The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by Publications, 2021-10-21 05:35:14

Matematik Tingkatan 1

Matematik Tingkatan 1

CONTOHKhas untuk guru sahaja

Dengan setiap pembelian buku, guru boleh
dapatkan salinan lembut (softcopy) dalam
bentuk PDF untuk memudahkan proses
pengajaran dan pembelajaran di rumah (home-
based learning).

Sekiranya guru memerlukan PDF, sila
hubungi Bahagian Penjualan dan Pemasaran
Cemerlang Publications Sdn. Bhd. di talian:

03-89592001
03-89593001
016-3324137

Resos Guru

Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
Quadratic Functions and Equations in One Variable

• Fungsi dan persamaan kuadratik/ Quadratic function and equation

Ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah Fungsi kuadratik
Quadratic expression in one variable Quadratic function
Ditulis sebagai/ Written as
Ungkapan dengan pemboleh ubah yang kuasa tertinggi f (x) = ax2 + bx + c
dua.
Expression with variable to the highest power of two.
CONTOH Bentuk am
General form

ax2 + bx + c Persamaan kuadratik
Quadratic equation
a, b dan c ialah pemalar dengan a ≠ 0 dan x ialah
pemboleh ubah. Ditulis sebagai/ Written as
a, b and c are constants with a ≠ 0 and x is the variable. ax2 + bx + c = 0

• Bentuk graf fungsi kuadratik/ The shape of the graph of quadratic function

Nilai pemalar a/ The value of the constant a
• Menentukan kedudukan verteks (titik maksimum atau minimum) pada graf fungsi
Determine the position of the vertex (the maximum or minimum point) on the graph of function
• Menentukan kelebaran bentuk graf fungsi
Determine the width of the shape of the graph of function

a<0 a>0

Fungsi kuadratik mempunyai titik maksimum Fungsi kuadratik mempunyai titik minimum
The quadratic function has a maximum point The quadratic function has a minimum point

Titik maksimum
Maximum point

Titik minimum
Minimum point

Semakin besar nilai a, semakin lebar lengkok graf Semakin kecil nilai a, semakin lebar lengkok graf
fungsi fungsi
The bigger the value of a, the wider the curve of the The smaller the value of a, the wider the curve of the
graph of function graph of function

y = –a1x2 y = a2x2

y = a3x2

y = a1x2

y = –a3x2 a1 < a2 < a3
y = –a2x2

‒a1 > ‒a2 > ‒a3


R1

Matematik Tingkatan 4 Resos Guru

Nilai pemalar b/ The value of the constant b x=– b
2a
• Mempengaruhi kedudukan paksi simetri
Affects the position of the axis of symmetry

• Paksi simetri ialah satu garis lurus yang selari dengan paksi-y dan melalui titik maksimum atau
titik minimum graf fungsi kuadratik

The axis of symmetry is a straight line parallel to the y-axis and passes through the maximum or minimum
point of the graph of the quadratic function

a<0 a>0
y
y
x
y = –ax2 – bx y = ax2 – bx

b<0
CONTOH
x

y y
y = ax2
y = –ax2
x x

b=0

y x y
y = –ax2 + bx y = ax2 + bx
b>0
x



Nilai pemalar c/ The value of constant c Apabila/ When x = 0,
• Menentukan kedudukan pintasan-y y = a(0)2 + b(0) + c
Determine the position of the y-intercept y=c


• Punca-punca persamaan kuadratik/ The roots of the quadratic equation

Punca-punca persamaan kuadratik merupakan titik persilangan antara graf fungsi kuadratik dan paksi-x atau
dikenali sebagai pintasan-x.
The roots of the quadratic equation are the intersection points between the graph of the quadratic function and the x-axis,
also known as the x-intercepts.

Kaedah untuk mendapat punca-punca persamaan kuadratik
Methods to obtain the roots of the quadratic equation
• Kaedah graf
Graphical method

• Kaedah pemfaktoran
Factorisation method


R2

Matematik Tingkatan 4 Resos Guru

Bab 2 Asas Nombor
Number Bases

• Asas nombor dan cara penukaran antara dua asas nombor yang berlainan
Number bases and the conversion method between two different number bases

Asas nombor ialah suatu sistem nombor yang merangkumi angka 0 hingga 9. Ditulis sebagai/ Written as
Number base is numeral system which consists of number 0 to 9.
101213
• Digit yang terlibat dalam asas berkenaan tidak melebihi angka asas
tersebut. Nombor Asas
Number Base
The digits involved in the related base is not more that the number of the base.

• Nilai tempat asas ialah pendaraban berulang asas yang berkenaan.
The place value of a base is the repetitive multiplication of the related base.

• Nilai digit ialah pendaraban nombor dengan nilai tempat yang berkenaan.
The digit value is the multiplication of the number and the corresponding place

value.
CONTOH
Nombor dalam asas 3 1 0 1 2 1
Number in base 3

Nilai tempat 34 33 32 31 30
Place value

Nilai digit 1 × 34 = 81 0 × 33 = 0 1 × 32 = 9 2 × 31 = 6 1 × 30 = 1
Digit value

• Nilai nombor bagi suatu nombor dalam asas tertentu ialah hasil tambah semua nilai digit dan biasanya
dinyatakan dalam asas sepuluh.

The numerical value of a number in a certain base is the sum of all the digit values and normally stated in base ten.

1 01213 = 81 + 0 + 9 + 6 + 1
= 9710

Penukaran satu asas nombor kepada satu asas nombor yang lain boleh dilakukan melalui dua jenis kaedah.
The conversion of one number base to another number base can be performed through two types of methods.

• Kaedah pembahagian dengan menggunakan nilai tempat
The division using place value method

Nilai tempat 34 = 81 33 = 27 32 = 9 31 = 3 30 = 1
Place value 7÷3=2r1 1÷1=1

Pembahagian 97 ÷ 81 = 1 r 16 16 ÷ 27 = 0 r 16 16 ÷ 9 = 1 r 7 2 1
Division

Asas nombor 1 0 1
Base number 101213

101213
• Kaedah pembahagian dengan menggunakan nilai asas
The division using base value method

3 97
3 32 … 1
3 10 … 2
3 3 …1
3 1 …0
0 …1



R3

Matematik Tingkatan 4 Resos Guru

• Operasi tambah dan tolak/ Operation of addition and subtraction

Bentuk lazim/ Vertical form Penukaran asas/ Conversion of base

• 34367 + 61327 = • 34367 + 61327 = 7 3382
34367 ® 125210 7 483 … 1
1 3 14 13 67 61327 ® + 213010 7 69 … 0
+ 6 1 3 27 338210 7 9 …6
1 2 6 0 17 7 1 …2

* Tambah ‘1’ kepada nilai tempat di sebelah 0 …1
kiri sekiranya nilai penambahan melebihi
nilai asas. \ 34367 + 61327 = 126017

Add ‘1’ to the left place value if the value of • 76239 – 54789 =
addition exceeds the base value. 76239 ® 561010
54789 ® – 404010
• 76239 – 54789 = 157010

9

7 56 12 939
– 5 4 7 89
2 1 3 49

* Pinjam ‘1’ daripada nilai tempat di sebelah
kiri dan menjadi nilai asas sekiranya nilai itu
tidak cukup ditolak.

Borrow ‘1’ from the left place value and change
into the value of the base if the value is not
enough to be subtracted.


CONTOH 9 1570
9 174 … 4
9 19 … 3
9 2 …1

0 …2

\ 76239 – 54789 = 21349

Bab 3 Penaakulan Logik
Logical Reasoning

• Pernyataan/ Statements

Pernyataan ialah suatu ayat yang nilai kebenarannya boleh ditentukan sama ada benar atau palsu.
Statement is a sentence which its truth value can be determined whether it is true or false.

• Penafian pernyataan boleh dilakukan dengan menggunakan perkataan ‘tidak’ atau ‘bukan’. Proses ini boleh
menukarkan nilai kebenaran sesuatu pernyataan.

Negation of statement can be performed by using the word ‘no’ or ‘not’. This process can change the truth value of
a statement.

p: Kuching ialah seekor binatang yang tinggal di dalam hutan. (palsu)
Cat is an animal which lives in the forest. (false)

~p: Kuching bukan seekor binatang yang tinggal di dalam hutan. (benar)
Cat is not an animal which lives in the forest. (true)

• Pernyataan majmuk ialah gabungan dua atau lebih pernyataan dengan menggunakan perkataan ‘dan’ atau
‘atau’.

Compound statement is the combination of two or more statements using the word ‘and’ or ‘or’.

Nilai kebenaran pernyataan majmuk/ The truth value of a compound statement:

p q p dan/ and q p atau/ or q

 

  





 = benar/ true,  = palsu/ false

R4

Matematik Tingkatan 4 Resos Guru

• Implikasi/ Implication:
 Dalam bentuk implikasi ‘Jika p, maka q’, p ialah antejadian dan q ialah akibat.
In the implication form of ‘If p, then q’ is known as implication, p is the antecedent and q is the consequent.
 Bentuk implikasi ‘p jika dan hanya jika q’ adalah terdiri daripada dua implikasi, ‘Jika p, maka q’ dan

‘Jika q, maka p’.
The implication form of ‘p if and only if q’ is made up of two implications, ‘If p, then q’ and ‘If q, then p’.

• Jenis implikasi dan bentuknya/ Types of implications and their forms:

Jenis implikasi/ Type of implication Bentuk implikasi/ Form of implication
Pernyataan bersyarat/ Conditional statement Jika p, maka q/ If p, then q
Jika q, maka p/ If q, then p
Akas/ Converse
Songsangan/ Inverse Jika ~p, maka ~q/ If ~p, then ~q
Kontrapositif/ Contrapositive Jika ~q, maka ~p/ If ~q, then ~p
Nilai kebenaran implikasi/ The truth value of implications:
CONTOH
p q Pernyataan Akas Songsangan Kontrapositif
Statement Converse Inverse Contrapositive



 

 

     

• Contoh penyangkal ialah sesuatu objek yang termasuk dalam suatu pernyataan yang menyokong nilai
palsu.

Counter-example is a certain object included in a statement which supports the false value.


• Hujah/ Arguments

Hujah adalah terdiri daripada beberapa premis (pernyataan yang memberi informasi) dan satu kesimpulan.
Argument is made up of a few premises (statements which provide information) and a conclusion.

• Jenis premis/ Types of premises
 premis khusus → pernyataan yang menerangkan sesuatu objek tertentu
specific premise → statement which explains a certain object specifically
 premis umum → pernyataan yang menerangkan sesuatu objek secara keseluruhan
general premise → statement which explains a certain object as a whole

• Jenis hujah/ Type of argument:
 Hujah deduktif → Membuat kesimpulan khusus berdasarkan premis-premis umum
Deductive argument → Make specific conclusion based on general premises

Bentuk hujah deduktif yang sah/ Valid form of deductive argument:

Bentuk/ Form I II III
Premis/ Premise 1 Semua P ialah Q. Jika p, maka q. Jika p, maka q.

All P are Q. If p, then q. If p, then q.

Premis/ Premise 2 R ialah P. p adalah benar. Bukan q adalah benar.
R is P. p is true. Not q is true.

Kesimpulan/ Conclusion R ialah Q. q adalah benar. Bukan p adalah benar.
R is Q. q is true. Not p is true.

* Hujah adalah munasabah jika kesimpulannya adalah benar.
The argument is sound if its conclusion is true.

 Hujah induktif → Membuat kesimpulan umum berdasarkan premis-premis khusus
Inductive argument → Make general conclusion based on specific premises

Adakah kesimpulan hujah induktif benar? Ya/ Yes Adakah semua premis hujah induktif benar?
Is the conclusion of the inductive argument true? Are all the premises of the inductive argument true?

Tidak/ No Tidak/ No Ya/ Yes

Lemah dan tidak meyakinkan Kuat tetapi tidak menyakinkan Kuat dan meyakinkan
Weak and not cogent Strong but not cogent Strong and cogent


R5

Matematik Tingkatan 4 Resos Guru

Bab 4 Operasi Set
Operations on Sets

Persilangan set/ Intersection of sets Kesatuan set/ Union of sets

Unsur sepunya dalam dua atau lebih set yang Semua unsur yang termasuk dalam dua atau lebih
tertentu, diwakili dengan simbol ∩. set yang tertentu, diwakili dengan simbol ∪.
The common elements in two or more specified sets, All the elements included in two or more specific sets,
represented by the symbol ∩. represented by the symbol ∪.

X ∩ Y: ξ X ∪ Y: ξ

XY XY

Pelengkap persilangan setCONTOH Y Pelengkap kesatuan set Y
Complement of intersection of set Complement of union of set
(X ∩ Y)′: ξ (X ∪ Y)′: ξ

X X

Gabungan operasi set/ Combined operation on sets

Suatu operasi set yang melibatkan persilangan set dan kesatuan set secara serentak
An operation of sets which involves the intersection of sets and the union of sets simultaneously

X ∩ (Y ∪ Z): ξ Pelengkap persilangan set
Complement of intersection of set
X X ∩ (Y ∪ Z)′: ξ

X

YZ

Y Z

Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
Network in Graph Theory

• Graf ialah suatu siri titik (bucu) sama ada berkait antara sama lain dengan garis (tepi) atau tidak.
Graph is a series of points (vertex) whether linked to each other with lines (edges) or not.

• Rangkaian ialah sebahagian graf yang mengandungi bucu dan tepi dengan sifat tersendiri.
Network is a part of graph which consists of vertices and edges with own characteristics.

Graf ditulis sebagai set pasangan tertib, G = (V, E). e5 v5 e4 e3 v4
Graph is denoted by a set of ordered pairs, G = (V, E) v1
e2 v3
 V = {v1, v2, v3, …, vn} e1 v2
 E = {e1, e2, e3, …, en}.
∑d(v ) = 2E ; v ∈ V
Darjah, d ialah bilangan tepi yang mengaitkan dua bucu.
Degree, d is the number of edges which link two vertices.

R6

• Jenis graf/ Types of graphs Graf berbilang tepi Matematik Tingkatan 4 Resos Guru
Graf mudah Graph with multiple edges
Simple graph Graf gelung
Graph with loops
Bucu/ Vertex
W

Tepi/ Edge

XY Bilangan darjah = 2 × Bilangan tepi Setiap gelung = 2 darjah
Number of degrees = 2 × Number of edges Each loop = 2 degree
G = (V, E)
V = {W, X, Y}
E = {(W, X), (X, Y), (Y, W)}
CONTOH
Graf terarah Graf berpemberat
Directed graph Weighted graph

4.25
3

Setiap pasangan bucu dikait dengan suatu arah tertentu 3
Each pair of vertices is linked by a fixed direction
Setiap tepi diberi nilai tertentu
Each edge is given a fixed value

• Subgraf merupakan sebahagian atau keseluruhan suatu graf yang dilukis semula tanpa perubahan terhadap
kedudukan bucu asal dan tepi.

Subgraphs are a part or whole of a redrawn graph without any changes to the original position of the vertices and edges.

Graf/ Graph Contoh subgraf/ Example of subgraphs

A E A E E D b E D
ae ae d bd B c
b d D B D
c c B c
B C C

C C



• Pokok ialah suatu graf mudah tanpa gelung dan berbilang tepi. A E D
Tree is a simple graph without loops or multiple edges ae
B b
 Semua bucu mesti berkait c
All vertices must be linked
C
 Setiap pasang bucu hanya boleh dikait dengan satu tepi
Each pair of vertices can only be linked by one edge

 Jumlah bilangan tepi = Jumlah bilangan bucu – 1
Total number of edges = Total number of vertices – 1



R7

Matematik Tingkatan 4 Resos Guru

Bab 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah
Linear Inequalities in Two Variables

Ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah
Linear inequalities in two variables

Ketaksamaan menerangkan hubungan antara dua kuantiti yang tidak setara.
Inequality explains the relation between two quantities which are not equal.

Garis padu mewakili persamaan garis lurus y = mx + c Garis sempang mewakili persamaan garis lurus
adalah termasuk dalam rantau yang dikehendaki. y = mx + c adalah tidak termasuk dalam rantau yang
Solid line represents the quantities on the straight line dikehendaki.
equation y = mx + c are included into the desired region. Dashed line represents the quantities on the straight line
equation y = mx + c are not included into the desired region.
y y=x
CONTOH y = –x y

yMx

y > –x

x x

yNx y < –x

• Sistem ketaksamaan linear/ Linear inequalities system

• Jenis ketaksamaan linear/ Types of linear inequalities

Ketaksamaan linear Keterangan * Dengan keadaan x dan y ialah
Linear inequality Explanation pemboleh ubah dan n ialah
y>x y lebih daripada x satu pemalar
yMx y is more than x
y<x y tidak kurang daripada x Where x and y are variables and
yNx y is not less than x n is a constant
y M nx y kurang daripada x
y N nx y is less than x
yNn y tidak lebih daripada x
yMn y is not more than x
x+y>n y sekurang-kurangnya n kali x
y–x<n y is at least n times of x
y–xMn y selebih-lebihnya n kali x
y is at most n times of x
Maksimum y ialah n
The maximum of y is n
Minimum y ialah n
The minimum of y is n
Hasil tambah x dan y lebih daripada n
The sum of x and y is more than n
Beza y dan x kurang daripada n
The difference of y and x is less than n
y melebihi x sekurang-kurangnya n
y is more than x at least by n

R8

Matematik Tingkatan 4 Resos Guru

• Sistem ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah
Linear inequality system in two variables
 Terdiri daripada dua atau lebih ketaksamaan linear
Consists of two or more linear inequalities
 Rantau sepunya, R ialah suatu rantau yang memuaskan semua ketaksamaan linear dalam sistem tersebut
Common region, R is a region which satisfies all the linear inequalities in the system

Contoh/ Example:

Bina satu sistem ketaksamaan linear bagi y
ketaksamaan linear berikut:
Construct a system of linear inequalities for the following x=1 y = 2x
linear inequalities: 12 x
 y > 2x
 y M –x + 5 y = –x + 5 8 6
 y N x + 6
 x > 1

Seterusnya, lorekkan rantau sepunya R.
Hence, shade the common region R.
CONTOH R

y=x+6 4 24
–2 O




Bab 7 Graf Gerakan
Graphs of Motion

Graf jarak-masa
Distance-time graph

Jarak A B Nilai kecerunan/ Value of gradient:
Distance OA = positif/ positive
s AB = sifar/ zero
BC = negatif/ negative
C Masa
O t1 t2 t3 Time

• Paksi mencancang mewakili jarak yang dilalui.
Vertical axis represents the distance travelled.

• Paksi mengufuk mewakili tempoh masa yang diambil.
Horizontal axis represents the duration of time taken.

• Kecerunan graf mewakili laju, iaitu kadar perubahan jarak terhadap tempoh masa.
The gradient of the graph represents speed, which is the rate of change of the distance with respect to the time.

• Nilai kecerunan adalah sifar sekiranya objek itu berhenti atau dalam keadaan berehat atau pegun.
The value of gradient is zero if the object stopped or in the state of rest or stationary.

• Laju purata ditakrifkan sebagai nisbah jumlah jarak yang dilalui kepada jumlah masa yang diambil.
Average speed is defined as the ratio of the total distance travelled to the total time taken.

Laju purata = Jumlah jarak yang dilalui/ Total distance travelled
Average speed Jumlah masa yang diambil/ Total time taken



R9

Matematik Tingkatan 4 Resos Guru

Graf laju-masa
Speed-time graph

Laju P Q Pergerakan objek/ Movement of the object:
Speed
v OP = kecerunan positif, laju bertambah, memecut
= positive gradient, speed increases, accelerates
O t1 t2 R Masa PQ = kecerunan sifar, laju seragam, tiada pecutan
t3 Time = zero gradient, uniform speed, no acceleration
QR = kecerunan negatif, laju berkurang, menyahpecut
= negative gradient, speed decreases, decelerates

• Paksi mencancang mewakili laju.
Vertical axis represents the speed.

• Paksi mengufuk mewakili tempoh masa yang diambil.
Horizontal axis represents the duration of time taken.

• Kecerunan graf mewakili pecutan, iaitu kadar perubahan laju terhadap tempoh masa.
The gradient of the graph represents acceleration, which is the rate of change of the speed with respect to the time.

• Jarak yang dilalui boleh diperoleh dengan menghitung luas di bawah graf.
The distance travelled can be obtained by calculate the area under the graph.
CONTOH
Luas di bawah graf = Laju × Masa = Jarak yang dilalui
Area under the graph Speed × Time Distance travelled

Bab 8 Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul
Measures of Dispersion for Ungrouped Data

Serakan ialah corak taburan data bagi suatu set data. Serakan data tak terkumpul boleh diperhatikan melalui dua
jenis plot, iaitu plot batang-dan-daun dan plot titik.
Dispersion is the spread pattern of data of a set of data. The dispersion of ungrouped data can be observed through two types
of plots, which are the stem-and-leaf plot and the dot plot.

Plot batang-dan-daun/ Stem-and-leaf plot Plot titik/ Dot plot

Pertumbuhan di rumah hijau Pertumbuhan di kebun Pertumbuhan biji benih dalam seminggu
Growth in greenhouse Growth in garden Growth of seedlings in one week

089 3
5311102
23456
3022 Tinggi biji benih (cm)

Kekunci: 0 | 8 bermaksud 8 cm Height of seedling (cm)
Key: 0 | 8 means 8 cm

• Nilai puluh biasanya ditetapkan sebagai batang dan • Titik-titik diplotkan pada suatu skala seragam dan
nilai sa sebagai daun setiap titik mewakili satu cerapan

The tens digit is usually fixed as the stem and the ones digit Dots are plotted on a uniform scale and each dot

as leaf represents a value
• Digit daun disusun lawan arah batang dari nilai • Sesuai digunakan bagi set data dengan bilangan

terkecil ke nilai terbesar cerapan yang kurang
Leaf digits are arranged against the direction of the stem Suitable for data set with low number of values

from the smallest value to the biggest value

• Kedua-dua jenis plot menunjukkan data yang manakah paling kerap muncul
Both plots show which data appears frequently the most
• Serakan data bagi dua set data boleh dibandingkan apabila kedua-dua set data diplotkan dengan jenis plot

yang sama.
The dispersion of two sets of data can be compared when both sets of data are plotted using the same type of plot.

R10

Matematik Tingkatan 4 Resos Guru

Sukatan serakan ialah nilai kuantitatif yang menerangkan taburan data dalam suatu set data.
Measures of dispersion are quantitative values which explain the spread of data in a set of data.
Jenis sukatan serakan/ Types of measures of dispersion:
• Julat ialah beza antara nilai tertinggi dan nilai terendah.
Range is the difference between the highest value and the lowest value.

Julat = Nilai tertinggi – Nilai terendah
Range = Highest value – Lowest value

 Julat mudah dihitung, tetapi nilainya mudah dipengaruhi oleh pencilan dan tidak mendapat memberi
gambaran yang baik bagi taburan data.

Range can be calculated easily but its value is easily influenced by outlier and unable to give a good overview about the
data distribution.

CONTOH• Julat antara kuartil ialah beza antara kuartil atas (kuartil ketiga), sQe3ladraans kuartil bawah (kuartil pertama),
oQl1edhapnesnuckilaatna.n ini boleh memberi gambaran taburan data yang lebih kerana nilainya tidak dipengaruhi

Interquartile range is the difference between the upper quartile (the third quartile), Q3 and the lower quartile (the first
quartile), Q1 and this measure can give a more consistent image of the data distribution because its value is not affected by
outliers.

Julat antara kuartil = Kuartil atas, QQ33 – KLouwaretrilqbuaarwtialeh, ,QQ11
Interquartile range = Upper quartile, –

 Kuartil pertama (Q1) ialah nilai data yang berada pada kedudukan ke- 1 yang pertama.
First quartile (Q1) is the value position. 4
1 th
of data located in the first 4

 Kuartil ketiga (Q3) ialah nilai data yang berada pada kedudukan ke- 3 daripada keseluruhan data yang
tersusun. 4

Third quartile (Q3) is the value of data located in the 3 th position of the whole arranged data.
4

 Julat antara kuartil tidak mudah dipengaruhi oleh pencilan, oleh itu sukatan ini adalah lebih sesuai digunakan
untuk menunjukkan taburan data berbanding dengan julat.

Interquartile range is not easily influenced by outlier; therefore, this measure is more suitable to used to show the data
distribution compared to range.

• Varians ialah purata kuasa dua bagi beza antara setiap data dengan min.
Variance is the average of the square of the difference between every data and the mean.

σ2 = Σx2 – x2 σ2 = Σfx2 – x2
N Σf
atau/ or
Σ(x – x)2 Σf(x – x)2
= N = Σf


• Sisihan piawai ialah punca kuasa dua varians yang digunakan untuk mengukur serakan data pada min. Sukatan
ini adalah diukur dengan unit yang sama dengan data.

Standard deviation is the square root of variance which is used to measure the dispersion of data relative to the mean. This
measure is measured with the same unit as the data.

σ= Σx2 – x2 σ= Σfx2 – x2
N Σf
atau/ or
Σ(x – x)2 Σf(x – x)2
= N = Σf

 Semakin rendah nilai sisihan piawai, taburan data adalah semakin dekat dengan min dan begitu juga
sebaliknya.

The lower the value of standard deviation, the closer the data distribution is to the mean and vice versa.

R11

Matematik Tingkatan 4 Resos Guru

• Plot kotak kerap digunakan untuk menunjukkan Nilai terendah Julat antara kuartil
taburan data secara grafik kerana julat dan julat Lowest number Interquartile range
antara kuartil adalah termasuk dalam plot tersebut. Q1 Q3 Nilai tertinggi

Box plot is often used to show the data distribution Highest number
graphically because the range and interquartile range are
included into the plot. Median, Q2

Kesan
Effects

• Perubahan data terhadap serakan data
Change of data towards the dispersion of data
 Nilai sukatan serakan tidak berubah sekiranya nilai data ditambah atau ditolak secara seragam atau dengan

suatu pemalar.
The value of measures of dispersion does not change if the value of data is added or subtracted uniformly or with a

constant.

 Apabila setiap nilai cerapan didarab atau dibahagi oleh suatu pemalar, k:
When each value of data is multiplied or divided by a constant, k:
CONTOH
Pendaraban dengan k Pembahagian dengan k
Multiplication with k Division with k

• Julat baharu = k × Julat asal • Julat baharu = Julat asal ÷ k
New range = k × Original range New range = Original range ÷ k

• Julat antara kuartil baharu • Julat antara kuartil baharu
New interquartile range New interquartile range
= k × Julat antara kuartil asal = Julat antara kuartil asal ÷ k
= k × Original interquartile range = Original interquartile range ÷ k

• Varians baharu = k2 × Varians asal • Varians baharu = Varians asal ÷ k2
New variance = k2 × Original variance New variance = Original variance ÷ k2

• Sisihan piawai baharu/ New standard deviation • Sisihan piawai baharu/ New standard deviation
= k × Sisihan piawai asal = Sisihan piawai asal ÷ k
= k × Original standard deviation = Original standard deviation ÷ k


• Kewujudan pencilan terhadap serakan data
The existence of outlier towards the dispersion of data
 Julat berubah dengan mendadak
The range changes drastically

 Julat antara kuartil kurang dipengaruhi
The interquartile range is less influenced

 Sisihan piawai dan varians
Standard deviation and variance
 Nilai min < nilai cerapan baharu, nilai sisihan piawai baharu menjadi kecil dan begitu juga sebaliknya
The value of mean < the new value of data, the value of standard deviation becomes smaller and vice versa

 Nilai min < nilai cerapan yang dikeluarkan, nilai sisihan piawai baharu menjadi besar dan begitu juga
sebaliknya

The value of mean < the value of data removed, the value of standard deviation becomes bigger and vice versa

• Perubahan sukatan serakan boleh diperhatikan apabila dipaparkan secara grafik dengan
The changes of measures of dispersion can be observed when displayed graphically using
(i) plot kotak/ box plot

(ii) plot titik / dot plot

(iii) plot batang-dan-daun/ stem-and-leaf plot

R12

Matematik Tingkatan 4 Resos Guru

Bab 9 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung
Probability of Combined Events

• Peristiwa bergabung
Combined events

• Gabungan dua atau lebih peristiwa dalam satu kesudahan
Combination of two or more events in an outcome

• Jumlah bilangan kesudahan ialah hasil darab bilangan kesudahan semua peristiwa
All the possible number of outcomes is the product of all the number of outcomes of all events

Contoh/ Example: S = X ∪ Y n(S) = n(X) × n(Y)



• Peristiwa bersandar dan peristiwa tak bersandarCONTOH
Dependent events and independent events

• Peristiwa tak bersandar/ Independent events
 Kejadian peristiwa yang tidak mempengaruhi kejadian peristiwa yang lain
The outcome of the event does not affect the outcome of the other event

 Kebarangkalian bagi kedua-dua peristiwa berlaku mematuhi Hukum Pendaraban Kebarangkalian
The probability for both events to occur obeys the Multiplication Rule of Probability

P(A dan/ and B) = P(A ∩ B) = P(A) × (B)


• Peristiwa bersandar/ Dependent event
 Kejadian peristiwa akan mempengaruhi kejadian peristiwa yang lain
The outcome of the event will affect the outcome of the other event

 Kebarangkalian bagi kedua-dua peristiwa berlaku ialah hasil darab kebarangkalian kejadian peristiwa
pertama dan kebarangkalian kejadian peristiwa kedua yang dipengaruhi oleh peristiwa pertama

The probability for both events to occur is the product of the probability of the occurrence of the first event and the
probability of the occurrence of the second event which is affected by the first event



• Peristiwa saling eksklusif dan peristiwa tidak saling eksklusif
Mutually exclusive events and non-mutually exclusive events

• Peristiwa saling eksklusif/ Mutually exclusive events

 Peristiwa-peristiwa dalam suatu set semesta yang tidak
mempunyai sebarang persilangan antara satu sama lain, ξ
A∩B=∅
The events in the universal set which do not have any intersection A B

between each other, A ∩ B = ∅

 Rumus penambahan kebarangkalian
The addition rule of probability

P(A atau/ or B) = P(A ∪ B) = P(A) + (B) ξ

A B
• Peristiwa tidak saling eksklusif/ Non-mutually exclusive events
 Peristiwa-peristiwa dalam suatu set semesta mempunyai

persilangan, A ∩ B ≠ ∅
The events in the universal set have intersection, A ∩ B ≠ ∅
 Rumus penambahan kebarangkalian
The addition rule of probability

P(A atau/ or B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

R13

Matematik Tingkatan 4 Resos Guru

Bab 10 Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan
Consumer Mathematics: Financial Management

• Proses pengurusan kewangan/ Financial management process

Menetapkan matlamat Menilai kedudukan kewangan Mewujudkan pelan kewangan
kewangan Evaluating financial status Creating financial plans

Setting financial goals

Melaksanakan pelan kewangan Mengkaji semula dan menyemak kemajuan
Carry out financial plans Reviewing and revising the progress

CONTOH
• Jenis matlamat kewangan/ Types of financial goals

Matlamat kewangan jangka pendek Matlamat kewangan jangka panjang
Short-term financial goals Long-term financial goals

 Boleh dicapai dalam masa kurang daripada satu  Biasanya mengambil masa lebih daripada lima tahun
tahun
Usually takes more than five years

Can be achieved within a period of less than one year  Melibatkan jumlah amaun yang besar

 Hanya melibatkan jumlah amaun yang kecil Involves a large amount of money

Only involves a small amount of money

 Matlamat kewangan SMART/ SMART financial goals

Perancangan kewangan berdasarkan konsep SMART boleh membekalkan suatu matlamat kewangan yang jelas.
Financial planning based on the SMART concept can provide a clear financial goal.

S Khusus Tentukan sama ada matlamat kewangan adalah khusus
Specific Determine whether the financial goal is specific

M Boleh diukur Pastikan jumlah amaun yang diperlukan untuk mencapai matlamat kewangan
Measurable adalah tetap
Make sure the total amount needed to achieve the financial goal is fixed

A Boleh dicapai Tentukan jumlah amaun yang diperlukan untuk mencapai matlamat kewangan
Attainable adalah dalam kemampuan individu
Determine the total amount needed to achieve the financial goal is within one’s capability

Tentukan tujuan pencapaian matlamat kewangan adalah praktis dari segi
Bersifat realistik kewangan, kemampuan dan dalam tempoh masa
R Realistic Determine the aim of achieving the financial goal is practical in terms of financial, capability

and within the time duration

T Tempoh masa Pastikan pencapaian matlamat kewangan adalah dalam suatu tempoh masa
Time-bound yang ditetapkan
Make sure the achievement of the financial goal is within a time limit which is fixed


• Penilaian kedudukan kewangan/ Evaluation of financial status

Penilaian kedudukan kewangan boleh memudahkan pencapaian matlamat kewangan. Aset dan liabiliti perlu diambil
kira dalam penilaian kedudukan kewangan.

Evaluation of financial status can facilitate the achievement of financial goals. Assets and liabilities must be considered in the
evaluation of financial status.

Aset/ Asset Liabiliti/ Liability

Wang tunai, Simpanan, Pelaburan hartanah, Simpanan Pinjaman bank, Hutang kad kredit, Sewa rumah, Bil
tetap, Amanah saham, Saham syarikat utiliti, Kewajipan kewangan, Bayaran yang belum
Cash, Savings, Real estate investments, Fixed deposits, Unit dijelaskan
trusts, Company shares Bank loans, Credit card debts, Unsettled rent, Utility bills,
Financial obligations, Outstanding payments


R14

Matematik Tingkatan 4 Resos Guru

• Pelan kewangan
Financial plan

 Langkah-langkah untuk mewujudkan suatu pelan kewangan
Steps to create a financial plan

1 Menentukan tujuan yang hendak dicapai bagi matlamat kewangan jangka pendek dan jangka panjang
Define the short-term and long-term goals

2 Membuat anggaran awal untuk mencapai setiap matlamat
Make an initial budget to achieve each goal

Mengira simpanan bulanan yang diperlukan untuk mencapai matlamat kewangan jangka pendek dan
3 jangka panjang

Calculate monthly savings needed to achieve the short-term and long-term goals

4 Menganalisis tabiat perbelanjaan
Analyse spending behaviour
CONTOH
5 Menetapkan tempoh masa untuk mencapai setiap matlamat tersebut
Set a time frame to achieve each goal

6 Menentukan strategi pendapatan yang akan membantu mencapai matlamat kewangan
Determine income strategies which will help to achieve the financial goals

 Sumber pendapatan (aliran tunai masuk) dan perbelanjaan (aliran tunai keluar) perlu diambil kira dalam pelan
kewangan

The source of income (cash inflows) and expenses (cash outflows) need to be considered in the financial plan

Pendapatan aktif Pendapatan pasif
Active income Passive income

Gaji, Elaun, Komisen Sewa yang diterima, Faedah yang diterima, Dividen
Salaries, Allowances, Commissions Rent received, Interest received, Dividends

Perbelanjaan tetap Perbelanjaan tidak tetap
Fixed expenses Variable expenses

Sewa rumah, Premium insurans, Ansuran rumah, Perbelanjaan individu, Perbelanjaan petrol,
Ansuran kereta, Bayaran kad kredit Barangan dapur, Bayaran bil elektrik, Bil air
Personal expenses, Petrol expenses, Groceries,
Rent, Insurance premium, Housing loan instalments,
Car instalments, Credit card payments Electricity bill payments, Water bills

 Jenis aliran tunai Jenis aliran tunai
Types of cash flow Type of cash flow
Aliran tunai positif
Situasi Positive cash flow
Situation Aliran tunai negatif
Jumlah pendapatan > Jumlah perbelanjaan Negative cash flow
Total income > Total expenses
Jumlah pendapatan < Jumlah perbelanjaan
Total income < Total expenses

Pengiraan untuk aliran tunai:
Calculation for cash flow:

Aliran tunai = Jumlah pendapatan – Jumlah perbelanjaan
Cash flow = Total income – Total expenses



R15

Matematik Tingkatan 4 Resos Guru

 Format pelan kewangan bulanan yang ringkas:
Format of a simple monthly financial plan:

Pendapatan dan Perbelanjaan Amaun (RM)
Income and Expenditure Amount (RM)

Pendapatan aktif A
Active income

Pendapatan pasif B
Passive income

Jumlah pendapatan bulanan A+B=C
Total monthly income

CONTOHTolak simpanan D
Minus savings

Baki pendapatan C–D=E
Balance of income

Senarai perbelanjaan tetap bulanan J
List of monthly fixed expenses K

L

Jumlah perbelanjaan tetap bulanan J+K+L=M
Total monthly fixed expenses

Senarai perbelanjaan tidak tetap bulanan P
List of monthly variable expenses Q
R

Jumlah perbelanjaan tidak tetap bulanan P+Q+R=S
Total monthly variable expenses

Pendapatan lebihan/ kurangan E–M–S=Z
Surplus/ Deficit of income


* Sekiranya aliran tunai adalah negatif, perbelanjaan tidak tetap perlu dilaraskan supaya matlamat kewangan
dapat dicapai.

If the cash flow is negative, variable expenses needs to be adjusted in order for the financial goal to be achieved.

• Pelan kewangan jangka panjang
Long-term financial plan

Biasanya dirancang untuk mencapai matlamat secara berperingkat seperti pendidikan anak, pembelian rumah atau
persaraan. Tiga aspek utama yang akan berubah dari semasa ke semasa perlu diambil kira:

Usually being planned to achieve the goal by stages such as children’s education, purchase of house or retirement. Three key
aspects which will change from time to time must be considered:

 Kadar inflasi – Kadar bagi barangan dalam keadaan ekonomi yang mengalami kenaikan dalam tingkat harga umum
secara berterusan dan tidak terhad

Inflation rate – The rate for items in situation of a continuing increase in the general price level

 Kadar faedah/ Interest rate
 Kesihatan diri/ Personal health

R16

Panduan Peng

Pentaksiran yang disediakan untuk murid menguasai dan
memahirkan diri dalam pembelajaran daripada buku teks.

Latihan yang sedia ada berdasarkan dokumen standard
kurikulum dan pentaksiran.

Standard kandungan yang dirangkumi oleh latihan.

Menunjukkan muka surat dalam buku teks yang dirangkumi
oleh latihan.

Standard pembelajaran yang terlibat dalam latihan.

Tahap penguasaan yang perlu dikuasai oleh murid dalam
latihan.

Tahap kesukaran soalan yang disediakan dalam latihan.
CONTOH

CONTOH gunaan Buku

Soalan yang berunsur kemahiran berfikir aras tinggi untuk
merangsang dan mempertingkatkan pemikiran murid.

Contoh soalan yang dilengkapi dengan langkah kerja dan
jawapan supaya murid senang memahami penyelesaian soalan.

Meningkatkan kesedaran murid supaya dapat mengelak
melakukan kesalahan lazim atau salah faham konsep
matematik.

Memberikan idea, panduan atau informasi ekstra bagi
penyelesaian soalan.

Praktis latihan yang berdasarkan modul pengajaran dan
pembelajaran.

Soalan-soalan yang disediakan di bahagian buku ini
adalah untuk membantu murid-murid menyesuaikan diri
dengan soalan di SPM.

Video pembelajaran matematik dalam talian yang
dipersembahkan oleh guru-guru yang terkenal berdasarkan
DSKP dan buku teks.

Kandungan

Format Instrument SPM Matematik (1449)............................................................ i
Rekod Pentaksiran Murid....................................................................................................... ii

Fungsi dan Persamaan Kuadratik Bab 5 Rangkaian Dalam Teori Graf

Bab 1 dalam Satu Pemboleh Ubah Network in Graph Theory
Quadratic Functions and Equations
in One Variable
CONTOH 5.1 RNaetnwgokrakian.....................................................................57
1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik........................ 1
Praktis ke Arah SPM .............................................................66
Quadratic Functions and Equations


Praktis ke Arah SPM ............................................................... 8

Bab 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua
Pemboleh Ubah
Asas Nombor Linear Inequalities in Two Variables
Bab 2
Number Bases 6.1 Ketaksamaan Linear dalam Dua

2.1 Asas Nombor..............................................................12 Pemboleh Ubah......................................................... 70
Linear Inequalities in Two Variables
Number Bases
6.2 Sistem Ketaksamaan Linear dalam Dua
Praktis ke Arah SPM .............................................................22
Pemboleh Ubah......................................................... 72
Bab 3 Penaakulan Logik Systems of Linear Inequalities in Two Variables

Logical Reasoning Praktis ke Arah SPM .............................................................79

3.1 SPteartneymaetnatasn...................................................................24 Bab 7 Graf Gerakan
3.2 AHrugjuamh.e..n...t.s.......................................................................30
Graphs of Motion
Praktis ke Arah SPM .............................................................37
7.1 Graf Jarak-Masa.......................................................83

Distance-Time Graphs

7.2 Graf Laju-Masa..........................................................88

Speed-Time Graphs

Bab 4 Operasi Set Praktis ke Arah SPM .............................................................94

Operations on Sets

4.1 Persilangan Set..........................................................40 Sukatan Serakan Data Tak

Intersection of Sets

4.2 Kesatuan Set...............................................................45 Bab 8 Terkumpul

Union of Sets Measures of Dispersion for

4.3 Gabungan Operasi Set...........................................47 Ungrouped Data

Combined Operations on Sets 8.1 DSeisrpaekrasnio...n........................................................................99

Praktis ke Arah SPM .............................................................51

8.2 Sukatan Serakan...................................................... 102

Measures of Dispersion

Praktis ke Arah SPM .......................................................... 115

Bab 9 Kebarangkalian Peristiwa Matematik Pengguna:
Bergabung
Probability of Combined Events Bab 10 Pengurusan Kewangan
Consumer Mathematics:
Peristiwa Bergabung.............................................. 119 Financial Management

9.1 Combined Events 10.1 Perancangan dan Pengurusan Kewangan.... 138
and Management
9.2 Peristiwa Bersandar dan Peristiwa Financial Planning

Tak Bersandar.......................................................... 121 Praktis ke Arah SPM .......................................................... 146

Dependent Events and Independent Events

9.3 Peristiwa Saling Eksklusif dan Peristiwa Soalan SPM Kertas 2 Bahagian C.... 148
Kertas Model Pra-SPM.......................... 156
Tidak Saling Ekslusif............................................. 126

Mutually Exclusive Events and Non-Mutually

Exclusive Events

Aplikasi Kebarangkalian Peristiwa

Bergabung................................................................... 132
9.4CONTOH



Application of Probability of Combined Events

Praktis ke Arah SPM .......................................................... 134

Modul Pembelajaran Semua laman sesawang dalam
Abad Ke-21
buku ini boleh dicapai pada QR

September 2021

Format Instrumen SPM
Matematik (1449)

Bil. Perkara Kertas 1 (1449/1) Kertas 2 (1449/2)

1 Jenis Instrumen Ujian Bertulis

2 Jenis Item Objektif Aneka Pilihan • Subjektif Respons Terhad
• Subjektif Berstruktur

3 Bilangan SoalanCONTOH 40 soalan Bahagian A:
(40 markah) 10 soalan (40 markah)
(Jawab semua soalan) (Jawab semua soalan)

Bahagian B:
5 soalan (45 markah)
(Jawab semua soalan)

Bahagian C
2 soalan (15 markah)
(Jawab satu soalan)

4 Jumlah Markah 40 markah 100 markah

• Mengingat dan Memahami • Mengingat dan Memahami
• Mengaplikasi
5 Konstruk • Mengaplikasi • Menganalisis
• Menilai
• Menganalisis • Mencipta

6 Tempoh Ujian 1 jam 30 minit 2 jam 30 minit

Standard kandungan dan standard pembelajaran dalam Dokumen Standard Kurikulum
7 Cakupan Konstruk dan Pentaksiran (DSKP) KSSM

(Tingkatan 1 hingga Tingkatan 5)

8 Aras Kesukaran Rendah : Sederhana : Tinggi
5:3:2

9 Kaedah Penskoran Dikotomus Analitik

Kalkulator saintifik yang tidak boleh • Kalkulator saintifik yang tidak boleh
diprogram diprogram
10 Alat Tambahan
• Alatan geometri

i

Rekod Pentaksiran Murid
Matematik Tingkatan 4

Bab TP Tafsiran Menguasai Tandatangan
()/ Guru & Tarikh
Belum

Menguasai
()

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang ungkapan, fungsi dan persamaan kuadratik
dalam satu pemboleh ubah.

2 Mempamerkan kefahaman tentang ungkapan, fungsi dan persamaan kuadratik dalam
satu pemboleh ubah.
CONTOH
3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi dan persamaan kuadratik dalam satu
pemboleh ubah untuk melaksanakan tugasan mudah.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dan
1 4 persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah

rutin yang mudah.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dan
5 persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah

rutin yang kompleks.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dan
6 persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah

bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang asas nombor.

2 Mempamerkan kefahaman tentang asas nombor.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang asas nombor untuk melaksanakan tugasan
mudah.

2 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang asas nombor dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang asas nombor dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang asas nombor dalam
konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang pernyataan dan hujah.

2 Mempamerkan kefahaman tentang pernyataan dan hujah.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang hujah deduktif dan hujah induktif untuk
melaksanakan tugasan mudah.

3 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang penaakulan logik
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang penaakulan logik
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang penaakulan logik
dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan
operasi set.

2 Mempamerkan kefahaman tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan operasi
set.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan
operasi set untuk melaksanakan tugasan mudah.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang persilangan set,
4 4 kesatuan set dan gabungan operasi set dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang

mudah.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang persilangan set,
5 kesatuan set dan gabungan operasi set dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang

kompleks.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang persilangan set,
6 kesatuan set dan gabungan operasi set dalam konteks penyelesaian masalah bukan

rutin secara kreatif.

ii

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang rangkaian.

2 Mempamerkan kefahaman tentang rangkaian.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang rangkaian untuk melaksanakan tugasan mudah.

5 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang rangkaian dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang rangkaian dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang rangkaian dalam
konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang ketaksamaan linear dalam dua pemboleh
ubah.

2 Mempamerkan kefahaman tentang ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah
untuk melaksanakan tugasan mudah.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem ketaksamaan
6 4 linear dalam dua pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang

mudah.
CONTOH
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem ketaksamaan
5 linear dalam dua pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang

kompleks.

Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem ketaksamaan
6 linear dalam dua pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin

secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang graf gerakan.

2 Mempamerkan kefahaman tentang graf gerakan.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang graf gerakan untuk melaksanakan tugasan mudah.

7 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang graf gerakan dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang graf gerakan dalam
konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang graf gerakan dalam
konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang serakan.

2 Mempamerkan kefahaman tentang sukatan serakan data tak terkumpul.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang sukatan serakan data tak terkumpul untuk
melaksanakan tugasan mudah.

8 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan
data tak terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan
data tak terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan
data tak terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang peristiwa bergabung.

2 Mempamerkan kefahaman tentang kebarangkalian peristiwa bergabung.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang kebarangkalian peristiwa bergabung untuk
melaksanakan tugasan mudah.

9 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang kebarangkalian peristiwa
bergabung dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang kebarangkalian peristiwa
bergabung dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang kebarangkalian peristiwa
bergabung dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang perancangan dan pengurusan kewangan.

2 Mempamerkan kefahaman tentang perancangan dan pengurusan kewangan.

3 Mengaplikasikan kefahaman tentang perancangan dan pengurusan kewangan untuk
melaksanakan tugasan mudah.

10 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang perancangan dan pengurusan
kewangan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang perancangan dan pengurusan
kewangan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang perancangan dan pengurusan
kewangan dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

iii

Bab 1 Matematik Tingkatan 4 Bab 1

Fungsi dan Persamaan Kuadratik
dalam Satu Pemboleh Ubah

Quadratic Functions and Equations
in One Variable

MODUL PBD Praktis DSKP

1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik Buku Teks m/s 2 – 27 Info
Quadratic Functions and Equations Digital 1.1

1 Tandakan  pada petak kosong bagi ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah. SP: 1.1.1 Mudah TP1
CONTOH
Mark  in the empty space for the quadratic expressions in one variable.

Contoh  (a) 12 – 9 (b) √72 + 15x
6x2 – 4x + 9

(c) 65x + 8 (d) x3 + 2x2 – 14 (e) 14x4 – 8x3 + 20

(f) –7x2 + 21  (g) 32x – 6 (h) b2 – 6b + 3 


2 Tentukan hubungan fungsi kuadratik dengan ujian garis berikut. SP: 1.1.2 Mudah TP2
Determine the relation of the quadratic functions using the following line test.

Contoh

f (x) f (x)

f (x) = 2x2 + x + 7 70
60
f (x) = x2 + 2x – 3 6 50
5 40
4 30
3 20
2 10
1

–5 –4 –3 –2 –1 O 123 x
–1
–2 –8 –6 –4 –2 O x
–10
246

–3

–4 Garis mengufuk y = 40 melalui dua titik pada fungsi

Garis mengufuk y = 1 melalui dua titik pada fungsi f(x) = 2x2 + x + 7. Maka, hubungan fungsi itu ialah
f(x) = x2 + 2x – 3. Maka, hubungan fungsi itu ialah
banyak kepada satu. banyak-kepada-satu.
The horizontal line y = 1 passes through two points on the The horizontal line y = 40 passes through two points on the
function f(x) = x2 + 2x – 3. Thus, the relation of the function f(x) = 2x2 + x + 7. Thus, the relation of the function
function is many-to-one. is many-to-one.


3 Tandakan � atau � bagi bentuk fungsi kuadratik yang berikut. SP: 1.1.2 Mudah TP2
Mark � or � for the shape of the following quadratic functions.

Contoh � (a) f (x) = –x2 + 2x + 3

f (x) = x2 + x + 3

(b) f (x) = –3x2 + 6x – 9 � (c) f (x) = 5x2 – 21 �

1

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

4 Nyatakan sama ada fungsi kuadratik yang berikut mempunyai titik maksimum atau titik minimum. SP: 1.1.2

State whether the following quadratic functions has maximum point or minimum point. Mudah TP2

Contoh (a) f (x) = 2x – 2x2 – 3 (b) f (x) = 12 – 7x + 3x2

f (x) = 2x2 – x + 13 a = –2 (< 0) a = 3 (> 0)
a = 2 (> 0)
\ Titik minimum \ Titik maksimum \ Titik minimum
Minimum point Maximum point Minimum point

(c) y = 3x2 + 12x – 3 (d) y = 5 – 12x2 + 7 (e) f (y) = 3y – 7y2 – 13

a = 3 (> 0) a = –12 (< 0) a = –7 (< 0)

\ Titik minimum \ Titik maksimum \ Titik maksimum
Minimum point Maximum point Maximum point
CONTOH
5 Nyatakan paksi simetri bagi setiap graf fungsi kuadratik yang berikut. SP: 1.1.2

State the axis of symmetry for each of the following graphs of quadratic function. Mudah TP3

Contoh (a) (b)

f (x) f (x)

2 f (x) 6
1 5
123 x 8 4
–5 –4 –3 –2 –1 O 6 3
–1 4 2
–2 2 1
–3
–4 –1 O –6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 x
–2 –1
–5 1234 x –2
–6 –3

Paksi simetri/ Axis of symmetry: Paksi simetri/ Axis of symmetry: Paksi simetri/ Axis of symmetry:
x=2 x = –3
x = –1


6 Lukiskan graf fungsi kuadratik berikut dan seterusnya nyatakan perubahan kedua-dua graf tersebut. SP: 1.1.3
Draw the graphs of the following quadratic functions and hence state the changes of both graphs. Sederhana TP3 TP4

Contoh

(i) f (x) = x2 + 2x, –4 N x N 2 (ii) f (x) = x2 – 2x, –2 N x N 4

f(x) f(x)

8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1

–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 x –2 –1 O 12345 x
–1 –1

–2 –2

Apabila nilai b berubah, paksi simetri graf turut berubah.
When the value of b changes, the axis of symmetry of the graph also changes.


2

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

(a) (i) f (x) = x2 – 2x – 8, –3 N x N 5 (ii) f (x) = x2 – 2x – 6, –3 N x N 5

f (x)
f (x)

8 8
6
6 4
2
4
–4 –3 –2 –1 O
2 –2
–4
–4 –3 –2 –1 O 123456 x –6 123456 x
–2 –8

–4

CONTOH –6

–8



Apabila nilai c berubah, pintasan-y graf turut berubah.
When the value of c changes, the y-intercept of the graph also changes.

(b) (i) f (x) = –x2 – 4x – 1, –5 N x N 1 (ii) f (x) = –2x2 – 4x – 1, –3 N x N 1

f (x) f (x)

3 1

2 x
–5 –4 –3 –2 –1 O 1
1
–1
–5 –4 –3 –2 –1 O
–1 x –2

1

–3

–2 –4

–3 –5

–4 –6

–5 –7

–6 –8



Apabila nilai a berubah, julat graf turut berubah.
When the value of a changes, the range of graph also changes.


7 Cari nilai c bagi setiap yang berikut. SP: 1.1.4 Sederhana TP4
Find the value of c for each of the following.
(a) f (x) = c – 2x2 + 3x, melalui titik (3, 4)
Contoh f(x) = c – 2x2 + 3x, passes through point (3, 4)

f (x) = 2x2 – 3x + c, melalui titik (2, 6) 4 = c – 2(3)2 + 3(3)
f(x) = 2x2 – 3x + c, passes through point (2, 6) c = 4 + 9
= 13
6 = 2(2)2 – 3(2) + c
\ c = 13
c = 6 – 2 \c=4

= 4


3

Matematik Tingkatan 4 Bab 1 (c) f (x) = x2 – 4x + c, melalui pintasan-y = 3
f(x) = x2 – 4x + c, passes through y-intecept = 3
(b) f (x) = 4x2 – 6x + c, melalui pintasan-x = 2 c = pintasan-y/ y-intercept = 3
f(x) = 4x2 – 6x + c, passes through x-intecept = 2 \c=3
0 = 4(2)2 – 6(2) + c
c = –4
\ c = –4



8 Berdasarkan situasi yang berikut, ungkapkan satu persamaan kuadratik. SP: 1.1.4 Sederhana TP3
Based on the following situations, express one quadratic equation.

Contoh (a) Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga sama
kaki.
Sebuah segi empat tepat yang berpanjang x cm dan
berlebar (x – 3) cm mempunyai luas permukaan The diagram below shows an isosceles triangle.
5 cm2.
A rectangle with a length of x cm and width of
(x – 3) cm, has an area of 5 cm2. (x – 7) cm
CONTOH
Luas permukaan/ Surface area: (x + 9) cm
x(x – 3) = 5
x2 – 3x – 5 = 0 Diberi luas segi tiga tersebut ialah 5 cm2.
Given the area of the triangle is 5 cm2.

Luas/ Area: 1 (x – 7)(x + 9) = 5
2 x2 + 2x – 63 = 10


x2 + 2x – 73 = 0

(b) Diberi luas bagi semibulatan di bawah ialah 22 cm2. (c) Diberi luas trapezium di bawah ialah 33 cm2.
Given the area of the semicircle below is 22 cm2. Given the area of trapezium below is 33 cm2.
( )π
= 22 (2x – 1) cm
7

x cm

(3x – 4) cm

(x + 2) cm 1
2
Luas/ Area: 1 × 22 × (x + 2)2 = 22 Luas/ Area: (x)[(2x – 1) + (3x + 4)] = 33
27 (x)(5x + 3) = 66

x2 + 4x + 4 = 14 5x2 + 3x – 66 = 0

x2 + 4x – 10 = 0

(d) Diberi panjang dan lebar masing-masing bagi (e) Hasil tambah dua nombor ialah 30 dan hasil darab
kedua-dua nombor itu ialah 60.
sebuah segi tiga bersudut tegak ialah x cm dan
The sum of two numbers is 30 and the product of the
(x – 3) cm. Segi tiga bersudut tegak itu mempunyai two numbers is 60.

hipotenus dengan panjang 20 cm. Biar salah satu nombor = x
Given the length and width of a right-angled triangle are Let one of the number = x

x cm and (x – 3) cm respectively. The right-angled triangle
has a hypotenuse of 20 cm.

x2 + (x – 3)2 = 202 x+ 60 = 30
x2 + x2 – 6x + 9 = 400 x
2x2 – 6x – 391 = 0 x2 + 60 = 30x

x – 30x + 60 = 0


4

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

9 Tentukan sama ada nilai x yang diberi adalah punca bagi persamaan kuadratik atau tidak. SP: 1.1.5

Determine whether the given value of x is the root of the quadratic equation or not. Sederhana TP4

Contoh (a) 2x2 + x – 6 = 0; x = –2
x2 + 2x = 12; x = 3
Kiri/ Left: 32 + 2(3) = 9 + 6 Kiri/ Left: 2(–2)2 + (–2) – 6
= 15 (≠ Kanan/ Right)
= 2(4) – 2 – 6

= 0 (= Kanan/ Right)

\ x = 3 bukan punca bagi x2 + 2x = 12. \ x = –2 ialah punca bagi 2x2 + x – 6 = 0.
x = 3 is not a root of x2 + 2x = 12. x = –2 is a root of 2x2 + x – 6 = 0.

(b) 6x2 + x = 2; x = 2 (c) 2x2 – 3x – 9 = 0; x = 3

CONTOH Kiri/ Left: 6(2)2 + 2 Kiri/ Left: 2(3)2 – 3(3) – 9

= 6(4) + 2 = 2(9) – 9 – 9
= 26 (≠ Kanan/ Right)
= 0 (= Kanan/ Right)

\ x = 2 bukan punca bagi 6x2 + x = 2. \ x = 3 ialah punca bagi 2x2 – 3x – 9 = 0.
x = 2 is not a root of 6x2 + x = 2. x = 3 is a root of 2x2 – 3x – 9 = 0.



10 Selesaikan setiap persamaan kuadratik berikut dengan kaedah pemfaktoran. SP: 1.1.6 Sederhana TP4
Solve each of the following quadratic equations using factorisation method.

Contoh (a) 3x2 = 27x
2x2 + 8x = 0
3x2 – 27x = 0

2x(x + 4) = 0 3x(x – 9) = 0

2x = 0 x + 4 = 0 3x = 0 x – 9 = 0

x = 0 x = –4 x = 0 x = 9

\ x = –4 atau/ or 0 \ x = 0 atau/ or 9

(b) x2 – 6x + 8 = 0 (c) x2 + 7x – 18 = 0

(x – 2)(x – 4) = 0 (x + 9)(x – 2) = 0

x – 2 = 0 x – 4 = 0 x + 9 = 0 x – 2 = 0

x = 2 x = 4 x = –9 x = 2

\ x = 2 atau/ or 4 \ x = –9 atau/ or 2

(d) 6w2 + 17w – 14 = 0 (e) 12x2 – 15 = – x
8
(3w – 2)(2w + 7) = 0
12x2 – 15 = –8x
3w – 2 = 0 2w + 7 = 0
2 7 12x2 + 8x – 15 = 0
3 2
w = w = – (6x – 5)(2x + 3) = 0

6x – 5 = 0 2x + 3 = 0

\ w = – 7 atau/ or 2 x = 5 x = – 3
2 3 6 2

\ x = – 3 atau/ or 5
2 6



5

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

(f) (x – 2)(x + 6) = 15 – 2x (g) (x – 4)(x + 5) – x – 16 = 0

x2 + 4x – 12 + 2x – 15 = 0 x2 + x – 20 – x – 16 = 0

x2 + 6x – 27 = 0 x2 – 36 = 0

(x + 9)(x – 3) = 0 (x – 6)(x + 6) = 0

x + 9 = 0 x – 3 = 0 x – 6 = 0 x + 6 = 0

x = –9 x = 3 x = 6 x = –6

\ x = –9 atau/ or 3 \ x = –6 atau/ or 6



1 1 Lakarkan setiap graf fungsi kuadratik yang berikut. SP: 1.1.7 Sukar TP4 TP5
Sketch each of the following graphs of quadratic functions.
CONTOH
Contoh (a) f (x) = x2 – 9
f (x) = x2 – 1

f (x) f(x)
f(x) = x2 – 9
f (x) = x2 – 1

–3 O 3 x
–9
–1 O 1 x
–1

(b) f (x) = –x2 – 2x + 15 (c) f (x) = 4x2 – 8x – 45

f (x) f (x)
(–1, 16) f (x) = 4x2 – 8x – 45

15 5 O 9 x
2 2


–5 O 3 x –45
f (x) = –x2 – 2x + 15 (1, –49)

(d) f (x) = –8x2 – 32x + 18 (e) f (x) = –4x2 + 12x + 27
f(x)
f(x)
(–2, 50)
( )3, 36
f (x) = –8x2 – 32x + 18 2

27 f (x) = –4x2 + 12x + 27

18

9 O1 x 3 O 9 x
2 2 2 2
– –


6

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

12 Selesaikan masalah yang berikut. SP: 1.1.8 KBAT Sukar TP5 TP6 Soalan KBAT
Solve the following problems. Ekstra

Contoh (a) Sekeping jubin yang berbentuk segi empat tepat

Sebiji bola dibaling ke dalam sebuah bakul yang mempunyai panjang (x + 8) cm dan lebar (x + 4) cm.
terletak 5 m di atas lantai. Tinggi, h, dalam m, bagi
bola tersebut pada masa t saat selepas dibaling Encik Lim telah memasang 625 keping jubin pada
ialah h = –t2 + 3t + 23. Hitung masa, dalam saat,
ketika bola tersebut memasuki bakul itu. lantai bilik yang seluas 12 m2. Cari nilai x.
A ball is thrown into a basket which is placed 5 m above A piece of rectangular tile has a length of (x + 8) cm and
the floor. The height, h, in m, of the ball at time t seconds
after being thrown is h = –t2 + 3t + 23. Calculate the time, a width of (x + 4) cm. Mr Lim has installed 625 pieces of
in seconds, when the ball enters the basket. tiles onto the room’s floor with an area of 12 m2. Find the
value of x
5 = –t2 + 3t + 23
t2 – 3t – 18 = 0 Tips Bestari
(t – 6)(t + 3) = 0
t = 6 atau/ or –3 1 m2 = 100 cm × 100 cm
(Masa tidak boleh bernilai negatif.) = 10 000 cm2
(Time cannot be negative value.)

\ Bola memasuki bakul itu pada saat ke-6.
The ball enters the basket at the 6th second.
CONTOH 625(x + 8)(x + 4) = 120 000

x2 + 12x + 32 = 192

x2 + 12x – 160 = 0

(x + 20)(x – 8) = 0
x = –20 atau/ or 8

(Panjang mesti bernilai positif)

(Length must be positive value)

\ Nilai x ialah 8./ The value of x is 8.

(b) Rajah di bawah menunjukkan sebuah piramid yang (c) Diberi bahawa panjang tiga sisi bagi sebuah segi
bertapak segi empat sama.
tiga bersudut tegak ialah x cm, (x + 7) cm dan
The diagram below shows a pyramid with a square base. (x + 8) cm. Cari luas, dalam cm2, bagi segi tiga

(4x + 2) cm bersudut tegak itu.
It is given that the length of the three sides of a right-

angled triangle is x cm, (x + 7) cm and (x + 8) cm. Find the
area, in cm2, of the right-angled triangle.

Menggunakan Teorem Pythagoras,

Using Pythagoras’ Theorem,

x2 + (x + 7)2 = (x + 8)2

(3x + 2) cm x2 + x2 + 14x + 49 = x2 + 16x + 64
x2 – 2x – 15 = 0

Luas permukaan piramid itu ialah 224 cm2. Cari (x + 3) (x – 5) = 0
nilai x. x = –3 atau/ or 5


The surface area of the pyramid is 224 cm2. Find the
x mesti bernilai positif bagi panjang, maka x = 5.
value of x. x must be a positive value for length, thus x = 5.

( ) 4 1 (3x + 2)(4x + 2) + (3x + 2)2 = 224 Luas/ Area: 1 × 5 × 12 = 30 cm2
2 2

2(12x2 + 14x + 4) + 9x2 +12x + 4 – 224 = 0

24x2 + 28x + 8 + 9x2 + 12x + 4 – 224 = 0

33x2 + 40x – 212 = 0

(33x + 106)(x – 2) = 0

x = – 106
33

atau/ or 2

\ Nilai x ialah 2./ The value of x is 2.


7

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

MODUL PP Praktis ke Arah S P M

Kertas 1

Jawab semua soalan./ Answer all questions.

1 Selesaikan persamaan kuadratik –2x2 + 11x = 12. 6 Selesaikan/ Solve
Solve the quadratic equation –2x2 + 11x = 12.
5x + 21 = 2(x – 3)
x
A x = –4, x = 3 C x = 3 , x = 4
2 2 3 3
A x = – 2 ,x = 7 C x = –7, x = – 2
3 3
B x = – 2 , x = 4 D x = –4, x = – 2 3 3
2 2
B x = –7, x= D x = ,x =7

2 Selesaikan persamaan kuadratik 8x2 + 10x – 3 = 0.
Solve the quadratic equation 8x2 + 10x – 3 = 0.
CONTOH 7 Selesaikan/ Solve

A x = – 1 , x = 3 C x = 3 , x = – 1 x – 20 = 3
4 2 2 4 3 – 4x x

B x = – 3 , x = 1 D x = – 3 , x = – 1 A x = –1, x = 9
2 4 2 4 B x = –9, x = 1
C x = –1, x = –9
3 Selesaikan persamaan kuadratik (x + 2)2 = 2x + 7. D x = 1, x = 9
Solve the quadratic equation (x + 2)2 = 2x + 7.
A x = 1, x = 3 8 Diberi fungsi kuadratik f (x) = 2x2 – 5x + c melalui titik
B x = –1, x = 3 (3, 0). Tentukan nilai c.
C x = –1, x = –3
D x = –3, x = 1 Given the quadratic function passes through point (3, 0).
Determine the value of c.
4 Selesaikan persamaan kuadratik (x + 3)(2x – 4) = x2 – 4.
Solve the quadratic equation (x + 3)(2x – 4) = x2 – 4. A 5
B 3
A x = –2, x = 4 C –3
B x = –2, x = –4 D –5
C x = 4, x = 2
D x = –4, x = 2 9 Rajah 2 menunjukkan empat buah graf fungsi
kuadratik pada satah Cartes.
5 Rajah 1 menunjukkan sebuah graf fungsi kuadratik.
Diagram 1 shows a graph of quadratic fuction. Diagram 2 shows four graphs of quadratic functions on a
Cartesian plan.
y
y

AB

( )3 , 81 10
22

–5 –1 O 1 5x

–3 O x –10
6
CD
Rajah 1/ Diagram 1
Rajah 2/ Diagram 2
Tentukan persamaan kuadratik bagi graf itu. Antara graf di atas, yang manakah mewakili
Determine the quadratic equation of the graph.
A y = –x2 – 3x – 18 persamaan kuadratik y = –2x2 + 8x + 10?
B y = x2 – 3x – 18 Which of the graphs above represents the quadratic
C y = 36 + 6x – 2x2
D y = 2x2 – 6x – 36 equation y = –2x2 + 8x + 10?

8

10 Diberi salah satu punca bagi persamaan kuadratik Matematik Tingkatan 4 Bab 1
x2 – kx + 15 ialah 3. Cari nilai k.
12 Rajah 3 menunjukkan sebuah trapezium.
Given one of the roots of the quadratic equation Diagram 3 shows a trapezium.
x2 – kx + 15 is 3. Find the value of k.
(2x + 3) cm
A –8
B –5 x cm
C 5
D 8 (3 – x) cm
Rajah 3/ Diagram 3
1 1 Diberi x = 1 ialah paksi simetri bagi fungsi kuadratik
y = 5 + 4x – 2x2. Tentukan koordinat titik maksimum Diberi luas trapezium ialah (4x + 4) cm2. Cari nilai x.
bagi fungsi kuadratik tersebut. Given the area of trapezium is (4x + 4) cm2. Find the value

Given x = 1 is the axis of symmetry of the quadratic of x.
function y = 5 + 4x – 2x2. Determine the coordinates of the A 2
maximum point of the quadratic function. B 4
C 6
A (1, 7) D 8
B (7, 1)
C (–1, 7)
D (–7, 1)
CONTOH
Kertas 2 2 Rajah 2 menunjukkan sebuah bingkai gambar.
Diagram 2 shows a photo frame.
Jawab semua soalan./ Answer all questions.
Bahagian A / Section A (x – 1) cm

1 Rajah 1 menunjukkan sebuah kon.
Diagram 1 shows a cone.

14 cm

x cm

(3x + 3) cm

Rajah 1/ Diagram 1 Rajah 2/ Diagram 2

(a) Dengan menggunakan π = 272, buktikan isi padu Diberi sekeping foto yang berukuran 20 cm × 15 cm
diletakkan pada bingkai gambar yang seluas 494 cm2.
kon ialah 132x2 + 264x + 132. Cari nilai x.

By using π = 22 , prove that the volume of the cone is Given a piece of photo with a size of 20 cm × 15 cm is put
7 into a photo frame with an area of 494 cm2. Find the value
of x.
132x2 + 264x + 132. [4 markah/ marks]

[2 markah/ marks] Panjang/ Length: 20 + x + x = 20 + 2x

(b) Diberi bahawa isi padu kon ialah 1 188 cm3, cari

nilai x. Tinggi/ Height: 15 + 2(x – 1) = 15 +2x – 2
Given that the volume of cone is 1 188 cm3, find the
value of x. = 13 + 2x

[2 markah/ marks] Luas/ Area:

(a) 1 × 22 × 14 × (3x + 3)2 (20 + 2x)(13 + 2x) = 494
3 7
260 + 66x + 4x2 = 494

= 44 (9x2 + 18x + 9) 4x2 + 66x – 234 = 0 ,÷2
3
2x2 + 33x – 117 = 0
= 132x2 + 264x + 132 (Terbukti/ Proven)
(2x + 39)(x – 3) = 0
39
(b) 132x2 + 264x + 132 = 1 188 , ÷ 132 x = – 2 atau/ or 3

x2 + 2x + 1 = 9 \ Nilai x ialah 3./ The value of x is 3.

x2 + 2x – 8 = 0

(x + 4)(x – 2) = 0

x = –4 atau/ or 2

\ Nilai x ialah 2./ The value of x is 2.

9

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

3 Sebiji bola dilontar oleh Muthu dari sebuah bangunan. Bahagian B / Section B

Diberi bahawa fungsi bagi tinggi, dalam m, bola itu 5 (a) Hasil darab x dan x + 4 ialah 140.
The product of x and x + 4 is 140.
dari atas tanah ialah f (x) = –5x2 + 10x + 15 dengan x (i) Tuliskan satu persamaan bagi pernyataan

ialah masa, dalam saat, selepas lontaran itu. ini.
A ball is thrown by Muthu from a building. It is given that Write an equation for this statement.

the function of the height, in m, of the ball from above [2 markah/ marks]
(ii) Cari nilai-nilai x yang mungkin.
ground is f(x) = –5x2 + 10x + 15 where x is the time, in Find the possible values of x.

seconds, after the throwing. [2 markah/ marks]
(b) Rajah 3 menunjukkan sebuah segi empat selari.
(a) Nyatakan ketinggian, in m, Muthu dari atas tanah K Diagram 3 shows a parallelogram.

sebelum dia melontar bola itu. B
State the height, in m, of Muthu from above ground A
T
before he throws the ball.
(x + 9) cm
[2 markah/ marks]

(b) Hitungkan masa, dalam saat, bola itu mencecah

tanah.
Calculate the time, in seconds, the ball touches the

ground.
CONTOH
[3 markah/ marks] x cm

(a) Apabila x = 0, f (x) = 15. Maka, ketinggian Muthu Rajah 3/ Diagram 3

dari atas tanah ialah 15 m. Diberi tinggi segi empat selari itu ialah (x + 1)
When x = 0, f(x) = 15. Thus, the height of Muthu from

above ground is 15 m.

(b) Apabila f (x) = 0/ When f(x) = 0, cm. Tunjukkan bahawa luas segi empat selari itu

–5x2 + 10x + 15 = 0 , ÷ –5 ialah 420 cm2.
Given the height of the parallelogram is (x + 1) cm.
x2 – 2x – 3 = 0
Show that the area of the parallelogram is 420 cm2.
(x – 3)(x + 1) = 0
[4 markah/ marks]
x = –1 atau/ or 3
( a) (i) x(x + 4) = 140

\ Oleh sebab masa tidak boleh bernilai negatif, x2 + 4x – 140 = 0
x = 3 saat.
(ii) x2 + 4x – 140 = 0
Since time cannot be negative value, x = 3 seconds.
(x – 10)(x + 14) = 0
4 Beza umur antara Syafiah dan adiknya ialah 5 tahun.
Hasil darab umur mereka 3 tahun lepas ialah 126. x = 10 atau/ or –14

The difference in age between Syafiah and her younger \ x = –14 dan/ and 10
brother is 5 years. The product of their ages 3 years ago is
126. (b) Dengan menggunakan Teorem Pythagoras,
By using Pythagoras’ Theorem,
(a) Ungkapkan satu persamaan kuadratik bagi
pernyataan di atas. x2 + (x + 1)2 = (x + 9)2

Express one quadratic equation for the above x2 + x2 + 2x + 1 = x2 + 18x + 81
statement.
[1 markah/ mark] 2x2 + 2x + 1 = x2 + 18x + 81

(b) Hitungkan umur Syafiah sekarang. x2 – 16x – 80 = 0
Calculate the current age of Syafiah.
(x + 4)(x – 20) = 0
[3 markah/ marks]
(a) Biar umur Syafiah = x./ Let Syafiah’s age = x. x = –4 atau/ or 20
x(x – 5) = 126
x2 – 5x – 126 = 0 Oleh sebab panjang tidak boleh bernilai negatif,
maka x = 20.
Since length cannot be negative value, thus x = 20.

(b) x2 – 5x – 126 = 0 Luas/ Area: 20 × (20 + 1) = 20 cm × 21 cm

(x + 9)(x – 14) = 0

x = –9 atau/ or 14 = 420 cm2

(Ditunjukkan/Shown)

Oleh sebab umur tidak boleh bernilai negatif,
x = 14.

Since age cannot be negatif value, x = 14.

\ Umur Syafiah sekarang = 14 + 3 = 17 tahun.
Syafiah’s current age = 14 + 3 = 17 years old.

10

Matematik Tingkatan 4 Bab 1

6 Diberi fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c mempunyai 7 Diberi salah satu punca fungsi kuadratik f(x) = ax2 +
3
‒3 dan 5 sebagai punca-puncanya. bx + c ialah 4 dan mempunyai titik maksimum pada

Given the quadratic function f(x) = ax2 + bx + c has –3 and (1, 9).
Given one of the roots for the quadratic function f(x) = ax2 +
3 as its roots.
5 bx + c is 4 and has a maximum point at (1, 9).

(a) Cari nilai-nilai bagi a, b dan c. (a) Cari nilai-nilai bagi a dan b.
Find the values of a, b and c. Find the values of a and b.

[3 markah/ marks] [6 markah/ marks]

(b) Tentukan paksi simetri dan koordinat bagi titik (b) Nyatakan fungsi kuadratik itu dan seterusnya,

maksimum atau titik minimum fungsi itu. cari satu lagi puncanya.
Determine the axis of symmetry and the coordinates of State the quadratic function and hence, find the other

the maximum or minimum point of the function. root of the function.

[3 markah/ marks] [3 markah/ marks]

(a) f(4) = 0

(c) Hitung nilai-nilai x bagi f(x) = 8. 16a + 4b + c = 0
Calculate the values of x for f(x) = 8. c = ‒16a – 4b ……➀

CONTOH [3 markah/ marks]
f(1) = 9
(a) + x = ‒3 x = 3
x 3 = 0 5x = a+b+c=9
5 c = 9 – a – b ……➁
3
➀ = ➁, ‒16a ‒ 4b = 9 – a – b
5x – 3 = 0 ‒15a – 3b = 9 ……➂

f(x) = (x + 3)(5x – 3) Paksi simetri/ Axis of symmetry:
= 5x2 – 3x + 15x – 9 b
= 5x2 + 12x – 9 ‒ 2a = 1

Banding dengan/ Compare with f(x) = ax2 + bx + c, 2a = ‒b
a = 5, b = 12 dan c = ‒9 b = ‒2a

(b) Paksi simetri/ Axis of symmetry: b = ‒2a ↷ ➂, ‒15a – 3(‒2a) = 9
b ‒15a + 6a = 9
x = ‒ 2a ‒9a = 9
a = ‒1

= ‒ 12 b = ‒2(‒1)
2(5) = 2

= ‒ 6 \ a = ‒1, b = 2
5

Apabila/ When x = ‒ 6 , (b) f (x) = ‒x2 + 2x + c
5
( ) ( ) ( ) 6 6 2 6 f(1) = 9
f ‒ 5 = 5 ‒ 5 + 12 ‒ 5 –9 ‒1 + 2 + c = 9

1 ‒ 14 2 ‒9 c=8
5 5
= 7 \ f (x) = ‒x2 + 2x + 8

= ‒16 1 Apabila/ When f (x) = 0,
5

( ) ‒ 6 , ‒16 1 ‒x2 + 2x + 8 = 0
\ Koordinat titik minimum ialah 5 5 . (x – 4)(‒x ‒ 2) = 0

( )The coordinates of the minimum point are x = 4 atau/ or ‒2

– 6 , –16 1 . \ Satu lagi punca ialah ‒2.
5 5 The other root is –2.

(c) f(x) = 8

5x2 + 12x – 9 = 8

5x2 + 12x – 17 = 0

(5x + 17)(x – 1) = 0 17
5
x = ‒ atau/ or 1

11

Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor

Bab 2 Number Bases

MODUL PBD Praktis DSKP

2.1 Asas Nombor Buku Teks m/s 34 – 50 Info
Number Bases Digital 2.1

1 Nyatakan nilai tempat bagi setiap digit yang bergaris dalam nombor berikut. SP: 2.1.1 Mudah TP1
State the place value for each underlined digit in the following numbers.

Contoh (a) 176348 (b) 441246
202035
CONTOH 52 84 61

(c) 901024710 (d) 434425 50 (e) 3450289
106 94



2 Nyatakan nilai digit bagi digit yang bergaris dalam nombor yang berikut. SP: 2.1.1 Mudah TP2
State the digit value of the underlined digit in the following numbers.

Contoh (a) 101102
110102 10110

11010

24 23 22 21 20 24 23 22 21 20

\ Nilai digit/ Digit value: 1 × 21 = 1 × 2 \ Nilai digit/ Digit value: 1 × 22 = 1 × 4
=2
=4

(b) 111001112 (c) 101012

11100111 10101
27 26 25 24 23 22 21 20 24 23 22 21 20

\ Nilai digit/ Digit value: 1 × 26 = 1 × 64 \ Nilai digit/ Digit value: 1 × 24 = 1 × 16

= 64 = 16

(d) 515468 (e) 45268

51546 4526
84 83 82 81 80 83 82 81 80

\ Nilai digit/ Digit value: 5 × 84 = 5 × 4 096 \ Nilai digit/ Digit value: 6 × 80 = 6 × 1

= 20 480 =6

(f) 764558 (g) 4421335
442133
76455 55 54 53 52 51 50
84 83 82 81 80

\ Nilai digit/ Digit value: 4 × 82 = 4 × 64 \ Nilai digit/ Digit value: 4 × 55 = 4 × 3 125

= 256 = 12 500

(h) 342325 (i) 33425

34232 3342
54 53 52 51 50 53 52 51 50

\ Nilai digit/ Digit value: 4 × 53 = 4 × 125 \ Nilai digit/ Digit value: 2 × 50 = 2 × 1

= 500 =2

12

Matematik Tingkatan 4 Bab 2

3 Tulis setiap nombor yang berikut dalam bentuk cerakin. SP: 2.1.1 Mudah TP2
Write each of the following numbers in expanded notation. Mudah TP2

Contoh
111012 = (1 × 24) + (1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (1 × 20)

(a) 1101012 = (1 × 25) + (1 × 24) + (0 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (1 × 20)

(b) 10112 = (1 × 23) + (0 × 22) + (1 × 21) + (1 × 20)

(c) 526348 = (5 × 84) + (2 × 83) + (6 × 82) + (3 × 81) + (4 × 80)

(d) 15347428 = (1 × 86) + (5 × 85) + (3 × 84) + (4 × 83) + (7 × 82) + (4 × 81) + (2 × 80)

(e) 3213345 = (3 × 55) + (2 × 54) + (1 × 53) + (3 × 52) + (3 × 51) + (4 × 50)

(f) 432145 = (4 × 54) + (3 × 53) + (2 × 52) + (1 × 51) + (4 × 50)


4 Tentukan setiap nilai nombor yang berikut dalam asas sepuluh. SP: 2.1.1
Determine the value for each of the following numbers in base ten.

Contoh
111012 = (1 × 24) + (1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (1 × 20)
= 16 + 8 + 4 + 0 + 1
= 2910
CONTOH
(a) 1011012 = (1 × 25) + (0 × 24) + (1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (1 × 20)
= 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1

= 4510

(b) 110111002 = (1 × 27) + (1 × 26) + (0 × 25) + (1 × 24) + (1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (0 × 20)
= 128 + 64 + 16 + 8 + 4

= 22010

(c) 748 = (7 × 81) + (4 × 80)
= 56 + 4
= 6010

(d) 53778 = (5 × 83) + (3 × 82) + (7 × 81) + (7 × 80)
= 2560 + 192 + 56 + 7

= 281510

(e) 3245 = (3 × 52) + (2 × 51) + (4 × 50)
= 75 + 10 + 4

= 8910

(f) 24435 = (2 × 53) + (4 × 52) + (4 × 51) + (3 × 50)
= 250 + 100 + 20 + 3

= 37310



13

Matematik Tingkatan 4 Bab 2

5 Tukarkan 234710 kepada asas yang berikut dengan pembahagian menggunakan nilai tempat. SP: 2.1.2 TP3
Convert 234710 to the following base by division using place values. Sederhana

Contoh

Asas lapan/ Base eight

Nilai tempat 512 64 8 1
Place value
4 4 5 3
Langkah 512 2347 64 299 8 43 13
Step
– 2048 – 256 – 40 –3
Asas 8/ Base 8 299 43 3 0
\ 44538
4 4 5 3

CONTOH(a) Asas lima/ Base five

Nilai tempat 625 125 25 5 1
Place value
3 3 4 2
Langkah 3 125 472 25 97 5 22 12
Step 625 2347
– 375 – 75 – 20 –2
– 1875 97 22 2 0

472 3 3 4 2

Asas 5/ Base 5 3

\ 333425

(b) Asas tiga/ Base three

Nilai tempat 2187 729 243 81 27 9 3 1
Place value

Langkah 1 0 0 1 2 2 2 1
Step 2187 2347 729 160 243 160 81 160 27 79 9 25 37 11

– 2187 –0 –0 – 81 – 54 – 18 –6 –1

160 160 160 79 25 7 1 0

Asas 3/ Base 3 1 0 0 1 2 2 21

\ 100122213

(c) Asas enam/ Base six

Nilai tempat 1296 216 36 6 1
Place value
5 1 1
Langkah 1 4 36 187 67 11
Step 1296 2347 216 1051
– 180 –6 –1
– 1296 – 864 7 1 0

1051 187 5 1 1

Asas 6/ Base 6 1 4

\ 145116


14

Matematik Tingkatan 4 Bab 2

6 Tukarkan setiap nombor yang berikut kepada asas yang ternyata dalam kurungan dengan pembahagian

menggunakan nilai asas. SP: 2.1.2 Sederhana TP3
Convert each of the following numbers to the base stated in the brackets by division using base value.

Contoh (a) 19810 [2] (b) 4810 [5]

4410 [2]
2 198 5 48
2 44 2 99 ... 0 5 9 ... 3
2 22 ... 0 2 49 … 1 5 1 …4
2 11 ... 0 2 24 … 1 0 …1
2 5 ... 1 2 12 … 0
2 2 ... 1 2 6 …0 \ 4810 = 1435
2 1 ... 0 2 3 …0
2 1 …1
0 ... 1
CONTOH
0 …1

\ 4410 = 1011002 \ 19810 = 110001102

(c) 69210 [5] (d) 32610 [8] (e) 514910 [8]


5 692 8 326 8 5149
5 138 … 2 8 40 … 6 8 643 … 5
5 27 … 3 8 5 …0 8 80 … 3
5 5 …2 0 …5 8 10 … 0
5 1 …0 8 1 …2
0 …1 \ 32610 = 5068 0 …1

\ 69210 = 102325 \ 514910 = 120358

(f) 290710 [6] (g) 96310 [9] (h) 1025010 [3]


6 2907 9 963 3 10250
6 484 … 3 9 107 … 0 3 3416 … 2
6 80 … 4 9 11 … 8 3 1138 … 2
6 13 … 2 9 1 …2 3 379 … 1
6 2 …1 0 …1 3 126 … 1
0 …2 3 42 … 0
\ 96310 = 12809 3 14 … 0
\ 290710 = 212436 3 4 …2
3 1 …1
0 …1

\ 1025010 = 1120011223


15

Matematik Tingkatan 4 Bab 2

7 Tukarkan setiap nombor yang berikut kepada nombor dalam asas yang dinyatakan dalam kurungan. SP: 2.1.2

Convert each of the following numbers into a number of the base stated in the brackets. Sederhana TP3

Contoh (a) 101010102 [5]

100112 [5] 101010102 = (1 × 27) + (1 × 25) + (1 × 23) + (1 × 21)
= 128 + 32 + 8 + 2
100112 = (1 × 24) + (1 × 21) + (1 × 20)
= 16 + 2 + 1 = 17010
= 1910

5 19 5 170
5 3 …4 5 34 … 0
5 6 …4
0 …3 5 1 …1
0 …1
\ 100112 = 1910 = 345
CONTOH
\ 101010102 = 17010 = 11405

(b) 2435 [2] (c) 654327 [9]

2435 = (2 × 52) + (4 × 51) + (3 × 50) 654327 = (6 × 74) + (5 × 73) + (4 × 72) + (3 × 71)
= 50 + 20 + 3 + (2 × 70)

= 7310 = 14406 + 1715 + 196 + 21 + 2

= 1634010


2 73 9 16340
2 36 … 1 9 1815 … 5
2 18 … 0 9 201 … 6
2 9 …0 9 22 … 3
2 4 …1 9 2 …4
2 2 …0 0 …2
2 1 …0
0 …1

\ 2435 = 7310 = 10010012 \ 654327 = 1634010 = 243659

(d) 368 [5] (e) 45236 [8]

368 = (3 × 81) + (6 × 80) 45236 = (4 × 63) + (5 × 62) + (2 × 61) + (3 × 60)
= 24 + 6 = 864 + 180 + 12 + 3
= 3010
= 105910

5 30
5 6 …0 8 1059
5 1 …1 8 132 … 3
0 …1 8 16 … 4
8 2 …0
0 …2

\ 368 = 3010 = 1105 \ 45236 = 105910 = 20438



16

Matematik Tingkatan 4 Bab 2

8 Tukarkan setiap nombor yang berikut kepada nombor dalam asas lapan. SP: 2.1.2 Sederhana TP3
Convert each of the following numbers into a number in base eight.

Contoh (a) 1011012 = 558

1100012 = 618

Asas 2 110001 Asas 2 101 101
Base 2 Base 2 22 21 20 22 21 20
421 421
Nilai tempat 22 21 20 22 21 20 Nilai tempat
Place value Place value 4+1=5 4+1=5

Nilai digit 421421 Nilai digit
Digit value Digit value

Asas 8 4+2=6 1 Asas 8
Base 8 Base 8

CONTOH(b) 1010112 = 538 (c) 101110102 = 2728

Asas 2 101 011 Asas 2 10 1 1 1 010
Base 2 22 21 20 22 21 20 Base 2
421 421
Nilai tempat Nilai tempat 22 21 20 22 21 20 22 21 20
Place value 4+1=5 2+1=3 Place value

Nilai digit Nilai digit 421 4 2 1 421
Digit value Digit value

Asas 8 Asas 8 2 4+2+1=7 2
Base 8 Base 8



9 Tukarkan setiap nombor yang berikut kepada nombor dalam asas dua. SP: 2.1.2 Sederhana TP3
Convert each of the following numbers into a number in base two.

Contoh

7248 = 1110101002 Asas 8/ Base 8 7=4+2+1 2 4

Nilai tempat /Place value 22 21 20 22 21 20 22 21 20

Asas 2/ Base 2 111010100

(a) 6358 = 1100111012

Asas 8/ Base 8 6=4+2 3=2+1 5=4+1
Nilai tempat /Place value 22 21 20 22 21 20 22 21 20
110 011 101
Asas 2/ Base 2

(b) 45128 = 1001010010102

Asas 8/ Base 8 4 5=4+1 1 2

Nilai tempat /Place value 22 21 20 22 21 20 22 21 20 22 21 20

Asas 2/ Base 2 100101001010

(c) 62048 = 1100100001002

Asas 8/ Base 8 6=4+2 2 0 4

Nilai tempat /Place value 22 21 20 22 21 20 22 21 20 22 21 20

Asas 2/ Base 2 110010000100



17

Matematik Tingkatan 4 Bab 2

1 0 Cari nilai A dalam asas nombor bagi setiap yang berikut. SP: 2.1.2 Sederhana TP5
Find the value of A in the number base for each of the following.

Contoh (a) 6A78 = 32245

21A15 = 1000111102 32245 = (3 × 53) + (2 × 52) + (2 × 51) + (4 × 50)
= 375 + 50 + 10 + 4
1000111102 = (1 × 28) + (1 × 24) +(1 × 23)
+ (1 × 22) + (1 × 21) = 43910
= 256 + 16 + 8 + 4 + 2
= 28610 8 439
8 54 … 7
5 286 8 6 …6
5 57 … 1 0 …6
5 11 … 2
5 2 …1

0 …2
CONTOH \ 66667788 = 332222445,5,thmuaskAa A = 6.
= = 6.

\ 1100000011111111002 2==221211251, 5t,hmusaAka=A2=. 2.

(b) 8789 = 23A334 (c) 54016 = A3118

8789 = (8 × 92) + (7 × 91) + (8 × 90) 54016 = (5 × 63) + (4 × 62) + (1 × 60)
= 648 + 63 + 8 = 1080 + 144 + 1
= 71910
= 122510
4 719
4 179 … 3 8 1225
4 44 … 3 8 153 … 1
4 11 … 0 8 19 … 1
4 2 …3 8 2 …3
0 …2 0 …2

\ 223300333344==8877889,9,thmuaskAa \ 2233111188==554400116,6,thmuaskAa A = 2.
= 2.
A= 0.
= 0.



1 1 Hitung nilai bagi setiap yang berikut. SP: 2.1.3 Sederhana TP4
Calculate the value for each of the following.
(a) 1012 + 11112 = 101002
Contoh

1011012 + 111012 = 10010102
1 11 10 12
11 10 11 1 10 12 + 1 1 1 12
+ 1 1 1 0 12 1 0 1 0 02
1 0 0 1 0 1 02

(b) 32425 + 223415 = 311335 (c) 63527 + 333547 = 430367



1 13 12 4 25 1 16 13 5 27
+ 2 2 3 4 15 + 3 3 3 5 47
3 1 1 3 35 4 3 0 3 67

18

Jawapan

Bab 1 (ii) f(x)

1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik 8
6
Quadratic Functions and Equations 4
2
1 (f)  (h) 
2 f(x) –4 –3 –2 –1 O
CONTOH –2
f(x) = 2x2 + x + 7 70 –4
–6
60 –8 123456 x

50

40

30

20

10

x

–8 –6 –4 –2 O 246 Apabila nilai c berubah, pintasan-y graf turut
–10 berubah.

When the value of c changes, the y-intercept of the graph
also changes.

Garis mengufuk y = 40 melalui dua titik pada fungsi (b) (i) f(x)
f(x) = 2x2 + x + 7. Maka, hubungan fungsi itu ialah banyak-
kepada-satu. 3
2
The horizontal line y = 40 passes through two points on the function 1
f(x) = 2x2 + x + 7. Thus, the relation of the function is many-to-one.
–5 –4 –3 –2 –1 O 1 x
3 (a) ∩ (b) ∩ (c) ∪ –1
–2
4 (a) Titik maksimum/ Maximum point –3
(b) Titik minimum/ Minimum point –4
(c) Titik minimum/ Minimum point –5
(d) Titik maksimum/ Maximum point –6
(e) Titik maksimum/ Maximum point

5 (a) x = 2 (b) x = –3
6 (a) (i)

f(x)

8 123456 x
6
4
2

–4 –3 –2 –1 O
–2
–4
–6
–8

J1

Matematik Tingkatan 4 Jawapan

(ii) f(x) (c) Kiri/ Left: 2(3)2 – 3(3) – 9

= 2(9) – 9 – 9

1 = 0 (= Kanan/ Right)

\ x = 3 ialah punca bagi 2x2 – 3x – 9 = 0.

–5 –4 –3 –2 –1 O 1 x x = 3 is a root of 2x2 – 3x – 9 = 0.
–1
–2 1 0 (a) 3x2 – 27x = 0
–3
–4 3x(x – 9) = 0
–5
–6 3x = 0 x – 9 = 0
–7
–8 x = 0 x=9
\ x = 0 atau/ or 9

(b) x2 – 6x + 8 = 0
(x – 2)(x – 4) = 0

CONTOH x – 2 = 0 x– 4 = 0

x = 2 x=4
\ x = 2 atau/ or 4

(c) x2 + 7x – 18 = 0
(x + 9)(x – 2) = 0

x + 9 = 0 x–2=0

Apabila nilai a berubah, julat graf turut berubah. x = –9 x=2
When the value of a changes, the range of graph also \ x = –9 atau/ or 2

changes. (d) 6w2 + 17w – 14 = 0
(3w – 2)(2w + 7) = 0

7 (a) 4 = c – 2(3)2 + 3(3) 3w – 2 = 0 2w + 7 = 0 7
c = 4 + 9 2 2
= 13 w= 3 w=–
(b) 0 = 4(2)2 – 6(2) + c
c = –4 \ w = – 7 atau/ or 2
(c) c = 3 2 3

8 (a) Luas/ Area: 1 (x – 7)(x + 9) = 5 (e) 12x2 – 15 = –x
2 8

x2 + 2x – 63 = 10 12x2 – 15 = –8x

x2 + 2x – 73 = 0 12x2 + 8x – 15 = 0

(b) Luas/ Area: 1 × 22 × (x + 2)2 = 22 (6x – 5)(2x + 3) = 0

27 x2 + 4x + 4 = 14 6x – 5 = 0 2x + 3 = 0 3
5 2
x2 + 4x – 10 = 0 x= 6 x = –

(c) Luas/ Area: 1 (x)[(2x – 1) + (3x + 4)] = 33 \ x = – 3 atau/ or 5
2 (x)(5x + 3) = 66 2 6

5x2 + 3x – 66 = 0 (f) (x – 2)(x + 6) = 15 – 2x

(d) x2 + (x – 3)2 = 202 x2 + 4x – 12 + 2x – 15 = 0

x2 + x2 – 6x + 9 = 400 x2 + 6x – 27 = 0

2x2 – 6x – 391 = 0 (x + 9)(x – 3) = 0

(e) Biar salah satu nombor = x x + 9 = 0 x–3=0
Let one of the number = x

x + 60 = 30 x = –9 x=3
x \ x = –9 atau/ or 3

x2 + 60 = 30x (g) (x – 4)(x + 5) – x – 16 = 0

x – 30x + 60 = 0 x2 + x – 20 – x – 16 = 0

9 (a) Kiri/ Left: 2(–2)2 + (–2) – 6 x2 – 36 = 0

= 2(4) – 2 – 6 (x – 6)(x + 6) = 0

= 0 (= Kanan/ Right) x – 6 = 0 x + 6 = 0

\ x = –2 ialah punca bagi 2x2 + x – 6 = 0. x = 6 x = –6

x = –2 is a root of 2x2 + x – 6 = 0. \ x = –6 atau/ or 6

(b) Kiri/ Left: 6(2)2 +2

= 6(4) + 2
= 26 (≠ Kanan/ Right)
\ x = 2 bukan punca bagi 6x2 + x = 2.

x = 2 is not a root of 6x2 + x = 2.

J2

Matematik Tingkatan 4 Jawapan

1 1 (a) f (x) 1 2 (a) 625(x + 8)(x + 4) = 120 000
f (x) = x2 – 9
x2 + 12x + 32 = 192

x2 + 12x – 160 = 0

(x + 20)(x – 8) = 0
x = –20 atau/ or 8


(Panjang mesti bernilai positif)

(Length must be positive value)

–3 O x \ Nilai x ialah 8./ The value of x is 8.

3 ( ) (b) 4 1 (3x + 2)(4x + 2) + (3x + 2)2 = 224
2

2(12x2 + 14x + 4) + 9x2 +12x + 4 – 224 = 0

–9 24x2 + 28x + 8 + 9x2 + 12x + 4 – 224 = 0

f (x) 33x2 + 40x – 212 = 0
(–1, 16)

15
CONTOH (b) (33x + 106)(x – 2) = 0 106
33
x=– atau/

or 2

(Panjang mesti bernilai positif)

(Length must be positive value)

\ Nilai x ialah 2./ The value of x is 2.

(c) Menggunakan Teorem Pythagoras,

x Using Pythagoras’ Theorem,

–5 O 3 x2 + (x + 7)2 = (x + 8)2

x2 + x2 + 14x + 49 = x2 + 16x + 64

f (x) = –x2 – 2x + 15 x2 – 2x – 15 = 0

(x + 3)(x – 5) = 0

(c) f (x) x = –3 atau/ or 5
f (x) = 4x2 – 8x – 45
x mesti bernilai positif bagi panjang, maka x = 5.

–5 O 9 x x must be a positive value for length, thus x = 5.
2 2 Luas/ Area: 1 × 5 × 12 = 30 cm2

2

Praktis ke Arah

–45 Kertas 1
(1, –49)
1 –2x2 + 11x = 12
2x2 – 11x + 12 = 0
(x – 4)(2x – 3) = 0

x – 4 = 0 2x – 3 = 0
x= 3
(d) f (x) x = 4 2
(–2, 50)
Jawapan/ Answer: C

f (x) = –8x2 – 32x + 18 2 8x2 + 10x – 3 = 0
(2x + 3)(4x – 1) = 0

2x + 3 = 0 4x – 1 = 0

18 x=–3 x= 1
24
Jawapan/ Answer : B
x
–9 O1
2 2 3 (x + 2)2 = 2x + 7

f (x) x2 + 4x + 4 – 2x – 7 = 0

(e) x2 + 2x – 3 = 0

(x + 3)(x – 1) = 0

( )3 , 36 x + 3 = 0 x–1=0
2
x = –3 x=1

Jawapan/ Answer : D

27 f (x) = –4x2 + 12x + 27

4 (x + 3)(2x – 4) = x2 – 4

2x2 + 2x – 12 – x2 + 4 = 0

x2 + 2x – 8 = 0

x (x + 4)(x – 2) = 0

–3 O 9 x + 4 = 0 x–2=0
2 2
x = –4 x=2

Jawapan/ Answer : D

J3

Matematik Tingkatan 4 Jawapan

5 (x + 3)(x – 6) = 0 1 1 x = – b = – 4 = 1
x2 – 3x – 18 = 0 2a 2(–2)

Gantikan x = 3 ke dalam persamaan, Titik maximum terletak pada paksi simetri, maka
2
koordinat-x bagi titik maximum ialah 1.
Substitute x = 3 into the equation, Maximum point is placed at the axis of symmetry, thus the
2
x-coordinate of the maximum point is 1.

( ) ( ) 3 2 – 3 3 – 18 = 9 – 9 – 18 y = 5 + 4(1) – 2(1)2

22 42 =5+4–2

= – 81 =7
4
Koordinat titik maksimum = (1, 7)
– 81 : 81 Coordinates of maximum point = (1, 7)
4 2 Jawapan/ Answer : A

–1 : 2 1
x2 – 3x – 18 : –2x2 + 6x + 36 2
Jawapan/ Answer : C
CONTOH 1 2 (x)[(2x + 3) + (3 – x)] = 4x + 4

(x)(x + 6) = 8x + 8

6 5x + 21 = 2(x – 3) x2 + 6x – 8x – 8 = 0
x
x2 – 2x – 8 = 0

5x + 21 = 2x2 – 6x (x + 2)(x – 4) = 0

2x2 – 11x – 21 = 0 x + 2 = 0 x–4=0

(2x + 3)(x – 7) = 0 x = –2 x=4

2x + 3 = 0 x–7=0 Jawapan/ Answer : B
x=–3 x=7
Kertas 2
2
Bahagian A / Section A
Jawapan/ Answer : A

7 x – 20 = 3 1 (a) 1 × 22 × 14 × (3x + 3)2
3 – 4x x 37

x2 – 20x = 9 – 12x = 44 (9x2 + 18x + 9)
x2 – 8x – 9 = 0 3
(x + 1)(x – 9) = 0
= 132x2 + 264x + 132 (Terbukti/ Proven)

x + 1 = 0 x–9=0 (b) 132x2 + 264x + 132 = 1 188 ÷ 132
x2 + 2x + 1 = 9
x = –1 x=9 x2 + 2x – 8 = 0

Jawapan/ Answer : A (x + 4)(x – 2) = 0

8 Gantikan (3, 0) ke dalam f (x) = 2x2 – 5x + c, x + 4 = 0 x–2=0
Substitute (3, 0) into f(x) = 2x2 – 5x + c, x = –4 x=2

0 = 2(3)2 – 5(3) + c \ Nilai x ialah 2./ The value of x is 2.
c = –2(9) + 15
= –3 2 Panjang/ Length: 20 + x + x = 20 + 2x
Jawapan/ Answer : C

9 y = –2x2 + 8x + 10, Tinggi/ Height: 15 + 2(x – 1) = 15 +2x – 2

a = –2, maka bentuk graf ialah ∩ = 13 + 2x
a = –2, thus the shape of the graph is ∩
Luas/ Area:

c = 10, maka pintasan-y bagi graf ialah 10 (20 + 2x)(13 + 2x) = 494
c = 10, thus the y-intercept of the graph is 10
260 + 66x + 4x2 = 494

4x2 + 66x – 234 = 0 ÷2

Apabila/ When y = 0, 2x2 + 33x – 117 = 0

–2x2 + 8x + 10 = 0 ÷ –2 (2x + 39)(x – 3) = 0
x2 – 4x – 5 = 0
(x – 5)(x + 1) = 0 2x + 39 = 0 x–3=0
39 x=3
x=– 2

x – 5 = 0 x+1=0 \ Nilai x ialah 3./ The value of x is 3.

x = 5 x = –1

Jawapan/ Answer : D 3 (a) Apabila x = 0, f (x) = 15. Maka, ketinggian Muthu dari

10 3 ialah punca, maka 32 – 3k + 15 = 0 atas tanah ialah 15 m.
3 is a root, thus 32 – 3k + 15 = 0 When x = 0, f(x) = 15. Thus, the height of Muthu from above
ground is 15 m.

32 – 3k + 15 = 0 (b) Apabila f (x) = 0/ When f(x) = 0,

3k = 9 + 15 –5x2 + 10x + 15 = 0 ÷ –5

k=8 x2 – 2x – 3 = 0

Jawapan/ Answer : D (x – 3)(x + 1) = 0

x = –1 atau/ or 3

\ Oleh sebab masa tidak boleh bernilai negatif,

x = 3 saat.
Since time cannot be negative value, x = 3 seconds.

J4

Matematik Tingkatan 4 Jawapan

4 (a) Biar umur Syafiah = x./ Let Syafiah’s age = x. (c) f (x) = 8

x(x – 5) = 126 5x2 + 12x – 9 = 8

x2 – 5x – 126 = 0 5x2 + 12x – 17 = 0

(b) x2 – 5x – 126 = 0 (5x + 17)(x – 1) = 0

(x + 9)(x – 14) = 0 x = ‒ 17 atau/ or 1
5
x = –9 atau/ or 14

Oleh sebab umur tidak boleh bernilai negatif, x = 14. 7 (a) f (4) = 0
Since age cannot be negatif value, x = 14.
16a + 4b + c = 0
\ Umur Syafiah sekarang = 14 + 3 = 17 tahun. c = ‒16a – 4b……➀
Syafiah’s current age = 14 + 3 = 17 years old.

f (1) = 9
Bahagian B / Section B
a+b+c=9
5 (a) (i) x(x + 4) = 140 c = 9 – a – b……➁

CONTOH x2 + 4x – 140 = 0 ➀ = ➁, ‒16a ‒ 4b = 9 – a – b
‒15a – 3b = 9……➂
(ii) x2 + 4 – 140 = 0

(x – 10)(x + 14) = 0 Paksi simetri/ Axis of symmetry:

x = 10 atau/ or –14 ‒ b =1
\ x = –14 dan/ and 10 2a

(b) Dengan menggunakan Teorem Pythagoras, 2a = ‒b
b = ‒2a
By using Pythagoras’ Theorem,

x2 + (x + 1)2 = (x + 9)2 b = ‒2a ↷ ➂, ‒15a – 3(‒2a) = 9
‒15a + 6a = 9
x2 + x2 + 2x + 1 = x2 + 18x + 81 ‒9a = 9
a = ‒1
2x2 + 2x + 1 = x2 + 18x + 81

x2 – 16x – 80 = 0
b = ‒2(‒1)
(x + 4)(x – 20) = 0

x = –4 atau/ or 20 = 2

Oleh sebab panjang tidak boleh bernilai negatif, ⸫ a = ‒1, b = 2
(b) f (x) = ‒x2 + 2x + c
maka x = 20.
Since length cannot be negative value, thus x = 20. f (1) = 9
‒1 + 2 + c = 9
Luas/ Area: 20 × (20 + 1) = 20 cm × 21 cm c = 8

= 420 cm2 ⸫ f (x) = ‒x2 + 2x + 8

(Ditunjukkan/ Shown)

6 (a) x = ‒3 x = 3 Apabila/ When f (x) = 0,
x+ 3 = 0 5x = 5 ‒x2 + 2x + 8 = 0
3
(x – 4)(‒x ‒ 2) = 0
5x – 3 = 0 x = 4 atau/ or ‒2


f(x) = (x + 3)(5x – 3) ⸫ Satu lagi punca ialah ‒2.
= 5x2 – 3x + 15x – 9
= 5x2 + 12x – 9 The other root is –2.

Banding dengan/ Compare with f (x) = ax2 + bx + c, Bab 2
a = 5, b = 12 dan c = ‒9

(b) Paksi simetri/ Axis of symmetry: Asas Nombor

x = ‒ b 2.1 Number Bases
2a
12
= ‒ 2(5) 1 (a) 84 (b) 61
(c) 106 (d) 50
=‒ 6 (e) 94
5

Apabila/ When x = ‒ 6 , 2 (a) 1 × 22 = 1 × 4 (b) 1 × 26 = 1 × 64
5 = 64
=4
(d) 5 × 84 = 5 × 4 096
( ) ( ) ( ) f ‒ 6 = 5 ‒ 6 2 + 12 ‒ 6 – 9 (c) 1 × 24 = 1 × 16 = 20 480

55 5 = 16 (f) 4 × 82 = 4 × 64
= 256
= 7 1 ‒ 14 2 ‒9 (e) 6 × 80 = 6 × 1
5 5 (h) 4 × 53 = 4 × 125
= 6 = 500

= ‒16 1 (g) 4 × 55 = 4 × 3 125
5
= 12 500

( )\ Koordinat titik minimum ialah ‒ 6 , ‒16 1 . (i) 2 × 50 = 2 × 1
5 5
=2

( )The coordinates of the minimum point are – 6 , –16 1 .
5 5

J5

Matematik Tingkatan 4 Jawapan

3 (a) (1 × 25) + (1 × 24) + (0 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (1 × 20) 6 (a) 2 198
(b) (1 × 23) + (0 × 22) + (1 × 21) + (1 × 20) 2 99 ... 0
(c) (5 × 84) + (2 × 83) + (6 × 82) + (3 × 81) + (4 × 80) 2 49 … 1
(d) (1 × 86) + (5 × 85) + (3 × 84) + (4 × 83) + (7 × 82) + 2 24 … 1
2 12 … 0
(4 × 81) + (2 × 80) 2 6 …0
2 3 …0
(e) (3 × 55) + (2 × 54) + (1 × 53) + (3 × 52) + (3 × 51) + 2 1 …1
(4 × 50) 0 …1

(f) (4 × 54) + (3 × 53) + (2 × 52) + (1 × 51) + (4 × 50) \ 19810 = 110001102

4 (a) 1011012 = (1 × 25) + (0 × 24) + (1 × 23) + (1 × 22) + (b) 5 48
(0 × 21) + (1 × 20) 5 9 ... 3
5 1 …4
= 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 0 …1

= 4510 \ 4810 = 1435

(b) 110111002 = (1 × 27) + (1 × 26) + (0 × 25) + (1 × 24) + (c) 5 692
CONTOH (1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (0 × 20) 5 138 … 2
5 27 … 3
= 128 + 64 + 16 + 8 + 4 5 5 …2
5 1 …0
= 22010 0 …1

(c) 748 = (7 × 81) + (4 × 80) \ 69210 = 102325
= 56 + 4
(d) 8 326
= 6010 8 40 … 6
(d) 53778 = (5 × 83) + (3 × 82) + (7 × 81) + (7 × 80) 8 5 …0
= 2560 + 192 + 56 + 7 0 …5

= 281510 \ 32610 = 5068

(e) 3245 = (3 × 52) + (2 × 51) + (4 × 50) (e) 8 5149
= 75 + 10 + 4 8 643 … 5
8 80 … 3
= 8910 8 10 … 0
(f) 24435 = (2 × 53) + (4 × 52) + (4 × 51) + (3 × 50) 8 1 …2
= 250 + 100 + 20 + 3 0 …1

= 37310 \ 514910 = 120358

5 (a) (f) 6 2907
6 484 … 3
Nilai 625 125 25 5 1 6 80 … 4
6 13 … 2
tempat 6 2 …1
Place 0 …2
value
\ 290710 = 212436
Langkah 3 3 34 2
Step 625 2347 125 472 25 97 5 22 12 (g) 9 963
9 107 … 0
– 1875 – 375 – 75 – 20 –2 9 11 … 8
9 1 …2
472 97 22 2 0 0 …1

Asas 5 3 3 3 42 \ 96310 = 12809
Base 5

\ 333425
(b)

Nilai 2187 729 243 81 27 9 3 1

tempat
Place
value

1 0 0 1 2 22 1

Langkah 2187 2347 729 160 243 160 81 160 27 79 9 25 3 7 1 1
Step – 0 – 81 – 54 – 18 – 6 – 1
– 2187 –0

160 160 160 79 25 7 1 0

Asas 3 1 0 0 1 2 2 21
Base 3

\ 100122213
(c)

Nilai

tempat 1296 216 36 6 1
Place

value

1 4 5 11
Langkah 1296 2347 216 1051 36 187 6 71 1

Step – 1296 – 864 – 180 –6 –1
187 7 10
1051
4 5 11
Asas 6 1
Base 6

\ 145116

J6

CONTOH


Click to View FlipBook Version
Previous Book
SEJARAH SKWM2
Next Book
Chapter4-1 ปริพันธ์และการประยุกต์ปริพันธ์