ รอบแกน x

12. จงหาปริมาตรของทรงตนั ท่เี กดิ จากการหมนุ บริเวณทีป่ ิดล้อมด้วยกราฟของ y = x 2 กับ y = 0 บนช่วง [0, 2]
รอบเส้นตรง y = −1

13.จงหาปรมิ าตรของทรงตนั ที่เกดิ จากการหมุนอาณาบริเวณทปี่ ิดลอ้ ม ด้วยเสน้ โค้ง y = x 2 + 1, y = 0, x = −1,
x = 1 รอบเส้นตรง y = 0

69

14. จงหาปรมิ าตรของทรงตนั ท่เี กิดจากการหมุนอาณาบริเวณที่ปดิ ล้อมด้วยกราฟของ y =√x, y = 2 และ x =
0 รอบแกน y
15. จงหาปรมิ าตรของทรงตันท่ีเกดิ จากการหมนุ อาณาบริเวณทีป่ ดิ ล้อมด้วยกราฟของฟังกช์ ัน ตอ่ ไปน้ี y = x 2, y =
x + 2 รอบเสน้ ตรง x = 3
16. จงหาปริมาตรของทรงตันทเ่ี กิดจากการหมนุ อาณาบรเิ วณท่ีปิดล้อมดว้ ยกราฟของฟังกช์ ัน ตอ่ ไปน้ี y = 2x, y =
6 และ x = 0 โดยใชท้ ้งั วิธกี ารหมุนแบบจาน และวิธีการหมนุ แบบเปลอื กหอย เมอื่ 1. หมุนรอบแกน x 2.
หมุนรอบแกน y

70

เฉลย
1. จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ถูกปิดดว้ ยเสน้ ตรง y = x + 6 เสน้ โค้ง y = x 2 เสน้ ตรง x = 0 และ เส้นตรง x = 2

แสดงรปู ภาพได้ดงั นี้

A = ∫02[(x + 6) − x2] dx

= (x2 + 6x − x3) |20

23

= 34 − 0
3

= 34

3

2. จงหาพนื้ ทขี่ องบริเวณท่ีถกู ปิดล้อมดว้ ยเส้นโค้ง y = x 2 และเส้นตรง y = x + 6

หาจุดตัดโดยให้ x 2 = x + 6 ฉะนั้น x 2 − x − 6 = 0 หรอื (x + 2)(x − 3) = 0 ดังนัน้ กราฟตัดกนั ที่ x = −2, 3
และในช่วง [−2, 3] จะได้ x + 6 ≥ x 2 ดงั รปู ต่อไปน้ี

71

A = ∫−32[(x + 6) − x2] dx

= (x2 + 6x − x3) |−32

23

= 27 − (− 22)

23

= 125

6

3. จงหาพน้ื ทข่ี องอาณาบริเวณที่ปดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ f(x) = x 2 และ g(x) = √x
วาดรูปได้ดงั นี้

หาชว่ งของปรพิ นั ธ์ โดยการหาจดุ ตดั ได้ดงั ต่อไปนี้ ให้ x 2 = √x ฉะนน้ั x(x 3 − 1) = 0 ดงั น้ันเสน้ โคง้ ตดั กนั เม่ือ x
= 0 และ x = 1 สำหรับทุกๆ x ∈ [0, 1] จะพบว่า √x ≥ x 2 ดงั นน้ั

A = ∫01(√x − x2) dx

= 2 x3⁄2 |01 − 1 x3 |10
3
3

=2−1

33

= 1
3

72

4. จงหาพนื้ ท่ขี องอาณาบรเิ วณทีป่ ิดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ y + x 2 = 6 และ y + 2x − 3 = 0
วาดรปู ได้ดังนี้

จดั รปู สมการใหม่ได้ y = 6 − x 2 และ y = 3 − 2x ให้ 6 − x 2 = 3 − 2x ฉะนน้ั ได้ x 2 − 2x − 3 = 0 หรือ (x +
1)(x − 3) = 0 ดงั น้นั เส้นโค้งตดั กันท่ี x = −1 และ x = 3 และสำหรับทุกๆ x ∈ [−1, 3] จะได้ว่า 6 − x 2 ≥ 3 −
2x ดังนัน้

A = ∫−31[(6 − x2) − (3 − 2x)] dx

= ∫−31(3 − x2 − 2x) dx

= 3x |−31 − 1 x3 |−31 + x2 |−31
3

= 3(4) − 1 (28) + 8

3

= 32
3

5.จงหาพนื้ ของบริเวณท่ปี ิดลอ้ มด้วยกราฟของ x = y 2 และ y = x – 2

หาขอบเขตของปริพันธ์ ให้ y 2 = y + 2 ดังนัน้ y 2 − y − 2 = 0 หรอื (y + 1)(y − 2) = 0 เพราะฉะน้นั y = −1,
2 เป็นจดุ ตดั ของกราฟ นัน่ คือกราฟตัด กันทจ่ี ุด (1, −1) และจุด (4, 2) เขียนกราฟไดด้ ังนี้

73

ในกรณนี ี้ต้องแบ่งพื้นท่ี A ออกเป็น 2 ส่วน ดงั รูป

จะได้ A1 = ∫01[√x − (−√x)] dx และ A2 = ∫14[√x − (x − 2)] dx

A1 = ∫01[√x − (−√x)] dx

= 2 ∫01[x1⁄2] dx

และ A2 = ∫14[√x − (x − 2)] dx

= ∫14[√x − x + 2] dx

= 2 x3⁄2 |14 − 1 x2 |41 + 2x |41
3
2

= 2 (8 − 1) − 1 (16 − 1) + 2(4 − 1)

32

= 14 − 15 + 6
3 2

74

= 19
6

เพราะฉะน้ัน A = A1 + A2 = 4 + 19 = 27 = 9

3 6 62

6. จงหาพ้นื ของบริเวณท่ปี ดิ ล้อมด้วยกราฟของ x = y 2 และ y = x – 2

จากตวั อย่างท่ผี ่านมา ได้ y = −1, 2 เป็นจดุ ตดั ของกราฟ และ y + 2 ≥ y 2 เมื่อ y ∈ [−1, 2] ดงั น้นั ไดพ้ ้ืนที่

A = ∫−21[(y + 2) − y2] dy

= (1 y2 + 2y − 1 y3) |−21
3
2

= (10) − (− 7)

36

= 27

6

=9

2

7.จงหาพ้ืนที่ของอาณาบรเิ วณที่ปิดล้อมดว้ ยเสน้ โคง้ 2y 2 = x + 4 และเส้นโค้ง x = y 2
วาดรูปได้ดังน้ี

75

ในกรณนี จ้ี ะให้ x เปน็ ฟงั ก์ชันของ y ซงึ่ จะได้ x = 2y 2 − 4 และ x = y 2 หาชว่ งปรพิ ันธ์ โดยให้

2y 2 − 4 = y 2 ดงั นั้น y 2 = 4 เพราะฉะนนั้ เส้นโค้งตดั กนั ที่ y = ±2 จะได้

A = ∫−22[y2 − (2y2 − 4)] dy

= ∫−22(4 − y2) dy

= 4y |−22 − 1 y3 |−22

3

= 4(4) − 1 (16)

3

= 32

3

8.จงหาพน้ื ของอาณาบรเิ วณที่ปดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โคง้ y − x = 6, y − x 3 = 0 และ 2y + x = 0
วาดรูปได้ดังน้ี

ให้ A เปน็ พน้ื ท่ีท่ตี อ้ งการหา ฉะนนั้

A = ∫−04 [(6 + x) − (− x)] dx + ∫02[(6 + x) − x3] dx

2

= ∫−04 (6 + 3x) dx + ∫02(6 + x − x3) dx

2

= 6x |−04 − 3 x2 |−04 + 6x |02 + 1 x 2 |20 − 1 x4 |02
4 2 4

76

= 6(4) + 3 (−16) + 6(2) + 1 (4) − 1 (16)

4 24

= 22

9.จงหาปรมิ าตรของทรงกลมทมี่ รี ัศมี r หน่วย
รปู ทรงกลมรัศมี r เมอ่ื ฉายลงในเส้นตรงจะได้รปู ดงั น้ี

ภาคตัดขวางที่จดุ x เปน็ วงกลม สมมติว่ามรี ศั มี y หน่วย โดยสมบตั ขิ องสามเหล่ยี มมุมฉาก ไดว้ า่ y 2 + x 2 = r 2
หรอื y 2 = r 2 − x 2 ฉะนั้น A(x) = πy 2 = π (r 2 − x 2 )

ดงั นน้ั

V = ∫−rr π(r2 − x2) dx
|−rr |−rr)
= π (r2x − 1 x3
3

= π (2r3 − 2 r3)
3

= 4 πr3
3

∴ ทรงกลมรัศมี r หนว่ ย จะมีปรมิ าตร V = 4 πr3ลกู บาศก์หนว่ ย
3

77

10.จงหาปริมาตรของทรงตนั ทเี่ กิดจากการหมนุ อาณาบริเวณใต้เส้นโค้ง y = √x และเสน้ ตรง y = 0 บนชว่ ง
[1, 4] รอบแกน x

เขียนรูปประกอบได้ดังน้ี

V = ∫14 π (√x )2 dx

= π 1 x2 |41
2

= 1 π (42 − 12)
2

= 15 π
2

11. จงหาปรมิ าตรของทรงตนั ทเี่ กิดจากการหมนุ อาณาบรเิ วณทีอ่ ยรู่ ะหวา่ งกราฟของสมการ f(x) = 1 + x 2 กบั
2

g(x) = x บนช่วง [0, 2] หมนุ รอบแกน x
เขยี นรูปประกอบได้ดังน้ี

V = ∫02 π ([1 + x2]2 − x2) dx

2

78

= ∫02 π (1 + x2 + x4 − x2) dx

4

= π (1 x |02 + 1 x 5 |20)
5
4

= π (1 + 32)
25

= 69 π
10

12. จงหาปริมาตรของทรงตนั ท่เี กดิ จากการหมนุ บรเิ วณทป่ี ิดลอ้ มด้วยกราฟของ y = x 2 กับ y = 0 บนช่วง [0, 2]
รอบเสน้ ตรง y = −1
วาดรปู ประกอบได้ดังนี้

V = ∫02 π ([1 + x2]2 − [1]2) dx

= π ∫02 (1 + 2x2 + x4) − 1 dx

= π (2 x3 |20 + 1 x5 |20)
5
3

= π (16 + 32)
35

= 176 π
15

79

13.จงหาปรมิ าตรของทรงตันทเี่ กิดจากการหมุนอาณาบรเิ วณทป่ี ดิ ลอ้ ม ดว้ ยเสน้ โค้ง y = x 2 + 1, y = 0, x=
−1, x = 1 รอบเสน้ ตรง y = 0

วาดรปู ประกอบได้ดงั น้ี

ฉะน้นั ปรมิ าตรของทรงตันท่เี กดิ จากการหมุนมีคา่

V = ∫−11 π (x2 + 1)2 dx

= ∫−11 π (x4+2x2 + 1) dx

= π (1 x5 + 2 x3 + x) |−11
3
5

= π [(1 + 2 + 1) − (− 1 − 2 − 1)]
53 53

= 56 π
15

80

14. จงหาปรมิ าตรของทรงตนั ท่ีเกดิ จากการหมนุ อาณาบรเิ วณที่ปดิ ล้อมด้วยกราฟของ y =√x, y = 2 และ x =
0 รอบแกน y

วาดรูปประกอบได้ดังนี้

V = ∫02 π (y2)2 dx

= π 1 y 2 |20
5

= 32 π
5

15. จงหาปริมาตรของทรงตนั ท่ีเกิดจากการหมุนอาณาบริเวณที่ปดิ ล้อมด้วยกราฟของฟังก์ชัน ต่อไปนี้ y = x 2, y =
x + 2 รอบเส้นตรง x = 3

วาดรปู ดังต่อไปนี้

81

ให้ x เป็นระยะห่างของแกน y กับแถบหมุน ดังน้นั ระยะห่างของแกนหมนุ กบั แถบหมนุ ยาว 3 − x และแถบหมนุ มี
ความยาว (x + 2) − x 2 ฉะน้ันไดป้ รมิ าตรของทรงตนั ดังนี้

V = 2π ∫−21(3 − x)[(x + 2) − x2] dx

= 2π ∫−21(x3 − 4x2 + x + 6) dx

= 2π ( 1 x4 |−21 + 4 x 3 |−21 + 1 x2 |−21 + 6x |−21 )
4 3 2

= 2π ( 1 (15) − 4 (9) + 1 (3) + 6(3))
4 32

= 45 π
2

16. จงหาปริมาตรของทรงตันทเ่ี กิดจากการหมนุ อาณาบริเวณท่ปี ดิ ล้อมด้วยกราฟของฟังกช์ ัน ต่อไปนี้ y = 2x, y =
6 และ x = 0 โดยใชท้ ง้ั วิธีการหมุนแบบจาน และวิธกี ารหมุนแบบเปลอื กหอย เมอื่ 1. หมุนรอบแกน x 2.
หมุนรอบแกน y
เขียนอาณาบริเวณทจ่ี ะหมุนได้ดงั นี้

หมนุ รอบแกน x V = π ∫03 62 dx− π ∫03(2x)2 dx
วิธีแบบจาน

= π 36x |30 − π 4 x3 |30
3

82

= 108π − 36π
= 72π

วธิ แี บบเปลอื กหอย V = 2π ∫06 y (y) dy

หมนุ รอบแกน y 2
วิธแี บบจาน |60
= π 1 y3
วิธแี บบเปลอื กหอย 3

= π 1 63
3
= 72π

V = π ∫06 (y)2 dy

2

= π 1 y3 |06
12

= π 1 63
12
= 18π

V = 2π ∫03 x(6 − 2x) dx |03)
(3x2 |03
= 2π − 2 x3
3

= 2π(27 − 18)

= 18π

83

แนวขอ้ สอบปลายภาค

84

แนวข้อสอบปลายภาค (5 คะแนน)
(5 คะแนน)
1. จงหาคา่ ของ ∫( 2 + 34 + cos(5 )) (6 คะแนน)
(4 คะแนน)
2. จงหาค่าของ ∫( − csc2 )( + cot )25 (7 คะแนน)
(7 คะแนน)
3. จงหาคา่ ของ ∫02| − 1|

4. จงหาคา่ ของ ∫ 1
√ 2−25

5. จงหาคา่ ของ [∫ ]
ln

6. จงหาคา่ ของ ∫ 3 ln(3 )

7. จงหาคา่ ของ ∫ sin(15 ) cos(10 ) (5 คะแนน)
8. จงหาคา่ ของ ∫ tan5 sec4 (5 คะแนน)

9. จงหาคา่ ของ ∫ √9 − 4 2 (8 คะแนน)

10. จงหาคา่ ของ ∫ 4 (8 คะแนน)
( 2+4)

11. ให้ A เปน็ บรเิ วณทปี่ ิดลอ้ มดว้ ยเส้นโค้ง = 1 + 2และเส้นตรง = + 7 (3 คะแนน)
11.1 จงวาดภาพแสดงบริเวณ A พรอ้ มทัง้ หาจดุ ตดั ของเสน้ โคง้ และเส้นตรงดังกล่าว (5 คะแนน)
11.2 จงหำพน้ื ที่บริเวณ A

12. จงหาปริมาตรของทรงตนั ทเ่ี กิดจากการหมนุ อาณาบรเิ วณทถ่ี ูกปดิ ล้อมดว้ ยเส้นโค้ง = 2 + 1 , =

− 2 − 1 , เส้นตรง x=2 และแกน Y โดยหมนุ รอบแกน Y (10 คะแนน)

13. จงหาความยาวสว่ นโคง้ ของเสน้ โค้ง = 2⁄3 + 1 เมอ่ื 0 ≤ ≤ 1 (7 คะแนน)

85

14. จงหาผลเฉลยของปัญหาค่าเรมิ่ ตน้ ของสมการอนุพันธ์ (8 คะแนน)
+ 3 3 2 = 12 4 2 + 2 (1) = 1



15. สมมตวิ ่าต้นดาวเรอื งมีอัตราการขยายพนั ธโุ์ ดยธรรมชำตสิ อดคลอ้ งกบั สมการเชิงอนุพันธ์ = 600



(เม่ือ แทนจำนวนของตน้ ดาวเรือง (ตน้ ) และ t แทนเวลา (เดอื น))

ถ้ำเริม่ ต้นมีต้นดาวเรืองอยู่ 100 ตน้ จงหาจำนวนของต้นดาวเรอื งเมื่อเวลาผ่านไป 1 ปี (7 คะแนน)

86

เฉลย (5 คะแนน)
1. จงหาคา่ ของ ∫( 2 + 34 + cos(5 ))

∫( 2 + 34 + cos(5 )) = ∫ 2 + ∫ 34 + ∫ cos(5 )

= ∫ 2 + ∫ 34 (4 ) + ∫ cos(5 ) (5 )
4 5

= 3 + 34 + (5 ) +
3 4 ln 3 5

2. จงหาคา่ ของ ∫( − csc2 )( + cot )25 (5 คะแนน)

∫( − csc2 )( + cot )25 = ∫( − csc2 )( + cot )25 ( + cot )
− csc2

= + ( +cot )26

26

3. จงหาค่าของ ∫02| − 1| (6 คะแนน)

| − 1| = {1 − 1 , ≥ 1
− , < 1

∫02| − 1| = ∫01(1 − ) + ∫12( − 1)

= [ − 2] 1 + [ 2 − ] 2
0 1
2 2

= (1 − 1) − 0 + (4 − 2) − (1 − 1)

222

=1

4. จงหาค่าของ ∫ 1 (4 คะแนน)
√ 2−25 (7 คะแนน)
1 1 sec−1 ( ) +
∫ √ 2− 2 =


∫ 1 = ∫ 1
√ 2−25 √ 2−(5)2

= 1 sec−1 ( ) +

55

5. จงหาคา่ ของ [∫ ]
ln

[∫ ] = [− ∫ ]
ln ln

87

= − ( )



= − [ lsni(n ( ) )]

= − 2 sin ( )



6. จงหาคา่ ของ ∫ 3 ln(3 ) (7 คะแนน)

ให้ = ln(3 ) , = 2

= 1 (3 ) = 1 , = 3
3 3
จากสูตร ∫ = − ∫

∫ 3 ln(3 ) = 3 ln(3 ) − ∫ 3 (1)
3 3
3

= ln(3 ) − 1 ∫ 2
3 3
= 3 ln(3 ) − 3 +
39

7. จงหาค่าของ ∫ sin(15 ) cos(10 ) (5 คะแนน)

จาก sin( ) cos( ) = 1 (sin( − ) + sin( + ) )
2
1 (+ sin(25 ))
∫ sin(15 ) cos(10 ) =
2
1 (5 ) (25 )]
= 2 [∫ sin(5 ) 5 + ∫ sin(25 )
25
= − 1 cos(5 ) − 1 +
10 50

8. จงหาคา่ ของ ∫ tan5 sec4 (5 คะแนน)

∫ tan5 sec4 = ∫ tan5 sec 4 (tan )
sec2
= ∫ tan5 sec2 (tan )

= ∫ tan5 (tan2 + 1) (tan )

= ∫(tan7 + tan5 ) (tan )

= tan8 + tan6 +

86

88

9. จงหาค่าของ ∫ √9 − 4 2 (8 คะแนน)

2 (8 คะแนน)
3 = sin
2 89
3 = cos

3
= 2 cos

√9 − 4 2
3 = cos

√9 − 4 2 = 3 cos

จะได้ว่า ∫ √9 − 4 2 = ∫(3 cos ) (3 cos )

9 2
2
= ∫ cos2

= 9 ∫ [1+cos 2 ]
2 2
9
= 4 [∫ + ∫ cos 2 ]

= 9 [∫ + 1 ∫ cos 2 (2 )]
4 2
= 9 [ + 1 sin 2 ] +
42
= 9 [ + sin cos ] +
4

= 9 [sin−1 2 + 2 (√9−4 2)] +
4 33 3

10. จงหาค่าของ ∫ 4
( 2+4)

จาก 4 = + +
( 2+4) 2+4

จะไดว้ ่า 4 = ( 2 + 4) + ( + )

= 2 + 4 + 2 +
= ( + ) 2 + + 4
เทียบสัมประสทิ ธไ์ ดว้ า่

+ = 0 (1)

= 0 (2)

4 = 4 (3)

ดงั นน้ั = 1 , = −1 , = 0

∫ 4 = ∫ 1 − ∫
( 2+4) 2+4

= ∫ 1 − ∫ ( 2+4)
2+4 2
1 1 1
= ∫ − 2 ∫ 2+4 ( 2 + 4)

= ln| | − 1 ln| 2 + 4| +

2

11. ให้ A เปน็ บริเวณทปี่ ดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โคง้ = 1 + 2และเส้นตรง = + 7 (3 คะแนน)
11.1 จงวาดภาพแสดงบริเวณ A พรอ้ มท้ังหาจดุ ตดั ของเส้นโคง้ และเสน้ ตรงดังกล่าว
หาจุดตดั + 7 = 1 + 2

0 = 2 − − 6
0 = ( − 3)( + 2)

11.2 จงหำพ้ืนท่บี รเิ วณ A (5 คะแนน)

= ∫−32[( + 7) − (1 + 2)] 90
= ∫−32 ( − 2 + 6)
[ 2 3 3
= − 3 + 6 ] −2
2

= 125
6

12. จงหาปริมาตรของทรงตันที่เกดิ จากการหมนุ อาณาบริเวณท่ีถูกปิดลอ้ มด้วยเสน้ โคง้ = 2 + 1 , =

− 2 − 1 , เสน้ ตรง x=2 และแกน Y โดยหมนุ รอบแกน Y (10 คะแนน)

หาปรมิ าตรโดยวิธีเปลอื กทรงกระบอก

= ∫02 ( − 0)[ 2 + 1 − (− 2 − 1)]
= ∫02 2 (2 2 + 2)
= 4 ∫02 ( 2 + 1)
= 4 ∫02( 3 + )
2 02]
= 4 [1 4| 0 + 1 2|
2
4

= 4 [1 (16 − 0) + 1 (4 − 0)]
42
= 24 ลกู บาศกห์ นว่ ย

13. จงหาความยาวส่วนโค้งของเสน้ โคง้ = 2⁄3 + 1 เมอื่ 0 ≤ ≤ 1 (7 คะแนน)

= ∫01 √1 + ( )2 91



= ( 2⁄3 + 1) = 3√
2

= ∫01 √1 + (3√ )2

2

= ∫01 √1 + 9
4

ให้ = 1 + 9
4

= 9

4

13

= ∫14 √

= 8 [ 3⁄2] 13
4
27 1

= 1 [13√13 − 8]
27

14. จงหาผลเฉลยของปัญหาค่าเริม่ ต้นของสมการอนุพนั ธ์

+ 3 3 2 = 12 4 2 + 2 (1) = 1 (8 คะแนน)



= 12 4 2 + 2 − 3 3 2



= 12 3 2 + 2 − 3 2 2



= 2(12 3 + −1 − 3 2)

∫ −2 = ∫(12 3 + −1 − 3 2)

−1 + = 3 4 + ln − 3

−1 = 1
−3 4−ln + 3

1 = 1 = 1, = 3

−3−ln 1+1 −2

= 1
3−3 4−ln + 3

92

15. สมมติว่าต้นดาวเรอื งมอี ตั ราการขยายพนั ธุโ์ ดยธรรมชำติสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ = 600

(เมอื่ แทนจำนวนของตน้ ดาวเรอื ง (ตน้ ) และ t แทนเวลา (เดอื น))

ถ้ำเร่ิมต้นมีต้นดาวเรอื งอยู่ 100 ตน้ จงหาจำนวนของตน้ ดาวเรืองเมื่อเวลาผ่านไป 1 ปี (7 คะแนน)

= 600



จะได้ = 600

∫ = ∫ 600

2 = 600 + 1
2
น้นั คือ ( ) = √1200 +

จากคา่ เรม่ิ ตน้ (0) = 100 จะได้ = 100

∴ ( ) = √1200 + 100
เมอ่ื เวลาผา่ นไป 1 ปี น่ันคือ t = 12 จะมตี น้ ดาวเรอื งท้ังหมด

(12) = √14400 + 100 = 220 ตน้

93