สูตรลิมิต หรือทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชัน

เรอื่ ง สตู ลมิ ติ

สตู รลมิ ติ หรอื ทฤษฎบี ทเกยี่ วกบั ฟงั กช์ นั
สมบัตทิ สี่ ำคญั ของลิมิตมีอยู่ 9 ข้อดว้ ยกนั ได้แก่
1. สมบตั ขิ องคำ่ คงที่

เมอื่ c เปน็ ค่ำคงที่ ลมิ ิตของ c เมื่อ x เขำ้ ใกล้ a จะมีค่ำเทำ่ กบั c ทนั ที ยกตวั อยำ่ งเช่น

จำกโจทย์เรำตอ้ งกำรหำค่ำของลิมิตของ 2 เมือ่ x เขำ้ ใกล้ 11 จะเห็นว่ำ 2 น้นั เปน็ คำ่ คงที่ เรำจงึ
ตอบได้เลยว่ำลมิ ติ ของ 2 เมอื่ x เขำ้ ใกล้ 11 มคี ำ่ เทำ่ กบั 2

2. สมบัตขิ องกำรยกกำลัง

ถึงจะดูซับซอ้ น แต่สมบัติข้อนกี้ ไ็ มย่ ำกเลย เม่ือ n เปน็ จำนวนนบั ใด ๆ ลิมติ ของ xn เมื่อ x เข้ำใกล้
a จะเทำ่ กบั an เพ่ือน ๆ สำมำรถหยบิ a เขำ้ ไปแทนคำ่ ใน x ไดเ้ ลย

ยกตัวอยำ่ งเช่นโจทย์ขอ้ น้ี เรำต้องกำรหำลิมิตของ x3 เม่อื x เขำ้ ใกล้ 2 จำกสมบตั ิของลมิ ิตท่เี รำรู้
เรำสำมำรถแทนค่ำ x ดว้ ย 2 แล้วหำคำตอบตำมปกตไิ ดท้ ันที

3. สมบัติกำรคูณของค่ำคงที่

เมอ่ื c เปน็ คำ่ คงทีท่ คี่ ณู อยกู่ ับฟงั กช์ นั f(x) เรำสำมำรถดงึ c แยกออกมำแลว้ หำลมิ ติ ของฟังกช์ นั
f(x) ไดต้ ำมปกติ

ยกตัวอยำ่ งเช่น กำรหำค่ำของ 3x2 เมอื่ x เขำ้ ใกล้ -3 เพ่อื น ๆ จะเห็นวำ่ 3 กค็ อื คำ่ คงที่หรือ c เรำ
สำมำรถดึง 3 มำไว้ข้ำงหน้ำ แลว้ แทนค่ำ x ด้วย -3 เพอื่ หำคำตอบไดต้ ำมปกติ
4. สมบัตกิ ำรบวกและกำรลบ

ในสมบตั ขิ ้อน้เี พ่อื น ๆ จะเหน็ ว่ำฟงั กช์ ันท่ีเรำต้องกำรหำค่ำมีหลำยฟงั ก์ชันบวกหรอื ลบกนั อยู่
ถำ้ เจอโจทยล์ กั ษณะแบบนี้ เรำสำมำรถกระจำยลิมิตเข้ำไปในท้ังสองฟงั ก์ชันและหำค่ำได้
ตำมปกติ

โจทยข์ ้อนบ้ี อกวำ่ ตอ้ งกำรหำค่ำของลิมิตของ 3x2 + 2x เมื่อ x เข้ำใกล้ 1 เรำสำมำรถกระจำยลิมติ
เข้ำไปให้ 3x2 และ 2x ได้ จำกนน้ั จงึ ดงึ 3 และ 2 ที่เปน็ คำ่ คงท่ีออกมำหน้ำลิมติ แทนค่ำ x ใน
ฟงั ก์ชันดว้ ย 1 คำ่ ของลิมิตของ 3x2 + 2x เมอ่ื x เขำ้ ใกล้ 1 จึงมีค่ำเทำ่ กับ 3
5. สมบตั ิกำรคณู

เช่นเดยี วกับกำรบวกและกำรลบ ถำ้ เจอโจทยท์ ม่ี ีหลำยฟังก์ชนั กำลังคูณกันอยู่ เรำสำมำรถ
กระจำยลมิ ิตเข้ำไปทั้งสองฟังกช์ ันได้

6. สมบัตขิ องกำรหำร

หำกเรำต้องกำรหำลิมติ ของฟงั กช์ นั f(x) หำรดว้ ย g(x) เมอื่ x เขำ้ ใกล้ a เรำสำมำรถแจกลิมติ เขำ้
ไปใหฟ้ งั กช์ ัน f(x) และ g(x) ไดเ้ ลย แตม่ ขี ้อแมว้ ำ่ ค่ำของลิมิตของฟงั กช์ ัน g(x) เม่ือ x เขำ้ ใกล้ a
ต้องไมเ่ ท่ำกับศนู ย์

ตัวอย่ำงเช่น กำรหำค่ำลิมิตของฟังก์ชัน (2x2 - 3)(x3 + 2) เม่ือ x เข้ำใกล้ -1 เรำสำมำรถแจกลิมิตให้
ฟงั ก์ชัน 2x2 - 3 และ x3 + 2 จำกน้นั จึงหำค่ำของลิมิตทงั้ สองฟังกช์ ันด้วยสมบตั ิกำรลบ แยก
คำ่ คงท่อี อกมำแลว้ แทนคำ่ เรำก็จะได้คำตอบวำ่ ลิมิตของฟังกช์ นั (2x2 - 3)(x3 + 2) เม่ือ x เขำ้ ใกล้ -
1 มีค่ำเทำ่ กบั -1

7. สมบตั ขิ องฟงั กช์ ันพหุนำม

เมอ่ื P(x) เป็นฟังก์ชันพหุนำมและ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ เรำสำมำรถแทนค่ำ a ลงในสมกำรพหุ
นำมนน้ั ได้ทันที ทำไมถงึ เป็นแบบนี้ เรำจะมำพิสูจน์กนั !

เมือ่ x เปน็ พหุนำม และ k เปน็ คำ่ คงทใี่ ด ๆ เรำสำมำรถเขียนฟงั ก์ชนั พหนุ ำม P(x) ได้ในรปู knxn +

kn-1xn-1 + ... + k2x2 + k1x + k0

หำกเรำต้องกำรหำลิมิตของฟงั ก์ชนั P(x) เรำสำมำรถกระจำยลมิ ติ ของผลบวกเขำ้ ไปในวงเล็บได้
และเนอ่ื งจำก k เป็นคำ่ คงที่ เรำจึงสำมำรถดึงค่ำคงทอี่ อกมำจำกลิมิตทุกตัวได้ จำกนั้นเรำจงึ แทน
ค่ำ x ด้วย a ได้ หรอื P(a) น่นั เอง ลมิ ติ ของฟงั ก์ชันพหนุ ำม P(x) เมอื่ x เข้ำใกล้ a จึงมคี ่ำเท่ำกับ

P(a)

8. สมบตั ิของเลขยกกำลัง

ยกตัวอยำ่ งเช่นกำรหำลมิ ิตของฟงั ก์ชนั (2x - 5)5 เมอ่ื x เขำ้ ใกล้ 3 จำกสมบัตขิ องลิมิตขอ้ นเ้ี รำ
สำมำรถหำลมิ ติ ของฟังก์ชนั 2x - 5 ด้วยกำรแทนค่ำ x ในฟงั กช์ ันดว้ ย 3 ได้เลย จำกนน้ั จึงยก
กำลงั 5 คำตอบของขอ้ น้จี งึ เป็น 1
9. สมบัตขิ องรำกที่ n

หำกเรำตอ้ งกำรหำลิมติ ของฟังก์ชนั n f(x) เมื่อ x เขำ้ ใกล้ a เรำสำมำรถดึงรำกท่ี n ออกมำและหำค่ำ
ของฟังกช์ ัน f(x) เมือ่ x เข้ำใกล้ a ได้

ยกตวั อย่ำงเชน่ โจทย์ขอ้ น้ีท่ตี อ้ งกำรหำคำ่ ของลิมิต เมอื่ x เขำ้ ใกล้ -1

เพือ่ น ๆ สำมำรถดึงรำกที่ 3 ออกมำและหำลมิ ติ ของฟังก์ชัน 5x3 - 11x2 + 8 ได้ จำกนั้นจงึ ใช้สมบตั ิ

กำรลบของฟังก์ชัน แลว้ แทนค่ำ x ด้วย -1 กจ็ ะไดค้ ำตอบเปน็ -2

ถ้ำเพอื่ น ๆ ใชส้ มบัติของลิมิตไดอ้ ยำ่ งถกู ต้อง แคลคูลสั กจ็ ะไมย่ ำกอย่ำงทค่ี ิด แตส่ ิ่งท่ีสำคญั คือ
ตอ้ งดโู จทย์ใหอ้ อกว่ำโจทย์แบบน้สี ำมำรถใช้สมบัตขิ องลิมติ ขอ้ ไหนมำแก้โจทย์ได้ และต้อง
อำศยั กำรทำโจทยบ์ อ่ ย ๆ เพื่อน ๆ สำมำรถดำวน์โหลดแอปพลิเคชัน StartDee เพ่อื ทำโจทย์และ
แบบฝกึ หัดเพ่มิ เติมได้แล้ว (แถมเรำยังมีเฉลยวธิ ที ำอยำ่ งละเอียดดว้ ยนะ) ทำโจทยบ์ อ่ ย ๆ
รับรองว่ำตอ้ งเก่งขึน้ แนน่ อน StartDee เป็นกำลังใจใหจ้ ำ้ !

ท่มี ำ:https://blog.startdee.com

จดั ทำโดย

นำย ยิ่งศกั ด์ิ แกว้ วเิ ศษ 64301010073
นำย ศุภนนั ท์ มณเี ขียว 6430100078
นำย เกตุ กำเหนิด 64301010052
นำย จริ พัฒน์ แวน่ ศลิ ำ 644301010053